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GUIA DO TUTOR
Volume 2
Matemática
3ª série do Ensino Médio
Entre Jovens 3ª série do Ensino Médio: guia do tutor matemática.
– São Paulo: Instituto Unibanco/CAEd, 2013.
252 p.; Vol II
Realização
Instituto Unibanco
Presidência
Pedro Moreira Salles
Vice-Presidência
Pedro Sampaio Malan
Conselho
Antonio Matias
Cláudio de Moura Castro
Cláudio Luiz da Silva Haddad
Marcos de Barros Lisboa
Ricardo Paes de Barros
Tomas Tomislav Antonin Zinner
Thomaz Souto Corrêa Netto
Wanda Engel
Diretoria Executiva
Fernando Marsella Chacon Ruiz
Gabriel Amado de Moura
Jânio Gomes
José Castro Araujo Rudge
Leila Cristiane B. B. de Melo
Luis Antônio Rodrigues
Marcelo Luis Orticelli
Superintendência Executiva
Ricardo Henriques
Gerência de Implementação de Projetos
Tiago Borba
Gerência de Desenvolvimento e Conteúdo
Marta Grosbaum
Gerência de Gestão do Conhecimento
Camila Iwasaki
Coordenação do material
Juliana Irani do Amaral
Gerência de Administração e Finanças
Fábio Santiago
Pesquisa e conteúdo
CAEd – Centro de Políticas Públicas e Avaliação
da Educação
Gerência de Escritório de Projetos
José Carlos R. de Andrade
Assessoria de Assuntos Estratégicos
Christina Fontainha
Assessoria de Comunicação
Marina Rosenfeld
Assessoria de Voluntariado
Fabiana Mussato
Consultoria responsável
CAEd – Centro de Políticas Públicas e Avaliação
da Educação
Agradecimentos especiais
Secretaria Municipal de Educação do Rio de Janeiro,
Secretarias de Estado de Educação do Rio de Janeiro,
São Paulo, Espírito Santo e Minas Gerais e escolas
parceiras que contribuíram para a testagem e validação
da Metodologia Entre Jovens.
SUMÁRIO
9
Apresentação
11
OFICINA 11
FUNÇÃO QUADRÁTICA
29
OFICINA 12
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
53
OFICINA 13
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
71
OFICINA 14
APLICAÇÕES DA TRIGONOMETRIA
97
OFICINA 15
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
123
OFICINA 16
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
143
OFICINA 17
NOÇÕES DE GEOMETRIA ANALÍTICA
163
OFICINA 18
CONTAGEM
185
OFICINA 19
PROBABILIDADE
209
OFICINA 20
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO
231
MATRIZ DE REFERÊNCIA de matemática DO SAEB PARA
a 3ª série dO ENSINO MÉDIO
235
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
239
RESPOSTAS
APRESENTAÇÃO
Prezado tutor.
Dando continuidade ao Guia 1, organizamos esse segundo guia que complementará os temas
de matemática a serem trabalhados dentro do Projeto Entre Jovens – 3º ano.
Conforme já anunciamos na apresentação do 1º guia, os temas das 20 oficinas não cobrem a
grade curricular do Ensino Médio, da mesma forma que, cada uma das oficinas, não esgota o
tema por ela abordado.
A teoria apresentada em cada oficina serve para que você, tutor, possa revisitar o assunto em
tela e, com isso, instrumentalizar-se, do ponto de vista teórico, para uma abordagem adequada
do tema proposto. A plataforma estará complementando esse material.
Além das atividades propostas nos guias, dependendo da oficina, você encontrará na plataforma
uma relação complementar de outras atividades que poderá desenvolver com os alunos. Devese dar ênfase e prioridade às atividades dos guias, mas, havendo tempo, pode-se lançar mão
das demais atividades.
A plataforma conterá recursos e conteúdos diversos. Além de textos complementares, serão
disponibilizados aplicativos que facilitarão a sua compreensão, seja da teoria envolvida, seja
dos exercícios propostos. Caso você atue em uma escola que ofereça, por alguns períodos, o
espaço do laboratório de informática para sua atividade, apresente os aplicativos aos alunos.
Cada oficina deve ser conduzida de forma que o aluno tenha sempre uma postura participativa,
sendo permanentemente desafiado, provocado por perguntas e estimulado a tentar, ele
próprio, resolver as atividades propostas. Sempre que necessário, revisite os aspectos teóricos
e conceituais relacionados às ferramentas a serem empregadas na resolução de uma atividade.
Estimule soluções por raciocínios diversos e, ao resolver um problema, procure apontar, sempre
que possível, a diversidade de resoluções.
Lembre-se que há uma equipe de Agentes de Suporte Acadêmico disponível para ajudá-los na
plataforma.
Bom trabalho!
OFICINA 11
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Metas:
– Apresentar os principais elementos da função quadrática.
Objetivos:
– Ao término dessa oficina o aluno deverá ser capaz de:
• Resolver problemas envolvendo funções quadráticas.
Pré-requisito:
– Oficina 5 do Guia 1.
Projeto Entre Jovens
Essa oficina é uma continuação da Oficina 5 do 1º Guia, onde foi estudado equação do 2º grau.
Muitos problemas estudados no Ensino Médio recaem em estudos de funções quadráticas:
busca de zeros de uma função quadrática, estudo de máximo ou de mínimo, estudo de sinais,
dentre outros.
Nessa oficina estudaremos função quadrática e seus principais elementos.
IR, tem-se
Uma função f:IR " IR chama-se quadrática quando, para todo x ∈ 
f ( x ) = ax 2 + bx + c ,
R são constantes, com a ≠ 0 .
onde a , b , c ∈ I
Um problema interessante que recai em estudo de função quadrática é achar dois números
conhecendo sua soma s e seu produto p . Se um desses números é x , o outro será s − x , logo
2
x ⋅ (s − x) =
p . Efetuando a multiplicação, vem sx − x 2 =
0 . Encontrar
p , ou seja, x − sx + p =
2
0 , isto é, achar
x (e, portanto s − x ) significa resolver a equação do segundo grau x − sx + p =
os valores de x para os quais a função quadrática f ( x ) = x 2 − sx + p se anula. Esses valores são
chamados os zeros da função quadrática ou as raízes da equação correspondente.
Note que se x for uma raiz da equação x 2 − sx + p =
0 então s − x também será, pois
( s − x )2 − s( s − x ) + p = s 2 − 2sx + x 2 − s 2 + sx + p = x 2 − sx + p = 0 .
Portanto as duas raízes dessa equação são os números procurados. Deve-se observar entretanto
que, dados arbitrariamente os números s a p , nem sempre existem dois números reais cuja
soma seja s e cujo produto seja p .
Exemplo 1: Não existem dois números reais cuja soma seja 2 e cujo produto seja 5.
Solução:
De fato, como o produto 5 é positivo esses números teriam o mesmo sinal. E como sua soma
2 também é positiva esses dois números seriam positivos, logo ambos seriam menores que 2.
Seu produto então seria menor do que 4, portanto, diferente de 5.
Note que os números procurados podem também reduzir-se a um único, como no caso
em que a soma dada é 6 e o produto é 9, pois a equação x 2 − 6 x + 9 =
0 , da qual eles são
x − 3)
=
0 logo sua única raiz é 3. Já os números cuja soma é 1 e cujo
raízes , escreve-se como (
2
produto é −1 são as raízes da equação x 2 − x − 1 =
0 , que são
1± 5
.
2
Um procedimento útil para estudar a função quadrática é o completamento de quadrado.
Basicamente, o método de completar o quadrado já foi empregado na Oficina 5 do Guia 1 e
se resume na observação de que
13
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
2
p
p2 .

x 2 + px =  x +  −
2
4

Como exemplo, observe que
x 2 + 10 x = x 2 + 2 ⋅ 5 ⋅ x + 52 − 52 =
x + 5)
− 25
(
2
e, ainda,
3 x 2 + 12 x + 5= 3 (
x2 + 4 x )
+ 5= 3[( x + 2)2 − 4] + 5= 3( x + 2)2 − 7 .
Em geral, dada a função quadrática f ( x ) = ax 2 + bx + c , escrevemos:
2
2
b 
b
b2
b  4 ac − b2



f ( x=
) a  x 2 + x  + c= a  x +  −
+ c= a  x +  +
a 
2a  4 a
2a 
4a



Como veremos, logo em seguida, é conveniente escrever m = −
4 ac − b2
b
e k=
.
4a
2a
É fácil verificar que k = f ( m) . De fato,
2
 b
 b
 b
f(
m)
= f  −  = a −  + b −  + c
 2a 
 2a 
 2a 
2
2
2
2
ab
b
b − 2b + 4 ac − b2 + 4 ac 4 ac − b2
f(
m)
c
=
−
+
=
=
=
= k
4 a2 2a
4a
4a
4a
Com esta notação, tem-se, para todo x ∈ 
IR:
f ( x ) = a( x − m)2 + k , onde m = − b e k = f ( m) .
2a
Esta é a chamada forma canônica do trinômio f ( x ) = ax 2 + bx + c .
Exemplo 2: Escreva a função quadrática, definida por f ( x ) = 2 x 2 − 5 x + 3 , em sua forma
canônica. Determine o menor valor que a função f assume e quais são suas raízes.
Solução:
2
b
−5
5
5
5
5
1
−
=
−
=, k =f   =2   − 5   + 3 =− , logo a forma canônica
Temos m =
2a
2(
2)
4
8
4
4
4
deste trinômio é
2
5
1

f ( x) = 2 x −  − .
4
8


Escrevendo o trinômio f ( x ) = 2 x 2 − 5 x + 3 na forma canônica, podemos tirar pelo menos duas
conclusões:
5
1
R é − , e esse valor é obtido quando x = .
1) o menor valor de f(x) para todo x ∈ I
4
8
2
2) as raízes da equação f ( x ) = 2 x − 5 x + 3 se obtém escrevendo sucessivamente:
14
Projeto Entre Jovens
2
2
2
5 1.
5
1
5
1
5
1
5
1



±
± ⇒ x=
⇒  x −  =⇒ x − =
2 x −  − =
0 ⇒ 2 x −  =
4 4
4
4
4  16
4
8
4 8



Logo, essas raízes são x = 1 e x =
3 .
2
2
De um modo geral, a forma canônica f ( x ) = a( x − m) + k nos permite concluir que, quando
a > 0 , o menor valor de f ( x ) é k = f ( m) e , quando a < 0 , k = f ( m) é o maior valor de f ( x ) ,

para qualquer x ∈ IR.
A forma canônica nos fornece também, quando b2 − 4 ac ≥ 0 , as raízes da equação
ax 2 + bx + c =
0 , pois esta igualdade equivale sucessivamente a
a(
x − m)
=
− k,
2
x − m)
=
−
(
2
x−m=
±
k b2 − 4 ac
=
,
a
4 a2
b2 − 4 ac
,
2a
b2 − 4 ac −b ± b2 − 4 ac
x=
m±
=
2a
2a
que é a fórmula resolutiva já vista na Oficina 5.
O número ∆= b2 − 4 ac chama-se o discriminante da função quadrática f ( x ) = ax 2 + bx + c .
Quando ∆ > 0 , a equação f ( x ) = 0 tem duas raízes reais e quando ∆ =0 , a mesma equação
possui uma única raiz, chamada de raiz dupla.
Note ainda que ∆ = −4ak , portanto ∆ =0 equivale a k = 0 . Logo, quando ∆ =0 , a forma
canônica se reduz a f (=
x ) a( x − m)2 , ficando claro então que f ( x ) = 0 somente quando
b
x = m= − .
2a
Vemos ainda que, quando ∆ = −4ak é negativo, a e k têm o mesmo sinal, o qual é, neste
IR. Logo, ela nunca se anula, ou seja, a
caso, o sinal de f ( x ) = a( x − m)2 + k para qualquer x ∈ 
não
possui
raiz
real.
equação ax 2 + bx + c =
0
Exemplo 3: Mostre que a função quadrática f ( x ) = 2 x 2 − 12 x + 19 não admite raiz real.
Solução:
Tem-se f ( x )= 2 x 2 − 12 x + 19= 2( x 2 − 6 x + 9) + 1= 2( x − 3)2 + 1. Logo f ( x ) > 0 para todo x .
Em particular, não se tem f ( x ) = 0 para x ∈ 
IR.
Sejam a =( − b + ∆ ) / 2a e b =( − b − ∆ ) / 2a as raízes da equação ax 2 + bx + c =
0.
Um cálculo imediato nos mostra que a + b = − b / a e a .b = ( b2 − ∆) / 4 a2 = c / a .
− b / 2a , é igual ao número m tal que
Vemos que a média aritmética das raízes, (a + b ) / 2 =
f ( m) é o menor valor do f ( x ) (se a > 0 ) ou o maior (quando a < 0 ).
15
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Vemos também que, quando ∆ ≥ 0 , isto é, quando a equação ax 2 + bx + c =
0 possui as
raízes reais a e b , tem-se
b

ax 2 + bx + c= a  x 2 + x +
a

c
2
=
 a[ x − (a + b ) x + a .b ]
a
Logo,
ax 2 + bx + c= a( x − a )( x − b ) .
Esta é a chamada forma fatorada do trinômio do segundo grau.
A forma fatorada fornece imediatamente a seguinte informação sobre o sinal da função
quadrática f ( x )= ax 2 + bx + c= 0 :
x)
= 0 então f (
x)
tem sinal oposto ao sinal
Se x está situado entre duas raízes da equação f (
x)
tem o mesmo sinal de a .
de a . Caso contrário, ou x é raiz ou f (
Com efeito, o produto ( x − a )( x − b ) é negativo se, e somente se, x está entre a e b .
A afirmação acima inclui o caso em que a equação f ( x ) = 0 não possui raiz real. Então f ( x )
IR. Inclui também o caso em que essa equação possui
tem o mesmo sinal de a para todo x ∈ 
uma raiz dupla a . Então, para todo x ≠ a ; f ( x ) tem o mesmo sinal de a .
Vejamos a seguir alguns problemas que envolvem o uso da função quadrática.
Exemplo 4: Mostrar que se dois números positivos têm soma constante, seu produto é
máximo quando eles são iguais.
Solução:
b logo y= b − x . Seu produto é
Sejam x , y os números em questão, com x + y =,
2
f(x) =
x (b − x ) =
− x + bx , uma função quadrática de x com coeficiente a =−1 < 0 , logo f ( x )
b
b b
b
−
=
−
= e daí y = b − x = .
é máximo quando x =
2a
−2 2
2
Exemplo 5: Tenho material suficiente para erguer 20 m de cerca. Com ele pretendo fazer
um cercado retangular de 26m2 de área. Quanto devem medir os lados desse retângulo?
Solução:
20
Se x e y são as medidas (em metros) dos lados do cercado retangular, temos 2 x + 2 y =,
10 . Pelo exemplo anterior, o maior valor possível para a área xy é 5 × 5 =
donde x + y =
25 . Logo,
com 20m de cerca não posso cercar um retângulo de 26m2 de área.
16
Projeto Entre Jovens
Exemplo 6: Mostrar que se o produto de dois números positivos é constante, sua soma é
mínima quando eles são iguais.
Solução:
Sejam x e y dois números positivos tais que xy = c , onde c é uma constante. Os valores
possíveis para a soma s= x + y são aqueles para os quais a equação x 2 − sx + c =
0 possui
2
∆
=
s
−
4
ac
é maior ou igual a 0. Isto significa s 2 ≥ 4 c ,
raízes reais, ou seja, o discriminante
isto é, s ≥ 2 c . O menor valor possível para a soma s é portanto s = 2 c , que torna ∆ =0
s
s
e a equação x 2 − sx + c =
0 admite a raiz dupla x = , portanto y = e os números x , y
2
2
são iguais.
Exemplo 7: Mostrar que a média aritmética de dois números positivos é sempre maior do
que ou igual à média geométrica, sendo igual apenas quando esses números forem iguais.
Solução:
Sejam a , b os números dados. Ponhamos c = a . Entre todos os números positivos x , y
tais que xy = c , a soma x + y é mínima quando x = y , ou seja, x= y=
c . (Vide Exemplo
6.) Neste caso, a soma mínima é 2 c . Em particular, como a e b são números positivos
cujo produto é c , concluímos que a + b ≥ 2 c ; noutros termos: a + b ≥ ab , com igualdade
2
valendo apenas quando a = b .
Exemplo 8: Na figura abaixo, determinar x de modo que a área do paralelogramo inscrito
no retângulo seja mínima. Supõe-se que a ≤ b ≤ 3a .
Solução:
A área do paralelogramo inscrito é
f ( x ) = ab − x ( a − x ) − x ( b − x ) = 2 x 2 − ( a + b) x + ab .
Os dados do problema impõem que 0 ≤ x ≤ a . O mínimo de f ( x ) é atingido no ponto
m= ( a + b) / 4 e vale f ( m) = ab − ( a + b)2 / 8 . A condição b ≤ 3a equivale a ( a + b) / 4 ≤ a ,logo
m ≤ a , portanto a solução obtida é legítima.
17
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Exemplo 9: Dois comerciantes formam uma sociedade com o capital de 100 mil reais. Um
deles trabalhou 3 dias por semana e o outro 2. Após algum tempo, desfizeram a sociedade
e, considerando o capital que cada um entrou e o tempo de trabalho dedicado por cada
sócio, cada um recebeu 99 mil reais. Qual foi a contribuição de cada um para o capital da
sociedade?
Solução:
Um dos sócios entrou com x e o outro com 100 − x mil reais. Seus lucros foram 99 − x e
99 − (100 − x ) = x − 1 mil reais, respectivamente. Sem perda de generalidade, podemos supor
que a sociedade durou 5 dias. Os lucros de cada um por dia de serviço foram, respectivamente,
(99 − x ) / 2 e ( x − 1) / 3 mil reais. Cada mil reais aplicados deu, por dia de serviço, o lucro
99 − x
x −1 .
=
2x
3(100 − x )
(Esta equação exprime a equitatividade da sociedade.) Dai vem a equação x 2 − 59 x + 29700 =
0 , cujas
raízes são 55 e 540. Como 540 > 100, a única raiz que serve é x = 55 . Assim, um sócio
contribuiu com o capital inicial de 45 mil reais e o outro com 55 mil reais.
Observação: Se, ao montar a equação do problema, tivéssemos chamado de x o capital inicial
do sócio que trabalhou 3 dias por semana, teríamos
99 − x
x −1
=
3x
2(100 − x )
o que nos levaria a equação x 2 + 395 x − 19800 =
0 ,cujas raízes são 45 e -440. Desprezando a
raiz negativa, concluiríamos, ainda, que o sócio que trabalhou 3 dias por semana entrou com
45 mil reais e o outro com 55 mil reais.
: → 
O gráfico de uma função quadrática ff:IR
IR, dada por f ( x ) = ax 2 + bx + c , x ∈ IR, é o
22
IR formado pelos pontos ( x , ax 2 + bx + c ), cuja abscissa é um número real
subconjunto G ⊂ 
arbitrário x e cuja ordenada é o valor f(x) que a função assume no ponto x. O gráfico de uma
função quadrática é sempre uma curva denominada parábola.
18
Projeto Entre Jovens
Veja na plataforma os aplicativos sobre função quadrática. Lá você
encontrará recursos dinâmicos que explicitam a relação entre os
coeficientes de uma função quadrática com seu gráfico.
Esta curva pode ter sua “concavidade” voltada para cima ou para baixo. O que irá determinar
o sentido da concavidade é o sinal do coeficiente a.
Se a > 0 a concavidade será voltada para cima (1º gráfico).
Se a < 0 a concavidade será voltada para baixo (2º gráfico).
Note que para se determinar plenamente uma função quadrática é necessário determinar os
valores dos três coeficientes a, b e c em f ( x ) = ax 2 + bx + c . Daí a necessidade de se conhecer
três pontos de passagem para se determinar a lei da função quadrática. É claro que, ao invés
de se informar três pontos de passagem, é possível fornecer três outras informações para se
determinar a lei da função quadrática.
O valor do coeficiente c informa onde a parábola irá interceptar o eixo das ordenadas (eixo
2
0,c )
= a(
0 )(
+ b 0)
+=
c c , donde o ponto (
é um ponto do gráfico da função e
y) pois f (0)
também um ponto sobre o eixo das ordenadas.
Em qualquer situação, a função quadrática sempre admite um ponto extremo que é chamado
vértice da parábola. A parábola admite um eixo de simetria que é a reta vertical que passa pelo
vértice da parábola. A partir da forma canônica da função quadrática, podemos concluir que
as coordenadas do vértice V são dadas por:
∆
b
xv = −
e yv = −
.
4a
2a
19
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
E ainda, pode-se concluir que o conjunto imagem da função quadrática é definido por:
∆

R| y ≥ −  se a > 0 ;
•  y ∈ I
4a 

∆

•  y ∈ I
R | y ≤ −  se a < 0 .
4
a

Veja na plataforma o aplicativo que descreve o conjunto imagem de uma função
quadrática, a partir dos valores de seus coeficientes.
20
Projeto Entre Jovens
Resolva as atividades propostas abaixo.
Atividade 1: Prove que não existem dois números reais cuja soma seja 2 e cujo
produto seja 5.
Atividade 2: Escreva a função quadrática, definida por f ( x ) = 2 x 2 − 5 x + 3 , em
sua forma canônica. Determine o menor valor que a função f assume e quais são
suas raízes.
Atividade 3: Mostre que a função quadrática f ( x ) = 2 x 2 − 12 x + 19 não admite
raiz real.
Atividade 4: Mostrar que se dois números positivos têm soma constante, seu
produto é máximo quando eles são iguais.
Atividade 5: Tenho material suficiente para erguer 20 m de cerca. Com ele
pretendo fazer um cercado retangular de 26m2 de área. Quanto devem medir os
lados desse retângulo?
Atividade 6: Mostrar que se o produto de dois números positivos é constante, sua
soma é mínima quando eles são iguais.
Atividade 7: Mostrar que a média aritmética de dois números positivos é sempre
maior do que ou igual à média geométrica, sendo igual apenas quando esses
números forem iguais.
Atividade 8: Na figura abaixo, determinar x de modo que a área do paralelogramo
inscrito no retângulo seja mínima. Supõe-se que a ≤ b ≤ 3a .
21
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Atividade 9: Dois comerciantes formam uma sociedade com o capital de 100
mil reais. Um deles trabalhou 3 dias por semana e o outro 2. Após algum tempo,
desfizeram a sociedade e, considerando o capital que cada um entrou e o tempo
de trabalho dedicado por cada sócio, cada um recebeu 99 mil reais. Qual foi a
contribuição de cada um para o capital da sociedade?
Atividade 10: Resolva as inequações abaixo:
a) 6 x 2 − x − 1 < 0 .
b) 3 x 2 + 10 x − 30 ≥ 16 x + 15 .
x 2 − 2x − 7
c)
≤ 1.
x −3
 → I
R, definida por f (
x)
= l x 2 + 2l x + 1,
Atividade 11: Considere a função ff::IR
. Para que valores reais de l a função f assume somente valores positivos?
onde
Atividade 12: Num sistema de coordenadas cartesianas, o ponto R se desloca
0,30 , em direção à origem O, com
sobre o eixo das ordenadas a partir do ponto ()
velocidade constante de 1 cm/s e o ponto S se desloca sobre o eixo das abscissas,
2,0 )
, com o dobro da velocidade do ponto R. Eles partem no
partindo do ponto (
mesmo instante. Veja a figura abaixo.
Em quanto tempo o triângulo ROS atingirá área máxima?
22
Projeto Entre Jovens
Anotações
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
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________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
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________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
23
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
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Guia do Tutor Matemática – Volume 2
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OFICINA 12
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Metas:
– Introduzir a noção de ângulo.
– Apresentar as razões trigonométricas num triângulo
retângulo.
– Construir um teodolito doméstico para as atividades
que necessitam de medição de ângulos.
Objetivos:
– Ao término dessa oficina o aluno deverá ser capaz de:
• Resolver problemas envolvendo razões trigonométricas
num triângulo retângulo.
Pré-requisito:
– Oficinas 8 e 9 do Guia 1.
Projeto Entre Jovens
Ângulo é a união de duas semirretas de mesma origem. As semirretas são os lados do ângulo e
a origem comum é o seu vértice. Se as semirretas que originam o ângulo são AB e AC, tal ângulo
é denominado ângulo BAC ou CAB e representado por BÂC ou CÂB, respectivamente. Algumas
vezes, quando está claro no texto, é simplesmente denominado ângulo A e representado por Â.
Para medir ângulo utilizamos o transferidor, que nada mais é que um círculo graduado em
uma unidade qualquer. A figura abaixo ilustra um transferidor graduado em graus. O grau é a
1
fração
do círculo e será denotado por 1º .
360
Na figura abaixo vê-se o uso do transferidor para se medir um ângulo. Note que a medição
feita nos diz que AÔB = 40º .
31
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Se a medida de um ângulo AOB é q , escrevemos simplesmente AÔB = q .
Note que um ângulo separa o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa. Há
uma exceção que é quando as semirretas formam os lados do ângulo estão sobre uma mesma
reta. Neste caso, se as semirretas que formam os lados do ângulo forem opostas, teremos dois
ângulos rasos, que medem 180º cada um. Já se as semirretas que formam os lados do ângulo
forem coincidentes, teremos um ângulo de medida 0º e outro de medida 360º.
Em geral, a cada ângulo podemos associar duas medidas, uma feita sobre a região convexa
do plano e a outra feita na região não convexa do plano. Obviamente, a soma dessas duas
medidas será igual a 360º.
Para evitar ambiguidades, usaremos a seguinte convenção gráfica:
Como foi visto na Oficina 8 do Guia 1, se dois triângulos são semelhantes, então existe uma
correspondência entre seus vértices tal que os ângulos em correspondência sejam congruentes
e os lados em correspondência sejam proporcionais.
Assim, por exemplo, se os triângulos ABC e DEF são semelhantes, então deve existir uma
AB AC BC
.
correspondência entre seus vértices, digamos A ↔ D, B ↔ E e C ↔ F, tal que = =
DE DF EF
32
Projeto Entre Jovens
Lembramos ainda que, para se concluir a semelhança entre dois triângulos, basta que existam
dois pares de ângulos congruentes entre esses dois triângulos (veja Oficina 8 do Guia 1, 1º caso
de semelhança).
Agora, ao fixarmos a medida de um ângulo agudo, digamos q , podemos construir uma
infinidade de triângulos retângulos com um ângulo interno medindo q (obviamente o terceiro
ângulo medirá 90º −q ), todos semelhantes entre si, já que quaisquer dois desses triângulos
teriam dois pares de ângulos congruentes: um par de ângulos retos e um par de ângulos
medindo q .
Na situação ilustrada acima, os triângulos ABC e DEF são semelhantes pois possuem dois pares
de ângulos congruentes: um par de ângulos medindo q e um par de ângulos retos. Daí os
AB AC BC
.
vértices em correspondência são: A ↔ D, B ↔ E e C ↔ F. Segue então que = =
DE DF EF
Dessas proporções tem-se:
AC BC
BC EF
=
⇔
=
(1)
DF EF
AC DF
AB AC
AB DE
=
⇔
=
(2)
DE DF
AC DF
AB BC
BC EF
=
⇔
=
DE EF
AB DE
(3)
A última proporção em (1) é BC = EF . Note que BC é o cateto oposto ao ângulo q e AC
AC DF
é a hipotenusa do triângulo ABC, enquanto que EF é o cateto oposto ao ângulo q e DF é a
hipotenusa do triângulo DEF. Assim, as duas razões dessa proporção correspondem à razão
entre a medida do cateto oposto ao ângulo q e a medida da hipotenusa em cada um dos dois
33
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
triângulos. Portanto qualquer triângulo retângulo que possua um ângulo interno medindo q ,
terá a razão entre as medidas do cateto oposto a q pela da hipotenusa igual ao mesmo valor
obtido em (1). Com isso, o valor dessa razão é fixo, ou seja, não depende das dimensões do
triângulo. O valor fixo dessa razão é característica do ângulo q e não do triângulo. A esse
valor fixo daremos o nome de seno de q , e o denotaremos por senq . Assim, em um triângulo
retângulo que admita um ângulo interno (agudo) medindo q , definimos o seno do ângulo q
como sendo:
medida do cateto oposto a q .
senq =
medida da hipotenusa
AB DE
=
. Note que AB é o cateto adjacente
AC DF
ao ângulo q e AC é a hipotenusa do triângulo ABC, enquanto que DE é o cateto adjacente
ao ângulo q e DF é a hipotenusa do triângulo DEF. Assim, as duas razões dessa proporção
correspondem à razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo q e a medida da
hipotenusa em cada um dos dois triângulos. Portanto qualquer triângulo retângulo que possua
um ângulo interno medindo q , terá a razão entre as medidas do cateto adjacente a q pela da
hipotenusa igual ao mesmo valor obtido em (2). Com isso, o valor dessa razão é fixo, ou seja,
não depende das dimensões do triângulo. O valor fixo dessa razão é característica do ângulo
q e não do triângulo. A esse valor fixo daremos o nome de cosseno de q , e o denotaremos
por cosq . Assim, em um triângulo retângulo que admita um ângulo interno (agudo) medindo
q , definimos o cosseno do ângulo q como sendo:
Analogamente, a última proporção em (2) é
cos q =
medida do cateto adjacente a q .
medida da hipotenusa
BC EF
=
. Note que BC é o cateto oposto ao
AB DE
ângulo q e AB é o cateto adjacente ao ângulo q do triângulo ABC, enquanto que EF é o
cateto oposto ao ângulo q e DE é o cateto adjacente ao ângulo q do triângulo DEF. Assim,
as duas razões dessa proporção correspondem à razão entre a medida do cateto oposto ao
ângulo q e a medida do cateto adjacente ao ângulo q em cada um dos dois triângulos.
Portanto, qualquer triângulo retângulo que possua um ângulo interno medindo q , terá a
razão entre as medidas do cateto oposto a q pela do cateto adjacente a q igual ao mesmo
valor obtido em (3). Com isso, o valor dessa razão é fixo, ou seja, não depende das dimensões
do triângulo. O valor fixo dessa razão é característica do ângulo q e não do triângulo. A
esse valor fixo daremos o nome de tangente de q , e o denotaremos por tgq . Assim, em um
triângulo retângulo que admita um ângulo interno (agudo) medindo q , definimos a tangente
do ângulo q como sendo:
Da mesma forma, a última proporção em (3) é
tgq =
medida do cateto oposto a q .
medida do cateto adjacente a q
Replicando o mesmo raciocínio, é possível estabelecer a definição de cotangente, secante e
cossecante de um ângulo agudo q . Não o faremos aqui.
É oportuno observar que em um triângulo retângulo a hipotenusa é o lado que se opõe ao
maior dentre os três ângulos (ao ângulo reto), portanto a hipotenusa é o maior dos lados desse
triângulo. Daí resulta então que se q é um ângulo agudo, então senq e cosq são valores
compreendidos entre 0 e 1.
34
Projeto Entre Jovens
É possível estabelecer relações entre essas três razões trigonométricas. Para obtermos essas
relações, considere o triângulo retângulo abaixo.
1. Como o triângulo MPQ é retângulo em P, do Teorema de Pitágoras segue que:
2
MQ
=
MP 2 + PQ2 . Dividindo os dois membros dessa última igualdade por MQ2 obtém-se:
MQ2 MP 2 PQ2
=
+
MQ2 MQ2 MQ2
2
 MP   PQ 
=
1 
 +

