Apresentação - Aula 21

CÁLCULO I
Aula 21: Propriedades das Integrais e TFC
Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. André Almeida
Universidade Federal do Pará
Teorema
Sejam f e g uma função contínua em [a, b] e c uma constante real.
Z a
Z b
1)
f (x) dx = −
f (x) dx
b
a
Teorema
Sejam f e g uma função contínua em [a, b] e c uma constante real.
Z a
Z b
1)
f (x) dx = −
f (x) dx
b
a
Z a
f (x) dx = 0
2)
a
Teorema
Sejam f e g uma função contínua em [a, b] e c uma constante real.
Z a
Z b
1)
f (x) dx = −
f (x) dx
b
a
Z a
f (x) dx = 0
2)
a
Z b
3)
c dx = c(b − a)
a
Teorema
Z
4)
b
Z
[f (x) + g (x)] dx =
a
b
Z
f (x) dx +
a
b
g (x) dx
a
Teorema
Z
4)
b
Z
[f (x) + g (x)] dx =
f (x) dx +
a
Z b
Z b
c.f (x) dx = c.
f (x) dx
a
5)
b
a
a
Z
b
g (x) dx
a
Teorema
Sejam f e g uma função contínua em [a, b] e c uma constante real.
Z b
Z c
Z b
1
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx , com c ∈ (a, b)
a
a
c
Teorema
Sejam f e g uma função contínua em [a, b] e c uma constante real.
Z b
Z c
Z b
1
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx , com c ∈ (a, b)
a
a
c
Z b
2 Se f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], então
f (x) dx ≥ 0
a
Teorema
Sejam f e g uma função contínua em [a, b] e c uma constante real.
Z b
Z c
Z b
1
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx , com c ∈ (a, b)
a
a
c
Z b
2 Se f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], então
f (x) dx ≥ 0
a
3
Se f (x) ≥ g (x), então a função h(x) = f (x) − g (x) ≥ 0, para todo
x ∈ [a, b]. Logo, pelas propriedades 5), 6) e 7), temos:
Z b
Z b
f (x) dx ≥
g (x) dx.
a
a
Teorema (Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 1)
Se f for contínua em [a, b], então a função g é denida por
Z x
g (x) =
f (t) dt
a≤x ≤b
a
é contínua em [a, b] e derivável em (a, b) e g 0 (x) = f (x).
Exemplo
Encontre a derivada da função g (x) =
Z
0
x
√
1 + t 2 dt .
Exemplo
Encontre a derivada da função g (x) =
Exemplo
d
Encontre
dx
Z
1
x4
sec(t) dt .
Z
0
x
√
1 + t 2 dt .
Exemplo
Se
x sen (πx) =
Z
x2
f (t) dt,
0
onde f é uma função contínua, calcule f (4).
Teorema (Teorema Fundamental do Cálculo-Parte 2)
Se f for contínua em [a, b], então
Z b
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
onde F é qualquer primitiva de f , isto é, uma função tal que F 0 = f .
Exemplo
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule
Z b
x dx.
a
Exemplo
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule
Z b
x dx.
a
Exemplo
Calcule
Z
0
3
(x + 3) dx.
Exemplo
Calcule:
Z
3
6
1
x
dx.
Exemplo
Calcule:
Z
3
6
1
x
dx.
Exemplo
Calcule
Z
2π
cos θ dθ.
π
Exemplo
Calcule:
Z
1
2
v 3 + 3v 6
dv .
v4
Exemplo
Calcule:
2
Z
1
v 3 + 3v 6
dv .
v4
Exemplo
Calcule:
Z
3
−1
(|x| + 1) dx.
Exemplo
Calcule
Z
1
−1
|sen (πx)| dx.
Exemplo
Calcule
Z
1
−1
|sen (πx)| dx.
Exemplo
Calcule:
Z
0
8
√
3
x(x − 1) dx.
Exemplo
Calcule
Z
π
f (x) dx,
−π
onde
f (x) =
sen (x), se x ≤ 0
1 − cos(x), se x > 0
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