05_Forca e Leis de Newton - Departamento de Física

PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA
Prof. Anderson Coser Gaudio
Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo
http://www.cce.ufes.br/anderson
[email protected]
Última atualização: 16/07/2005 09:10 H
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED.,
LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 1
Capítulo 5 - Força e Leis de
Newton
Problemas
01
11
21
31
41
51
61
02
12
22
32
42
52
62
03
13
23
33
43
53
63
04
14
24
34
44
54
64
05
15
25
35
45
55
65
06
16
26
36
46
56
66
07
17
27
37
47
57
67
08
18
28
38
48
58
68
09
19
29
39
49
59
10
20
30
40
50
60
Problemas Resolvidos de Física
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Problemas Resolvidos
10. Um corpo com massa m sofre a ação de duas forças F1 e F2, como mostra a Fig. 27. Se m = 5,2
kg, F1= 3,7 N e F2= 4,3 N, ache o vetor aceleração do corpo.
y
x
(Pág. 90)
Solução.
Em termos vetoriais, as forças F1 e F2 valem:
F1 = ( 3, 7 N ) j
F2 = ( 4,3 N ) i
De acordo com a segunda lei de Newton:
∑F = F + F
1
a=
2
= ma
F1 + F2 ( 3, 7 N ) j + ( 4,3 N ) i
=
m
(5, 2 kg)
a = ( 0,8269" m/s 2 ) i + ( 0, 71153" m/s 2 ) j
a ≈ ( 0,83 m/s 2 ) i + ( 0, 71 m/s 2 ) j
[Início]
12. Uma certa força dá ao objeto m1 a aceleração 12,0 m/s2. A mesma força dá ao objeto m2 a
aceleração 3,30 m/s2. Que aceleração daria a um objeto cuja massa fosse (a) a diferença entre m1
e m2 e (b) a soma de m1 e m2.
(Pág. 90)
Solução.
(a) De acordo com a segunda lei de Newton (na coordenada x):
F = m1a1
F = m2 a2
Igualando-se (1) e (2):
ma
m2 = 1 1
a2
(1)
(2)
(3)
Mas:
F = ( m2 − m1 ) a3
(4)
________________________________________________________________________________________________________
a
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F
m2 − m1
a3 =
(5)
Substituindo-se (1) e (3) em (5):
F
a3 =
m2 − m1
m1a1
a3 =
a1
m1 − m1
a2
=
a1a2
= 4,5517 " m/s 2
a1 − a2
a3 ≈ 4,55 m/s 2
(b) Procedendo de maneira semelhante ao item (a), porém usando-se (m1 + m2) em (4) ao invés de
(m2 − m1), obtém-se:
aa
a4 = 1 2 = 2,5882" m/s 2
a1 + a2
a4 ≈ 2,59 m/s 2
[Início]
33. Um bloco de 5,1 kg é puxado ao longo de uma superfície sem atrito por uma corda que exerce
uma força P = 12 N e faz o ângulo θ = 25o acima da horizontal, como mostra a Fig. 30. (a) Qual
é a aceleração do bloco? (b) A força P é lentamente aumentada. Qual é o valor de P logo antes
de o bloco ser levantado da superfície? (c) Qual é a aceleração do bloco no exato momento em
que ele é levantado e perde contato com a superfície?
(Pág. 92)
Solução.
Sempre que houver uma força inclinada para acima que atua sobre um corpo no solo devemos
considerar a possibilidade de o corpo ser levantado do chão. Isso ocorrerá caso a componente
vertical dessa força seja igual (iminência de levantar) ou maior do que o peso. Na situação inicial, a
componente y da força (Py) vale P sen 25o ≈ 5 N, enquanto que o peso vale 5,1 kg × 9,81 m/s2 ≈ 50
N. Logo, a força inicial não é capaz de levantar o corpo do chão.
(a) Cálculo da aceleração em x:
∑F
x
= max
Px = ma
a=
P cos θ
= 2,1324" m/s 2
m
a ≈ 2,1 m/s 2
(b) No instante em que o bloco perde o contato com o solo, temos em y:
________________________________________________________________________________________________________
a
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∑F
y
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=0
P ' sen θ − mg = 0
mg
= 118,3834" N
sen θ
P' =
P ' ≈ 0,12 kN
(b) No instante em que o bloco perde o contato com o solo, temos em x:
∑F
x
= max
Px' = ma '
P ' cos θ
= 21, 0376" m/s 2
m
a' =
a ' ≈ 21 m/s 2
[Início]
34. Como um objeto de 450 N poderia ser baixado de um teto utilizando-se uma corda que suporta
somente 390 N sem se romper?
