Distribuição de probabilidade binomial

Distribuições probabilísticas
Professora Ana Beatriz Franco Sena
Disciplina: Bioestatística
Distribuições binomiais
Um experimento binomial é um experimento de probabilidade que
preenche os seguintes critérios:
1 – é repetido por um número fixo de tentativas, onde cada tentativa é
independente das outras.
2 – há apenas dois resultados possíveis de interesse para cada tentativa. Os
resultados podem ser classificados como sucesso (S) ou fracasso (F).
3 – a probabilidade de um sucesso P(S) é a mesma para cada tentativa.
4 – a variável aleatória discreta x contabiliza o número de tentativas com
sucesso.
Distribuições binomiais
n - número de vezes que uma tentativa é repetida
p = P(S) – a probabilidade de sucesso em uma única tentativa
q = P(F) – a probabilidade de fracasso em uma única tentativa
(q = 1 – p)
x – a variável aleatória x representa a contagem dos números de
sucessos nas tentativas
Exemplo
De um baralho de cartas comum, você pega uma carta,verifica se o naipe
é de paus ou não, e devolve a carta ao baralho. Você repete o
experimento cinco vezes, então n = 5. O resultado para cada tentativa
pode ser classificado como sucesso ou fracasso.
S - tirar uma carta de paus
F – tirar uma carta que não seja de paus.
p = P (S) = ¼
q = P (F) = ¾
x representa o número de naipes de paus selecionados nas 5 tentativas.
1ª tentativa: 10 de copas (F)
2ª tentativa: 9 de paus
(S)
3ª tentativa: 2 de espadas (F)
4ª tentativa: 5 de ouros
(F)
5ª tentativa: dama de paus (S)
x= 2
Exercícios
Decida se o experimento é binomial ou não. Caso ele sejam especifique
os valores de n, p e q e liste todos os valores possíveis para a variável
aleatória x. Caso ele não seja, explique o porquê.
Experimento 1: Um dado procedimento cirúrgico tem 85% de chance de
sucesso. Um médico realiza o procedimento em oitos pacientes. A variável
aleatória representa o número de cirurgias com sucesso.
Experimento 2: Uma jarra contém cinco bolinhas de gude vermelhas, nove
azuis e seis verdes. Você escolhe três bolinhas aleatoriamente, sem reposição. A
variável aleatória representa o número de bolinhas de gude vermelhas.
Experimento 3: Você faz um teste de múltipla escolha que tem 10 questões.
Cada questão tem 4 respostas possíveis, mas somente uma é correta. Para
completar o teste, você escolhe uma resposta aleatoriamente para cada uma
das questões. A variável aleatória representa o número de respostas corretas.
Fórmula de probabilidade binomial
Há várias formas de encontrar a probabilidade de x sucessos em n tentativas de
um experimento binomial. Uma forma é usar um diagrama de árvore e a regra de
multiplicação. Outra forma é usar a fórmula de probabilidade binomial.
Em um experimento binomial, a probabilidade de exatamente x sucessos em n
tentativas é:
P=
n!
(n-x)! x!
px qn-x
Exemplo
Cirurgias de microfraturas no joelho têm 75% de chance de sucesso em
pacientes com joelhos degenerativos. A cirurgia é realizada em três pacientes.
Encontre a probabilidade de a cirurgia ser um sucesso exatamente em dois
pacientes.
P=
n!
px qn-x
(n-x)! x!
n = 3 / p = ¾ / q = ¼ /x = 2
P=
3!
(3-2)! 2!
P = 0,421875
0,752 0,253-2
Exercício
Uma carta é escolhida em um baralho comum e recolocada dentro dele.
Esse experimento é repetido cinco vezes. Encontre a probabilidade de
que sejam selecionadas três cartas de paus.
1) Identifique uma tentativa, um sucesso e um fracasso.
2) Identifique n, p, q e x
3) Use a fórmula da probabilidade binomial.
Distribuição de probabilidade binomial
Ao listar os valores possíveis de x com a probabilidade correspondente
de cada um deles, você pode construir uma distribuição de probabilidade
binomial.
Exercícios
Em uma pesquisa pediram que trabalhadores nos EUA indicassem a
fonte de seus rendimentos durante a aposentadoria. Entre várias opções
de resposta, 25% responderam que esperam contar com o Seguro
Social , 26% com uma pensão e 7% com aluguéis. Sete dos
trabalhadores que participaram da pesquisa foram escolhidos
aleatoriamente e responderam se esperam contar com o Seguro Social
como fonte de seus rendimentos durante a aposentadoria. Crie uma
distribuição de probabilidade binomial para o número de trabalhadores
que responderam sim.
