Apostila-Calculos_estatísticos

Cálculos Estatístico, por Prof. Antônio Carlos Garcia
1
Antônio Carlos Garcia
CÁLCULOS ESTATÍSTICOS
Componente curricular: matemática
1º EDIÇÃO-S. Paulo, 2016
Editor: Antônio Carlos Garcia
Revisão: Tais Andrade
Batatais-SP
Edição do autor
2017
Cálculos Estatístico, por Prof. Antônio Carlos Garcia
2
Introdução
Dados Brutos, rol e amplitude
Gráficos Estatísticos
Curvas Simétricas e Assimétricas
Distribuição de frequência
Distribuição de frequência com intervalos de classe
Medidas de posição: Média, Mediana e Moda
Medidas de dispersão: Desvio padrão
Coleta e apuração de dados
Obtendo uma amostra
Princípios de estimação
Bibliografia
Índice
05
06
08
13
19
20
23
33
42
44
46
47
Catalogação na Publicação (CIP)
Ficha catalográfica elaborada pelo autor
Garcia, Antônio Carlos
Fundamentos da Matemática Financeira: Antônio Carlos Garcia/Garcia
1ed. São Paulo: Clube de Autores, 2015
“Componente curricular: Matemática”
Bibliografia.
59 p.; 21cm
ISBN:
1.Cálculos Estatístico. Título
G111a 2015
CDD-519.2
Aos alunos(as):
Com muito carinho e orgulho, apresentamos aqui a primeira versão deste trabalho que conta com experiência de
trinta e três anos de sala de aula. Espero que seja de grande valia aos estudantes do Ensino Técnico.
Sobre o autor:
Antônio Carlos Garcia, casado e pai de dois filhos, licenciado em Matemática (Licenciatura Plena) pela Faculdade
de Filosofia, Ciências e Letras "Barão de Mauá”, em Ribeirão Preto, SP.
Atividades Profissionais Docentes
Professor efetivo de matemática desde 1983 na rede Estadual de ensino de São Paulo. Atualmente, leciona na EE
“Dr. Washington Luis”, em Batatais, SP. Professor da ETEC “Antônio de Pádua Cardoso” do Centro Paula Souza, na
mesma cidade.
Foi Professor de Física e Desenho Geométrico na Escola "Ateneu Barão de Mauá”, em Ribeirão Preto-SP, em 1977.
Participou de dois mandatos na Diretoria da Apeoesp - Sindicato dos professores do Estado de São Paulo, de 1989
a 1990 e 1999 a 2001.
Outras Atividades: Fui eleito vereador, exercendo o mandato de 2000 a 2004 em Batatais-SP. Nesta experiência
política, muito contribuiu para educação e área social do município.
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Introdução:
Por um longo tempo, a palavra estatística era referência a informações numéricas sobre o estado e política
territoriais. A palavra vem do latim “statisticus”, que significa do estado. A estatística como conhecemos teve
muitos séculos de desenvolvimento.
A estatística pode ser descritiva ou inferencial. A estatística descritiva organiza e resume dados numéricos.
Descreve o conjunto de dados representado pela amostra. A estatística inferencial se interessa pelas
generalizações, ou seja, pelas transferências de conclusões das amostras para as populações. Na inferência de
suas conclusões, o pesquisador vale-se de um poderoso recurso que é a teoria das probabilidades. Essa teoria
permite avaliar (e controlar) o tamanho do erro que ele estará cometendo ao fazer generalização.
Análise e Interpretação dos resultados
A análise depende naturalmente dos dados, mas também é função dos instrumentos criados pelo estatístico,
supostamente mais apropriados de acordo com a sua lógica. As lógicas de interpretação dos resultados oferecem
explicações prévias dos mesmos em função das representações sociais (*). A maior vantagem do sociólogo
sobre o estatístico é que o primeiro permanece sempre consciente das limitações da linguagem estatística.
(*) A realidade acessível aos agentes resulta tanto da própria realidade quanto das representações sociais que
tem da mesma. Estas podem ser definidas como modalidades de conhecimento prático, socialmente
elaboradas e partilhadas. Constituem, simultaneamente, sistemas de interpretação e categorização do real e
modelos ou guias de ação.
Apresenta um exemplo em que a divergência de resultados sobre o mesmo objeto coloque em causa a pretensa
objetividade do trabalho estatístico.
A proposta deste trabalho é tratar de assuntos como razão, porcentagem, proporcionalidade, construção e
interpretação de tabelas e gráficos, uso do transferidor, construção do setor circular etc.
Aplicações da Estatística
A estatística é uma ciência de múltiplas aplicações e de fundamental importância no campo
da investigação científica, sendo de utilização cada vez mais acentuada em qualquer atividade profissional. Sua
aplicação é voltada para pesquisas, organização de relatórios/palestras e tomadas de decisão.
Exemplos:

Na indústria - controle de qualidade;

Na biologia - teoria da hereditariedade genética;

Na economia - pesquisa de mercado;

No serviço social – indicadores sociais;

Na empresa – tomadas de decisão, controle de estoque.
População e Amostragem
População é qualquer conjunto de informações que tenham, entre si, uma característica comum. O conjunto
de todos os carros produzidos no Brasil, de todo as cores de olhos, de notas de matemática de uma classe, são
exemplos de população.
Se uma população for muito grande, recorre-se a uma amostra que, basicamente, constitui uma redução da
população a dimensões menores, sem perda das características essenciais.
Exemplo:
1-Dos 90 alunos, 54 são meninos e 36 são meninas. Queremos uma amostra de 10% da população.
Sexo
M
F
Total
População
54
36
90
Amostragem
5
4
9
DADOS BRUTOS, ROL e AMPLITUDE
TOTAL
Aprendemos que o conjunto de dados numéricos obtidos
após a crítica dos valores coletados constitui-se nos DADOS
BRUTOS, e o ROL é o arranjo dos dados brutos em ordem crescente.
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Assim, por exemplo: 24, 23, 22, 28, 35, 21, 23, 33, 34, 24, 25, 21, 36, 26, 22, 30, 32, 25, 26, 33,
34, 21, 31, 34, 25, 31, 26, 25, 33, 31 são exemplos de dados brutos.
Enquanto 21, 21, 21, 22, 22, 23, 23, 24, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 28, 30, 31, 31, 31, 32, 33, 33,
33,
34,
34,
34,
35,
35,
36
constituem o rol. Outro conceito básico que aprendemos foi a AMPLITUDE TOTAL (AT), que
nada mais é que a diferença entre o maior e o menor valor observados.
No exemplo dado acima, AT= 36 – 21 = 15.
Os dados estatísticos podem estar organizados ou desorganizados. Quando organizados, recebem o nome de
“dados estatísticos em rol” e, quando desorganizados, recebem o nome de “dados estatísticos brutos”.
Os dados estatísticos em rol podem ser organizados em ordem numérica, alfabética ou ainda alfanumérica
(quando aplicável); de forma crescente ou decrescente. Veja os exemplos abaixo:
Dados Estatísticos Brutos
U=(9, 5, 1, 7, 5, 3, 3, 6, 9, 7, 8, 5)
Dados Estatísticos em Rol
U=(1, 3, 3, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9)
U=(9, 9, 8, 7, 7, 6, 5, 5, 5, 3, 3, 1)
Os dados estatísticos também podem ser identificados pela sua espécie ou tipo, sendo eles:
1. Dados Contínuos são aqueles onde as variáveis podem assumir qualquer valor dentro de um intervalo
de valores; digamos todos os valores x no intervalo 0≤ x≤ 1, assim, estas são então variáveis contínuas.
Como exemplo de variável contínua temos o peso líquido de cada pneu num universo de pneus novos
de uma certa marca, modelo e dimensão.
2. Dados Discretos, onde as variáveis só podem assumir determinados valores num intervalo de valores,
ou seja, a menor diferença não-nula entre dois valores dessa variável é finita. Um exemplo de variável
discreta é o número de pontos obtidos em cada jogada durante o lançamento de um dado comum não
viciado.
Apuração de dados e análise de resultados
Após a coleta de dados, o estudante deve tabular os dados. A tabulação pode ser feita à mão, mecânica ou
eletronicamente. No caso de estudos mais amplos, com mais dados, recomenda-se o emprego de software para
economizar tempo, recursos, esforços e diminuir as margens de erro.
Tabular os dados significa ler as respostas uma a uma, contá-las e organizá-las. Nas pesquisas quantitativas, no caso de
questionários, basta contabilizar as respostas de cada alternativa. Nesse caso, o excel pode ser uma ótima opção para
contagem dos dados, em especial com o uso das tabelas dinâmicas. As tabelas dinâmicas possibilitam cоmparação entre
dados e encontrar novas infоrmações. Por exemplo, pode-se cruzar o gênero, faixa etária, faixa de renda com outras
questões. Em pesquisas mais complexas é importante contar com a ajuda de um estatístico.
Como se faz uma tabulação simples? Para exemplificar, apresentam-se os
resultados referentes à questão: Qual a sua faixa etária?
Na parte superior da tabela, existem dois campos, quais sejam, frequência e
percentagem. O primeiro refere-se ao número de respostas contadas em cada
alternativa. O segundo refere-se à fração por cento de qualquer coisa. Missing
refere-se ao número de perguntas que não foram respondidas. No caso, a maior
frequência ocorre com respondentes entre 20 e 29 anos, seguidos da faixa de 30
a 39 anos.
Se tiver que realizar a tabulação de uma pergunta aberta ou de uma entrevista, é
necessário padronizar as respostas por categorias antes da tabulação. Veja o exemplo a partir da pergunta: O que é
necessário investir em Brasília?
