Apostila 3ª Versão - Universidade Federal de Pelotas

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS
CENTRO DE ENGENHARIAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Prof. Dr. Hugo Alexandre Soares Guedes – UFPel
Colaboração:
Michael Lopes Honscha - UFPel
PELOTAS - RS
MARÇO, 2016
2
SUMÁRIO
UNIDADE 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS
5
1.1 INTRODUÇÃO
1.1.1 APLICAÇÕES DA MECÂNICA DOS FLUIDOS
1.2 DEFINIÇÃO DE FLUIDO
1.2.1 HIPÓTESE DO CONTÍNUO
1.3 CLASSIFICAÇÃO DOS FLUIDOS
1.3.1 LÍQUIDO
1.3.2 AENFORME
1.4 SISTEMAS DE UNIDADES
1.4.1 CORRELAÇÕES
1.5 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS
1.5.1 PESO ESPECÍFICO (
1.5.2 MASSA ESPECÍFICA (Ρ) OU DENSIDADE ABSOLUTA
1.5.3 DENSIDADE RELATIVA (
1.5.4 VOLUME ESPECÍFICO
1.5.5 COMPRESSIBILIDADE
1.5.6 ELASTICIDADE (
1.5.7 CAPILARIDADE (H)
1.5.8 EQUAÇÃO GERAL DOS GASES PERFEITOS
1.5.9 A LEI DE NEWTON DE VISCOSIDADE
1.5.10 VISCOSIDADE CINÉTICA OU CINEMÁTICA (
1.6 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
1.7 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
5
5
5
6
7
7
7
8
8
9
9
9
10
10
11
11
12
13
13
15
17
19
UNIDADE 2 – A ESTÁTICA DOS FLUIDOS
21
2.1 CONCEITO DE PRESSÃO
2.2 TRANSMISSÃO DE PRESSÃO
2.3 PRESSÃO ATMOSFÉRICA: EXPERIÊNCIA DE TORRICELLI
2.4 ATMOSFERA TÉCNICA: EXPERIÊNCIA DE PASCAL
2.5 RELAÇÕES IMPORTANTES
2.6 PRESSÃO EM TORNO DE UM PONTO DE UM FLUIDO EM REPOUSO
2.7 LEI DE PASCAL
2.8 TEOREMA DE STEVEN
2.8.1 CONCLUSÕES DO TEOREMA
2.8.2 APLICAÇÕES DO TEOREMA DE STEVIN
2.8.3 CARGA DE PRESSÃO
2.9 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
2.10 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
21
22
23
23
24
24
24
25
29
29
33
33
36
UNIDADE 3 – MANOMETRIA
38
3.1 FINALIDADES DOS DISPOSITIVOS
3.2 CLASSIFICAÇÃO DOS DISPOSITIVOS
3.2.1 MANÔMETROS DE COLUNA LÍQUIDA
3.2.2 DISPOSITIVOS MECÂNICOS OU PIEZÔMETRO
38
38
38
43
3
3.3 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
3.4 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
44
48
UNIDADE 4 - EMPUXO
55
4.1 VARIAÇÃO DE PRESSÃO COM A PROFUNDIDADE
4.2 EMPUXO EXERCIDO POR LÍQUIDOS SOBRE SUPERFÍCIES PLANAS
4.2.1 CONCEITO DE EMPUXO
4.3 FORÇA HIDROSTÁTICA SOBRE SUPERFÍCIES PLANAS
4.3.1 FORÇA HIDROSTÁTICA SOBRE SUPERFÍCIE PLANA INCLINADA (GRANDEZA E DIREÇÃO)
4.3.2 PONTO DE APLICAÇÃO DA FORÇA HIDROSTÁTICA: CENTRO DE PRESSÃO (CP)
4.3.3 PROFUNDIDADE DE CP (HP)
4.4 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
4.5 EMPUXO SOBRE SUPERFÍCIES CURVAS
4.6 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
4.7 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
55
58
58
59
59
61
63
64
68
70
73
UNIDADE 5 – CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
77
5.1 CONCEITO
5.2 MÉTODOS DE ESTUDO
5.3 REGIMES DE ESCOAMENTO
5.3.1 REGIME PERMANENTE
5.3.2 REGIME VARIADO
5.4 ESCOAMENTO LAMINAR E TURBULENTO
5.5 TRAJETÓRIA E LINHA DE CORRENTE
5.6 CONCEITO DE VAZÃO
5.7 CONSERVAÇÃO DE MASSA
5.7.1 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
5.8 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
5.9 TEOREMA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
5.9.1 EQUAÇÃO GERAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
5.9.2 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
5.10 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
77
77
77
77
78
79
81
83
85
85
88
91
92
93
97
UNIDADE 6 – EQUAÇÃO DE ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE
102
6.1 TIPOS DE ENERGIAS MECÂNICAS ASSOCIADAS A UM FLUIDO
102
6.1.1 ENERGIA POTENCIAL (EP)
102
6.1.2 ENERGIA CINÉTICA (EC)
103
6.1.3 ENERGIA DE PRESSÃO (EPR)
103
6.1.4 ENERGIA MECÂNICA TOTAL DO FLUIDO (E)
104
6.2 EQUAÇÃO DE BERNOULLI
105
6.2 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
109
6.3 TUBO DE PITOT
110
6.3.1 PRESSÃO TOTAL AO LONGO DE UMA LINHA DE CORRENTE
110
6.3.2 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
112
6.4 EXTENSÃO DO TEOREMA DE BERNOULLI PARA OS LÍQUIDOS NATURAIS (FLUIDOS REAIS) – PERDA
DE CARGA
114
4
6.4.1 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDOS NATURAIS (REAIS)
6.4.2 EQUAÇÃO DA ENERGIA
6.4.3 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
6.5 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
114
115
118
120
UNIDADE 7 – PERDA DE CARGA
123
7.1 CONCEITO
123
7.2 REGIME DE ESCOAMENTO
123
7.2.1 EXPERIÊNCIA DE OSBORNE REYNOLDS
123
7.2.2 NÚMERO DE REYNOLDS (REY)
124
7.3 CLASSIFICAÇÃO DAS PERDAS DE CARGA
126
7.3.1 PERDA DA CARGA CONTÍNUA OU DISTRIBUÍDA OU PERDA POR ATRITO
126
7.3.2 RESISTÊNCIA DAS PAREDES INTERNAS DO CONDUTO AO ESCOAMENTO
126
7.3.3 FATOR DE ATRITO (F)
127
7.3.4 FÓRMULA RACIONAL OU UNIVERSAL
132
7.3.5 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
132
7.3.5 PERDA DE CARGA ACIDENTAL OU LOCALIZADA OU SINGULAR
135
7.3.6 VALORES K (PERDA LOCALIZADA)
136
7.3.7 PERDA DE CARGA DEVIDA AO ALONGAMENTO GRADUAL DE SEÇÃO
137
7.3.8 PERDA DE CARGA TOTAL
138
7.3.9 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
139
7.4 LINHA PIEZOMÉTRICA E LINHA DE ENERGIA NAS PERDAS DE CARGAS DISTRIBUÍDAS E LOCALIZADA
141
7.5 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
142
LITERATURA CONSULTADA
147
5
UNIDADE 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS
1.1
Introdução
Mecânica dos Fluidos é a ciência que tem por objetivo o estudo do
comportamento físico dos fluidos e das leis que regem esse comportamento.
1.1.1 Aplicações da Mecânica dos Fluidos
 Ação de fluidos sobre superfícies submersas: barragens;
 Equilíbrio de corpos flutuantes: embarcações;
 Ação dos ventos sobre construções civis;
 Estudos de lubrificação;
 Transporte de sólidos por via pneumática ou hidráulica: elevadores;
 Cálculo de instalações hidráulicas: instalações de recalque;
 Cálculo de máquinas hidráulicas: bombas e turbinas;
 Instalações de vapor: caldeiras;
 Ação de fluidos sobre veículos: aerodinâmica.
1.2
Definição de fluido
Fluidos são substâncias capazes de escoar e que não resistem a forças de
cisalhamento ou tangencial.
6
1.2.1 Hipótese do Contínuo
Na Engenharia, frequentemente empregamos expressões matemáticas cujas
deduções baseiam-se no cálculo diferencial e integral.
A matéria tem estrutura descontínua, sendo caracterizada pela existência de
“v z
”.
f
f
-
“H p
í
”:
 A cada ponto do espaço corresponde um ponto de fluido.

x
“v z
” no interior do fluido.
 Despreza-se a mobilidade das moléculas e o espaço intermolecular.
Amostra de sólido
7
Amostra de líquido
Teoricamente, vazios nos fluidos NÃO existem. Assim, pode-se aplicar os
conceitos de limite, derivada e integral.
1.3
Classificação dos fluidos
1.3.1 Líquido
 É um fluido que escoa por ação da gravidade até um determinado ponto do
recipiente.
 Praticamente incompressível.
 Volume constante.
 Superfície livre.
1.3.2 Aenforme
 Gases e vapores.
 Ocupam todo o espaço do recipiente que o contém.
 Altamente compressível e expansível.
 Sem superfície livre.
8
1.4
Sistemas de Unidades
SI
CGS
MKFS
Força
N
dyna
Kgf (quilograma força)
Comprimento
m
cm
m
Massa
kg
g
UTM (unidade técnica de massa)
Tempo
s
s
s
 CGS: Sistema de unidades de medidas físicas, ou sistema dimensional.
 MKFS: Sistema técnico.
 SI: Sistema Internacional de Unidades.
1.4.1 Correlações
1 kgf = 9,81 N
1 dyna =
g cm
s2
1 UTM = 9,81 kg
F=ma=
kg m
s2
1 N = 105 dyna
9
1.5
Propriedades dos Fluidos
1.5.1 Peso Específico (
Em que,
W é peso;
V é volume;
R é a constante universal dos gases e,
T é temperatura absoluta.
Unidades:
1.5.2
p
íf
(ρ)
b
ρ
Em que,
 é massa específica;
10
 é peso específico,
g é gravidade.
Unidades:
1.5.3 Densidade relativa (
dr =
rfluido
rfluidoreferência
=
g fluido
g fluidoreferência
Unidades: adimensional
Fluido de referência:
 Água ® g H O = 1000
2
 Ar ® g ar = 1,2
kgf
;
m3
kgf
.
m3
1.5.4 Volume específico
Unidades:
11
1.5.5 Compressibilidade
É a propriedade do fluido de reduzir seu volume quando se aumenta a
pressão.
Em que,
αé
f
p
b
úb
;
V é volume inicial;
dp é a variação de pressão e,
dV é a variação de volume.
Unidades:
Observação:
O sinal negativo aparece devido às variações, de sinal contrário, que ocorrem
p
V.
p
q
v
α
áp
v .
1.5.6 Elasticidade (
É a propriedade do fluido de aumentar seu volume quando há diminuição da
pressão.
Em que,
ε = coeficiente de elasticidade volumétrica.
12
Unidades:
1.5.7 Capilaridade (h)
É a propriedade de um líquido sofrer elevação ou queda na sua superfície em
contato com o corpo sólido. A capilaridade é inversamente proporcional ao diâmetro.

