Canguru Brasil 2013 – Nível S

Canguru Brasil 2013 – Nível S - Soluções
Problemas de 3 pontos
01. Qual dos números a seguir é o maior?
(B) 2013
(A) 2 013
(C) 2013
(D) 2013
(E) 20  13
01. Resposta: alternativa C
Temos imediatamente que 20  13  260  2013; temos ainda 2013 2048  211  213

  26  106  213  1013  2013 . Logo o maior número é 20
2 3
201  400  22  102  2013  22  10
13
e, por fim,
.
02. O octógono regular da figura tem lados de medida 10. Qual é o raio da circunferência inscrita no menor octógono regular formado pelas diagonais?
(A) 10
(B) 7,5
(C) 5
(D) 2,5
(E) 2
02. Resposta: alternativa C
Num octógono regular, de cada lado partem duas diagonais paralelas e perpendiculares a este lado. No octógono interior, formado pelos quatro pares desse tipo de diagonal, a distância entre dois lados opostos é a
distância entre essas diagonais paralelas, igual à medida do lado do octógono maior, ou seja, 10. Portanto, o
10
raio da circunferência inscrita no octógono interior é
 5.
2
03. Um prisma tem um total de 2013 faces. Quantas arestas tem esse prisma?
(A) 2011
(B) 2013
(C) 4022
(D) 4024
(E) 6033
03. Resposta: alternativa E
Se n é o número de arestas de uma base do prisma, então o número total de arestas do prisma é 3n (n para
cada base e n para arestas laterais). O número de faces do prisma é 2 + n (duas bases e n paralelogramos
formando as faces laterais). Como 2  n  2013  n  2011 , o número de arestas do prisma é 3n = 6 033.
3
04. Qual é a raiz cúbica do número 33 ?
(B) 33 1
3
(A) 33
3
(C) 32
2
(D) 33
(E)
 3
3
04. Resposta: alternativa D
3
33
 