Respostas:
Aumentar as linhas de metro.
Mais ônibus em boas condições
Categoria: TRANSPORTE
Ônibus e metrôs.
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Prender os bandidos.
Leis mais rígidas
Categoria:
SEGURANÇA
Policiamento
Depois de criar as categorias, basta identificar a
frequência de cada uma, como mostra a tabela:
Os resultados mostram que a maioria dos
respondentes considera que segurança (36,5%) é uma
questão importante em Brasília. Para 22,4% dos
entrevistados, Brasília requer um sistema de saúde
melhor. Outros 1,1 dos respondentes não souberam
responder à questão.
1.
Os dados precisam ser classificados em
subgrupos e reunidos para comprovar ou refutar as
hipóteses de pesquisa. Para apresentação dos resultados,
pode-se recorrer à tabelas, quadros ou gráficos. Quadros
são informações textuais agrupadas em linhas e colunas, e
tabelas são informações geralmente numéricas. Para inserir as ilustrações no trabalho, é importante verificar a
norma ABNT NBR 10719:2011, Informação e documentação — Relatório técnico e/ou científico — Apresentação. As
regras são:
A identificação da ilustração deve aparecer na parte superior, precedida da palavra designativa (desenho, esquema,
fluxograma, fotografia, gráfico, mapa, organograma, planta, quadro, retrato, figura, imagem, entre outros), seguida do
número de ordem de ocorrência no texto, em algarismos arábicos, travessão e do respectivo título. Após a ilustração, na
parte inferior, indicar a fonte consultada (elemento obrigatório, mesmo que seja produção do próprio autor), legenda,
notas e outras informações necessárias à sua compreensão (se houver). A ilustração deve ser citada no texto e inserida o
mais próximo possível do trecho a que se refere.
DADOS ABSOLUTOS E DADOS RELATIVOS
Os dados estatísticos resultantes da coleta direta da fonte, sem outra
manipulação senão a contagem ou medida, são chamados dados
absolutos.
Dados relativos são o resultado de comparações por quociente (razões)
que se estabelecem entre dados absolutos e tem por finalidade realçar ou
facilitar as comparações entre quantidades.
Traduzem-se os dados relativos, em geral, por meio de percentagens,
índices, coeficientes e taxas.
Um ponto importante que vale destacar é que os gráficos,
tabelas e quadros DEVEM SER CITADOS no próprio texto.
Veja um exemplo:
De acordo com 85% dos estudantes, as disciplinas
obrigatórias de biblioteconomia não os capacitam para o
ensino da leitura. Outros 15% afirmaram que as disciplinas de Biblioteconomia capacitam profissionais
para lidar com a leitura. O Gráfico 48apresenta os resultados.
Gráfico 48 – Disciplinas de biblioteconomia e formação do leitor
Fonte: Elaboração Própria
Além de apresentar os dados da pesquisa, é necessário discutir os resultados. Por exemplo, o que
significa o fato de 85% da amostra responderem que não se sentem capacitados para lidar com as questões de
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ensino-aprendizagem de leitura? Outro exemplo: 70% dos estudantes do plano piloto estudam em escolas
particulares. O que isso significa?
Cabe ao estudante/escritor elaborar uma explicação para os dados. Contudo, as explicações devem ser
embasadas na literatura da área. É crucial que o autor confronte os resultados com os de outros pesquisadores. A
interpretação busca dar significado as respostas encontradas, vinculando-as com dados da literatura e os
objetivos propostos na pesquisa.
IMPORTANTE!!!
O pesquisador deve ultrapassar a mera descrição dos resultados obtidos, acrescentando algo novo ao que se
conhece sobre o assunto.
Check list
·
·
·
·
·
·
·
Comece o tópico com breve informação sobre o que será tratado. Exemplo: “O presente capítulo trata da descrição
dos dados e discussão dos resultados, coletados a partir da pesquisa documental e questionário” .
Iniciar a apresentação dos dados retomando a pergunta do instrumento de coleta de dados. Exemplo: A questão
três trata da escolaridade dos leitores de quadrinhos…
A apresentação dos dados deve ser mostrada de questão em questão. Apresentam as perguntas, em seguida, as
respostas mais significativas, isto é, aquelas que apresentaram maior número de respostas. É importante também
destacar as que não receberam respostas. Depois, insere-se a ilustração (gráfico, quadro, tabela, etc).
Os gráficos, tabelas e quadros devem ser citados no texto.
Nas ilustrações e tabelas, deve-se colocar o título na parte superior, por exemplo: Gráfico 48 – Disciplinas de
biblioteconomia e formação do leitor. A fonte deve constar na parte inferior. Se o gráfico for elaborado pelo
estudante/autor, registrar: Fonte – elaboração própria.
A discussão dos dados pode ser realizada após a questão ou por blocos de questões. A discussão deve estar
fundamentada na literatura e não no achismo.
Após apresentar um bloco de perguntas/respostas, deve-se resumir os principais pontos encontrados. Exemplo de
resumo de perguntas para caracterização do perfil: O perfil do estudante de biblioteconomia é composto em sua
maioria pelo gênero feminino, com idade entre 21 e 25 anos. Os estudantes moram no Distrito Federal, havendo
poucos que moram no entorno. Com relação à renda familiar do estudante, o maior percentual situa-se na faixa
acima de R$ 3.000,00. Em relação à educação básica, a maioria dos estudantes cursou instituições partic
PORCENTAGEM, ÍNDICES Econômicos, coeficientes e taxas
PORCENTAGEM
Considere a série:
MATRÍCULAS NAS ESCOLAS
DA CIDADE A – 1995
CATEGORIAS NÚMERO DE ALUNOS
1°grau: 9.286 ( porcentagem: 9286/11.201x100 = 82,9% )
2° grau: 1.681 ( porcentagem:
)
3° grau : 234 ( porcentagem:
Total:
11.201
(Dados fictícios)
Calcule as porcentagens dos alunos de cada grau:
ÍNDICES
Os índices são razões entre duas grandezas tais que uma não inclui a outra.
São exemplos de índices:
Idade mental
Quociente intelectual = X 100
Idade cronológica
população
Densidade demográfica = X 1000
Superfície
Índices Econômicos
Valor total da produção
)
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Produção per capita =
População
Consumo do bem
Consumo per capita =
População
Renda
Renda per capita =
População
Receita
Receita per capita =
População
COEFICIENTES
Os coeficientes são razões entre o número de ocorrências e o número total.
Número de nascimentos
Coeficiente de natalidade =
População total
Número de óbitos
Coeficiente de mortalidade =
População total
Coeficientes educacionais
Número de alunos evadidos
Coeficiente de evasão escolar =
Número inicial de matrículas
Número de alunos aprovados
Coeficiente de aproveitamento escolar =
Número final de matrículas
Número de alunos recuperados
Coeficiente de recuperação =
Número de alunos em recuperação
TAXAS
As taxas são coeficientes multiplicados por uma potência de 10 (10, 100, 1000, etc.) para tornar o resultado mais
inteligível.
Exemplos:
Taxa de mortalidade = coeficiente de mortalidade x 1.000
Taxa de natalidade = coeficiente de natalidade x 1.000
Taxa de evasão escolar = coeficiente de evasão escolar x 10
2.Gráficos Estatísticos
2.1-Gráfico de colunas
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Diferença salarial entre patentes militares
35000
30000
25000
20000
Série1
15000
10000
5000
0
Brasil
EUA
Canadá
Alemanha
Ve
Br
a
ne sil
El zu
Sa ela
lv
N ad
ica or
C rag
os ua
ta
R
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M a
G éxi
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te
m
al
P
R
.D ana a
om m
in á
i
N can
ica a
ra
gu
a
100000
80000
60000
40000
20000
0
2.2-Gráfico de Setor
Série1; 4800
Série1; 4000
1
2
Série1; 6000
3
4
Série1; 31815
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2.3-GRAFICO DE BARRAS
Opinião dos professores segundo atos de violência observados
Estado de São Paulo, 2006 (1)
Agressão verbal
95,900%
Atos de
vandalismo
88,500%
Agressão física
82,200%
Furto
Roubo ou assalto
a mão armada
Violência sexual
Assassinato
76,400%
17,800%
9,100%
7,000%
Fonte: DIEESE-APEOESP - Pesquisa Violência nas Escola
Elaboração: DIEESE – Subseção Apeoesp/Cepes
Nota(1): Os dados não somam 100% pois foi possível assinalar mais de uma alternativa
2.4- Gráficos em barras compostas.
2.5- Gráficos em colunas superpostas.
• Eles diferem dos gráficos em barras ou colunas convencionais apenas pelo fato de
apresentar cada barra ou coluna segmentada em partes componentes. Servem para
representar comparativamente dois ou mais atributos.
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MTP – massagem transversa profunda
2.6- Gráficos em linhas ou lineares.
• São frequentemente usados para representação de séries cronológicas com um grande número
de períodos de tempo. As linhas são mais eficientes do que as colunas quando existem intensas
flutuações nas séries ou quando há necessidade de se representarem várias séries em um mesmo
gráfico.
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2
.
7
2.8-Gráfico Pictórico
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2.9-Gráfico de curvas
Curva de frequência - curva polida
Como em geral, os dados coletados pertencem a uma amostra extraída de uma população, podemos imaginar as amostras
torando-se cada vez mais amplas e a amplitude das classes ficando cada vez menores, o que nos permite concluir que a
linha poligonal tende a transformar-se numa curva- a curva de frequência-, mostrando, de modo mais evidente, a
verdadeira natureza da distribuição da população.
As principais formas das curvas de frequência
a)
Curva em forma de Sino
Tais curvas caracterizam-se pelo fato de apresentam um
valor máximo na região central e podem ser simétricas ou
assimétricas.