Coesão é um esforço que ocorre entre as moléculas do fluido.

Adesão é um esforço que ocorre entre o recipiente e o fluido.
ú
Mercúrio
Água
Coesão > Adesão
Adesão > Coesão
“
”
p
á
“
tubo.
“D
”
tubo.
,
p
”
p
13
1.5.8 Equação Geral dos Gases Perfeitos
pV=WRT
ì
p ® pressão
ï
ï
V ® volume
ï
T ® temperatura
í
ï
W ® peso
ï
ïî R ® const. universal dos gases
Em sistemas isotérmicos (
, portanto:
1.5.9 A lei de Newton de Viscosidade
Sejam 2 placas paralelas, sendo a de baixo fixa e a de cima móvel, separadas
por uma distância Y. Entre elas existe um fluido.
Figura 1.1. Representação da viscosidade de Newton.
14
Figura 1.2. Perfil de velocidade.
Em que,
é o gradiente de velocidade;
é o coeficiente de proporcionalidade e viscosidade absoluta ou dinâmica.
Conversão de Unidades:
i)
Unidades:
ii)
Unidades:
Observação:
15
Fluidos Newtonianos e não Newtonianos
Figura 1.3. Representação dos fluidos Newtonianos e não Newtonianos.
(1)
Fluido Newtoniano: relação linear entre
e
(2)
Fluido Não Newtoniano: relação não linear entre
(3)
Plástico: resiste a
(4)
Fluido ideal: não precisa de
(5)
Sólido ideal: não escoa independentemente da taxa de deformação
e
até um certo limite, quando começa a deformar.
para escoar.
1.5.10 Viscosidade cinética ou cinemática (
Dimensões de
.
Unidades:
16
.
Unidades:
1.5.10.1 Instrumentos utilizados para mensurar a viscosidade
Viscosímetro de cilindros coaxiais
Mede a viscosidade dinâmica.
Em que,
m = massa;
t = tempo de queda;
L = comprimento do fio;
K = constante do instrumento;
K = f (n, R1, R2)
Viscosímetro de Saybolt
Mede a viscosidade cinemática.
Em que,
= viscosidade cinemática (cm2/s);
t = tempo de escoamento (s).
17
1.6
Exercícios de Aplicação
1) Um cilindro contém
de ar a
e a
. O ar é comprimido até
. Considerando condições isotérmicas, qual é a pressão do ar comprimido
no novo volume e qual é o módulo de elasticidade volumétrica?
2) Duas placas horizontais estão separadas de
. O espaço entre elas é
ocupado por óleo de viscosidade 14 poise. Calcular a resistência viscosa no óleo
quando a placa superior se mover na velocidade de
3) Um eixo de
de diâmetro gira num mancal de
de comprimento com
.
de diâmetro e
. O espaço entre o eixo e o mancal é ocupado por
18
um óleo lubrificante de viscosidade absoluta de 1 poise. Calcular o torque
necessário para vencer a resistência do óleo gerada pela viscosidade, sabendo
que:.
; N = número de rotações e T = tempo.
19
1.7
Exercícios de Fixação
1) Em um cilindro de 60 cm de comprimento e 16 mm de diâmetro interno,
ú
2) Colocam-
5 k
ú
(ρ
(ρ
13,6 g/cm³) necessária para encher o tubo.
1 ,6 /
³)
p
f
prisma reto, com 100 cm² na área da base. Determinar a altura a que se elevaria
o líquido no recipiente. Em seguida, substituindo o mercúrio por óleo de linhaça
(dr = 0,93), obter a altura a que se elevaria igual massa de óleo.
3) Enche-se um frasco até o traço de afloramento com 3,06 g de ácido sulfúrico.
Repete-se a expereência, substituido o ácido por 1,66 g de água. Obter a
densidade relativa do ácido sulfúrico.
4) A densidade do gelo em relação a água é 0,918. Calcular em porcentagem o
aumento de volume da água ao solidificar-se.
5) Determinar a variação de volume de 0,04 m³ de água a 27ºC quando sujeito a um
aumento de 35 kgf/cm² na pressão. Dado: módulo de elasticidade volumétrica da
água igual a 22.750 kgf/cm².
6) Dos seguintes dados de teste, determinar o módulo de elasticidade volumétrica
da água, sabendo que a 25 kfg/m², o volume era de 0,03 m³, e a 250 kgf/m², o
volume passou para 0,0291 m³.
7) Obter o módulo de elasticidade da água, em determinada temperatura, sendo que
à pressão de 30 kgf/cm², o volume era de 0,04 m³ e que a 220 kgf/cm² o volume
passou para 0,0396 m³.
8) Converter a pressão de 610 mm de mercúrio para metros de: óleo (dr = 0,750);
querosene (dr = 0,80); tetracloreto de carbono (dr = 1,59); vinho (dr = 0,990).
20
Gabarito:
1) m = 1,641 kg
2) h1 = 3,68 cm; h2 = 53,76 cm
3) dr = 1,843
4) 8,90%
5) dV = -61,54 cm³
6) Ɛ
7 ,58 k
7) Ɛ
1,86 G
8) Poleo = 11,06 m; Pquerosene = 10,37 m; Ptetracloreto = 5,218 m; Pvinho = 8,38 m
21
UNIDADE 2 – A ESTÁTICA DOS FLUIDOS
É a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda fluidos em equilíbrio sujeitos a
ação da gravidade e também sua interação com os corpos sólidos.
2.1
Conceito de Pressão
Seja uma porção de fluido no interior de um fluido em equilíbrio.
Figura 2.1: Representação de fluido em equilíbrio.
Em que,
;
;
.


22
Na maioria das aplicações, a pressão pode ser tratada como um escalar.
Unidades:
2.2
Transmissão de Pressão
Se a pressão é medida em relação ao vácuo ou zero absoluto, é chamada
“p
b
f ê
,é
”, q
é
“p
-se a pressão atmosférica como
f
v ”
“p
é
”.
Figura 2.2: Simplificação das pressões (Fonte: BRUNETTI, 2008).
 Pressão manométrica negativa  depressão. Exemplo: sucção.
 Pressão absoluta é sempre maior que zero.
A maioria dos medidores de pressão indica uma diferença de pressão – a
diferença entre a pressão medida e aquela do ambiente (usualmente a pressão
atmosférica).
Por exemplo, uma medida manométrica poderia indicar 30 psi; a pressão
absoluta seria próxima de 44,7 psi Pressões absolutas devem ser empregadas em
todos os cálculos com a equação de gás ideal ou com outras equações de estado.
A seguir são apresentadas as experiências de Torricelli e Pascal para o
cálculo da pressão atmosférica.
23
2.3
Pressão Atmosférica: Experiência de Torricelli
Figura 2.3: Exemplificação da Experiência de Torricelli.
A pressão atmosférica (ponto A) equilibra uma coluna de mercúrio de
aproximadamente 76 cm de altura. Logo, a pressão exercida pela atmosfera
equilibra a pressão exercida por uma coluna de Hg de 76 cm, qualquer que seja a
área da base.
É preciso esclarecer, porém, que a pressão atmosférica não é constante. Isto
é, não é sempre que ela equilibra uma coluna de Hg de 76 cm. Só será assim
quando a pressão atmosférica for medida ao nível do mar (atmosfera normal).
2.4
Atmosfera Técnica: Experiência de Pascal
Figura 2.4: Exemplificação da Experiência de Pascal.
24
2.5
Relações importantes
 Para atmosfera normal ou física
 Para atmosfera técnica
.
2.6
Pressão em torno de um ponto de um fluido em repouso
A pressão em torno de um ponto fluido contínuo, incompressível e em
repouso é igual em todas as direções, e ao aplicar-se uma pressão em um de seus
pontos, esta será transmitida integralmente a todos os demais pontos.
Figura 2.5: Esquematização da pressão em um fluido em repouso.
2.7
Lei de Pascal
A pressão aplicada num ponto de um fluido em repouso transmite-se
integralmente a todos os pontos do fluido.
25
Observe o exemplo a seguir:
Figura 2.6: Fluido com superfície livre à atmosfera.
Com aplicação de uma força de 100 N, temos:
Figura 2.7: Fluido com aplicação da
força de 100 N por meio do êmbolo.
2.8
Teorema de Steven
Figura 2.8: Elemento diferencial de fluido e as pressões na direção y.
26
Em que,
;
;
.
Em que,
;
.
Em que,
;
.
Para um fluido em equilíbrio estático:
27
+
+
Desmembrando a equação diferencial no eixo x, temos:
Agrupando todas as equações, temos:
28
Em que,
Como,
Portanto,
Em que,
h é a altura, profundidade.
29
Lei de Steven ou Lei
Fundamental da
Hidrostática
2.8.1 Conclusões do teorema
a) Na diferença de pressão entre dois pontos não interessa a distância entre eles,
mas sim a diferença de cotas.
b) A pressão dos pontos num mesmo plano ou nível horizontal é a mesma, desde
que os pontos estejam localizados no mesmo fluido.
c) O formato do recipiente não é importante para o cálculo da pressão em algum
ponto.
d) Se a pressão na superfície livre de um líquido contido num recipiente for nula, a
pressão num ponto à profundidade (h) dentro do líquido será dada por:
e) Nos gases, como o peso específico é pequeno, se a diferença de cota entre dois
pontos não for muito grande, pode-se desprezar a diferença de pressão entre
eles.
2.8.2 Aplicações do Teorema de Stevin
2.8.2.1 Princípio dos vasos comunicantes
As superfícies livres de um líquido em equilíbrio contido em recipientes
interligados (vasos comunicantes) permanecem sempre horizontais e num mesmo
plano, independente da forma dos vasos.
30
Devem estar submetido à pressão atmosférica.
Figura 2.9: Vasos comunicantes.
2.8.2.2 Pressão e força no fundo do recipiente
Figura 2.10: Representação de pressões em recipientes diferenciados.
Quanto maior a área, maior a força sobre o fundo do reservatório!
31
2.8.2.3 Equilíbrio de dois líquidos de pesos específicos diferentes
Figura 2.11: Equilíbrio entre líquidos de pesos específicos diferentes.
As camadas se superpõem na ordem crescente de seus pesos específicos,
sendo plana e horizontal a superfície de contato.
32
2.8.2.4 Vasos comunicantes com líquidos diferentes
Figura 2.12: P1 >> Patm.
Figura 2.13: Esquema de vaso comunicante relacionando líquidos diferentes.
33

