Leis de Newton O fenômeno mais fundamental que

Leis de Newton
O fenômeno mais fundamental que podemos observar na natureza é o movimento. A
Terra e os outros planetas ao redor do Sol, um avião voando no ar, um carro viajando
em uma rodovia, e tantos outros tipos de movimento nos mostram que este fenômeno é
influenciado e até controlado pela interação existente entre o corpo e a sua vizinhança.
As formas pelas quais os objetos interagem uns com os outros são muito variadas. As
coisas caem porque são atraídas pela Terra. Para que as coisas não caiam é preciso
segurá-las, o que chamamos de sustentação. A água exerce um tipo de sustentação
quando impede que objetos afundem. No ar, o pássaro bate asas e consegue, nesta
interação, vencer a atração exercida pela Terra. Na natureza existem quatro tipos
fundamentais de interação:
•
•
•
•
Gravitacional
Eletromagnética
Forte
Fraca
As duas primeiras fazem parte do nosso dia-a-dia, e são interações relacionadas à
distância entre os corpos (inversamente proporcionais ao quadrado da distância entre os
corpos). As duas últimas manifestam-se a distâncias pequenas, onde os efeitos quânticos
são significativos e não possuem formulação matemática como nos dois primeiros
casos. A interação forte é responsável por mantém prótons e nêutrons unidos no interior
do átomo, e a interação fraca é aquela onde participam os neutrinos, partículas sem
cargas e com massa muito pequena.
Independentes da natureza da interação existem diversas regras, ou princípios gerais,
que se aplicam a todos os tipos de movimento. O conjunto formado por tais princípios
constitui a base da teoria denominada mecânica. Foi Isaac Newton, um físico inglês do
século XVIII, que conseguiu elaborar leis que permitem lidar com essa variedade de
interações, descrevendo-as como forças que agem entre objetos. Cada interação
representa uma força diferente, que depende das diferentes condições em que os objetos
interagem. Mas todas obedecem aos mesmos princípios elaborados por Newton, e que
ficaram conhecidas como leis de Newton. Estas Leis são baseadas em estudos
experimentais, são ditas fundamentais, pois não podem ser deduzidas eu demonstradas a
partir de outros princípios, formam a base da mecânica clássica e não são leis
universais, pelo fato de não atuarem em todas as regiões de movimento.
Primeira Lei de Newton
Dizemos que um corpo está em movimento quando sua posição, medida com relação a
outro corpo, varia no tempo. Quando sua posição é constante (não varia) no tempo, o
objeto é dito em repouso. Desta forma, movimento e repouso são conceitos relativos,
que dependem da escolha de um referencial.
Para o caso mais simples, de movimento unidimensional. Um objeto em repouso tem
sua função, que descreve o movimento, dada por:
(1)
onde C é uma constante.
Quando o objeto está se movendo uniformemente, a taxa de variação da posição
(deslocamento) do objeto define a velocidade do movimento. A unidade de
deslocamento e velocidade no Sistema Internacional (SI) são respectivamente, o metro
(m) e o metro por segundo (m/s).
(2)
onde: x0 e t0 representam a posição e o tempo iniciais e v a velocidade do movimento do
objeto. Assim:
∆
(3)
∆
Antes da época de Galileu a maioria dos filósofos pensava que para um corpo mover-se
em linha reta com velocidade constante fosse necessário algum agente externo
empurrando-o continuamente, caso contrário ele iria parar. Foi difícil provar o contrário
dada à necessidade de livrar o corpo de certas influências, como o atrito. Foi Galileu que
afirmou ser necessária uma força para modificar a velocidade de um corpo, mas
nenhuma força é exigida para manter essa velocidade constante. Ele estabeleceu que na
ausência de uma força um objeto móvel deverá continuar se movendo. A tendência das
coisas de resistir a mudanças no seu movimento foi o que Galileu chamou de inércia.
Newton refinou a idéia de Galileu e formulou sua primeira lei, convenientemente
chamada de LEI DA INÉRCIA.
