11 - Nutricao de Plantas

CAPÍTULO I
ESTRUTURA ATÔMICA
1. INTRODUÇÃO
Atualmente à vista dos conhecimentos adquiridos pela física, não teria sentido falar em
“modelos atômicos”, porém, sob o ponto de vista didático, ainda é o melhor caminho para estudar a
estrutura atômica. Se fazem necessárias explicações anteriores ao modelo do átomo de Bohr, para depois
tecer críticas e apontar limitações deste modelo.
O modelo de Bohr, apresentado em 1913, foi o fruto de importantíssimos trabalhos
realizados por um grande número de cientistas, principalmente nos últimos anos do século XIX e nos
primeiros anos do século XX. Milhares de páginas já foram escritas sobre a história da ciência nesses
poucos e fabulosos anos, e não seria este o local apropriado para recordá-los; porém, alguns nomes,
obrigatoriamente aparecerão.
Naquela época, grupos isolados buscavam objetivos distintos e, em meio caminho, iam
revelando os segredos da natureza: alguns estudavam os fenômenos elétricos no vácuo; outros a
luminescência em gases rarefeitos; outros, a condução elétrica nos líquidos; alguns, a propagação do som;
um deles o movimento de um pêndulo, etc.. Foi, entretanto, a genialidade de Bohr que levou a uma
combinação de um grande número de conhecimentos aparentemente independentes, para formular a
primeira hipótese concreta sobre as estrutura da matéria.
A fim de que se possa chegar até o modelo de Bohr, é necessário que sejam recordados os
dois principais modelos que o antecederam: o de Thomson e o de Rutherford.
Experiências sobre eletrólise em soluções realizadas por Faraday e Stoney, e experiências
de descarga elétrica em gases rarefeitos, levaram Thomson (1897) a perceber que o átomo era divisível.
Verificou-se que o elétron era a parte de matéria carregada negativamente, e os “raios canais” (1886) a
parte positiva. Em 1904, Thomson propôs o seu modelo atômico, que ficou conhecido como “pudim de
ameixas”; o seu átomo era constituído de uma esfera de eletricidade positiva, com diâmetro da ordem de
10-8 cm, na qual se encontravam, embebidas, partículas de carga negativa - elétrons - em quantidade
suficiente para neutralizá-la.
O modelo de Thomson tem hoje um valor histórico, apenas como uma homenagem àquele
cientista que foi o pioneiro nas determinações das propriedades dos elétrons e dos “raios positivos”. Já em
1903, Lenard e, independentemente, Nagaoka em 1904, admitiam ser o átomo constituído de um núcleo
central de carga positiva, envolvido por cargas negativas.
-2-
Porém, foi Rutherford quem apresentou um modelo mais completo, baseado nas leis da
mecânica e da eletricidade, até então conhecidas, e comprovando experimentalmente a sua teoria. A
experiência de espalhamento de partículas alfa de Rutherford foi, de fato, o marco inicial para o
conhecimento da estrutura do átomo.
Em 1896, Bequerel e o casal Curie haviam descoberto a radioatividade natural e, pouco
tempo depois, já se conheciam os três principais tipos de radiações: ,  e . Em 1899, já se sabia que a
partícula  tinha as mesmas características dos raios catódicos (elétrons). Portanto, em 1911, muitas
propriedades dessas partículas já eram conhecidas. Nesse ano, Rutherford teve a idéia de utilizar as
partículas , emitidas naturalmente pelo radium, como projéteis para estudar a estrutura da matéria.
Bombardeando folhas extremamente finas de ouro, com um feixe colimado de partículas , notou que um
grande número delas atravessava normalmente, enquanto que algumas delas sofriam desvios vários de sua
trajetória original. Um fato importante chamou sua atenção: algumas partículas  sofriam grandes desvios,
ao passo que algumas retornavam na direção da fonte de origem. Calculou que uma partícula em cada