Fluido de referencia: água ( = 1000 kgf/m³)

Fluido manométrico: mercúrio ( = 13600 kgf/m³)
2.8.3 Carga de Pressão
A pressão em um ponto qualquer de um líquido pode ser imaginada como
sendo causada pelo peso da coluna vertical do líquido. A altura
é xp
“
íq
Não confunda!!!
2.9
Exercícios de Aplicação
1) Converter a pressão de 1,5
em:
a) Metro de coluna de água
b) Metro de coluna de mercúrio
Sabendo:
.
”.
desta coluna é
34
2) Um mergulhador está trabalhando na profundidade de
da superfície do mar
Um barômetro instalado no nível do mar acusa a pressão de
Qual a pressão absoluta sobre o mergulhador?
35
3) Seja um tubo com êmbolo bem ajustado. Façamos baixar sua face interna num
recipiente com líquido e elevamos gradualmente este êmbolo. O líquido subirá no
cilindro atrás do êmbolo e se elevará até uma certa altura
superfície livre onde atua a pressão atmosférica.
a) Qual a altura máxima se o líquido for a água?
b) E se for gasolina?
c) Interprete os resultados encontrados.
Dados:
.
em relação a
36
2.10
Exercícios de Fixação
1) As áreas dos dois pistões de uma prensa hidráulica são de 3,00cm 2 e 60,00cm2,
respectivamente. Desejando-se obter uma força de 3.000N no pistão maior, qual
o módulo da força que deve ser aplicada no pistão menor?
2) Deseja-se construir uma prensa hidráulica para exercer forças de 10 4N. Qual a
área que deverá ter o pistão maior se, sobre o menor, com 39,20cm 2, for aplicada
uma força de 40,00kgf?
3) Os
diâmetros
dos
dois
pistões
de
uma
prensa
hidráulica
medem,
respectivamente, 2,00cm e 20,00cm. Quantas vezes a força aplicada no êmbolo
menor aparecerá multiplicada no êmbolo maior?
4) No funcionamento de um elevador de automóveis num posto de serviço utilizouse uma pressão de até 5,0kgf/cm2. Qual o peso máximo que poderá elevar se o
diâmetro do pistão maior mede 20,00cm?
5) Uma prensa hidráulica, que contém um fluido incompressível, possui dois pistões
com áreas que estão entre si na razão de 1/10. Pergunta-se:
a) aplicando no pistão menor uma força de 2,0kgf, qual a força exercida sobre o
pistão maior?
b) se o pistão menor baixou 150,00cm, qual foi o deslocamento do pistão maior?
6) No pistão menor de uma prensa hidráulica, de 10,00cm 2, foi aplicada uma força
de 200N, que o desloca 100,00cm. Sendo a área da secção transversal do pistão
maior igual 500,00cm2, determine:
a) a força que atua no pistão maior;
b) o deslocamento do pistão maior;
37
7) Para acionar um elevador de automóveis, num posto de gasolina, usa-se uma
pressão de 8,0kgf/cm2. Sabendo que o pistão maior tem um diâmetro de 40,00cm
e o menor de 4,00cm, determine:
a) a pressão transferida para o pistão maior;
b) o peso máximo que pode ser elevado;
c) a força aplicada no pistão menor;
d) a razão entre o deslocamento do pistão menor e o maior.
8) O êmbolo maior de uma prensa hidráulica apresenta 1,00m 2. Qual deverá ser a
área, em cm2 , da seção reta do êmbolo menor para que a força aplicada seja
multiplicada por 1.000?
Gabarito:
1) F = 150N
2) A = 9993,1cm²
3) F2 = 100 x F1
4) F = 1570,8kgf
5) (a) F = 20kgf; (b) d = 15cm
6) (a) F = 10000N; (b) d = 2cm
7) (a) F = 8,0kgf; (b) F = 10047kgf; (c) F1 = 100,5kgf; (d) d1 = 100 x d2
8) A = 10 cm²
38
UNIDADE 3 – MANOMETRIA
É a parte da Mecânica dos Fluidos responsável pela medição da pressão.
Os dispositivos que usam colunas de líquido em tubos verticais (ou
inclinados) para medição de pressão são denominados manômetros.
3.1
Finalidades dos dispositivos

Controle de vazão;

Verificar condições de funcionamento das instalações;

Determinar alcance de jatos;

Calcular esforços sobre paredes de recipientes;