 MQ   MQ 
2
MP
corresponde ao quociente entre a medida do cateto
MQ
adjacente ao ângulo a pela medida da hipotenusa. Ora, essa razão, por definição é o cosa . Por
PQ
outro lado, a razão
corresponde ao quociente entre a medida do cateto oposto ao ângulo
MQ
a pela medida da hipotenusa. Ora, essa razão, por definição é o sena . Assim, de
Mas no triângulo MPQ, a razão
2
2
 MP   PQ 
=
1 
 +
 obtém-se:
 MQ   MQ 
=
1
cos a )
+(
sena )
ou, equivalentemente, (
sena )
+(
cos a )
=
1.
(
2
2
2
2
Essa última igualdade é conhecida como relação trigonométrica fundamental. É comum
sena )
por sen2a e (
cosa
representar (
2
por
)
2
cos2 a . Dessa forma a relação trigonométrica
fundamental se reescreve como:
sen2a + cos2 a =
1.
PQ
. Podemos dividir numerador e denominador
MP
de uma fração por um mesmo número não nulo que a fração não se altera. Dividiremos então
numerador e denominador dessa última fração pela medida da hipotenusa. Assim obtemos:
2. Agora observe no triângulo MPQ que tga =
PQ
PQ MQ
tg
=
a
=
MP MP
MQ
Mas
PQ
MP
= sena e
= cos a . Portanto:
MQ
MQ
35
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
PQ
PQ MQ sena
tg
=
a
= =
MP MP cos a
MQ
Logo, tga =
sena
.
cos a
3. No triângulo MPQ pode-se estabelecer ainda que
sen
=
b
medida do cateto oposto a b MP
= = cos a , ou seja, senb = cos a .
medida da hipotenusa
MQ
cos
=
b
medida do cateto adjacente a b
PQ
= = sena , ou seja, cos b = sena .
medida da hipotenusa
MQ
tg
=
b
medida do cateto oposto a b
MP
1
1
1
= = =
, ou seja, tgb =
.
medida do cateto adjacente a b PQ MP tga
tga
PQ
90º , tem-se
Assim sempre que tivermos dois ângulos agudos complementares, isto é, a + b =
que: senb = cos a , cos b = sena e tgb =
1
.
tga
Exemplo 1: Sabendo que a tangente de um angulo agudo a é igual a 2, calcule o valor de
sena e cosa .
Solução:
sena
= 2 , ou seja, sena = 2cos a . Substituindo essa última igualdade na relação
cos a
1, obtemos 4 cos2 a + cos2 a =
1.
trigonométrica fundamental sen2a + cos2 a =
tga
Temos=
Portanto, cos2 a = 1/ 5 . Como as razões trigonométricas de ângulos agudos são números
positivos, obtemos cos=
a
Finalmente, =
sena 2cos
=
a
1
=
5
5
.
5
2 5
.
5
Para certos ângulos agudos, as razões trigonométricas podem ser obtidas diretamente,
explorando propriedades de certos triângulos retângulos notáveis. Um triângulo equilátero,
por exemplo, permite obter as razões 30º e 60º , enquanto um quadrado fornece as relações
trigonométricas da 45º . Para os demais ângulos, a solução consiste em obter estes valores em
tabelas ou, mais modernamente, em calculadoras (que usam métodos numéricos baseados nas
séries de Taylor das funções trigonométricas).
36
Projeto Entre Jovens
Como os ângulos agudos de 30º, 45º e 60º são mais frequentemente utilizados, registramos
os valores de sua razões trigonométricas na tabela abaixo.
seno
cosseno
tangente
30º
1
2
3
2
3
3
45º
2
2
2
2
1
60º
3
2
1
2
3
Sugerimos, entretanto, que seja elaborada uma atividade onde os alunos sejam levados a
construir triângulos retângulos que tenham esses ângulos internos e que, a partir das medidas
dos lados desses triângulos, o aluno calcule as razões trigonométricas em questão.
Sugestão: Para os ângulos de 30º e 60º, basta construir um triângulo equilátero e, em seguida,
traçar uma de suas alturas. Com isso se conseguirá um triângulo retângulo cujos ângulos
internos agudos medirão 30º e 60º. Para o ângulo de 45º, basta construir um triângulo
retângulo isósceles que se obterá assim um triângulo retângulo cujos ângulos agudos medirão
45º. Em seguida o aluno deverá medir os catetos e as hipotenusas desses triângulos e efetuar
as razões trigonométricas.
Para as atividades de aplicação, recomendamos que seja confeccionado um teodolito, que é
um instrumento que permite medir ângulos.
Apresentamos aqui uma maneira de se construir um teodolito caseiro. Recomendamos
fortemente que os alunos sejam estimulados a construírem seus teodolitos pois várias
atividades interessantes podem ser desenvolvidas com esse instrumento. Ele é um instrumento
que permite medir ângulos e, com isso, várias atividades envolvendo estimativas de distâncias
inacessíveis poderão ser realizadas. Veja abaixo como construir um teodolito com material
barato e de maneira simples.
Material necessário
• um copo de plástico (a) com tampa (b). Um copo de requeijão com
tampa é adequado;
• xerox de um transferidor colado numa base quadrada de papelão (c);
37
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
• um pedaço de arame fino com cerca de 15 centímetros de
comprimento (d) ou palito de churrasco;
• um pedaço com a mesma medida de um tubo de alumínio de
antena de TV ou um canudo ou um corpo de caneta (e).
O toque de precisão
A tampa do copo servirá de base para a rotação do teodolito e deverá ser colada, de
cabeça para baixo, de modo que seu centro coincida com o centro do transferidor, o
que dará mais precisão ao teodolito. Para encontrar o centro da tampa, trace nela dois
diâmetros. E faça um furo onde eles se cruzarem. Tampas desse tipo geralmente trazem
ranhuras na borda que podem ajudá-lo a encontrar o ponto certo. Use o arame fino como
guia para alinhar o centro da tampa com o centro do transferidor (veja no destaque).
O ponteiro
O arame fino será o ponteiro do teodolito que permitirá fazer a leitura em graus no transferidor.
Para instalá-lo, faça dois furos diametralmente opostos na lateral do copo, próximo de sua
boca (use o diâmetro marcado na tampa como guia para fazer esses furos), e passe o arame
pelos furos deixando-o atravessado no copo.
38
Projeto Entre Jovens
A mira
O tubo de antena será a mira por onde você avistará os pontos a serem medidos. Cole o
tubo na base do copo, de forma que ele fique paralelo ao ponteiro (arame fino). Para refinar
essa mira, cole na extremidade do tubo dois pedaços de linha formando uma cruz. Veja na
ilustração.
Pronto para usar
Finalize encaixando o copo na tampa. A versão caseira funciona como o aparelho verdadeiro.
Com ele, você mede, a partir da sua posição, o ângulo formado entre dois outros pontos. Na
horizontal ou na vertical, basta alinhar a indicação 0° do transferidor com um dos pontos e
girar a mira até avistar o outro ponto. O ponteiro indicará de quantos graus é a variação.
Há outras formas de se elaborar um teodolito. Algumas fornecem instrumentos bem mais
precisos. Não deixe de consultar a plataforma Moodle para conhecer outras possibilidades de
construção.
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Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Exemplo 2: Como os gregos estimaram o raio da Terra.
Solução:
Sobe-se em uma montanha de altura h, próxima ao mar, e mede-se o ângulo q entre a reta
TH, que passa por T (no alto da montanha) e por um ponto no horizonte H, com a reta TO que
determina a direção vertical no ponto T. Veja figura abaixo.
Do triângulo THO tem-se:
sen
=
q
OH
R
=
OT R + h
R + h)
senq = R ⇔ Rsenq + hsenq = R ⇔ R − Rsenq = hsenq
(
R(
1− senq )
=
hsenq
R=
hsenq .
1− senq
Portanto, conhecendo-se as medidas de h e q , pode-se determinar o valor de R, que representa
o raio da Terra.
Exemplo 3: Ao soltar uma pipa, um menino usou os 100 metros de linha de seu carretel.
O ângulo que a linha forma com a horizontal é igual a 18°. A que altura está a pipa? Veja
ilustração abaixo.
40
Projeto Entre Jovens
Solução:
Para resolver o problema, vamos admitir que a linha fica em linha reta (na verdade, ela forma
uma pequena “barriga” devido ao próprio peso da linha).
A partir da figura temos:
h − 1,6
= sen18º
100
h − 1,6 = 100 ⋅ sen18º
h − 1,6 = 100 × 0,3090
=
h 30,90 + 1,6
= 32,5 metros.
41
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Resolva as atividades propostas abaixo.
Atividade 1: Sabendo que a tangente de um ângulo agudo a é igual a 2, calcule
o valor de sena e cosa .
Atividade 2: Como os gregos estimaram o raio da Terra?
Atividade 3: Ao soltar uma pipa, um menino usou os 100 metros de linha de seu
carretel. O ângulo que a linha forma com a horizontal é igual a 18°. A que altura
está a pipa? Veja ilustração abaixo.
Atividade 4: Um piloto decola de certa cidade A com seu avião, devendo alcançar
a cidade B após duas horas de voo na rota 28º (veja bússola). Porém, duas horas
após a decolagem, o piloto notou que, por engano, tinha tomado a rota 280º.
Supondo que o avião tenha combustível suficiente, qual deverá ser o novo rumo
para que ele consiga atingir a cidade B?
42
Projeto Entre Jovens
Atividade 5: Um engenheiro precisa projetar uma piscina em forma de um
trapézio retângulo conforme ilustra figura abaixo. Qual deverá ser a medida do
lado MN dessa piscina?
Atividade 6: Jorge é proprietário de um pequeno terreno que tem um barranco.
Um corte de seu terreno está representado na figura abaixo. Ele deseja medir
a largura de seu terreno que, na figura, é representada por x. Para tanto, finca
uma estaca no alto do barranco na qual amarra um barbante (ponto A). Estica o
barbante até um ponto B no solo de tal modo que ele faça 60º com a horizontal.
Em seguida, mede a distância de B até C, encontrando 15,5 m, e o comprimento
do barbante, encontrando 23 m. Qual a largura do terreno de Jorge?
43
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Atividade 7: Um avião levanta voo em A e sobe fazendo um ângulo constante
de 15° com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando
sobrevoar uma torre situada a 2 km do ponto de partida? (Dados: sen 15° = 0,26;
cos 15° = 0,97 e tg 15° = 0,27)
Atividade 8: Determine o valor de x no seguinte caso:
Atividade 9: Com base na figura abaixo, calcule senb , cos b e tgb .
Atividade 10: Pedro fabricou uma bicicleta, tendo rodas de tamanhos distintos,
com o raio da roda maior (dianteira) medindo 3 dm, o raio da roda menor
medindo 2 dm e a distância entre os centros A e B das rodas sendo 7 dm. As rodas
da bicicleta, ao serem apoiadas no solo horizontal, podem ser representadas no
plano (desprezando-se os pneus) como duas circunferências, de centros A e B, que
tangenciam a reta r nos pontos P e Q, como indicado na figura.
44
Projeto Entre Jovens
a) Determine a distância entre os pontos de tangência P e Q e o valor do seno do
ângulo BPQ.
b) Quando a bicicleta avança, supondo que não haja deslizamento, se os raios
da roda maior descrevem um ângulo de 60°, determine a medida, em graus, do
ângulo descrito pelos raios da roda menor. Calcule, também, quantas voltas terá
dado a roda menor quando a maior tiver rodado 80 voltas.
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Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Anotações
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Guia do Tutor Matemática – Volume 2
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Projeto Entre Jovens
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51
OFICINA 13
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Metas:
– Estudar a unidade radiano e o ciclo trigonométrico.
– Apresentar as principais funções trigonométricas.
Objetivos:
– Ao término dessa oficina o aluno deverá ser capaz de:
• Lidar com a unidade radiano.
• Reconhecer seno e cosseno de um arco no ciclo
trigonométrico.
• Resolver problemas envolvendo funções trigonométricas.
Pré-requisito:
– Oficina 12 do Guia 2.
Projeto Entre Jovens
Para estendermos a noção de seno, cosseno e tangente para números reais, torna-se necessário
introduzirmos uma outra unidade de medida de ângulos: o radiano.
A medida de um ângulo em radianos é a razão entre o comprimento do arco subentendido
por um ângulo central que tem a medida do ângulo dado e o comprimento do raio dessa
circunferência.
Um número muito frequente que surge em trigonometria é o número p . Este número
corresponde ao comprimento de uma semi-circunferência de raio 1.
Dessa forma, uma circunferência de raio 1 tem comprimento C = 2p e, consequentemente,
para uma circunferência de raio R, tem-se C = 2p R (já que duas circunferências quaisquer são
sempre semelhantes).
C
= p , tem-se que p é a razão entre o comprimento de qualquer circunferência
Escrevendo
2R
e o seu diâmetro, valendo aproximadamente 3,14159265.
Cada arco em uma circunferência é subentendido por um ângulo central (ângulo com vértice
no centro da circunferência) cujos lados passam pelos pontos que são as extremidades do arco.
Dizermos que a medida de um arco é dada pela medida do ângulo central subentendido por
esse arco.
Se o ângulo central AÔB mede q , dizemos que a medida do arco AB é q .
Introduziremos agora outra unidade de medida de ângulos: o radiano. A medida de um ângulo
em radianos é a razão entre o comprimento do arco subentendido por um ângulo central em
uma circunferência pela medida do raio dessa circunferência.
s
s'
Assim, na figura abaixo, AÔB = radianos = radianos.
R
R'
55
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Em particular podemos concluir que se um arco de comprimento s é subentendido por um
ângulo central de medida q radianos em uma circunferência de raio R, então:
q=
s
, donde s= q ⋅ R .
R
Uma bela tentativa de medir o raio da Terra deve-se a Erastóstenes no terceiro século antes
de Cristo. Medidas foram feitas nas cidades de Assuã e Alexandria, no Egito, que estão
aproximadamente no mesmo meridiano terrestre, e por rara felicidade, Assuã esta quase sobre
o trópico de Câncer. Isto quer fizer que no primeiro dia do verão, ao meio dia, os raios solares
são perfeitamente verticais. Naquele tempo, uma unidade comum para medir distâncias
grandes era o estádio. O estádio era o comprimento da pista de corrida utilizada nos jogos
olímpicos da Antiguidade (de 776 a 394 aC.) e era equivalente a 1/10 de milha, ou seja,
aproximadamente 161 m.
Exemplo 1: No dia do solstício de verão, Erastóstenes verificou que, ao meio dia, o sol
brilhava diretamente dentro de um poço profundo em Assua e, em Alexandria, a 5000
estádios ao norte de Assuã, alguém mediu o ângulo que os raios solares faziam com a
vertical, encontrando 1/50 do circulo. Com base nestes dados, calcule o raio da Terra.
Solução:
Está sendo assumido que os raios solares chegam à superfície da Terra paralelamente. Embora
isso não seja uma verdade mas, para efeito do exercício e da estimativa que se quer, é uma
1
360º 7,2º . Note que, como q e
hipótese aceitável. Pela situação descrita temos=
que q =
50
a são ângulos alternos internos determinados por paralelas, segue que a= q= 7,2º .
56
Projeto Entre Jovens
Uma circunferência pode ser percorrida em dois sentidos. Quando um deles é selecionado e
denominado positivo, dizemos que a circunferência está orientada. Selecionaremos o sentido
anti-horário como sendo o positivo e numa circunferência de raio unitário fixaremos um ponto
A, que será o ponto de origem dos arcos. Essa circunferência orientada com raio unitário será
representada por S1 .
Numa circunferência unitária orientada como acima, um arco pode ser positivo ou negativo,
dependendo se o arco é marcado, a partir do ponto A, no sentido positivo (anti-horário) ou
negativo (horário).
Ao lidarmos com uma circunferência unitária, tem-se que a medida em radianos de um arco
coincide com o comprimento desse arco pois
s = q ⋅ R ⇔ s = q ⋅1⇔ s = q .
Essa é a vantagem de se lidar com a unidade radiano em uma circunferência de raio
unitário. Assim, a medida de um arco em radiano corresponde ao seu comprimento em uma
circunferência unitária.
57
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Até o momento definimos seno, cosseno e tangente para ângulos agudos (pois precisamos
de um triângulo retângulo que admita tal ângulo como ângulo interno). Como esses ângulos
podem ser medidos em radianos, ficam definidos então o seno, o cosseno e a tangente para
 p
os números reais no intervalo 0,  , que correspondem às medidas, em radianos, dos arcos
 2
que são subentendidos por ângulos agudos.
Agora vamos estender as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente para todos os
números reais de forma a que sejam mantidas as relações
senx
.
sen2 x + cos2 x =
1 e tgx =
cos x
E :IR
 → S1 , conforme
Esta generalização será feita da seguinte maneira: definimos uma função E:
descrito a seguir.
Dado um número real x, percorremos sobre S1 , no sentido positivo se x > 0 e no sentido
x)
é
negativa se x < 0 , um arco de comprimento igual a x, a partir do ponto A. A imagem E (
o ponto de S1 que alcançamos após percorremos o arco de comprimento x.
Note que se x > 2p será necessário dar mais de uma volta em S1 no sentido positivo, para
x)
.
atingir E (
Note que os números 0, ±2p , ±4p , ±6p , ... , ±2kp , para k um inteiro qualquer, serão
levados pela função E sobre o próprio ponto A de S1 .
Nesse sistema de coordenadas definimos:
cos x1 = abscissa de P1
senx1 = ordenada de P1
tgx1
=
58
senx1
, se cos x1 ≠ 0
cos x1
Projeto Entre Jovens
e, analogamente,
cos x2 = abscissa de P2
senx2 = ordenada de P2
tgx2
=
senx2
, se cos x2 ≠ 0
cos x2
Note que o que determinará o seno, o cosseno e a tangente de um número real x será o ponto
P de S1 que estará associado a x pela função E. Mas há uma infinidade de números reais
associados a um mesmo ponto P de S1 .
Os números da forma x ± 2kp , com k um inteiro qualquer são ditos côngruos (a diferença
x)
=E (
x + 2kp )
=P , isso significa
entre eles é sempre um múltiplo inteiro de 2p . Como E (
que as funções seno e cosseno são periódicas com período 2p . Assim, conhecendo-se o
0,2p , passamos a saber como essas funções se
comportamento da função no intervalo []
comportam em todos os intervalos seguintes ou anteriores, cujo comprimento seja 2p . Assim
0,2p que, portanto, corresponde ao
podemos restringir o estudo dessas funções ao intervalo []
estudo das coordenadas de um ponto que dá exatamente uma volta em S1 .
Como os valores assumidos pelas funções seno e cosseno são dadas pelas coordenadas de um
ponto de S1 , seus sinais dependem do quadrante em que se encontra esse ponto.
59
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Temos então que os sinais das funções seno, cosseno e tangente, nos quatro quadrantes serão:
seno
cosseno
tangente
1º quadrante
+
+
+
2º quadrante
+
–
–
3º quadrante
–
–
+
4º quadrante
–
+
–
Vamos agora buscar relacionar o seno e o cosseno de um arco no 2º, 3º e 4º quadrante com
arcos do 1º quadrante.
A partir das figuras acima podemos concluir que:
sen (
p −q)
, já que P e Q têm a mesma
• Se q ∈ 2º quadrante: senq =
− cos (
p −q )
, já que P e Q têm abscissas
ordenada, e cos q =
simétricas;
−sen (
q −p )
, já que P e Q têm
• Se q ∈ 3º quadrante: senq =
− cos (
q −p )
, já que P e Q têm
ordenadas simétricas, e cos q =
abscissas simétricas;
−sen (
2p − q )
, já que P e Q têm
• Se q ∈ 4º quadrante: senq =
cos q cos (
2p − q )
, já que P e Q têm
ordenadas simétricas, e =
abscissas iguais;
60
Projeto Entre Jovens
senx
, tgx só é definida quando cos x ≠ 0 . Como
cos x
cos x = 0 para os pontos de S1 cuja abscissa é nula, segue que cos x = 0 para os pontos de
É importante reforçar que, como tgx =
e ()
coordenadas (
0,1)
0, −1 . Esses pontos são imagens, pela função E, dos números reais da
p
3p
p
+ 2kp e =
+ 2kp , k ∈ , respectivamente ou, simplesmente, x=
+ kp ,
x
forma x=
2
2
2
k ∈ .
Podemos agora falar nos gráficos das funções trigonométricas seno, cosseno e tangente:
:  → I
R, definida por f (
x)
= senx .
Função seno:f f:IR
:  → I
Função cosseno:f f:IR
R, definida por f (
x)
= cos x .
p


Função tangente: f :  x ∈  | x ≠ + kp , k ∈   →  , definida por f (
x)
= tgx .
2


Note que as funções seno e cosseno só assumem valores no intervalo [
−1,1]
, enquanto que
a função tangente assume todos os valores reais possíveis. Por esta razão dizemos que o
−1,1]
, enquanto que o conjunto
conjunto imagem das funções seno e cosseno é o intervalo [
imagem da função tangente é o conjunto de todos os números reais.
61
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Conhecendo-se os gráficos dessas funções básicas, é possível esboçar
com facilidade gráficos de funções mais gerais, como por exemplo,
, ou
. Visite a plataforma
e verifique os aplicativos sobre gráficos de funções trigonométricas.
62
Projeto Entre Jovens
Resolva as atividades propostas abaixo.
Atividade 1: No dia do solstício de verão, Erastóstenes verificou que, ao meio
dia, o sol brilhava diretamente dentro de um poço profundo em Assua e, em
Alexandria, a 5000 estádios ao norte de Assuã, alguém mediu o ângulo que os
raios solares faziam com a vertical, encontrando 1/50 do círculo. Com base nestes
dados, calcule o raio da Terra.
Atividade 2: Encontre as três menores soluções positivas da equação
p

cos  3 x −  =
0.
4

Atividade 3: Verifique que as igualdades abaixo valem para todo valor de
p
x ≠ 2kp ± , onde k é um número inteiro qualquer (Tais desigualdades são
2
chamadas de identidades trigonométricas).
a)
cos x
1− senx
=
1+ senx
cos x
1− tg2 x
2
2
b) cos x − sen x =2
1+ tg x
Atividade 4: Quantos são os valores distintos de sen
kp
, para k inteiro?
5
63
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Atividade 5: Para que valores de x se tem :
a)
cos x >
1
2
b)
senx >
1
2
2
Atividade 6: Calcular m para que exista um ângulo x com cos x =
e
m
−1
.
tg
=
x
m−2
Atividade 7: Nas desigualdades tem-se alguns valores do seno, do cosseno e
tangente de certos números reais. Classifique como verdadeira ou falsa cada
dessas desigualdades.
a) sen2 > 0
b) cos 4 < 0
c)
sen3 > sen2
d) cos3 > cos2
e) tg5 > tg6
f)
cos
p
> cos1
4
g) cos 3 < 0
Atividade 8: Determine o conjunto dos números reais x para os quais tg2 x = 3 .
p

Atividade 9: Determine para que valores de x a função y =
5 − cos  x + 
5

assume seu valor máximo.
Atividade 10: Para cada uma das funções definidas abaixo, esboce seus gráficos
e dê seus respectivos conjuntos imagens.
p