(Pág. 92)
Solução.
O objeto de peso P deve ser abaixado com uma aceleração a tal que a tensão na corda não
ultrapasse seu valor limite (TMAX). Considere o seguinte esquema da situação:
Tmax
y
a
x
P
Aplicando-se a segunda lei de Newton à coordenada y do sistema:
∑F
y
= ma y
TMAX − P =
P
a
g
⎛T
⎞
a = g ⎜ MAX − 1⎟ = −1,308 m/s 2
⎝ P
⎠
a ≈ −1,31 m/s 2
Esta é a aceleração mínima com que o corpo deve ser abaixado (sinal negativo) para que a corda
não se rompa.
[Início]
43. Um caixote de 110 kg é empurrado com velocidade constante para cima de uma rampa sem
atrito, inclinada de 34o, como na Fig. 34. (a) Qual a força horizontal F requerida? (b) Qual a
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a
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força exercida pela rampa sobre o caixote?
(Pág. 93)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
y
θ
N
F
m
x
P
Forças em x:
∑F
y
=0
N cos θ − mg = 0
mg
cos θ
Forças em y:
N=
∑F
x
(1)
=0
F − N sen θ = 0
F = N sen θ
Substituindo-se (1) em (2):
F = mg tan θ
(2)
F = 727,8621" N
F ≈ 7,3 × 102 N
(b) De (1):
mg
cos θ
N = 1.301,6297 " N
N=
N ≈ 1,3 × 10 3 N
[Início]
44. Um novo jato da Marinha, de 22 toneladas métricas, requer para decolar uma velocidade em
relação ao ar de 90 m/s. Seu próprio motor desenvolve um empuxo de 110.000 N. O jato tem de
________________________________________________________________________________________________________
a
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alçar vôo de um porta-aviões com pista de 100 m. Que força deve ser exercida pela catapulta do
porta-aviões? Suponha que tanto a catapulta como o motor do avião exerçam uma força
constante ao longo de toda a pista de decolagem.
(Pág. 93)
Solução.
Neste problema serão desprezados o atrito do avião com o ar e com a pista, além do atrito interno
do avião.
N
y
a
F
x
x0 = 0
x=d
Cálculo da aceleração do avião (movimento no eixo x):
x
P
v x2 = v x20 + 2a ( x − x 0 )
v 2 = 0 + 2ad
v2
2d
Cálculo da força exercida pela turbina:
a=
∑F
x
(1)
= ma x
F = ma
Substituindo-se (1) em (2):
(2)
mv 2
2d
A massa do avião foi dada em toneladas métricas, que pertence ao sistema inglês de unidades. O
fator de conversão é 1 ton = 907,2 kg. Logo, m = 19.958,4 kg, com apenas dois algarismos
significativos, ou seja, m ≈ 2,0 × 104 kg. Logo:
F=
(19.958,4 kg)(90 m/s) 2
F=
= 808.315,2 N
2(100 m)
F ≈ 8,1 × 10 5 N
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a
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[Início]
46. Antigamente, cavalos puxavam barcaças por canais, como mostra a Fig. 37. Suponha que o
cavalo exerça uma força de 7.900 N num ângulo de 18o com a direção de movimento da
barcaça, que se desloca ao longo do eixo do canal. A massa da barcaça é 9.500 kg e sua
aceleração é 0,12 m/s2. Calcule a força exercida pela água sobre a barcaça.
(Pág. 93)
Solução.
Este problema pode ser facilmente resolvido através de cálculo vetorial. Considere o seguinte
esquema da situação.
y
F
m
P
E
θ
a
x
A força exercida pelo cavalo (F) e a aceleração da barcaça (a) são definidos por:
F = F cos θ i + F sen θ j
a =ai
Aplicação da Segunda Lei de Newton:
(1)
(2)
∑ F = ma
F + Fa + P + E = ma
onde P é o peso do barco, E é o empuxo da água, sendo que P + E = 0 e Fa é a força exercida pela
água na barcaça.