20.000 sofria um desvio igual ou superior a 90, portanto, não atravessava a lâmina. A partir destas
observações, Rutherford conclui que:
a) o átomo não era constituído de matéria sólida, mas sim, que existiam grandes espaços vazios;
b) embora o diâmetro do átomo calculado fosse da ordem de 10 -8 cm, tudo se passava como se a massa
total estivesse concentrada num “caroço” de diâmetro da ordem de 10 -12 cm;
c) esse caroço deveria possuir carga elétrica altamente positiva em virtude dos grandes desvios sofridos
pelas partículas .
Baseado nesses resultados, Rutherford idealizou um átomo constituído de um núcleo central
de carga positiva e onde se concentra quase que a totalidade da massa e, ao redor desse núcleo, uma
nuvem de cargas negativas, que seriam os elétrons, muito espaçados entre si, e distantes do núcleo. Em
1913, numa experiência mais completa, Geiger e Marsdem, comprovaram a teoria e a prática de
Rutherford. Concluíram também que o número atômico Z (número de cargas positivas do núcleo), era
aproximadamente igual à metade da massa atômica do elemento.
O sucesso de experimento de espalhamento de partículas , tornou Rutherford como o
descobridor do núcleo.
2. ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E ESPECTROS DE EMISSÃO
Quando uma substância é excitada, emite energia radiante. Verifica-se experimentalmente
que um sólido aquecido (ferro em brasa, por exemplo) emite energia na forma de radiações (ondas
eletromagnéticas). As radiações eletromagnéticas como por exemplo a luz visível, as ondas de rádio e
televisão, as ondas infravermelhas de calor, os raios-x, as radiações gama, constituem a propagação de
campos elétricos e magnéticos através do espaço, com velocidade c = 3 x 108 m/s no vácuo. Todas as
ondas eletromagnéticas são geradas pela aceleração de cargas elétricas. Elas se caracterizam por um
comprimento de onda  e por uma frequência f, segundo a equação:
c  . f
(1.1)
e como c é uma constante, pequenos comprimentos de onda implicam em alta frequência e grandes
comprimentos de onda em baixa frequência. O comprimento de onda é medido em metros (m),
centímetros (cm), mícrons (), angstros (Å) ou nanometros (nm), de acordo com seu “tamanho” (veja
Quadro 1.1). Logicamente,
-3-
10-2 m = 1 cm = 104  = 108 Å = 107 nm
Elétrico
E
Direção de
propagação
B
Magnético
Figura 1.1 - Os vetores campo elétrico E e B campo magnético estão em fase, são mutuamente
perpendiculares e perpendiculares à direção de propagação da onda.
A frequência f é medida em ciclos por segundo, ou hertz (Hz). Seus múltiplos são muito
utilizados: kilohertz (kHz) e megahertz (MHz).
As ondas eletromagnéticas, devido ao seu caráter duplo, ora de onda, ora de partícula,
também são chamadas de fótons. Os fótons podem ainda ser caracterizados por sua energia, segundo a
equação de Planck:
E  h. f
(1.2)
onde: E = energia do fóton (ergs no CGS)
h = constante de Planck (6,624 x 10-27 erg.s no CGS)
f = frequência (ciclos por seg. Hz)
Outra unidade de energia muito frequentemente utilizada é o elétron-volt (eV) e seus
múltiplos, keV, MeV. Trata-se da energia adquirida por um elétron (no vácuo) que, a partir do repouso, é
acelerado por uma diferença de potencial de 1 volt. Pode-se demonstrar que:
1 e V = 1,6 x 10-12 erg
Assim, por exemplo, a energia de um fóton de luz visível de comprimento de onda de 0,6 
será:
Quadro 11
Espectro eletromagnético
Frequência, Hz
1023
1022
1021
1020
1019
1018
1017
1016
1015
1014
1013
1012
1011
1010
109
108
107
1 MHz 106
105
104
1 kHz 103
102
10
Comprimento de onda, m
Raios Gama
Raios X
Ultravioleta
VISÍVEL
Infravermelho
Ondas curtas
Televisão e FM
Ondas em AM
Ondas longas
10-14
10-13
10-12
10-11
10-10 1 A
10-9 1 nm
10-8
10-7
10-6 1m
10-5
10-4
10-3
10-2 1 cm
10-1
1
1m
101
2
10
103 1 km
104
105
106
107
-4-
  0,6  0,6  104 cm
f 
c