:  → I
R, definida por f (
a)f f:IR
x)
=
1+ 2cos  x + 
3

1
p

:  → I
b) fg:IR
R definida por g (
x)
=−1+ cos  x − 
2
4

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Projeto Entre Jovens
Anotações
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OFICINA 14
APLICAÇÕES DA TRIGONOMETRIA
Meta:
– Apresentar algumas aplicações básicas da trigonometria.
Objetivos:
– Ao término dessa oficina o aluno deverá ser capaz de:
• Resolver problemas envolvendo cálculos de
distâncias ou alturas.
Pré-requisitos:
– Oficinas 8 e 9 do Guia 1.
– Oficinas 12 e 13 do Guia2.
Projeto Entre Jovens
As razões trigonométricas têm aplicações diversas e algumas delas serão objeto dessa oficina.
Quando necessitamos estabelecer a medida de um comprimento, utilizamos algum instrumento
que nos permita realizar essa medição: régua, fita métrica, trena, etc. Entretanto, há situações
em que se deseja efetuar medidas envolvendo objetos que não estão diretamente acessíveis.
Para todas as atividades dessa oficina foram desenvolvidos applets que
ilustram e simulam dinamicamente a situação proposta. Visite a plataforma
e verifique esses aplicativos. Procure utilizar o laboratório de informática da
escola, se possível, ou verifique se a escola dispõe de um datashow e um
computador que você possa utilizar nos encontros com os alunos.
Exemplo 1: Medir a largura de um rio sem atravessá-lo.
Estando no ponto A às margens de um rio, estimar a largura do rio, sem atravessá-lo,
utilizando somente trena e teodolito.
Solução:
Suponhamos, por exemplo, que estejamos do ponto A e identifiquemos o ponto C, na margem
oposta, de forma a que a distância entre os pontos A e C forneça uma boa aproximação para
a largura do rio. Tomando uma direção perpendicular a AC, caminhamos em linha reta uma
determinada distância, digamos k metros. O ponto onde pararmos será o ponto B, que estará
na mesma margem que A. Uma vez em B, utilizamos um teodolito e medimos o ângulo b ,
formado pelos segmentos BA e BC.
73
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Uma vez conhecidos a distância entre os pontos A e B, que no caso é k, e a medida do ângulo
b , podemos obter a medida do segmento inacessível AC utilizando razões trigonométricas
em um triângulo retângulo. Nesse caso, conhecemos a medida do ângulo b e a medida
do cateto adjacente a esse ângulo no triângulo retângulo ABC. O que desejamos achar é a
medida do cateto oposto ao ângulo b . A razão trigonométrica que relaciona os dois catetos
AC d
= ⇔ d = k ⋅ tgb . Conhecidos b e k, calcula-se d, que é
é a tangente. Temos que tgb =
AB k
uma estimativa para a largura do rio.
Recomendamos, entretanto, a fazer com os alunos essa atividade envolvendo valores específicos
e não valores literais, conforme fizemos nessas notas. Ou seja, escolha adequadamente valores
para k e b e efetue as contas.
Sugestão: Considere, por exemplo, que se obteve a medição b = 72º e distância k como
sendo 20 metros. Nesse caso se obtém =
tgb tg72º ≅ 3,08 . Reproduzindo todo o argumento
elaborado acima para esses valores particulares, chegaremos a d ≅ 20 ⋅ 3,08 =
61,6 , ou seja, d
é aproximadamente 61 metros.
Exemplo 2: Estando no ponto A, às margens de um rio, estimar a largura do rio sem
atravessá-lo, utilizando somente trena e teodolito.
Solução:
Podemos usar um ponto qualquer C de referência na outra margem do rio e, partindo de um
ponto A qualquer na margem do rio, desloca-se ao longo de sua margem, em linha reta, até
completar uma distância k, chegando assim a um ponto que chamaremos de B. A partir do
ponto B, com o auxílio de um teodolito, mede-se o ângulo b e, em seguida, retorna-se ao
ponto de origem A e mede-se o ângulo a , conforme indicado na figura.
74
Projeto Entre Jovens
A largura do rio é dada aproximadamente pela medida da altura CH relativa ao lado AB, no
triângulo ABC.
No triângulo retângulo AHC temos tga =
BHC , temos tgb =
h
tgα
h
tg
CH
. Logo, AH = h
HB
tgα
e, finalmente,
CH
, enquanto que, no triângulo retângulo
AH
e BH =
h . Como AH + HB =
k , temos
tgβ
. Note que k é conhecido pois foi escolhido e
tga e tgb também são conhecidos pois os ângulos a e b foram medidos.
Recomendamos, entretanto, a fazer com os alunos essa atividade envolvendo valores específicos
e não valores literais, conforme fizemos nessas notas. Ou seja, escolha adequadamente valores
para k , a e b e efetue as contas.
Sugestão: Considere, por exemplo, que se obteve a medição b = 48º , a = 74º e a distância
tgb tg48º ≅ 1,11, =
tga tg74º ≅ 3,49 .
k como sendo 50 metros. Nesse caso se obtém =
Reproduzindo todo o argumento elaborado acima para esses valores particulares, chegaremos
a
, ou seja, h é aproximadamente 42 metros.
Exemplo 3: Medir uma altura inacessível.
Estimar a altura h de um poste, sem escalá-lo, sendo conhecidos a altura da visão do
observador, que é 1,6 m, empregando somente trena e teodolito. Veja a ilustração a seguir.
Solução:
Considere a situação onde precisamos estimar a altura de algo (prédio, árvore, etc) que temos
acesso à sua base. Para fixar as ideias, consideraremos o cenário em que precisamos estimar a
altura de um poste. Veja a ilustração a seguir.
75
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Para isso nos afastamos uma distância d do poste, a nossa escolha, e do ponto onde nos
localizamos, medimos o ângulo a de visão da ponta mais alta do posto com a horizontal
tomada na altura de nosso olho. Digamos que o nosso olho esteja a 1,6 metros do chão.
Com isso já são conhecidos d e a . Portanto temos as seguintes informações sintetizadas na
ilustração abaixo.
No esquema acima temos um triângulo retângulo ABC, do qual conhecemos a medida de
um de seus ângulos agudos, a medida do cateto adjacente à esse ângulo e queremos obter
a medida do cateto que lhe é oposto. Dentre as razões trigonométricas em um triângulo
retângulo, a que relaciona os dois catetos é a tangente. Portanto obtemos:
tg=
a
BC h − 1,6
=
, ou seja, h − 1,6 =d ⋅ tga ,
AB
d
donde h = 1,6 + d ⋅ tga . Como d e a são conhecidos, determina-se assim o valor de h, que
representa a altura do poste.
Recomendamos, entretanto, a fazer com os alunos essa atividade envolvendo valores específicos
e não valores literais, conforme fizemos nessas notas. Ou seja, escolha adequadamente valores
para d e a e efetue as contas.
Sugestão: Considere, por exemplo, que se obteve a medição a = 32º e distância d como sendo
tga tg33º ≅ 0,65 . Reproduzindo todo o argumento elaborado
5 metros. Nesse caso se obtém=
acima para esses valores particulares, chegaremos a h= 1,6 + 5 × 0,65 = 1,6 + 3,25= 4,85
metros.
76
Projeto Entre Jovens
É óbvio que, em lugar de um poste, poder-se-ia considerar um prédio, uma construção ou
um objeto qualquer que o procedimento seria o mesmo. Entretanto, se o objeto cuja altura
queremos estimar for muito grande, uma torre por exemplo, podemos desconsiderar a altura
do observado e considerá-lo como um ponto sobre o chão pois, para efeito de estimar a
altura de um objeto muito alto, 1,6 metros a mais ou a menos não compromete o valor da
estimativa. Já para um poste 1,6 m faz muita diferença já que essa medida pode representar
cerca de um terço de seu tamanho, daí não se poder desprezar a altura da vista do observador.
Exemplo 4: Medir uma altura inacessível – parte 2.
Estando situado no ponto A, às margens de um rio, estimar a altura de um prédio que se
encontra na margem oposta desse rio, conforme ilustrado na figura abaixo, fazendo uso
somente de trena e teodolito.
Solução:
Considere agora a situação onde precisamos estimar a altura de algo (prédio, montanha,
árvore, etc) que não só esteja inacessível mas como também sua base esteja inacessível. Para
fixar as ideias, consideraremos o cenário em que estamos em uma das margens de um rio e
precisamos estimar a altura de um prédio que se encontra na margem oposta. Veja ilustração
a seguir.
77
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
A partir de um ponto A da margem em que nos encontramos, observamos o prédio e medimos
o ângulo de visão a que temos de um ponto C em sua base a um ponto P em seu topo. O
objetivo então é estimarmos a medida do segmento PC que representará a altura do prédio.
Em seguida, caminhamos em direção ao prédio, no alinhamento AC, por k metros e paramos.
Seja B esse ponto. A partir de B medimos novamente o ângulo de visão b que temos do ponto
C ao ponto P do prédio. Esquematizamos na figura abaixo as informações que dispomos e a
medida h a ser determinada.
No triângulo retângulo ACP, conhecemos a medida do ânguloa , parte do cateto AC, que é
adjacente ao ânguloa , e desejamos calcular a medida do cateto oposto ao ângulo a . Como
a razão trigonométrica que relaciona os dois catetos é a tangente, obtemos:
PC
h
h
tg
=
a
=
=
, ou seja, h=(
k + BC )
⋅ tga .
AC AB + BC k + BC
Agora, observando o triângulo BCP, temos:
tg=
b
Substituindo BC=
PC
h
h
=
, ou seja, BC=
.
BC BC
tgb
h
na relação h=(
k + BC )
⋅ tga , obtemos:
tgb

 tga
h 
tga
tga
h= k +
⇔ h −h⋅
=
− k ⋅ tga ⇔ h ⋅ 1−
 ⋅ tga ⇔ h=k ⋅ tga + h ⋅
tgb 
tgb
tgb

 tgb
tgb − tga
tgb
tga ⋅ tgb
= k ⋅ tga ⇔ h = k ⋅ tga ⋅
⇔h=k⋅
h⋅
tgb
tgb − tga
tgb − tga

k ⋅ tga
=

Como k, tga e tgb são conhecidos é possível, portanto, determinar o valor de h, que fornece
a estimativa de altura para o prédio.
Recomendamos, entretanto, a fazer com os alunos essa atividade envolvendo valores específicos
e não valores literais, conforme fizemos nessas notas. Ou seja, escolha adequadamente valores
para k e para os ângulos a e b de maneira a que se chegue a uma equação do segundo grau
com coeficientes numéricos para que fique mais significativo para os alunos.
Sugestão: Considere, por exemplo, que se obteve nas medições a = 25º e b = 30º e a
distância percorrida k tenha sido de 50 metros. Nesse caso se obtém =
tga tg25º ≅ 0,47 e
=
tgb tg30º ≅ 0,58 . Reproduzindo todo o argumento elaborado acima para esses valores
particulares, chegaremos a
h =k ⋅
tga ⋅ tgb
0,47 ⋅ 0,58
0,2726
≅ 50 ⋅
=50 ⋅
≅ 50 ⋅ 2,478 =123,9 m.
tgb − tga
0,58 − 0,47
0,11
Logo, o prédio tem aproximadamente 124 m.
78
Projeto Entre Jovens
É oportuno considerar que, como estamos estabelecendo uma estimativa da altura do prédio,
não faz sentido responder que o prédio tem uma altura aproximada de 123,9 metros. Isso seria
uma estupidez.
É óbvio que, em lugar de um prédio, poder-se-ia considerar uma montanha, uma construção
ou um objeto qualquer que o procedimento seria o mesmo. Chamamos a atenção para o fato
de que nessa aplicação, por se tratar da estimativa da altura de um prédio, desprezamos a
altura da vista do observador pois, nesse caso, o comprimento que estamos estimando é muito
maior do que a medida que desprezamos.
Demonstraremos agora que os comprimentos dos lados de um triângulo são proporcionais aos
senos dos ângulos opostos. Para tal é necessário recordarmos que a área de um triângulo é
dada pelo semiproduto entre das medidas de dois de seus lados pelo seno do ângulo por eles
formado, ou seja, a área S de um triângulo ABC é dada por
1
1
1
=
S
bc ⋅ sena =
, S
ac ⋅ senb ou=
S
ab ⋅ seng
2
2
2
onde a, b, c, a , b e g são os elementos indicados na figura abaixo.
De fato, traçando a altura BH do triângulo ABC tem-se:
1º caso: a é um ângulo agudo.
h
Do triângulo AHB da figura 1 obtemos sena = , ou seja, h= c ⋅ sena . Daí segue que:
c
1
1
1
S=
b ⋅ h=
b⋅(
c ⋅ sena )
=
bc ⋅ sena .
2
2
2
79
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
2º caso: a é um ângulo obtuso.
h
p −a )
=, ou seja, h =c ⋅ sen (
p −a )
=c ⋅ sena .
Do triângulo AHB da figura 2 obtemos sen (
c
Daí segue que:
1
1
1
=
S=
b ⋅ h=
b⋅(
c ⋅ sena )
bc ⋅ sena .
2
2
2
3º caso: a é um ângulo reto.
1
b ⋅ h=
2
1
S
bc ⋅ sena .
Logo, em qualquer caso, tem-se=
2
1
S
ac ⋅ senb e=
S
Analogamente, prova-se que=
2
Podemos agora demonstrar a lei dos senos.
Do triângulo ABC da figura 3 obtemos S=
1
1
1
b ⋅ c=
b ⋅ c ⋅ 1=
bc ⋅ sena .
2
2
2
1
ab ⋅ seng .
2
Teorema 1: Em um triângulo ABC qualquer vale a relação
a
b
c .
=
=
sena senb seng
Demonstração:
1
1
S
bc ⋅ sena , por b a relação=
S
ac ⋅ senb e por c a relação
Multiplicando por a a relação=
2
2
1
=
S
ab ⋅ seng obtemos:
2
1
a
abc
a ⋅=
S
abc ⋅ sena ⇔
=
2
sena
2S
b ⋅=
S
1
b
abc
abc ⋅ senb ⇔
=
2
senb
2S
c ⋅=
S
1
c
abc
abc ⋅ seng ⇔ =
2
seng 2S
Daí podemos então concluir que
80
a
b
c
=
=
.
sena senb seng
Projeto Entre Jovens
Visite a plataforma e verifique os aplicativos sobre lei dos senos que estão
disponíveis.
Exemplo 5: Calcular a distância de um ponto a outro que esteja inacessível.
Estimar a distância do ponto A em uma praia a um ponto P em uma ilha, utilizando somente
trena e teodolito. Veja a figura abaixo.
Solução:
Considere agora a situação onde precisamos estimar a distância de um ponto a outro que
esteja inacessível. Para fixar as ideias, consideremos o cenário onde estejamos interessados em
estimar a distância de um ponto A em uma praia à uma palmeira P, que se encontra em uma
ilha que pode ser avistada a partir desse ponto A. Veja a ilustração abaixo.
81
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Como essa medida não pode ser feita diretamente, a partir do ponto A, que marcamos
fixando uma estaca na areia, caminhamos em linha reta d metros e paramos num ponto que
chamaremos de B e do qual possamos avistar os pontos A e P. Marcaremos também o ponto
B fixando uma estaca na areia. A partir do ponto B, medimos o ângulo de visão b que temos
do ponto A ao ponto P. Em seguida retornamos ao ponto A e medimos o ângulo de visão a
que temos do ponto B ao ponto P. Note que, ao conhecermos os ângulos a e b , passamos a
180º , donde g= 180º − (
a + b)
. Aplicando
conhecer também o ângulo g , já que a + b + g =
então a lei dos senos ao triângulo ABP obtemos:
AP
AB
AB ⋅ senb
.
=
, donde AP =
senb seng
seng
Recomendamos, entretanto, a fazer com os alunos essa atividade envolvendo valores específicos
e não valores literais, conforme fizemos nessas notas. Ou seja, escolha adequadamente valores
para d e para os ângulos a e b de maneira a que se chegue a um valor numérico para a
medida de AP.
Sugestão: Considere, por exemplo, que se obteve nas medições a = 82º e b = 70º e a distância
82º +70º )
= 28º , donde
percorrida d tenha sido de 500 metros. Nesse caso se obtém g = 180º − (
=
seng sen28º ≅ 0,47 e =
senb sen70º ≅ 0,94 . Reproduzindo todo o argumento elaborado
acima para esses valores particulares, chegaremos a:
=
AP
AB ⋅ senb 500 ⋅ 0,94 470
=
= = 1000 metros.
seng
0,47
0,47
Vamos demonstrar agora a lei dos cossenos.
Teorema 2: Seja ABC um triângulo qualquer com lados medindo a, b e c e ângulos internos
opostos as esses lados medindo , e , respectivamente. Então são válidas as seguintes
relações:
Demonstração:
Vamos demonstrar a relação a2 = b2 + c 2 − 2bc ⋅ cos a . Tracemos a altura BH, relativa ao lado AC.
Consideraremos dois casos:
1º caso: o ângulo a é agudo.
Faremos BH = h e AH = x , conforme ilustrado na figura a seguir.
82
Projeto Entre Jovens
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo BHC e ao triângulo BHA obtemos:
a2 = h2 + (
b − x)
⇔ a2 = h2 + b2 − 2bx + x 2
2
c 2 = h2 + x 2 ⇔ h2 = c 2 − x 2
()
a2 = c 2 − x 2 + b2 − 2bx + x 2 ⇔ a2 = b2 + c 2 − 2bx
Agora, no triângulo BHA obtemos:
cos a =
AH x
= ⇔ x = c ⋅ cos a .
AB c
Substituindo x= c ⋅ cos a na última relação concluímos: a2 = b2 + c 2 − 2bc ⋅ cos a
2º caso: o ângulo a é obtuso.
Faremos BH = h e AH = x , conforme ilustrado na figura abaixo.
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo BHC e ao triângulo BHC e ao triângulo BHA
obtemos:
a2 = h2 + (
b + x)
⇔ a2 = h2 + b2 + 2bx + x 2
2
c 2 = h2 + x 2 ⇔ h2 = c 2 − x 2
()
a2 = c 2 − x 2 + b2 − 2bx + x 2 ⇔ a2 = b2 + c 2 + 2bx
Agora, no triângulo BHA obtemos:
AH x
cos (
180º −a )
=
= ⇔ x = c ⋅ cos (
180º −a )
.
AB c
180º −a )
=
− cos a , segue que x =−c ⋅ cos a
Como cos (
Substituindo x =− c ⋅ cos a na última relação concluímos: a2 = b2 + c 2 − 2bc ⋅ cos a .
83
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Observe que se o ângulo A for reto, a lei do cosseno se reduz ao Teorema de Pitágoras.
Visite a plataforma e verifique os aplicativos sobre lei dos senos que estão
disponíveis.
Exemplo 6: Determinar a distância entre dois pontos inacessíveis.
Dispondo de uma trena e de um teodolito, estimar a distância entre dois pontos P e Q, cada
um em uma ilha diferente, a partir de um ponto A em uma praia de onde se possa avistar os
pontos P e Q. Veja a ilustração abaixo.
Solução:
Considere agora a situação onde precisamos estimar a distância entre dois pontos que estejam
inacessível. Para fixar as ideias, consideremos o cenário onde estejamos interessados em estimar
a distância entre dois pontos P e Q, cada um em uma ilha diferente, a partir de um ponto A em
uma praia de onde se possa avistar os pontos P e Q. Veja a ilustração abaixo.
84
Projeto Entre Jovens
Como essa medida não pode ser feita diretamente, a partir do ponto A, que marcamos
fixando uma estaca na areia, caminhamos em linha reta d metros e paramos num ponto
que chamaremos de B e do qual possamos avistar os pontos A, P e Q. Marcaremos também
o ponto B fixando uma estaca na areia. A partir do ponto B, medimos o ângulo de visão b
que temos do ponto A ao ponto P e também o ângulo de visão e que temos do ponto A
ao ponto Q. Em seguida retornamos ao ponto A e medimos o ângulo de visão a que temos
do ponto B ao ponto P e também o ângulo de visão d que temos do ponto B ao ponto Q.
Note que, ao conhecermos os ângulos a e b , passamos a conhecer também o ângulo g , já
180º podemos concluir que g= 180º − (
a + b)
bem como, ao conhecermos
que a + b + g =
180º ,
os ângulos d e e , passamos a conhecer também o ângulo q pois, já que d + e + q =
d + e)
.
podemos concluir que q= 180º − (
Aplicando então a lei dos senos ao triângulo ABP obtemos:
AP
AB
AB ⋅ senb
d ⋅ senb
=
⇔ AP=
⇔ AP=
.
senb seng
seng
seng
Aplicando agora a lei dos senos ao triângulo ABQ obtemos:
AQ
AB
AB ⋅ sene
d ⋅ sene
=
⇔ AQ=
⇔ AQ=
.
sene senq
senq
senq
Observando agora o triângulo APQ temos:
Note que já conhecemos as medidas AP e AQ. Logo, aplicando a lei dos cossenos ao triângulo
APQ obtemos:
2
PQ=
AP 2 + AQ2 − 2 ⋅ AP ⋅ AQ ⋅ cos (
a − g)
.
Como todos os termos do 2º membro são conhecidos, podemos obter a medida do segmento
PQ que será dada por
85
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
PQ
=
AP 2 + AQ2 − 2 ⋅ AP ⋅ AQ ⋅ cos (
a − g)
.
Mais uma vez recomendamos que faça com os alunos essa atividade envolvendo valores
específicos e não valores literais, conforme fizemos nessas notas. Ou seja, escolha
adequadamente valores para d e para os ângulos a , b , d e e de maneira a que se chegue a
um valor numérico para a medida de PQ.
Sugestão: Considere, por exemplo, que se obteve nas medições a = 82º , b = 70º , d = 55º e
e = 95º e a distância percorrida d tenha sido de 500 metros.
82º +70º )
= 28º , donde =
seng sen28º ≅ 0,47 e
Nesse caso se obtém g = 180º − (
=
senb sen70º ≅ 0,94 . Reproduzindo todo o argumento elaborado acima para esses valores
particulares, chegaremos a:
AP
AB
AB ⋅ senb 500 ⋅ 0,94 470
=
⇔ AP =
=
=
= 1000 metros.
senb seng
seng
0,47
0,47
q= 180º − (
e +d=
180º − (
95º +55º =
30º ,
donde
Por
outro
lado,
obtém-se
)
)
=
senq sen30º
= 0,5 e =
sene sen95º ≅ 0,996 . Reproduzindo todo o argumento elaborado
anteriormente para esses valores particulares, chegaremos a:
AQ
AB
AB ⋅ sene 500 ⋅ 0,996 498
=
⇔ AQ =
=
=
= 996 metros.
sene senq
senq
0,5
0,5
Agora como a − g= 82º −28º= 54º , aplicando a lei dos cossenos no triângulo APQ obtemos:
PQ
=
=
PQ
AP 2 + AQ2 − 2 ⋅ AP ⋅ AQ ⋅ cos (
a − g)
1000 )
+ ()
996 − 2 ⋅ (
1000 )
⋅ ()(
996 ⋅ cos 54º )
(
2
PQ=
2
1992016 − 1992000 ⋅ 0,588
PQ = 820720
PQ ≅ 906 metros
86
Projeto Entre Jovens
Resolva as atividades propostas abaixo.
Atividade 1: Medir a largura de um rio sem atravessá-lo.
Estando no ponto A às margens de um rio, estimar a largura do rio, sem atravessálo, utilizando somente trena e teodolito.
Atividade 2: Medir a largura de um rio sem atravessá-lo – parte 2.
Estando no ponto A às margens de um rio, estimar a largura do rio, sem atravessálo, utilizando somente trena e teodolito.
Atividade 3: Medir uma altura inacessível.
Estimar a altura h de um poste, sem escalá-lo, sendo conhecidos a altura da
visão do observador, que é 1,6 m, empregando somente trena e teodolito. Veja a
ilustração a seguir.
87
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Atividade 4: Medir uma altura inacessível – parte 2.
Estando situado no ponto A, às margens de um rio, estimar a altura de um prédio
que se encontra na margem oposta desse rio, conforme ilustrado na figura abaixo,
fazendo uso somente de trena e teodolito.
Atividade 5: Calcular a distância de um ponto a outro que esteja inacessível.
Estimar a distância do ponto A em uma praia a um ponto P em uma ilha, utilizando
somente trena e teodolito. Veja a figura abaixo.
88
Projeto Entre Jovens
Atividade 6: Determinar a distância entre dois pontos inacessíveis.
Dispondo de uma trena e de um teodolito, estimar a distância entre dois pontos
P e Q, cada um em uma ilha diferente, a partir de um ponto A em uma praia de
onde se possa avistar os pontos P e Q. Veja a ilustração abaixo.
Atividade 7: Um observador O situado no topo de uma montanha vê dois outros
A e B situados no nível do mar. Os observadores A e B medem os ângulos a e b
que as linhas AO e BO formam com o plano horizontal e o observador O mede
o ângulo AÔB = q . Conhecendo-se a distância d entre os observadores A e B,
calcule a altura da montanha.
Atividade 8: Um balão foi visto simultaneamente de três estações A, B e C sob
ângulos de elevação de 45º, 45º e 60º, respectivamente. Sabendo que A está 3 km
a oeste de C e que B está 4 km ao norte de C, determine a altura do balão.
Atividade 9: Um corredor A está sobre uma reta r e corre sobre ela no sentido
AX. Um corredor B não está em r e, correndo em linha reta, pretende alcançar A,
vide figura abaixo. Sendo a partida simultânea, que direção deve tomar B se as
velocidades de ambos são conhecidas?
89
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
a) Considere BAX = 110º , velocidade de A igual a 8m/s e velocidade de B igual a
9m/s. Determine o ângulo que a trajetória de B deve fazer com a reta BA para que
o encontro seja possível.
b) Considere BAX = 110º , velocidade de A igual a 8m/s, velocidade de B igual a
8,1 m/s e AB=50 m. Sendo B um corredor inteligente, determine que distância ele
percorreu até alcançar A.
Atividade 10: Considerando ainda a figura da atividade 9, seja BAX = 60º . O
corredor A tem velocidade 15% maior que a de B. Porém, o corredor B é inteligente,
planejou cuidadosamente sua trajetória, e alcançou o corredor A no ponto C da
reta r. Calcule o ângulo ABC .
Observação: você vai encontrar dois valores para o ângulo ABC . Ambos são
possíveis? Por que ocorre isto?
90
Projeto Entre Jovens
Anotações
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OFICINA 15
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Meta:
– Apresentar a noção de área de uma região do plano.
Objetivos:
– Ao término dessa oficina o aluno deverá ser capaz de:
• Resolver problemas envolvendo o cálculo de áreas
de figuras planas.
Pré-requisitos:
– Oficinas 8 e 9 do Guia 1.
– Oficinas 12 e 14 do Guia 2.
Projeto Entre Jovens
Para essa oficina você encontrará na plataforma Moodle vários aplicativos interessantes. Todos
os tópicos trabalhados nessa oficina têm aplicativos associados. Sugerimos fortemente que se
você, tutor, está atuando em uma escola que dispõe de laboratório de informática e que seja
permitido o uso do laboratório para realizar as atividades com os alunos, procure apresentar
os aplicativos aos alunos.
Uma outra opção seria utilizar um datashow e um computador para exibir os aplicativos para
os alunos nos encontros. Verifique se a escola dispõe de um datashow e um computador que
possa ser utilizado no encontro com os alunos.
Medir uma grandeza significa compará-la com uma outra de mesma espécie tomada como
unidade. Nessa oficina vamos tratar de medir a porção do plano ocupada por uma figura. Esta
medida é a sua área.
Para encontrar a área de uma figura F devemos comparar sua superfície (a porção do plano que
ela ocupa) com a de uma outra figura tomada como unidade. O resultado dessa comparação
será um número que deverá exprimir quantas vezes a figura F contém a unidade de área.
A unidade de área
Adotamos como unidade de área o quadrado cujo lado mede uma unidade de comprimento.
Ele será chamado de quadrado unitário.
Se o lado do quadrado for de 1 cm, a unidade de área será chamada de centímetro
quadrado e representada por cm2 . Naturalmente que, para cada unidade de comprimento,
existe uma unidade de área correspondente. Assim, o metro quadrado ( m2 ), o milímetro
quadrado ( mm2 ), o quilometro quadrado ( km2 ) são outras unidades de área utilizadas quando
forem convenientes para a figura que se deseja medir.
Dissemos que a área de uma figura exprime quantas vezes essa figura contém a unidade de
área. Isto é fácil de perceber, por exemplo, quando desejamos conhecer a área de um retângulo
cujos lados medem 5 cm e 3cm.
A área do retângulo
Já sabemos que se as medidas dos lados de um retângulo são números inteiros, sua área
é o produto desses números. Mas, o que ocorre se as medidas dos lados do retângulo são
números racionais? Por exemplo, como se calcula a área de um retângulo cujos lados medem
10
cm? Algum aluno afoito vai dizer: multiplique esses dois números! Na verdade,
4,8 cm e
3
isto está certo, mas por que esse produto fornece a área?
99
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Nosso retângulo é assim:
Naturalmente que não podemos ver quantas vezes o quadrado unitário cabe dentro do nosso
retângulo. Vamos então fazer o seguinte. Em primeiro lugar, escrever as medidas dos lados
do retângulo como frações de mesmo denominador. Isto é sempre possível quando elas são
números racionais.
4,8
=
48 24 72
10 50
= =
e =
10 5 15
3 15
Em segundo lugar, vamos dividir o lado do quadrado unitário em pedacinhos de tamanho
1/15 e, traçando por cada ponto de divisão paralelas aos lados, vemos o quadrado unitário
dividido em 152 = 225 quadradinhos.
1
Assim, a área, de cada quadradinho é
cm². Agora, vamos cobrir a superfície do nosso
225
retângulo com esses quadradinhos.
100
Projeto Entre Jovens
Cabem 72 quadradinhos na base do retângulo e 50 quadradinhos na altura. Logo, o número
de quadradinhos em que o retângulo ficou dividido é 72 × 50 . Assim, a área do retângulo é
1
igual a este número multiplicado pela área de cada quadradinho, que é
cm². Dai, a érea
225
do retângulo será:
S = 72 × 50 ×
1
72 50
10
=
×
= 4,8 ×
= 16 cm².
225 15 15
3
De fato, a área do nosso retângulo de medidas racionais é realmente o produto das medidas
desses lados. Note que, apesar de termos feito apenas um exemplo, sua solução contém toda a
ideia da demonstração para retângulos de medidas racionais. Podemos demonstrar que a, área
de um retângulo cujas medidas dos lados são números reais positivos quaisquer é o produto
delas. Não faremos isso aqui.
Concluindo, a área de um retângulo é o produto das medidas de seus lados.
Visite a plataforma e verifique os aplicativos sobre áreas de retângulos
que estão disponíveis.
Área do paralelogramo
Conhecida a área do retângulo, podemos calcular a área de um paralelogramo. Consideremos
o paralelogramo ABCD da figura a seguir com base AB = a e altura h .
A figura, a seguir, mostra o retângulo AECF que contém o paralelogramo.
101
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Seja BE = x . A área o paralelogramo é igual a área; do retângulo subtraída das áreas de dois
triângulos iguais ( BEC e DFA ) que, juntos, formam um outro retângulo.
Mas do segundo membro dessa igualdade podemos concluir que ( a + x )h − xh =.
ah
A área do paralelogramo é, portanto, o produto da base pela altura.
S = ah .
Visite a plataforma e verifique os aplicativos sobre áreas de paralelogramos
que estão disponíveis.
Área do triângulo
Para obter a área de um triângulo ABC, escolha um lado para chamar de base. Seja então BC
a base. Suponha que a base tenha comprimento a e que a altura relativa a essa base tenha
tamanho h .
Pelo vértice oposto A, trace paralelas aos lados AB e BC formando o paralelogramo ABCD.
É claro que a área do triângulo ABC é a metade da área do paralelogramo ABCD. Daí a área do
triângulo é a metade do produto da base pela altura, isto é,
S=
ah
.
2
Vale registrar que na Oficina 14, provamos que a área de um triângulo também pode ser
calculada quando se conhece a medida de dois de seus lados e a medida do ângulo por eles
formado.
102
Projeto Entre Jovens
Neste caso tem-se:
=
S
1
1
1
bc ⋅ sena ou=
S
ac ⋅ senb ou=
S
ab ⋅ seng .
2
2
2
Uma terceira maneira de se calcular a área de um triângulo é através da Fórmula de Heron. Ela
é útil quando se conhece as medidas dos três lados do triângulo.
Se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo, então sua área S é dada por:
S=
p(
p − a)
p − b)
p − c)
, onde p =
(
(
a+ b+ c
.
2
Não demonstraremos essa fórmula nessas notas. Para uma demonstração da Fórmula de
Heron, consulte a plataforma.
Visite a plataforma e verifique os aplicativos sobre áreas de triângulos que
estão disponíveis.
Área do trapézio
Consideremos agora o trapézio ABCD com base maior AB = a , base menor CD = b e altura h
como na figura a seguir.
Traçando o segmento CE paralelo a AD , o trapézio ABCD ficou dividido no paralelogramo
AECD de base b e altura h e no triangulo CEB de base a − b e altura h . Somando estas
áreas encontramos:
103
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
bh +
( a − b)h 2bh + ah − bh ( a + b)h
.
=
=
2
2
2
A área do trapézio é, portanto, o produto da base média pela altura.
S=
( a + b)h
.
2
(Chamamos de base média de um trapézio ao segmento de reta que une os pontos médios dos
lados opostos não-paralelos. Sua medida é a média aritmética das bases.)
Visite a plataforma e verifique os aplicativos sobre áreas de trapézios que
estão disponíveis.
Propriedades importantes
Propriedade 1: A área de um triângulo não se altera quando sua base permanece fixa e o
terceiro vértice percorre uma reta paralela a base.
Na figura acima, a reta r é paralela a BC . Os triângulos A1BC , A2BC , A3BC , A4 BC e A5 BC
têm a mesma área pois possuem a mesma base BC e mesma altura h.
104
Projeto Entre Jovens
Propriedade 2: Em um triângulo, uma mediana divide sua área em partes iguais.
De fato, observando a figura a seguir, sendo M o ponto médio do lado AB, os dois triângulos
interiores possuem bases de mesma medida e mesma altura. Logo, possuem mesma área.
Quando duas figuras possuem mesma área, dizemos que elas são equivalentes. Portanto,
o enunciado desta propriedade pode ser: “Uma mediana divide o triângulo em dois outros
equivalentes”.
Exemplo 1: O triângulo ABC da figura abaixo tem área igual a 30 cm². O lado BC está
dividido em quatro partes iguais pelos pontos D , E e F , e o lado AC está dividido em três
partes iguais pelos pontos G e H . Qual é a área do triângulo GDE ?
Solução:
Observe na figura a seguir, o triângulo ABC com as cevianas BG e BH. Ceviana é qualquer
segmento de reta que une um vértice do triângulo a um ponto qualquer interior ao lado
oposto.
Pela propriedade 2 os triângulos BAG, BGH e BHG tem mesma, área. Cada um tem portanto
área igual a 10 cm² e o triângulo BGC tem área igual a 20. Observe agora o triângulo BGC
com as cevianas GD, GE e GF.
105
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Pela mesma propriedade, os triângulos GBD, GDE, GEF e GFG têm mesma área. Logo, cada um
deles tem área 5 cm². Com isso a área do triângulo GDE é igual a 5cm².
Repare que a solução do problema não necessitou de fórmulas. Uma
propriedade simples e convenientemente aplicada foi suficiente para resolver
a questão.
Propriedade 3: Se dois triângulos têm a mesma altura então a razão entre suas áreas é igual
a razão entre suas bases.
De fato, se dois triângulos têm a mesma altura h e bases medindo a e a ' , então suas áreas são:
ah
a' h
S=
e S' =
. A razão entre suas áreas é dada por:
2
2
ah
S
ah 2
a
= 2 = ×
= .
S ' a' h
2 a' h a'
2
Propriedade 4: A razão entre as áreas de triângulos semelhantes é igual ao quadrado da
razão de semelhança.
Observe na figura a seguir dois triângulos semelhantes com bases a e a ' , e alturas h , e h ' .
Sendo os dois triângulos semelhantes, a razão entre as suas bases é a mesma razão entre as
suas alturas. Esse número é a razão de semelhança das duas figuras:
=
k
106
a h.
=
a' h'
Projeto Entre Jovens
Porém, se S e S’ são as áreas desses dois triângulos temos
ah
S
a h
= 2 = × = k × k = k2 .
S ' a' h' a' h'
2
Considere, por exemplo, o seguinte problema elementar:
Os dois triângulos da figura abaixo são semelhantes. Se a área do menor é igual a 8 cm², qual
é a área do maior?
Para esta pergunta, alunos têm uma tendência irresistível de responder
rapidamente que a área do triângulo maior é 24 cm². Porem isto não é
1
verdade. A razão de semelhança dos dois triângulos é k = e, portanto, a
3
1
razão entre suas áreas é . Daí, se a área do menor é igual a 8 cm², a área
9
do maior é 72 cm².
A propriedade 4 que mostramos para triângulos vale naturalmente para polígonos, pois estes
podem ser divididos em triângulos. Mas, é importante saber que esta propriedade vale para
quaisquer figuras semelhantes.
A razão entre as áreas de figuras semelhantes quaisquer é igual ao quadrado da razão de
semelhança.
Não faremos aqui a demonstração dessa afirmação geral.
Exemplo 2: Em algum momento na primeira metade do século passado, uma pessoa
chamada Afrânio tinha um valioso terreno desocupado perto do centro da cidade do Rio de
Janeiro. Com a urbanização da cidade, ruas novas foram abertas e o terreno de Afrânio ficou
reduzido a um triangulo ABC, retângulo em B, ainda de grande valor pois o lado AB media
156 metros. Pois bem, Afrânio morreu e em seu testamento os advogados encontraram as
instruções para dividir o terreno igualmente entre seus dois filhos. Era assim: “um muro deve
ser construído perpendicularmente ao lado AB de forma que os dois terrenos resultantes da
divisão tenham mesma área; o que tem a forma de um trapézio será do meu filho mais velho
e o outro será do mais novo”. Os advogados não foram capazes de decidir em que posição
deveria ficar o murro. Em que posição, relativamente ao lado AB do terreno, o murro deve
ser construído?
107
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Solução:
Na figura abaixo, MN é o muro que deve ser construído perpendicularmente ao lado AB.
Seja, AM = x de forma que o triângulo AMN e trapézio MBCN tenham mesma área S. Os
x
. Como a
triângulos AMN e ABC são semelhantes e a razão de semelhança entre eles é
156
razão entre suas áreas é o quadrado da razão de semelhança, devemos ter:
2
Área AMN S  x  .
= = 