Newton enunciou que: “Todo objeto permanece em seu estado de repouso ou
movimento uniforme numa reta, a menos que seja obrigado a mudar seu estado devido
às forças imprimidas sobre ele.”
A palavra chave nesta lei é “permanece”: um objeto permanece fazendo o que for, a
menos que uma força seja exercida sobre ele. Se ele está em repouso, ele permanece no
estado de repouso e se estiver se movendo, ele permanece se movendo, sem fazer curvas
ou alterar sua velocidade.
Se estivermos tratando de um caso onde diversas forças atuam sobre corpo, o
movimento do objeto sofrerá alterações somente se a força resultante (soma vetorial das
forças que atuam simultaneamente no corpo) for diferente de zero.
0
(4)
Como a força é uma grandeza vetorial, a direção e o sentido em que são aplicadas
produzem efeitos diferentes sobre o objeto. A unidade de força no Sistema Internacional
(SI) é o Newton (N).
A massa de um corpo representa a quantidade de matéria que constitui o corpo. Ela é
também a medida da inércia ou lerdeza que um objeto apresenta em resposta a qualquer
esforço feito para movê-lo, pará-lo ou alterar, de algum modo, seu estado de
movimento. A unidade de massa no Sistema Internacional (SI) é o quilograma (kg).
Segunda Lei de Newton
A maioria dos movimentos que observamos sofre alterações que são resultados de uma
ou mais forças aplicadas. Toda força resultante, seja ela de uma única fonte ou de uma
combinação de fontes, produz aceleração, que representa a taxa de variação do
movimento ( ). A unidade de aceleração no Sistema Internacional (SI) é o metro por
segundos ao quadrado (m/s2).
A segunda lei de Newton nos fornece a relação entre a aceleração, a força resultante e a
inércia do corpo. “A resultante das forças que atuam sobre um corpo é igual ao produto
da sua massa pela aceleração com a qual ele irá se movimentar”.
Com unidades apropriadas para , m e , a proporcionalidade pode ser expressa como
uma equação exata:
(5)
A formulação original de Newton para a segunda lei está relacionada com o que ele
chamou de “quantidade de movimento”, também conhecido como momento linear
(medida que se origina conjuntamente da velocidade e a massa).
(6)
Se a massa não varia com o tempo:
(7)
Assim:
(8)
Que é a forma diferencial da segunda lei de Newton. A força resultante atuando sobre o
objeto é igual à variação temporal do momento linear.
Ao analisar situações mediante a segunda lei de Newton, é muito útil desenharmos um
diagrama que mostre o corpo em questão como uma partícula, e todas as forças que
atuam sobre ela. Tal diagrama é chamado de diagrama do corpo livre e é um primeiro
passo essencial tanto na análise de um problema como na visualização da situação
física.
Terceira lei de Newton
Uma força é apenas um aspecto da interação mútua entre dois corpos. Verifica-se
experimentalmente que quando um corpo exerce uma força sobre outro, o segundo
sempre exerce uma força no primeiro. Ou seja, há um par de forças envolvidas. Assim:
Newton enunciou que: “Quando um corpo exerce uma força num segundo corpo, este
último reagirá sobre o primeiro com uma força de mesma intensidade e sentido
contrário”.
Consideremos um corpo sobre uma superfície horizontal plana e lisa, e preso a esse
corpo está uma vareta rígida.
Uma força
é aplicada na vareta, essa força se transmite até o corpo de modo que a
vareta exerce uma força
sobre o corpo e esse corpo reage à ação da vareta exercendo
sobre ela uma força
com mesmo módulo que mas com sentido contrário. e
são forças de ação e reação.
(9)
Podemos escrever a terceira lei de Newton na forma diferencial
;
(10)
Da equação (9), temos que:
(11)
0
(12)
ou seja, o movimento do sistema se conserva a cada instante, inclusive durante a
colisão.
Se considerarmos um sistema tridimensional de partículas, formado por mais de duas, a
terceira lei de Newton pode ser aplicada de duas formas:
. ...
i
j
Se
é a força que a partícula j exerce sobre a partícula i, a terceira lei de Newton nos
diz que:
(13)
A equação (13) exige apenas que as forças tenham mesmo módulo e sentidos contrários.