3  1010 cm / s
 5  1014 s1 ou ciclos/s, ou Hz
0,6  10 4 cm
E  h. f  6,624  1027 erg.s5  1014 s-1   3,312  1012 erg = 2,07 eV
Para um raio gama de comprimento de onda 10 -10 cm, tem-se:
f 
3  1010
 3  1020 Hz
1010
E  6,624  1027  3  1020  1,987  107 erg  1,24  106 eV  1,24 MeV
200
100
visível
Intensidade de Radiação
150
50

0
0
0,40,5
0,8
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
Figura 1.2 - Espectro teórico de um corpo a 6000K (segundo a lei de Planck veja capítulo V).
Denomina-se de espectro de radiações (ou de emissão, ou de ondas eletromagnéticas) ao
gráfico que mostra os diferentes tipos de radiação que dado corpo emite. Na ordenada coloca-se
normalmente o número de fótons ou intensidade do feixe de fótons. (F), emitidos, e na abscissa, a
frequência ou o comprimento de onda ou a energia dos fótons. Na Figura 1.2 é mostrado o espectro de um
corpo a 6000K (aproximadamente a temperatura da superfície do sol).
Quando o corpo emite fótons em “todos” os comprimentos de onda (como um pedaço de
ferro em brasa, por exemplo), o espectro é denominado contínuo. Quando um sistema emite apenas em
alguns (determinados) comprimentos de onda, o espectro é denominado descontínuo, de raias ou de
faixas. É o caso de gases ou vapores rarefeitos submetidos à descarga elétrica.
Os espectros de raias são emitidos por átomos e apresentam um número restrito de linhas
luminosas nitidamente separadas por espaços escuros. Pode-se provocar a excitação da matéria a ser
estudada, por diversas formas, obtendo-se os espectros correspondentes:
-5-
1. Espectro de Chama - quando um composto contendo o elemento é nubulizado e aquecido
intensamente com o auxílio de uma chama.
2. Espectro de Faísca Elétrica - quando se faz saltar uma faísca entre os eletrodos que contêm o gás ou
vapor.
3. Espectro de Arco - quando se faz saltar um arco voltaico através do vapor ou gás, ou entre eletrodos
impregnados de um composto de elemento a ser estudado.
4. Espectro de Luminiscência - que se obtém quando se efetua uma descarga em gases rarefeitos.
É importante observar-se que o espectro de raias de um elemento é característico daquele
elemento e, portanto, diferente dos demais. Este fato serve de base à análise espectral, largamente
utilizada para determinação de traços (quantidades muito pequenas) de elementos. Métodos de análise
química que se baseiam neste fenômeno são a espectroscopia de chama (de emissão e absorção), a
espectrografia, fotometria, fluorescência de raios X, etc.
3. SÉRIES ESPECTRAIS
Fraunhofer, em 1815, foi um dos primeiros a observar as raias espectrais de vários
elementos, tendo, inclusive, observado as raias de absorção do espectro solar. Durante muitos anos, vários
pesquisadores foram descobrindo raias espectrais dos elementos conhecidos na época, graças à invenção
da bomba de vácuo por Geissler em 1855, destacando-se entre eles Pluecker, Hittof, Varley, Goldstein e
Crookes. Em 1815, Prount já havia proposto que todos os elementos eram compostos de um número
inteiro de átomos de hidrogênio, e em 1858 Cannizzaro provou ser este o elemento mais simples da
natureza. Assim sendo, os pesquisadores da época passaram a concentrar suas pesquisas nesse gás,
pensando que poderia ser a chave para a descoberta da estrutura do átomo.
Balmer (1884) mediu com bastante precisão os comprimentos de onda de quatro raias do
espectro do hidrogênio, na região do visível, e assim denominou:
Raia H  ........................................................................... 6562,8 Å
Raia H  ........................................................................... 4861,3 Å
Raia H ............................................................................ 4340,5 Å
Raia H  ........................................................................... 4107,7 Å
Analisando os resultados obtidos, Balmer observou que os comprimentos de onda
obedeciam uma relação empírica:
 n2 
   2

n  4
(1.3)
sendo  uma constante (3645,6 Å) e n um número inteiro maior do que 2. Assim, substituindo-se n por 3,
4, 5 ou 6 na equação (1.3), obtém-se sucessivamente os valores dos comprimentos de onda de H, H, H
e H da relação acima.
Em 1890, Ryderg propôs uma modificação na fórmula original de Balmer, introduzindo o
número de onda , que é o número de ondas por unidade de comprimento, ou seja, o reciproco do
comprimento de onda:
-6-

1

(1.4)
Rydberg demonstrou que a relação empírica abaixo, escrita em termos de  também
descrevia os números de onda das raias H, H, H e H medidos por Balmer:
1
1
  R 2  2 
n 
2
(1.5)
sendo R uma constante denominada constante de Rydberg e n um número inteiro maior que 2.
Em 1908, Ritz, estudando a fórmula de Rydberg, enunciou o princípio da combinação para
cálculo das frequências das raias espectrais, tentando a generalização dessa fórmula para todos os
elementos. Nesse mesmo ano, Paschen encontrou outra série de raias espectrais do hidrogênio, agora na
região do infra-vermelho, comprovando a predição de Ritz. As raias de Paschen eram dadas pela
expressão:
1
1
  R 2  2 
3 n 
(1.6)
onde n é um número inteiro maior que 3.
Observando as expressões obtidas para as diversas séries de raias, foi proposta uma fórmula
generalizada que hoje tem o nome de equação de Rydberg-Balmer:
1
1
  R 2  2 
m
n