São muitos os fenômenos que apresentam distribuições em
forma de sino: as estaturas de adultos, o peso de adultos, os
QIs medidos em testes de inteligência, os preços relativos,
etc.
Curva Simétrica: Apresenta o valor máximo no seu ponto central e os pontos equidistantes desse centro
apresentam a mesma frequência.
Curvas Assimétricas
Distribuição Assimétrica à direita (positiva)
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Nas distribuições assimétricas os valores da moda, da mediana e da média (𝑥̅ ) divergem sendo
que a média sempre estará do mesmo lado que a cauda mais longa.
Assimétrica à esquerda (Negativa): .... x à esquerda da Mo (x < Md < Mo)
Curvas em forma de J
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Exemplo
EXERCÍCIOS
1-André gastou sua mesada em duas semanas. Nesse momento, assustou-se e resolveu fazer uma tabela para
verificar seus gastos. Faça um gráfico de setores para mostrar como André gastou sua mesada.
Itens
porcentagem
alimentação
25
empréstimo
30
roupas
10
revistas
15
diversão
10
outros
10
O círculo tem 360º. Assim, 30% de 360o é 108o. Calcule as demais porcentagens. Represente em um gráfico de
setor do círculo abaixo:
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a) Coloque num gráfico de setores os resultados obtidos por Daniel no jogo de dado. (pag. 4)
Gráficos
Os dados estatísticos podem também ser apresentados por meio de um gráfico.
Os gráficos facilitam a compreensão e ajudam a interpretar um determinado fenômeno.
Em nossos meios de comunicação, os gráficos são apresentados com bastante criatividade, cuja finalidade é chamar
atenção para o fenômeno apresentado.
a) gráfico linear
É o tipo de gráfico que apresenta por meio de uma linha poligonal. São utilizados para representar séries cronológicas.
Consumo de energia elétrica
Seção 1.02
De uma residência –jan /jun-97
Fonte: conta de energia elétrica – CPFL
(a)
Meses
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Maio
Junho
Consumo ( Kwh)
51
160
310
220
350
315
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16
1901ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
Luz
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
JAN
FEV
MAR
ABR
MAI
JUN
b) GRÁFICO DE
COLUNAS
FOCO DE INCÊNDIO NO BRASIL
1991-1195
ANOS
1991
1992
1993
1994
1995
C) Gráfico de Barras
QUEIMADAS (EM MILHARES)
17,8
13,1
19,8
8,5
39,9
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17
4° Trim.
3° Trim.
2° Trim.
1° Trim.
Norte
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
Oeste
Leste
1900ral
D) GRÁFICO EM SETORES
Bem mineral
Bauxita
Cobre(1)
Estanho(2)
Ferro(1)
Manganês(1)
Níquel(1)
Ouro(3)
Tungstênio
Quatidade (em 1000000 t)
2098
1290
47451
17625
90
81
86809
2
Pará/Brasil(%)
76,20%
73,70%
6,70%
46,50%
27,60%
21,20%
6,40%
29,10%
RESERVAS MINERAIS
(MINERAIS METÁLICOS)
Bauxita
29,10%
6,40%
21,20%
Cobre(1)
Estanho(2)
76,20%
Ferro(1)
27,60%
Manganês(1)
Níquel(1)
46,50%
6,70%
73,70%
Ouro(3)
Tungstênio
EXERCÍCIOS
1-A tabela representa a população brasileira de pessoas com idade maior ou igual a 60 anos.
Construa:
a)Um gráfico de colunas.
b)Um gráfico de barras.
c)Um gráfico em setores.
ANOS
Nº DE PESSOAS
d)Um gráfico pictórico.
(EM MILHÕES)
1950
1960
1970
1980
1991
2,2
3,3
4,7
7,3
10,7
FONTE : IBGE
2- Represente num gráfico de linha a tabela seguinte.
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18
POPULAÇÃO PRESENTE NO BRASIL. 1890 – 1996
ANOS
POPU
LAÇÃO
(EM
MILLHÕES)
1890
14,3
1900
1920
1940
1950
1960
1970
1980
1990
1996
17,4
30,6
41,2
51,9
70,1
93,1
119,
146,8
157
3-As tabelas abaixo foram retiradas da Revista veja de 23 de julho de 1997.
Remuneração mensal de policiais no mundo dados em dólares.
Tabela 1 – Salário médio de um policial militar em início de carreira.
Brasil
390
Inglaterra
3000
EUA
2083
França
1480
Itália
1400
Japão
3500
Tabela 2- Diferença salarial entre as patentes mais baixas e as mais altas.
Brasil
31815
EUA
6000
Canadá
4000
Alemanha
4800
a)
Represente a tabela 1 em gráfico de barras.
b)
Represente a tabela 2 em um gráfico de setores.
4- Com base nos dados a seguir, construa:
a)Um gráfico de colunas múltiplas;
b) Um gráfico de
setores sendo: um
referente
a
importação e outro
referente
a
exportação.
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Importações
1
7
2
8
3
9
4
10
5
11
19
6
4- -(Questão do ENEM 2008) O gráfico abaixo mostra a área desmatada da Amazônia, em km2, a cada ano, bi período
1988 a 2008.
Medidas de posição: média, Moda e mediana
1.1-Distribuição de frequência
Análise do conjunto de dados:
Preparação:
• Tabela de distribuição de frequência;
1.2-Gráficos de distribuição de frequência. ( Obs.: fazer a tabela da pag. 29)
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20
Na análise de conjuntos de dados, é costume dividi-los em classes ou categorias e verificar o número de
indivíduos pertencentes a cada classe, ou seja, a frequência de classe.
A distribuição agrupada segundo as classes da variável em estudo é chamada de distribuição de frequência,
podendo ser apresentada da forma tabular ou gráfica. Antes, porém, é importante a definição de frequência:

Frequência absoluta simples de classe f i;

Frequência absoluta acumulada de classe F i;

Frequência relativa simples de classe f r i;

Frequência relativa acumulada de classe Fr i;

Frequência relativa percentual de classe fr (%);

Frequência relativa percentual acumulada de classe Fr (%).
A primeira fase de um estudo estatístico consiste em recolher, contar e classificar os
dados colhidos sobre uma população estatística. Escolhida uma característica estatística
sobre os elementos de uma população estatística, é preciso elaborar uma tabela de dados
denominada de distribuição de frequência.
Exemplo:
Distribuição de frequência do grau de instrução do chefe da casa, numa amostra de
40 famílias do conjunto residencial Monte Verde, Florianópolis, SC, 1988.
Na primeira coluna, aparecem os diferentes valores da variável estatística,
que
representamos por x i .
Na segunda coluna, aparecem o número de vezes que cada valor aparece;
esta coluna é chamada de frequência absoluta, que é representada por fi.
Frequência absoluta (fi) do valor de xi é o número de vezes que a variável estatística assume o valor de xi.
1.3-Distribuição de frequência com intervalos de classe
Variável contínua: quando a quantidade de dados é muito grande, é difícil analisar o conjunto de valores através
de uma variável discreta. Portanto, os valores são agrupados em diversos intervalos para obter uma ideia geral
do fato.
Ao agrupar os valores de uma variável em classes, ganha-se em simplicidade, mas perde-se em detalhes. Quando
os dados são organizados em uma variável contínua, são denominados dados agrupados.
Para a construção de uma variável contínua, é fundamental determinar alguns elementos, tais como:
• Número de classe;
• Limite de classe;
• Intervalo de classe;
• Amplitude do Intervalo de classe;
• Ponto médio de uma classe;
• Amplitude total de uma sequência de dados;
• Amplitude amostral.
Classes:
Classes de frequências são intervalos de variação da variável. As classes são representadas simbolicamente por
“i”, sendo i = 1, 2, 3,..., K, onde K é o número total de classes. Intervalo de Classes: é qualquer subdivisão de
uma série estatística. O intervalo de
classe que tem a maior frequência é denominado de intervalo de classe modal e sua
frequência é denominada de frequência de classe modal.
Limites de classe: denomina-se limites de classe os extremos de cada classe.
li: limite inferior da classe i
LS: limite superior da classe i
Amplitude de um intervalo de classe: é a medida do intervalo que define a classe.
hi = LS – li
Ponto médio de um intervalo de classe:
Cálculos Estatístico, por Prof. Antônio Carlos Garcia
21
xi 
Ls  l i
2
1.4-Número de classe:
A primeira preocupação na construção de uma distribuição de frequência é a
determinação do número de classes e consequentemente da amplitude e dos limites dos
intervalos de classe.
Na realidade, não existe uma regra fixa para determinar o número de classes adequado para uma distribuição.
Entretanto, para minimizar as dificuldades, utiliza-se a regra de Sturges, que permite determinar, empiricamente,
o número de classes em função do número de valores da variável, de acordo com a equação abaixo:
K = 1 + 3,322 . log n
K é o número de classes;
n - Número total de dados;
Calcule o número de classes através da fórmula k = n
X max  X min
Podemos utilizar uma fórmula prática: h 
, onde n é o número de dados.
n
O número de classes deve ser um número inteiro, logo, quando preciso, o arredondamento deve ser feito para o
inteiro superior.
Decidido o número de classes, pode-se determinar a amplitude de um intervalo de classe de acordo com a equação
abaixo: Quando o valor de H não for exato, deve-se arredondar para o inteiro superior. Exemplo de uma tabela de
Frequência com intervalo de Classes. Número de horas semanais trabalhadas por operários em uma determinada
empresa: 41,41,42,43,44,44,44,45,46,48, 49,49,50,52,53,57,57,58,58,60 , sendo
k =
20  5
e h =
60 - 41
 3,8  4 . Representaremos por |____ o intervalo de cada classe. Por exemplo: 5 |____10 é o intervalo de
5
classe que compreende todos os valores entre r inclusive e 10 exclusive.
