Lista 6

Lista 6
Cálculo Vetorial
Coordenadas Curvilíneas
1 — Prove que um sistema ortogonal
êi = êi =
∂r/∂ui
= ∇ui /|∇ui |
|∂r/∂ui |
para i = 1, 2, 3
2 — Prove que um sistema ortogonal
dV = (h1 du1 )(h2 du2 )(h3 du3 )
= h1 h2 h3 du1 du2 du3
6 — Dado o campo de vetores A em coordenadas
esféricas
1
A = m êr
r
com m > 2. Calcule o fluxo pela esfera centrada na
origem de raio a.
7—
a) Para que valores de n temos ∇ · (r n er ) = 0,
onde r é a coordenada esférica?
b) Para que valores de n temos ∇ × (r n er ) = 0,
onde r é a coordenada esférica?
3 — Prove que os sistemas de coordenadas a se- 8 — A transformação que relaciona as coordenadas cartesianas x, y, z às coordenadas cilíndricas
guir são ortogonais:
elípticas u, v, z é dada pela equações
a) Coordenadas cilíndricas
x = a cosh u cos v, y = a sinh u sen v, z = z
b) Coordenadas esféricas
(u ⩾ 0, 0 ⩽ v < 2π, a > 0 constante ).
a) Mostre que no plano xy uma curva u = cons4—
tante representa uma elipse, Enquanto que
uma curva v = constante representa metade
a) Utilize coordenadas cilíndricas para mostrar
de um ramo de uma hipérbole.
que o volume de um cilindro circular reto de
raio a e tamanho l é π a 2 l.
b) Esboce no plano xy as curvas que correspondem aos valores u = 0; v = 0; v = π; v = π/2;
b) Mostre que o momento de inércia de um cirespectivamente.
lindro homogêneo de massa M pelo seu eixo
2
de simetria é (1/2) M a .
c) Mostre que esse sistema de coordenadas é
ortogonal.
d) Mostre que o comprimento do arco no novo
5 — Utilize coordenadas esféricas para mostrar
sistema de coordenadas é dado por
que o momento de inércia de uma esfera de massa
ds2 = a2 (cosh2 u − cos2 v)(du2 + dv2 ) + dz2 .
m e raio a por um eixo passando pelo centro é
2/5ma2
e) Calcule grad, div e rotacional neste sistema
de coordenadas.
9 — Considere o sistema de coordenadas u, v, w
definido por
u = x − y,
v = y + z,
e) Calcule o jacobiano e o elemento de volume
dV nessas coordenadas.
f) Calcule o gradiente, o divergente, o rotacional e o laplaciano nessas coordenadas.
w = x−z
a) Ache a transformação inversa.
b) Mostre que as curvas coordenadas são retas
14 —
e as superfícies coordenadas são planos.
a) Ache um campo de vetores F = Fr (r) er sac) Mostre que (u, v, w) não é ortogonal
tisfazendo ∇ · F = r m para m ⩾ 0. Onde, r
Esse sistema é denominado oblíquo.
é a coordenada esférica.
d) Encontre a expressão do comprimento de
b) Use
para provar
arco ds no sistema de coordenadas (u, v, w).
ˆ o teorema do divergente
ˆ
1
r m dV =
r m+1 er · dS,
m+3 S
V
onde V é o volume encerrado pela superfície
10 — Calcule ∇f para f = xy + z em coordenadas
S.
cilíndricas
c) Use o resultado anterior (com m = 0) para
demonstrar que o volume de um cone reto é
um terço do volume do cilindro reto com a
mesma base e altura.
11 — Calcule div F em coordenadas esféricas
onde
F = rer + sen θeϕ + r cos θeθ .
15 — O campo elétrico gerado por um dipolo elé12 — Calcule
em coordenadas esféricas onde trico na direção z de momento p, localizado na origem, é
f(x, y, z) = xy + yz + zx.
[
]
3 (er · p) er − p
1
, onde p = p ez , e r
E(r) =
4π ϵ0
r3
13 — Defina coordenadas parabólicas pelas trans- é a coordenada esférica.
formações:
a) Ache as componentes de E(r) num sistema

de coordenadas esféricas .


x = uv cos θ,



b) Calcule ∇ · E e ∇ × E .

 y = uv sen θ,
1

z = (u2 − v2 ),



2

16 — Considere o sistema de coordenadas u, v, w

 u ∈ [0, ∞), v ∈ [0, ∞), θ ∈ [0, 2π).
definido por
∇2 f
a) Defina os versores û, v̂ e θ̂ como aqueles que
apontam nas direções de crescimento das
respectivas variáveis. (Tais versores são os
∂r
∂r
∂r
vetores û =
, v̂ =
e θ̂ =
normaliza∂u
∂v
∂θ
dos)
b) Calcule as transformações inversas u =
u(x, y, z), v = v(x, y, z) e θ = θ(x, y, z).
c) Calcule a métrica em coordenadas parabólicas. A métrica é ortogonal?
d) Calcule os fatores de escala hu , hv e hθ
2
u = a11 x + a12 y + a13 z,
v = a21 x + a22 y + a23 z,
w = a31 x + a32 y + a33 z
(1)
(2)
(3)
a) Quando u, v, w forma um sistema ortogonal?
b) Encontre a expressão do comprimento de
arco ds no sistema de coordenadas (u, v, w)
c) Encontre a expressão do grad no sistema de
coordenadas (u, v, w)
Respostas dos Exercícios
14 c.)
Pelo item anterior
ˆ
dV =
Vcone
Mas claramente
1
3
ˆ
r er · dS +
Scone
1
3
e
1
3
1
3
ˆ
r er · dS
Stampa sup
ˆ
r er · dS = 0
Scone
ˆ
ˆ
1
r er · dS =
r cos ϕdS
3 Stampa sup
Stampa sup
ˆ
1
=
ztampa sup dS
3 Stampa sup
ˆ
=
dV
Vcilindro
3
(4)
(5)
(6)