(1.7)
onde: m e n são números inteiros: 1, 2, 3 etc, sendo m < n.
É interessante notar que, até 1898, eram conhecidas 329 riscas do espectro do hidrogênio,
sendo que todas elas poderiam ser determinadas pela equação (1.7), de Rydberg-Balmer.
Outras raias foram encontradas ainda, par o hidrogênio, e todas elas se adaptavam à fórmula
de Rydberg. Assim, em 1906, Lymann descobriu mais uma série de raias na região do ultra-violeta:
1 1 
  R  2  2  onde n = 2, 3, 4, etc.
1 n 
(1.8)
1
1
  R  2  2  onde n = 5, 6, 7, etc.
n 
4
(1.9)
1
1
  R  2  2  onde n 1, 6, 7, 8, etc.
5 n 
(1.10)
Em 1922, Brackett:
Em 1924, Pfund:
-7-
Mais impressionante ainda é que, fazendo-se o cálculo inverso, podia-se determinar o valor
da constante R, com uma precisão de 0,005%. De todos os valores de R, assim obtidos, o mais baixo era
de 1,09702.107 m-1 e o mais alto era de 1,09708.107 m-1. Hoje em dia, R é denominada constante de
Rydberg, e seu valor é de 1,096778.107 m-1.
Convém lembrar que, na primeira década do século atual, a fórmula empírica de
Rydberg-Balmer era aceita, pois correspondia aos fatos experimentais, porém, carecia de fundamentos
teóricos. Em 1913, Bohr estendeu o modelo atômico de Rutherford e deduziu a equação de Rydberg das
raias espectrais, que até então era uma fórmula empírica.
4. O ÁTOMO DE BOHR
Adotando o modelo de Rutherford, Bohr propôs, para o átomo de hidrogênio, um núcleo
que fosse formado por uma partícula positiva, e em torno dele girando, um elétron. Esse é o modelo
planetário, onde o núcleo é o sol e os elétrons os planetas. Admitiu que as leis de Newton e de Coulomb
fossem válidas, e igualou as forças centrípeta e eletrostática. A força coulombina de atração eletrostática
entre duas cargas q e q’ em um meio de constante dielétrica ou permissividade no vácuo o, é dada por
Fc 
q. q '
4 o r 2
1
.
(1.11)
sendo r a distância entre as cargas.
Admitindo que a carga do elétron é igual à carga do próton (em módulo) e representando
ambas pela letra e, e deixando de lado a constante 1/4o, temos:
e2
r2
Fc 
(1.12)
A força centrípeta (Fn), que atua sobre uma massa m que percorre um círculo de raio r com
uma velocidade v, é:
Fn 
mv 2
r
(1.13)
Igualando (1.12) com (1.13), obtemos:
mv 2 e2
 2
r
r
ou
mv 2 
e2
r
(1.14)
-8-
v
e
Fc
e+
r
Figura 1.3 - Representação das forças que atuam sobre o elétron no modelo de Bohr.
A equação (1.14) estabelece uma relação entre um par de variáveis: v e r. Se uma delas for
conhecida, a outra pode ser determinada. Nos casos macroscópicos, como o gravitacional e de força
eletrostática, não existe limitação alguma para escolha desse par de valores e o número de soluções é
infinito. No caso do átomo de hidrogênio, Bohr impôs uma condição restritiva, baseada nas idéias de
Planck e enunciou o seguinte postulado:
1o postulado de Bohr: Os elétrons do átomo só podem se encontrar sobre órbitas particulares para as
quais o momento angular é um múltiplo inteiro de h/2 , sendo h a constante de
Planck.
mvr 
nh
2
(1.15)
Isto significava que o elétron não pode ter qualquer velocidade e, portanto, ocupar
qualquer órbita. Somente poderia ocupar aquelas órbitas cujas velocidades satisfizerem a relação (1.15),
onde n é sempre um número inteiro positivo (n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... etc.).
n=1
n=2
n=3
ee-
e-
e+
Figura 1.4 - Órbitas possíveis do modelo de Bohr.
Explicitando o valor do raio da órbita do elétron no primeiro postulado de Bohr (equação
1.15) temos:
r
nh
2mv
(1.17)
-9-
e, substituindo-se em (1.14) tem-se:
mv 2 
e2
nh
2mv
ou ainda:
2 e2
nh
v
(1.19)
Ao escrevermos a lei de Coulomb, para facilidade de raciocínio, omitimos a constante
1/4o. Quando introduzida na equação (1.19), o valor correto da velocidade deve ser:
v
e2
2 o nh
(1.19a)
r
o n2h2
 me 2
(1.20)
Na equação acima o, h, , m e e são constantes, apenas n é um número inteiro que varia de
1 a . Nota-se, portanto, que o 1o postulado fixa as órbitas possíveis. A primeira tem raio r, obtido pela
equação (1.20) quando n = 1; a segunda r2 para n = 2; a terceira r3 para n = 3 e assim por diante.
Agora pode-se calcular a energia total En do elétron orbital. Pelo conceito clássico, a
energia total de uma partícula é a soma de sua energia cinética mais a sua energia potencial.
En  Ec  E p
Vamos, então, calcular Ec e depois Ep.
A equação de equilíbrio, das forças eletrostáticas e centrípeta, deve ser escrita corretamente,
desta forma:
mv 2
1 e2