Fa = ma − F
(3)
Substituindo-se (1) e (2) em (3):
Fa = m(a i ) − ( F cosθ i + F sen θ j)
Fa = (ma − F cosθ ) i − F sen θ j
(4)
Substituindo-se os valores numéricos em (4):
Fa = [(9.500 kg )(0,12 m/s 2 ) − (7.900 N ) cos(18 o )] i − (7.900 N ) sen(18 o ) j
Fa = (−6.373,3464 " N) i − (2.441,2342 " N) j
O módulo da força exercida pela água vale:
Fa = 6824,8934" N
________________________________________________________________________________________________________
a
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Fa ≈ 6,8 × 10 3 N
[Início]
49. Um balão de pesquisas de massa total M desce verticalmente com aceleração a para baixo (veja
Fig. 39). Quanto de lastro deve ser atirado para fora da gôndola para dar ao balão a mesma
aceleração a para cima, supondo que não varie a força de flutuação para cima exercida pelo ar
sobre o balão?
(Pág. 93)
Solução.
Balão acelerado para baixo:
E
y
M
x
a
P1
∑F
y
= ma y
E − P1 = − Ma
E = M ( g − a)
(1)
Balão acelerado para cima:
E
y
M-m
x
a
P2
∑F
y
= ma y
E − P2 = ( M − m)a
E = ( M − m) g + ( M − m)a
E = M ( g + a ) − m( g + a )
________________________________________________________________________________________________________
a
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m( g + a) = M ( g + a ) − E
(2)
Substituindo-se (1) em (2):
m( g + a ) = M ( g + a ) − M ( g − a )
2 Ma
g+a
m=
[Início]
51. Um bloco de massa m desliza para baixo em um plano inclinado sem atrito que forma um
ângulo θ com o piso de um elevador. Ache a aceleração do bloco relativa ao plano nos seguintes
casos. (a) O elevador desce com velocidade constante v. (b) O elevador sobe com velocidade
constante v. (c) O elevador desce com aceleração a. (d) O elevador desce com desaceleração a.
(e) O cabo do elevador se rompe. (f) No item (c) acima, qual é a força exercida sobre o bloco
pelo plano inclinado?
(Pág. 93)
Solução.
(a) Estando o elevador com velocidade constante, o comportamento do bloco em relação à rampa é
idêntico ao que seria caso o elevador estivesse em repouso.
y
N
m
m
θ
x
θ
P
v
Segunda lei de Newton em x, onde aB é a aceleração do bloco:
B
∑F
x
= max
mg sen θ = maB
aB = g sen θ
(b) Semelhante ao item (a):
aB = g sen θ
(c) Como o elevador acelera para baixo, existe a componente ax que se soma a gx para acelerar o
bloco rampa abaixo.
y
N
m
a
m
θ
∑F
x
θ
x
P
a
= max
mg sen θ = ma sen θ + maB
________________________________________________________________________________________________________
a
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aB = ( g − a ) sen θ
Embora tenham sido somadas duas acelerações em x para o bloco (ax e gx), a aceleração do bloco
em relação à rampa é menor. No caso limite do elevador descer com aceleração igual a g (queda
livre), o bloco também cairia em queda livre. Isso faria com que a aceleração do bloco em relação à
rampa seja zero (veja o item (e) abaixo).
(d) Semelhante ao item (c), diferindo apenas pelo sinal de a:
aB = ( g + a ) sen θ
(e) Semelhante ao item (c), sendo a = g:
aB = 0
(f)
∑F
y
= ma y
N − mg cos θ = − ma cos θ
N = m ( g − a ) cos θ
[Início]
54. Um macaco de 11 kg está subindo por uma corda sem massa, amarrada a um tronco de 15 kg
que passa por um galho (sem atrito) da árvore. (a) Qual a aceleração mínima com que o macaco
deve subir pela corda de modo a levantar do chão o tronco de 15 kg? Se, depois de o troco ter
sido levantado do chão, o macaco parar de subir e somente se segurar à corda, quais serão agora
(b) a aceleração do macaco e (c) a tração na corda?
