Aula 03

CÁLCULO I
Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. André Almeida
Aula no 03: Operações com funções. Funções Polinominais, Racionais e Trigonométricas
Objetivos da Aula
• Denir operações com funções;
• Apresentar algumas funções essenciais;
• Reconhecer, através do gráco, a função que ele representa;
• Reconhecer características de cada função.
1 Operações com Funções
Duas funções f e g podem ser combinadas para formar novas operações, tais como f + g , f − g , f g ,
f /g de forma semelhante àquelas operações com números reais, que denimos na Aula 01. Vejamos a
seguir, como estas operações são denidas.
Denição 1. Dada as funções:
f :A→R
e
g : B → R,
com A e B subconjuntos de R e A ∩ B ̸= o/, denimos as seguintes operações:
1.1 (Soma) A soma de f com g é a função: f + g : A ∩ B → R, cuja regra é dada por
(f + g)(x) = f (x) + g(x).
1.2 (Multiplicação por um escalar) O produto de f por um escalar (número real) c é a função:
cf : A → R, cuja regra é dada por
(cf )(x) = c · f (x).
1.3 (Produto) O produto de f com g é a função: f g : A ∩ B → R, cuja regra é dada por
(f g)(x) = f (x) · g(x).
1.4 (Quociente) O quociente de f com g é a função:
dada por
( )
f
g
f
g
(x) =
: {x ∈ A ∩ B | g(x) ̸= 0} → R, cuja regra é
f (x)
.
g(x)
Exemplo 1. Considere as funções f (x) = x3 − x2 e g(x) = 4x2 − 1, encontre:
(a) f + g
(b) 4f
(c) f g
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(d) f /g
Solução: Note que f e g são funções cujo
é R, logo o domínio de f + g , 4f e f g será R.
{ domínio
}
Entretanto, para f /g , o domínio será R − − 12 , 12 , tendo em vista que para a divisão de frações temos a
restrição de que g(x) ̸= 0. Assim, temos que:
(a) (f + g)(x) = f (x) + g(x) = (x3 − x2 ) + (4x2 − 1) = x3 + 3x2 − 1, ∀ x ∈ R.
(b) 4f (x) = 4(x3 − x2 ) = 4x3 − 4x2 , ∀ x ∈ R.
(c) (f g)(x) = f (x).g(x) = (x3 − x2 ) · (4x2 − 1) = 4x5 − 4x4 − x3 + x2 , ∀ x ∈ R.
( )
}
{
f
f (x)
x3 − x2
(d)
(x) =
= 2
, ∀ x ∈ R − − 21 , 12 .
g
g(x)
4x − 1
Existe outra maneira de combinar duas funções para obter uma nova função. Por exemplo, podemos
escrever y em função de x quando, y = f (u) (y é uma função de u) e u = g(x) (u é uma função de x),
a partir da substituição de uma função na outra. A este método, denominamos composição de funções.
Segue a denição:
Denição 2 (Composição de funções). Dada duas funções f e g , tal que a imagem de f é subconjunto do
domínio de g , a função composta de f com g , denotada por g ◦ f (x) é denida por;
g ◦ f : A → R,
cuja regra é dada por:
(g ◦ f )(x) = g(f (x)).
Simbolicamente:
D(g ◦ f ) = {x ∈ D(f ) | f (x) ∈ D(g)}.
A gura 1 mostra como visualizar a composição de duas funções:
g
f
x
f(x)
g(f(x))
fog
Figura 1: Composição de Funções
Observação 1. É comum usar a notação f 2 para f ◦ f , f 3 para f ◦ f ◦ f . No geral, para um inteiro n ≥ 1,
denimos f n = f n−1 ◦ f e f 0 = I , onde I é a função identidade de A.
Exemplo 2. Sejam f (x) =
√
x e g(x) = x − 1. Encontre g ◦ f .
Solução: Temos que:
√
√
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g( x) = x − 1.