Área ABC 2S  156 
Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados ficamos com
1
x
,
=
2 156
0 que dá=
x
156
= 78 2 ≅ 110 m. O muro deve ser construído a 110 metros a partir de A.
2
Área do círculo
O número p é a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Esta razão
dá sempre o mesmo valor, ou seja, independe da circunferência porque duas circunferências
quaisquer são sempre semelhantes. Todas as circunferências são semelhantes entre si. Se C é
o comprimento da circunferência de raio R então, por definição,
C
=p .
2R
Mas, o que é o comprimento de uma circunferência? Nós sabemos o que é o comprimento
de um segmento mas temos apenas uma ideia intuitiva do que seja o comprimento de uma
circunferência. Podemos pensar em passar um barbante bem fino em volta da circunferência,
esticá-lo e medir seu comprimento com uma régua. Isto dá uma boa ideia do que seja o
comprimento da circunferência mas este método experimental permite apenas avaliar (com
pouca precisão) essa medida. Vamos tornar mais preciso este conceito.
O comprimento da circunferência é, por definição, o número real cujas aproximações por falta
são os perímetros dos polígonos regulares inscritos e cujas aproximações por excesso são os
perímetros dos polígonos regulares circunscritos.
108
Projeto Entre Jovens
Observe a figura acima. Você vê uma circunferência com um decágono regular inscrito e
outro circunscrito. Pense agora nesta situação com polígonos regulares de n lados. Se C é
o comprimento da circunferência, pn o perímetro do polígono inscrito e Pn o perímetro do
circunscrito temos, por definição,
pn < C < Pn .
Quando n cresce, os valores de pn aumentam, os de Pn diminuem e ambos se aproximam
cada vez mais de C .
Sendo R o raio da circunferência, as razões
pn
P
e n quando n cresce, vão se aproximando,
2R 2R
C
, ou seja, de p .
2R
Veja, a seguir, estas aproximações para alguns valores de n .
uma por um lado e outra pelo outro de
n
pn
2R
Pn
2R
6
3,00000
3,46411
12
3,10582
3,21540
24
3,13262
3,15967
48
3,13935
3,14609
96
3,14103
3,14272
192
3,14145
3,14188
384
3,14156
3,14167
Repare no quadro acima, que os valores das duas colunas vão se aproximando mas, para
polígonos de 384 lados só conseguimos certeza nas três primeiras decimais.
109
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Visite a plataforma e verifique os aplicativos sobre aproximações para o
número p que estão disponíveis.
O número p é um número irracional aproximadamente igual a 3, 1416. O uso da letra grega
p para representar a razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro deve-se a
Euler, que a adotou em 1737.
Continuando com a ideia dos polígonos, a área do circulo é o número real cujas aproximações
por falta são as áreas dos polígonos regulares inscritos. Imaginemos um polígono regular
com n lados ( n bem grande) inscrito na circunferência de raio R. Dividamos o polígono em
triângulos isósceles iguais, todos com vértice no centro da circunferência. Cada triângulo tem
dois lados iguais a R, um lado igual a a , lado do polígono, e altura h relativa a essa base.
A área do polígono é
ah ( na)h pn .h
=
An n=
.
=
2
2
2
onde pn é o perímetro do polígono.
Quando n cresce indefinidamente, pn tende ao comprimento da circunferência e h tende ao
raio. A área do circulo é então:
2p R.R
2
S = p R2 .
S=
Visite a plataforma e verifique os aplicativos sobre áreas de círculos que
estão disponíveis.
110
Projeto Entre Jovens
Áreas de setores
A área de um setor de um círculo é proporcional ao ângulo central ou ainda, proporcional ao
comprimento de seu arco. Para justificar isto, basta observar que, dobrando o ângulo central,
a área do setor dobra, triplicando o ângulo central a área do setor triplica, e assim por diante.
Assim, se o ângulo central tem medida a em graus, a área do setor é
a
.p R2 .
360º
Por outro lado, como a área do setor também é proporcional ao comprimento L do seu arco,
podemos exprimir essa área assim:
S=
=
S
L
LR
=
.p R2
.
2p R
2
Visite a plataforma e verifique os aplicativos sobre áreas de setores que
estão disponíveis.
111
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Resolva as atividades propostas abaixo.
Atividade 1: O triângulo ABC da figura abaixo tem área igual a 30 cm². O lado
BC está dividido em quatro partes iguais pelos pontos D , E e F , e o lado AC
está dividido em três partes iguais pelos pontos G e H . Qual é a área do triângulo
GDE ?
Atividade 2: Em algum momento na primeira metade do século passado, uma
pessoa chamada Afrânio tinha um valioso terreno desocupado perto do centro da
cidade do Rio de Janeiro. Com a urbanização da cidade, ruas novas foram abertas
e o terreno de Afrânio ficou reduzido a um triangulo ABC, retângulo em B, ainda
de grande valor pois o lado AB media 156 metros. Pois bem, Afrânio morreu e
em seu testamento os advogados encontraram as instruções para dividir o terreno
“igualmente” entre seus dois filhos. Era assim:
“um muro deve ser construído perpendicularmente ao lado AB de forma
que os dois terrenos resultantes da divisão tenham mesma área; o que tem
a forma de um trapézio será do meu filho mais velho e o outro será do mais
novo”.
Os advogados não foram capazes de decidir em que posição deveria ficar o murro.
Em que posição relativamente ao lado AB do terreno o murro deve ser construído?
Atividade 3: Três lotes quadrados delimitam um lago em forma de um triângulo
retângulo, conforme indicado na figura abaixo. Sabe-se que as medidas das áreas
desses três lotes somam 800m². Qual a medida do maior dos lados desses três
lotes?
112
Projeto Entre Jovens
Atividade 4: Um pequeno restaurante possui um salão de jantar, uma cozinha e
dois banheiros, todos em forma de quadrado. A cozinha e o salão de jantar possuem
a mesma área. No exterior do restaurante há uma varanda cujas dimensões estão
representadas na figura abaixo. Qual a medida da área interna desse restaurante?
Atividade 5: Um terreno pentagonal foi repartido em quatro lotes de forma a
= FG
= 40 m, AF = 10 m e FC = 60 m, conforme indicado na figura abaixo.
que BF
Qual a área do terreno pentagonal?
Atividade 6: O logotipo de uma empresa é formado por um retângulo de
dimensões 2,5cm de largura e 2 cm de altura 2cm, no qual se encontram pintados 4
triângulos retângulos idênticos, cujos catetos são paralelos aos lados do retângulo.
Veja a ilustração abaixo. Qual é a área de cada um desses triângulos?
113
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Atividade 7: Em um supermercado existem duas câmeras de vídeo instaladas nos
pontos A e B. Há duas gôndolas posicionadas perpendicularmente a parede, uma
de 15 metros e a outra de 10 metros de comprimento, distantes 3 metros entre
si. A região na cor cinza corresponde à área em que as câmeras não conseguem
captar imagem. Veja a planta baixa na ilustração. Qual é a área da região que as
câmeras não conseguem captar?
Atividade 8: Um lote retangular está dividido em quatro terrenos retangulares.
As medidas das áreas de três deles estão indicadas na figura abaixo. Qual é a área
do lote?
Atividade 9: O quadrado da figura abaixo foi dividido num quadrado menor
rodeado por quatro retângulos iguais. O perímetro de cada um dos retângulos
mede 22 cm. Qual a área do quadrado grande?
Atividade 10: No paralelogramo ABCD, o lado AD mede 15 cm, o lado AB
mede 5 cm e a distância do vértice A ao lado CD é 12 cm. Veja a figura abaixo.
Qual é a distância x do vértice A ao lado BC ?
114
Projeto Entre Jovens
Atividade 11: Considere no paralelogramo ABCD as regiões R, S, T e U determinadas
pelo segmento DM que une D ao ponto médio M de BC e pela diagonal AC. Se a
área de ABCD mede 60 cm², determine as áreas das regiões R, S, T e U.
Atividade 12: Considere o triângulo equilátero e o quadrado como na figura
abaixo, ambos com lados medindo a. Calcule a área da parte hachurada.
Atividade 13: A secção transversal de uma carroceria de caminhão que transporta
5 tubulações cilíndricas é um retângulo que acomoda exatamente as seções das 5
tubulações, como na figura abaixo. Sendo o raio das tubulações igual a r, quais as
dimensões do retângulo dessa seção?
115
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Atividade 14: Na figura abaixo se encontram representadas duas circunferências.
O raio da maior circunferência é 2 m. Calcule área da região hachurada.
Atividade 15: Na figura abaixo, o ponto O é o centro do círculo de raio r, AT é
p
tangente ao círculo e MT é perpendicular a AT e o ângulo central AÔM mede
3
radianos. Calcule a área da região hachurada.
116
Projeto Entre Jovens
Anotações
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Guia do Tutor Matemática – Volume 2
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121
OFICINA 16
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Metas:
– Calcular a área das superfícies dos principais
sólidos geométricos.
– Calcular o volume dos principais sólidos geométricos.
Objetivos: – Ao término dessa oficina o aluno deverá ser capaz de:
• Resolver problemas envolvendo o volume e área
de superfícies dos principais sólidos geométricos.
Pré-requisito:
– Oficina 15.
Projeto Entre Jovens
Nessa oficina consideraremos os principais sólidos geométricos. Nosso foco será o cálculo do
volume e da área da superfície desses sólidos.
Noção de Volume
Uma ideia intuitiva de volume seria:
Volume de um sólido é a quantidade de espaço por ele ocupada.
Muitas comparações são óbvias, outras não. No caso de uma panela e de uma garrafa, podese encher a garrafa com água e despejar dentro da panela. Para comparar volumes de objetos
impermeáveis podemos mergulhá-los, um de cada vez, em um reservatório contendo água
até o bordo e comparar a quantidade de água que transbordou. Se tivermos um reservatório
cilíndrico de vidro, podemos colar em sua parede uma escala de nossa escolha e, com ela,
medir volumes de pequemos objetos impermeáveis, como uma pedra de formato irregular,
por exemplo.
Este tipo de experiência é um elemento motivador para o estudo dos volumes e pode ate
ser eventualmente de alguma utilidade prática, mas na maioria dos problemas que teremos
que enfrentar, é totalmente inútil. Por exemplo, o mestre de obras precisa saber o volume de
concreto que será utilizado na construção das colunas, vigas e lajes de um edifício. A forma e
as dimensões de cada um destes objetos estão na planta e o cálculo do volume deve ser feito
antes que o edifício exista. Alguns objetos são pequenos demais, ou grandes demais, ou são
inacessíveis ou, simplesmente, não existem concretamente. Sentimos então a necessidade de
obter métodos para o cálculo de volumes, pelo menos de objetos simples, conhecendo sua
forma e suas dimensões.
Para medir esta grandeza chamada volume, devemos compará-la com uma unidade e,
tradicionalmente, a unidade de volume é o cubo cuja aresta mede uma unidade de comprimento,
denominado de cubo unitário. Por exemplo, se um cubo tem 1 cm de aresta, seu volume é a
unidade chamada de centímetro cúbico ( cm3 ).
Assim, o volume de um sólido deve ser um número que represente quantas vezes ele contém
o cubo unitário.
Volume do bloco retangular
Imaginemos inicialmente um bloco retangular com dimensões 4 cm, 3 cm e 2 cm. Qual é o
seu volume?
125
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Observando o desenho, não há dúvida que este bloco pode ser dividido em 4 × 3 × 2 =
24
3
cubos unitários e, portanto, seu volume é de 24 cm . A maioria dos livros didáticos brasileiros
usa um exemplo como este para “concluir” que o volume de um paralelepípedo retângulo
qualquer é o produto de suas dimensões. Este chute é difícil de aceitar. O que ocorre se as
dimensões do bloco não forem inteiras? Continua valendo o produto? Por quê?
Está certo que em muitas ocasiões o professor não pode fazer em sala de aula uma demonstração
completa de cada um dos conteúdos exigidos no programa do Ensino Médio. Mas, se não o
fizer, deve oferecer algo mais que a fórmula pronta ou o decreto publicado no livro didático.
Vejamos um exemplo.
Exemplo 1: Calcule o volume do bloco retangular de 5,6 cm de comprimento, 4,7 cm de
largura e 2,0 cm de altura.
Solução:
Para resolver este problema, dividamos cada aresta do cubo unitário (com 1 cm de aresta) em
10 partes iguais.Traçando pelos pontos de divisão planos paralelos às faces, dividimos esse
cubo unitário em 1000 cubinhos de aresta 1/10.
126
Projeto Entre Jovens
Naturalmente que o volume de cada cubinho é v = 1/1000 , e é fácil contar quantos destes
cubinhos enchem o bloco retangular dado: são 54 × 47 × 20 cubinhos. Logo, o volume do
bloco retangular é igual ao número de cubinhos multiplicado pelo volume de 1 cubinho, ou
seja,
54 × 47 × 20 ×
1
54 47 20
=
×
×
= 5,6 × 4,7 × 2,0 cm³.
1000 10 10 10
Para o caso geral, onde as medidas das arestas do bloco retangular são números reais positivos
quaisquer, o volume é ainda o produto dessas medidas. Não faremos essa demonstração
nessas notas.
Consideramos portanto estabelecido que o volume de um bloco retangular cujas arestas
medem x, y e z, é dado por V = xyz .
Em particular, o volume do cubo, ou hexaedro regular, cuja aresta mede a, é dado por V = a3 .
Sólidos semelhantes
Seja B(x, y, z) um bloco retangular de dimensões x, y e z. Os blocos B(x,y,z) e B’(x’,y’,z’) são
semelhantes se, e somente se, x ' = kx , y ' = ky e z ' = kz para algum número real positivo
k, chamado razão de semelhança (ou fator de ampliação). Os volumes de B e B’ são tais que
v ( B´) = kx ⋅ ky ⋅ kz = k 3 xyz = k 3v (B) , ou seja, multiplicando as arestas de B por k, seu volume
ficou multiplicado por k 3 . Este resultado vale naturalmente para poliedros retangulares
semelhantes P e P’, e levando em conta a definição de volume, vale também para dois sólidos
semelhantes quaisquer:
A razão entre os volumes de sólidos semelhantes é o cubo da razão de semelhança.
127
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Este é um importante resultado. Entretanto não faremos sua demonstração
nessas notas. Recomendamos consultar a demonstração desse resultado
na plataforma.
O Princípio de Cavalieri
O cálculo dos volumes dos diversos sólidos só vai avançar com esta nova ferramenta. Imagine
inicialmente um sólido qualquer S apoiado em um plano horizontal H. Imagine também que
S tenha sido cortado por planos paralelos a H em fatias muito finas, todas de mesma altura.
Observe então que o sólido S pode mudar de forma quando deslizamos ligeiramente cada fatia
em relação com a que está abaixo dela. Podemos assim obter outro sólido S’, diferente de S,
mas com o mesmo volume de S, uma vez que eles são constituídos das mesmas fatias.
Esta ideia inicial já nos conduz a dois importantes resultados.
a) Dois prismas de mesma base e mesma altura têm mesmo volume.
b) Duas pirâmides de mesma base e mesma altura possuem mesmo volume.
As situações que acabamos de apresentar constituem um caso bastante particular do princípio
que vamos enunciar. Aqui, fatias que estão na mesma altura nos dois sólidos são congruentes.
128
Projeto Entre Jovens
Mas, em uma situação mais geral, considerando dois sólidos quaisquer A e B, se as duas fatias
que estiverem na mesma altura tiverem mesma área então, como possuem mesma espessura,
terão muito aproximadamente volumes iguais. Tanto mais aproximadamente quanto mais
finas forem. Sendo o volume de cada sólido a soma dos volumes das respectivas fatias, e
a aproximação entre os volumes das fatias podendo tornar-se tão precisa quanto se deseje,
concluímos que os volumes de A e B são iguais.
O Principio de Cavalieri é enunciado da seguinte forma:
Sejam A e B dois sólidos. Se qualquer plano horizontal secciona A e B segundo figuras
planas de mesma área, então estes sólidos têm volumes iguais.
O Princípio de Cavalieri não pode ser demonstrado com apenas os recursos da Matemática
elementar. Ele deve ser incorporado à teoria como um axioma, mas os argumentos anteriores
são bastante intuitivos e convincentes.
Volume do Prisma
Considere um prisma de altura h, cuja base seja um polígono de área A, contido em um plano
horizontal. Construímos ao lado um paralelepípedo retângulo com mesma altura h e de forma
que sua base seja um retângulo de área A.
Se cortarmos esses dois prismas (o paralelepípedo é também um prisma) por um plano
horizontal, teremos seções de área A1 e A2 em cada prisma. Mas num prisma, essas seções são
congruentes à base e, portanto, têm área igual a A, isto é, A1 = A = A2. Logo, pelo Princípio de
Cavalieri, esses dois prismas têm mesmo volume, e como o volume do paralelepípedo retângulo
é A × h, temos que
Volume do prisma = [área da base] × [altura]
129
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Volume do Cilindro
No cilindro, toda seção paralela à base, é congruente com essa base. Esse fato, permite concluir,
pelo Princípio de Cavalieri, que o volume do cilindro é o produto da área de sua base pela sua
altura.
Se o cilindro tem altura h e base de área A contida em um plano horizontal, imaginamos um
prisma qualquer (ou em particular um paralelepípedo retângulo) de altura h, com base de área
A contida no mesmo plano. Se um outro plano horizontal secciona os dois sólidos segundo
figuras de áreas A1 e A2, então A1 = A = A2 e por consequência, os dois têm o mesmo volume.
Logo o volume do cilindro é também o produto da área da base pela altura.
Volume do cilindro = [área da base] × [altura]
Volume da Pirâmide e do Cone
Os volumes de pirâmide e cone são obtidos usando também o Princípio de Cavalieri.
Volume da pirâmide =
Volume do cone =
1
[área da base] × [altura]
3
1
[área da base] × [altura]
3
Volume da Esfera
O volume da esfera também é obtido através do Princípio de Cavalieri. Utiliza-se os volumes
do cilindro e do cone para se concluir o volume da esfera. Para uma esfera de raio R, tem-se:
Volume da esfera =
4 3
pR .
3
Não faremos a dedução dessas três últimas fórmulas nessas notas.
Consulte na plataforma suas demonstrações.
130
Projeto Entre Jovens
Áreas de sólidos geométricos
As áreas dos poliedros são simples de serem calculadas pois suas faces são polígonos (triângulos,
retângulos, pentágonos , hexágonos, etc) cujas áreas calcula-se com relativa facilidade.
Já o cilindro, o cone e a esfera, têm suas áreas calculadas da seguinte forma:
Sólido
Lateral
Cilindro de altura h e raio da base R
2p Rh
Cone de altura h e raio da base R
(e geratriz  )
p R h2 + R2 ou
p R
Esfera de raio R
-----
Área
Total
4p R2
Cilindro:
Cone:
Consulte as demonstrações dessas fórmulas na plataforma.
Exemplo 2: Um artesão, para pintar a superfície de esferas de raio 2 cm, estima gastar 0,05
cm³ de tinta por cada cm² de superfície. A tinta a ser utilizada é vendida em latas em forma
de cilindro circular reto, cujo diâmetro mede 4 cm e cuja altura mede 5 cm. Nessa questão,
despreze todas as espessuras envolvidas.
a) Qual é o número mínimo de latas de tinta necessário para pintar 500 esferas?
b) Cada esfera será acondicionada em uma caixa cúbica cujas arestas medem 5 cm. O espaço
interno da caixa, não ocupado pela esfera, será totalmente preenchido por um material de
proteção. Qual é a medida do menor volume desse material necessário para acondicionar as
500 esferas?
131
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Solução:
a) Sendo r = 2 cm o raio da esfera, a área da superfície de cada esfera é:
=
Se 4=
p r 2 4=
p 22 16p cm 2 .
Como gasta-se 0,05 cm³ de tinta para pintar cada cm² de superfície, para pintar cada esfera
serão gastos:
Te = 0,05 ⋅ 16p = 0,8p cm³ de tinta.
Sendo R=
4
= 2 cm o raio e h = 5 cm a altura da lata de tinta, o volume de cada lata é:
2
VL = p R2h = p ⋅ 22 ⋅ 5 = 20p cm 3 .
A razão entre o volume de tinta necessário para pintar as 500 esferas e o volume de cada lata
de tinta é:
500 ⋅ Te 500 ⋅ 0,8p
=
= 20 .
VL
20p
Portanto, serão necessárias 20 latas de tinta para pintar as 500 esferas.
b) Sendo Vc e Ve os volumes da caixa e da esfera, respectivamente, temos que:
3
V=
5=
125 cm 3 =
e Ve
c
4 3 4 3 32
=
pr
=
p2
p cm 3 .
3
3
3
O volume de material de proteção necessário em cada caixa será a diferença:
Vc − Ve = 125 −
32
p
3
3
cm .
Portanto, o volume de material de proteção necessário para acondicionar as 500 esferas é:
32 