Classe
xi
41 |__ 45
43
45 |__ 49
47
49 |__ 53
51
53 |__ 57
55
57 |__ 61
60
fi
7
3
4
1
fri
fri (%)
Fi
Fri
Fri
(%)
7/20=0,35
35
7
0,35
35
0,15
15
10
0,50
50
0,20
20
14
0,70
70
0,05
5
15
0,75
75
5
0,25
25
20 1,00
100
1,00
100
∑ 20
EXERCÍCIOS ( do 1 ao 4 fazer em sala de aula. Do 5 ao 7 trabalho para nota)
1-Considerando altura de alunos de uma classe:
Resultado das alturas (em cm)
150 154 155 156 160 161 162 164 166 169
151 155 155 158 160 161 162 164 167 170
152 155 156 158 160 161 163 164 168 172
153 155 156 160 160 161 163 165 168 173
Construa uma tabela com dados agrupados em classes.
a.
Calcule: fi, Fi, fri, Fri, fri% e Fri%.
2- Os pesos, em Kg , de 52 estudantes estão relacionados na tabela abaixo.
a) Monte a distribuição com todos os tipos de frequência.
48 51 53 54 56 57 57 58 59 60 60 62 67
Cálculos Estatístico, por Prof. Antônio Carlos Garcia
22
49
49
51
52
52
52
53
53
53
54 56
54 56
55 57
57
57
57
57
57
58
58
58
58
59
59
59
60
60
60
61 63 68
61 64 70
61 64 72
3-Os conceitos do 1º Bimestre em Matemática dos 35 alunos da 5a Série estão anotados na seguinte tabela:
C
A
B
C
A
B
C
A
E
D
C
A
C
E
B
B
E
E
E
B
B
E
E
C
B
D
E
C
C
B
B
C
A
C
A
a.
b.
c.
Monte a distribuição de frequência.
Quantos alunos obtiveram conceito A ou B? Qual a porcentagem?
Qual a % de alunos que estão com D e E?
4-Complete o que falta na distribuição de frequência abaixo:
Classe
xi
41 |__ 45
43
45 |__ 49
47
49 |__ 53
51
53 |__ 57
55
57 |__ 61
59
fi
7
fri
fri (%)
Fi
Fri
Fri (%)
3
4
1
5
∑ 20
5-Abaixo, são relacionados os salários semanais (em Reais) de 60 operários de uma fábrica de sapatos.
110 120 125 136 145 150 165 172 180 185
110 120 125 140 145 155 165 172 180 190
115 120 130 140 145 158 168 175 180 190
115 120 130 140 147 158 168 175 180 195
117 120 130 140 150 160 170 175 180 196
117 123 135 142 150 163 170 178 185 197
Construir uma distribuição de frequências adequada.
6-Complete os dados que faltam na distribuição de frequência abaixo:
7- Abaixo, são relacionados a jornada semanal de 60 operários de
uma fábrica, em horas trabalhadas:
35 40 41 42 43 46 48 49 50 58
35 40 41 42 43 46 49 49 50 58
36 40 41 42 43 46 49 49 57 60
36 40 41 42 43 47 49 49 57 61
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23
37
37
41
41
41
41
42
43
43 47 49 49 58 62
45 48 49 49 58 65
Construa uma tabela com dados agrupados em classes.
a.
Em seguida, calcule: fi, Fi, fri, Fri, fri% e Fri%.
Medidas de Tendência Central : Média , Mediana e Moda
2.1- Medidas de posição
Além das tabelas e dos gráficos, que têm com objetivos organizar e dar uma imagem visual dos dados,
existem certas características de uma distribuição, como o valor central e a dispersão dos valores, que
podem ser resumidas por meio de certas quantidades.
Exemplos destas quantidades, conhecidas por 'estatísticas' descritivas, são: a mediana,
a média, o desvio padrão e a correlação.
Medidas centrais:
2.1.1-MÉDIA
• A média de um conjunto de n observações é a média aritmética; é a soma das
observações dividida pelo seu número. Se X1,X2,X3, ...,Xn forem as n observações,
n
então, a média deste conjunto é: (média)
X
X
i 1
n
i
. Quando os dados estão agrupados numa tabela de
frequências, a soma de observações idênticas é equivalente a multiplicar esse valor, Xi, pela sua frequência
fi. Assim, a média pode ser calculada através de:
EXERCÍCIOS
1-Calculando a média aritmética das duas séries abaixo:
a)9,7,10,12 e 8
b) 7,7,8,8,8,12,12,15 e 18
Calculando a média distinta das séries a) e b), será:
A)X a= 9,2 e X b = 10,5
B) X a= 8,2 e X b = 9,5 C) X a= 7,2 e X b = 8,5
D) N.D.A
D) X a= 6,2 e X b = 7,5
2- Calculando a média aritmética das seguintes distribuições
a)
Xi
fi
4
2
5
3
Xi
fi
10
2
12
5
7
4
9
1
b)
15
7
17
10
20
16
Considerando que a Média e dado por X = ∑xi .fi , calculando a média de cada distribuição, teremos:
∑ fi
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24
A)X a= 9 e X b = 10,5
B) X a= 6 e X b = 16,88 C) X a= 7 e X b = 18,5 D) X a= 5 e X b = 17,5
D) N.D.A
3- Considerando os seguintes valores de uma variável X: 2 , 4 , 6 e 8.
a)Calcule a média aritmética destes valores.
b)Some três unidades em cada um dos valores de X e calcule a média.
c)Subtraia uma unidade em cada um dos valores de X e calcule a média.
d)Multiplique por 4 cada um dos valores de X e calcule a média.
e)Divida por dois cada um dos valores de X e calcule a média.
Comparando os resultados obtidos podemos afirmar que:
A) Que não existe nenhuma relação entre as operações realizadas e os resultados obtidos e a média.
B) Os resultados obtidos e a média não permite nenhuma comparação.
C) É uma importante propriedade da Média aritmética, pois os resultados ficam alterados na mesma proporção das
operações efetuadas.
D) N.D.A
4- Na distribuição a seguir, determine a média:
Classe (Estatura em cm.)
(fi) N° de pessoas
120 |__ 126
6
__
126 | 132
12
132|__138
16
138|__144
15
144|__150
7
150|__156
4
60
∑
2.1.2-MEDIANA
A mediana é o valor típico, isto é, é o ponto central das observações quando elas estão colocadas por ordem
crescente.
Quando o número de observações é ímpar, o valor do meio é a mediana; quando o número de observações
é par, existe um par de valores no centro e a mediana passa a ser a média aritmética desse par. Para o
cálculo da mediana, podemos usar a regra:
- Se existem n observações, calcule a quantidade (n + 1)/2. Coloque as observações
por ordem crescente e conte do início (n+1)/2 observações. Se n for ímpar, a última contabilizada será a
mediana da lista; se n for par, a quantidade (n + 1)/2 não é inteira, e tomamos a semi-soma das duas
observações contíguas a esta quantidade (a anterior e a posterior) da lista.
Quando os n dados estão agrupados por k classes/intervalos, podemos usar o seguinte processo para o
cálculo da mediana:
– calcular n/2,
– calcular as frequências absolutas acumuladas das classes,
– determinar o intervalo que contém a mediana. Seja M o número desse intervalo (M é um inteiro de 1 a k).
A frequência acumulada dos intervalos anteriores ao do da mediana é FM−1 (frequência da classe anterior). A
frequência absoluta do intervalo da mediana é fM e a acumulada é FM, e FM−1 < n/2 < FM,
– calcular o número de observações que devemos tomar do intervalo da mediana
e que é igual a n/2 − FM−1,
– como existem fM observações no intervalo da mediana e considerando-as uniformemente distribuídas, o
valor da mediana está a
de distância do início do intervalo da mediana que tem amplitude igual a A e
cujo limite inferior da classe mediana é liM . A é a amplitude da classe (Xmax-Xmin).
Assim, Mediana =l𝑥̌
𝑛
−𝐹𝑎𝑛𝑡
2
𝑓𝑥̌
. ℎ , onde:
l𝑥̌ : limite inferior da classe mediana.
n:número de elementos da distribuição.
Fant: frequência acumulada da classe anterior a classe mediana.
𝑓𝑥̌: frequência da classe mediana.
Cálculos Estatístico, por Prof. Antônio Carlos Garcia
25
h: amplitude do intervalo de classe.
A moda é o valor mais frequente, isto é, o valor com maior frequência entre as
observações.
Para o cálculo da moda, convém colocar as observações por ordem crescente para se ver qual delas ocorre mais
vezes. Pode até haver mais do que uma moda. Destas medidas centrais, a média e a mediana são as mais usadas.
A mediana utiliza informação relativa à ordem, não usando os valores numéricos das observações. A média,
por sua vez, usa esses valores numéricos, sendo por isso a mais usada.
As diferentes sensibilidades da média e da mediana a valores extremos podem ser mais
visíveis usando a curva das frequências desse conjunto de dados. A moda é o valor onde
a curva é mais alta. A mediana é o valor que divide a área, compreendida entre o eixo
e a curva, em duas partes iguais; metade fica à esquerda da mediana e a outra metade à
direita. A mediana é ponto central de uma distribuição simétrica.
Numa curva normal, o ponto mais alto está no centro e a moda coincide com a mediana,
e também com a média. A figura 4.2 apresenta dois casos de distribuições não simétricas e dois gráficos de
distribuições simétricas.