33
3  3
1
3
33 
3
1
3
1
 33 3  33
3
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2
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05. O ano 2013 tem seu número formado por 4 algarismos consecutivos: 0, 1, 2 e 3. Antes disso houve anos
com esta mesma propriedade. Quantos anos se passaram desde a última vez que um ano foi formado por 4
algarismos consecutivos?
(A) 467
(B) 527
(C) 581
(D) 693
(E) 990
05. Resposta: alternativa C
O ano 2013 é o primeiro do milênio com quatro algarismos consecutivos. O ano anterior com algarismos
consecutivos é do milênio anterior, ou seja, começa com 1. Como deve ser o maior, escolhemos então os
algarismos 2, 3 e 4 e o maior número formado por eles é 432. Assim o ano com a propriedade é 1432, de
modo que se passaram 2013  1432  581 anos.
06. Seja f a função linear para a qual f 2013  f 2001  100 . Qual é o valor de f 2031  f 2013 ?
(A) 75
(B) 100
(C) 120
(D) 150
(E) 180
06. Resposta: alternativa D
Temos f x   ax , logo f 2013  f 2001  100  a  2013 a  2001  100  12a  100  a 
Portanto, f 2031  f 2013  2031 2013  a  18 
25
.
3
25
 150 .
3
07. Seja x um número real tal que 2  x  3 . Quantas das desigualdades a seguir se verificam?
(A) 0
4  x2  9
4  2x  9
6  3x  9
0  x 2  2x  3
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
07. Resposta: alternativa E
Podemos concluir a partir da desigualdade inicial que:
(1) 2  2  2  x  2  3  4  2x  6  9
(2) 3  2  3  x  3  3  6  3x  9
A partir destas duas, podemos concluir que:
(3) 2  x  x  x  3  x  4  2x  x2  3x  9
(1)
(2)
Deste modo, as três primeiras desigualdades são verdadeiras. Temos ainda
(4) 2x  x2  3x  0  x2  2x  x  3
inicial
E a quarta desigualdade também é verdadeira.
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08. Seis super-heróis capturam 20 bandidos, sendo que para cada bandido, é necessário apenas um superherói para capturá-lo. O primeiro super-herói captura um bandido, o segundo captura dois bandidos e o terceiro captura três. O quarto super-herói captura mais bandidos que qualquer um dos outros cinco. Pelo menos quantos bandidos o quarto super-herói deve ter capturado?
(A) 7
(B) 6
(C) 5
(D) 4
(E) 3
08. Resposta: alternativa B
Se o quarto super-herói captura n bandidos, então o quinto e o sexto super-heróis capturam no máximo
n  1 bandidos cada. Assim, 1  2  3  n  n  1  n  1  20  n  6 .
09. Vê-se dentro de um cubo uma pirâmide opaca ABCDS, de base ABCD e cujo vértice S é o
ponto médio de uma das arestas do cubo. Olha-se para a pirâmide de cima, de baixo, de
trás, de frente, da esquerda e da direita. Qual das formas a seguir não irá aparecer nessas
observações?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
09. Resposta: alternativa E
A seguir temos as representações das 6 vistas da pirâmide:
Apenas a alternativa (E) não corresponde a uma das vistas obtidas.
10. Quando uma dada substância sólida derrete, seu volume cresce de
1
. De quanto esse volume decresce
12
quando a substância se solidifica novamente?
(A)
1
10
(B)
1
11
(C)
1
12
(D)
1
13
(E)
1
14
10. Resposta: alternativa D
1
13
v  v . Ao solidificar, este volume
12
12
13
13
13
volta a ser v. O volume
v x v v 
v do líquido sofre uma redução fracionária x, dada por
12
12
12
13
12
1
1  x   1  1  x   x  .
12
13
13
Se v é o volume da substância sólida, após a fusão seu volume é v 
Problemas de 4 pontos
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11. Raul tem várias peças iguais de plástico na forma de pentágonos regulares. Ele cola as peças lado a lado
até completar um círculo, como ilustrado na figura. Quantas peças ele usou para formar o círculo?
(A) 8
(B) 9
(C) 10
(D) 12
11. Resposta: alternativa C
Os ângulos internos de um pentágono regular medem
(E) 15
 5  2  180O  108O . Os prolon-
5
gamentos dos dois lados de cada pentágono que cruzam o círculo intersectam-se no
centro O desse círculo, conforme figura ao lado. No triângulo isósceles AOB , as medidas dos ângulos da base são iguais a 180O  108O  72O . Portanto, o ângulo central
AOˆ B mede 180O  2  72O  36O . Para cada pentágono temos um ângulo central de 36 ,
360O
logo o número de peças pentagonais que fecham o círculo é
 10 .
36O
12. Quantos números inteiros positivos n existem tais que
(A) 12
(B) 33
(C) 34
(D) 100
n
e 3n são números inteiros de três algarismos?
3
(E) 300
Resposta: alternativa A
n
Se é inteiro, então devemos ter n  3k , com k inteiro. Assim, k e 9k são inteiros de três algarismos, logo
3
k  100 e 9k  999  k  111 , havendo então 12 valores possíveis para k , que correspondem a 12 valores
possíveis para n .
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13. Um tapete circular é colocado sobre um piso revestido de lajotas quadradas. Todas as lajotas contendo
mais de um ponto de contato com o tapete foram pintadas de cinza. Qual das figuras abaixo não pode ser
uma representação da situação descrita?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
13. Resposta: alternativa E
Para as alternativas de (A) a (D), temos exemplos de tapetes mostrados acima que produzem tais configurações. Já no caso da alternativa (E), se existisse tal tapete, ele teria que cobrir completamente os pontos X e
Y da figura abaixo, logo a diagonal XY do quadrado XZYW estaria contida no tapete e o diâmetro do tapete seria maior que essa diagonal. Porém, um tapete com tal diâmetro cobriria também o ponto Z ou W ,
assim teríamos uma lajota a mais pintada de cinza, absurdo. Portanto não há tapete capaz de produzir a situação descrita em (E).
14. Considere a seguinte afirmação sobre uma função f definida no conjunto dos números inteiros: “Qualquer
que seja o número par x, o número f(x) é par”. Qual é a negação desta sentença?
(A) Qualquer que seja o número par x, o número f  x  é ímpar.
(B) Qualquer que seja o número ímpar x, o número f  x  é par.
(C) Qualquer que seja o número ímpar x, o número f  x  é ímpar.
(D) Existe um número par x tal que o número f  x  é ímpar.
(E) Existe um número ímpar x tal que o número f  x  é ímpar.
14. Resposta: alternativa D
A negação de uma sentença geral do tipo “Qualquer que seja x, x tem a propriedade A” é uma sentença do
tipo “Existe x tal que x não tem a propriedade A”. Portanto a negação da sentença: “Qualquer que seja o
número par x, o número f(x) é par” é a sentença “Existe um número par x, tal que f(x) não é um número par”
ou, o que dá no mesmo neste caso em que f(x) é um número inteiro, “Existe um número par x tal que f(x) é
um número impar.”
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15. O gráfico da função g dada por g  x    a  x  b  x  , com a < b, está representado em uma das alternativas abaixo. Em qual delas?
2
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
15. Resposta: alternativa A
Temos g  x    a  x  b  x   0  x  a ou x  b sendo a uma raiz de multiplicidade ímpar e b uma raiz de
multiplicidade par. Logo o gráfico da função g corta o eixo Ox em a e tangencia o eixo Ox em b, estando a à
esquerda de b. Como para x  a , a  x  0  f x   a  x b  x 2  0 , temos que apenas a alternativa (A)
pode representar o gráfico da função g.
2
16. A medida de um dos lados de um retângulo é 5. Este retângulo pode ser cortado em um quadrado e um
retângulo, sendo que um destes quadriláteros tem área 4. Quantos retângulos existem nessas condições?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
16. Resposta: alternativa D
Podemos cortar um retângulo em duas peças, sendo uma delas um quadrado de
lado x e a outra um retângulo, somente quando o retângulo menor tiver um lado de
medida x e o outro lado um y qualquer. O retângulo original terá lados de medidas x
e x + y. No caso, um dos lados do retângulo inicial mede 5 e uma das peças tem área
4. Temos as seguintes possibilidades:
4
- x = 5: neste caso é o retângulo que tem área 4 e y  ;
5
2
2
- x + y = 5: aqui pode ocorrer x  4 ou xy  4 . Se x  4 , então x = 2 e y = 3; se xy = 4 então, como x + y = 5,
temos x = 1 e y = 4 ou x = 4 e y = 1.
Portanto, há 4 retângulos diferentes nas condições propostas.
17. Vera desenhou o gráfico de uma função f : R  R , composto de duas semir-