3
500 ⋅ 125 −
p  cm .
3


132
Projeto Entre Jovens
Volume x Capacidade:
Segundo Imennes (2002) em seu dicionário
matemático a “Capacidade é volume interno
de um recipiente. Duas unidades de medida de
capacidade muito usadas são o litro e o mililitro.
Dizemos, por exemplo, que certa jarra tem
capacidade para 1,5 litro de água”. Já Centurión
(2003) indica que quando consideramos garrafas,
copos, tambores, na maior parte das vezes o
volume do objeto, em si não importa. O que importa é o volume que ele pode conter, ou
seja, a Capacidade do objeto. Neste mesmo livro define o “Volume de um objeto é a medida
do espaço que ele ocupa”.
133
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Resolva as atividades propostas abaixo.
Atividade 1: Calcule o volume do bloco retangular de 5,6 cm de comprimento,
4,7 cm de largura e 2,0 cm de altura.
Atividade 2: Um artesão, para pintar a superfície de esferas de raio 2 cm, estima
gastar 0,05 cm³ de tinta por cada cm² de superfície. A tinta a ser utilizada é
vendida em latas em forma de cilindro circular reto, cujo diâmetro mede 4 cm e
cuja altura mede 5 cm. Nessa questão, despreze todas as espessuras envolvidas.
a) Qual é o número mínimo de latas de tinta necessário para pintar 500 esferas?
b) Cada esfera será acondicionada em uma caixa cúbica cujas arestas medem 5 cm.
O espaço interno da caixa, não ocupado pela esfera, será totalmente preenchido
por um material de proteção. Qual é a medida do menor volume desse material
necessário para acondicionar as 500 esferas?
Atividade 3: Antônio colou pelas faces 7 cubinhos idênticos conforme ilustrado
na figura abaixo.
Qual o número mínimo de cubinhos, idênticos aos já utilizados, que Antônio
deverá acrescentar à essa formação de maneira a completar um cubo?
134
Projeto Entre Jovens
Atividade 4: Cortamos um canto de um cubo, como mostrado na seguinte figura.
Qual das representações abaixo corresponde ao que restou do cubo?
Atividade 5: Para montar um cubo, Guilherme recortou um pedaço de cartolina
branca e pintou de cinza algumas partes, como na figura ao lado. Qual das figuras
abaixo representa o cubo construído por Guilherme?
Atividade 6: A figura ao lado mostra três dados iguais. Qual é o número da face
que é base inferior da coluna de dados?
Atividade 7: Uma garrafa cilíndrica está fechada, contendo um líquido que ocupa
quase completamente seu corpo, conforme mostra a figura. Suponha que, para
fazer medições, você disponha apenas de uma régua milimetrada.
a) Para calcular o volume do líquido contido na garrafa, qual o número mínimo de
medições que precisam ser realizadas?
b) Para calcular a capacidade total da garrafa, lembrando que você pode virá-la,
qual o número mínimo de medições a serem realizadas?
135
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Atividade 8: Uma piscina tem 10 m de comprimento, 6 m de largura e 1,6 m de
profundidade.
a) Calcule seu volume em litros.
b) Determine quantos ladrilhos quadrados com 20 cm de lado são necessários para
ladrilhar essa piscina.
Atividade 9: Uma garrafa de bebida com 30 cm de altura tem uma miniatura
perfeitamente semelhante com 10 cm de altura. Se a miniatura tem 50 ml de
volume, qual é o volume da garrafa original?
Atividade 10: Um tanque subterrâneo tem a forma de um cone invertido com 12 m
de profundidade. Este tanque está completamente cheio com 27.000 litros de água e
37.000 litros de petróleo. Calcule a altura da camada de petróleo.
Atividade 11: Um copo cilíndrico tem 3 cm de raio e 12 cm de altura. Estando
inicialmente cheio d’água o copo é inclinado até que o plano de sua base faça 45º
com o plano horizontal. Calcule o volume de água que permaneceu no copo.
Atividade 12: Um copo cônico de papel foi feito a partir de um setor de 12 cm
de raio e ângulo central de 120º. Calcule o volume desse copo.
136
Projeto Entre Jovens
Anotações
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141
OFICINA 17
NOÇÕES DE GEOMETRIA
ANALÍTICA
Metas:
– Apresentar conceitos básicos de Geometria
Analítica Plana.
– Equacionar reta e circunferência.
Objetivos:
– Ao término dessa oficina o aluno deverá ser capaz de:
•Equacionar uma reta, dado dois pontos ou um ponto e o
coeficiente angular.
•Equacionar uma circunferência dados centro e raio ou
dados três pontos de passagem.
Pré-requisitos:
– Oficinas 10 e 12.
Projeto Entre Jovens
A Geometria Analítica no plano baseia-se na ideia de representar os pontos da reta por números
reais e os pontos do plano por pares ordenados de números reais.
Dentro dessa concepção, as linhas no plano são descritas por meio de equações. Isso permite
tratar algebricamente muitas questões geométricas e, reciprocamente, interpretar de forma
geométrica certas situações algébricas.
Admitiremos conhecidos os fatos mais elementares da Geometria como, por exemplo, que por
dois pontos dados passa uma, e somente uma reta; que por um ponto dado fora de uma reta
passa uma única paralela e uma única perpendicular à essa reta, etc.
Coordenadas no plano
x, y )
, onde x e y são números reais.
Indica-se por IR o conjunto formado pelos pares ordenados (
2
x, y )
e (
x ', y ' )
em IR , tem-se:
Dados (
2
x, y )
=(
x ', y ' )
se, e somente se,
(
x = x' e y = y'.
x, y )
.
O número x chama-se a primeira coordenada e o número y a segunda coordenada do par (
3,5 )
e o par (
5,3)
são diferentes pois a primeira coordenada de (
3,5 )
é3
Note que o par (
5,3)
é 5.
enquanto que a primeira coordenada de (
Um sistema de eixos ortogonais num plano é um par de eixos Ox e Oy, que são perpendiculares
e têm a mesma origem O.
Um plano munido de um sistema de eixos ortogonais põe-se, de modo natural, em
2
correspondência biunívoca com IR . Dado o ponto P do plano, baixamos por ele paralelas
aos eixos Ox e Oy. Essas paralelas cortam os eixos em pontos cujas coordenadas são x e y
2
x, y )
∈
IR2 .
respectivamente. Ao ponto P do plano faz-se então corresponder o par ordenado (
2
x, y )
∈
Reciprocamente, a cada par ordenado (
IR2 corresponde o ponto P do plano, interseção
da paralela a Oy traçada pelo ponto de coordenada x, com a paralela a Ox, traçada a partir do
ponto de Oy, cuja coordenada é y. Os números x e y chamam-se as coordenadas (cartesianas)
do ponto P relativamente ao sistema de eixos ortogonais fixado: x é a abscissa e y a ordenada
de P.
Os eixos ortogonais decompõem o plano em quatro regiões, chamadas quadrantes. O primeiro
quadrante é formado pelos pontos que têm ambas coordenadas positivas. O segundo, pelos
pontos cuja abscissa é negativa e a ordenada é positiva. O terceiro, pelos pontos cuja abscissa
e ordenada são negativas. O quarto quadrante, pelos pontos que têm abscissa positiva e
ordenada negativa.
145
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
É evidente que os pontos do eixo Ox das abscissas têm coordenadas da forma (
x ,0 )
e os do
0, y )
. O ponto O, origem dos eixos, tem coordenadas
eixo das ordenadas Oy são da forma (
0,0 )
.
(
Distância entre dois pontos.
x1, y1 e P2 = (
x 2 , y2 )
, queremos obter a expressão da distância d ()
P1, P2
Dados os pontos P1 = ()
x1, y2 )
.
em termos das coordenadas de P1 e P2 . Para isso, introduzimos o novo ponto Q = (
146
Projeto Entre Jovens
Como P1 e Q têm a mesma ordenada, o segmento PQ
é horizontal (paralelo ao eixo Ox).
1
Analogamente, o segmento P2Q é vertical (paralelo a Oy). Portanto PP
1 2 é a hipotenusa do
triângulo retângulo PP
1 2Q . Os catetos desse triângulo medem x1 − x2 e y1 − y2 . Resulta então
do Teorema de Pitágoras que d ()
P1, P2 =
x1 − x2 + y1 − y2 , ou seja,
2
2
d ()
P1, P2 = (
x1 − x2 )
+(
y1 − y2 )
.
2
2
Equação da circunferência.
a, b)
e o número real r > 0 , obter a descrição da circunferência C, de
Dados o ponto A = (
centro A e raio r.
A circunferência C, de centro A e raio r é, como se sabe, o conjunto dos pontos do plano
x, y )
pertence à circunferência C se, e
situados à distância r do ponto A. Assim, o ponto P = (
P, A = r .
somente se, d ()
Levando em conta a fórmula da distância entre dois pontos no plano, podemos escrever
=
C
x, y )
∈ | (
x − a)
+(
y − b=
(
)r}
{
2
2
2
.
Equivalentemente, podemos dizer que o ponto P = (
x, y )
pertence à circunferência C se, e
somente se,
x − a)
+(
y − b)
=
r2 .
(
2
2
Diz-se então que a relação acima é a equação da circunferência de centro (
a, b )
e raio r.
r2 .
Em particular, a equação da circunferência de raio r e cento na origem é x 2 + y 2 =
Toda equação que puder ser reescrita na forma (
x − a)
+(
y − b)
=
r 2 , para certos a, b ∈ 
IR e
2
2
para um certo r > 0 , representará a circunferência de centro (
a, b )
e raio r.
Essa é a ideia central em Geometria Analítica: associar a cada curva uma equação que relaciona
a abscissa com a ordenada de cada ponto dessa curva. Uma vez obtida essa equação, as
propriedades geométricas da curva podem ser deduzidas por métodos algébricos.
147
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Exemplo 1: Determine a equação da circunferência que tem centro no ponto =
A
−1,1)
.
que passa pelo ponto B = (
2, −3 e
()
Solução:
Se a circunferência tem centro no ponto A e passa pelo ponto B, então o raio dessa circunferência
é dado pela distância entre os pontos A e B. Nesse caso, tem-se:
d ()(
A, B = (
2)
−(
−1)
+(
−3)
−(
1)
= 9 + 16=
(
)
)
2
2
25= 5 .
Com isso, temos que o raio da circunferência procurada é 5.
x, y )
pertença à circunferência em questão, é necessário e suficiente
Para que um ponto P = (
P, A = 5 . Daí, tem-se que: d ()
,
que d ()
P , A = ()
x −2 +(
y −(
−3)
= ()
x −2 +(
y + 3)
)
2
donde
2
2
2
x −2 +(
y + 3)
=
5 , ou seja, ()
x −2 +(
y + 3)
=
25 .
()
2
2
2
2
Exemplo 2: Determine quantas são as soluções do sistema de equações:
 x 2 + y 2 − 2 x + 2 y =
2
 2
2
−16
 x + y − 8 x − 6 y =
Solução:
É evidente que o problema pode ser resolvido por meios exclusivamente algébricos. Uma
solução elegante pode, no entanto, ser obtida observando que as soluções de um sistema de
equações com duas incógnitas são os pontos de interseção das curvas representadas pelas
equações. Nesse caso, cada equação representa uma circunferência, já que cada uma pode
x − a)
+(
y − b)
=
r2 .
ser escrita na forma (
2
2
Para tal, basta somar a cada membro da equação os valores necessários para “completar
quadrados” no membro esquerdo. Essa técnica já foi empregada nas Oficinas 5 e 11.
2 pode ser escrita como
Assim, x 2 + y 2 − 2 x + 2 y =
x 2 − 2 x + 1 + y 2 + 2 y + 1 = 2 + 1 + 1,
ou seja,
x − 1 + ()
y +1 =
22 .
()
2
2
Da mesma forma, x 2 + y 2 − 8 x − 6 y =
−16 é equivalente a
x 2 − 8 x + 16 + y 2 − 6 y + 9 =
−16 + 16 + 9 ,
ou seja,
x − 4)
+(
y − 3)
=
32 .
(
2
148
2
Projeto Entre Jovens
A posição relativa entre duas circunferências depende da relação entre os raios e a distância
1, −1)
e raio r1 = 2 e a segunda
entre os seus centros. A primeira circunferência tem centro A=
(
1
4,3)
e raio r2 = 3 .
tem centro A2 = (
A distância d entre os centros é dada por:
d = d(
A1, A2 )
= ()
4 − 1 + ()
3 + 1 = 9 + 16 =
2
2
25 = 5 .
Como r1 + r2 = 2 + 3 = 5 , temos que d= r1 + r2 e daí concluímos que as circunferências são
tangentes exteriormente e que, portanto, o sistema dado tem exatamente uma solução.
Equação da reta.
Um princípio básico da Geometria Euclidiana diz que por dois pontos distintos no plano passa
uma, e somente uma reta.
x1, y1 e P2 = (
x 2 , y2 )
dois pontos distintos do plano.
Sejam P1 = ()
Se x1 = x2 , a reta que passa por esses dois pontos é vertical e é formada por todos os pontos
do plano cuja abscissa é igual a x1 (ou x2 , tanto faz). Logo a equação dessa reta é x = x1 .
Se y1 = y2 , a reta que passa por esses dois pontos é horizontal e é formada por todos os pontos
do plano cuja ordenada é igual a y1 (ou y2 , tanto faz). Logo a equação dessa reta é y = y1 .
Suponha agora x1 ≠ x2 e y1 ≠ y2 . Seja P = (
x, y )
um ponto do plano.
149
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
O ponto P = (
x, y )
pertencerá à reta que passa pelos pontos P1 = ()
x1, y1 e P2 = (
x 2 , y2 )
se, e
somente se, os ângulos b e q forem iguais, onde b é o ângulo de inclinação do segmento
PP
1 2 com a horizontal e q é o ângulo de inclinação do segmento P2P com a horizontal.
Considerando os pontos auxiliares Q e R conforme ilustrados na figura acima, obtemos dois
triângulos retângulos: PP
1 2Q e P2PR . Portanto os triângulos PP
1 2Q e P2PR são semelhantes se, e
somente se, b = q .
PR P2R
, ou seja,
Mas da semelhança entre os triângulos PP
=
1 2Q e P2PR concluímos que
P2Q PQ
1
y − y2
x − x2 .
=
y2 − y1 x2 − x1
Essa é, portanto, a condição necessária e suficiente para que o ponto P = (
x, y )
esteja sobre a
x1, y1 e P2 = (
x 2 , y2 )
.
reta que passa pelos pontos P1 = ()
x1, y1 e P2 = (
x 2 , y2 )
são dados, suas coordenadas x1 , x2 , y1 e y2
Note que, como os pontos P1 = ()
são conhecidas. Substituindo então os valores de x1 , x2 , y1 e y2 na igualdade y − y
x − x2
2
,
=
y
y
x
x
−
−
2
1
2
1
obtemos uma equação nas incógnitas x e y, que será a equação da reta.
Exemplo 3: Obter a equação da reta que passa pelos pontos M = (2,3) e N = (-1,6).
Solução:
x, y )
estará sobre a reta que passa pelos pontos M = (
2,3)
e N = ()
−1,6 se,
Um ponto P = (
−1)
y − 6 x +1
y −6 x −(
=
, ou seja, y − 6 =− x − 1, o que equivale a
e somente se,
=
, donde
3
−3
6−3 (
−1)
−2
x + y =.
5
x, y )
pertence à reta que passa por M e N é equivalente a dizer que
Portanto dizer que P = (
a soma de suas coordenadas for igual a 5, isto é, que x + y =.
5 Essa é a equação da reta
procurada.
150
Projeto Entre Jovens
Retomando a proporção
y − y2
x − x2
y − y2 y2 − y1
, note que ela pode ser reescrita por:
.
=
=
y2 − y1 x2 − x1
x − x2 x2 − x1
Note que essas duas razões correspondem a tgq e a tgb , respectivamente. Ou seja, o valor
comum dessas razões são iguais à tangente do ângulo de inclinação formado entre a reta e
o eixo das abscissas, que recebe o nome de coeficiente angular da reta, conforme já visto na
y − y1
, ou
Oficina 10. Designando então o coeficiente angular da reta por a, temos que a = 2
x2 − x1
seja, o coeficiente angular é dado pela razão entre a diferença das ordenadas e a diferença das
abscissas dos pontos de passagem da reta.
Com isso podemos escrever:
y − y2
= a , ou seja,
x − x2
y − y2 = a (
x − x2 )
.
Perceba então que, se conhecemos o coeficiente angular de uma reta e as coordenadas de um
ponto de passagem, podemos equacionar rapidamente essa reta utilizando a última equação
acima.
x − x2 )
chegamos a y − y2 = ax − ax2 , ou seja,
Desenvolvendo a equação y − y2 = a (
y = ax + y2 − ax2 . Fazendo =
b y2 − ax2 , chegamos a =
y ax + b , que é a equação da reta na
forma já vista na Oficina 10.
Exemplo 4: Obter a equação da reta que passa pelos pontos R = (1, –3) e tem coeficiente
angular igual a –2.
Solução:
x − x2 )
, onde (
x 2 , y2 )
são as coordenadas de
Como a equação da reta é dada por y − y2 = a (
um ponto de passagem e a é o seu coeficiente angular, segue então que:
y − y2 =
a(
x − x2 )
⇒ y −(
−3)
=−
2)
x −1 ⇒ y + 3 =
−2 x + 2 ⇒ 2 x + y =
−1.
(
()
Como o coeficiente angular de uma reta determina a inclinação dessa reta em relação ao eixo
Ox, segue que, para sabermos se duas retas são paralelas, basta calcularmos seus coeficientes
angulares e compará-los. Se forem iguais as retas são paralelas. Se forem distintos elas não
serão paralelas.
151
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Exemplo 5: Verifique se as retas r1 e r2. de equações r1: 2x -3y = 5 e r2: 15y = 10x + 3, são
paralelas.
Solução:
Designemos por a1 e a2 os coeficientes angulares das retas r1 e r2 , respectivamente. Temos
que:
2 x − 3 y = 5 ⇒ −3 y = −2 x + 5 ⇒ y =
15 y = 10 x + 3 ⇒ y =
2
5
2
x − ⇒ a1 =
3
3
3
10
3
2
1
2
x+
⇒ y=
x + ⇒ a2 =
15
15
3
5
3
Como a1 = a2 , segue que as retas r1 e r2 são paralelas.
Pelo que vimos, a condição para que duas retas no plano sejam paralelas é que elas possuam o
mesmo coeficiente angular. Qual seria a condição para que duas retas sejam perpendiculares?
Se uma delas é horizontal (equação da forma y = b ) então a outra é vertical (equação da
forma x = c ) e não há mais o que dizer. Quando as retas são não verticais e não horizontais,
a condição para que sejam perpendiculares é que o produto de seus coeficientes angulares
seja igual a -1. Isto é, se uma reta tem coeficiente angular igual a a1 e a outra tem coeficiente
angular igual a a2 , a condição para que sejam paralelas é:
a1 × a2 =
−1 ou, equivalentemente, a1 = −
1
.
a2
Não demonstraremos esse fato nessas notas. Recomendamos consultar a
demonstração desse fato na plataforma.
152
Projeto Entre Jovens
Distância de ponto a reta.
Um expediente muito útil em vários exercícios é a determinação da distância de um ponto a uma
reta. A ideia é equacionar a reta perpendicular à reta dada, passando pelo ponto dado e achar a
interseção dessas duas retas para, em seguida, calcular a distância desse último ponto obtido ao
ponto dado. Enfim esse é o procedimento que nos permite chegar ao cálculo da distância de um
ponto à uma reta. Para melhor entendimento, consideremos a reta r de equação ax + by =
c e
x 0 , y0 )
. A distância d (
P, r )
, do ponto P à reta r é dada por
um ponto P = (
ax + by0 − c
d(
P, r )
= 0
.
a2 + b2
Não demonstraremos esse fato nessas notas. Recomendamos consultar a
demonstração dessa fórmula na plataforma.
153
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Resolva as atividades propostas abaixo.
Atividade 1: Determine a equação da circunferência que tem centro no ponto
=
A ()
2, −3 e que passa pelo ponto B = (
−1,1)
.
Atividade 2: Determine quantas são as soluções do sistema de equações:
2
2
2
 x + y − 2 x + 2 y =
 2
2
−16
 x + y − 8 x − 6 y =
2,3)
e
Atividade 3: Obter a equação da reta que passa pelos pontos M = (
N = ()
−1,6 .
Atividade 4: Obter a equação da reta que passa pelos pontos R=
coeficiente angular igual a −2 .
1, −3 e tem
()
5 e
Atividade 5: Verifique se as retas r1 e r2 , de equações r1 : 2 x − 3 y =
r2 :15
=
y 10 x + 3 , são paralelas.
Atividade 6: Considere a circunferência C de equação ()
x −1 + (
y + 2)
=
25 e
a reta r de equação x = 4 . O objetivo dessa questão é obter a equação de uma
circunferência l , tangente exterior à circunferência C, e com centro sobre a reta r.
Escolha um ponto que possa ser o centro da circunferência l .
2
2
a) Determine a medida do raio da circunferência l .
b) Encontre a equação da circunferência l .
Atividade 7: Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos
P =(
−2, −1)
, Q=(
0,0 )
e R=(
1,2)
.
154
Projeto Entre Jovens
Atividade 8: Na malha quadriculada abaixo, cujos quadrados têm lados medindo
10 metros, encontra-se o mapa de um tesouro.
Sobre o tesouro, sabe-se que encontra-se na direção determinada pelos dois
pinheiros e está a 110 metros a leste do muro. Qual a distância aproximada do
tesouro até a margem do rio?
Atividade 9: Determinar o raio da circunferência inscrita em um triângulo
retângulo de catetos 3 e 4.
Atividade 10: Considere a reta r determinada pelos pontos P e Q e a circunferência
l de centro C, que passa pelo ponto A, conforme representados no plano
cartesiano abaixo.
Determine a equação da reta s, perpendicular à reta r, tangente à circunferência l
e que contém pontos do 2º quadrante.
155
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Anotações
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Guia do Tutor Matemática – Volume 2
OFICINA 18
CONTAGEM
Meta:
– Introduzir técnicas de contagem.
Objetivos:
– Ao término dessa oficina o aluno deverá ser capaz de:
•Resolver problemas de contagem.
Projeto Entre Jovens
Nessa oficina abordaremos dois tipos de coleções de objetos: as ordenadas (listas ou sequências)
e as não ordenadas (conjuntos).
Uma lista é uma sequência ordenada de objetos. A ordem em que os elementos figuram na
lista é significativa. A lista (1,2,3) é diferente da lista (3,2,1). A lista pode conter elementos
repetidos, como por exemplo, (3,2,3).
Duas listas são iguais se tiverem o mesmo comprimento e se os elementos nas posições
correspondentes nas duas listas forem iguais. As listas (a,b,c,d) e (x,y,z,w) são iguais se e
somente se a = x, b = y, c = z e d = w.
Exemplo 1: Quantas listas de dois elementos são possíveis quando há n escolhas para o
primeiro elemento e m escolhas para o segundo elemento?
Solução:
Suponha que os elementos possíveis na primeira posição da lista sejam os inteiros de 1 a n, e
que os elementos possíveis na segunda posição sejam os inteiros de 1 a m.
Construímos uma tabela com todas as possibilidades:
Há n linhas (para cada primeira escolha possível), e cada linha contém m valores. Assim, o
número possível de tais listas é:
Há aqui um princípio geral que está por trás desse raciocínio, que é o princípio fundamental
que norteará todas as técnicas de contagem que estabeleceremos.
165
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Princípio Fundamental da Contagem.
Enunciado 1: Consideremos listas de dois elementos em que há m escolhas para o primeiro
elemento e, para cada uma dessas escolhas, há n escolhas do segundo elemento. Então o
número de tais listas é m x n .
Enunciado 2: Se há m modos de tomar uma decisão D1 e, uma vez tomada a decisão D1,
qualquer que seja ela, há n modos de tomar a decisão D2, então o número de modos de
tomar sucessivamente as decisões D1 e D2 é dado por m x n.
O Princípio Fundamental da Contagem, também conhecido como Princípio Multiplicativo, se
generaliza para uma lista de k elementos ou, analogamente, para uma sucessão de k decisões
a serem tomadas.
Exemplo 2: Com 3 homens e 3 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal?
Solução:
Vamos designar o três homens por H1 H2 e H3 e as três mulheres por M1 M2 e M3. Podem
ser formados os seguintes casais: (H1,M1), (H1,M2) (H1,M3), (H2,M1), (H2,M2), (H2,M3), (H3,M1),
(H3,M2) e (H3,M3). Contando todos os casais podemos concluir que nove casais podem ser
formados.
Entretanto listar todas os casais e contá-los só foi possível pelo fato de serem somente três
homens e três mulheres. Se o problema envolvesse 20 homens e 20 mulheres seria bastante
trabalhoso e demorado listar todos os casais para contá-los em seguida.
Inclusive, o que se deseja conhecer é a quantidade de casais que podem ser formados e não
quais são os casais que podem ser formados. Dessa forma, se for possível contar a quantidade
de casais sem listá-los, tanto melhor.
Para isso utilizamos o Princípio Fundamental da Contagem.
Vamos nos colocar na posição de quem é o responsável por formar os casais. Formar um casal
equivale a tomar as decisões:
D1 : Escolha de um homem para formar o casal (3 modos).
D2 : Escolha da uma mulher para formar o casal (3 modos).
Note que o número de modos de se tomar a decisão D2 independe de qual tenha sido a
9
de formar um casal.
decisão D1 . Logo há 3 × 3 =modos
Exemplo 3: Uma bandeira é formada por 8 listras que devem ser coloridas usando-se apenas
as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não podem ser usadas
cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira?
166
Projeto Entre Jovens
Solução:
Vamos nos colocar na posição de quem irá colorir essa bandeira. Inicialmente devemos escolher
uma listra para ser pintada primeiro. Digamos que seja a 1ª listra da bandeira. Temos três
opções de cores para ser utilizada nessa listra: verde, azul e cinza. Escolhamos uma dessas três
cores e colorimos essa 1ª listra. Uma vez pintada essa listra, escolheremos uma cor para colorir
a segunda listra. Isso pode ser feito de 2 modos pois podemos escolher dentre as três cores
disponíveis, uma dentre as duas que não foram utilizadas ao colorirmos a 1ª listra. Para a 3ª
listra, novamente temos 2 modos de escolhermos uma cor para colori-la. Continuamos com
esse procedimento até colorirmos a 8ª listra. Resumindo então, há 3 modos de escolher a cor
da primeira listra e, a partir daí, 2 modos de escolher a cor de cada uma das outras 7 listras,
qualquer que seja a cor escolhida para a listra anterior. Portanto, pelo Princípio Fundamental
da Contagem, a resposta é 3 × 27 =
384 .
Exemplo 4: Quantos são os números formados por três dígitos distintos?
Solução:
Vamos nos colocar na posição da pessoa que irá escrever o número de três dígitos distintos. O
primeiro dígito pode ser escolhido de 9 modos, pois não pode ser igual a 0. O segundo dígito
pode ser escolhido de 9 modos, pois não pede ser igual ao primeiro dígito. O terceiro dígito
pode ser escolhido de 8 modos, pois não pode ser igual nem ao primeiro nem ao segundo
648 .
dígitos. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, a resposta é 9 × 9 × 8 =
Você já deve ter percebido nesses exemplos qual é a estratégia para resolver problemas de
contagem.
1) Postura: Devemos sempre nos colocar no papel da pessoa que deve
fazer a ação solicitada pelo problema e ver que decisões devemos
tomar. No Exemplo 3, nós nos colocamos no papel da pessoa que
deveria escrever o número de três dígitos; no Exemplo 2, nós nos
colocamos no papel da pessoa que deveria colorir a bandeira; no
Exemplo 1, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria
formar o casal.
2) Divisão: Devemos, sempre que possível, dividir as decisões a serem
tomadas em decisões mais simples. Formar um casal foi dividido
em escolher o homem e escolher a mulher; colorir a bandeira foi
dividido em colorir cada listra; formar um número de três dígitos foi
dividido em escolher cada um dos três dígitos.
Vamos voltar ao exemplo anterior – Quantos são os números de três dígitos distintos? – para
ver como algumas pessoas conseguem, por erros de estratégia, tornar complicadas as coisas
mais simples.
167
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Começando a escolha dos dígitos pelo último dígito, há 10 modos de escolher o último dígito.
Em seguida, há 9 modos de escolher o dígito central, pois não podemos repetir o dígito já
usado. Agora temos um impasse: de quantos modos podemos escolher o primeiro dígito?
A resposta é “depende”. Se não tivermos usado o 0, haverá 7 modos de escolher o primeiro
dígito, pois não poderemos usar nem o 0 nem os dois dígitos já usados nas demais casas; se já
tivermos usado o 0, haverá 8 modos de escolher o primeiro digito.
Um passo importante na estratégia para resolver problemas de contagem é:
3) Não adiar dificuldades. Pequenas dificuldades adiadas costumam
se transformar em imensas dificuldades. Se uma das decisões a
serem tomadas for mais restritiva que as demais, essa é a decisão
que deve ser tomada em primeiro lugar. No Exemplo 3, a escolha do
primeiro dígito era uma decisão mais restrita do que as outras, pois
o primeiro dígito não pode ser igual a 0. Essa é portanto a decisão
que deve ser tomada em primeiro lugar e, conforme acabamos de
ver, postergá-la só serve para causar problemas.
Exemplo 5: O código Morse usa duas letras, ponto e traço, e as palavras têm de 1 a 4 letras.
Quantas são as palavras do código Morse?
Solução:
4 palavras de duas letras, pois há dois modos de escolher
Há 2 palavras de uma letra; há 2 × 2 =
8
a primeira letra e dois modos de escolher a segunda letra; analogamente, há 2 × 2 × 2 =
16 palavras de 4 letras. O número total de palavras é
palavras de três letras e 2 × 2 × 2 × 2 =
2 + 4 + 8 + 16 =
30 .
Exemplo 6: Considere os divisores inteiros e positivos do número 360.
a) Quantos são eles?
b) Quantos desses divisores são pares?
c) Quantos são ímpares?
d) Quantos são quadrados perfeitos?
Solução:
Para investigar os divisores de um número, devemos considerar sua fatoração em números
primos, que é 360 = 23 × 32 × 5 .
a) Os divisores inteiros e positivos de 360 são os números da forma 2a × 3b × 5g , com
a ∈ {0,1,2,3} , b ∈ {0,1,2} e g = {0,1} . Vamos nos colocar na posição da pessoa que irá formar
um divisor de 360. Formar um divisor de 360 implica em escolher um expoente para a potência
de base 2, dentre 4 valores possíveis e, em seguida, escolher um expoente para a potência
de base 3, dentre 3 valores possíveis e, por último, escolher um expoente para a potência de
24
base 5, dentre 2 valores possíveis. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, há 4 × 3 × 2 =
maneiras de escolher os expoentes a , b e g . Há, portanto, 24 divisores.
168
Projeto Entre Jovens
b) Para o divisor ser par, a não pode ser 0. Com isso, temos 3 × 3 × 2 =
18 divisores pares.
c) Para o divisor ser ímpar, a deve ser 0 pois o número não poderá apresentar fator primo
6 divisores impares. Claro que poderíamos ter achado essa resposta
igual a 2. Há 1× 3 × 2 =
subtraindo (a) − (b).
d) Para que um divisor seja um quadrado perfeito, os expoentes a , b e g devem ser pares.
Há portanto 2 × 2 × 1 =4 divisores que são quadrados perfeitos.
Exemplo 7: Quantos são os números pares de três dígitos distintos?
Solução:
Vamos nos colocar na posição da pessoa que irá formar um número par de três dígitos distintos.
Há 5 modos de escolher o último dígito (das unidades). Note que começamos pelo último
dígito, que é o mais restrito; o último dígito só pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8.
Em seguida, vamos ao primeiro dígito (das centenas). De quantos modos se pode escolher
o primeiro digito? A resposta é “depende”: se não tivermos usado o 0, haverá 8 modos de
escolher o primeiro dígito, pois não poderemos usar nem o 0 nem o dígito já usado na última
casa; se já tivermos usado o 0, haverá 9 modos de escolher o primeiro dígito, pois apenas o 0
não poderá ser usado na primeira casa.
Esse tipo de impasse é comum na resolução de problemas e há dois métodos para vencê-lo.
1º método: consiste em voltar atrás e contar separadamente. Contaremos separadamente os
números que terminam em 0 e os que não terminam em 0. Comecemos pelos que terminam
em 0. Há 1 modo de escolher o último dígito, 9 modos de escolher o primeiro e 8 modos de
72 números terminados em 0.
escolher o dígito central. Há 1× 9 × 8 =
Para os que não terminam em 0, há 4 modos de escolher o último dígito, 8 modos de escolher o
256 números que não terminam
primeiro e 8 modos de escolher o dígito central. Há 4 × 8 × 8 =
em 0.
Note que executamos duas contagem: os números terminados em 0 e depois os números
que não terminam em 0. Nessas duas contagens efetuadas, não há possibilidade de termos
contado um mesmo número em ambas. Logo, nenhum dos 72 números da primeira contagem
foi considerado dentre os 256 números da segunda contagem. Contamos assim dois conjuntos
disjuntos de números. Com isso, a resposta é 72 + 256 = 328.
2º método: consiste em ignorar uma das restrições do problema, o que nos fará contar em
demasia. Depois descontaremos o que houver sido contado indevidamente.
Primeiramente, fazemos de conta que o 0 pode ser usado na primeira casa do número.
Procedendo assim, há 5 modos de escolher o último dígito (só pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8), 9
modos de escolher o primeiro dígito (não podemos repetir o dígito usado na última casa - note
que estamos permitindo o uso do 0 na primeira casa - e 8 modos de escolher o dígito central.
360 números, aí incluídos os que começam por 0.
Há 5 × 9 × 8 =
Agora vamos determinar quantos desses números começam por zero; são esses os números
que foram contados indevidamente. Há 1 modo de escolher o primeiro dígito (tem que ser
0), 4 modos de escolher o último (só pode ser 2, 4, 6 ou 8 – lembre-se que os dígitos são
distintos) e 8 modos de escolher o dígito central (não podemos repetir os dígitos já usados).
32 números começados por 0.
Há 1× 4 × 8 =
328 .
A resposta é 360 − 32 =
169
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
É claro que este problema poderia ter sido resolvido com um truque.
Para determinar quantos são os números pares de três dígitos
distintos, poderíamos fazer os números de três dígitos distintos
menos os números ímpares de três dígitos distintos.
Para os números de três dígitos distintos, há 9 modos de escolher
o primeiro dígito, 9 modos de escolher o segundo e 8 modos
648 números de três dígitos
de escolher o último. Há 9 × 9 × 8 =
distintos. Para os números impares de três dígitos distintos, há 5
modos de escolher o último dígito, 8 modos de escolher 0 primeiro
320 números
e 8 modos de escolher o dígito central. Há 5 × 8 × 8 =
impares de três dígitos.
328
A resposta é 648 − 320 =.
Dois problemas particulares ocorrem com frequência na elaboração de listas. Esses problemas
envolvem a elaboração de uma lista de comprimento k, em que cada elemento da lista é
selecionado entre n possibilidades. No primeiro problema, contamos todas essas listas; no
segundo problema, contamos as listas sem elementos repetidos.
Quando se admite repetições, temos n escolhas para o primeiro elemento da lista, n escolhas
para o segundo elemento da lista e assim por diante, até n escolhas para o último elemento
da lista. Ao todo, há
listas possíveis.
Quando não se admite repetições, temos o problema seguinte.
Exemplo 8: (Problema das permutações simples) De quantos modos podemos ordenar em
fila n objetos distintos?
Solução:
A escolha do objeto que ocupará a primeira posição pode ser feita de n modos, independente
de qual tenha sido essa escolha, a escolha do objeto que ocupará a segunda posição pode ser
feita de n − 1 modos; qualquer que tenha sido essa escolha, a escolha do objeto que ocupará a