(Pág. 94)
Solução.
y
(a) Considere o seguinte esquema:
________________________________________________________________________________________________________
a
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Tronco
y
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Macaco
T
T
mT
a
mM
PT
PM
A condição mínima para que o tronco seja levantado do solo é que sua força normal e sua
aceleração sejam nulas. As forças que agem no tronco nessas condições são a tensão na corda (T) e
o peso do tronco (PT):
∑F
y
= T − PT = 0
T = mT g
(1)
Forças no macaco:
∑F
y
= ma y
T − PM = mM a
a=
T − mM g
mM
(2)
Substituindo-se (1) em (2):
a=
⎞
mT g − mM g ⎛ mT
=⎜
− 1⎟ g = 3,5672" m/s 2
mM
⎝ mM
⎠
a ≈ 3, 6 m/s 2
(b) Agora a situação é a seguinte:
Tronco
y
-a’
mT
Macaco
T’
T’
a’
mM
PT
PM
Forças no tronco:
T ' − PT = mT ( − a ' )
T ' = mT g − mT a '
(3)
Forças no macaco:
T ' − PM = mM a '
T ' − mM g = mM a '
(4)
Substituindo-se (3) em (4):
mT g − mT a ' − mM g = mM a '
________________________________________________________________________________________________________
a
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11
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a' =
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mT − mM
g = 1,5092" m/s 2
mT + mM
a ' ≈ 1,5 m/s 2
(c) De (3):
T ' = 124,511" N
T ' = 0,12 kN
[Início]
55. Três blocos são ligados como mostra a Fig. 40, sobre uma mesa horizontal sem atrito e puxados
para a direita com uma força T3 = 6,5 N. Se m1 = 1,2 kg, m2 = 2,4 kg e m3 = 3,1 kg, calcule (a) a
aceleração do sistema e (b) as trações T1 e T2. Faça uma analogia com corpos que são puxados
em fila, tais como uma locomotiva ao puxar um trem de vagões engatados.
(Pág. 94)
Solução.
Diagrama de forças dos blocos:
N1
m1
m2
T1
N2
-T1
m3
T2
N3
y
-T2
T3
x
a
P1
P2
P3
(a) Forças de todo o sistema em x:
∑F
x
= Max
T1 − T1 + T2 − T2 + T3 = ( m1 + m2 + m3 ) a
a=
T3
= 0,970149" m/s 2
m1 + m2 + m3
a ≈ 0,97 m/s 2
(b) Forças no corpo 3:
T3 − T2 = m3 a
T2 = T3 − m3 a = 3, 4925" N
T2 ≈ 3,5 N
Forças no corpo 1:
T1 = m1a = 1,1641" N
________________________________________________________________________________________________________
a
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T1 ≈ 1, 2 N
[Início]
57. A Fig. 42 mostra três caixotes com massa m1 = 45,2 kg, m2 = 22,8 kg e m3 = 34,3 kg apoiados
sobre uma superfície horizontal sem atrito. (a) Qual a força horizontal F necessária para
empurrar os caixotes para a direita, como se fossem um só, com a aceleração de 1,32 m/s2? (b)
Ache a força exercida, por m2 em m3; (c) por m1 em m2.
(Pág. 94)
Solução.
(a) Neste caso, pode-se imaginar o sistema como sendo constituído por uma massa compacta m1 +
m2 + m3:
N
m1+m2+m3
y
F
x
a
∑F
x
P
= ma x
F = (m1 + m2 + m3 )a
F = 135,036 N
F ≈ 135 N
(b) Forças sobre m3:
N3
m3
y
F23
x
a
P3
∑F
x
= ma x
F23 = m3 a
F23 = 45,276 N
F ≈ 45,3 N
(c) Forças sobre m2:
________________________________________________________________________________________________________
a
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13
Problemas Resolvidos de Física
F32
m2
N2
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y
F12
x
a
P2
∑F
= ma x
x
F12 − F32 = m2 a
F12 = m2 a + F32
F23 = 75,372 N
F ≈ 75,4 N
[Início]
59. Um bloco de massa m1 = 3,70 kg está sobre um plano inclinado sem atrito de ângulo θ = 28o e é
ligado por uma corda que passa em uma polia pequena e sem atrito a um segundo bloco de
massa m2 = 1,86 kg, que pende verticalmente (veja a Fig. 44). (a) Qual é a aceleração de cada
bloco? (b) Ache a tração na corda.