retas e um segmento de reta. Quantas soluções tem a equação f f  f  x    0 ?
(A) 4
(B) 3
(C) 2
(D) 1
(E) 0
17. Resposta: alternativa A
 x , se x  0

A partir do gráfico, podemos concluir que a função f é definida por f x    x , se  2  x  0 .
 x  4 , se x  2

Portanto, f x   0  x  4 ou x  0 . Substituindo x por f(x), temos:
f  f x   0   f x   4 ou f x   0  x  8 ou x  4 ou x  0 .
Logo, f  f  f x   0   f x   8 ou f x   4 ou f x   0  x  12 ou x  8 ou x  4 ou x  0
ou seja, a equação tem 4 soluções.
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18. No triângulo ABC ao lado, os pontos M e N sobre o lado AB são tais que
ˆ sabendo que a medida do ânguAN  AC e BM  BC. Calcule a medida do ângulo ACB
ˆ é 43O.
lo MCN
(A) 86O
(B) 89O
(C) 90O
(D) 92O
(E) 94O
18. Resposta: alternativa E
Sejam x e y as medidas dos ângulos ACˆM e BCˆN , respectivamente. Como AN = AC,
ˆC 
temos m ACˆN  m ANˆC  x  43 e como BM = BC, temos m BCˆM  m BM
 y  43 . Assim, no triângulo CMN , temos 43  43  x  43  y  180 
ˆ é 51  43  94 .
 x  y  51 . Portanto, a medida do ângulo ACB

 


 

19. Quantos pares  x ; y  de números inteiros positivos satisfazem a equação x 2 y 3  612 ?
(A) 6
(B) 8
(C) 10
(D) 12
(E) outro número
19. Resposta: alternativa E
3
12
Como 6
612  64 
é um cubo perfeito, então 3     x 2 também é um cubo perfeito, logo x  a3 , a inteiro
y
 y 
2
612  66 
positivo. Do mesmo modo, 2     y 3 é um quadrado perfeito e y  b2 , b inteiro positivo. Assim, a
x
 x 
2
3
 36 
equação se reduz a a3  b2  612  ab  62  36 , cujas soluções são da forma a, b   k ,  , com k
 k 
2 2
divisor de 36. Como 36  2  3 possui 2  12  1  9 divisores positivos, então a equação possui 9 solu-
   