terceira posição pode ser feita de n − 2 modos, etc; a escolha do objeto que ocupará a última
posição pode ser feita de 1 modo.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem a resposta é
n( n − 1)( n − 2)...1 =
n! .
Cada ordem que se atribui aos objetos é chamada de uma permutação simples dos objetos. Assim,
por exemplo, as permutações simples das letras a , b e c são ( abc ),( acb),( bac ),(bca),(cab) e
( cba) .
Portanto, o número de permutações simples de n objetos distintos, ou seja, o número de
ordens em que podemos colocar n objetos distintos é Pn = n! .
Diante do exposto acima, temos que o número de listas de comprimento k, cujos elementos
são escolhidos de um conjunto de n elementos possíveis, é
170
Projeto Entre Jovens
nk caso permitam repetições
=
n! caso não permitam repetições
Exemplo 9: Quantos são os anagramas da palavra “PRATO”? Quantos começam por
consoante?
Solução:
Cada anagrama corresponde a uma ordem de colocação dessas 5 letras. O número de
5!
= 120 .
anagramas é P=
5
Para formar um anagrama começado por consoante devemos primeiramente escolher a
consoante (3 modos) e, depois, arrumar as quatro letras restantes em seguida a consoante
72 anagramas começados por consoante.
( 4! = 24 modos). Há 3 × 24 =
Exemplo 10: De quantos modos podemos arrumar em fila 5 livros diferentes de Matemática,
3 livros diferentes de Estatística e 2 livros diferentes de Física, de modo que livros de uma
mesma matéria permaneçam juntos?
Solução:
Podemos escolher a ordem das matérias de 3! modos.
Feito isso, há 5! modos de colocar os livros de Matemática nos lugares que lhe foram destinados,
3! modos para os de Estatística e 2! modos para os de Física.
A resposta é 3!× 5!× 3!× 2! = 6 × 120 × 6 × 2 = 8640 .
Exemplo 11: De quantos modos podemos dividir 7 objetos em um grupo de 3 objetos e
um de 4 objetos?
Solução:
Um processo de fazer a divisão é colocar os objetos em fila; os 3 primeiros formam o grupo de
3 e os 4 últimos formam grupo de 4. Há 7! modos de colocar os objetos em fila.
Entretanto, note que filas como abc.defg e bac.gjde são filas diferentes e geram a mesma
divisão em grupos. Cada divisão em grupos foi contada uma vez para cada ordem dos objetos
dentro de cada grupo. Há 3!× 4! modos de arrumar os objetos em cada grupo. Cada divisão
em grupos foi contada 3!× 4! vezes.
A resposta é
7!
= 35 .
3!× 4!
171
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Nesse último exemplo nos deparamos com uma situação nova. Dividir 7 objetos em um grupo
de 3 objetos e um de quatro objetos, a ordem dos objetos é irrelevante, ou seja, o grupo
formado pelos objetos (a,b,c) e o grupo formado pelos objetos (b,c,a) é o mesmo grupo de
objetos. Eles são indistinguíveis enquanto grupo de três objetos.
Na verdade não estamos mais diante de uma lista de objetos, mas sim diante de um conjunto
de objetos, que é mais apropriadamente denotado por {a,b,c}.
Cada seleção de p objetos dentre n objetos disponíveis é chamada de uma combinação simples
de classe p dos n objetos. Representamos o número de combinações simples de classe p de n
elementos por Cnp ou np .
(
)
Exemplo 12: (Problema das combinações simples)
Enunciado 1: De quantos modos podemos selecionar p objetos distintos entre n objetos
distintos dados?
Enunciado 2: Quantos subconjuntos de p elementos podem ser formados a partir de um
conjunto com n elementos?
Solução:
Para resolver o problema das combinações simples basta notar que selecionar p entre os n
objetos, equivale a dividir os n objetos em um grupo de p objetos, que são os selecionados, e
um grupo de n − p objetos, que são os não-selecionados.
Esse é o problema do Exemplo 11 e a resposta é
Cnp =
n!
.
p!( n − p)!
Exemplo 13: Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 4 pessoas:
a) com exatamente 2 homens, podem ser formadas?
b) com pelo menos 2 homens, podem ser formadas?
Solução:
a) Para formar a comissão devemos escolher 2 dos homens e, para completar a comissão, 2 das
mulheres. Há portanto C52 × C42 = 10 × 6 = 60 comissões.
b) Há comissões com: 2 homens e 2 mulheres, 3 homens e 1 mulher, 4 homens. A resposta é
C52 × C42 + C53 × C41 + C54 = 10 × 6 + 10 × 4 + 5 = 105 .
172
Projeto Entre Jovens
Um erro muito comum aparece no raciocínio a seguir: Como a
comissão deve ter pelo menos 2 homens, a primeira coisa a ser
feita é escolher dois homens para a comissão, o que pode ser
feito de C52 = 10 modos. Em seguida devemos escolher mais duas
pessoas, homens ou mulheres, para a comissão, o que pode ser
210 .
feito de C72 = 21 modos. A resposta é 10 × 21 =
Qual é o erro?
Algumas comissões foram contadas mais de uma vez. Por exemplo, a comissão Arnaldo, Carlos,
Eduardo e Beatriz foi contada 3 vezes. Realmente, o processo de contagem usado escolhia, em
uma primeira etapa, dois homens para garantir que fosse satisfeita a exigência de pelo menos
dois homens na comissão. Foi contada uma vez quando Arnaldo e Carlos são os homens
escolhidos na primeira etapa (e Eduardo e Beatriz são escolhidos na segunda etapa); outra vez
quando na primeira etapa são selecionados Arnaldo e Eduardo e, finalmente, uma terceira vez
quando Carlos e Eduardo são escolhidos na primeira etapa.
Se todas as comissões houvessem sido contadas 3 vezes, não haveria grandes problemas,
bastaria dividir por 3 o resultado da contagem. Mas há comissões que foram contadas uma
única vez e outras que foram contadas 6 vezes. Por exemplo, a comissão Arnaldo, Carlos,
Beatriz e Maria só foi contada uma vez e a comissão Arnaldo, Carlos, Eduardo e Paulo foi
contada 6 vezes.
Exemplo 14: Quantos são os anagramas da palavra “BANANA”?
Solução:
A resposta não é 6! = 720 . O fato de haver letras repetidas faz com que o número de anagramas
seja menor do que seria se as letras fossem diferentes.
Solução 1: Para formar um anagrama de “BANANA’ devemos colocar as seis letras (que não
são todas diferentes) em 6 lugares. Para isso devemos escolher 3 dos 6 lugares para colocar as
letras A, o que pode ser feito de C63 = 20 modos; em seguida devemos escolher 1 dos 3 lugares
restantes para colocar a letra B, o que pode ser feito de 3 modos; finalmente, há apenas um
modo de colocar as duas letras A nos seis lugares restantes. A resposta é 20 × 3 × 1 =60 .
Solução 2: Se as letras fossem diferentes a resposta seria 6!. Como as três letras A são iguais,
quando as trocamos entre si obtemos o mesmo anagrama e não um anagrama distinto, o
que aconteceria se fossem diferentes. Isso faz com que na nossa contagem de 6! tenhamos
contado o mesmo anagrama varias vezes, 3! vezes precisamente, pois há 3! modos de trocar
as letras A entre si. Problema análogo ocorre com as duas letras N, que podem ser trocadas
6!
= 60 .
entre si de 2! modos. A resposta é
3!2!
De modo geral, o número de permutações de n objetos, dos quais a são iguais a A, b são
iguais a B, g são iguais a C, etc., é
Pna ,b ,g... =
n!
.
a !b !g!...
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Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Exemplo 15: Quantos são os anagramas da palavra “ANAGRAMA” que não possuem duas
vogais adjacentes?
Solução:
Vamos primeiramente arrumar as consoantes e, depois, vamos entremear as vogais. O
4!
= 24 . Arrumadas
número de modos de arrumar em fila as consoantes N, G, R e M é P=
4
as consoantes, por exemplo na ordem NGRM , devemos colocar as 4 vogais nos 5 espaços da
figura:
__N__G__R__M_
Como não podemos colocar duas vogais no mesmo espaço, quatro dos espaços serão
ocupados, cada um com uma letra A, e um espaço ficará vazio. Temos C54 = 5 modos de
escolher os quatro espaços que serão ocupados.
120 .
A resposta é 24 × 5 =
Exemplo 16: Há 5 pontos sobre uma reta R e 8 pontos sobre uma reta R1 paralela a R.
Quantos são os triângulos e os quadriláteros convexos com vértices nesses pontos?
Solução:
Para formar um triângulo ou você toma um ponto em R e dois pontos em R ' , ou toma um
ponto em R ' e dois pontos em R . O número de triângulos é 5 × C82 + 8 × C52= 140 + 80= 220
Também poderíamos tomar 3 dos 12 pontos e excluir dessa contagem as escolhas de pontos
3
− C83 − C53 = 286 − 56 − 10 = 220 .
colineares, o que daria C13
Para formar um quadrilátero convexo, devemos tomar dois pontos em R e dois em R ' , que
pode ser feito de C52 × C82 = 10 × 28 = 280 modos.
Exemplo 17: De quantos modos 5 crianças podem formar uma roda de ciranda?
Solução:
À primeira vista, parece que, para formar uma roda com as cinco crianças, basta escolher uma
ordem para elas, o que poderia ser feito de 5! = 120 modos. Entretanto, as rodas ABCDE e
EABCD são iguais, pois na roda o que importa é a posição relativa das crianças entre si e a roda
ABCDE pode ser “virada” na roda EABCD.
174
Projeto Entre Jovens
Como cada roda pode ser “virada” de cinco modos, a nossa contagem de 120 rodas contou
24 .
cada roda 5 vezes e a resposta é 120 ÷ 5 =
De modo geral, o número de modos de colocar n objetos em círculo, de modo que disposições
que possam coincidir por rotação sejam consideradas iguais, isto é, o número de permutações
circulares de n objetos é
( PC )=
n
n!
= ( n − 1)! .
n
175
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Resolva as atividades propostas abaixo.
Atividade 1: Quantas listas de dois elementos são possíveis quando há n escolhas
para o primeiro elemento e m escolhas para o segundo elemento?
Atividade 2: Com 3 homens e 3 mulheres, de quantos modos se pode formar um
casal?
Atividade 3: Uma bandeira é formada por 8 listras que devem ser coloridas
usando-se apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma
cor e não podem ser usadas cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos
se pode colorir a bandeira?
Atividade 4: Quantos são os números formados por três dígitos distintos?
Atividade 5: O código Morse usa duas letras, ponto e traço, e as palavras têm de
1 a 4 letras. Quantas são as palavras do código Morse?
Atividade 6: Considere os divisores inteiros e positivos do número 360.
a) Quantos são eles?
b) Quantos desses divisores são pares?
c) Quantos são ímpares?
d) Quantos são quadrados perfeitos?
Atividade 7: Quantos são os números pares de três dígitos distintos?
Atividade 8: (Problema das permutações simples) De quantos modos podemos
ordenar em fila n objetos distintos?
Atividade 9: Quantos são os anagramas da palavra “PRATO”? Quantos começam
por consoante?
Atividade 10: De quantos modos podemos arrumar em fila 5 livros diferentes
de Matemática, 3 livros diferentes de Estatística e 2 livros diferentes de Física, de
modo que livros de uma mesma matéria permaneçam juntos?
176
Projeto Entre Jovens
Atividade 11: De quantos modos podemos dividir 7 objetos em um grupo de 3
objetos e um de 4 objetos?
Atividade 12: (Problema das combinações simples) De quantos modos podemos
selecionar p objetos distintos entre n objetos distintos dados?
Atividade 13: Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 4 pessoas:
a) com exatamente 2 homens, podem ser formadas?
b) com pelo menos 2 homens, podem ser formadas?
Atividade 14: Quantos são os anagramas da palavra “BANANA”?
Atividade 15: Quantos são os anagramas da palavra “ANAGRAMA” que não
possuem duas vogais adjacentes?
Atividade 16: Há 5 pontos sobre uma reta R e 8 pontos sobre uma reta R '
paralela a R. Quantos são os triângulos e os quadriláteros convexos com vértices
nesses pontos?
Atividade 17: De quantos modos 5 crianças podem formar uma roda de ciranda?
Atividade 18: De quantos modos 5 homens e 5 mulheres podem se sentar em
5 bancos de 2 lugares, se em cada banco deve haver um homem e uma mulher?
Atividade 19: De quantos modos o número 720 pode ser decomposto em um
produto de dois inteiros positivos? Aqui consideramos naturalmente, 8 × 90 como
sendo o mesmo que 90 × 8 .
Atividade 20: As placas dos veículos são formadas por três letras (de um alfabeto
de 26) seguidas por 4 algarismos. Quantas placas poderão ser formadas?
177
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Atividade 21: Quantos são os anagramas da palavra “CAPÍTULO”’:
a) possíveis?
b) que começam e terminam em vogal?
c) que têm as vogais e as consoantes intercaladas?
d) que têm as letras C, A, P juntas nessa ordem?
e) que têm as letras C, A, P juntas em qualquer ordem?
f) que têm a letra P em primeiro lugar e a letra A em segundo?
Atividade 22: De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo
que:
a) duas dessas pessoas, Vera e Paulo, não fiquem juntas?
b) duas dessas pessoas, Vera e Paulo, não fiquem juntas e duas outras pessoas,
Helena e Pedro, permaneçam juntas?
Atividade 23: Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1,2,4,6,7
e escrevem-se os números formados em ordem crescente. Determine:
a) que lugar ocupa o número 62417.
b) que número ocupa o 66º lugar.
Atividade 24: De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 6
crianças, de modo que duas delas, Vera e Isadora, não fiquem juntas?
Atividade 25: Um determinado sistema de segurança tem uma tranca protegida
por uma senha de 6 dígitos, formada por duas vogais, seguidas de 4 algarismos
de 0 a 9. Qual o total de senhas possíveis para essa tranca?
178
Projeto Entre Jovens
Anotações
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Guia do Tutor Matemática – Volume 2
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Guia do Tutor Matemática – Volume 2
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Projeto Entre Jovens
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OFICINA 19
PROBABILIDADE
Meta:
– Apresentar os principais conceitos associados a probabilidade.
Objetivos:
– Ao término dessa oficina o aluno deverá ser capaz de:
• Resolver problemas envolvendo probabilidade.
Pré-requisito:
– Oficina 18.
Projeto Entre Jovens
A teoria das probabilidades proporciona meios para analisar situações em que os eventos
ocorrem aleatoriamente. Em matemática, uma probabilidade é simplesmente um número
associado a um conjunto. Nas aplicações, o conjunto é um evento ou ação de resultado
incerto, e o número é uma medida de quão frequente, de quão viável ou possível é o evento.
Imagine que um médico lhe tenha receitado um remédio para certo mal. O médico poderia
dizer que a probabilidade de o remédio produzir efeito é de 94%. Isso significa que, se um
grande número de pacientes tomar o remédio contra aquele mal, esperaríamos que 94% deles
ficassem curados, mas não os 6% restantes.
As probabilidades são números reais entre 0 e 1. Um evento com probabilidade 1 é um
evento cuja ocorrência é certa, e um evento com probabilidade 0 é um evento impossível.
As probabilidades entre 0 e 1 refletem a plausibilidade relativa entre esses dois extremos.
Eventos improváveis têm probabilidades próximas de 0, e eventos altamente prováveis têm
probabilidades próximas de 1.
Nessa oficina vamos introduzir as ideias fundamentais da teoria da probabilidade discreta. Os
problemas de probabilidade discreta são, em geral, problemas de contagem reformulados na
linguagem das probabilidades.
Utilizaremos um jogo para introduzir as noções básicas de probabilidade.
1. O Jogo
Este jogo utiliza dois dados e é disputado por dois jogadores, João e Maria. Os resultados
abaixo valem os pontos indicados e resultados diferentes destes não são pontuados.
Resultado
Pontuação
(4; 1) ou (1; 4)
(4; 2) ou (2; 4)
(4; 3) ou (3; 4)
(4; 4)
(4; 5) ou (5; 4)
(4; 6) ou (6; 4)
1
2
3
4
5
6
Cada jogador poderá efetuar até dois lançamentos. Se não conseguir nenhuma face 4 no
primeiro lançamento dos dois dados, efetua-se o segundo lançamento com os dois dados
novamente. Se conseguiu pelo menos uma face 4 no primeiro lançamento, reserva este dado
e decide se lança ou não o outro dado mais uma vez. Vence o jogo quem obtiver a maior
pontuação.
Caso os dois jogadores obtenham a mesma pontuação o procedimento todo é repetido.
Comentários sobre o jogo: Num primeiro momento todos os alunos deverão jogar. Depois de
realizado o jogo, você tutor pode fazer os questionamentos abaixo:
• O jogador deverá sempre aproveitar o segundo lançamento?
• O segundo jogador possui maior possibilidade de vencer o jogo?
Estamos supondo a utilização de dados com faces equiprováveis. Se o jogador conseguiu (4;
1) ou (1; 4), isto é, 1 ponto no primeiro lançamento, é conveniente lançar o segundo dado
mais uma vez, não existe neste caso possibilidade de piorar sua pontuação. Agora se o jogador
187
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
obteve 3 pontos, (4; 3) ou (3; 4) no primeiro lançamento e decidir lançar o segundo dado
mais uma vez, então ele terá uma chance em 6 de permanecer com a mesma pontuação, duas
chances em 6 de piorar sua pontuação; ou seja; obter a face 1 ou a face 2 no lançamento do
segundo dado e possui três chances em 6 (faces 4, 5 ou 6) de melhorar sua pontuação.
O jogador poderá não marcar pontos ou ter pontuação zero, isto ocorre se nos seus dois
possíveis lançamentos ele não conseguiu nenhuma face 4. Primeiramente, João efetua um ou
dois lançamentos, posteriormente é a vez de Maria efetuar o seu jogo. Assim Maria está numa
posição melhor de decidir se aproveita ou não o seu segundo lançamento, ela já conhece a
pontuação obtida por João. Para tornar o jogo mais justo deve existir uma alternância entre
João e Maria para ser o primeiro a jogar.
Para a resolução dos problemas, o trabalho deve ser realizado em grupo. Depois da solução
de cada problema, um grupo é escolhido para apresentar sua solução. Posteriormente, uma
pequena plenária pode ser realizada para discutir a solução apresentada, bem como outras
soluções alternativas.
2. Experimento aleatório, espaço amostral e evento
Os conceitos de Experimento Aleatório, Espaço Amostral e Evento serão sistematizados através
das soluções dos problemas a seguir.
Exemplo 1: Considerando-se apenas o primeiro lançamento dos dois dados, João terá maior
chance em conseguir 1 ponto ou 6 pontos? Justificar sua resposta.
Solução:
Os alunos deverão apresentar suas soluções utilizando-se de sua própria linguagem. Você tutor
não deve neste momento apresentar definições ou conceitos. O objetivo do problema é fazer
com que os próprios alunos sistematizem o conceito matemático que se pretende estudar.
Você deve sim explorar o fato que embora no lançamento de dois dados não sejamos capazes
de prever o resultado (Experimento Aleatório), somos capazes de descrever todos os resultados
possíveis (Espaço Amostral).
Temos os resultados possíveis { (1; 1), (1; 2), ... , (1; 6), (2; 1), (2; 2), ... , (2; 6), ... , (6; 1), (6; 2),
... , (6; 6)}, ou seja, 36 elementos. Uma representação destes 36 pontos em um eixo cartesiano
pode também ser bastante útil. João obtém 1 ponto quando ocorre (1; 4) ou (4; 1) (Evento).
Assim terá duas chances em 36 de marcar 1 ponto. De maneira análoga, terá duas chances
em 36 de marcar 6 pontos, isto ocorrerá nos casos (4; 6) ou (6; 4) (Evento). Conclusão, João
possui a mesma chance de marcar 1 ponto ou 6 pontos considerando-se apenas o primeiro
lançamento dos dois dados.
188
Projeto Entre Jovens
Exemplo 2: Considerando-se apenas o primeiro lançamento dos dois dados, João terá maior
chance em conseguir 5 ou 4 pontos? Justificar sua resposta.
Solução:
Da mesma forma que no problema 1, você deve explorar o fato que dos 36 resultados possíveis,
João marcará 5 pontos quando ocorrer (4; 5) ou (5; 4), ou seja, terá duas chances em 36 de
marcar 5 pontos. Entretanto, João marcará 4 pontos somente no caso de ocorrer a face 4 nos
dois dados; ou seja; no caso (4; 4). Assim terá apenas uma chance em 36 de marcar 4 pontos.
Conclusão, João possui maior chance de marcar 5 pontos do que 4 pontos considerando-se
apenas o primeiro lançamento dos dois dados.
Após o trabalho com problemas do tipo dos exemplos 1 e 2, você terá mais facilidade para
sistematizar os conceitos de Experimento Aleatório, Espaço Amostral e Evento.
3. Definição de probabilidade
Até o presente momento o termo probabilidade não foi mencionado, este conceito será
sistematizado nesta seção. Entretanto, os conceitos de Espaço Amostral e Evento, já
sistematizados anteriormente, podem e devem ser utilizados.
Exemplo 3: Se João obteve 1 ponto no primeiro lançamento ele deverá utilizar o segundo
lançamento para melhorar sua pontuação? Justificar sua resposta.
Solução:
No primeiro lançamento, João obtém 1 ponto se ocorre um dos dois casos: (4; 1) ou (1; 4).
Pelas regras do jogo, João deve reservar o dado com a face 4 e lançar novamente o segundo
dado. Neste caso, terá 5 chances em 6 de melhorar sua pontuação. Os casos favoráveis são:
faces 2, 3, 4, 5, ou 6, em seis casos possíveis. Ainda, João terá uma chance em 6 de continuar
com 1 ponto e nenhuma chance de piorar sua pontuação.
Conclusão: João deve aproveitar o lançamento do segundo dado com o objetivo de melhorar
sua pontuação.
Exemplo 4: Se João obteve 3 pontos no primeiro lançamento, quais são suas chances em
melhorar, piorar ou manter inalterada sua pontuação se utilizar o segundo lançamento?
Solução:
Da mesma forma que no problema 3, João terá 3 chances em 6 de melhorar sua pontuação; 2
chances em 6 de piorar sua pontuação e 1 chance em 6 de manter sua pontuação inalterada.
Portanto, neste caso é mais conveniente que João utilize o segundo lançamento. Entretanto,
deve-se observar que João poderá piorar sua pontuação.
189
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Para as soluções dos exemplos 1, 2, 3 e 4 já estamos, intuitivamente, calculando a probabilidade
(de Laplace):
número de casos possíveis .
A)
p = Probabilidade de
=
A P=
(
números de casos favoráveis
No caso do exemplo 4, concluímos que João possui uma probabilidade de 33,3 % (2/6) de
piorar sua pontuação e uma probabilidade de 66,7% (3/6 + 1/6) de manter ou melhorar sua
pontuação. Assim, neste caso é recomendável que João aproveite o seu segundo lançamento.
Com o objetivo de familiarizar os alunos com a definição de probabilidade, os seguintes
problemas poderão ser utilizados.
Exemplo 5: Qual a probabilidade de João não obter a face 4 no primeiro lançamento?
Solução:
=
p
número de casos possíveis
25
=
.
números de casos favoráveis 36
Exemplo 6: Se João obteve 4 pontos no primeiro lançamento, qual a probabilidade de
aumentar, diminuir ou permanecer com esta pontuação se utilizar o segundo lançamento?
Solução:
2 1
3 1
=
de aumentar sua pontuação, probabilidade p2= =
6 3
6 2
1
de diminuir sua pontuação e probabilidade p3 = de permanecer com a mesma pontuação.
6
 1
Neste caso, João possui uma probabilidade de 50%   de diminuir sua pontuação e uma
2
 1 1
probabilidade de 50%  +  de manter ou melhorar sua pontuação, se decidir pela utilização
3 6
do segundo lançamento.
João terá probabilidade p=
1
4. Soma e produto de probabilidades
O objetivo desta seção é trabalhar com problemas que envolvam soma e/ou produto de
probabilidades. Geralmente os alunos têm muitas dificuldades em saber quando devem somar
ou multiplicar probabilidades. Em linhas gerais, se necessitamos que exigências sucessivas
sejam satisfeitas, então usamos o produto. Agora, quando podemos satisfazer uma exigência
ou outra, então usamos a soma.
A partir desta seção e considerando os resultados dos problemas anteriores, assumimos que
quando João obtém 1, 2 ou 3 pontos no primeiro lançamento, então ele realiza o segundo
lançamento com apenas um dado para tentar melhorar sua pontuação, observar que embora
190
Projeto Entre Jovens
menor, existe a possibilidade de João piorar sua pontuação. No caso em que obtém 4, 5 ou 6
pontos no primeiro lançamento então ele pára. Obviamente, se não conseguiu nenhum ponto
no primeiro lançamento, lança novamente os dois dados. O caso de Maria é diferente, tendo
em vista que quando da realização do seu jogo, ela já sabe a pontuação obtida por João,
possui assim melhores condições de decidir se aproveita ou não o seu segundo lançamento.
Exemplo 7: Qual a probabilidade de João marcar 1 ponto neste jogo?
Solução:
Para João marcar um ponto e considerando as observações feitas anteriormente, vários casos
devem ser considerados:
(i) João não obteve nenhuma face 4 no primeiro lançamento e obteve 1 ponto no segundo
lançamento dos dois dados.
Neste caso, p1 =
25 2
×
= 0,0385802 .
36 36
(ii) João obteve 1 ponto no primeiro lançamento e a face 1 no lançamento do segundo dado.
2 1
× = 0,0092592 .
Neste caso, p2 =
36 6
(iii) João obteve 2 pontos no primeiro lançamento e a face 1 no lançamento do segundo dado.
2 1
× = 0,0092592 .
Neste caso, p3 =
36 6
(iv) João obteve 3 pontos no primeiro lançamento e a face 1 no lançamento do segundo dado.
2 1
Neste caso, p4 =
× = 0,0092592 .
36 6
Portanto a probabilidade de João marcar 1 ponto será dada por:
p = p1 + p2 + p3 + p4 = 6,63% .
Se João obtém 4, 5 ou 6 pontos no primeiro lançamento, então o jogo é interrompido e
consequentemente nestes casos ele não poderá marcar 1 ponto. O objetivo deste problema é
o de estudar os conceitos de soma e produto de probabilidades. Você deve destacar que para
o cálculo das probabilidades p1 , p2 , p3 e p4 , duas exigências sucessivas devem ser atendidas,
destacar o papel do “e”, por isso multiplicamos. Agora para o cálculo da probabilidade p
de João marcar 1 ponto, deve-se destacar o papel do “ou”, neste caso poderá ocorrer uma
situação ou outra que mesmo assim João continuará a marcar 1 ponto, por isso somamos.
Analogamente ao problema 7, podemos mostrar que a probabilidade de João marcar 2 pontos
é igual a probabilidade de marcar 3 pontos e é dada por p = 6,63% .
191
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Exemplo 8: Qual a probabilidade de João marcar 4 pontos neste jogo?
Solução:
Vários casos devem ser considerados:
(i) João não obteve nenhuma face 4 no primeiro lançamento e obteve 4 pontos no segundo
25 1
×
= 0,0192901.
lançamento dos dois dados. Neste caso, p1 =
36 36
(ii) João obteve 1 ponto no primeiro lançamento e a face 4 no lançamento do segundo
dado. Neste caso, p2 =
2
1
×
= 0,0092592 .
36 36
(iii) João obteve 2 pontos no primeiro lançamento e a face 4 no lançamento do segundo dado.
2
1
×
= 0,0092592 .
Neste caso, p3 =
36 36
(iv) João obteve 3 pontos no primeiro lançamento e a face 4 no lançamento do segundo dado.
2
1
×
= 0,0092592 .
Neste caso, p4 =
36 36
1
p5 = 0,0277777 .
(v) João obteve 4 pontos no primeiro lançamento. Neste caso, =
36
Portanto a probabilidade de João marcar 4 pontos será dada por:
p = p1 + p2 + p3 + p4 = 7,48% .
Quando João obtém 5 ou 6 pontos no primeiro lançamento, então o jogo é interrompido e
consequentemente nestes casos, ele não poderá marcar 4 pontos. Podemos mostrar que João
possui a mesma probabilidade de marcar 5 ou 6 pontos, a qual é dada por p = 12,19% .
Exemplo 9: Qual a probabilidade de João não marcar pontos neste jogo?
Solução:
p=
25 25 625
×
=
= 0,4822531  48,22% .
36 36 1296
Temos que a soma das probabilidades de João marcar 1 ponto, 2 pontos, ... , 6 pontos e não
marcar pontos é igual a 1.
192
Projeto Entre Jovens
5. Probabilidade condicional
O cálculo de probabilidades condicionais está relacionado ao cálculo da probabilidade de
um evento ocorrer sabendo-se que um outro evento já ocorreu a priori. Este conceito será
sistematizado através da resolução dos problemas a seguir.
Exemplo 10: Considerando-se apenas o primeiro lançamento, qual a probabilidade de João
marcar 3 pontos, sabendo-se que ele obteve em pelo menos um dos dois dados uma face 4?
Solução:
Explore inicialmente que o Espaço Amostral mudou. Quando lançamos dois dados temos
um Espaço Amostral S constituído de 36 resultados possíveis, neste caso, a informação que
João obteve em pelo menos um dos dois dados a face 4, reduz o espaço amostral para {
(1; 4), (4; 1), (2; 4), (4; 2), (3; 4), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (5; 4), (4; 6), (6; 4) } – 11 elementos,
(Espaço Amostral Reduzido - S ). Assim a probabilidade de João marcar 3 pontos deve agora
ser calculada neste novo espaço amostral e João obtém 3 pontos se ocorrer (3; 4) ou (4; 3); ou
seja; a probabilidade de João marcar 3 pontos sabendo-se que obteve pelo menos uma face 4
2
será: p = .
11
A representação de S e S e dos casos favoráveis (3; 4) e (4; 3) num eixo cartesiano facilita em
muito o entendimento do conceito de Probabilidade Condicional.
Exemplo 11: Considerando-se apenas o primeiro lançamento, qual a probabilidade de João
marcar 3 pontos, sabendo-se que o número da face do primeiro dado é maior do que a do
segundo?
Solução:
Da mesma forma que no problema 10, temos agora o Espaço Amostral Reduzido, S = { (2;
1), (3; 1), (3; 2), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4),
(6; 5) } – 15 elementos. Destes 15 elementos, João pode marcar 3 pontos em apenas um
deles, quando ocorrer (4; 3). Assim, a probabilidade de João marcar 3 pontos no primeiro
lançamento, sabendo-se que o número da face do primeiro dado é maior do que a do segundo
1
.
é p=
15
Nos dois problemas anteriores, estamos calculando a probabilidade de João marcar 3 pontos,
entretanto, a informação fornecida a priori, altera o valor da probabilidade.
A partir daqui é possível começar a sistematizar o conceito de probabilidade condicional. No
problema 11, definimos os eventos:
A = {João marcou 3 pontos no primeiro lançamento dos dois dados } e
B = {O número da face do primeiro dado é maior do que a do segundo}.
Temos neste caso, B = {(2; 1), (3; 1), (3; 2), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (6; 1),
193
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
15
B)
=
.
(6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5)} – 15 elementos. Assim, P (
36
1
Agora, A = {(3; 4), (4; 3)} e A| B = {(4; 3)}. Assim, P ()
A| B =
.
36
Das probabilidades calculadas acima e do resultado do problema 11, obtemos:
1
A  B)
1 36 P (
.
P ()
A| B= = =
15
15
P(
B)
36
A relação acima não se verifica apenas para o caso particular do exemplo 11. Na verdade, essa
relação é a definição do conceito de probabilidade condicional, admitindo-se que P(B) > 0.
A  B)
e P(
B)
são calculadas considerando-se o Espaço
Observar que as probabilidades P (
Amostral S, enquanto que a probabilidade condicional P(A|B) é calculada em termos do espaço
amostral reduzido S .
6. Outros problemas
Consideraremos agora outros problemas envolvendo probabilidade e buscar um tratamento
mais formal.
O interesse dos matemáticos no estudo sistemático de probabilidades é relativamente recente
e tem suas raízes no estudo dos jogos de azar. Um problema clássico, que tem origem em
autores do século XV e que despertou o interesse de autores como Pascal e Fermat, é o
Problema dos pontos: Dois jogadores apostaram R$ 10,00 cada um em um jogo de cara-ecoroa, combinando que o primeiro a conseguir 6 vitórias ficaria com o dinheiro da aposta. O
jogo, no entanto, precisou ser interrompido quando um dos jogadores tem 5 vitórias e o outro
tem 3. Qual é a divisão justa da quantia apostada?
Parece razoável que a quantia apostada seja dividida de forma proporcional à chance (ou
probabilidade) de vitória de cada jogador. O cálculo destas probabilidades se baseia, como
veremos mais adiante, na hipótese de que a moeda seja honesta, ou seja, de que haja iguais
chances, em um lançamento, de sair cara ou coroa. Esta crença, por sua vez, corresponde
à seguinte ideia intuitiva: em uma sequência longa de lançamentos, esperamos observar,
aproximadamente, o mesmo número de caras e coroas.
De modo mais geral, suponhamos quem um determinado experimento tenha n resultados
possíveis w1, w2 ,..., wn ,, o conjunto Ω destes possíveis resultados é chamado de espaço amostral.
Suponhamos, ainda, que julguemos que, ao repetir o experimento um grande número de vezes,
esperemos que o resultado wi ocorra em uma certa fração pi das realizações do experimento.
Dizemos, então, que a probabilidade de se observar wi é igual a pi . Evidentemente, devemos
1. Uma vez estabelecidos os valores para as
ter pi > 0 para cada i é, além disso, p1 + ... + pn =
probabilidades de cada resultado possível, podemos definir a probabilidade de qualquer evento
A (ou seja, de qualquer subconjunto de Q) como a soma das probabilidades dos resultados em A.
194
Projeto Entre Jovens
Mas como encontrar os valores das probabilidades pi ? No caso geral, estes valores são obtidos
de forma experimental. Mas ha certos casos em que é razoável supor que todos os resultados
são igualmente prováveis e que, portanto, a probabilidade de cada um deles é igual a 1/ n .
Por exemplo, ao lançar um dado perfeitamente cúbico não há nenhuma razão para esperar
que uma face apareça com mais frequência que qualquer das outras. Logo, a probabilidade
associada a cada face é igual a 1/6. Modelos probabilísticos que têm esta característica são
chamados de equiprováveis e estão frequentemente associados a jogos de azar. Nos modelos
probabilísticos equiprováveis, a probabilidade associada a um evento A com p elementos é
1 p
= . Muitas vezes se exprime este fato dizendo que a probabilidade de um evento
n n
é igual á razão entre o número de casos favoráveis ao evento e o número de casos possíveis.
igual a p.
Exemplo 12: Qual é a probabilidade de se obter um resultado maior que 4 ao se lançar um
dado honesto?
Solução:
O espaço amostral é Ω ={1,2,3,4,5,6} , com todos os resultados tendo probabilidade 1/ 6.
Desejamos calcular a probabilidade de evento A = {5,6} , que é dada por P( A) =2 ×