Como D(f ) = [0, +∞) e Im(f ) = [0, +∞) ⊂ D(g) = R, então
D(g ◦ f ) = D(f ) = [0, +∞).
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Exemplo 3. Sejam f (x) = x +
o
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1
x+1
e g(x) =
. Encontre (f ◦ g)(x) e seu respectivo domínio.
x
x−4
Solução: Temos que:
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = g(x) +
1
x+1 x−4
(x + 1)2 + (x − 4)2
2x2 − 6x + 17
=
+
=
=
.
g(x)
x−4 x+1
(x − 4)(x + 1)
(x − 4)(x + 1)
O domínio de (f ◦ g)(x) é R − {−1, 4}.
Exemplo 4. Sejam as funções:

 0, se, x < 0
x2 , se, 0 ≤ x ≤ 1
f (x) =

0, se, x > 1


1, se, x < 0
2x, se, 0 ≤ x ≤ 1
g(x) =

1, se, x > 1
e
Determinar f ◦ g .
Solução: Note que
• Se x < 0, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (1) = 12 = 1.
• Se 0 ≤ x ≤ 1, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (2x).
Para 0 ≤ x ≤ 12 , temos 0 ≤ 2x ≤ 1. Logo, neste caso, (f ◦ g)(x) = f (2x) = 4x2 .
Para 12 ≤ x ≤ 1 temos 2x > 1. Assim, para este caso, (f ◦ g)(x) = 0.
• Se x > 1, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (1) = 1.
Logo:




1,
4x2 ,
(f ◦ g)(x) =
0,



1,
se,
se,
se,
se,
x<0
0 ≤ x ≤ 1/2
1/2 < x ≤ 1
x>1
O domínio de (f ◦ g)(x) é R.
2 Funções Elementares
Existem vários tipos de funções que podem modelar problemas e situações do cotidiano. Apresentaremos,
a seguir, algumas funções elementares e que serão muito utilizadas ao longo deste curso.
2.1
Funções Polinomiais
Denição 3 (Função Polinomial). Uma função f cuja regra é dada por:
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0
onde n é um número inteiro não negativo e an , an−1 , an−2 , ..., a2 , a1 , a0 são números reais (ou constantes)
chamados de coecientes do polinômio, é chamada polinomial. O número inteiro n é chamado grau do
polinômio.
Dependendo do grau do polinômio, temos algumas classes de funções polinomiais que são muito conhecidas e que já foram amplamente discutidas no ensino médio. A seguir, mostraremos algumas dessas
funções e seus respectivos grácos.
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Exemplo 5 (Função Polinomial do 1 Grau ou Função Am). A função polinomial do 1o grau (ou simplesmente função do 1o grau) é toda função que associa um número real x ao valor númerico do polinômio
ax + b, com a ̸= 0. Os números reais a e b são chamados, respectivamente, de coeciente angular e
coeciente linear. Simbolicamente:
o
f: R → R
x 7→ ax + b
O gráco da funçãof (x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos coordenados. A depender do valor
de a, a função f (x) pode ser dita crescente (para a > 0) ou decrescente (para a < 0). Observe, a seguir,
o gráco da função do 1o grau.
Figura 2: Grácos da Função Am. À esqueda, temos o gráco de uma função crescente e à direita, o
gráco de uma função decrescente.
Exemplo 6 (Função Polinomial do 2 Grau ou Função Quadrática). A função polinomial do 2o grau (ou
simplesmente função do 2o grau) é denida por:
o
f: R → R
x 7→ ax2 + bx + c,
com a ̸= 0. O gráco desta função é uma parábola, com eixo de simetria paralelo ao eixo y . Se o
coeciente de x2 for positivo (a > 0), a parábola tem concavidade voltada para cima, enquanto que, se o
coeciente de x2 for negativo (a < 0), a parábola tem concavidade voltada para baixo.
Observe, a seguir o gráco da função do 2o grau:
Figura 3: Grácos da Função Quadrática. À esqueda, temos o gráco de uma função quadrática com
a > 0 e à direita, o gráco de uma função quadrática com a < 0.