Determinar o potencial de água no solo.
3.2
Classificação dos dispositivos
3.2.1 Manômetros de coluna líquida
3.2.1.1 Piezômetro simples ou manômetro aberto
Tipo mais simples de manômetro: consiste de um tubo vertical aberto na parte
superior e fixado a um recipiente cuja pressão se deseja determinar.
39
Figura 3.1: Manômetro aberto ou piezômetro.
Limitações do Piezômetro
Embora simples e precisos, os tubos piezométricos têm as seguintes
limitações:
a) Só mede pressões maiores que a atmosférica.
b) A pressão medida deve ser relativamente baixa para proporcionar pequenas
alturas da coluna do liquido.
c) O fluido cuja pressão deve ser medida deve ser um líquido e não um gás.
d) O diâmetro do tubo deve ser maior que
.
3.2.1.2 Manômetro de tubo em U
Figura 3.2: Manômetro de tubo em U.
40
Consiste na inserção de um tubo transparente contendo líquido indicador ou
manométrico. É utilizado para medir altas ou baixas variações de pressões.
 Finalidades do liquido indicador: aumentar ou diminuir o comprimento da
coluna liquida.
 Qualidades do liquido indicador: apresentar densidade bem definida, formar
menisco bem definido com o líquido de contato, não ser miscível com o
líquido de contato e, ser de coloração diferente do líquido de contato.
Figura 3.3: Manômetro de tubo em U, para obtenção da pressão em A.
Método 1
41
Método 2
3.2.1.3 Manômetro diferencial
Utilizado para medir a diferença de pressão em dois pontos na tubulação.
Figura 3.4: Manômetro diferencial, verificando diferença de pressão entre A e B.
42
3.2.1.4 Manômetro de tubo inclinado
Usado na medição de pequenas pressões ou pequenas diferenças de
pressão. Permite o aumento na precisão da leitura manométrica.
Figura 3.5: Manômetro inclinado sem fluido indicador.
Figura 3.6: Manômetro inclinado para medir diferença de pressão entre dois pontos
43
3.2.2 Dispositivos mecânicos ou piezômetro
3.2.2.1 Manômetro de Bourdon
Consiste de um tubo metálico de seção transversal (seção reta) elíptica que
tende a se deformar quando a pressão P aumenta. Possui baixa precisão.
Figura 3.7: Manômetro de Bourdon.
3.2.2.2 Transdutor de pressão
O termo "medidor de pressão" refere-se usualmente a um indicador que
converte a pressão detectada, num movimento mecânico de um ponteiro fixo a um
êmbolo móvel. Um transdutor de pressão pode combinar o elemento primário de um
medidor com um conversor mecânico/elétrico.
Durante o processo de transmissão de pressão, o êmbolo multiplicador da
força é substituído por uma membrana flexível ou um fole que está acoplado a um
sistema piso-elétrico (similar a um microfone) que ao se mover produz um pulso
elétrico que é captado por um amperímetro sensível (medidor de corrente elétrica),
convertendo numa escala para a unidade de pressão.
44
3.3
Exercícios de Aplicação
1) A tubulação da figura transporta óleo
na sua parte superior, indica a pressão de
Um manômetro (M), instalado
Acoplando-se um manômetro
de mercúrio aberto na sua parte inferior, determinar a deflexão do mercúrio
Dado
45
2) Um manômetro de mercúrio aberto é instalado na entrada de uma bomba. Medese a deflexão manométrica encontrando-se
. Determinar a pressão efetiva e
absoluta no eixo da tubulação de sucção, sendo a água o líquido succionado.
Considere
absoluta igual a
e diâmetro de sucção igual a
46
3) Um manômetro diferencial apresenta a configuração (a) antes de ser ligado aos
reservatórios A e B. Após ser ligado a A e a B, o manômetro passa a apresentar a
configuração (b). Sendo
determinar os pesos
específicos dos líquidos manométricos, considerando constante o diâmetro dos
tubos e que os reservatórios A e B transportam água.
47
4) No sistema abaixo, sabe-se que
Determinar a pressão absoluta em A, o peso específico
Dados:
e o ângulo
48
3.4
Exercícios de Fixação
1) No ponto R da figura abaixo, a pressão efetiva é de –960kgf/cm², sendo o a
densidade do líquido E = 1,4. Determinar a densidade do líquido F, desprezandose o peso do ar entre A e C.
2) No topo do reservatório da figura abaixo, o manômetro registra a pressão efetiva
de –0,122kgf/cm². Os líquidos de densidades d1 e d2 não miscíveis com a água.
Obter:
a. as cotas nas colunas piezométricas A, B e C;
b. a deflexão hm do mercúrio.
49
3) Um aumento de pressão no reservatório R ocasiona um rebaixamento do nível D
para a posição B. Com isso, a água sobe no tubo inclinado T do micromanômetro,
desde o ponto N até C. Sabendo que as seções transversais do reservatório R e
do tubo T têm áreas de AR = 3200 mm² e AT = 80 mm², respectivamente, obter a
diferença de pressão entre B e C.
4) No recipiente fechado da figura abaixo, há água, óleo ( = 895kgf/m³) e ar. Para
os pontos B, C e D, obter as respectivas pressões (em mca).
50
5) Para o ponto E, indicado na figura, calcular a pressão efetiva. Adotar para o
mercúrio o peso específico  = 13600kgf/m³.
6) Um óleo ( = 880kgf/m³) passa pelo conduto da figura. Um manômetro de
mercúrio, ligado ao conduto, apresenta a deflexão indicada. A pressão efetiva em
M é de 2kgf/cm². Obter hm.
51
7) Um óleo de peso específico 1 = 980kgf/m³ é transportado verticalmente de B
para C. Calcular a diferença de pressão entre os pontos B e C.
8) O recipiente da figura contém 2 líquidos não miscíveis, de densidades d 1 = 0,95 e
d2 = 0,70. O peso do ar na parte superior é desprezível. Supondo que o líquido
mais denso se eleve até o nível N, determinar a leitura do manômetro instalado
no topo do recipiente.
52
9) Para o manômetro da figura abaixo se conhece o 1 = 830kgf/m³, 2 =
1000kgf/m³, h1 = 540mm e h2 = 675mm. Supondo que a pressão atmosférica
local p0 = 1kgf/cm². Calcular as pressões efetiva e absoluta em B.
10) O conduto da figura, transporta água (1 = 1000kgf/m³). Ao conduto junta-se um
tubo em U, cujo líquido manométrico é o mercúrio (d = 13,6). Calcular a pressão
efetiva (em kgf/cm²) no ponto B.
53
11) Os recipientes R e S contém água, sob pressões de 2,2 kgf/cm² e 1,3 kgf/cm²,
respectivamente. Determinar o valor de hm da deflexão do mercúrio.
12) Um encanamento de eixo horizontal contém água sob pressão e está ligado a
um tubo em U, cujo líquido manométrico é o mercúrio, ficando sua superfície livre
em nível com o eixo do encanamento. Sendo h = 74mm a deflexão do Hg,
calcular a pressão efetiva em B (em kgf/cm²; kgf/m², mca e Pa).
54
Gabarito:
1) dF = 0,8
2) a) ZF = 908,64m; ZG = 908,48m; ZI = 907,90m. b) hm = 0,62m
3) PB – PC = 483 kgf//m² = 0,0483 kgf/cm²
4) PB = 2,7 mca; PC = 1,6mca; PD = 0,526mca
5) PE = 15420kgf/cm²
6) hm = 1,62m
7) PB – PC = 1680 kgf//m²
8) PN = 1700 kgf/m²
9) Pefetiva = 226,8 kgf/m² e Pabs =10226,8 kgf/m²
10)PB = 1,542 kgf/cm²
11)hm = 0,83m
12)PB = 932,4 kgf/m² = 0,09324 kgf/cm² = 0,9324 mca
UNIDADE 4 - EMPUXO
Nos fluidos em repouso, a força é perpendicular à superfície. A pressão varia
linearmente, aumentado com a profundidade
Para uma superfície horizontal,
temos:
Sendo P a pressão uniforme sobre a superfície e A é a área da mesma.
Como a pressão é constante e uniformemente distribuída ao longo da
superfície então a força resultante atua no centroide da área.
4.1
Variação de pressão com a profundidade
Diagrama de pressão para:
i) Parede Vertical
Figura 4.1: Pressão atuante em parede vertical.
56
ii) Parede inclinada
Figura 4.2: Pressão atuante em parede inclinada.
Figura 4.3: Pressão atuante em parede com mais de uma inclinação.
57
iii)
Parede vertical com líquido à montante e a jusante
Figura 4.4: Pressão atuante em parede com líquido à montante e jusante.
iv)
Parede com comporta
Figura 4.5: Pressão atuante em parede com comporta.
58
4.2
Empuxo exercido por líquidos sobre superfícies planas
4.2.1 Conceito de empuxo
Figura 4.6: Representação auxiliar para conceituação de empuxo.
A pressão em dA é:
.
Considerando-se toda a área A, surgira uma força resultante, o empuxo.
59
Igual ao peso da
massa fluida sobre a
área plana
considerada.
4.3
Força Hidrostática Sobre Superfícies Planas
O empuxo (força hidrostática) exercido por um líquido sobre uma superfície
plana imersa é uma força perpendicular à superfície e é igual ao produto de sua área
pela pressão relativa no seu centro de gravidade (C.G.).
4.3.1 Força Hidrostática sobre superfície plana inclinada (grandeza e direção)
Figura 4.8: Representação da força hidrostática atuando sobre superfície plana inclinada.
60
Momento estático em
relação ao eixo “0”
saindo do papel.
Mas,
Da estática,
Logo,
Mas,
4.3.1.1 Direção em relação a horizontal
Figura 4.8: Direção da força hidrostática em relação à horizontal.
61
4.3.2 Ponto de aplicação da força hidrostática: centro de pressão (CP)
D
p
“
V
”: “O
relação ao ponto 0 deve ser igual à soma dos momentos das forças elementares
”.
Figura 4.10: Ponto de aplicação do empuxo.
62
Da dedução anterior,
Momento de inércia em relação
ao eixo 0.
Do Teorema dos Eixos Paralelos,
Em que,
I0 = momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo CG.
Igualando (1) e (2) temos:
63
4.3.3 Profundidade de CP (hp)
Figura 4.11: Profundidade do ponto de aplicação.
64
4.4
Exercícios de Aplicação
1) Determine o CP de uma comporta vertical retangular com lado superior
coincidente com o nível da água.
65
2) Determine a força de pressão da água atuante sobre uma comporta circular
inclinada de diâmetro igual a
, bem como seu ponto de aplicação.
66
3) Um recipiente retangular com base de 2,5 x 4,0 m e altura igual a 6,0 m contém
querosene de densidade relativa 0,8. Pede-se.
a) O empuxo na base do recipiente;
b) O empuxo nas faces verticais do recipiente.
67
4) Uma tubulação de
no centro do tubo é
relativa
de diâmetro possui uma válvula de controle. A pressão
. Esta tubulação está cheia de óleo de densidade
. Pede-se a força exercida pelo óleo e a posição do CP.
68
4.5
Empuxo sobre superfícies curvas
Seja a barragem apresentada a seguir.
 Força elementar
 Empuxo
69
 Componente vertical
 Componente horizontal
Volume elementar de
fluido acima da
superfície curva.
Momento
estático!
 Magnitude do Empuxo
 Ângulo com a horizontal (
 Centro de pressão em superfícies curvas (CP)
O CP do empuxo horizontal será o CP da superfície curva projetada na
vertical, ou seja, ele é o centro de pressão de
O CP do empuxo vertical está
aplicado no CG do volume de líquido acima da superfície curva.
70
4.6
Exercícios de Aplicação
1) Uma barragem de 4m de altura e 10m de extensão apresenta um perfil
parabólico. Calcular o empuxo da água.
Dado:
71
72
2) Determinar a intensidade, direção e ponto de aplicação da força atuante exercida
pela água sobre a superfície curva AB, que é um quadrante de cilindro de raio
2,5m e comprimento 3m. O nível da água situa-se a 2m acima de B.
73
4.7
Exercícios de Fixação
1) Uma piscina possui base retangular de 15 x 45 metros e paredes paralelas de 2,5
m de altura, estando completamente cheia de água. Determine:
a) os diagramas de pressão no fundo, na maior dimensão, e na parede vertical,
explicitando os valores de pressão nas extremidades dos diagramas.
b) as forças resultantes no fundo e na parede.
c) os pontos de aplicação destas forças.
2) A barragem mostrada na figura possui comprimento de 100 m. A profundidade da
água é de 25 m e a inclinação da barragem é 60º (ângulo formado na face interna
da barragem). Determine:
a) o diagrama de pressão na barragem.
b) a força resultante na barragem.
c) o ponto de aplicação da força resultante na barragem.
3) A figura abaixo mostra, em perfil, uma porta retangular, com comprimento de 1,0
m e altura de 1,5 m mostrada no plano vertical de um tanque de água, aberto à
atmosfera. A porta é articulada no ponto H (pode girar em torno do eixo z),
localizada a uma distância D = 1,0 m da superfície livre. Nestas condições, e
considerando como referência o nível da água, determine:
a) o diagrama de pressões atuantes na porta.
b) a força F resultante na porta.
c) o ponto de aplicação da resultante F.
d) a força R que deve ser aplicada no ponto B a fim de manter a porta fechada.
74
4) A figura abaixo mostra o corte transversal de uma comporta que apresenta massa
igual a 363 kg. Observe que a comporta é articulada em A e que está imobilizada
por um cabo. O comprimento e largura da placa são respectivamente iguais a 1,2
e 2,4 metros. Sabendo que o atrito na articulação é desprezível, determine a
tensão no cabo para alçar a comporta.
5) A comporta quadrada (1,83 m x 1,83 m) mostrada na figura abaixo pode girar
livremente em torno do vínculo indicado. Normalmente é necessário aplicar uma
força P na comporta para que ela fique imobilizada. Admitindo que o atrito no
vínculo é nulo, determine a altura da superfície livre da água, h, na qual o módulo
da força P seja nulo.
75
6) Uma comporta com 3 metros de comprimento está localizada na parede lateral de
uma tanque, conforme mostrada na figura abaixo. Determine os módulos da
componente horizontal e vertical do empuxo com que a água atua sobre a
comporta. A linha de força passa através do ponto A? Justifique sua resposta.
7) A comporta mostrada é articulada em O e tem largura constante, L = 5 m. A equação
da superfície é x = y2/a, com a = 4 m. A profundidade da água à direita da comporta
é D = 4 m. Determine o módulo da força, Fa, aplicada como mostrado, requerida
para manter a comporta em equilíbrio se o peso da comporta for desprezado.
y
76
L=5m
Fa
D=4m
O
x
Gabarito:
1) a) Pressão nas extremidades: P1 = 0 e P2 = 2500 kgf/m²
b) EFUNDO = 1687500 kgf; EPAREDE 1 = 46875 kgf; EPAREDE 2 = 140625 kgf
c) No fundo: hp = 2,5 m
Nas paredes: hp = 1,67 m
2) a) Pressão nas extremidades: P1 = 0 e P2 = 25000 kgf/m²
b) E = 36116370 kgf
c) yp = 19,25 m; hp = 16,67 m
3) a) Pressão nas extremidades: P1 = 1000 kgf/m² e P2 = 2500 kgf/m²
b) E = F = 2625 kgf
c) yp = hp = 1,86 m
d) R = 1505 kgf
4) T = 590,79 kgf
5) h = 0,59 m
6) EV = 33424,78 kgf; EH = 54000,00 kgf; Somente o empuxo horizontal passa pelo
ponto A  yp = 4,00 m
7) EV = 261 kN; EH = 392 kN; Fa = 167 kN
77
UNIDADE 5 – CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
5.1
Conceito
É a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o movimento e a vazão de