1 1
= .
6 3
Observe que no lançamento de 2 dados cúbicos, com suas faces numeradas de 1 a 6, são 11
os possíveis resultados de soma: 2, 3, 4, 5, ... , 11,12. Um erro muito comum, ao se perguntar
a um aluno sobre a probabilidade de se obter soma 4 no lançamento de dois dados é ele dar
nº de casos favoráveis 1
= . Esse erro consiste em se tratar esse modelo com
nº de casos possíveis 11
sendo equiprovável já que o aluno tende a não perceber que as probabilidades de ocorrência
das diferentes somas possíveis no lançamento de dois dados são distintas.
por resposta:
Como forma de desfazer esse equívoco propomos uma atividade que passamos a descrever.
Peça aos alunos que confeccionem tabuleiros 11× 11 conforme o ilustrado abaixo.
195
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Serão necessários dois dados e 11 peças para marcação (podem ser feijões, por exemplo).
A regra é a seguinte. Podem jogar de 2 a 11 jogadores. Cada jogador escolhe com qual número
irá concorrer, dentre os números de 2 a 12. Depois de que cada jogador escolheu seu número,
cada um posiciona sua peça sobre a casa de partida que contém o número com o qual irá
concorrer. Em seguida um dos participantes lança um par de dados. O valor da soma dos dois
resultados obtidos define qual jogador movimentará sua peça uma casa em direção à casa de
chegada. Em seguida lança-se novamente os dois dados e observa-se a soma dos resultados
e, o jogador que estiver concorrendo com o valor dessa soma avança sua peça uma casa em
direção à casa de chegada. O jogo continua, repetindo o procedimento descrito acima até que
um dos jogadores consiga fazer com que sua peça alcance a casa de chegada, no outro lado
do tabuleiro.
A atividade deve ser jogada várias vezes (o ideal é pelo menos umas 20 vezes) e devem ser
anotados os resultados de cada jogada. Para isso divida os alunos em dois ou três grupos e
ponha esses grupos a jogar. Após várias repetições do jogo os alunos perceberão que quem
escolhe o número 7 tende a ganhar um maior número de vezes, enquanto que, quem escolhe
2 ou 12, tende a ganhar um menor número de vezes.
Diante dessa constatação, discuta com os aluno o que está por trás desses resultados, mostrando
para eles que os resultados com soma sete são os mais freqüentes e os com soma 2 ou 12 são
os menos freqüentes. A tabela apresentada a seguir ilustra essa situação.
196
Projeto Entre Jovens
Exemplo 13: Ao lançar um dado duas vezes, qual é a probabilidade de se obter soma 5?
Solução:
O espaço amostral é formado por todos os pares de resultados possíveis. Como em cada
lançamento há 6 possibilidades, o número de casos possíveis é 6 × 6 =
36 , todos com a mesma
probabilidade de ocorrência. Destes, aqueles em que a soma é 5 são (1,4), (2,3), (3,2) e (4,1).
Veja quadro acima. Logo, o número de casos favoráveis ao evento é 4 e sua probabilidade é
4 1.
=
36 9
Exemplo 14: Em uma urna há 5 bolas vermelhas e 4 pretas, todas de mesmo tamanho e
feitas do mesmo material. Retiramos duas bolas sucessivamente da urna, sem repô-las. Qual
é a probabilidade de que sejam retiradas duas bolas vermelhas?
Solução:
Precisamos inicialmente encontrar um espaço amostral apropriado para descrever os resultados
dos experimentos. Com tudo o que observamos é a cor de cada bola retirada (as bolas de
mesma cor são indistinguíveis entre si), poderíamos ser tentados a escolher o espaço amostral
{vv , vp, pv , pp} , formado pelos pares de cores observadas. Esta escolha não está errada, mas
não é conveniente para a solução do problema. O que ocorre é que o modelo probabilístico
baseado neste espaço amostral não é equiprovável (é obvio, por exemplo, que duas bolas
vermelhas saiam com mais frequência que duas bolas pretas, já que há mais bolas vermelhas).
Para obter um espaço equiprovável, devemos considerar individualmente as 9 bolas presentes
na urna. Ou seja, o espaço amostral é o conjunto de todos os pares de bolas distintas, que
72 elementos. Como todas as bolas são iguais (a menos da cor), todos estes pares
tem 9 × 8 =
tem a mesma probabilidade de sair. Para calcular o número destes pares em que ambas as
bolas são vermelhas, devemos observar que a primeira bola vermelha pode ser escolhida de 5
modos, enquanto a segunda pode ser qualquer uma das 4 restantes. Logo, o número de casos
favoráveis é igual a 5 × 4 =
20 . Portanto, a probabilidade de que sejam retiradas duas bolas
20 5
vermelhas é igual a
= .
72 18
197
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Exemplo 15: Pedro e João combinaram de lançar uma moeda 4 vezes. Pedro apostou que,
nestes 4 lançamentos, não apareceriam 2 caras seguidas; João aceitou a aposta. Quem tem
maior chance de ganhar a aposta?
Solução:
O espaço amostral apropriado é formado por todas as sequências possíveis de resultados.
Como em cada lançamento sai cara (C) ou coroa (K), há 2 possibilidades; logo, o número total
de possibilidades é igual a 2 × 2 × 2 × 2 =
16 . Todas estas sequências têm a mesma probabilidade
de ocorrência, já que o resultado de um lançamento não afeta os demais e há a mesma chance
de sair cara ou coroa. Vamos verificar quais destas sequências levam a vitória de Pedro.
• se só saírem coroas (K K K K ), é claro que Pedro vence.
• se só sair uma cara (OKKK,KGKK,KKCK,KKKC), Pedro também vence.
• com duas caras, Pedro vence nos casos KCKC, OKCK e CKKO.
• quando saem três ou mais caras, Pedro perde.
Logo, o número de sequências favoráveis a Pedro é igual a 8 e sua probabilidade de vitória é
8 1
igual a
= . Portanto, Pedro e João têm a mesma chance de vitória.
16 2
Exemplo 16: Qual é a forma justa de dividir os R$ 20,00 apostados no problema dos
pontos?
Solução:
O jogador 1 tem 5 vitórias, faltando apenas uma para vencer o jogo. O jogador 2 tem apenas
3 vitórias, necessitando de mais 3 para vencer. Portanto, para que 2 vença, ele tem que vencer
três partidas seguidas. Há 2 × 2 × 2 =
8 possibilidades para os resultados destas partidas e
1
apenas um destes é favorável a vitória de 2. Logo 2 vence com probabilidade , enquanto a
8
7
probabilidade de vitória de 2 é . Logo, 1 deve ficar com R$ 17,50 e 2 com R$ 2,50.
8
Uma possível objeção quanto a solução acima é o fato de construirmos nosso espaço amostral
com base nas três partidas restantes, quando o jogo pode, na verdade, terminar em uma,
duas ou três partidas. Fizemos isto para obter um espaço amostral para o qual o modelo é
equiprovável. Note que usar este espaço amostral é equivalente a supor que, mesmo que 1
tenha vencido na primeira ou segunda partida, eles continuam a disputar, como “amistosos”,
as partidas seguintes. É claro quem isto não modifica, em nada, as chances de vitória de cada
jogador.
Vimos acima que a ideia intuitiva de probabilidade de um evento está ligada à frequência
observada deste evento quando o experimento é realizado um grande número de vezes. Esta
relação pode ser estabelecida de modo preciso, através de um teorema conhecido como a
Lei dos Grandes Números. Embora, por vezes, ela não seja e muito bem entendida, a Lei dos
Grandes Números é um instrumento fundamental para estabelecer uma via de mão dupla
entre modelos probabilísticos teóricos e os experimentos aleatórios.
198
Projeto Entre Jovens
Resolva as atividades propostas abaixo.
O Jogo
Este jogo utiliza dois dados e é disputado por dois jogadores, João e Maria. Os
resultados abaixo valem os pontos indicados e resultados diferentes destes não são
pontuados.
Resultado
Pontuação
(4; 1) ou (1; 4)
(4; 2) ou (2; 4)
(4; 3) ou (3; 4)
(4; 4)
(4; 5) ou (5; 4)
(4; 6) ou (6; 4)
1
2
3
4
5
6
Cada jogador poderá efetuar até dois lançamentos. Se não conseguir nenhuma
face 4 no primeiro lançamento dos dois dados, efetua-se o segundo lançamento
com os dois dados novamente. Se conseguiu pelo menos uma face 4 no primeiro
lançamento, reserva este dado e decide se lança ou não o outro dado mais uma
vez. Vence o jogo quem obtiver a maior pontuação.
Caso os dois jogadores obtenham a mesma pontuação o procedimento todo é
repetido.
O jogador poderá não marcar pontos ou ter pontuação zero, isto ocorre se nos
seus dois possíveis lançamentos ele não conseguiu nenhuma face 4.
Este jogo deve ser utilizado para resolver as atividades de 1 a 11.
Atividade 1: Considerando-se apenas o primeiro lançamento dos dois dados,
João terá maior chance em conseguir 1 ponto ou 6 pontos? Justificar sua resposta.
Atividade 2: Considerando-se apenas o primeiro lançamento dos dois dados,
João terá maior chance em conseguir 5 ou 4 pontos? Justificar sua resposta.
Atividade 3: Se João obteve 1 ponto no primeiro lançamento ele deverá utilizar o
segundo lançamento para melhorar sua pontuação? Justificar sua resposta.
Atividade 4: Se João obteve 3 pontos no primeiro lançamento, quais são suas
chances em melhorar, piorar ou manter inalterada sua pontuação se utilizar o
segundo lançamento?
199
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Atividade 5: Qual a probabilidade de João não obter a face 4 no primeiro
lançamento?
Atividade 6: Se João obteve 4 pontos no primeiro lançamento, qual a probabilidade
de aumentar, diminuir ou permanecer com esta pontuação se utilizar o segundo
lançamento?
Atividade 7: Qual a probabilidade de João marcar 1 ponto neste jogo?
Atividade 8: Qual a probabilidade de João marcar 4 pontos neste jogo?
Atividade 9: Qual a probabilidade de João não marcar pontos neste jogo?
Atividade 10: Considerando-se apenas o primeiro lançamento, qual a
probabilidade de João marcar 3 pontos, sabendo-se que ele obteve em pelo menos
um dos dois dados uma face 4?
Atividade 11: Considerando-se apenas o primeiro lançamento, qual a
probabilidade de João marcar 3 pontos, sabendo-se que o número da face do
primeiro dado é maior do que a do segundo?
Atividade 12: Qual é a probabilidade de se obter um resultado maior que 4 ao se
lançar um dado honesto?
Atividade 13: Ao lançar um dado duas vezes, qual é a probabilidade de se obter
soma 5?
Atividade 14: Em uma urna há 5 bolas vermelhas e 4 pretas, todas de mesmo
tamanho e feitas do mesmo material. Retiramos duas bolas sucessivamente da
urna, sem repô-las. Qual é a probabilidade de que sejam retiradas duas bolas
vermelhas?
Atividade 15: Pedro e João combinaram de lançar uma moeda 4 vezes. Pedro
apostou que, nestes 4 lançamentos, não apareceriam 2 caras seguidas; João
aceitou a aposta. Quem tem maior chance de ganhar a aposta?
200
Projeto Entre Jovens
Atividade 16: Qual é a forma justa de dividir os R$ 20,00 apostados no problema
dos pontos?
Atividade 17: Uma caixa contém cinco bolas numeradas de 1 a 5. Dela são
retiradas ao acaso duas bolas. Qual a probabilidade de que o maior número assim
escolhido seja o 4?
Atividade 18: Uma função f : A → B é dita crescente quando:
∀x1, x2 ∈ A, x2 > x1 ⇒ f (
x2 )
>f(
x1 )
.
1,2,3,4,5}
1,2,3,4,5,6,7}
e B ={
.
Sejam A = {
a) Quantas funções f : A → B crescentes podem ser definidas?
b) Escolhendo aleatoriamente uma das funções f : A → B crescentes que podem
5)
=6?
ser definidas, qual é a probabilidade de se ter f (
c) Escolhendo aleatoriamente uma das funções f : A → B crescentes que podem
5)
=4?
ser definidas, qual é a probabilidade de se ter f (
201
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Anotações
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207
OFICINA 20
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO
Meta:
– Apresentar informações em gráficos e tabelas.
– Utilizar medidas de tendência central.
Objetivos:
– Ao término dessa oficina o aluno deverá ser capaz de:
• Ler e interpretar informações apresentadas em gráficos
e/ou tabelas.
• Resolver problemas envolvendo cálculo de médias.
Projeto Entre Jovens
Inicialmente, convém enfatizar que na Matemática estamos acostumados a fazer gráfico de
funções, como o gráfico da função seno, por exemplo. Estes gráficos são distintos dos que
serão citados nessa oficina, não somente com respeito a forma de fazer (desenhar) o gráfico
como também aos objetivos a que se propõem. Entretanto, no contexto do que aqui estamos
apresentando, usaremos os termos gráficos e representações gráficas de forma análoga.
Na verdade, representações gráficas podem ser consideradas como a arte de apresentação de
dados. Há várias boas razões para se usar representação gráfica em lugar de uma explicação
textual: (i) uma figura substitui muitas palavras; (ii) é mais rápido entender as informações
correspondentes a elas; (iii) uma representação gráfica podem enfatizar ou esclarecer
determinados pontos; (iv) uma figura pode despertar mais o interesse do leitor do que um
texto.
Existem vários tipos de representações gráficas, assim, um ponto importante quando da escolha
de um deles é saber qual o tipo de variável que será exibido:
Variáveis
Variáveis qualitativas, que também são chamadas de categóricas, têm estados, níveis ou
categorias que são definidas por um conjunto de subclasses mutuamente exclusivas e exaustivas.
Estas subclasses podem ser ordenadas ou não-ordenadas.
Exemplo de variável qualitativa ordenada: nível de escolaridade dos pais dos alunos de um
dado colégio.
Exemplo de variável qualitativa não-ordenada: diferentes regiões geográficas do Brasil.
Nas variáveis quantitativas os níveis são expressos numericamente. Há dois tipos de variáveis
quantitativas: discretas e contínuas. Geralmente as discretas (números inteiros) estão associados
a problemas de contagem e as contínuas (números reais) a resultados de mensurações sobre
o mundo físico.
Exemplo de variável quantitativa discreta: número de alunos de dado colégio.
Exemplo de variável quantitativa contínua: altura dos alunos da 5ª série.
A representação de dados estatísticos usualmente é feita por meio de tabelas ou de gráficos.
Entre os gráficos mais comumente encontradas são: (i) lineares, (ii) colunas, (iii) barras, (iv)
setorgrama, (v) cartograma e (vi) pictórico.
211
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Gráfico linear
Gráfico de colunas
Gráficos de barras
Gráfico de setores
212
Projeto Entre Jovens
Cartograma – Densidade Demográfica do Brasil
Pictograma – População dos Estados Unidos
Gráficos e tabelas constituem-se ferramentas úteis para representação e apresentação de dados.
São fáceis de fazer e representações gráficas podem ser extremamente criativas. Geralmente
informações que constam em uma tabela podem ser exibidas em uma específica representação
gráfica ou vice-versa.
Esse é um tema muito fértil a aplicações e que você, tutor, deve explorar propondo
atividades práticas envolvendo pesquisas e levantamentos com os alunos. Os resultados
desses levantamentos devem ser organizados em uma tabela e, posteriormente, gráficos
representativos desses levantamentos devem ser elaborados pelos alunos.
Em muitas situações, é desejável obter descrições mais resumidas do comportamento de uma
variável, através de um ou mais números. Nessas situações utilizam-se medidas estatísticas que
podem sintetizar as informações mais importantes dos valores assumidos por uma variável.
Dentre as medidas estatísticas mais utilizadas, destacam-se a média aritmética, a mediana e
a moda, que são medidas de tendência central, e ainda o desvio padrão e os quartis, que são
medidas de dispersão.
Destacaremos a média aritmética. Uma média de uma lista de números é uma valor que pode
substituir todos os elementos da lista sem alterar uma certa característica da lista. Se essa
característica é a soma dos elementos da lista, obtém-se a média aritmética. A média aritmética
simples da lista de n números x1 , x2 , ..., xn é um valor x tal que
x1 + x2 + + x n = x + x + x = nx .
213
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Portanto, a média aritmética simples da lista de n números x1 , x2 , , x n é definida por
É importante registrar que há outros tipos de médias possíveis, tais como a média geométrica
e a média harmônica. A título de ilustração, apresentaremos também a média geométrica.
Se a característica a ser mantida for o produto dos elementos da lista, obtém-se a média
geométrica. A média geométrica simples dos n número inteiros positivos x1 , x2 , , x n é um
valor g tal que
Portanto, a média geométrica simples dos de n números positivos x1 , x2 , , x n é definida por
A média geométrica só definida para números positivos pois, caso contrário, tem-se o risco da
média geométrica não existir. De fato, não se pode definir a média geométrica entre −3 e 3,
por exemplo.
De qualquer forma, é importante perceber que, quando se troca um conjunto de valores por
sua média, perdem-se informações sobre o conjunto de valores. De fato, consideres os dois
conjuntos formados por seis números:
C1 = {0, 1, 4, 10, 6, 9} e C2 = {5, 5, 5, 5, 5, 5}.
Note que as médias aritméticas dos números que constituem os conjuntos C1 e C2 são dadas
0 + 1+ 4 + 10 + 6 + 9
5+5+5+5+5+5
por xC1 =
=
=
5 e xC2 = 5 , ou seja, os dois conjuntos de
6
6
valores apresentam médias aritméticas iguais a 5 mas o conjunto C1 tem seus elementos bem
mais dispersos que o conjunto C2 . Assim, a informação da média de um conjunto de valores
diz pouco sobre esse conjunto de valores pois, ao trocarmos cada coleção de termos por sua
média, estamos perdendo informações.
Em geral utiliza-se outras medidas que servem para medir o grau de dispersão do conjunto
de valores. A medida de dispersão mais utilizada é o desvio padrão, que mensura o quanto os
valores se distanciam da média aritmética. Entretanto, não abordaremos medidas de dispersão
nessas notas.
A moda é o valor mais frequentemente observado de uma variável. A moda é uma medida
de maior interesse para variáveis qualitativas, variáveis numéricas discretas e para vairáveis
numéricas agrupadas em classes.
A mediana de uma lista de n elementos (ou dados) ordenadamente dispostos (em ordem
crescente ou decrescente) é o valor que ocupa a posição central, se n é ímpar e, se n for par, a
mediana é a média aritmética dos dois termos centrais.
214
Projeto Entre Jovens
Exemplo 1: João obteve nota final igual a 58 pontos em matemática. Essa nota é obtida
calculando-se a média aritmética entre as quatro notas bimestrais, cada uma valendo 100
pontos. João está em recuperação em matemática, pois a nota final mínima para aprovação
é 60 pontos. A nota obtida na recuperação, que vale 100 pontos, substitui a menor nota
bimestral do aluno, que no caso de João é 54 pontos. Qual a menor nota que João poderá
obter na recuperação para que venha a ser aprovado em matemática?
Solução:
João obteve quatro notas bimestrais: n1, n2, n3 e 54, sendo que 54 é a menor delas.
n + n + n3 + 54
Como a média final de João foi 58 pontos, isso significa que 1 2
= 58 .
4
Seja x a menor nota que João poderá obter na recuperação para ser aprovado. Então essa nota
x deve ser tal que, após substituir a nota 54, deve tornar a média das notas igual a 60. Assim
devemos ter
De
n1 + n2 + n3 + x
= 60 .
4
n + n + n3 54
n1 + n2 + n3 + 54
+
=
58 , ou seja,
= 58 podemos concluir que 1 2
4
4
4
n1 + n2 + n3
54 232 − 54 178
.
=58 −
=
=
4
4
4
4
Por outro lado, de
Substituindo
n1 + n2 + n3 + x
n + n + n3 x
60 .
= 60 temos 1 2
+ =
4
4
4
n1 + n2 + n3 178
=
nessa última igualdade obtemos:
4
4
178 x
+ =
60
4
4
178 + x =
240 ou x = 62 .
Exemplo 2: Em uma classe de 20 rapazes e 30 moças, foi realizada uma avaliação. A média
das notas das moças foi 8 e a média das notas dos rapazes foi 7. Qual foi a média das notas
da classe?
Solução:
Para se calcular a média das notas da classe, é necessário conhecer a soma de todas as notas
dessa classe, que tem 50 (= 20 + 30) alunos.
Se eram 20 rapazes e a média de suas notas foi 7, então a soma de todas as notas dos rapazes
140 . Por outro lado, se eram 30 moças e a média de suas notas foi 8, então
foi igual a 20 × 7 =
240 .
a soma de todas as notas das moças foi igual a 30 × 8 =
Como a soma de todas as notas foi 380 (= 140 + 240) e a classe tem 50 alunos, a média das
notas dessa classe foi:
215
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
=
x
380
= 7,6 .
50
Um erro muito comum nesse tipo de problema é o aluno responder 7,5 pois simplesmente
calcula a média entre os valores 7 e 8. Esse raciocínio só funcionaria se o número de rapazes e
de moças nessa turma fossem iguais.
Exemplo 3: A média das alturas dos cinco jogadores titulares de um time de basquete é
igual a 1,98 m. O treinador deseja substituir um jogador de modo que a média de altura do
time aumente para, no mínimo, 2 m. Nessa substituição, qual deve ser a diferença mínima,
em centímetros, entre a altura do jogador que entrará e a altura do jogador que sairá?
Solução:
Denotando por S a soma das alturas dos cinco jogadores titulares em centímetros tem-se:
S
= 198 ⇒ S= 990 . Agora, denotando por y e x as alturas dos jogadores que vão entrar e
5
sair, respectivamente, devemos ter, no mínimo:
S − x)
+y
(
=
5
200 ⇒ 990 + (
y − x)
= 1000 ⇒ y − x= 10 .
Portanto, a diferença entre as alturas do jogador que entrar e do jogador que sair deve ser, no
mínimo, igual a 10 cm.
Exemplo 4: Um professor fez o levantamento das notas de uma turma com 20 alunos,
obtidas em uma prova cujo valor era 10 pontos. Veja o gráfico abaixo.
Freqüência
5
4
3
2
1
0
345
6789
Notas
Depois de confeccionado esse gráfico, o professor percebeu ter errado a nota de um dos
alunos e verificou que, feita a correção dessa nota, a média das notas dessa turma aumentaria
em 0,2 ponto e a moda passaria a ser 7 pontos. Qual passou a ser média das notas após a
correção? Qual era o valor da nota que estava errada?
216
Projeto Entre Jovens
Solução:
Note que, antes da correção, a soma das notas era:
1× 3 + 2 × 4 + 4 × 5 + 4 × 6 + 4 × 7 + 3 × 8 + 2 × 9 =
125 e, sendo 20 alunos nessa turma, tem125
x = 6,25 . Com o acréscimo de 0,2 ponto na média, essa
se que a média das notas era=
20
passou a ser 6,25+0,2 = 6,45. Entretanto, o acréscimo de 0,2 ponto na média corresponde a um
125
125 4 125 + 4
+ 0,2 =
+
=
. Com
acréscimo de 4 pontos na soma das notas pois: x + 0,2 =
20
20 20
20
isso, a nota que foi corrigida, sofreu uma alteração de 4 pontos para cima. Se com essa correção
a moda passou a ser 7, é porque a nota 7 passou a ser a mais frequente. Assim, a nota que
sofreu a correção passou a valer 7. Como a correção foi de 4 pontos, a nota que estava errada
3
valia 7 − 4 =.
217
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Resolva as atividades propostas abaixo.
Atividade 1: João obteve nota final igual a 58 pontos em matemática. Essa nota
é obtida calculando-se a média aritmética entre as quatro notas bimestrais, cada
uma valendo 100 pontos. João está em recuperação em matemática, pois a nota
final mínima para aprovação é 60 pontos. A nota obtida na recuperação, que vale
100 pontos, substitui a menor nota bimestral do aluno, que no caso de João é 54
pontos. Qual a menor nota que João poderá obter na recuperação para que venha
a ser aprovado em matemática?
Atividade 2: Em uma classe de 20 rapazes e 30 moças, foi realizada uma avaliação.
A média das notas das moças foi 8 e a média das notas dos rapazes foi 7. Qual foi
a média das notas da classe?
Atividade 3: A média das alturas dos cinco jogadores titulares de um time de
basquete é igual a 1,98 m. O treinador deseja substituir um jogador de modo que
a média de altura do time aumente para, no mínimo, 2 m. Nessa substituição,
qual deve ser a diferença mínima, em centímetros, entre a altura do jogador que
entrará e a altura do jogador que sairá?
Atividade 4: Um professor fez o levantamento das notas de uma turma com 20
alunos, obtidas em uma prova cujo valor era 10 pontos. Veja o gráfico abaixo.
Freqüência
5
4
3
2
1
0
3
4
5
6
7
8
9
Notas
Depois de confeccionado esse gráfico, o professor percebeu ter errado a nota de
um dos alunos e verificou que, feita a correção dessa nota, a média das notas dessa
turma aumentaria em 0,2 ponto e a moda passaria a ser 7 pontos. Qual passou a
ser média das notas após a correção? Qual era o valor da nota que estava errada?
Atividade 5: Um aluno compara as notas das 6 provas de Português que fez em
2004 e de outras 6, da mesma matéria, que fez em 2005. Ele repara que em 5
provas ele obteve as mesmas notas nos dois anos. Na outra prova a nota foi 86 em
2004 e 68 em 2005. Em 2004 a média aritmética das seis notas foi 84. Qual foi a
média em 2005?
218
Projeto Entre Jovens
Atividade 6: O professor de Matemática aplicou em sua turma um teste com
cinco questões de múltipla escolha onde cada questão valia um ponto. A nota de
cada aluno no teste foi a soma das notas das questões por ele acertadas. Após
corrigir o teste, o professor produziu a seguinte tabela, contendo a porcentagem
de acertos em cada questão:
Questão
1
2
3
4
5
% de acertos
50%
40%
60%
20%
10%
Qual foi a média das notas nesse teste?
Atividade 7: Na sala de Pedrinho foi aplicada uma prova de matemática com 5
questões de múltipla escolha valendo um ponto cada. A distribuição dessas notas
obtidas encontra-se representada no gráfico abaixo.
Quantidade de alunos
Distribuição de notas na prova de matemática
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
Notas
Pedrinho que não pôde comparecer na escola no dia da aplicação dessa prova, a
realizou no mês seguinte. Qual a nota mínima que Pedrinho deverá tirar para que
a média das notas dessa turma aumente?
Atividade 8: A média de idade dos 24 professores da “Escola Ensinar” é 40
anos. Rita, que tem 35 anos de idade, acaba de ser contratada como mais uma
professora dessa escola. Qual a nova média de idade dentre os professores da
“Escola Ensinar”?
219
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Atividade 9: Uma empresa fez um levantamento em todos os seus setores
determinando o percentual de mulheres em cada setor da empresa. O resultado
desse levantamento é mostrado no gráfico abaixo. Em quantos desses setores o
percentual de homens é maior que o percentual de mulheres?
Setror 7
Setor 6
Setor 5
Setor 4
Setor 3
Setor 2
Setor 1
0
20
40
60
80
Atividade 10: Os resultados de uma pesquisa das cores de cabelo de 1200 pessoas
são mostrados no gráfico abaixo. Quantas pessoas possuem o cabelo preto?
Atividade 11: A fim de melhorar a aparência, 175 mil brasileiros enfrentaram
anestesia, bisturi e o desconforto de um pós-operatório no ano de 2000. Esse
desejo coletivo de conseguir um corpo mais bonito levou nosso pais ao segundo
lugar no ranking dos campeões em cirurgias estéticas, só perdendo para os Estados
Unidos”. Fonte: Revista Saude!,out. 2002.
O gráfico seguinte apresenta o total das cirurgias plásticas mais realizadas, no
Brasil, em 2000.
220
Projeto Entre Jovens
a) Quantas cirurgias para redução ou aumento de mamas foram realizadas nesse
ano?
b) No gráfico, qual e o ângulo central do setor circular que representa as cirurgias
de face?
Atividade 12: Uma prova continha cinco questões, cada uma valendo 2 pontos.
Em sua correção, foram atribuídas a cada questão apenas as notas 0 ou 2, caso a
resposta estivesse, respectivamente, errada ou certa. A soma dos pontos obtidos
em cada questão forneceu a nota da prova de cada aluno. Ao final da correção,
produziu-se a seguinte tabela, contendo a porcentagem de acertos em cada
questão:
Qual a média das notas da prova?
Atividade 13: Em certa eleição foram obtidos os seguintes resultados:
Qual o número de votos obtidos pelo candidato vencedor?
221
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Atividade 14: Observe os gráficos a seguir, que representam, em reais, as vendas
e os lucros anuais de uma empresa no período de 1990 a 1995.
De acordo com os gráficos, calcule:
a) a média, em milhões de reais, das vendas dessa empresa no período considerado;
b) a razão entre o lucro e a venda em 1992.
222
Projeto Entre Jovens
Atividade 15: Num curso de inglês, a distribuição das idades dos alunos e dada
pelo gráfico seguinte.
Com base nos dados do gráfico, determine:
a) o número total de alunos do curso.
b) o número de alunos com no mínimo 19 anos.
223
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Anotações
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Guia do Tutor Matemática – Volume 2
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Projeto Entre Jovens
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Guia do Tutor Matemática – Volume 2
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Projeto Entre Jovens
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229
MATRIZ DE REFERÊNCIA DE
MATEMÁTICA DO SAEB PARA A
3ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO
MATRIZ DE REFERÊNCIA*
MATEMÁTICA - 3ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO
TEMAS E SEUS DESCRITORES
I. Espaço e Forma
D1
Identificar figuras semelhantes mediante o reconhecimento de relações de proporcionalidade.
D2
Reconhecer aplicações das relações métricas do triângulo retângulo em um problema que envolva figuras planas
ou espaciais.
D3
Relacionar diferentes poliedros ou corpos redondos com suas planificações ou vistas.
D4
Identificar a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de poliedros expressa em um problema.
D5
Resolver problema que envolva razões trigonométricas no triângulo retângulo (seno, cosseno, tangente).
D6
Identificar a localização de pontos no plano cartesiano.
D7
Interpretar geometricamente os coeficientes da equação de uma reta.
D8
Identificar a equação de uma reta apresentada a partir de dois pontos dados ou de um ponto e sua inclinação.
D9
Relacionar a determinação do ponto de intersecção de duas ou mais retas com a resolução de um sistema de
equações com duas incógnitas.
D10
Reconhecer, dentre as equações do 2o grau com duas incógnitas, as que representam circunferência.
II. Grandezas e Medidas
D11 Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas.
D12 Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas.
D13 Resolver problema envolvendo a área total e/ou volume de um sólido (prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera).
III. Números e Operações/Álgebra e Funções
D14
Identificar a localização de número reais na reta numérica.
D15
Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas.
D16
Resolver problema que envolva porcentagem.
D17
Resolver problema envolvendo equação do 2º grau.
D18
Reconhecer expressão algébrica que representa uma função a partir de uma tabela.
D19
Resolver problema envolvendo uma função do 1º grau.
D20
Analisar crescimento/decrescimento, zeros de funções reais apresentadas em gráficos.
D21
Identificar o gráfico que representa uma situação descrita em um texto.
D22
Resolver problema envolvendo P.A./P.G. dada a fórmula do termo geral.
D23
Reconhecer o gráfico de uma função polinomial de 1º grau por meio de seus coeficientes.
D24
Reconhecer a representação algébrica de uma função do 1º grau dado o seu gráfico.
D25
Resolver problemas que envolvam os pontos de máximo ou de mínimo no gráfico de uma função polinomial
do 2º grau.
D26
Relacionar as raízes de um polinômio com sua decomposição em fatores do 1º grau.
D27
Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função exponencial.
D28
Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função logarítmica, reconhecendo-a como inversa da
função exponencial.
D29
Resolver problema que envolva função exponencial.
D30
Identificar gráficos de funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente) reconhecendo suas propriedades.
D31
Determinar a solução de um sistema linear associando-o a uma matriz.
D32
Resolver problema de contagem utilizando o princípio multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjo
simples e/ou combinação simples.
D33
Calcular a probabilidade de um evento.
IV. Tratamento da Informação
D34
Resolver problemas envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos.
D35
Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos que as representam e vice-versa.
* Foi utilizado a Matriz de Referência do SAEB para Matemática - 3º ano do Ensino Médio.
REFERÊNCIAS
BIBLIOGRÁFICAS
Projeto Entre Jovens
BARBOSA, J. L. M. Geometria Euclidiana Plana. 3ª edição. Coleção Professor de Matemática.
SBM, Rio de Janeiro, 2006.
BOYER, C. B. História da Matemática. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher,
1974.
LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Vol 1,2 e 3. Coleção Professor de
Matemática. SBM, Rio de Janeiro, 1996.
LIMA, Elon Lages. Coordenadas no Plano. Coleção Professor de Matemática. SBM, Rio de
Janeiro, 1992.
LIMA, Elon Lages et al. Temas e Problemas Elementares. 2ª edição. Coleção Professor de
Matemática. SBM, Rio de Janeiro, 2006.
LIMA, Elon Lages et al. Temas e Problemas. 2ª edição. Coleção Professor de Matemática.
SBM, Rio de Janeiro, 2003.
CARMO, M. P. et al. Trigonometria e Números Complexos. 3ª edição. Coleção Professor de
Matemática. SBM, Rio de Janeiro, 2005.
MORGADO, A. C. et al. Análise Combinatória e Probabilidade. 6ª edição. Coleção Professor
de Matemática. SBM, Rio de Janeiro, 2004.
REZENDE, E. Q. F et al. Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas. São
Paulo: Editora da UNICAMP, 2000.
SANTOS, J. P. O. et al. Introdução à Análise Combinatória. 4ª edição. Editora Ciência
Moderna. Rio de Janeiro, 2007.
237
RESPOSTAS
Projeto Entre Jovens
Oficina 11: Função Quadrática.
Atividade
Resposta
2
02
5
1
1
3