Teste
1-Calculando a mediana da seguinte série: (obs.: em quantidade ímpar, a mediana é dada por
a)5,6,8,10 e15. Calculando a mediana, temos:
A) 𝑋̌= 8
B) 𝑋̌= 6
C) 𝑋̌= 5
D) 𝑁. 𝐷. 𝐴
𝑛+1
2
posição):
2-FUVEST-2014. Cada uma das cinco listas dadas é uma relação de notas obtidas por seis alunos de uma turma em
uma certa prova. Assinale a única lista na qual a média das notas é maior que a mediana.
a) 5,5,7,8,9,10
b) 4,5,6,7,8,8
c) 5,5,5,7,7,9
d) 5,5,5,7,7,9
e) 5,5,10,10,10,10
Resolução:
Média
mediana
7+8
5 + 5 + 7 + 8 + 9 + 10
5,5,7,8,9,10
= 7,5
≅ 7,33
6
4,5,6,7,8,8
(4+5+6+7+8+8)/6 ≅ 6,33
2
6+7
2
= 6,5
4,5,6,7,8,9
4+5+6+7+8+9
≅ 6,5
6
6+7
2
= 6,5
5,5,5,7,7,9
5+5+5+7+7+9
≅ 6,33
6
5+7
2
= 6,0
5,5,10,10,10,10
5 + 5 + 10 + 10 + 10 + 10
≅ 8,33
6
Resposta d)
Exercícios
1-
10+10
2
= 10,0
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26
2
a
b
c
2.1.3-MODA
Exemplo :
Calcule a moda da seguinte distribuição de frequência.
classes
fi
10|__ 20
4
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27
20|__ 30
30|__ 40
40|__ 50
50|__ 60
60|__ 70
6
8
17
10
5
50
∑
∆1
9
90
Classe modal
Mo = l Mo +∆1+∆2.h = 40+9+7.10 =40+16 = 40 + 5,6 ==> Mo = 45,6
MODA-EXERCÍCIOS
Cálculos Estatístico, por Prof. Antônio Carlos Garcia
28
1-
2-
3-
Calcule
a
mediana, desta
série.
4-
5-
Teste
1-Calculado a Moda (Mo) da série seguinte:
a)2,3,4,4,5,2,3 e 2. Vamos obter:
A) Mo = 4
B) M o= 5
C) Mo =2
D) Mo =3
2-(Enem-2011-modificado)Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura
do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de
procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos e verificação de tendências
climáticas ao longo dos meses e anos.
As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro
Xi
13,5 14
15,5 16
18
18,5 19,5 20
21,5
fi
4
1
1
1
2
1
1
3
1
Cálculos Estatístico, por Prof. Antônio Carlos Garcia
29
Em relação à temperatura, os valores da média, mediana
e moda são, respectivamente, iguais a:
a) 17°C, 17°C e 13,5°C
b) 17°C, 18°C e 13,5°C
c) 17°C, 13,5°C e 18°C
d) 17°C, 18°C e 21,5°C
e) 17°C, 13,5°C e 21,5°C
Exemplo de cálculo de média, mediana e Moda: Na tabela abaixo, encontramos os salários mensais de 40
funcionários de uma empresa:
SALÁRIOS EM R$
1.800,00
2.200,00
2.600,00
3.500,00
3.800,00
4.400,00
5.000,00
8.000,00
15.000,00
Total
NÚMEROS DE
FUNCIONÁRIOS
2
4
4
8
2
13
4
2
1
40
A média aritmética dos salários é:
Ma = 2x1.800 + 4x2.200,00 +4x 2600 + 8x3.500 + 2x3.800+ 13x4.400 + 4x50.000 +2x8.000 +1x15.000
40
Ma = 166.600 = R$ 4.165,00
40
A média aritmética é o valor que pode substituir todos os valores da variável, isto é, é o valor que a variável teria se, em
vez de variável, ela fosse constante.
Os salários dos 40 funcionários poderiam ser escritos como:
1.800,
1.800,
2.200,
2.200,
2.200,
2.600,
2.600,
3.500,
3.500,
3.500,
3.500,
3.500,
3.800,
3.800,
4.400,
4.400,
4.400,
4.400,
4.400,
4.400,
4.400,
5.000,
5.000,
5.000,
5.000,
20 = 40
2
2.200,
3.500,
4.400,
4.400,
8.000,
2.600,
3.500,
4.400,
4.400,
8.000,
e
2.600,
3.500,
4.400,
4.400,
15.000,
21 = 40 + 2
2
 O salário que ocupa a 20a posição é R$ 3.800,00, o que ocupa a 21a posição é R$ 4.400,00.
 A mediana é:
 Md = 3.800 + 4.400 = R$ 4.100,00
2
Neste caso, a mediana não figura entre os dados originais.
Se a empresa tivesse 41 funcionários com a tabela abaixo de salários mensais
Cálculos Estatístico, por Prof. Antônio Carlos Garcia
30
SALÁRIOS EM R$
NÚMEROS DE
FUNCIONÁRIOS
3
4
4
8
2
13
4
2
1
41
1.800,00
2.200,00
2.600,00
3.500,00
3.800,00
4.400,00
5.000,00
8.000,00
15.000,00
Total
 O termo que corresponde a mediana será 21 =
411
2
e a mediana R$ 3.800,00 ( que é o valor do próprio
conjunto).
Finalmente, a mediana é o valor que tem antes e depois de si igual a quantidade de dados.
A moda é o valor do conjunto que aparece mais vezes, isto é, o valor ao qual esteja associado a frequência
absoluta mais alta. Nos dois exemplos dos salários, a moda é M0 = R$ 4.400,00.
A média aritmética, a mediana e a moda, são chamadas medidas de tendência central.
Verificamos no exemplo (para 40 funcionários) que:
Ma = R$ 4.165,00
Md = R$ 4.100,00
Ma = R$ 4.400,00
Salários
14
12
10
8
Salários
6
4
2
0
1.800,00
2.600,00
3.800,00
5.000,00
15.000,00
Md Ma Mo
Vamos construir um histograma para localizarmos as medidas de tendência central.
Exercícios de Revisão
1-Calcule: a média aritmética, a mediana e moda das seguintes séries:
a) 10,7,7,11,12 e 9
b) 7,7,8,8,8,12,12,15 e 18
c) 2,3; 2,7; 3,1; 2,7; 2,9 e 1,8.
Cálculos Estatístico, por Prof. Antônio Carlos Garcia
31
2-Calcule a média da distribuição de frequência.
.
4- Considere os seguintes valores de uma variável x:
2, 4, 6 e 8.
a) Calcule a média aritmética destes valores.
b) Some 3 unidades em cada um dos valores de x e calcule a média.
c) subtraia uma unidade de cada um dos valores de x e calcule a média.
d) Multiplique cada um dos valores de x por 4 e calcule
Número
de 0
1
2
3
4
a média.
erros
e) Divida por dois cada um dos valores de x e calcule a
Número
de 20
8
5
1
2
média.
páginas
f) Compare os resultados obtidos nos itens b, c, d, e com
o item a.
O que você conclui?
5- Numa avaliação de matemática, 6 alunos obtiveram nota 5; oito alunos obtiveram 7; cinco alunos obtiver nota 9 e um
aluno obteve nota 10. Qual a média das notas desses alunos?
6- A distribuição mostra o número de erros de páginas observados numa certa revista.
Calcule o número médio de erros desta revista.
7-Numa empresa com 20 empregados, a distribuição dos salários é a seguinte:
úmero de empregados Salários
12
8.000
5
12.000
3
20.000
10
12
15
17
20
a)Qual é o xi
salário médio dos empregados dessa empresa?
2
5
7
10
16
b) A empresa fi
vai contratar um diretor geral e não gostaria que a
nova média
superasse o maior salário atual. Qual é o salário
máximo que ela pode oferecer ao diretor?
8- Calcule a mediana das seguintes séries:
a) 5, 6, 8, 10 e 15
b) 27, 10, 28, 31 e 27 (Obs.: coloque antes os números em ordem crescente)
c) 10, 11, 17, 15, 18, 21, 27 e 30
9- Calcule a mediana das distribuições:
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Variância e Desvio padrão
As medidas de dispersão servem para avaliar o quanto os dados são semelhantes, descreve então o quanto os dados
distam do valor central.
Vamos considerar um exemplo bem simples, as notas de dois alunos A e B.
1ª PROVA
2ª PROVA
3ª PROVA
4ª PROVA
5ª PROVA
Cálculos Estatístico, por Prof. Antônio Carlos Garcia
32
ALUNO A
ALUNO B
10
6
2
6
8
6
3
6
7
6
MÉDIA DO ALUNO A 𝑋̅ = (10+2+8+3+7)/5 = 30/5 = 6
MÉDIA DO ALUNO B 𝑋̅ = (6+6+6+6+6)/5 = 30/5 = 6
Analisando esta tabela, o aluno B tem resultados mais regulares que o aluno A.
É isto que a variância e o desvio-padrão vai dizer para nós. Certamente, o aluno A vai ter uma variância ou o desvio padrão
maior que o do aluno B. A letra sigma minúscula representa a variância. Porém, a variância é uma diferença ao quadrado
e não fica fácil comparar com a média que não é uma medida ao quadrado.
(𝑥 − 𝑋̅ )2 +(𝑥2 − 𝑋̅ )2 +⋯(𝑥𝑛 − 𝑋̅ )2
 1
𝑛
(10− 6)2 +(2− 6 )2 +(8− 6 )2 +(3− 6 )2 +(7− 6 )2
Aluno A  
5
(6− 6)2 +(6− 6 )2 +(6− 6 )2 +(6− 6 )2 +(6− 6 )2
=
16+16+4+9+1
5

Ou seja, comparar a média com a variância
que não está quadrado com a variância que é uma medida ao quadrado.
