Teorema fundamental da proporcionalidade - DM

Teorema fundamental da proporcionalidade
Sadao Massago
Maio de 2010 a Fevereiro de 2014
Sumário
1 Preliminares
1
2 Teorema Fundamental da proporcionalidade
1
Referências Bibliográcas
6
Neste texto, o Teorema fundamental da proporcionalidade será demonstrado.
1
Preliminares
Uma das propriedades dos números reais a ser utilizado é
Propriedade 1.1 (Arquimediana dos números reais). Dado um número real, existe um número
natural maior que ele.
A propriedade arquimediana é equivalente a dizer que,para todo número real
n tal que n1 < ε.
Também vamos precisar do teorema de Tales.
ε > 0,
existe
um número natural
Teorema 1.2
(Tales)
.
Se três retas paralelas determina (dois) segmentos congruentes a uma
reta concorrente, então determina (dois) segmentos congruentes em qualquer das retas concorrentes.
Signicado.
r1 , r2 e r3 três retas paralelas entre si. Suponha que s seja concorrentes
A1 , A2 e A3 são pontos de intersecções de s com r1 , r2 e r3 respectivamente de
modo que A1 A2 = A2 A3 . Neste caso, para qualquer reta t cruzando r1 , r2 e r3 em B1 , B2 e B3
respectivamente, tem-se que B1 B2 = B2 B3 .
Sejam
a estas retas e
2
Teorema Fundamental da proporcionalidade
Uma consequência do Teorema de Tales é
Proposição 2.1
.
(Corolário do Teorema de Tales)
Se um conjunto das retas paralelas deter-
minam segmentos congruentes numa reta concorrente, então determina segmentos congruentes
em qualquer das retas concorrentes.
Signicado.
ri com i = 0, . . . , n as retas paralelas. Se s1 é uma reta concorrente a estas
na qual os pontos Ai determinado como intersecção com ri são igualmente espaçados, então
para toda reta concorrente s2 , os pontos Bi determinados como intersecção com ri também são
Sejam
igualmente espaçados.
1
Demonstração. Consideremos as retas paralelas r0 , r1 , . . . , rn que cortam a reta s1 nos pontos
Pi respectivamente, determinando segmentos congruentes, isto é, Pi Pi+1 = Pi+1 Pi+2 para i =
0, . . . , n − 2.
Se s2 for reta concorrente a r0 , será concorrente a todos ri . Consideremos o ponto de
intersecção Qi de s2 com ri (Figura 1).
s1
r0
ri
s2
Q0
P0
Qi
Pi
Qn
rn Pn
Figura 1: O corolário do Teorema de Tales
Para cada
de Tales, por
sobre
i = 0, . . . , n − 2, Pi Pi+1 = Pi+1 Pi+2 implica que Qi Qi+1 = Qi+1 Qi+2 pelo Teorema
ri , ri+1 e ri+2 serem retas paralelas. Logo, ri determinam segmentos congruentes
s2 .
Proposição 2.2.
em
n
Dado um número inteiro positivo
n,
qualquer segmento
AB
pode ser dividido
partes iguais.
Demonstração. Seja
AB um segmento e n > 0 um número inteiro. Considere C fora da reta
A e B . Na semirreta de origem em A determinado pelos pontos A e C ,
P0 = A, P1 = C e Pi ordenados sobre a semi reta com espaçamento AC , para
determinada pelo
considere pontos
i = 0, . . . , n
(Figura 2).
Pn
Pi
P1 = D
B = Qn
P0 = A = Q0
Q1
Qi
Figura 2: Dividindo o segmento
2
AB
paralelas a Pn B pelos pontos Pi , e sejam Qi a intersecção desta reta com
AB . Como ri não pode cruzar a reta rn e Pi estão no mesmo lado de A
relativamente a rn , Qi também estarão. Da mesma forma, Qi estarão no mesmo lado de B
relativamente a reta r0 passando por A. Desta forma, Qi estão sobre AB .
Como Pi são igualmente espaçados, Qi também serão igualmente espaçados pelo corolário
Passando retas
ri
o prolongamento de
do Teorema de Tales (Proposição 2.1).
{ai }
{bi }
são ditos proporcionais se existir um numero λ tal
a
que bi = λai para todo i. Quando a divisão é permitida, é equivalente a dizer que i = λ para
bi
todo i. Tal λ é denominado de razão da proporcionalidade.
Dois conjunto dos números
Denição 2.3.
e
Dois triângulos são ditos semelhantes quando os ângulos correspondentes são
congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.
Signicado. 4ABC e 4DEF
de ter
AB
DE
=
BC
EF
=
∠A = ∠D, ∠B = ∠E
são semelhantes se,
e
∠C = ∠F ,
além
AC
.
DF
A razão das medidas entre os lados correspondentes num triângulo semelhante é denominado
de razão da semelhança.
Exercício 2.4.
Mostre que a razão entre dois lados de um triângulo é igual a razão entre dois
lados correspondentes do triângulo semelhante a ele.