f ( x) = 2 x −  − , − , 1 e .
8
4
4 8

05
Não é possível
08
a+ b
4
09
55 mil e 45 mil reais
10
−∞, −1]
(
3,4 ]
a)  − ,  , b) (
−∞, −3]
[
5, +∞ )
, c) (
11
l ∈(
0,1)
12
14,5 s
 1 1
 3 2
Oficina 12: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo.
Atividade
Resposta
2 5 e
5.
cos a =
5
5
01
sena =
02
R=
03
32,5 m.
04
64º.
05
20 m.
06
27 m.
07
d ≅ 2062 m, h = 540 m.
hsenq .
1− senq
08
82 .
09
sena =
10
a) PQ = 4 3 dm, sen BPQ =
.
13
b) 90º e 120 voltas.
3,
4
3
cos a = , tga = .
5
5
4
13
241
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Oficina 13: Funções Trigonométricas
Atividade
01
Aproximadamente 6.409 km.
02
p 7p
11p .
,
e
4 12
12
04
5.
05
a)
06
5.
07
a) V
08
09
10
242
Resposta
b)
b) V
c) F
d) F
e) F
.
.
 3

1
a) []
−1,3
b)  − , − 
2 2

f) V
.
g) V
Projeto Entre Jovens
Oficina 14: Aplicações da Trigonometria
Atividade
01
Resposta
d= k ⋅ tgb ou aproximadamente 61 m.
ou aproximadamente 42 m.
02
03
h = 1,6 + d ⋅ tga ou aproximadamente 4,85 m.
04
h=
05
AP =
06
PQ
=
07
k ⋅ tga ± k 2 ⋅ tg2a + 4tgb ⋅ tga ou aproximadamente 47 m.
2
AB ⋅ senb ou aproximadamente 1 km.
seng
ou aproximadamente 906 m.
AP 2 + AQ2 − 2 ⋅ AP ⋅ AQ ⋅ cos (
a − g)
d ⋅ tga ⋅ tgb
2
2
tg a + tg b − 2 ⋅ tga ⋅ tgb ⋅ cos q
.
08
Aproximadamente: 6676 m ou 2696 m.
09
a) arc sen  sen110º 
10
arc sen 0,575 3 .
8
9


b) Aproximadamente 761 metros.
( )
243
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Oficina 15: Área de Figuras Planas.
Atividade
244
Resposta
01
5 cm².
02
110 m a partir de A.
03
20 m.
04
40 m².
05
3.400 m².
06
0,25 cm².
07
9 m².
08
143 m².
09
121 cm².
10
4 cm.
11
R = 25 cm², S = 20 cm², T = 10 cm² e U = 5 cm².
12
a2
.
8 3+4
13
4r e 2r
14
2 m².
15
r 2  3 3 2p 
−

.
4  2
3 
3 +1 .
()
Projeto Entre Jovens
Oficina 16: Sólidos Geométricos.
Atividade
Resposta
01
5,6 × 4,7 × 2,0 cm³
02
a) 20
03
20.
04
E
05
C
06
4
07
a) 2
08
a) 96.000 litros
09
1350 ml.
10
3 m.
11
81p cm³.
12
128p 2
≅ 189 cm³.
3


b) 500 ⋅ 125 −
32 
3
p cm
3 
b) 3
b) 2780
245
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Oficina 17: Noções de Geometria Analítica.
Atividade
01
x −2 +(
y + 3)
=
25 .
()
02
Uma.
03
x+y=
5.
04
2x + y =
−1.
05
São paralelas.
07
2
2
2
2
5 
5  25

.
 x + 2 +  y − 2 =
2

 

08
46,6 m.
09
1.
10
246
Resposta
y =− x + 2 .
Projeto Entre Jovens
Oficina 18: Contagem.
Atividade
Resposta
01
m× n.
02
9.
03
384.
04
648.
05
30.
06
a) 24
07
328.
08
n!
09
72.
10
8640.
11
35.
12
b) 18
c) 6
d) 4
n!
.
!
p!(
n − p)
13
a) 60
14
60.
15
120.
16
220 e 280.
17
24.
18
5!)
(
.
19
15.
20
263 ⋅ 104 .
21
a) 8! b) 12 ⋅ 6! c) 2 ⋅ 4!⋅ 4! d) 6! e) 3!⋅ 6! f) 6!
22
a) 8!− 2 ⋅ 7!
23
a) 81º
24
72.
25
52 ⋅ 104 .
b) 105
2
b) 2 ⋅ 7!− 4 ⋅ 6!
b) 46.721
247
Guia do Tutor Matemática – Volume 2
Oficina 19: Probabilidade.
Atividade
01
Mesma chance de conseguir 1 ou 6 pontos.
02
Maior chance de conseguir 5 pontos.
03
Deve aproveitar o segundo lançamento.
04
1 1 e 1.
2, 3 6
05
25 .
36
06
1, 1 e 1.
3 2 6
07
6,63%
08
7,48%
09
48,22%
10
11
12
13
14
248
Resposta
2 .
11
1 .
15
1.
3
1.
9
5 .
18
15
Pedro e João têm a mesma chance de vitória.
16
Um deve ficar com R$ 17,50 e o outro com R$ 2,50.
17
1 .
10
18
a) 21 b)
5
c) 0.
21
Projeto Entre Jovens
Oficina 20: Tratamento da Informação.
Atividade
Resposta
01
62.
02
7,6.
03
10 cm.
04
6,45 e 3.
05
81.
06
1,8.
07
3.
08
39,8.
09
5.
10
288.
11
a) 52.500
12
4,4.
13
182.
14
a) 3 milhões/ano
15
a) 20
b) 72º
b)
1
10
b) 8
249