(Pág. 94)
Solução.
y
θ
N1
a1
T1
θ
m1
x
P1
∑F
1
= m1a1
N1 + T1 + P1 = m1a1
− N1 sen θ i + N1 cos θ j + T cos θ i + T sen θ j − m1 g j = m1 (a cos θ i + a sen θ j)
(T cos θ − N1 sen θ) i + ( N1 cos θ + T sen θ − m1 g ) j = m1 a cos θ i + m1a sen θ j
A equação (1) somente é verdadeira se e somente se:
T cos θ − N1 sen θ = m1 a cos θ
(1)
(2)
e
N1 cos θ + T sen θ − m1 g = m1 a sen θ
(3)
________________________________________________________________________________________________________
a
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De (2):
a=
T cos θ − N1 sen θ
1
=
(T − N1 tan θ)
m1 cos θ
m1
(4)
De (3):
m1 a sen θ − T sen θ + m1 g
mg
= (m1 a − T ) tan θ + 1
cos θ
cos θ
Substituindo-se (5) em (4) e simplificando:
T
a=
− g sen θ
m1
N1 =
(5)
(6)
Bloco 2:
y
T2
m2
x
P2
∑F
2
a2
= m2 a 2
T2 + P2 = m2 a 2
Como as forças que agem no bloco 2 e seu movimento ocorrem apenas na coordenada y:
T − m 2 g = − m2 a
T = m2 ( g − a )
(7)
Substituindo-se (7) em (6) e simplificando:
g (m2 − m1 sen θ)
a=
m1 + m2
a = 0,216940 " m/s 2
a ≈ 0,22 m/s 2
(b) De (6):
T = m1 (a + g sen θ)
T = 17,8430 " N
T ≈ 18 N
[Início]
60. Uma pessoa de 77 kg salta de pára-quedas e adquire aceleração para baixo de 2,5 m/s2 logo
depois da abertura do pára-quedas. A massa do pára-quedas é 5,2 kg. (a) Ache a força para cima
exercida pelo ar sobre o pára-quedas. (b) Calcule a força para baixo exercida pela pessoa no
pára-quedas.
(Pág. 94)
Solução.
________________________________________________________________________________________________________
a
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Considere o seguinte esquema da situação:
(a) Considere o seguinte esquema da situação:
FAr
PPQ
y
a
x
PH
Seja m a massa do pára-quedas e M a massa do homem. Para descobrir a força que o ar exerce sobre
o pára-quedas (FAr) vamos considerar o homem e o pára-quedas como um só conjunto de massa (m
+ M):
∑F
y
= ma y
FAr − ( m + M ) g = − ( m + M ) a
FAr = ( m + M )( g − a ) = 600,882 N
FAr ≈ 0, 60 kN
(b) Para descobrir a força que o pára-quedas exerce sobre o homem, vamos aplicar a segunda lei de
Newton apenas ao homem, de acordo com o seguinte esquema de forças:
FPQ
a
PH
∑F
y
y
x
= ma y
FPQ − Mg = − Ma
FPQ = M ( g − a ) = 562,87 N
FPQ ≈ 0,56 kN
[Início]
61. Um elevador consiste em uma cabine (A), um contrapeso (B), um motor (C) e o cabo e polias
mostrados na Fig. 45. A massa da cabine é 1.000 kg e a massa do contrapeso é 1.400 kg.
Despreze o atrito, as massas do cabo e das polias. O elevador acelera para cima a 2,30 m/s2 e o
contrapeso acelera para baixo à mesma taxa. Quais são os valores das trações (a) T1 e (b) T2?
Qual a força exercida no cabo pelo motor?