Exercícios
Em uma pesquisa pediram que trabalhadores nos EUA indicassem a
fonte de seus rendimentos durante a aposentadoria. Entre várias opções
de resposta, 25% responderam que esperam contar com o seguro social
, 26% com uma pensão e 7% com aluguéis. Sete dos trabalhadores que
participaram da pesquisa foram escolhidos aleatoriamente e
responderam se esperam contar com uma pensão como fonte de seus
rendimentos durante a aposentadoria. Crie uma distribuição de
probabilidade binomial para o número de trabalhadores que
responderam sim.
Exercícios
Uma pesquisa indica que 41% das mulheres dos EUA têm a leitura como
atividade de lazer preferida. Você escolhe, aleatoriamente, quatro
mulheres norte-americanas e lhes pergunta se elas têm a leitura com
atividade preferida. Encontre a probabilidade de que:
1) Exatamente uma delas responda sim.
2) Exatamente duas delas respondam sim.
3) Menos que duas delas respondam sim.
Exercícios
A mesma pesquisa indica que 21% dos homens dos EUA também têm a
leitura como atividade de lazer preferida. Você escolhe, aleatoriamente,
quatro deles e lhes pergunta se eles têm a leitura com atividade
preferida. Encontre a probabilidade de que:
1)Exatamente dois deles responda sim.
2)No mínimo dois deles respondam sim.
3)Menos que dois deles respondam sim.
Encontrando uma probabilidade binomial
usando tabela
Por volta de 30% dos trabalhadores adultos gastam menos de 15
minutos para chegar até seus locais de trabalho. Você escolhe seis
trabalhadores de forma aleatória. Qual é a probabilidade de que
exatamente três deles passem menos de 15 minutos cada no caminho
para o trabalho?
Encontrando uma probabilidade binomial
usando tabela
Por volta de 30% dos trabalhadores adultos gastam menos de 15
minutos para chegar até seus locais de trabalho. Você escolhe seis
trabalhadores de forma aleatória. Qual é a probabilidade de que pelo
menos três deles passem menos de 15 minutos cada no caminho para o
trabalho?
Encontrando uma probabilidade binomial
usando tabela
Quarenta e cinco por cento (45%) de todas as pequenas empresas nos
Estados Unidos têm um site na internet. Se você selecionar 10
pequenas empresas de forma aleatória, qual a probabilidade de que
exatamente quatro delas tenham um site na internet?
Encontrando uma probabilidade binomial
usando tabela
Quarenta e cinco por cento (45%) de todas as pequenas empresas nos
Estados Unidos têm um site na internet. Se você selecionar 10
pequenas empresas de forma aleatória, qual a probabilidade de que
mais de quatro delas tenham um site na internet?
Distribuição normal
É a distribuição de probabilidade contínua (vinda de variáveis aleatórias
contínuas) mais importante.
O gráfico de uma distribuição normal é chamado de curva normal
Propriedades de uma distribuição normal
1 - a média, a mediana e a moda são iguais.
2 – tem forma de sino e é simétrica em torno da média.
3 – a área total sob a curva normal é igual a 1
4 – à medida que a curva se distancia cada vez mais da média, ela se aproxima do
eixo x, mas nunca o toca.
5 – Os pontos nos quais a curva muda de crescente para decrescente são
chamados de pontos de inflexão.
Distribuição normal
Uma distribuição normal pode ter qualquer média (µ) e qualquer desvio padrão (σ).
Esses dois parâmetros determinam completamente o formato da curva normal.
A média dá a localização da curva de simetria e o desvio padrão descreve o
quanto os dados são estendidos.
Analisando uma curva normal
Qual curva tem uma média maior?
Qual curva tem um desvio padrão maior?
Analisando uma curva normal
Qual curva tem uma média maior?
Qual curva tem um desvio padrão maior?
Exercício
Os diâmetros (em pés) de árvores de carvalho são normalmente distribuídos, a
curva normal a seguir representa essa distribuição. Qual o diâmetro médio de
uma árvore de carvalho adulta? Estime o desvio padrão dessa distribuição
normal.
A distribuição normal padrão
Existe uma infinidade de distribuições normais.
Padrão:
Média = 0
Desvio padrão = 1
A escala horizontal do gráfico de distribuição normal padrão corresponde
ao z-escore.
z-escore = medida de posição que indica o número de desvios padrão
de um valor a partir da média.
z = valor – média
desvio padrão
A distribuição normal padrão
Se cada valor de uma variável aleatória x distribuída normalmente é
transformado em um z-escore, o resultado será a distribuição normal
padrão.
Quando essa transformação acontece, a área que cai no intervalo sob a
curva normal não padrão é a mesma que aquela sob a curva normal
padrão dentro das fronteiras z correspondentes.
A distribuição normal padrão
1 – A área acumulada é perto de 0 para z-escores próximos a z = -3,49
2 - A área acumulada aumenta à medida que as pontuações z aumentam
3 – A área acumulada para z = 0 é 0,5
4 - A área acumulada é próxima a 1 para z-escores próximos a z = 3,49
Usando uma tabela normal padrão
1)Encontre a área acumulada que corresponde ao z-escore de 1,15.