r
4  o r 2
(1.21)
e, como Ec = mv2/2, temos:
Ec 
e2
8  o r
1
.
(1.22)
Por outro lado, a energia potencial, pelos conceitos clássicos, é igual ao produto das cargas
pelo inverso da distância:
Ep  
e2
4  o r
Somando-se (1.22) e (1.23), obtém-se a energia total En:
(1.23)
-10-
En  
e2
8  o r
(1.24)
e, como já conhecemos o valor de r (1.20):
En  
me4
2
8o n2 h2
(1.25)
Da mesma forma, o elétron de cada órbita tem um valor distinto de energia total, que
depende de n. Pelas equações (1.20) e (1.25), vê-se que quando n =  e En = 0, isto é, o elétron acha-se
tão longe do núcleo (elétron livre) e sua energia é considerada nula. Quanto menor n, menor o raio, mais
perto do núcleo se encontra o elétron e mais negativa sua energia.
A fim de explicar as raias espectrais emitidas pelo hidrogênio, Bohr enunciou o seu 2 o
postulado:
2o postulado de Bohr: O elétron não irradia energia enquanto permanece em uma de suas órbitas e
emite radiação quando passa de um estado mais elevado de energia para um
mais baixo; essa variação de energia é igual ao quantum de radiação emitida
hf.
Observação: também é válida a recíproca, isto é, um elétron só passa de um nível inferior para um nível
superior de energia quando absorve um quantum de radiação hf.
De acordo com o 2o postulado, se um elétron saltar de uma órbita superior para outra
inferior, liberará energia equivalente à diferença de energia dessas duas órbitas:
 E  Ei  E f  hf
(1.26)
sendo Ei a energia do elétron na órbita ni, e Ef a energia do elétron na órbita nf. A equação (1.25) nos
ensina como calcular a energia de um elétron do hidrogênio, numa da órbita n. Portanto, sabemos calcular
a diferença de energia entre essas duas órbitas, ni e nf:
  me4
 me4 
hf   2 2 2  2 2 2 
 8o h ni 8o h n f 
(1.27)
ou
hf 
me4
8o2 h2
1
1
 2  2
 n f ni 
(1.28)
ou
f 
me4  1
1
 2
2 3  2
8o h  n f ni 
(1.29)
onde f é a frequência da radiação eletromagnética emitida (ou absorvida) por um elétron que salta de uma
órbita de número ni para outra de número nf.
-11-
hf
(emitido)
e+
e-
hf
(absorvido)
Figura 1.5 - Emissão e absorção de um fóton pelo átomo, segundo a teoria de Bohr.
Uma vez obtida a equação (1.29), Bohr pôde dar uma explicação para as raias espectrais do
hidrogênio, bem como comprovar a fórmula empírica de Rydberg-Balmer e o valor da constante R.
Utilizando as definições (1.1) e (1.4), a equação (1.29) pode ser reescrita em termos de número de ondas e
ser comparada à equação (1.7) de Rydberg-Balmer:

me4  1
1
 2
2
3  2
8o ch  n f ni 
(1.30)
usando os valores conhecidos em m, e, 0, c e h, chegamos à conclusão de que esse termo constante da
fórmula (1.30) do modelo de Bohr é a constante de Rydberg:
R
me 4
8 o2 ch 3
(1.31)
R  1,096778 . 107 m1
Observação: o valor de R aqui dado é o de R, ou seja, o valor da constante, quando o núcleo tem massa
infinitamente maior do que a do elétron.
O fato da teoria de Bohr ter comprovado os dados experimentais até então obtidos
significou o triunfo de seu modelo para o átomo de hidrogênio.
Usando a fórmula de Bohr (1.30) ou a de Rydberg-Balmer (1.7) para diferentes valores de
ni, nf ou m, n, obtemos as raias das séries de Lymann, Balmer, Paschen, etc. Quando a teoria de Bohr foi
proposta somente eram conhecidas as séries de Balmer e Paschen, porém, sugeria e implicaria naquelas
que foram posteriormente encontradas.
Vejamos um exemplo de aplicação. Imaginemos que a teoria de Bohr vista até aqui é
correta e calculemos a energia de ionização (em joules) do hidrogênio atômico em seu estado
fundamental. Não falamos ainda em estado fundamental: este é o estado de energia mínima do elétron no
átomo, portanto, correspondendo à orbita de n = 1. Em um átomo ionizado, o elétron esta tão longe do
núcleo que considera-se este estado como o de uma órbita de raio infinito, ou n = . Logicamente, a
diferença de energia do elétron entre estes estados é a energia que precisa ser fornecida a um elétron para
ele ser arrancado do estado fundamental passando o átomo a ficar ionizado. Assim:
1
1
  R 2  2   R  1,096778 . 107 m-1
1  
-12-

1
 9,1176 . 10 6 cm

Portanto se um elétron saltar de uma órbita de n = , para n = 1, ele emitirá uma radiação
eletromagnética (fóton) de 911,76 Å e, ao contrário, para ionizar um átomo de H com o elétron no estado
fundamental, ele precisa absorver um fóton de 911,76 Å. A energia será:
6,624 . 1027 erg. s  3 . 1010 cm / s