Signicado. 4ABC e 4DEF
são semelhantes então
AB
AC
=
DE AB
,
DF BC
=
DE
BC
e
EF
AC
=
EF
.
DF
O teorema fundamental da proporcionalidade caracteriza os triângulos semelhantes.
Teorema 2.5 (fundamental da proporcionalidade).
Dois triângulos tem ângulos corresponden-
tes congruentes se, e somente se, tem os lados correspondentes proporcionais.
Signicado. 4ABC
AB
DE
=
BC
EF
=
e
4DEF
tem
∠A = ∠D, ∠B = ∠E
e
∠C = ∠F
se, e somente se,
AC
.
DF
Demonstração.
( =⇒ ) Se provarmos que a razão entre um par de lados correspondentes é igual
a razão entre outro par de lados correspondentes, podemos concluir que a razão entre qualquer
dos lados correspondentes são iguais.
0 0 0
Considere 4ABC e 4A B C com ângulos correspondentes congruentes.
Se eles tiverem
um lado igual, serão congruentes por ALA e terão todos lados congruentes e os triângulos
são semelhantes com razão de semelhança
1.
Agora consideremos o caso de ter lados não
congruentes. Sem perda de generalidade, podemos supor que A0 B 0 < AB . Então podemos
0 0 0
construir 4ADE congruente a 4A B C sobreposta a 4ABC . Para isso, considere D sobre
AB tal que AD = A0 B 0 e E sobre AC tal que AE = A0 C 0 , o que garante a congruência de
4ADE
com
4A0 B 0 C 0
por LAL.
Como ângulos correspondentes entre
4ABC
ângulos correspondentes formado pela intersecção
a
4ADE são iguais, ∠ADE = ∠B
de AB com DE e BC . Logo, DE é
e
que são
paralelo
BC .
Assim, podemos considerar o caso 4ABC e 4ADE com D sobre AB e DE paralelo a BC
AD
na qual queremos mostrar que
= AE
.
AB
AC
Inicialmente, consideremos os pontos A = P0 , P1 , . . . , Pn−1 , Pn = B de forma que Pi dividam
AB
o segmento AB em n partes iguais, isto é, Pi Pi+1 =
para i = 0, . . . , n − 1 (Figura 3).
n
Como D está em AB , estará em algum segmento Pkn Pkn +1 de modo que APkn ≤ AD <
AB
APkn +1 . Como Pi são igualmente espaçados, APi = i · AB
e temos kn ·
≤ AD < (kn + 1) · AB
.
n
n
n
AD
kn +1
AD
kn
kn
kn
1
kn
1
Dividindo por AB , temos
≤ AB < n = n + n . Subtraindo n , temos 0 ≤ AB − n < n .
n
AD kn 1
Assim, − n < n para todo n > 0.
AB
3
P0 = A
P1
Pk n
D
E
Pkn +1
B = Pn
C
Figura 3: Dividindo o lado
AB
AC . Traçaremos as retas ri paralelas
Pi e consideremos os pontos Qi obtidas como
intersecção de ri com o prolongamento do lado AC . É fácil ver que Q0 = A e Qn = C . Para
i = 1, . . . , n − 1, como ri não podem cruzar nem r0 e nem o rn , Pi estar entre eles implica que
Qi também estarão entre eles e consequentemente, Qi estão no segmento AC .
Como ri são paralelas e determinam segmentos congruentes sobre AB , também determinará segmentos congruentes sobre AC (Figura 4) pelo corolário do Teorema de Tales (PropoAgora precisamos vericar o que acontece no lado
a
BC
(e logo a
DE
também) pelos pontos
sição 2.1).
P0 = A = Q0
r0
r1
Pk n
D
rkn
rkn +1
rn
Q1
P1
Qkn
E
Pkn +1
Qkn +1
B = Pn
C = Qn
Figura 4: As retas paralelas passando por
E deverá
car
AE kn 1
entre Qkn e Qnk +1 . De forma análoga ao caso feito pelo D e Pi , temos que − n < n para
AC AD AE AE kn kn AE AD kn AE kn todo n > 0. Assim, temos que −
=
−
+
−
≤
−
+
−
<
n
n
n
n AB
AC
AC
AC
AC
AB
AD AE 1
+ n1 = n2 para todo n > 0. Então AD
= AE
, pois caso contrário, − AC < n2 implicaria
n
AB
AC
AB
Como
DE
é paralelo a
ri , ele não poderá cruzar rkn
nem o
rnk +1
Pi
de forma que
que
n<
2
AD AE , signicando que existe um número real maior que qualquer número inteiro,
AB − AC 4
contradizendo a propriedade arquimediana dos números reais (Propriedade 1.1).
0C0
A0 B 0
= AAC
.
Portanto
AB
(⇐=) Seja 4ABC e 4A0 B 0 C 0 com lados proporcionais. Se AB = A0 B 0 então dois triângulos
são congruentes por ALA e logo tem ângulos correspondentes congruentes. Se estes lados não
forem congruentes, podemos supor sem perda de generalidade que A0 B 0 < AB . Seja D um
ponto sobre AB de forma que AD = A0 B 0 . Considere E sobre AC de forma que DE é
paralelo a
BC .
