CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1 Cinemática I Bruno Conde Passos – Engenharia Civil João Victor – Engenharia Civil Cinemática Na cinemática vamos estudar os movimentos sem levar em consideração suas causas. Isso quer dizer que vamos determinar a posição, a velocidade e a aceleração de um corpo em cada instante, sem nos preocuparmos com suas causas. 2/67 Conceitos de Movimento • Referencial: Corpo de referência para ver se outro corpo está ou não em movimento; • Ponto Material: Todo corpo cujas as dimensões não interferem no estudo. (depende do referencial) • Corpo Extenso: Não pode ter massa desprezada. (não depende do referencial) 3/67 Praticando... Leia com atenção a tira da Turma da Mônica mostrada a seguir e analise as afirmativas que se seguem, considerando os princípios da Mecânica Clássica. 4/67 Praticando... I. Cascão encontra-se em movimento em relação ao skate e também em relação ao amigo Cebolinha. II. Cascão encontra-se em repouso em relação ao skate, mas em movimento em relação ao amigo Cebolinha. III. Em relação a um referencial fixo fora da Terra, Cascão jamais pode estar em repouso. Estão corretas: a) apenas I b) I e II c) I e III d) II e III e) I, II e III 5/67 Conceitos de Movimento • Movimento: Distância entre o corpo e o referencial varia com o tempo. • Repouso: Distância entre o corpo e o referencial não varia com o tempo. • Trajetória: Linha determinada, caminho percorrido por um corpo ao decorrer do tempo. 6/67 Conceitos de Movimento • Posição Escalar: Distância do corpo até a origem das posições. 7/67 Deslocamento Escalar É a diferença entre espaço final (𝑆𝑓 ) e o espaço inicial (𝑆𝑖 ) do móvel. Digite a equação aqui. ∆𝑠= 𝑆𝑓 − 𝑆𝑖 8/67 Conceitos de Movimento • Espaço percorrido: Todo o caminho percorrido. • Deslocamento: Distância entre dois objetos. 9/67 Distância Percorrida É a soma de todos os deslocamentos. 𝑑 = 𝑑1 + 𝑑2 10/67 Praticando... Um móvel parte do km 50, indo até o km 60, onde, mudando o sentido do movimento, vai até o km 32. O deslocamento escalar e a Distância efetivamente percorrida são, respectivamente: a) 28 km e 28 km b) 18 km e 38 km c) -18 km e 38 km d) 18 km e 18 km e) 38 km e 18 km 11/67 Velocidade Escalar Média É a razão entre o deslocamento ( ∆𝑠 ) correspondente intervalo de tempo ( ∆𝑡 ): 𝑉𝑚 = e o ∆𝑠 ∆𝑡 12/67 Praticando... Maria saiu de Mosqueiro às 6 horas e 30 minutos, de um ponto da estrada onde o marco quilométrico indicava km 60. Ela chegou a Belém às 7 horas e 15 minutos, onde o marco quilométrico da estrada indicava km 0. A velocidade média, em quilômetros por hora, do carro de Maria, em sua viagem de Mosqueiro até Belém, foi de: a) 45 b) 55 c) 60 d) 80 e) 120 13/67 Aceleração Escalar Média É a razão entre a variação da velocidade escalar instantânea (∆𝑣 ) e o correspondente intervalo de tempo (∆𝑡 ). 𝐴𝑚 = ∆𝑣 ∆𝑡 14/67 Praticando... Um carro de corrida é acelerado de forma que sua velocidade em função do tempo é dada conforme a tabela. Determine o valor da aceleração média desse carro. R: 6,66 m/s² 15/67 16/67 Equações: Função horária do espaço Função horária da velocidade Torricelli 17/67 Movimento Vertical QUEDA LIVRE No vácuo, todos os corpos soltos simultaneamente de uma mesma altura chegam ao solo ao mesmo tempo e com a mesma velocidade. 18/67 Movimento Vertical Aceleração da gravidade(g) = 9,8m/s² Como a aceleração da gravidade de queda livre é vertical e para baixo, podemos representá-la pelo vetor: 19/67 Praticando... Uma bola é abandonada do repouso de uma altura de 80 m acima do solo. Despreze a resistência do ar e considere g=10m/s². Determine: a) A função horária do espaço, a função da velocidade e a equação de Torricelli para o movimento da bola, considere a trajetória orientada para baixo com a origem no ponto em que o corpo foi abandonado. b) O tempo em que a bola demora para chegar ao solo. R.: a) s = 5t² , v= 10t , v²=20(S-S0) b) t = 4s 20/67 Lançamento Vertical A diferença entre a queda livre a partir do repouso e o lançamento vertical reside nas condições iniciais. No lançamento vertical a velocidade inicial não é nula, mas continua valendo a propriedade de que os corpos, sob ação exclusiva da atração gravitacional, têm a mesma aceleração. Subida: retardado uniformemente, pois a velocidade e a aceleração tem sinais diferentes. Descida: acelerado uniformemente. 21/67 Equações: Altura máxima: (v = 0) em Torricelli O tempo de subida = tempo de descida O tempo total = tempo de subida + tempo de descida 22/67 Praticando... Do alto de uma torre, a uma altura de 35m em relação ao solo, um corpo é lançado verticalmente para cima, com velocidade inicial de 30m/s. Despreze a resistência do Ar e considere g=10m/s². Determine: a) O tempo até o corpo atingir o ponto de altura máxima; b) A altura máxima atingida pelo corpo,em relação ao ponto de lançamento e ao solo. R: a) 3,0 s b) 45 m, 80m 23/67 Lançamento Horizontal Quando um corpo lançado horizontalmente entra em queda, ele descreve uma trajetória parabólica até atingir o solo. 24/67 Lançamento Horizontal Direção horizontal (eixo Ox) – O movimento é retilíneo e uniforme, ou seja, a velocidade é constante e não-nula. 𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑣𝑜 𝑡 𝑥 = 𝑣𝑜 𝑡 𝑠 = 𝑠𝑜 + 𝑣𝑜 𝑡 25/67 Equações: Direção vertical(eixo Oy) – O movimento é retilíneo acelerado uniformemente, ou seja, a velocidade aumenta uniforme com o tempo e seu módulo é dado por vy = gt. 𝑌 = (𝑔𝑡²) /2 26/67 Equações: Para obter a equação da trajetória (coordenada y em função de x), isola t em I e substitui em II. Desse modo: 27/67 Praticando... Num filme publicitário, um ator corre pelo telhado e salta na horizontal para o telhado de outro prédio que está a 4,8m abaixo e 6,2m distante do primeiro prédio. Antes de tentar o salto ele quer saber se é possível conseguir fazer o salto se sua velocidade inicial será de 4,5m/s. Ele conseguirá fazer o salto? Utilize g=10m/s². R: Não conseguirá. 28/67 Obrigada pela atenção! www.ufal.edu.br www.facebook.com/PETEngenharias 29/67