Guia 3

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Guia de aula
2. Luz e matéria (continuação)
2.4. A radiação do corpo negro e a teoria de Planck
Um corpo ou um objecto quando aquecido tanto absorve como emite luz
espontaneamente.
As características dessa radiação dependem essencialmente da temperatura e das
propriedades do corpo.
A radiação térmica tem uma distribuição contínua de comprimentos de onda a partir de
todas as partes do espectro. A Física Clássica explica esse fenómeno através da vibração
térmica dos átomos e moléculas, que provoca a aceleração de cargas, emitindo radiação.
No final do século XIX verificou-se que essa explicação era inadequada. Isto foi
observado no estudo da distribuição dos comprimentos de onda da radiação emitida por
um corpo ideal chamado corpo negro. Corpo negro é um meio que emite e absorve
todas as cores, espontaneamente.
Temperatura
Figura 3.1. Exemplo do Corpo negro. Após algumas reflexões toda a radiação incidente
é absorvida. Depois ele emite essa radiação.
1
Figura 3.2. Dados experimentais para a distribuição de energia da radiação do corpo
negro em três temperaturas.
Modelo clássico

Lei de Stefan : I  AeT 4
A potência total da radiação emitida aumenta com a temperatura (a área da curva
aumenta com T). Para o corpo negro a emissividade e = 1.

Lei de Wien
O pico de distribuição dos comprimentos de onda se desloca para os comprimentos de
ondas menores à medida que a temperatura se eleva. Este deslocamento obedece à
seguinte relação, denominada lei de deslocamento de Wien: máx T  2.898  103 mK,
onde máx é o comprimento de onda para o máximo da curva e T é a temperatura
absoluta do corpo que emite radiação.

Fórmula Rayleigh-Jeans
Lord Rayleigh usou as teorias clássicas do electromagnetismo e da termodinâmica para
2ckT
mostrar que a distribuição espectral de um corpo negro deveria ser: I 
4
Para comprimentos de ondas grandes esta equação se ajusta aos resultados
experimentais, mas para os comprimentos de onda curtos há uma discordância muito
grande entre esta teoria e a experiência. Esta discordância é chamada de catástrofe do
ultravioleta.
2
Figura 3.3. Catástrofe do ultravioleta. Comparação dos resultados experimentais com a
curva prevista classicamente para a distribuição de energia da radiação do corpo negro.
Teoria de Planck
Foi Planck, em 1900 (prémio Nobel em 1918), que resolveu o problema. Ele obteve
uma equação teórica que concordava com os resultados experimentais para todos os
comprimentos de onda. Ele imaginou que a radiação no corpo negro era emitida e
absorvida por osciladores presentes na superfície do corpo negro e relacionados com às
cargas dentro das moléculas.
A energia do oscilador só pode tomar determinados valores. Assim:
En  nhf
onde n é um inteiro positivo, f é a frequência de oscilação e h é a constante de Planck e
vale 6.63  10 34 Js. Como a energia só pode tomar certos valores dizemos que ela é
quantizada. Cada valor corresponde a um estado quântico.
Os osciladores emitem ou absorvem energia em unidades discretas. A fazerem isso
realizam uma transição de um estado para outro.
A quantidade de energia emitida por um oscilador é E  hf , que é o quantum
fundamental de energia.
Utilizando a estatística de Boltzmann, Planck obteve a seguinte equação para a
2c 2 h 1
intensidade da radiação: I 
.
5 e hc kT
3
Figura 3.4. Níveis de energia permitidos para um oscilador.
A hipótese por parte de Planck, das energias das partículas que vibram serem discretas,
não encontrava nenhum análogo na época. Era tão radical que, mesmo reproduzindo
exactamente uma observação experimental, não foi aceita até que viesse a ser adoptada
por Einstein em 1905. Einstein usou as suas ideias para explicar o efeito fotoeléctrico.
Esta também é uma primeira indicação de que as regras que valem para nosso mundo
macroscópico não valem para o nível atómico.
Este desenvolvimento marcou o nascimento da teoria quântica.
2.5. Efeito fotoeléctrico
Figura 3.5. Emissão de electrões
Existem alguns métodos de emissão de electrões



Emissão Termiónica: Aplicação de calor permite que os electrões ganhem
energia suficiente para escapar do material.
Emissão Secundária: O electrão do material ganha energia através de
transferência de energia num processo de colisão com uma partícula de alta
velocidade que incide neste material.
Emissão de campo: Um campo eléctrico externo intenso arranca o electrão para
fora do material.
4