Aluno B  
5
Para isto calcula-se o desvio padrão  = √𝑣𝑎𝑟. == > do aluno A== >  = √9,2 = 3,03 ≅ 3
do aluno B== >  = √0 =0
Significa dizer que as notas do aluno B estão sempre muito próximo da média. Enquanto do Aluno A oscila sempre 3
para mais ou para menos em relação à média.
Veja a vídeo aula:
http://www.auladoguto.com.br/videoaulas-de-matematica/videoaula-estatistica-67-variancia-e-desvio-padrao-1a-parte
onde
é frequentemente é simplificada para
ou até mesmo
que
significa `adicione todos os valores de '.
A variância (S2) é definida como o `desvio quadrático médio da média' e é calculada de uma amostra de dados como
A segunda versão é mais fácil de ser calculada, embora muitas calculadoras têm funções prontas para o cálculo de
variâncias, e é raro ter que realizar todos os passos manualmente. Comumente, as calculadoras fornecerão a raiz quadrada
da variância, o desvio padrão, i.e.
a qual é medida nas mesmas unidades dos dados originais.
Uma informação útil é que, para qualquer conjunto de dados, pelo menos 75% deles fica dentro de uma distância de 2
desvio padrão da média, isto é, entre
e
.
Exemplo. Sete homens foram pesados, e os resultados em kg foram:
57; 62.9; 63,5; 64,1; 66,1; 67,1; 73.6.
A média é
a variância é
,
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33
e o desvio padrão é
.
Cálculo do Desvio Padrão em Amostras (𝝈). Utilizaremos Dp para designar desvio Padrão
Dp = = √
∑(x-x̅) 2 .fi
n-1
EXERCÍCIOS
1-Calcule: a média aritmética e o desvio-padrão dos valores:
a) 10, 7, 7, 11, 12 e 9
b) 7, 7, 8, 8, 8, 12, 12, 15 e 18
c) 2,3; 2,7; 3,1; 2,7; 2,9 e 1,8.
2-Calcule: a média aritmética, a variância e o desvio-padrão de:
Classe
xi
41 |__ 45
43
45 |__ 49
47
49 |__ 53
51
53 |__ 57
55
57 |__ 61
60
fi
𝑥𝑖. 𝑓𝑖
7
( xi  x)
2
2
( xi  x) fi
3
4
1
5
∑ 20
∑xi.fi =
3-Durante certo período de tempo, as taxas de juros, em %, para dez ações, foram as que a tabela abaixo registra:
Ação
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
Taxa
2,59 2,64
2,60
2,62
2,55
2,61
2,50
2,63
2,64
2,69
Calcule:
(a)
a taxa média;
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34
(b)
a taxa mediana;
(c)
a taxa modal;
(d)
o desvio padrão das taxas.
4-Considere os dados referentes ao consumo de água, em m3, de 75 contas do município de Batatais.
Consumo
0|10
10|20
20|30
30|40
40|50
50|60
Total
f
2
27
19
16
7
4
75
(a)
determine as frequências simples e acumuladas fri ,Fri absolutas e fri% e Fri%( relativas;
(b)
calcule a média aritmética do consumo de água.
(c)
determine o intervalo que contém a mediana.
(d)
calcule o valor da moda bruta.
(e)
encontre as medidas do desvio padrão.
5-A tabela abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma empresa de ônibus
nos últimos 5 anos:
NÚMERO DE
ACIDENTES
NÚMERO DE
MOTORISTAS
0
1
2
3
4
5
6
7
15
11
20
9
6
5
3
1
(a) Determine
o
número de
motoristas com menos
de 1 acidente.
(b) Determine o percentual de motoristas com pelo menos 3 acidentes.
(c) Determine o percentual de motoristas com no máximo 2 acidentes.
(d) Qual o número total de acidentes ocorrido no período?
(e) Qual a média de acidentes? E a moda de acidentes? E a mediana?
6- Os dados abaixo foram colhidos de uma amostra de aves de certa espécie, onde estudou-se o tempo, em dias,
que os filhotes levavam para abandonar o ninho:
TEMPO
NÚMERO DE
(em dias)
FILHOTES
5  10
14
10 15
16
15 20
18
20  25
15
25  30
7
Determine:
(a) o tempo médio;
(b) o intervalo que contém o valor da mediana;
(c) o intervalo que contém a moda. O desvio padrão da distribuição.
7-A poluição causada por óleo em mares e oceanos estimula o crescimento de certos tipos de bactérias. Uma
contagem de microorganismos presentes no petróleo (número de bactérias por 100 mililitros), em 10 porções de
água do mar, indicou as seguintes medidas:
49 70 54 67 59 40 71 67
67 52
(a)
Determine e interprete a média, mediana e moda.
(b)
Calcule o desvio padrão desses dados.
8-A tabela abaixo informa o número de pessoas atendidas de urgência no HPS de certa cidade no período
de 22 dias.
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35
(a)
(b)
(c)
(d)
NÚMERO DE
NÚMERO
ATENDIMENTOS
DE DIAS
0
4
1
7
2
8
3
2
4
1
Qual a média, a moda e a mediana dos atendimentos?
Determine o desvio padrão do número de atendimentos.
Desenhe o polígono de frequências relativas.
Calcule e interprete o correspondente coeficiente de variabilidade.
9-As notas de estatística de uma turma estão na tabela seguinte.
Nota
Número
alunos
1
de 2
2
6
3
9
4
12
5
14
6
9
(a) Calcule os valores da média, da mediana e da moda dessas notas.
(b) Calcule o valor da variância e do desvio padrão dessas notas.
Exercícios de fixação-desvio padrão.
7
5
8
4
9
1
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36
1
1
.
1
2
.
.
1
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37
RESOLUÇÃO DE ALGUNS EXERCÍCIOS DA APOSTILA
Exercícios
1)
Classe
150 |__ 154
154 |__ 159
159 |__ 163
163 |__ 167
167 |__ 171
171 |__ 175
2)
xi
152
156
161
165
169
173
fi
fri
4
11
11
07
05
02
4/40=0,1000
∑ 40
1,00
11/40=0,275
11/40=0,275
7/40=0,175
5/40=0,125
2/40=0,050
fri (%)
Fi
Fri
10
27,5
27,5
17,5
12,5
5
100
4
15
26
33
38
40
-
4/40=0,1000
0,375
0,650
0,825
0,950
1,000
-
Fri
(%)
10
37,5
65
82,5
95
100
-
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38
Cálculos Estatístico, por Prof. Antônio Carlos Garcia
39
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40
xi
152
156
161
165
169
173
976
Média =
fi
xi.fi
4
11
11
7
5
2
40
fri (%)
(xi-161,02)^2
(xi-161,02)^2.fi
14165,7604
56663,0416
608
10
1716
27,5
25,2004
277,2044
1771
27,5
0,0004
0,0044
1155
17,5
15,800625
110,604375
845
12,5
63,600625
318,003125
346
5
143,400625
286,80125
14413,76308
57655,65915
6441
Variância=
100
14413,76308
161,025
Dp =
6,002898214
Atividade: Propor para sala coletar média de duas salas de aulas de uma mesma disciplina e calcular
as medidas de dispersão analisando os resultados.
Coleta e apuração de dados:
É a observação e registro da categoria ou medida de variáveis relacionadas ao objeto de estudo que ocorrem
em unidades (indivíduos) de uma amostra ou população.
Noção Informal de Probabilidade
Experimento Aleatório
É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, pode fornecer resultados diferentes, ou seja, são
resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve
cálculo de experimento aleatório.
Espaço Amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral
é S.
Exemplo: a) No experimento aleatório “lançamento de uma moeda”, temos como espaço amostral o conjunto
e={C,K), em que C representa a face cara e K, a face coroa. Indicamos o número de elemento de E pelo símbolo n(E).
Assim: n(E)= 2
Fig. 1
b) No experimento “lançamento de dado”, temos como espaço amostral o conjunto E=
{1,2,3,4,5,6}
c) Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral,
constituído pelos 12 elementos: S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}
Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, . .
B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}.
Idem, o evento em que:
a)
A ou B ocorrem;
b) B e C ocorrem;
c)
Somente B ocorre.
Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos
Resolução:
Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2, K4, K6};
Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}
Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar:
C={R1,R3,R5}.
(a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}
(b) B e C = B ∩ C = {R3,R5}
Conceito de probabilidade
Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento
A é:
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41
Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes, dentre 6 igualmente
prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável, quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais
de ocorrência.
Em um espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:
Probabilidades
A palavra probabilidade deriva do Latim probare (provar ou testar). Informalmente, provável é uma das muitas palavras
utilizadas para eventos incertos ou conhecidos, sendo também substituida por algumas palavras, como “sorte”, “risco”,
“azar”, “incerteza”, “duvidoso”, dependendo do contexto.
ESPAÇO AMOSTRAL EQUIPROVÁVEL
Nos espaços amostrais equiprováveis temos que os eventos
possuem probabilidades iguais de ocorrência. No lançamento de
um dado temos que a ocorrência de cada face é a mesma, isto é
1/6. Um dado foi lançado 500 vezes. Conforme tabela a seguir.
Observe que a frequências relativa são valores muito próximos uns
dos outros.
Exemplo 1
Ao lançarmos por duas vezes sucessivas um dado, qual a probabilidade de, P(E)= probabilidade equiprovável.
a) ocorrer 4 no primeiro lançamento e um número ímpar no segundo?