uma massa fluida entre superfícies delimitadas sob a ação da gravidade ou pressão
externa.
5.2
Métodos de Estudo
 Lagrangeano: descreve o movimento de cada partícula, acompanhando-a em sua
trajetória total.
 Euleriano: consiste em adotar um intervalo de tempo, escolher uma seção ou um
volume de controle no espaço e considerar todas as partículas que passam por
este local. É o método mais utilizado para estudar o movimento de fluidos.
5.3
Regimes de Escoamento
5.3.1 Regime Permanente
É aquele em que as propriedades do fluido são invariáveis em cada ponto
com o passar do tempo. Note-se que as propriedades do fluido podem variar de
ponto para ponto, desde que não haja variação com o tempo. Isso significa que,
apesar do fluido estar em movimento, a configuração de suas propriedades em
qualquer instante permanece a mesma.
78
Figura 5.1: Exemplo de regime permanente.
No tanque da Figura 5.1, a quantidade de água que passa em (1) é idêntica à
quantidade de água que sai por (2); nessas condições, a configuração de todas as
propriedades do fluido, como velocidade, massa específica, pressão, etc., será, em
cada ponto, a mesma em qualquer instante.
O regime permanente pode ser ainda:
 Uniforme: quando a velocidade média permanece constante ao longo das seções.
 Não uniforme: quando o movimento é dito acelerado ou retardado.
5.3.2 Regime Variado
É aquele em que as propriedades do fluido em alguns pontos ou regiões de
pontos variam com o passar do tempo.
79
Figura 5.2: Exemplo de regime variado.
É muito comum em Mecânica dos Fluidos e em Hidráulica trabalhar com
reservatórios de grandes dimensões. Denomina-se reservatório de grandes
dimensões um reservatório do qual se extrai ou no qual se admite fluido, mas,
devido à sua dimensão transversal muito extensa, o nível não varia sensivelmente
com o passar do tempo.
Em
um
reservatório
de
grandes
dimensões
o
nível
mantém-se
aproximadamente constante com o passar do tempo, de forma que o regime pode
ser considerado aproximadamente permanente.
5.4
Escoamento Laminar e Turbulento
 Laminar: é aquele em que as partículas se deslocam em lâminas individualizadas,
sem troca de massa entre elas ( velocidade baixa).
Figura 5.3: Regime laminar em tubulações.
 Turbulento: é aquele em que as partículas apresentam um movimento aleatório
macroscópico, isto é, a velocidade apresenta componentes transversais ao
movimento geral do conjunto do fluido (velocidade alta).
80
Figura 5.4: Regime laminar em tubulações.
No regime laminar a velocidade máxima ocorre no centro da tubulação, junto
às paredes da tubulação a velocidade é nula (condição de aderência).
(1) Velocidade nula
(2) Velocidade média (V)
(3) Velocidade máxima
Figura 5.5: Lei Parabólica  Lei de variação de velocidade.
No regime turbulento, como ocorre maior intercâmbio de quantidade de
movimento no sentido transversal, a velocidade máxima é:
Figura 5.6: Lei Logarítmica.
81
5.5
Trajetória e Linha de Corrente
 Trajetória: é o lugar geométrico dos pontos ocupados por uma partícula em
instantes sucessivos, sendo a equação de trajetória dada em função do ponto
inicial, que individualiza a partícula, e do tempo.
Figura 5.7: Trajetória.
 Linha de Corrente (LC): é a linha tangente aos vetores de velocidade de
diferentes partículas no mesmo instante. Note-se que, na equação de uma linha
de corrente, o tempo não é uma variável, já que a noção se refere a um instante t.
Figura 5.8: Linha de corrente.
 Tubo de Corrente: é a superfície de forma tubular formada pelas linhas de
corrente que se apoiam numa Lina geométrica fechada qualquer.
82
Figura 5.9: Tubo de corrente.
Se a seção do tubo de corrente for suficientemente pequena, a velocidade do
ponto médio de qualquer seção pode ser tomada como velocidade média da seção.
Propriedades dos tubos de correntes:
a) Os tubos de correntes são fixos quando o regime é permanente.
b) Os tubos de correntes são impermeáveis à passagem de massa, isto é, não
existe passagem de partículas de fluido através do tubo de corrente.
Outras definições:
 Sistema: porção de matéria de massa constante. Um sistema pode mudar a forma
e a posição, mas as condições termodinâmicas permanecem constantes.
 Volume de controle: região fixa no espaço, em cujo interior podem variar a massa
e as condições termodinâmicas, mantendo, porém, a forma e a posição.
83
5.6
Conceito de Vazão
A vazão em volume pode ser definida por:
Vazão ou Vazão
Volumétrica
Essa expressão só seria verdadeira se a velocidade fosse uniforme na seção.
Posteriormente será apresentada uma equação similar a Q = VA definindo a
velocidade média na seção.
Considere o tubo de corrente da Figura 5.10:
84
Figura 5.10: Esquema de um tubo de corrente.
A quantidade de massa fluida
que atravessa a seção dA na
unidade de tempo.
85
5.7
Conservação de massa
5.7.1 Equação da Continuidade
Considere o volume de controle abaixo, obtido em um tubo de corrente sobre
o qual foram tomadas duas seções transversais perpendiculares ao eixo do tubo.
Figura 5.11: Esquema de um volume de controle obtido em um tubo de corrente.
Em que,
:v
p
f
p p
”
v
à
p fí
,
“sentido sempre
V.
A variação de massa (dm) no interior do volume de controle será igual a
diferença de vazão em massa que entra e sai deste volume.
Se o regime de escoamento é permanente:
86
Generalizando, para regime permanente:
Em que,
Se o fluido for incompressível
e o regime permanente:
87
Em que,
Logo, a velocidade média na seção pode ser obtida por:
88
5.8
Exercícios de Aplicação
1) Determinar a velocidade média correspondente ao diagrama de velocidades a
seguir. Supor que não haja variação de velocidade segundo a direção normal ao
plano da figura (escoamento bidimensional).
89
2) O Venturi é um tubo convergente/divergente, como é mostrado na figura.
Determinar a velocidade na seção mínima (garganta) de área igual a 5 cm 2, se na
seção de entrada de área 20 cm2 a velocidade é 2 m/s. O fluido é incompressível.
90
3) Considere o escoamento permanente da água através do dispositivo da figura
abaixo. Determinar as componentes da velocidade média na seção 3. Considere
o fluido incompressível.
Dados: A1= 0,09 m²; A2 = 0,046 m²; A3 = 0,019 m²;
;
.
91
5.9
Teorema da Quantidade de Movimento
Em inúmeros problemas de Mecânica dos Fluidos ocorrem mudanças na
grandeza e/ou na direção da velocidade de um fluido em movimento. A grandeza da
força necessária para produzir estas mudanças pode ser determinada por meio da
Equação da Quantidade de Movimento.
Assim, a quantidade de movimento é uma grandeza vetorial dada por:
 Impulso para uma partícula de fluído em movimento:
 Da equação geral da mecânica:
Mas, de (14):
92
De (14) e (16):
Teorema da
Quantidade de
Movimento
“
todas as forças que atuam sobre um sistema de fluidos é igual à
v
q
v
v
p ”.
5.9.1 Equação Geral da Quantidade de Movimento
A força resultante que age em um sistema é igual à taxa de variação com o
tempo da quantidade de movimento no volume de controle (termo 1) mais o saldo
dos fluxos da quantidade de movimento do sistema de controle (termo 2).
Termo 1
Termo 2
Caso particular da equação da quantidade de movimento para fluidos em
regime permanente:
93
Exemplos de forças que atuam sobre os fluidos e os corpos sólidos:
 contato: pressões estáticas;
 gravitacional: peso da massa fluida;
 internas: atrito e viscosidade;
 externas: blocos de ancoragem (blocos de concreto)
5.9.2 Exercícios de Aplicação
OBS: Vista em Planta!  Desprezar o volume e a diferença de cotas.
1) No tubo de corrente da figura abaixo (fluxo permanente e fluido incompressível),
calcular a força que o fluido exerce sobre o tubo ( ).
94
2) Consideremos um fluido incompressível se deslocando em regime permanente
através do tubo de corrente. Calcule a força que o fluido exerce sobre o tubo (
Despreze o atrito nas paredes do tubo.
).
95
3) Calcule as forças que o fluido exerce sobre a curva da figura abaixo, sabendo
que:
.
96
97
5.10
Exercícios de Fixação
1) A água escoa em regime laminar através de um conduto cujo diâmetro é 1,50 m.
A velocidade da água em relação ao tubo é dado por V r = 0,563 – r2 (m/s), sendo
“”
b
. Q
v
é
á
í
b ,
quando seu diâmetro é reduzido para 0,30 m?
2) A água escoa em regime laminar através de um conduto de diâmetro 1,0 m. Se o
perfil de velocidade do fluxo permanente é dado por V r = 3,75 – 15 r2 (m/s),
calcule a vazão de escoamento.
3) Um fluido com densidade relativa de 1,05 está escoando em regime permanente
através da caixa retangular da figura abaixo. Determine a velocidade na seção 3.
São dados: A1 = 0,05 m2; V1 = 4,0 i m/s; A2 = 0,01 m2; V2 = - 8,0 j m/s; A3 = 0,06
m2.
4) Um joelho redutor é usado para defletir água ( = 102 utm/m³) em um ângulo de
45°, à uma vazão de 0,40 m3/s. A pressão na seção maior é igual a 1,5 kgf/cm2 e
a pressão na seção menor é igual a 133.087 N/m2. Sabendo que os diâmetros da
seção maior e menor são iguais a, respectivamente, 610 mm e 305 mm,
determinar a força de ancoragem necessária para manter o joelho fixo.
98
5) O joelho defletor do exercício anterior é substituído por um joelho reversor,
conforme apresentado na figura abaixo, de forma que o fluido faça uma curva de
180° antes de ser descarregado na atmosfera, à uma taxa de 14 kg por segundo.
Determine a nova força de ancoragem, sabendo que a pressão manométrica na
seção de entrada é igual a 202,2 kPa e a seção reta do joelho é igual a 113 cm2.
6) A água escoa em regime permanente através do joelho de 90° mostrado na
figura. Na entrada, a pressão é de 221 kPa e a seção reta é de 0,01 m2. Na saída,
a seção reta é de 0,0025 m2 e a velocidade é de 16 m/s. A pressão na saída é a
atmosférica. Determine a força necessária para manter o joelho fixo.
99
7) Calcule a força resultante de reação sobre o joelho redutor da figura,
considerando a vazão volumétrica igual a 0,50 m3/s. Dados: A1 = 0,20 m2; P1 = 180
kPa; A2 = 0,05 m2;
15 k
;θ
6 .
8) A água escoa pela curva com redução, figura abaixo, localizada num plano
vertical. O
: ϕ1
1,8
;ϕ
1,
m; W = 8.172 kgf; P1 = 2,8 kgf/cm2; P2 = 2,2 kgf/cm2; Q = 8,5 m3/s. Considere o
fluxo permanente e o fluido incompressível. Com essas informações, calcule as
componentes Fx e Fy da força resultante necessária para manter a curva fixa.
100
9) Um jato de água encontra uma placa curva fixa, o que faz uma deflexão de 90°
para cima, sem deformação do jato. Seu diâmetro e sua velocidade média são D
= 25 mm e V = 35 m/s, respectivamente. Desprezando-se as perdas de energia e
o peso do fluido, obter a reação total e suas componentes.
101
GABARITO
1) V = 7,0 m/s
2) Q = 1,47 m3/s
3) V3 = 4,04 i – 2,33 j (m/s); v3 = 4,667 m/s
4) F = 36,13 kN
5) F = 2320 N
6) Fx = -2,37 kN; Fy = -640 N
7) Rx = 31 kN; Ry = 10,8 kN; R = 32,8 kN
8) Fx = 907 kN; Fy = 352,2 kN
9) Fx = Fy = 61,37 kfg; F = 86,78 kgf
102
UNIDADE 6 – EQUAÇÃO DE ENERGIA PARA REGIME
PERMANENTE
6.1
Tipos de energias mecânicas associadas a um fluido
6.1.1 Energia potencial (Ep)
É o estado de energia do sistema devido à sua posição no campo da
gravidade em relação a um Plano Horizontal de Referência (PHR). Esta energia é
medida pelo potencial de realização de trabalho do sistema.
Seja, por exemplo, um sistema de peso G = mg, cujo centro de gravidade está
a uma cota Z em relação a um PHR.
Figura 6.1: Exemplo de energia potencial.
Como,
Mas,
103
6.1.2 Energia cinética (Ec)
É o estado de energia determinado pelo movimento do fluido. Seja um
sistema de massa
e velocidade ; a energia cinética será dada por:
Figura 6.2: Exemplo de energia cinética.
6.1.3 Energia de pressão (Epr)
Esta energia corresponde ao trabalho potencial das forças de pressão no
escoamento do fluido.
Seja, por exemplo, um tubo de corrente. Admitindo que a pressão seja
uniforme na seção, então a força aplicada pelo fluido externo no fluido do tubo de
corrente, na interface de área A, será F = pA. No intervalo de tempo dt, o fluido irá se
deslocar de um ds, sob a ação da força F, produzindo um trabalho W.
dW = FdS = pAdS = pdV
Figura 6.3: Tubo de corrente.
104
Por definição,
Logo,
ou
6.1.4 Energia mecânica total do fluido (E)
Excluindo-se energias térmicas e levando em conta apenas efeitos
mecânicos, a energia total de um sistema de fluido será:
Figura 6.4: Escoamento do fluido em torno da energia.
Fluido escoa da maior energia para a menor energia!
105
6.2
Equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli é uma relação aproximadamente entre pressão,
velocidade e elevação, sendo válida em regiões de escoamento incompreensível e
em regime permanente, onde as forças de atrito resultantes são desprezíveis.
Apesar de sua simplicidade é uma ferramenta muito útil na mecânica dos fluidos.
A principal aproximação da dedução da equação de Bernoulli é que os efeitos
viscosos são desprezivelmente pequenos quando comparados aos efeitos da
inércia, da gravidade e da pressão. Como todos os fluidos tem viscosidade (não
x
“f
v
”),
p x
p
vá
p
escoamentos de interesse prático.
Em outras palavras, não podemos aplicar a equação de Bernoulli em todos os
escoamentos mesmo quando a viscosidade do fluido é pequena. Entretanto, a
aproximação é razoável em determinadas regiões de muitos escoamentos de
caráter pratico. Chamamos tais regiões de Regiões de Escoamento sem
Viscosidade, e enfatizamos que elas são regiões nas quais as forças viscosas ou
resultantes de atrito são desprezivelmente pequenas quando comparadas as outras
forças que atuam sobre as partículas do fluido.
Desde modo, para dedução da equação de Bernoulli, considere o movimento
de uma partícula de fluido no campo de escoamento em regime permanente:
106
Aplicando a Segunda Lei de Newton (conservação do momento linear), na
direção S, a uma partícula que se movimenta ao longo de uma linha de corrente,
tem-se:
Nas regiões do escoamento onde as forças resultantes de atrito são
desprezíveis, as forças significativas que atuam na direção S são a pressão (agindo
em ambos os lados) e a componente do peso da partícula na direção S. Portanto, a
equação torna-se:
Sendo que:

θé
entre a normal da linha de corrente e o eixo vertical z naquele
ponto;

;


.
Substituindo, tem-se:
Dividindo-se por
Dividindo-se tudo por g, tem-se:
107
Simplificando:
Integrando:
Considerando o escoamento incompressível, todos os termos são uma
diferencial exata e suas integrações resultam em:
Equação de Bernoulli, para
escoamento incompressível e regime
permanente.
Em que,



carga piezométrica/ carga de pressão/carga estática;
carga cinética/carga dinâmica;
carga potencial/carga de posição.
108
Esta é a famosa equação de Bernoulli, usada normalmente em Mecânica dos
Fluidos para escoamento em regime permanente e incompressível ao longo de uma
linha de corrente nas regiões do escoamento sem viscosidade. O valor da constante
pode ser calculado em qualquer ponto da linha de corrente em que a pressão, a
massa específica, a velocidade e a elevação sejam conhecidas.
A equação de Bernoulli também pode ser escrita entre dois pontos quaisquer
na mesma linha de corrente como:
V2
V1
Figura 6.5: Esquema de um fluido ideal.
Para um fluido
ideal (teórico)!
109
6.2
Exercícios de Aplicação
1) Determinar a velocidade do jato do liquido no orifício do tanque de grandes
dimensões da figura a seguir. Considerar o fluido ideal.
110
6.3
Tubo de Pitot
 Objetivo: determinar a velocidade de escoamento.
 Como é feito: Utilizando a equação de Bernoulli
 Cada termo representa algum tipo de pressão:


Pressão estática: não incorpora nenhum efeito dinâmico.
Pressão dinâmica: representa o aumento de pressão quando o fluido em
movimento é colocado em repouso.