Dizemos então que este sistema obedece a 3ª Lei de Newton na forma fraca.
Se definirmos o vetor coordenada relativa entre as partículas:
(14)
As forças de interação entre as partículas i e j, dirigidas ao longo da linha que une as
duas partículas, obedecem a terceira lei de Newton na forma forte, onde além de terem
os mesmos módulos e sentidos opostos estão obrigatoriamente na direção da linha que
une as partículas.
Alguns comentários devem ser feitos com relação a essas leis, para que sejam
claramente interpretadas:
I.
II.
A 1a Lei, também chamada de Lei da Inércia, corresponde à apresentação do
referencial inercial. São referenciais não acelerados, onde só atuam forças de
contato, as forças ditas fictícias (provenientes da aceleração) não existem nesses
referenciais. Um referencial que se move com velocidade constante referente às
estrelas distantes é uma boa aproximação de um referencial inercial. Para nossa
finalidade podemos considerar a Terra como um referencial inercial, assim como
qualquer outro sistema de referência acoplado a ela.
A 2a Lei não nos diz qual a natureza da interação que a partícula esta sujeita,
apenas relaciona a resultante das forças atuando sobre ela com a variação do
movimento. Desta forma, a 2a Lei de Newton não é auto-suficiente para
descrever o movimento. A natureza da força é uma informação adicional,
podendo ser gravitacional, magnética, elétrica, etc.
N
∑F = F + F
i =1
i
1
2
+ ... + FN = m
dv
.
dt
(15)
Para que a relação (15) possa ser usada, é necessário o conhecimento da
expressão de todas as forças.
III.
Na equação (5) existe uma grandeza inercial que caracteriza o corpo, chamada
massa inercial. No entanto, as massas consideradas numa interação gravitacional
são de outra natureza, são as massas gravitacionais. Mas, no que afirma o
principio da equivalência de Einstein, não existe diferença entre elas
classicamente, pois m não depende da posição nem da velocidade da partícula.
IV.
A segunda lei de Newton é o principio básico da dinâmica, a lei fundamental que
permite determinar a evolução de um sistema na mecânica clássica. Uma
implicação importante é o caráter vetorial da força ( ), assim nos fornece as
forças de diferentes origens que atuam sobre a mesma partícula. O resultado (15)
é conhecido como principio da superposição das forças.
V.
Ingenuamente, poderíamos pensar que, ∑
0, na equação (15) significa
dizer que a 1ª Lei decorre da 2ª Lei. Isso seria afirmar que não são necessárias
três leis, mas apenas duas. Tal afirmação é um erro, pois o fato de dizermos que
o momento linear é constante está inteiramente ligado ao referencial inercial.
Caso o referencial fosse acelerado, o momento continuaria sento constante, mas
o referencial não seria inercial.
VI.
A 3ª Lei, também conhecida como Lei da Ação e Reação, onde este par de
forças corresponde a interação entre dois corpos, não podendo estar sobre o
mesmo corpo. Devemos lembrar também que ação e reação só existem para
forças de contato. O fato de forças fictícias não possuírem reação é uma
confirmação da importância da 1ª Lei. Se o referencial não é inercial, a 3ª Lei
não será válida para todas as forças existentes.
VII.
As Leis de Newton subentendem que as interações se processam
instantaneamente, e isso não ocorre exatamente. Se considerarmos, por exemplo,
o sistema planetário, onde as massas são muito grandes, e a distância entre os
corpos é também muito grande. Qualquer variação nesta interação levará um
tempo r/c (onde r é a distância entre os planetas e c é a velocidade da luz) para
ser sentida. Este fato nos faz ver que as Leis de Newton são aplicadas
corretamente em certa região com as seguintes características:
a. Massas grandes, se comparadas à massa do elétron.
b. Velocidades baixas, se comparadas com a velocidade da luz.