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Na função quadrática, a interseção do gráco com o eixo de simetria é um ponto chamado vértice. Este
ponto pode ser considerado máximo (quando a parábola tem concavidade voltada para baixo) ou mínimo
(quando a parábola tem concavidade voltada para cima).
Exemplo 7 (Função Polinomial do 3 Grau ou Função Cúbica). A função polinomial do 3o grau (ou
simplesmente função do 3o grau) é denida por:
o
f: R → R
x 7→ ax3 + bx2 + cx + d,
com a ̸= 0.
O gráco da função cúbica será apresentado a seguir.
Figura 4: Gráco da Função Cúbica
2.2
Funções Racionais
Denição 4 (Função Racional). Uma função racional f é a razão de dois polinômios:
f (x) =
P (x)
,
Q(x)
em que P e Q são polinômios. O domínio consiste em todos os valores de x tais que Q(x) ̸= 0.
Exemplo 8. A função f (x) =
x−1
é uma função racional, cujo domínio é R − {−1}. Observe o gráco:
x+1
Exemplo 9. A função f (x) =
o gráco:
(x2
(x2
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+ 3x −
− 9)
é racional e seu domínio é R − {−4, −3, 3}. Observe
+ x − 12)(x + 3)
4)(x2
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Figura 5: Gráco da Função f (x) =
Figura 6: Gráco da Função f (x) =
o
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x−1
x+1
(x2 + 3x − 4)(x2 − 9)
(x2 + x − 12)(x + 3)
2.3
Função Potência
Denição 5 (Função Potência). Uma função da forma:
f (x) = xα ,
onde α é uma constante, é chamada função potência. Se α = 1, 2, 3, ..., dizemos que a função potência é
uma função polinomial. Se α = 1/n, com n positivo, dizemos que a função é racional e se n é negativo,
dizemos que o gráco é da função recíproca.
Exemplo 10. A função f (x) =
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√
x é uma função raiz, onde α = 1/2. Observe o gráco:
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Figura 7: Gráco da Função f (x) =
o
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√
x
1
Exemplo 11. A função f (x) =
é uma função potência. Entretanto, observe que para todo x > 0,
x o
o gráco da função encontra-se no 1 quadrante do plano cartesiano e, podemos considerá-la como uma
função raiz. Já para todo x < 0, o gráco da função encontra-se no 3o quadrante do plano cartesiano e,
podemos considerá-la uma função recíproca. Observe:
Figura 8: Gráco da Função f (x) =
1
x
Observação 2. Uma função f é dita algébrica se puder ser construída por meio de operações algébricas
(soma, multiplicação, divisão e extração de raízes) envolvendo a função identidade e funções constantes.
As funções não algébricas são chamadas de transcendentes. Como exemplo de funções transcendetes,
podemos citar as funções trigonométricas, exponeciais e logarítmicas, que serão apresentadas a seguir.
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2.4
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Funções Trigonométricas
Dado um número real θ, considere o ângulo orientado, em posição padrão, cuja medida em radianos é
θ e P (x, y) a interseção do lado terminal deste ângulo com o círculo unitário x2 + y 2 = 1.
Figura 9: Círculo unitário x2 + y 2 = 1
Deniremos a seguir, as funções trigonométricas.
Denição 6 (Função Seno). A função seno é uma função f de R em R que associa cada x ∈ R ao número
real y = sen x, isto é,
f: R → R
x 7→ y = sen x.
O domínio de f (x) = sen x é R e o conjunto imagem é o intervalo [−1, 1]. Como esta função está
denida no círculo unitário, é possível notar que existe um padrão de repetição da imagem, para cada
x ∈ R. Este padrão de repetição é denominado de período e ocorre a cada 2π . O gráco de f (x) = sen x,
denominado de senóide, pode ser visualizado a seguir.
Figura 10: Gráco de f (x) = sen x.
Denição 7 (Função Cosseno). A função cosseno é uma função f de R em R que associa cada x ∈ R ao
número real y = cos x, isto é,
f: R → R
x 7→ y = cos x.