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a
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Problemas Resolvidos de Física
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(Pág. 94)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
Motor
T 2’
T1’
T2
T1
y
aCP
aE
x
PCP
PE
(a) Aplicando-se a segunda lei de Newton ao elevador:
∑F
y
= ma y
T1 − PE = mE aE
T1 − mE g = mE a
T1 = mE ( a + g ) = 12.110 N
T1 ≈ 12,1 kN
(b) Aplicando-se a segunda lei de Newton ao contrapeso:
∑F
y
= ma y
T2 − PCP = − mCP aCP
T2 − mCP g = −mCP a
T2 = mCP ( g − a ) = 10.514 N
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a
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Problemas Resolvidos de Física
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T2 ≈ 10,5 kN
(c) A força resultante que o cabo exerce sobre o motor (FMC) sobre o motor vale:
FMC = ∑ Fx = T1' − T2' = 1.596 N
O sinal positivo mostra que o cabo força o motor para a direita. Como o problema pede a força no
cabo pelo motor, basta aplicar a terceira lei de Newton, uma vez que essas forças formam um par
ação-reação. Logo, a força que o motor exerce sobre o cabo (FCM) vale:
FCM = − FMC ≈ −1, 60 kN
O sinal negativo mostra que o motor força o cabo para a esquerda de acordo com o referencial
adotado. Isso faz com que o elevador suba.
[Início]
62. Um helicóptero de 15.000 kg está levantando um carro de 4.500 kg com aceleração para cima
de 1,4 m/s2. Calcule (a) a força vertical que o ar exerce nas pás das hélices do helicóptero e (b) a
tração na parte superior do cabo de sustentação; veja a Fig. 46.
(Pág. 95)
Solução.
(a) Forças nas pás das hélices:
F ar
a
y
Hélices
P
∑F
y
= ma y
FAr − ( PH + PC ) = ( mH + mC ) a y
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a
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FAr = (mH + mC ) g + (mH + mC )a = (mH + mC )(a + g ) = 218.595 N
FAr ≈ 2, 2 × 105 N
(b) Forças no ponto de junção dos cabos:
T
a
y
Junção
dos cabos
PC
∑F
y
= ma y
T − PC = mC a
T = mC a + mC g = mC (a + g ) = 50.445 N
T ≈ 5, 0 ×104 N
[Início]
64. Duas partículas, cada uma de massa m, estão conectadas por uma corda leve de comprimento
2L, como mostra a Fig. 48. Uma força F constante é aplicada no ponto médio da corda (x = 0) e
faz um ângulo reto com a posição inicial desta. Mostre que a aceleração de cada massa na
direção perpendicular a F é dada por
ax =
F
x
2
2m ( L − x 2 )1/ 2
na qual x é a distância perpendicular de uma das partículas à linha de ação de F. Discuta a
situação quando x = L.
(Pág. 95)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
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a
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Problemas Resolvidos de Física
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2L
m
m
O
x
F
y
x
ax
a1
θ
θ
a2
ay
O
L
a0
F
Seja a o módulo da aceleração de cada massa (a1 e a2, no esquema).
x
ax = a cos θ = a
L
Aceleração do ponto O em y, que está sujeito apenas à força F:
F = −2ma0
(1)
(2)
O esquema mostra que:
a0 = a y = − a sen θ = − a (1 − cos θ )
2
1/ 2
1/ 2
⎛ x2 ⎞
= −a ⎜1 − 2 ⎟
⎝ L ⎠
1/ 2
⎛ L2 − x 2 ⎞
a0 = − a ⎜
⎟
2
⎝ L ⎠
(3)
Substituindo-se (3) em (2):
1/ 2
⎛ L2 − x 2 ⎞
F = 2ma ⎜
⎟
2
⎝ L ⎠
a=
F
L
2m ( L2 − x 2 )1/ 2
(4)
Substituindo-se (4) em (1):
F
x
ax =
2m ( L2 − x 2 )1/ 2
[Início]
65. Um bloco de massa M é puxado ao longo de uma superfície horizontal sem atrito por uma corda
de massa m, como mostra a Fig. 49. Uma força horizontal P é aplicada a uma das extremidades
da corda. (a) Mostre que a corda tem de se curvar, mesmo que seja de uma quantidade
imperceptível. Então, supondo que o encurvamento seja desprezível, ache (b) a aceleração da
corda e do bloco, (c) a força que a corda exerce no bloco, e (d) a tração no ponto médio da
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a
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corda.
(Pág. 95)
Solução.
(a) Considere um elemento da corda cuja massa é Δm e, da mesma forma que o conjunto M +m,
possui aceleração a.
y
a
Te
Td
θ
x
Δmg
Como o elemento de massa Δm tem aceleração apenas no eixo x:
∑F
y
=0
Td sen θ + Te sen θ − Δmg = 0
sen θ =
Δmg
Td + Te
(1)
Para a corda ficar esticada, é preciso que θ = 0, ou seja que sen θ = 0. De acordo (1), isso implica
em Δm = 0 ou Td + Te = ∞. Como nenhumas dessas alternativas é fisicamente possível, conclui-se
que θ ≠ 0.