Pressão hidrostática: depende do nível de referência selecionado.
6.3.1 Pressão total ao longo de uma linha de corrente
Figura 6.6: Tubo de Pitot.
111
Ponto de estagnação  V = 0
 Laminar =
 Turbulento =
112
6.3.2 Exercícios de aplicação
1) Um piezômetro e um tubo de Pitot são colocados em um tubo horizontal
transportando água, como mostra a figura, para medir a pressão estática e de
(
á
+
).
determine a velocidade no centro do tubo.
’á
,
113
2) Água escoa em regime permanente no Venturi da figura. No trecho considerado,
supõem-se as perdas por atrito desprezíveis e as propriedades uniformes nas
seções. A área (1) é
, enquanto o da garganta (2) é
manômetro, cujo fluido manométrico é mercúrio
. Um
, é ligado entre
as seções (1) e (2) indicando o desnível mostrado na figura. Pede-se a vazão da
água que escoa pelo Venturi
.
114
6.4
Extensão do Teorema de Bernoulli para os Líquidos Naturais (Fluidos
Reais) – Perda de Carga
A experiência não confirma rigorosamente o Teorema de Bernoulli porque os
fluidos reais se afastam dos ideais (perfeitos). No movimento dos fluidos reais
aparece o efeito da sua viscosidade e do atrito resultando na dissipação de uma
parcela de sua energia que é transformada em calor.
A essa energia dissipada denomina-se Perda de Carga
, que será
introduzida na equação de Bernoulli.
6.4.1 Representação gráfica da Equação de Bernoulli para fluidos naturais (reais)
Considere o reservatório de nível constante ao qual está ligada uma
tubulação de diâmetro constante com um registro
na parte final.
Reservatório de Nível
Constante
Figura 6.7: Representação gráfica da perda de carga.
115

Registro fechado: pelo princípio dos vasos comunicantes o líquido alcança
nos tubos piezométricos A, B e C o mesmo nível do líquido no reservatório. Temos
então o plano de carga efetivo (PCE).

Registro sendo aberto: com o registro agora sendo aberto e o nível do
reservatório mantido constante, o líquido começa a adquirir velocidade e escoar pela
tubulação. É fácil perceber que o nível de água nos tubos piezométricos A,B e C não
mais alcançam o nível do reservatório.
Quanto mais afastado do reservatório mais baixo será o nível no tubo
piezométrico. Quanto maior a velocidade (o que se consegue abrindo mais o
registro), menor também será o nível alcançado no piezômetro. Quanto menor o
diâmetro do tubo, para uma mesma vazão, menor também será o nível alcançado no
piezômetro.
Unindo-se agora os pontos correspondentes aos níveis alcançados pelo
líquido nos piezômetros tem-se a chamada linha piezométrica (LP): lugar geométrico
das cargas de posição e pressão (condições dinâmicas do escoamento), sendo a
pressão referida na escala manométrica.
É interessante observar que quando o diâmetro é constante, ou LP é uma
reta de declividade constante (o que significa que a perda de carga é diretamente
proporcional ao comprimento da tubulação de diâmetro constante).
As alturas
e
do nível do líquido nos piezômetros até o PCE chamam-
se perda de carga ou perda de pressão ou perda de altura ou, ainda, perda de
energia.
6.4.2 Equação da Energia
Quando se considera o escoamento de um fluido ideal, a equação utilizada é
a de Bernoulli. Entretanto, se adicionarmos um segundo membro nesta equação, o
termo da perda de carga, temos a chamada equação de energia (fluidos reais)
utilizada.
Com efeito, considera-se o esquema a seguir (representação gráfica), onde
PCE significa (plano de carga efetivo), LCE (linha de carga efetiva): lugar geométrico
116
das cargas de posição, pressão e velocidade, estando a pressão referida na escala
manométrica (condição dinâmica de escoamento); LP (linha piezométrica).
A LCE se encontra sempre acima, e sempre defasada da LP de
problemas de natureza prática, a LCE e LP se confundem por ser
. Em muitos
muito pequeno.
A LCE, por representar as condições dinâmicas do escoamento, também é
conhecida como LE ou linha de energia. O PCE representa as condições estáticas
do fluido.
A perda de carga é representada pela declividade da linha de carga efetiva ou
a declividade da linha de carga piezométrica, que é o caso usual, sendo as duas
linhas paralelas.
117
Nota-se que a perda de carga agora só pode ser representada pela
declividade da linha de energia, quando o diâmetro é variável.
118
De forma geral, a linha de carga efetiva (LCE) ou linha de energia (LE) só
pode decrescer ao longo do escoamento, e a linha piezométrica (LP) tanto pode
crescer quanto decrescer ao longo do escoamento.
6.4.3 Exercícios de Aplicação
1) A água escoa pelo tubo indicado na figura, cuja seção varia do ponto 1 para o
ponto 2 de
para
. Em (1) a pressão é de
e a
elevação é
, ao passo que no ponto (2) a pressão é de
elevação de
. Sabendo que a perda de carga entre os pontos (1) e (2) é
, calcule a vazão em
.
na
119
2) Um tubo transportando óleo
muda de diâmetro de
. A seção 1-1 está
respectivamente iguais a
para
abaixo de 2-2 e as pressões são
e
. Se a vazão for igual a
, qual será a perda de carga e o sentido do escoamento?
120
6.5
Exercícios de Fixação
1) Supondo fluido ideal, mostrar que os jatos de dois orifícios na parede de um
tanque interceptam-se num mesmo ponto sobre um plano, que passa pela base
do tanque, se o nível do líquido acima do orifício superior é igual à altura do
orifício inferior acima da base.
2) Um tubo de Pitot é preso num barco que se desloca a 45 km/h. Qual será a altura
h alcançada pela água no ramo vertical?
3) Quais são as vazões de óleo em massa e em peso no tubo convergente da
figura, para elevar uma coluna de 20 cm de óleo no ponto (0)? Dados: desprezar
p
; γóleo = 8.000 N/m³; g = 10 m/s².
121
4) Dado o dispositivo da figura, calcular a vazão do escoamento da água no
: γágua = 104
.D
/ ³; γm = 6 x 104 N/m³; P2 = 20 kPa; A = 10-2 m²; g
= 10 m/s². Desprezar as perdas de carga e considerar o diagrama de velocidades
uniforme.
5) Na extremidade de uma tubulação de diâmetro D, encontra-se instalado um
bocal que la
j
á
(γá
1
4
N/m³) na atmosfera com diâmetro
de 2 cm. O manômetro metálico registra uma pressão de 20 kPa e a água sobre
no tubo de Pitot até a altura de 2,5 m. Nessas condições, determinar:
a) a vazão em peso do escoamento;
b) o diâmetro D do tubo, admitindo escoamento permanente e sem atrito.
6) 6) No conduto da figura, o fluido é considerado ideal. Dados: H1 = 16 m; P1 = 52
k
;γ
1
4
N/m³; D1 = D3 = 10 cm. Determinar: a) a vazão em peso; b) a altura
h1 do manômetro; c) o diâmetro da seção (2).
122
7) Um dos métodos para se produzir vácuo numa câmara é descarregar água por
um tubo convergentedivergente, como é mostrado na figura. Qual deve ser a
vazão em massa de água pelo convergente-divergente para produzir uma
depressão de 22 cm de mercúrio na câmara da figura? Dados: desprezar as
p
; γá
1 4
/ ³; γH
mm; D2 = 36 mm.
GABARITO:
2) h = 7,8 m
3) Qm = 2,1 kg/s; Qp = 21 N/s
4) Q = 40 L/s
5) a) 22,2 N/s; D = 3 cm
6) Qp = 314 N/s; h1 = 0; c) D2 = 5,7 cm
7) Qm = 8,14 kg/s
1, 6 x 1 5
/ ³;
1
/ ²; D1
7
123
UNIDADE 7 – PERDA DE CARGA
7.1
Conceito
É um termo genérico designativo do consumo de energia desprendido por um
fluido para vencer as resistências ao escoamento. Essa energia se perde sob a
forma de calor.
Para se ter uma ideia, seriam necessários 100 m de tubulação para a água ter
um aumento de temperatura de 0,234 graus centígrados.
7.2
Regime de escoamento
7.2.1 Experiência de Osborne Reynolds
Em 1883 Osborne Reynolds realizou um experimento que mostrou a
x ê
p
: “
p
f
seguem-se ao longo de linhas de movimento e que vão da maneira mais direta
possível ao seu destino, e outro em que se movem em trajetórias sinuosas da
p
ív ”,
. O
j ,
v
como visualizar escoamentos laminares e turbulentos.
Na figura a seguir, é reproduzido o experimento de Reynolds, onde se
visualiza o escoamento de água em um duto de vidro, com uma agulha metálica
injetando tinta na região central da tubulação.
124
Figura 7.1: Esquema do experimento realizado por Osborne Reynolds, em 1883.
Figura 7.2: Esquema relacionando a vazão máxima com os diferentes regimes de escoamento.
7.2.2 Número de Reynolds (Rey)
O número de Reynolds leva em conta a velocidade entre o fluido que escoa e
o material que o envolve, uma dimensão linear típica e a viscosidade cinemática do
fluido.
125
Em que,
V = velocidade do escoamento, em m s-1;
D = diâmetro da tubulação, em m; e
Ʋ = viscosidade cinemática, em m2 s-1.
Classificação dos regimes de escoamento conforme o número de Reynolds:
 R y≤
 regime laminar
 2000 < Rey < 4000  regime de transição
 Rey ≥ 4
 regime turbulento
a) Regime Laminar ou Lamelar;
b) Regime Turbulento;
c) Regime Turbulento,
Figura 7.3: Regimes de escoamento.
A resistência ao escoamento em regime laminar é devida inteiramente a
viscosidade.
Em regime turbulento é o efeito combinado das forças devidas à viscosidade
e a inércia.
126
7.3
Classificação das perdas de carga
Na prática, as tubulações não são constituídas apenas por tubos retilíneos e
de mesmo diâmetro. Há também as peças especiais como: curvas, joelhos ou
cotovelos, registros, válvulas, reduções, ampliações etc., responsáveis por novas
perdas.
7.3.1 Perda da carga contínua ou distribuída ou perda por atrito
É ocasionada pela resistência oferecida ao escoamento do fluido ao longo da
tubulação. A experiência demonstra que ela é proporcional ao comprimento da
tubulação de diâmetro constante.
A perda de carga contínua em condutos de seção constante, regime
permanente e uniforme (escoamento incompressível) pode ser adquirida pelas
seguintes fórmulas:
1- Fórmula Racional ou Universal
2- Fórmula de Hazen-Williams
3- Fórmula de Flamant
Fórmulas práticas
ou empíricas
4- Fórmula de Fair-Wipple-Hsiao
5- Fórmula para tubos de PVC
6- Fórmula de Darcy-Weisbach
7.3.2 Resistência das paredes internas do conduto ao escoamento