De forma semelhante à função seno, o domínio da função cosseno é R e o conjunto imagem é o intervalo
[−1, 1]. Como esta função também está denida no círculo unitário, é possível notar que existe um padrão
de repetição da imagem, para cada x ∈ R. Este padrão de repetição é denominado de período e ocorre a
cada 2π . O gráco de f (x) = cos x, denominado de cossenóide, pode ser visualizado a seguir.
Figura 11: Gráco de f (x) = cos x.
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As funções tangente, cotangente, secante e cosecante, apresentadas a seguir, serão denidas em termos
de seno e cosseno.
Denição 8 (Função Tangente). Para todo número real x, tal que cos x ̸= 0, denimos a função tangente
(denotada por tg x) pela regra:
sen x
f (x) = tg x =
.
cos x
O domínio da função tangente é o conjunto de todos os números reais x, para os quais cos x ̸= 0. Ou
seja, para todo x na forma π2 + kπ , com k ∈ Z, a função tangente não estará denida. Gracamente.
Figura 12: Gráco de f (x) = tg x.
Denição 9 (Função Secante). Para todo número real x, tal que cos x ̸= 0, denimos a função secante
(denotada por sec x) pela regra:
f (x) = sec x =
1
.
cos x
O domínio da função secante é o conjunto de todos os números reais x, para os quais cos x ̸= 0. Ou
seja, para todo x na forma π2 + kπ , com k ∈ Z, a função secante não estará denida. Gracamente:
Figura 13: Gráco de f (x) = sec x.
Denição 10 (Função Cotangente). Para todo número real x, tal que sen x ̸= 0, denimos a função secante
(denotada por cotg x) pela regra:
f (x) = cotg x =
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tg x
=
cos x
.
sen x
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O domínio da função cotangente é o conjunto de todos os números reais x, para os quais sen x ̸= 0.
Ou seja, para todo x na forma kπ , com k ∈ Z, a função cotangente não estará denida. Gracamente:
Figura 14: Gráco de f (x) = cotg x.
Denição 11 (Função Cossecante). Para todo número real x, tal que sen x ̸= 0, denimos a função secante
(denotada por cossec x) pela regra:
f (x) = cossec x =
1
sen x
.
O domínio da função cossecante é o conjunto de todos os números reais x, para os quais sen x ̸= 0. Ou
seja, para todo x na forma kπ , com k ∈ Z, a função cossecante não estará denida. Gracamente:
Figura 15: Gráco de f (x) = cossec x.
3 Função Exponencial e Função Logarítmica
Apresentaremos nesta seção a função exponencial e a sua inversa, a função logarítmica.
3.1
Função Exponencial
Denição 12 (Função Exponencial). Seja a um número positivo diferente de 1. A função
f (x) = ax
é a função exponencial com base a.
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Gracamente, temos:
Figura 16: Grácos da Função Exponencial. À esqueda, temos o gráco de uma função exponencial
com a > 1 e à direita, o gráco de uma função quadrática com 0 < a < 1.
Note que o domínio de f (x) é R e a imagem é R∗+ .
Observação 3. As funções exponenciais seguem as regras dos expoentes:
Regras de Exponenciação.
Se a > 0 e b > 0, as armações a seguir são verdadeiras para quaisquer x, y ∈ R.
1. ax · ay = ax+y
2.
ax
= ax−y
ay
3. (ax )y = axy
4. ax · bx = (ab)x
5.
ax ( a )x
=
bx
b
Observação 4. A função exponencial mais importante para a modelagem de vários fenômenos naturais,
físicos, químicos e econômicos, é a função exponencial natural, cuja base é o famoso número e, que é
aproximadamente igual a 2,718281828. Deniremos melhor o número e nas próximas aulas.
3.2
Função Logarítmica
Se a é um número real qualquer positivo diferente de 1, a função exponencial f (x) = ax de base a é
injetora e, portanto, possui uma função inversa. Sua função inversa é denominada função logarítmica de
base a.