9,1176  10-6 cm
 2,18 . 1011 erg  2,18 . 1011 erg  2,18 . 1018 J = 13,6eV
E  hf 
h. c

A Figura 1.6 é um esquema dos diversos saltos possíveis no átomo de Bohr, indicando os
saltos responsáveis pelas diversas raias espectrais observadas em experiências de descarga elétrica em
hidrogênio rarefeito.
-1
cm
n
110 000
8
7
6
5
eV
0
4
3
2
- 5,00
- 10,00
0
1
- 13,59
Figura 1.6a - Níveis energéticos do átomo de hidrogênio (as setas representam algumas transições
permitidas).
-13-
diminui
Espectro
E fóton
aumenta
n= 3
n= 2
n= 1
Figura 1.6b - Relação entre estrutura atômica e espectro dos saltos quânticos dos níveis n = 3 e n = 2
para n = 1
5. COMENTÁRIOS SOBRE O MODELO DE BOHR
Dois fatos apenas bastam para que se possa dar a Bohr o tributo da genialidade, pois por si
só mostram a importância de seu trabalho. Primeiro, Bohr não introduziu em toda a sua teoria uma só
constante nova; pelo contrário, demostrou ser a constante empírica de Rydberg uma associação de
constantes físicas bem conhecidas. Ainda mais, quando postulou que o momentum angular do elétron era
igual a nh/2i, o fez de uma maneira simples, multiplicando um número inteiro por constantes conhecidas
e não por uma grandeza arbitrária. O número n é hoje conhecido como número quântico principal.
O outro fato impressionante é a maneira com que Bohr se utilizou da teoria clássica quase
que na totalidade de seu trabalho.
O modelo atômico de Bohr tem uma importância científica considerável, conforme já ficou
demonstrado, porém, apresenta sérias limitações quando se pretende extender esse modelo aos demais
átomos não hidrogenóides. Com átomos contendo mais de um elétron, foram observados sérias
discrepâncias entre os comprimentos de onda das raias espectrais emitidas e os comprimentos de onda
calculados.
Foi, porém, com base nos postulados de Bohr, os quais não tinham justificativa teórica, que
a Física pôde se desenvolver. A teoria de Bohr foi ampliada, revisada e, apesar das sérias modificações
introduzidas, permanecia incompleta, pois não explicava todos os fenômenos observados. Constatou-se
então que a deficiência era do modelo, o qual não representava a realidade da natureza.
As limitações do modelo de Bohr foram o ponto de partida para desenvolvimento da
Mecânica Quântica, cujos conceitos muito mais amplos, explicam a estrutura do átomo. Entretanto, as
equações obtidas através da Mecânica Quântica não permitem a visualização de um “modelo” de átomo e
é por isso que o modelo planetário de Bohr permanece como uma necessidade para a compreensão da
teoria atômica.
-14-
No átomo de hidrogênio, a massa do elétron não pode ser considerada infinitamente menor
do que a massa do próton. Portanto, devemos levar em consideração o movimento do núcleo em torno do
centro de massa do sistema e, nestas condições, a definição de massa reduzida  precisa ser incluída no
modelo.

m. M
m M
(1.32)
Usando este conceito de massa reduzida, a equação (1.31) pode ser escrita na forma:
R
e4m
1
.
2
3
8 o ch 1  m
M
(1.33)
e verifica-se que a constante de Rydberg é dependente da relação m/M e é portanto diferente para núcleos
diferentes. O valor máximo da constante será quando M = , e, então, R = R
R 
e4 m
8o2 ch 3
(1.34)
Até agora. Deduzimos tudo para o átomo de hidrogênio; porém, a fórmula de Bohr, pode
dar boas indicações para todos os átomos hidrogenóides. Por exemplo, o He + (ionizado), o Li2+
(duplamente ionizado), o Be3+ (triplamente ionizado), etc. Para usarmos a fórmula de Bohr para esses
casos, precisamos introduzir um fator que indique o número de cargas elétricas em jogo. No caso, esse
número é o próprio Z, deve ser incluído logo no início da dedução, multiplicando as cargas elétricas: Ze.
Se assim fizermos, teremos a fórmula generalizada de Bohr para todos os átomos hidrogenoides:

Z 2e4 m
1 1
1
.
 2  2
2
3
m
8 o ch 1 
 n f ni 
M
(1.35)
ou
  Z 2 R .
1
1

m  n 2f ni2 


1
M
1
(1.36)
onde M é a massa do elemento de número atômico Z considerado.
Um exame dessa última equação nos leva a tirar pelo menos três conclusões
importantíssimas:
1. séries espectrais semelhantes ao do hidrogênio devem existir para íons com estrutura semelhante - os
hidrogenoides; (essas linhas de fato são observadas);
2. podemos deduzir a relação entre a massa do próton e a do elétron a partir dos valores obtidos das
constantes de Rydberg para o hidrogênio e para o hélio ionizado;
3. isótopos (átomos de igual número atômico Z e massas diferentes) devem apresentar linhas espectrais
diferentes. Este fato levou à descoberta do deutério.
-15-
Na sua teoria, Bohr explica o comportamento de um elétron do átomo de hidrogênio, em
órbita circular fixa. Mais tarde, o próprio Bohr e Sommerfeld. Em 1915, admitiram a existência de órbitas
elípticas, onde o núcleo do átomo ocupasse um dos focos. Com o conceito de órbitas elípticas, poder-se-ia
concluir que podem existir vários conjuntos de órbitas com momentos angulares diferentes, porém, com a
mesma energia. Isso levou Sommerfeld a manter n como o número quântico que representa a separação
média entre o elétron e o núcleo, porém, obrigou-o a introdução de mais um número quântico ( ), o
orbital. O número quântico orbital ( ) indica o número de unidades de momento angular h/2, associado
a um elétron, em dada órbita. Um terceiro número quântico foi depois introduzido: o magnético (m), para
indicar o plano da órbita. Finalmente, em 1925, o quarto número quântico-spin (s) foi introduzido, para
indicar o sentido de revolução do elétron em torno do seu próprio eixo. O estado energético de um elétron
orbital é, então, caracterizado por um conjunto de números quânticos (n, , m, s).
Outra generalização importante introduzida na teoria original foi feita por Pauli em 1925 e
que recebeu o nome de Princípio de Exclusão:
num átomo não podem existir dois elétrons, cujos
conjuntos de números quânticos sejam idênticos.
Para o hidrogênio, isso pode não ter muito significado, pois só possui um elétron, porém, o
princípio de Pauli é que permite compreender se a estrutura eletrônica dos outros átomos, bem como o seu
comportamento químico. Se o princípio estabelece que não podem existir dois elétrons com conjuntos
idênticos, isso significa que não podem existir dois elétrons com idênticas condições energéticas.
Um conjunto de partículas (o átomo, por exemplo) é estável quando a sua energia total for
mínima. O lógico, seria imaginar que num átomo complexo, o urânio, por exemplo, todos os seus elétrons
(92) se situassem na primeira órbita, o que daria ao sistema, o nível mais baixo de energia. Porém, o
princípio de Pauli nos indica a impossibilidade de coexistência de elétrons de mesma energia. Baseado
nisso é que foi possível o desenvolvimento da teoria sobre a estrutura extra-nuclear, dividindo-se os
elétrons em camadas (K, L, M, N, O) e em sub-camadas, caracterizadas pelos números quânticos.
6. ONDAS ESTACIONÁRIAS DE DE BROGLIE
Em 1900, Planck lançou a teoria de que a luz se comporta como partícula, o que foi,
aplicada por Einstein, através do estudo do efeito foto-elétrico. Esse fato não é muito difícil de se
entender, visto que desde o século passado já se sabia calcular a energia de uma onda luminosa e a
“pressão da radiação”. Foi demonstrado que as partículas de massa de repouso * nula possuem energia e
momentum e, portanto, têm inércia, que é o atributo essencial da massa. Portanto, a conclusão de que a
onda se comporta como partícula não é de todo surpreendente.
*
massa de repouso mo: através de conceitos relativíssimos, demonstra-se que a massa m de uma partícula depende de sua
velocidade v:
m
mo
1  v 2 / c2
- quando v = 0, partícula parada, a equação acima se reduz a m = mo;
- quando v = c, velocidade da luz, considerada como velocidade limite de qualquer partícula, teremos m = . Existem partículas
cuja massa m a uma velocidade v é tal que quando esta partícula pára (repouso) sua massa m o é nula. São partículas de massa
de repouso nula.
-16-
Surpreendente mesmo foi a idéia de De Broglie em 1924, dizendo que a recíproca também
é verdadeira, isto é que a matéria se comporta como onda e, por isso, a ela se associa uma frequência e um
comprimento de onda, dadas pelas mesmas relações já conhecidas:
f 
E
h
(1.2)

h
p
(1.37)
onde E = energia
p = momentum = mv
Um ano após, Davidson e Germer descobriram a difração de elétrons, provando, portanto, a
idéia de De Broglie.
No modelo planetário de Bohr, um elétron gira em torno do núcleo, numa órbita tal que as
forças centrípeta e coulombina se anulam. Suponhamos que no lugar do elétron tenhamos uma onda, tal
qual previu De Broglie. Para que essa idéia seja válida, é necessário que o comprimento da circunferência
seja exatamente igual a um número inteiro (n) de comprimento de ondas
2r  n
(1.38)
e como