4ADE
4ABC
tem ângulos correspondentes congruentes e pelo que
já demonstramos, terá os lados correspondentes proporcionais. Como AD = A0 B 0 , a razão
0 0 0
de semelhança de 4ADE e 4A B C com o 4ABC é igual, o que implica que 4ADE e
4A0 B 0 C 0 são congruentes por LLL. Logo, 4A0 B 0 C 0 tem ângulos correspondentes congruentes
com
4ADE
Então
e
que por sua vez, tem os ângulos correspondentes congruentes com
4ABC .
O teorema acima garante que os triângulos com ângulos correspondentes congruentes são
semelhantes e os triângulos com lados correspondentes proporcionais também são semelhantes.
O Teorema de Tales generalizada, também conhecido como Teorema da projeção paralela é
um resultado equivalente ao Teorema fundamental da proporcionalidade.
Teorema 2.6 (Tales generalizado).
Dado três retas paralelas, eles determinam segmentos com
a mesma proporção, independente da reta concorrente.
Signicado.
e s2 são as retas concorrentes à
A1 A2
1 B2
.
ri , determinando pontos de intersecção Ai e Bi com ri , então A A = B
B2 B3
2 3
Sejam
ri
com
i = 1, 2, 3
as retas paralelas. Se
s1
Demonstração. Sejam r1 , r2 e r3 as retas paralelas e s1 e s2 são retas concorrentes a ri . Precisamos mostrar que os segmentos determinados por
determinados sobre
r1 , r2
e
r3
s2 .
Consideremos
A1 , A2
A3 ,
e
respectivamente. Também consideremos
com as retas
r1 , r2
e
ri
sobre
s1
são proporcionais aos segmentos
os pontos de intersecção de
B1 , B2
e
B3 ,
s1
com as retas
os pontos de intersecção de
s2
r3
respectivamente.
A A
B B
Queremos provar que 1 2 = 1 2 .
A2 A3
B2 B3
Sejam P e Q, os pontos sobre as retas
r2 e r3 respectivamente, obtido pela intersecção com
B1 . Então A1 A2 P B1 e A2 A3 QP são paralelogramos
B P
B B
e consequentemente, A1 A2 = B1 P e A2 B3 = P Q. Logo, basta mostrar que 1 = 1 2 . Como
PQ
B2 B3
∠B1 P B2 = ∠P QB3 por ser ângulos correspondentes formado por B1 Q e as retas paralelas r1
e r2 , temos que 4B1 P B2 e 4B1 QB3 tem ângulos congruentes (pois ∠B1 é comum) e pelo
a reta paralela ao
s1
passando pelo ponto
teorema fundamental da proporcionalidade, tem lados proporcionais.
(Figura 5).
s1
r1
s2
A1
|
P
||
B2
||
Q
B3
||
A3
||
r3
|
||
A2
||
r2
B1
Figura 5: As retas paralelas determina segmentos proporcionais
Logo,
B1 P
B1 Q
=
B1 B2
. Mas
B1 B3
B1 Q = B1 P + P Q
e
5
B1 B3 = B1 B2 + B2 B3 ,
tendo a igualdade
B1 P
B1 P +P Q
=
B1 B2
B1 B2 +B2 B3
⇐⇒
B1 P +P Q
B1 P
=
B1 B2 +B2 B3
B1 B2
⇐⇒ 1 +
PQ
B1 P
= 1+
B2 B3
B1 B2
⇐⇒
PQ
B1 P
=
B2 B3
B1 B2
⇐⇒
B1 P
PQ
=
Exercício 2.7
B1 B2
.
B2 B3
(Teorema da projeção paralela)
.
Dado três retas paralelas, mostre que os seg-
mentos determinados numa reta concorrente é proporcional aos segmentos determinados em
qualquer outra transversal.
Exercício 2.8.
Dado um conjunto de retas paralelas, mostre que os segmentos determinados
numa reta concorrente é proporcional aos segmentos determinados em qualquer outra transversal.
Referências
[1] Toyo, Takami, Kika-kogi (zen-pen) (Curso de geometria, parte 1 de 2), seção
editoral da Universidade de Saneda, Japão, ano não especicado.
[2] Moise, Edwin E. e Downs Jr, Floyd L., (tradução de Renate G. Watanabe),
Geometria Moderna, Vol. 1 e 2, Edgard Blucher, 1971.
[3] Euclides (versão latino de Commandino, F.; ilustração e adição de Simons, R.;
revisão de Anibalfaro), Elementos de Geometria, edições cultura, 1944.
[4] Rezende, Eliane Q. F. e Queiroz, Maria L. B de, Geometria Euclidiana plana e
construções geométricas, Editora UNICAMP, 2000.
[5] Greenberg, Martin J., Euclidean and non-euclidean geometries, W. H. Freeman
and company, 1993.
6