Isto define as seguintes regiões de domínio em física:
v << c
Domínio Newtoniano
Teoria Quântica não
relativística
v∼c
Teoria relativística
(Einstein)
Teoria Quântica
relativística
m >> me
m ∼ me
Aplicações das leis de Newton
1. Força Peso
Para um corpo sobre ou próximo da superfície da Terra, duas grandezas estreitamente
relacionadas são a força gravitacional exercida no corpo pela Terra e o peso do corpo.
Quando um corpo se encontra em queda livre a resultante das forças que atuam sobre o
corpo é dada por:
Como a força de resistência do ar é desprezível, dependendo das dimensões do corpo. A
força resultante no movimento de queda livre é:
(21)
A experiência nos mostra que, num determinado local próximo a superfície da Terra,
qualquer objeto em queda livre tem a mesma aceleração; é independente da massa do
corpo, chamada de aceleração da gravidade. Assim, a força gravitacional coincide com a
força peso, medida em um referencial inercial.
2. Forças de contato: força normal e força de atrito
Conhecendo o estado de repouso ou de movimento de um corpo podemos determinar as
forças exercidas sobre ele. Em particular podemos determinar as características das
forças de contato entre superfícies lisas de dois corpos rígidos. O método envolve a
decomposição de uma força de contato em duas forças, uma paralela à superfície de
contato, e a outra perpendicular, e então cada uma delas é considerada como uma força
distinta. A força paralela à superfície é denominada força de atrito, e a força
perpendicular denominam-se força normal.
a. Força Normal
Tomemos a situação do corpo de massa m em repouso sobre uma superfície horizontal.
As únicas forças exercidas no corpo são o seu peso e a força de contato exercida pela
superfície, força Normal ( ). A força exercida pela superfície suporta o corpo,
mantendo-o em repouso. Como a aceleração do corpo é numa, a segunda lei de Newton
nos diz que:
0
Assim:
0
(22)
A força de contato é igual e oposta ao peso do bloco - é a força ou reação normal da
superfície de contato.
b. Força de Atrito Cinético
Vejamos agora o caso de um bloco de massa m puxado a velocidade constante ao longo
de uma superfície horizontal.
é a força peso do bloco, e é a força de
A força é a força aplicada ao bloco
contato exercida pela superfície. Esta força possui duas componentes: a força normal
e a força de atrito cinético .
Novamente, se considerarmos o bloco em repouso, a força resultante será nula.
Portanto:
∑
0e∑
e
0
(23)
Experiências deste tipo mostram que:
(24)
onde a constante de proporcionalidade
é uma grandeza sem dimensões denominada
coeficiente de atrito cinético. Devemos observar que a equação (24) representa apenas
valores em módulo.
Experimentalmente verifica-se ainda que:
I. A força de atrito cinético depende da natureza e condição das duas
superfícies de contacto. Usualmente 0,1 <
< 1,5;
II. A força de atrito cinético é praticamente independente da velocidade;
III. A força de atrito cinético é praticamente independente da área da
superfície de contacto.
c. Força de Atrito Estático
Entre dois corpos sem movimento relativo também pode existir uma força de atrito; é a
força de atrito estático, . A força aplicada e a força de atrito estático exercida pela
superfície são iguais e opostas. A força de atrito estático máxima, , á ocorre quando
o bloco está na iminência de se deslocar. Experimentalmente mostra-se que , á
µ , onde a constante de proporcionalidade μ é o coeficiente de atrito estático.
Analogamente a μ , o coeficiente μ depende da natureza e condição das duas
superfícies de contato, e é praticamente independente da área da superfície de contato.
3. Tensão e Tração
Corpo suspenso por um fio: duas forças atuam sobre o corpo; a força peso e a tensão ( )
– força que o fio exerce sobre o corpo.
Corpo puxado, sem/com atrito: forças que atuam sobre o corpo; força peso, normal,
força de tração e força de atrito, estático ou cinético (quando considerado).
4. Força elástica
Corpo suspenso por uma mola: sobre o corpo atuam a força peso e a força elástica que,
para pequenas deformações é dada por:
∆
Onde K é a constante da mola.
(25)