2013/1S – EP33D – Matemática Discreta – Avaliação 01

2013/1S – EP33D – Matemática Discreta – Avaliação 01
Data: 10/07/2013
Início: 13h00min – Duração: 03 aulas (2h30min)
OBSERVAÇÕES: (i) a prova é individual; (ii) qualquer forma de consulta não autorizada acarretará no recolhimento
imediato da prova e atribuição de nota zero; (iii) questões incompletas serão desconsideradas; (iv) a interpretação
das questões, o respeito à notação matemática/rigor científico e a claridade/organização na exposição fazem parte da
avaliação; (v) formulários, quando permitidos, serão anexados à prova e avaliados;
Nome: GABARITO
Nota:
Problema 01 – [0,50] Qual é a negação das seguintes proposições? “Existe um político honesto.” “Todos os brasileiros
comem churrasco.”
Resolução:
As negações aqui referem-se às negações das proposições ∃xP (x) e ∀xP (x).
Assim, se P : “Existe um político honesto.”, ¬P pode ser dada por “Não existe um político honesto.”, ou “Todos os
políticos não são honestos.” ou, ainda, “Todos os políticos são desonestos.”. Note que “Existe um político desonesto.”
não é a negação (complementar lógica) de P .
Agora, se Q: “Todos os brasileiros comem churrasco.”, ¬Q é dada por “Existe um brasileiro que não come churrasco.”
ou “Nem todos os brasileiros comem churrasco.”. Note que “Brasileiros não comem churrasco.” não é a negação de Q.
Problema 02 – [0,75] Demonstre a equivalência lógica que representa a propriedade distributiva da disjunção sobre
a conjunção: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r).
Resolução:
A demonstração da equivalência lôgica pode ser feita pela construção da tabela-verdade das duas proposições:
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r q ∧ r p ∨ (q ∧ r) p ∨ q p ∨ r (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
V V
V
V
V
V
F F
V
V
V
V
V F
V
V
V
V
F F
V
V
V
V
V V
V
V
V
V
F F
F
V
F
F
V F
F
F
V
F
F F
F
F
F
F
Como as duas proposições, P : p ∨ (q ∧ r) e Q: (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) assumem valores lógicos idênticos para todas as
configurações das variáveis lógicas p, q e r (isto é, as duas colunas são iguais), P ≡ Q.
Problema 03 – [0,75] Mostre que a demonstração por contraposição é um argumento válido: (p → q) ⊢ (¬q → ¬p).
Resolução:
A verificação de que um argumento é válido pode ser dada pela tabela-verdade:
p
V
V
F
F
q P : p → q ¬q ¬p Q: ¬q → ¬p
V
V
F F
V
F
F
V F
F
V
V
F V
V
F
V
V V
V
Vemos que toda vez que a premissa P assume o valor lógico V , a conclusão Q é também verdadeira. Assim, P ⊢ Q é
um argumento válido.
1
Problema 04 – [1,00] Demonstre que há um par de números inteiros consecutivos, tal que um desses números inteiros
é um quadrado perfeito e o outro, um cubo perfeito.
Resolução:
Esta é uma demonstração de existência construtiva, pois encontraremos um exemplo de dois inteiros consecutivos tal
que um deles seja um quadrado perfeito e o outro, um cubo perfeito. Os primeiros quadrados perfeitos são 1 = 12,
4 = 22 e 9 = 32, enquanto que os primeiros cubos perfeitos são 1 = 13, 8 = 23, 27 = 33. Assim, verificamos diretamente
que 8 e 9 são dois números inteiros consecutivos, sendo 8 um cubo perfeito e 9 um quadrado perfeito.
Problema 05 – [1,00] Demonstre, por contradição, que “se 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar.”.
Resolução:
Uma demonstração por contradição consiste em verificar que a negação da proposição resulta em uma contradição
(um absurdo). Assuma, portanto, que se 3n + 2 é ímpar, então n é par. Pela definição, se um número k é ímpar, então
existe um inteiro m tal que k = 2m + 1. Assim, se 3n + 2 é ímpar, existe um m inteiro tal que
3n + 2 = 2m + 1
⇒
3n = 2m − 1 = 2(m − 1) + 1
⇒
3n = 2l + 1
em que l = m − 1 é um inteiro. Assim, se 3n + 2 é ímpar, 3n é ímpar. Mas note que 3 = 2 + 1 é ímpar e o produto de
um número ímpar j = 2a + 1 por um par t = 2b é sempre par
j.t = (2a + 1)(2b) = 4ab + 2b = 2(2ab + 2) = 2s.