Efeito fotoeléctrico: Uma luz incide (radiação electromagnética) sobre o
material e transfere energia para os electrões, permitindo que eles escapem do
material. Chamamos a estes electrões ejectados de fotoeléctrões.
Historicamente a radiação do corpo negro foi o primeiro fenómeno a ser explicado
com um modelo quântico. No final do século XIX, ao mesmo tempo que eram
obtidos dados sobre a radiação térmica, experiências mostravam que se a luz
incidisse sobre certas superfícies metálicas, os electrões eram emitidos dessa
superfície. Descoberto primeiro por Hertz, este fenómeno é chamado de efeito
fotoeléctrico.
Figura 3.6. Efeito fotoeléctrico. Montagem experimental. Quando o tubo escuro está
escuro a leitura do amperímetro é nula. (I=0). Quando incide a radiação
electromagnética I  0 .
Figura 3.7. Potencial de corte vs. f
Observações experimentais
5
A energia cinética dos fotoelectrões é independente da intensidade da luz.

A energia cinética dos fotoelectrões para um dado material emissor, depende
somente da frequência da luz.
Classicamente, a energia cinética dos fotoelectrões deveria aumentar com a intensidade
da luz e não depender da frequência.
OBS: Normalmente os electrões emitidos são chamados fotoelectrões mas são os
mesmos electrões que conhecemos.
Figura 3.8. Efeito fotoeléctrico. Energia cinética vs. f
Observações experimentais

Existe uma frequência de corte para a luz, abaixo da qual nenhum
fotoelectrão é ejectado (relacionado com a função trabalho  do material
emissor).
A existência de uma frequência de corte é completamente inexplicável pela teoria
clássica.
Figura 3.9. Efeito fotoeléctrico. Número de electrões vs. Intensidade da luz.
Observações experimentais
6


Quando fotoelectrões são produzidos, seu número é proporcional a intensidade
da luz.
Também, os fotoelectrões são emitidos quase instantaneamente assim que o
foto cátodo é iluminado, independente da intensidade da luz.
A teoria clássica prediz que, para intensidades extremamente baixas da luz, um tempo
longo deveria passar antes que qualquer electrão pudesse obter energia suficiente para
escapar do foto cátodo. Foi observado, entretanto, que os fotoelectrões eram ejectados
quase que imediatamente.
Einstein propõe uma explicação para o efeito fotoeléctrico
Nessa experiência Einstein sugere que a luz se comporta como uma partícula e não
como uma onda. A luz é um feixe de quanta. A energia da radiação electromagnética é
na realidade transportada em pequenos “pacotes”, chamados fotões (nome actual). Se a
radiação tem uma frequência f (e comprimento de onda  = c/f) cada fotão carrega uma
energia igual a E  hf .
Uma radiação de frequência f terá:


Uma intensidade maior se ela for composta de muitos fotões.
Uma intensidade menor se ela for composta de poucos fotões.
Quando um fotão atinge o cátodo e é absorvido por um electrão, sua energia é passada
ao electrão. Parte da energia é usada para superar a ligação do electrão à superfície, e o
1
que sobra será a energia cinética do electrão K  mv 2 , após ele deixar a superfície:
2
K  hf  (energia de ligação )
A energia mínima com a qual um electrão está ligado ao metal é chamada função
1
trabalho do metal  . Portanto, a energia cinética máxima K máx  mv 2máx do
2
fotoelectrão libertado será:
Kmáx  hf  
O valor de  dependerá do material: Al (4.08 eV), Pt (6.35 eV).
Obs:1 eV= 1.602  10 19 J
7
Teoria de Einstein

Electrões serão ejectados se hf   se f   h . Esta é exactamente a fc
(frequência de corte) observada experimentalmente: f c   h .


Os electrões são emitidos instantaneamente. Os electrões são liberados tão logo
o primeiro fotão é absorvido. Não importa quão pequena seja a intensidade I,
cada fotão tem energia E = hf.
K máx depende apenas da frequência dos fotões e não do seu número.

Luz intensa contém mais fotões, e portanto irá libertar mais electrões.
Figura 3.10.Resumo.
Além dos efeitos comentados nesta aula, a introdução da constante de Planck e a
quantificarão de energia serviu para explicar o efeito Compton, a produção de Raios-X,
e diversos experimentos que passaram a ser realizados para testar as novas hipóteses.
2.6. Efeito Compton
Quando um fotão penetra na matéria, ele pode interagir com um electrão e ser
espalhado. Vamos imaginar que fotões de raios X incidem num alvo e são espalhados
pelos electrões deste alvo. Compton observou que a radiação espalhada (fotões) tinha
comprimento de onda maior (   ) do que a radiação incidente (  ) e que esta variação
no comprimento de onda dependia apenas do ângulo de espalhamento (  ). Este efeito
ficou conhecido como Efeito Compton ou Espalhamento Compton -Espalhamento
de raios X por electrões.
8
Figura 3.11.Efeito Compton
Figura 3.12. Efeito Compton. Resumo.
Mais Einstein