Denição 13 (Função Logarítmica). A função logarítmica de base a
f (x) = loga x
é a função inversa da função exponencial y = ax (com a > 0 e a ̸= 1) de base a.
O gráco de f (x) = loga x pode ser obtido reetindo-se o gráco de y = ax na reta y = x. Observe:
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Figura 17: Na imagem, a curva vermelha representa o gráco de uma função logarítmica.
Note que, o domínio da função logarítmica é R∗+ , o que corresponde à imagem da função exponencial.
Da mesma forma, a imagem da função logarítmica é R, o domínio da função exponencial.
Os logaritmos de base e e base 10 possuem notações e nomes especícos:
log10 x é escrito como log x
loge x é escrito como ln x.
A função y = ln x é denominada função logaritmo natural, e a função y = log x é normalmente
denominada como função logarítmica comum.
3.2.1 Propriedades dos Logaritmos
Como as funções ax e loga x são inversas uma da outra, compô-las em qualquer ordem resulta na função
identidade. Observe:
Propriedades das Inversas para ax e loga x
1. Base a: aloga x , loga ax = x, a > 0, a ̸= 1 e x > 0.
2. Base e: eln x = x, ln ex = x, x > 0.
As funções logarítmicas possuem as propriedades aritméticas a seguir:
Propriedades dos Logaritos
Para qualquer número real x > 0 e y > 0, temos:
1. (Regra do Produto) loga xy = loga x + loga y
( )
x
2. (Regra do Quociente) loga
= loga x − loga y
y
3. (Regra da Potenciação) loga xy = y loga x
4. (Mudança de Base) loga x =
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ln x
.
ln a
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4 Funções Denidas por Partes
As funções denidas por fórmulas distintas em diferentes partes de seus domínios são chamadas funções
denidas por partes. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 12. Seja a função denida por:
f (x) =
{
x2 , se, x ≥ −1
1 − x, se, x < −1
O domínio desta função é R e como imagem, o intervalo [0, +∞). Gracamente:
Figura 18: Gráco de f (x).
O próximo exemplo de função denida por partes é a função modular. Lembre-se que, como mostramos
na Aula 01, o módulo de um número real x é a distância de x até o 0, na reta real.
Exemplo 13 (Função Modular). Seja:
{
f (x) = |x| =
x, se, x ≥ 0
−x, se, x < 0
O gráco da função modular é:
Figura 19: Gráco de f (x) = |x|.
Observe que o domínio da função modular é o conjunto R e a imagem desta função é o conjunto R+ .
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Exemplo 14 (Função Heaviside). A Função Heaviside, muito utilizada na eletricidade para representar
chaves que ligam e desligam, é denida por:
{
H(t) =
0, se, t < 0
1, se, t ≥ 0
Note que o domínio desta função é R e a imagem é o conjunto {0, 1}, formado apenas de dois elementos.
Representamos gracamente esta função a seguir.
Figura 20: Gráco de H(t).
Exemplo 15 (Função Maior Inteiro ou Função Escada). A função maior inteiro denotada entre colchetes e
denida por:
f (x) = [x], ∀ x ∈ R
representa o maior inteiro que é menor que x. Atribuindo alguns valores para x, ela tem como imagem
números inteiros . Por exemplo: [0, 8] = 0, [1, 5] = 1, [−1, 75] = −2, [−0, 4] = −1, [π] = 3, etc.
Gracamente, temos:
Figura 21: Gráco da Função Maior Inteiro.
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula. Dena duas funções e efetue com estas
todas as operações denidas nesta aula.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula no Capítulo 1 - Seções 1.2 e 1.3 e Apêndice D do livro texto.
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Dica importante
Caso você queira plotar computacionalmente alguns grácos, utilize o Widget Plotador de Funções,
disponível em:
http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=65c6cd63f9c7a97d36b6648b1795f35e
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios 1.2 e 1.3 e os do Apêndice D do livro texto.
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