(s = 2ab + 2)
Assim, se n for par, 3n deve ser par, o que contraria a hipótese de 3n + 2 ser ímpar. Portanto, dado que 3n + 2 é
ímpar, n deve ser ímpar.
Problema 06 – [1,50] Demonstre que as seguintes sentenças sobre o número inteiro n são equivalentes: “n é par”,
“n2 é par” e “n + 1 é ímpar”.
Resolução:
A equivalência entre três proposições p1, p2 e p3 pode ser demonstrada verificando-se p1 → p2, p2 → p3 e p3 → p1. Nesse
caso, fazemos
•
p1: “n é par” ou, equivalentemente, ∃k ∈ Z, n = 2k;
•
p2: “n2 é par” ou, equivalentemente, ∃j ∈ Z, n2 = 2j;
•
p3: “n + 1 é ímpar” ou, equivalentemente, ∃i ∈ Z, n + 1 = 2i + 1.
Demonstremos agora, por demonstração direta, as condicionais que definem a equivalência lógica entre as proposições:
•
p1 → p2: Se n = 2k, então n2 = (2k)2 = 4k 2 = 2(2k 2). Como 2k 2 = j é um inteiro, está demonstrado que p1 → p2.
•
p2 → p3:
Seja n2 = 2j. Como n não pode ser ±1 (pois (±1)2 = 1 é ímpar), considere a fatoração
(n + 1)(n − 1) = n2 − 1 = 2j − 1 = 2(j − 1) + 1 = 2s + 1
em que s = j − 1 é um inteiro. Vemos que (n + 1)(n − 1) é um número ímpar. Uma vez que o produto de dois números
pares é par, assim como o produto de um ímpar por um par, é necessário que ambos n + 1 e n − 1 sejam ímpares.
Assim, n + 1 é ímpar e p2 → p3.
•
p3 → p1: Se n + 1 = 2i + 1 é direto que n = 2i, isto é, n é par e, portanto, p3 → p1.
Assim, como p1 → p2 → p3 → p1, todas as proposições são equivalentes.
2
Problema 07 – [1,50] Considere P (n) como a proposição de que 13 + 23 + 33 + + n3 =
número inteiro positivo n. Demonstre, por indução, ∀nP (n).
n(n + 1)
2
2
para qualquer
a) Mostre que P (1) é verdadeira, completando o passo base da demonstração.
b) Enuncie a hipótese indutiva e complete o passo indutivo da demonstração.
c) Explique por que esses passos mostram que a fórmula é verdadeira sempre que n for um inteiro positivo.
Resolução:
(a) O passo base consiste em verificar a veracidade de P (1). Como 13 = 1 =
verdadeira.
1(1 + 1)
2
2
= 12 = 1, vemos que P (1) é
(b) A hipótese indutiva é a seguinte: P (n) é verdadeira, ou seja, a soma dos cubos dos primeiros n inteiros positivos
é dada por (n(n + 1)/2)2. O passo indutivo consiste em verificar que P (n) → P (n + 1). Para isso, considersmos P (n):
13 + 23 + 33 + + n3 =
n(n + 1)
2
2
e somamos em ambos os lados da igualdade o termo (n + 1)3. Assim, manipulando o termo da direita, encontramos:
n(n + 1) 2
+ (n + 1)3
2
n2(n + 1)2 4(n + 1)(n + 1)2
=
+
4
4
2
(n + 4n + 4)(n + 1)2
=
4
(n + 2)2(n + 1)2
(n + 1)(n + 2) 2
=
=
4
2
13 + 23 + 33 + + n3 + (n + 1)3 =
que é exatamente a expressão P (n + 1). Logo, P (n) → P (n + 1) e o passo indutivo está completado.
(c) O passo indutivo demonstra que P (n) → P (n + 1), ou seja, que se a proposição é válida para o número inteiro n,
então será válida para o próximo número inteiro n + 1. Como a demonstração é independente do valor de n, temos
agora se a proposição é válida para n + 1, também será para (n + 1) + 1 = n + 2, e assim por diante. Uma vez que
fomos capazes de verificá-la diretamente para n = 1, sabemos será válida para n = 2 e, então, para n = 3 e, então, para
n = 4 ... Ou seja, para todos os números inteiros positivos n.
Problema 08 – [2,00] Seja fn = fn−1 + fn−2 o n-ésimo número de Fibonacci para n > 2, com f0 = 0 e f1 = 1.
a) Mostre que fn+1 fn−1 − fn2 = (−1)n quando n é um número inteiro positivo.
b) Mostre que se A =
1 1
fn+1 fn
n
, então A =
quando n for um número inteiro positivo.