Einstein em 1919 propôs que um fotão de energia E transporta um momento
E hf
linear p  
c
c
Fotões e ondas electromagnéticas?
Qual é o modelo correcto? A luz é uma onda ou uma partícula? Os dois. A luz tem uma
natureza dual. A luz exibe características de onda e de partícula (fotões). Para algumas
experiências o modelo mais adequado é de onda e para outros o de partícula.
2.7. Propriedades ondulatórias das partículas
9
A matéria também tem uma natureza dual. Existem experiências que as partículas se
comportam como ondas.
Em 1923 de Broglie (tese de doutoramento) postulou que: se os fotões têm
características corpusculares e ondulatórias então talvez as outras formas de
matéria também tenham essa natureza. Ele sugeriu que as partículas, como o electrão
por exemplo, teriam também características ondulatórias.
Sugeriu que a energia da partícula poderia ser escrita da forma:
E  h  p
Desenvolvendo essa expressão obtemos:
h  p

h
p
Se a relação é válida para luz também deverá ser válida para a matéria.
p=mv é o momento linear da partícula e  é chamado comprimento de onda de de
Broglie para a partícula. Trabalho publicado em 1924. A sugestão de de Broglie era uma
afirmação a respeito de uma grande simetria na natureza, já que o Universo é
inteiramente composto de matéria e radiação. Esta proposta inicialmente foi considerada
pura especulação.
Em 1927 Davisson-Germer obteve a confirmação experimental da natureza ondulatória
da partícula, ao medir o comprimento de onda do electrão. (Descoberta feita
acidentalmente).
Figura 3.13. Experiência de Davisson-Germer.
10
Davisson-Germer observaram experimentalmente que electrões eram difractados
(muito parecido com os raios X) em cristais de níquel.
Em 1928 Thompson observou figuras de difracção (característica da luz – ondas) de
electrões, ao passar os electrões através de folhas finas de ouro. Desde então têm sido
observados figuras de difracção de outras partículas: átomos de hélio, átomos de H,
neutrões.
Figura 3.14. Difracção de um feixe de electrões por uma folha fina de ouro direita e uma
difracção produzida por raio-X em óxido de zircónio:
Figura 3.15. Em cima: a figura da difracção de neutrões de um reactor nuclear por
um monocristal de cloreto de sódio. Embaixo: A figura da difracção de raio X por
um monocristal de cloreto de sódio.
11

Experimento de fenda dupla para o electrão
C. Jönsson em Tübingen, Alemanha, mostrou em 1961 efeitos de interferência num
experimento de fenda dupla, para electrões, construindo fendas muito estreitas e usando
distâncias relativamente grandes entre estas fendas e a tela de observação. Este
experimento demonstrou que tanto a luz (ondas) como os electrões (partículas) tem o
mesmo comportamento.
Figura 3.16. Difracção da luz.
Figura 3.17. Difração de Electrões
Figura 3.18. Padrão de interferência da luz (à esquerda) e dos electrões (à direita).
12
2.8. A partícula quântica
Temos evidências experimentais de que tanto a luz como as partículas materiais têm
propriedades corpusculares e ondulatórias. O reconhecimento dessa natureza dual leva a
um novo modelo de simplificação, a partícula quântica. Neste modelo, entidades têm
características corpusculares e ondulatórias, e precisamos escolher um comportamento
apropriado – corpuscular ou ondulatório – para compreender um fenómeno em
particular. Para isso vamos demonstrar que podemos construir um modelo, com ondas,
uma entidade que exibe propriedades de uma partícula.
Características


De uma partícula ideal: tem tamanho nulo.
De uma onda ideal: única frequência e um comprimento infinito.
Observamos que a característica essencial da partícula é que ela está localizada no
espaço. Construiremos então uma entidade localizada a partir de ondas infinitamente
longas.
Consideramos inicialmente uma onda.
Sobrepomos a essa onda uma onda de
mesma amplitude e f diferente (mas
próximas). Obtemos o que se chama
batimento. A medida que acrescentamos
mais ondas obtemos ondas pulsadas cada
vez mais espaçadas e mais estreitas.
Observamos que quantas mais ondas com
diferentes f adicionar, melhor consegue-se
localizar a onda e melhor consegue-se
conciliar os dois conceitos: conceito de
onda e conceito de partícula.
O preço a pagar pela melhor
localização é que agora já não temos uma
onda com f (e  ) bem definido, mas sim
um conjunto de ondas – um pacote de
ondas.
Figura 3.19. Onda de matéria: pacote de ondas.
13
2.9. Princípio da incerteza
O princípio da incerteza é um desenvolvimento natural do modelo do pacote de ondas
porque:
A consequência de melhor localização implica em não termos um número de onda k
2

bem definido mas sim um pacote de ondas que se encontra no intervalo k  nk .