ções a, b , logo possui 9 soluções x , y   a3 , b2 .
20. Uma caixa contém 900 cartões numerados de 100 a 999, um número para cada cartão. Francisco deseja
pegar alguns cartões ao acaso e calcular a soma dos algarismos dos números de cada cartão. Pelo menos
quantos cartões ele precisa pegar para ter certeza de que três desses cartões apresentarão a mesma soma?
(A) 51
(B) 52
(C) 53
(D) 54
(E) 55
20. Resposta: alternativa C
A soma dos algarismos dos cartões varia de 1 a 27, sendo que somente o número 100 tem soma 1 e somente
o número 999 tem soma 27, com as demais somas podendo ser obtidas por pelo menos dois números distintos. Logo, se retirarmos 2  1  25 2  52 cartões, pode ocorrer de haver exatamente um cartão de soma 1,
um cartão de soma 27 e dois cartões para cada soma de 2 a 26, sem obtermos três cartões de mesma soma.
Portanto, precisamos retirar pelo menos 53 cartões para obtermos 3 de mesma soma.
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Problemas de 5 pontos
21. Quantos pares  x ; y  de números inteiros tais que x  y têm seu produto igual a 5 vezes sua soma?
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
21. Resposta: alternativa A
Temos xy  5x  y   xy  5x  5y  25  25  x  5y  5  25 . Há 4 maneiras de escrever 25 como o
produto de dois inteiros:  25   1 ,  5   5 , 5 5 e 1 25 . Como x  y , há apenas um valor possível de
x  5 e y  5 para cada um desses produtos, logo há 4 pares de soluções:  20,4  , 0,0  , 10,10 e 6,30 .
22. Seja f : R  R uma função com as seguintes propriedades: a) f é periódica de período 5; b) no intervalo
 2;3 , f é definida por f  x   x2 . Qual é o valor de f 2013 ?
(A) 0
(B) 1
(C)2
(D) 4
(E) 9
22. Resposta: alternativa D
Se a função tem período 5, então f  2013  f  2013  5  f  2013  10  
f 2013  2015  f  2 ; pela
definição, temos f  2   2  4 . Logo, f  2013  4 .
2
23. O cubo da figura ao lado é cortado por um plano que passa pelos vértices B, D e E,
vizinhos do vértice A. Semelhantemente, este cubo é cortado por outros sete planos
contendo os três vértices vizinhos de cada um dos demais vértices B, C, D, etc. do cubo. Irá restar um sólido menor contendo o centro do cubo. Qual é o aspecto desse
sólido?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) não irá sobrar nada
23. Resposta: alternativa A
O plano que passa pelos pontos B, D e E separa o tetraedro ABDE do resto do cubo
contendo o centro do cubo original. Uma das faces do sólido que irá sobrar está contida no triângulo BDE. Para cada um dos demais vértices irá ocorrer o mesmo, ou seja, o
sólido final irá apresentar 8 faces. Cada um dos 6 vértices deste sólido é o centro de
uma face do cubo original. A única figura que corresponde a esta descrição é o octaedro regular da alternativa (D).
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24. Quantos pares de números reais  x ; y  são soluções da equação x 2  y 2  x  y ?
(A) 1
(B) 5
(C) 8
(D) 9
(E) infinitos
24. Resposta: alternativa E
Para x , y  0 , temos x 2  y 2  x  y  x 2  x 
2
2
1 2
1 1 1
1 
1 1