1 0
fn fn−1
Resolução:
Primeiramente, observemos que f2 = f1 + f0 = 1.
(a) A relação pode ser facilmente verificada para n = 1 (passo base):
f2 f0 − f12 = 1.0 − 1 = −1 = (−1)1.
Podemos agora assumir que a relação é válida para n e dela derivar a relação para n + 1. Ou seja, suponha
fn+1 fn−1 − fn2 = (−1)n.
3
Agora, manipulemos o termo da esquerda com n→ n + 1, utilizando a definição dos números de Fibonacci para observar
que fn+2 = fn+1 + fn e que fn+1 = fn + fn−1. Assim, temos
2
fn+2 fn − fn+1
=
=
=
=
=
=
(fn+1 + fn)fn − fn+1(fn + fn−1)
fn+1 fn + fn2 − fn+1 fn − fn+1 fn−1
fn2 − fn+1 fn−1
−(fn+1 fn−1 − fn2)
−(−1)n
(−1)n+1.
Assim, se a relação é válida para n, é válida pra n + 1. Como verificamos no passo base que a relação é verdadeira
para n = 1, então a mesma é verdadeira para todo número inteiro positivo.
(b) Utilizaremos a construção recursiva de An por
An+1 = A.An
em que A = A1 é a matriz dada. Note que
1
A =
f2 f1
f1 f0
1 1
.
=
1 0
Assim, basta demonstrarmos que, para todo n > 1, An+1 = A.An. Fazendo o produto e rearranjando os termos,
verificamos facilmente esse resultado:
A.An =
1 1
1 0
fn+1 fn
fn fn−1
#
"
f(n+1)+1 f(n+1)
fn+1 + fn fn + fn−1
fn+2 fn+1
=
= An+1
=
=
fn+1
fn
f(n+1) f(n+1)−1
fn+1 fn
em que, pela definição dos números de Fibonacci,
fn+2 = fn+1 + fn
fn+1 = fn + fn−1
e
foram utilizados.
Problema 09 – [0,5] Decida se cada um dos inteiros abaixo é congruente a 5 módulo 17.
a) 80
c) −29
b) 103
d) −122
Resolução:
Dizemos que a é congruente a b módulo m se m divide (a − b) ou, analogamente, se a mod m = b mod m, isto é, se o
resto das divisões de a e b por m forem iguais. Observe que 5 mod 17 = 5.Assim:
(a) Como 80 − 5 = 75 e 17 ∤ 75, pois não existe inteiro m tal que 17.m = 75, vemos que 80 5(mod 17). Analogamente,
temos 80 mod 17 = 12 5.
(b) Como 103 − 5 = 98 e 17 ∤ 98, pois não existe inteiro m tal que 17.m = 98, vemos que 103 5(mod 17). Analogamente,
temos 103 mod 17 = 1 5.
(c) Como −29 − 5 = −34 e 17|−34, pois −34 = 17.(−2), vemos que −29 ≡ 5(mod 17). Analogamente, −29 mod 17 = 5,
pois −29 = 17.(−2) + 5.
(d) Como −122 − 5 = −127 e 17 ∤ −127, pois não existe inteiro m tal que 17.m = −127, vemos que −122 5 (mod 17).
Analogamente, −122 mod 17 = 14 5 (pois −122 = 17.(−8) + 14).
4
Problema 10 – [0,5] Decodifique a seguinte mensagem, codificada pelo algoritmo de Júlio César, em que A = 1,
B = 2, , Z = 0 e f (p) = (p + 3) mod 26:
P H L R
J D Q K R !
S R Q W R
A função decodificadora (inversa) de f é f −1(p) = (p − 3) mod 26. Assim, podemos construir a seguinte tabela:
A
p = f −1(w) 1
w = f (p) 4
D
B
2
5
E
C
3
6
F
D
4
7
G
E
5
8
H
F
6
9
I
G
7
10
J
H I J K
8 9 10 11
11 12 13 14
K L M N
L
12
15
O
M
13
16
P
N
14
17
Q
O
15
18
R
P
16
19
S
Q
17
20
T
R
18
21
U
S
19
22
V
T
20
23
W
U
21
24
X
J
10
7
G
D
4
1
A
Q
17
14
N
K
11
8
H
R !
18
15
O !
Logo, a mensagem é:
P H L R
w
16 8 12 18
f −1(w) 13 5 9 15
M E I O
S
19
16
P
R
18
15
O
Q
17
14
N
5
W
23
20
T
R
18
15
O
V
22
25
Y
W
23
0
Z
X
24
1
A
Y
25
2
B
Z
0
3
C