Por outras palavras, isto significa que se pretendemos mais precisão na localização
espacial, maior incerteza teremos no conhecimento do número de onda (ou no
comprimento de onda ou no momento linear, porque p  k .)
Obs: O princípio de incerteza surgiu como uma propriedade matemática (para quem já
estiver habituado à análise Fourier, podemos adiantar que é assim mesmo – isto é uma
das propriedades de transformada Fourier!).
E aqui é que chegamos a uma conclusão de extrema importância para toda a física
moderna:
Quanto melhor for o nosso conhecimento da posição do objecto, pior será definido o
momento linear (ou a velocidade) deste. Este facto foi descoberto pelo físico alemão
Werner Heisenberg em 1927, e é conhecido hoje como princípio de incerteza de
Heisenberg. Este princípio afirma que é impossível conhecer simultaneamente a
posição de uma partícula e a velocidade desta mesma partícula com exactidão.
O princípio da incerteza afirma que, se é feita uma medida da posição de uma
partícula com uma incerteza x e uma medida simultânea do seu momento, com uma
incerteza px , o produto das duas incertezas nunca pode ser menor do que  / 2 . Assim

 x p x 
2
O carro de Heisenberg
Quando se olha para o medidor de velocidade (valor preciso da velocidade), ficamos
perdidos (a incerteza na posição é infinita)!!!
xpx 

2
 xmv 

2
Quando temos o valor preciso de v  v  0 , determinamos x :

x 
 x  
mv
2.10. Uma interpretação da mecânica quântica

Onda electromagnética e fotão
14
Equação
da
onda
 2 E ( x, t ) 1  2 E ( x, t )
 2
x 2
c
t 2
electromagnética
E  Emáx coskx  t  .
com
solução
2
Intensidade da radiação electromagnética é I  E máx
A probabilidade por unidade de volume de encontrar o fotão:
Probabilid ade Número de fotões
Probabilid ade de encontrar o fotão
2

I 
 E máx
Volume
Volume
Volume
E é o campo eléctrico e é uma grandeza mensurável.

Partícula e onda da matéria
Probabilid ade de encontrar a partícula
Número de partículas

I
Volume
Volume

Probabilid ade de encontrar a partícula
 amplitude da onda  2
Volume
A amplitude da onda material não é uma grandeza mensurável. Chamamos a amplitude
da onda associada a partícula de amplitude de probabilidade ou função de onda: 
 variável complexa.
 contém toda a informação sobre a partícula material
amplitude da onda  2      2 . Então Probabilid ade de encontrar a partícula   2
Volume
Esta interpretação probabilística da função de onda foi inicialmente sugerida por Max
Born em 1928.
Em 1926 Erwin Schrödinger já tinha proposto uma equação para a onda material. É a
equação de onda de Schrödinger e representa um elemento-chave para a teoria quântica.
Se  representa uma única partícula então  é a densidade de probabilidade  é a
densidade relativa por unidade de volume de encontrar a partícula num ponto do
volume.
Se partículas são também ondas, o que é a ondulação? É a probabilidade.
A função de onda determina a probabilidade de encontrar a partícula numa determinada
posição no espaço num dado tempo.
A partícula pode estar em qualquer lugar do eixo x:
2


2
dx  1

Diz-se que a função de onda está normalizada  significa a partícula existe em algum
ponto em todos os instantes.
15
Embora  não seja mensurável outras grandezas mensuráveis da partícula como a
energia e o momento podem ser obtidas a partir dela.
Após várias medidas pode-se calcular a posição média (valor esperado) por:

x   * x dx

Calcula-se qualquer outra função associada a partícula por:

f x    * f  x  dx

2.11 A equação de onda de Schrödinger
A equação onda de Schrödinger (dependente do tempo) para uma partícula de energia E
que se move num potencial V x é:

 2  2 x, t 

 V x  x, t   i  x, t 
2m
x
t
A equação de onda para a partícula difere da equação de onda electromagnética. Ela tem
a derivada primeira em relação ao tempo enquanto a onda electromagnética tem uma
derivada segunda em relação ao termpo. É a equação fundamental da Mecânica
Quântica.

 2  2 x 
 V x  x   E x 
2m x
Equação de Schrödinger independente do tempo e também é uma equação fundamental
da Mecânica Quântica.
Significado de cada termo da equação de
Schrödinger.
Figura. 3.20. Termos da equação de Schrödinger.
16
Primórdios da Mecânica Quântica
17
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