(b) Supondo que θ = 0 e analisando o conjunto M + m:
∑F
x
= ma x
P = ( M + m)a
a=
P
M +m
(2)
(c)
N
M
y
Fcb
x
a
P
∑ F x = ma x
Fcb = Ma
(3)
Substituindo-se (2) em (3):
M
Fcb =
P
M +m
(d)
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a
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Problemas Resolvidos de Física
Tm
m/2
M
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a
∑F
x
= ma x
m⎞
⎛
Tm = ⎜ M + ⎟a
2⎠
⎝
Substituindo-se (2) em (4):
(4)
m⎞ P
⎛
Tm = ⎜ M + ⎟
2⎠M +m
⎝
Tm =
(m + 2M ) P
2( M + m)
[Início]
67. O homem na Fig. 51 pesa 800 N; a plataforma e a polia sem atrito têm peso total de 190 N.
Ignore o peso da corda. Com que força o homem tem de puxar a corda de forma a se levantar
junto com a plataforma a 0,37 m/s2?
(Pág. 95)
Solução.
Forças no homem:
y
a
PH
T’
N
∑F
y
= ma y
N − T ' − PH =
PH
a
g
T’ = T:
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a
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⎛ a⎞
N = T + PH ⎜1 + ⎟
⎝ g⎠
Forças na plataforma:
(1)
y
T
T
PP
∑F
y
a
N’
= ma y
2T − N ' − PP =
PP
a
g
N’ = N:
⎛ a⎞
2T − N = PP ⎜1 + ⎟
⎝ g⎠
Substituindo-se (1) em (2):
(2)
⎛ a⎞
⎛ a⎞
2T − T − PH ⎜1 + ⎟ = PP ⎜ 1 + ⎟
⎝ g⎠
⎝ g⎠
⎛ a⎞
T = ( PH + PP ) ⎜ 1 + ⎟ = 1.027,3394" N
⎝ g⎠
T ≈ 1, 0 kN
[Início]
68. Uma cunha em forma de um triângulo retângulo de massa M e ângulo θ suporta um pequeno
bloco de massa m e está em repouso numa mesa horizontal, como mostra a Fig. 52. (a) Que
aceleração horizontal a deve ter M em relação à mesa, de forma a manter m estacionário em
relação à cunha supondo-se os contatos sem atrito? (b) Que força horizontal F deve ser aplicada
ao sistema para atingir este resultado, supondo-se o topo da mesa sem atrito? (c) Suponha que
nenhuma força seja fornecida a M e ambas as superfícies sejam sem atrito. Descreva o
movimento resultante.
(Pág. 95)
Solução.
(a) A aceleração a de M deve ser tal que a aceleração de m também seja a (horizontal). Diagrama de
forças em m:
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a
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y
θ
Nm
a
m
x
Pm
Forças em y:
∑F
y
Nm =
= N m cos θ − mg = 0
mg
cos θ
(1)
Forças em x:
∑F
x
= max
N m sen θ = ma
(2)
Substituindo-se (1) em (2):
mg
sen θ = ma
cos θ
a = g tan θ
(3)
(b) Forças em x no sistema cunha-bloco:
∑F
x
= max
F = (m + M ) a
(4)
Substituindo-se (3) em (4):
F = ( m + M ) g tan θ
As componentes horizontais das forças normais da cunha sobre o bloco (Nm) e do bloco sobre a
cunha não precisam ser computados pois formam um par ação-reação e cancelam-se mutuamente.
(c) A cunha irá se mover para a esquerda com aceleração constante. O bloco irá descer pela
superfície inclinada da cunha com aceleração g sen θ em relação à cunha, porém com aceleração
menor e constante em relação à mesa. As forças que aceleram o bloco em relação à mesa são o seu
peso e a normal da cunha. O peso do bloco não varia nessas circunstâncias. Porém, quando a cunha
acelera para a esquerda, a normal que esta gera no bloco fica menor, o que diminui a aceleração do
bloco em relação à mesa quando comparada à situação em que a cunha permanece imóvel.
[Início]
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