 y  y      x     y    , que é uma
4
4 4 4
2 
2 2

2
1 1
equação de uma circunferência de centro  ,  e raio
. Como há infinitos pontos x, y  dessa circunfe2
2 2
rência com x  0 e y  0 , então há infinitas soluções para
x2  y2  x  y
, portanto há infinitas soluções
x, y  0
para x 2  y 2  x  y .
n
 , se n é par
25. Seja f : N  N (N é o conjunto dos números naturais) a função definida por f  n    2
.
 n  1 , se n é ímpar
 2
Para um inteiro positivo k, o símbolo f k  n  representa o número dado pela expressão f  f 
f  n
 , na
qual o símbolo f aparece k vezes. Qual é o número de soluções da equação f 2013  n   1 ?
(A) 0
(B) 4026
(C) 22012
(D) 22013
(E) infinitas
25. Resposta: alternativa D
Escrevendo n na base 2, temos que tanto para n par como para n ímpar, f n consiste de remover o último dígito de n (ou deixar um 0 caso haja apenas um dígito). Assim, para que f 2013 n seja igual a 1, devemos ser capazes de remover 2013 dígitos de n e sobrar um 1, logo n é um número de 2014 dígitos na base
2. O primeiro dígito de n é 1 e cada um dos outros 2013 dígitos pode ser 0 ou 1, uma vez que ao aplicar a f ,
eles serão removidos. Assim, há 22013 soluções para f 2013 n  1 .
26. Algumas retas foram traçadas num plano. A reta a intersecta exatamente três outras retas e a reta b intersecta exatamente quatro outras retas. A reta c intersecta exatamente n outras retas, sendo n  3, n  4 .
Quantas retas foram traçadas?
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) mais de 7
26. Resposta: alternativa C
Qualquer reta paralela a a intersecta exatamente 3 outras retas e como b intersecta 4 retas, então b não é
paralelo a a . Do mesmo modo, c não é paralelo a a nem a b . Como existem exatamente três retas que
intersectam a , só pode haver mais uma reta d que não seja paralela a a , mas que pode ser paralela a b ou
c . As retas b e c intersectam um número diferente de retas e como todas as retas paralelas a a intersectam tanto b quanto c , então a reta d intersecta ou b ou d . Se d intersecta b , então para que tenhamos
4 retas intersectando b , deve haver apenas uma paralela e à reta a e c intersecta a, b e e , o que são 3
retas, um absurdo. Se d intersecta c , então há duas paralelas e e f a a e a reta c intersecta a, b, d , e e f ,
ou seja, c intersecta 5 retas. Portanto o total de retas traçadas é 6.
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27. A soma dos n primeiros números inteiros positivos é um número de três algarismos iguais. Qual é a soma
dos algarismos de n?
(A) 6
(B) 9
(C) 12
(D) 15
27. Resposta: alternativa B
A soma dos n primeiros números inteiros positivos é igual a
iguais, podemos escrever
(E) 18
n  n  1
2
; como este número tem três algarismos
nn  1
 k  111 , sendo k um algarismo de 1 a 9. Temos que 111  3  37 é um
2
nn  1
 1000  n  45 , logo temos que ou n ou n  1 é igual a 37, sendo o outro é
2
igual a 6k . Se n  37 , então n  1  38  6k . Portanto, n  1  37 , n  36  6  6 e a soma dos algarismos de
n é igual a 9.
fator de nn  1 e
28. Na ilha dos esquilos, vivem apenas dois tipos de esquilos, os ticos e os tecos. Os ticos sempre dizem a verdade e os tecos sempre mentem. Um visitante da ilha encontrou dois habitantes em seu caminho e perguntou
ao mais alto se eles eram ticos. Este respondeu, mas o visitante ficou sem saber o que eles eram realmente.
Então o visitante perguntou ao mais baixo se o mais alto era tico. Depois que este último respondeu, o visitante descobriu o que eles eram. O que eram?
(A) Os dois eram ticos.
(B) Os dois eram tecos.
(C) O mais alto era tico e o mais baixo era teco.
(D) O mais alto era teco e o mais baixo era tico.
(E) Impossível saber, por falta de informações.
28. Resposta: alternativa D
Alto tico tico teco teco
A tabela ao lado mostra todas as possibilidades de classificação dos dois Baixo tico teco tico teco
habitantes.
sim não sim sim
As respostas às duas perguntas encontram-se nas duas linhas seguintes.
sim não não sim
Como o visitante ficou sem saber o que os dois eram depois da primeira
pergunta, concluímos que a resposta a ela foi sim (pois há três possibilidades com resposta sim). Como o