2)Encontre a área acumulada que corresponde ao z-escore de - 0,24.
3)Encontre a área acumulada que corresponde ao z-escore de - 2,19.
4) Encontre a área acumulada que corresponde ao z-escore de - 2,17.
Obs.:
Quando o z-escore não estiver na tabela, use a entrada mais próxima dele.
Se o z-escore dado estiver exatamente entre dois z-escores, some as áreas das
entradas acima e abaixo e divida por dois.
Usando uma tabela normal padrão
1) Para encontrar a área à esquerda de z, encontre a área que
corresponde a z na Tabela Normal Padrão.
2) Para encontrar a área à direita de z, use a Tabela Normal Padrão para
encontrara a área que corresponde a z. Então, subtraia a área de 1.
3) Para encontrar a área entre duas pontuações z, encontre a área
correspondente para cada z-escore na Tabela Normal Padrão. Então,
subtraia a área menor da área maior.
Exercícios
1) Encontre a área sob a curva normal padrão à esquerda de z = - 0,99.
2) Encontre a área sob a curva normal padrão à esquerda de z = 2,13.
3) Encontre a área sob a curva normal padrão à direita de z = 1,06.
4) Encontre a área sob a curva normal padrão à direita de z = - 2,16.
5) Encontre a área sob a curva normal padrão entre z = - 1,5 e z = 1,25.
6) Encontre a área sob a curva normal padrão entre z = - 2,16 e z = - 1,35.
Encontrando z-escores
z = valor – µ
σ
µ - média
σ – desvio padrão
Encontrando z-escores (exemplo)
z = valor – µ
σ
Estudo mostrou que as pessoas usam seus computadores por, em média,
2,4 anos antes de trocá-los por uma máquina nova. O desvio padrão é 0,5
ano. Um dono de computador é selecionado de forma aleatória. Encontre a
probabilidade de que ele vá usar o computador por menos de 2 anos antes
de trocá-lo. A variável x é normalmente distribuída.
z = 2 – 2,4 = - 0,8
0,5
Encontrando P (z< - 0,8) na Tabela: 0,2119
21,19% dos donos vão trocar seus computadores em menos de 2 anos.
Encontrando z-escores (exercício)
z = valor – µ
σ
Um determinado carro percorre uma média de 24 milhas por galão (mpg),
dirigindo com um desvio médio de 1,6 mpg. Um desses carros é
selecionado aleatoriamente. Qual a probabilidade de que ele percorra mais
que 28 milhas por galão?
Encontrando z-escores (exercício)
Uma pesquisa indica que, para cada ida ao supermercado, uma pessoa
gasta uma média de 45 minutos, com um desvio padrão de 12 minutos
naquela loja. Esse tempo gasto na loja é normalmente distribuído. Uma
pessoa entra na loja. Encontre a probabilidade, para cada intervalo a
seguir, de que a pessoa fique na loja:
1)Entre 24 e 54 minutos
2)Mais que 39 minutos
3)Entre 33 e 60 minutos
Interprete suas respostas para a hipótese de 200 pessoas entrarem na loja.
Aproximações
binomiais
normais
para
distribuições
Um médico faz uma cirurgia em 150 pacientes e você quer encontrar a
probabilidade de ocorrência de menos de 100 cirurgias com sucesso
(evento binomial)...
Fórmula de probabilidade binomial 100 vezes e soma dos resultados.
É possível aproximar para uma distribuição normal!
Aproximações
binomiais
normais
para
Condições:
np ≥ 5
e
nq ≥ 5,
Então:
µ = np
σ = npq
distribuições
Aproximações
normais
binomiais (exercícios)
para
distribuições
Dois experimentos binomiais são listados. Decida se você pode usar
a distribuição normal para aproximar x, o número de pessoas que
responderam sim.
1)Para 51% dos adultos nos EUA, a promessa de final de ano mais
importante foi a de se exercitar mais. Você seleciona aleatoriamente
65 adultos nos EUA cuja promessa foi a de se exercitar mais e lhes
pergunta se a promessa foi cumprida.
2)Quinze por cento dos adultos dos EUA não fazem promessas de
final de ano. Você seleciona 15 deles aleatoriamente e pergunta a
cada um se eles fizeram promessas de final de ano.
Aproximações
normais
binomiais (exercícios)
para
distribuições
Nos últimos 5 anos, 80% dos adultos nos EUA fizeram e
conseguiram manter uma ou mais promessas de final de ano. Você
seleciona aleatoriamente 70 adultos que fizeram promessas e lhes
pergunta se eles conseguiram manter pelo menos uma promessa.
É possível a aproximação?
Se sim, encontre a média e o DP apropriados.