Precisamos que aconteça o seguinte evento: (4,1), (4,3), (4,5). Assim, temos que a probabilidade é de 3 chances em 36.
P(E) = 3/36 = 1/12.
b) a multiplicação entre os números for maior que 10?
(2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5).
P(E) = 16/36 = 4/9
Exemplo 2
Sorteando ao acaso um número de 1 a 50, qual a probabilidade de sair um múltiplo de 4?
Temos que os múltiplos de 4 compreendidos entre 1 e 50, são: {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48}, então:
P(E) =12/50 = 6/25
Propriedades Importantes:
Sendo E um espaço amostral finito e não vazio e A um evento de E:
P1). Se A e A’ são eventos complementares, então: P( A ) + P( A' ) = 1 . P(A’ ) é o complementar de P( A)
P2) P(E) = 1
P3)
A probabilidade de um evento é sempre um número entre (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).
P4) P(∅) = 0
𝑛(𝐸)
P2) P(E) = 𝑛(𝐸) = 1
EXERCÍCIOS
1- Em uma reunião com n professores, será escolhido um , ao acaso, para coordenar os trabalhos ali desenvolvidos.
𝑛−4
Se a probabilidade de o escolhido ser um professor de matemática é 8 , calcular o número máximo de
𝑛−4
participante que pode haver nesta reunião. (dica: 0< 8 < 1).
2- Uma urna contém bolas coloridas. Retirando uma bola dessa urna, a probabilidade de se obter uma bola
vermelha é de 0,64. Qual a probabilidade de se obter uma bola que não seja vermelha. (Dica: P( A ) + P( A' ) = 1).
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42
Probabilidade Condicional
Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja
observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada.
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem
reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução:
Com o espaço amostral S=30 bolas, considerarmos os seguintes eventos:
A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30
B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29
Assim:
P (A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87
Eventos independentes
Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes, quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende
do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.
Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na
urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução:
Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha, na primeira retirada, e azul, na segunda retirada,
é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P (A e B) = P(A).P (B). Sendo assim, a probabilidade
de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do
produto, temos: 10/30.20/30=2/9.
Teorema da soma de probabilidades
Para bem entender a soma de probabilidades, ajuda dividir a questão em duas regras: a regra nº 1, para a soma de
eventos mutuamente exclusivos e a regra nº 2, para a soma de eventos não mutuamente exclusivos.
Eventos mutuamente exclusivos
Se dois eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo, dizemos que são mutuamente exclusivos. A ocorrência de um desses
eventos exclui (impede) a ocorrência do outro.
Exemplo
Quando você joga um dado, só pode ocorrer uma das faces. Então se a ocorreu a face “cinco”, ficou excluída a possibilidade
de ter ocorrido qualquer outra face.
Regra 1 da soma (para eventos mutuamente exclusivos)
Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrer A ou B é igual à soma das probabilidades de ocorrer
cada um deles. Escreve-se:
P(A UB) = P(A) + P(B)
Exemplo
Quando você joga um dado, só pode ocorrer uma das faces. Qual é a probabilidade de, em um lançamento, ocorrer 1 ou 6? Usando
a regra 1 da soma, você calcula a probabilidade de ocorrer 1 e a probabilidade de ocorrer 6. Depois, soma essas probabilidades.
Exemplo
Imagine um pote de vidro com 11 bolinhas de diferentes cores: 3 azuis, 4 brancas, 2 vermelhas, 1
amarela, 1 verde. Qual é a probabilidade de, em uma só retirada, ocorrer bola verde ou bola amarela?
Usando a regra 1 da soma, você calcula a probabilidade de ocorrer bola verde e a probabilidade de
ocorrer bola amarela. Depois, soma essas probabilidades.
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Regra 2 da soma: eventos não mutuamente exclusivos
Dois eventos A e B são não mutuamente exclusivos se eles têm pelo menos um resultado em comum.
Exemplo
Quando você joga um dado, só pode ocorrer uma das faces. Mas pense nos eventos: ocorrer “número ímpar” ou ocorrer “número
maior do que quatro”. Esses dois eventos têm um resultado em comum: é o número cinco, que tanto pertence ao evento “número
ímpar” como ao evento “número maior do que quatro”.
Veja a figura ao lado: “números ímpares” estão circundados por uma elipse azul e
“números maiores do que quatro” por um retângulo vermelho. Se você contar o
número de resultados que correspondem ao evento “número ímpar” e o número de
resultados que correspondem ao evento “número maior do que quatro”, terá contado
5 duas vezes.
Regra 2 da soma (para eventos não mutuamente exclusivos)
Se A e B são dois eventos não mutuamente exclusivos, há uma sobreposição, isto é, existe pelo menos um resultado de
A que também é resultado de B. Então a probabilidade de ocorrer A ou B é dada pela probabilidade de A, mais a
probabilidade de B, menos a probabilidade de A e B (contada duas vezes). Escreve-se:
P(AU B) = P(A) + P(B)
– P(A∩B)
Exemplo
Quando você joga um dado, só pode ocorrer uma das faces. Qual é a probabilidade de, em um lançamento, ocorrer “número
ímpar” ou ocorrer “número maior do que quatro”? Usando a regra 2 da soma, você calcula a probabilidade de ocorrer “número
ímpar”, a probabilidade de ocorrer “número maior do que quatro” e probabilidade de ocorrer “número ímpar maior do que
quatro”. Depois, aplica a regra 2:
Exemplo
Uma carta será retirada ao acaso de um baralho. Qual é a probabilidade de sair um rei ou uma carta de copas? Como um
baralho tem 52 cartas, das quais quatro são reis e 13 são de copas, alguém poderia pensar que a probabilidade de sair um rei ou uma
carta de copas é dada pela soma
Mas esta resposta está errada porque o rei de copas é tanto rei como copas. Então o rei de
copas teria sido contado duas vezes – como rei e como copas.
Para obter a probabilidade de sair uma sair um rei ou uma carta de copas, some as
probabilidades de sair rei e sair carta de copas e subtraia a probabilidade de sair o rei de
copas, contado duas vezes:
Exercício
É dado o conjunto de dados: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10.
a) Qual é a probabilidade de, ao se tomar um número ao acaso, o número ser um ímpar menor do que 4 ou um ímpar
maior do que 8?
b) Qual é a probabilidade de, ao se tomar um número ao acaso, o número ser um ímpar ou múltiplo de 3?
Respostas:
a) 3/10.
b) 3/5.
Observe que, na segunda retirada, foram consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B),
porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada, não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na
urna.
Existem duas operações que envolvem acontecimentos e que são de interesse fundamental na teoria das
probabilidades: a união e a intersecção. A operação união é representada por A + B e significa que pelo menos
um dos acontecimentos, A ou B, ocorre.
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44
A operação intersecção é representada por AB e significa que ambos os acontecimentos A e B ocorrem. Para calcular a
probabilidade p (A + B), suponha que a dos n resultados do espaço E, formam o acontecimento A; b dos n resultados,
definem o acontecimento B; e c dos resultados, originam A e B.
Suponha que o acontecimento A não pode ocorrer se o acontecimento B ocorrer, ou vice-versa. Estes acontecimentos
dizem-se mutuamente exclusivos, isto é, nunca podem ocorrer simultaneamente , e p(AB) = 0. Assim, neste caso, temos
p (A + B) = p (A) + p (B). Em relação ao acontecimento composto AB, se a ocorrência do acontecimento A não vai
afetar de maneira nenhuma a ocorrência de B e vice versa, os acontecimentos dizem-se independentes. Para
acontecimentos independentes p(AB) = p(A)p(B). Esta propriedade pode ser generalizada para qualquer número de
acontecimentos independentes.
Por vezes, é necessário calcular a probabilidade de ocorrência do acontecimento B, dado que o acontecimento A
ocorreu. Esta situação pressupõe que a ocorrência de A irá afetar, de alguma maneira, a ocorrência de B; isto é, os
acontecimentos A e B são dependentes. Neste caso:
P (AB) = p(A) p(B/A). A quantidade p(B/A) corresponde à probabilidade condicional do acontecimento B, dado que
ocorreu o acontecimento A. Esta probabilidade pode ser
calculada a partir de
1. Dos 30 funcionários de uma empresa, 10 são canhotos e 25 vão de ônibus para o trabalho. Escolhendo ao acaso um
desses empregados, qual a probabilidade de que ele seja canhoto e vá de ônibus para o trabalho?
Considere os eventos:
A : ser canhoto
B : ir de ônibus para o trabalho
É claro que A e B são eventos independentes, portanto um não depende em nada do outro. A probabilidade de os dois
eventos (A e B) ocorrerem simultaneamente é calculada por P (A e B) = P (A) · P (B).
Resposta: P (A) · P (B). = 1/3.5/6=5/18
2. No exame para tirar a carteira de motorista, a probabilidade de aprovação na prova escrita é 9/10. Depois de ser
aprovado na parte teórica, há uma prova prática de direção. Para os que já passaram no exame escrito, a probabilidade
de passar nessa prova prática é 2/3. Qual a probabilidade de que, escolhido um candidato ao acaso, ele seja aprovado
em ambas as provas escrita e prática e tire a carteira de motorista?
Considere os eventos:
Os eventos não são independentes pois é preciso ser aprovado na prova escrita para fazer a prática.
A: aprovação na prova escrita = 9/10
B: aprovação na prova prática de direção= 2/3
P (A e B) = P(A).P(A/B) 
P(A e B) = 9/10.2/3= 18/30=3/5
Distribuição normal (Gauss)
A distribuição de probabilidade contínua mais importante, sob o ponto de vista da análise estatística de dados
experimentais, é provavelmente a distribuição normal. A função densidade de probabilidade de uma v.a. X normal é
definida por
Onde: µ é a média , σ é o desvio padrão , π= 3,1415... ,
e = 2,7182... .