visitante pode identificar o que eles eram depois da segunda pergunta, concluímos que a resposta a esta
segunda pergunta foi não (que aparece apenas uma vez entre as possibilidades restantes). Isto corresponde
à terceira coluna da tabela, ou seja, o mais alto era teco e o mais baixo era tico.
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29. Giuliano escreveu um algoritmo que produz a sequência de números em que a1  1e amn  am  an  mn ,
onde m e n são números naturais. Para testar o algoritmo, Giuliano irá usá-lo para calcular o termo a100 , cujo
valor correto ele já sabe. Se o algoritmo estiver correto, que valor irá fornecer?
(A) 100
(B) 1000
(C) 2012
(D) 4950
(E) 5050
29. Resposta: alternativa E
Pela definição da sequência, temos an  an11  an1  a1   n  1  1  an1  1  n  1  an1  n . Assim, podemos escrever:
a2  a1  2  1  2
a3  a2  3  1  2  3
a4  a3  4  1  2  3  4
...
100  101
a100  a99  100  1  2  3  4   99  100 
 5 050
2
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30. Cinco carros entram numa rotatória ao mesmo tempo, vindos de direções diferentes, conforme mostrado
na figura. Cada carro dá menos de uma volta inteira na rotatória; além disso, não há dois
carros que saem da rotatória na mesma direção. De quantas maneiras diferentes os cinco
carros podem sair da rotatória?
(A) 24
(B) 44
(C) 60
(D) 81
(E) 120
30. Resposta: alternativa B
Perceba que cada carro pode escolher uma saída que não a sua própria (para não dar uma volta inteira na
rotatória) e que uma vez escolhidas as saídas, é possível que todos saiam sem que um carro dê mais de uma
volta ou que ultrapassasse outro carro (se todos os carros andarem na mesma velocidade, não haverá ultrapassagens e cada carro pode passar pelas outras 4 saídas, podendo escolher então o momento em que sai).
Assim, o total de maneiras dos carros saírem da rotatória é igual ao total de maneiras de escolher 5 saídas
para os carros de forma que nenhum carro saia na mesma direção em que entrou.
Modo 1: Numerando os carros de 1 a 5 e as saídas também de 1 a 5, se o carro 1 sai pela saída 2, temos as
seguintes possibilidades para a saída dos carros:
saídas
carros
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
3
3
3
4
4
4
5
5
5
3
4
5
1
4
5
1
5
5
1
4
4
4
5
3
5
5
1
5
1
3
3
1
3
5
3
4
4
1
4
3
3
1
4
3
1
Observe que o resultado é análogo caso o carro 1 saia da rotatória pelas saídas 3, 4 ou 5, portanto há
4  11  44 maneiras dos carros saírem da rotatória.
Modo 2: Essa contagem pode ser feita usando o princípio da inclusão e exclusão, já que ela é equivalente a
contar a quantidade de permutações dos números 1,2,3,4,5 em que nenhum desses números fique no mesmo
 5
 5
 5
5
 5
lugar. O total de maneiras é igual a 5!   4!   3!   2!   1!   0!  120  120  60  20  5  1  44 .
1 
2
 3
4
 5
Modo 3: Essa contagem pode ser feita usando o princípio da inclusão e exclusão: se X é um subconjunto de
1,2,3,4,5, então seja S X a quantidade de maneiras dos carros saírem da rotatória de modo que os carros
que estão em X
saiam pela mesma direção em que entraram. Na expressão
S 
 S{a}   S{a,b} 
 S{a,b,c} 
 S{a,b,c ,d}  S{1,2,3,4,5} , as maneiras em que ne{a} {1,2,3,4 ,5}
{a ,b} {1,2,3,4 ,5}
{a ,b ,c} {1,2,3,4 ,5}
{a ,b ,c ,d } {1,2,3,4 ,5}
nhum carro sai por onde entrou são contadas uma vez (em S ), enquanto as maneiras em que alguns carros
saem por onde entraram são contadas 0 vezes (por exemplo, as maneiras de sair em que apenas os carros 1, 2
e 3 saem por onde entraram são contadas uma vez em S , removidas três vezes em
 S{a} (uma vez
para S{1} , S{2} e S{3} ), adicionadas três vezes em
uma vez em

S{a ,b ,c}
{a ,b ,c }  {1,2 ,3,4 ,5}

S{a ,b}
{a ,b}  {1,2 ,3,4 ,5}
{a}  {1,2 ,3,4 ,5}
(uma vez para S{1,2} , S{1,3} , S{2,3} ) e removida
(em S{1,2,3} ) . Portanto essa expressão conta exatamente o que queremos e o
 5
 5
 5
5
 5
total de maneiras dos carros saírem da rotatória é de 5!   4!   3!   2!   1!   0! 
1 
2
 3
4
 5
120  120  60  20  5  1  44 maneiras.
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