h
mv
(1.37)
2r  n
h
mv
(1.39)
mvr  n
h
2
(1.15)
fica
que é a própria expressão do primeiro postulado de Bohr. Tivesse Bohr na sua época conhecimento da
natureza ondulatória de matéria, essa relação não teria sido um postulado e sim uma equação deduzida.
Á não idealidade do modelo atômico proposto por Bohr, mesmo depois de ampliado, como
já vimos, sugeria que se imaginasse outro modelo.
O conceito de elétrons girando em órbitas teve que ser abandonado, pois em 1927
Heisemberg divulgou o seu célebre princípio da incerteza, que pode ser expresso pela relação
x. p  h
(1.40)
onde x e p são as mínimas incertezas possíveis na medição simultânea da posição e do momentum de
uma partícula, e h a constante de Planck. Este princípio mostra que, em se tratando de dimensões
atômicas, que as incertezas de medir simultaneamente a posição e a velocidade do elétron são
suficientemente grandes para invalidar o conceito de órbitas.
-17-
Contudo, utilizando-se do princípio da incerteza, pode-se, através de um tratamento
estatístico, determinar quais as probabilidades de determinado elétron estar em determinadas situações. O
conjunto dessas probabilidades define o orbital, cujo conceito é hoje aceito. Esse tratamento estatístico é
também desenvolvido com base na equação de ondas, que descreve corretamente o comportamento de um
elétron orbital.
Deve-se frisar também que estas idéias desenvolvidas constituem hoje a Mecânica
Ondulatória Quântica, onde as teorias de Schroendinger, Dirac, etc. são pilares mestres.
Finalmente, devemos ter em mente que o modelo atômico de Bohr, apesar de suas
limitações, é ainda hoje utilizado para o estudo do átomo e para a resolução de importantes problemas da
Física Atômica e Nuclear.
EXERCÍCIOS
1. Conceituar: raia espectral e série.
2. Por que a série de Balmer foi a primeira a ser descoberta?
3. Um estudante deseja construir um modelo aproximado, em escala, da distribuição dos núcleos em uma
mono camada de ouro e resolve usar bolinhas de gude com diâmetro de 1,5 cm para representar os
núcleos. A que distância uma das outras deve colocar as bolinhas? Tomar como dados:
- diâmetro do núcleo de ouro  7 x 10-15 metros
- diâmetro do átomo de ouro  10-10 metros
4. Calcule a força de repulsão entre uma partícula  e o núcleo de ouro, quando essa partícula se
aproximar de uma distância igual ao diâmetro do núcleo. Considere os núcleos como puntuais.
5. Qual é a força de atração entre um elétron e o núcleo de hidrogênio se o raio da órbita for de 0,533 x
10-10 metros?
6. Qual é a velocidade linear do elétron se a força centrípeta equilibrar a força coulombiana? Considere a
átomo do hidrogênio.
7. Qual será a energia cinética de rotação no problema anterior?
8. Calcule o raio da órbita e a velocidade do elétron do átomo de hidrogênio para n = 1, 2, 3, etc.
9. Calcule a energia emitida por um elétron que executa um salto quântico da órbita n = 3 para a órbita
n = 1.
10. Calcule a frequência e o comprimento de onda dessa radiação emitida.
11. De quantas maneiras possíveis um elétron pode passar do estado n = 3 para o fundamental?
12. Quando iluminado, o hidrogênio é capaz de absorver energia de um fóton. O que aconteceria se o
elétron absorvesse 16 eV?
13. E se absorvesse um fóton com energia 10 vezes menor? (para este caso, considere o elétron no estado
fundamental).
14. Calcule o valor da constante de Rydberg para os átomos de hidrogênio, deutério e hélio.
15. Qual é o comportamento de onda de raios X cujos fótons têm energia de 14 keV?
-18-
16. Que energia deve ter o elétron para que seu comprimento de onda de De Broglie seja igual ao
comprimento de onda dos raios X de 40000 eV?
17. E bolas de futebol?
18. A luz vermelha tem um comprimento de onda de aproximadamente 6500 Å:
a) calcule a sua frequência;
b) calcule, em Joules, a energia do fóton.
UNIDADES, CONSTANTES, CONVERSORES, ETC.
massa de repouso do elétron: moe = 9,11 x 10-28 g = 9,11 x 10-31 kg
carga do elétron: e = 1,6 x 10-19 coulomb = 4,8 x 10-10 ues
constante de Planck: h = 6,625 x 10-34 joule segundo = 6,625 x 10-27 erg.seg
velocidade da luz no vácuo: c = 2,998 x 108 metros/segundo = 2,998 x 1010 cm/seg
constante de Rydberg (infinita): R = 1,097 x 107 m-1 = 1,097 x 105 cm-1
elétron-volt: eV = 1,6 x 10-19 joule = 1,6 x 10-12 erg
permitividade do vácuo: o = 8, 854 x 10-12 coulomb2 newton-1 metro-2 = 7,96 x 10-2 ues2.dina-1.cm-2
o 
1
1
N 1. m 2 . C 2 
dina 1. cm1. ues2
36 .109
4
1
 9 x 109 N . m2 . c  2  1 dina. cm2 . ues 2
4o
1 C = 3.109 ues