A distribuição normal tem média μ e variância σ2, positiva. A figura 5 (abaixo), representa uma função de probabilidade
normal típica. A figura revela uma função simétrica em relação à média μ e com a forma de um sino.
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Fig.5
É possível obter uma forma da distribuição normal mais
conveniente, usando os seus parâmetros μ e σ (o desvio padrão)
para transformar a v.a. X noutra Z de acordo com a seguinte
relação:
Esta nova distribuição tem média μ = 0 e variância σ 2 = 1,
sendo conhecida por distribuição normal padrão ou estandardizada e
tem como fórmula:
Tópicos iniciais de amostragem:
População: totalidade de elementos sob estudo. Apresentam uma ou mais características em comum.
Supor o estudo sobre a ocorrência de sobrepeso em crianças de 7 a 12 anos no Município de São Paulo.
População alvo – todas as crianças nesta faixa etária deste município.
População de estudo – crianças matriculadas em escolas.
Elementos: são unidades de análise; podem ser pessoas, domicílios, escolas, creches, células ou qualquer outra
unidade.
Amostra: é uma parte da população de estudo.
Amostragem: processo para obtenção de uma amostra. Tem como objetivo estimar parâmetros populacionais.
Parâmetro: Quantidade fixa de uma população.
Ex.: peso médio ao nascer de crianças que nascem no município de São Paulo (μ = 3100 g);
Proporção de crianças de 7 a 12 anos classificadas como obesas, no município de São Paulo (p = 12%).
Estimador: é uma fórmula matemática que permite calcular um valor (estimador por ponto) ou com um
conjunto de valores (estimador por intervalo) para um parâmetro.
Ex.: Média aritmética:
Estimativa: Valor do estimador calculado em uma amostra. Estima o valor do parâmetro.
Ex.: Peso médio ao nascer, calculado em uma amostra de 120.000 crianças nascidas no Município de São Paulo
no ano de 2000: média amostral = x = 3000g .
Indicações para utilizar uma amostra:
População muito grande;
Processo destrutivo de investigação;
Novas terapias.
Vantagens de realizar um estudo com amostragem:
Menor custo;
Menor tempo para obtenção dos resultados;
Possibilidade de objetivos mais amplos;
Dados possivelmente mais fidedignos.
Desvantagens:
Resultados sujeitos à variabilidade.
Inferência estatística: É qualquer procedimento que se utiliza para se generalizar afirmações sobre determinada
população, baseadas em dados retirados de uma amostra.
Parâmetro: É a medida usada para se descrever uma característica de uma população.
Estatística: É uma função dos valores amostrais.
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Estimação: É o processo através do qual estima-se o valor de um parâmetro de uma população com base no valor
obtido em uma amostra.
Hipótese: É a forma de especulação relativa a um fenômeno estudado (qualquer que seja). É qualquer afirmação
sobre a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória (afirmação sobre o parâmetro).
Hipótese estatística: É uma especulação feita em relação a uma proposição, porém relativa a uma população
definida.
Populações e amostras:
1- Inferência estatística:
Inferência estatística é o processo pelo qual estatísticos tiram conclusões acerca da população usando informação
de uma amostra.
Você pode estar familiar com o termo `população' num sentido biológico/geológico. Em estatística, o termo não se
refere necessariamente a pessoas, plantas, animais etc. Ele poderia também se referir, por exemplo, a fósseis, rochas
e sedimentos num determinado local etc.
A população se refere a todos os casos ou situações as quais o pesquisador quer fazer inferências ou estimativas.
Diferentes pesquisadores podem querer fazer inferências acerca da concentração de poluentes num determinado
lençol freático; predizer a quantidade de petróleo num poço a ser perfurado e assim por diante.
Note que o investigador não está interessado em todos os aspectos da população. O pesquisador pode não estar
interessado em estudar a concentração de todos os tipos de poluentes, somente alguns poluentes mais importantes
para seu estudo.
Uma amostra é um subconjunto da população usado para obter informação acerca do todo.
Mas exatamente por quê tomamos uma amostra? Por quê não usamos a população toda?
Custo alto para obter informação da população toda;
Tempo muito longo para obter informação da população toda;
Algumas vezes impossível, por exemplo, estudo de poluição atmosférica;
Algumas vezes logicamente impossível, por exemplo, em ensaios destrutivos.
Características de uma população que diferem de um indivíduo para outro e as quais temos interesse em estudar são
chamadas variáveis. Exemplos são comprimento, massa, idade, temperatura, número de ocorrências etc. Cada
unidade (membro) da população que é escolhido como parte de uma amostra fornece uma medida de uma ou mais
variáveis, chamadas observações.
2 -Princípios de estimação:
Utilizamos estimativas de uma amostra como nosso ``melhor chute'' para os verdadeiros valores populacionais.
Exemplos são a média amostral, o desvio padrão amostral, a mediana amostral, os quais estimam a verdadeira média,
desvio padrão e mediana da população (que são desconhecidos). Os verdadeiros (desconhecidos) valores
populacionais são chamados parâmetros.
Note que estatísticas são usualmente representadas por letras Romanas (por exemplo, para a média
amostral, para o desvio padrão amostral), enquanto que parâmetros são usualmente representados por letras Gregas
(por exemplo,
para a média populacional,
para o desvio padrão populacional).
É claro que à medida que a amostra aumenta, mais informação nós teremos acerca da população de interesse, e
portanto, mais precisa serão as estimativas dos parâmetros de interesse.
3- Obtendo uma amostra:
Obtemos uma amostra para fazer inferências de uma população. Nossas inferências são válidas somente se a amostra
é representativa da população. Na prática, não existe forma de garantir isto sem ter informação da população inteira
para comparar com a amostra. E em tais circunstâncias, não haveria necessidade de amostragem!
Ao invés disso, podemos assegurar que não existem vícios sistemáticos em nossa amostra através de uma seleção
aleatória dos membros da população. Uma amostra aleatória independente é uma amostra selecionada de tal forma
que
todos os membros da população têm a mesma chance de serem selecionados;
cada combinação possível de um dado número de membros tem a mesma chance de ser selecionada.
Em princípio, a melhor forma de obter uma amostra aleatória de tamanho
é ter uma lista de todos os membros da
população, dar a todos um número digamos de 1 a
e, então, escolher aleatoriamente
números de 1 a
para
definir a amostra. É claro que na prática isto não é exequível, especialmente quando a população é infinita.
Na maioria dos casos, é difícil obter amostras aleatórias. Considere o seguinte diagrama que mostra a `população' de
círculos. Pense neles como se fossem grânulos de tamanhos diferentes. O diâmetro médio destes círculos é mm.
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Se usarmos um desvio padrão em torno da média (Z = 1), a chance de erro ao
estimar a média será de 31,74%. Mas, se usarmos dois (Z = 2), a chance de
erro será de 4,56%.
População Finita e Infinita:
Na estatística, a população é classificada como finita e infinita.
População finita: nesses casos, o número de elementos de um grupo não é
muito grande, a entrevista e a análise das informações devem abordar a todos
do grupo. Por exemplo:
As condições das escolas particulares na cidade de Goiânia. Se observarmos
o grupo, chegaremos à conclusão de que o número de escolas particulares em
Goiânia é considerado finito.
População infinita: o número de elementos nesse caso é muito elevado, sendo considerado infinito. Por exemplo: A
população da cidade de São Paulo.
Amostra diz respeito a um subconjunto da população, fração ou uma parte do grupo. Em alguns casos, seria impossível
entrevistar todos os elementos de uma população, pois levaria muito tempo para concluir o trabalho ou até mesmo
seria financeiramente inviável; dessa forma, o número de entrevistados corresponde a uma quantidade determinada de
elementos do conjunto, uma amostra.
Amostragem de populações finitas:
Consideremos uma população P constituída por N indivíduos. Designemos por
X a característica em estudo que supomos assumir os seguintes valores
A1 ,A2, AN, ,..., para todos os elementos da população.
Estimação da proporção em uma população;
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BIBLIOGRAFIA:1- Coleção Cid Guelli - Osvaldo Dolce - Gelson Iezzi; 2) Coleção colegial: Rui Madsen Barbosa; 3)
Coleção Colegial - Oswaldo Sangiorgi e Outros;4) Coleção Shawn - Seymour Lipschutz ; 5) Iniciação Às Estruturas
Algébricas ; 6) Matemática “Temas e Metas" - Volume I,II eIII –Antônio Santos Machado; 7)Matemática Aplicada
Volume 1- Editora Moderna - autores : Trotta , Imenes e Jakubovic - 2º grau ;8) Proposta Curricular Para o Ensino de
Matemática 2.º grau - Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas - CENP - São Paulo;9) Tópicos de Estatística
Básica –Editora Agbook -Autor Antonio Carlos Garcia - ano 2010
Relação de livros publicados pelo Prof. Antônio C. Garcia
TÍTULOS
1. Tópicos de matemática financeira: matemática financeira
2. Tópicos de estatística básica: estatística
3. Cálculo financeiro: matemática aplicada à administração
4. Como estudar matemática: estudar matemática: guia prático
5. Jaguaretê
6. Geometria espacial: nova abordagem
7. Funções periódicas
8. Sequências, PA.PG - Funções exponencial e logarítmica
9. Matrizes determinante combinatória e números complexos: matrizes e números complexos
10.Livro de crônicas 1
11.Funções Reais
12.Geometria Analítica: resolvendo problemas
13.Fundamentos da matemática Financeira
14.Cálculos Financeiros e Estatísticos
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