E p
í
(β)
β decresce com o
aumento de Rey.
127
i)
Escoamento turbulento de parede lisa:
ii)
Escoamento turbulento de parede intermediária:
iii)
Escoamento turbulento de parede rugosa:
7.3.3 Fator de atrito (f)
Determinação do coeficiente de atrito (f) da fórmula universal.
Escoamento  f (R y, ε/D),
ε/D é
v
b
.
128
Figura 7.4: Representação gráfica de f (NIKURADZE).
 Região I
R
(R y ≤
);
f independe da rugosidade relativa ( /D).
 Região II,III e IV
R
b
(R y ≥ 4000).
 Região II
R
b
f = f(Rey) e independente de ( /D).
Válida para
p
(β≥4 );
129
 Região III
Região de escoamento turbulento de parede intermediária

;
.
Válida para
< 2000
 Região IV
Região de escoamento turbulento de parede rugosa

e independe de
.
Simplificação da solução das equações por:

Diagrama de Moody

Diagrama de Moody-Rouse

tentativas ou calculadora gráfica
;
;
.
;
130
Figura 7.5: Diagrama de Moody.
131
Figura 7.6: Diagrama de Rouse.
132
7.3.4 Fórmula Racional ou Universal
É válida para qualquer tipo de fluido e para qualquer regime de escoamento.
ou
Em que,
hf = perda de carga contínua, em m;
f = fator de atrito;
L = comprimento da tubulação, em m;
Q = vazão escoada, em m3 s-1;
D = diâmetro da tubulação, em m;
v = velocidade de escoamento, em m/s.
7.3.5 Exercícios de Aplicação
1) Uma tubulação de ferro fundido enferrujado (
e
de extensão escoa uma vazão de
perda escoa de carga pela fórmula universal (
, com diâmetro de
de água. Determinar a
.
133
134
2) Um conduto de ferro fundido novo revestido internamente (
diâmetro de
uma
(
perda
e
de
, com
de extensão é submedido a uma vazão que produz
carga
de
.
.
Determinar
a
vazão
escoada
135
7.3.5 Perda de carga acidental ou localizada ou singular
Ocorre todas as vezes que houver mudança no módulo e/ou na direção da
velocidade e, quando houver peças especiais como curvas, válvulas, registros,
bocais, etc.
Podem ser desprezíveis quando:

Velocidade menor que

Pequeno número de peças especiais;

≥4
;
D.
Figura 7.7: Esquema da perda de carga localizada.
Figura 7.8: Perdas localizadas na entrada de uma canalização (a) e na saída de uma canalização (b).
136
Expressão geral das perdas localizadas:
7.3.6 Valores K (Perda Localizada)
Tabela 7.1 – Valores aproximados de K (perdas localizadas)
Tabela 7.2 – Perda de carga em curvas de 90º.
137
Tabela 7.3 - Valores de K para registros
7.3.7 Perda de carga devida ao alongamento gradual de seção
Figura 7.9: Exemplo de tubulação com diferentes seções.
Tabela 7.4 – V
p
K
β
138
7.3.8 Perda de carga total
É a perda de carga total que ocorre durante o escoamento.
139
7.3.9 Exercícios de Aplicação
1) A tubulação da figura é de aço e tem diâmetro de
adotando
. Determinar a vazão,
140
2) Calcular a perda de carga total em um trecho de uma canalização de alumínio
, que conduz
canalização é de
especiais:
, numa extensão de
. O diâmetro da
e ao longo do trecho têm-se as seguintes peças
141
7.4
Linha piezométrica e linha de energia nas perdas de cargas distribuídas
e localizada
Figura 7.10: Relação Perdas de Carga Localizadas em Canalizações e linha piezométrica.
I)
Observações

As linhas são paralelas e não se cruzam;

A linha de energia (LE) é sempre decrescente devida a perda de carga ao
longo dos condutos;

A linha piezométrica (LP) pode ser crescente dependendo da pressão dentro
dos condutos, ou seja, toda vez que tem aumento do diâmetro há,
consequentemente, aumento de pressão no conduto (balanço de energia).
II) Descontinuidades

Entrada normal de tubulação;

Redução no diâmetro  diminuição da pressão no conduto e aumento da
energia cinética;

Ampliação no diâmetro  aumento da pressão no conduto e redução da
energia cinética;

Degrau na LE e LP  causado pela perda de carga localizada (alteração do
modulo da velocidade).
142
7.5
Exercícios de Fixação
b
1)
v z
1
/
(Ɛ
q
(Ʋ
4,6 x 1
x1
-6
-5
m) que deverá transportar
m2/s) a uma distância de 600 m,
com uma perda de carga de 3 m.
2) D
p
= 4,6 x 10
-5
p
k
p
)
b
45
.Of
f
(Ɛ
é
(Ɛ
(Ʋ
1, 6 x
10-5 m2/s) e a vazão é 190 L/s.
f
3) Calcular a vazão de água
D
1
, Ʋ
,7 x 1
-6
,5 x 1
-4
m), sendo
m2/s e sabendo-se que dois manômetros
instalados a uma distância de 10 m indicam, respectivamente, 0,15 MPa e 0,145
(γágua = 104 N/m³).
4) Dada a tubulação da figura, cuja seção (2) está aberta à atmosfera, calcular:
a) a perda de carga entre (1) e (2);
b) a vazão.
Sabe-se que o escoamento é laminar.
D
:γ
.
/ ³; Ʋ
,5 x 1
-3
m2/s; L1,2 = 30 m; D = 15 cm; P1 = 32,8 kPa
143
5) Uma galeria de seção quadrada (0,6 m x 0,6 m) esgota ar de uma mina, onde a
pressão é de 0,2 mca, para a atmosfera. Calcular a vazão de ar. Desprezar as
q
perdas singulares. Sabe-
Ʋar = 10-5 m2/ ; γar
1 ,7
/ ³; Ɛ
1
6
;Ɛ
-3
m.
6) Dada a instalação da figura, determinar:
a) a velocidade e a vazão na tubulação;
b) a pressão no ponto A, ponto médio do trecho (3)-(4).
Dados: ks1 = 0,5; ks2 = ks3 = ks4 = ks5 = 1; ks6 = 10; ks7
1
/ ²; Ʋ
1
-6
1; D
,15
;
m2/s; γ = 104 N/m³.
7) Um pequeno reservatório é alimentado por um poço artesiano, conforme
mostra a figura. O manômetro metálico acusa 50 kPa. Sabe-se que a
b
é
v z
f
f
(Ɛ
,5
x 1
v
-4
m) de 10 cm de diâmetro.
(Ʋ
1
-6
m2/s).
144
8) Dois reservatórios, cujos níveis estão nas cotas 500 m e 480 m, estão interligados
p
b
(Ɛ
1
-3
m) de 8 km de extensão e 1 m de
diâmetro. Determinar a vazão que pode ser transportada. (Desprezar as perdas
singulares).
9) Água escoa em regime laminar num conduto cilíndrico horizontal de diâmetro D. A
f
Ʋ
10)
1
-6
m2/ ; D
z
1
;
α
,
α. D
;
1
v z
.D
:
/ ².
O escoamento no trecho do tubo da figura é laminar. Com a válvula
totalmente aberta, a linha piezométrica é praticamente uma reta (k s ≈ )
as medidas do desenho. Ao fechar a válvula de ¾, a vazão cai à metade da
anterior. Determinar o coeficiente de perda de carga singular nesse caso,
sabendo-se que na segunda situação o desnível marcado pelos manômetros
extremos é o mesmo da primeira situação.
D
:Ʋ
1
-5
m2/ ; γ
1
4
N/m³; D = 2 cm.
145
11)
No alargamento da figura escoa água γ
1
4
N/m³ com escoamento uniforme
nas seções, por hipótese. Sendo indicada a linha piezométrica e sendo A 1 = 10
cm² e A2 = 45 cm², determinar o coeficiente de perda de carga singular.
146
Gabarito:
1) D = 0,165 m
2) hf = 3,6 m
3) Q = 15,6 L/s
4) a) hf = 3,64 m; Q = 33,4 L/s
5) Q = 4,5 m3/s
6) a) v = 1,44 m/s; Q = 4,1 L/s b) PA = 15,5 kPa
7) Q = 39,39 L/s
8) Q = 1,25 m³/s
9) Q = 7,5 x 10-6 m³/s
10) ks = 1.280
11) ks = 0,75
147
LITERATURA CONSULTADA
BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos. 2ª Edição revisada. Editora Pearson – Prentice
Hall. 2009.
CATTANI, M. S. D. Elementos de mecânica dos fluídos. 2. ed. São Paulo: Blucher,
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