FLUXO DE CARGA LINEARIZADO

COMPONENTES SIMÉTRICAS
1. Fundamentos:
 Por serem simétricos e equilibrados, os sistemas trifásicos
podem ser representados e calculados utilizando-se uma de
suas fases e o neutro, tanto em condições normais de
funcionamento como no decorrer de curtos trifásicos.
 No entanto, este procedimento não pode ser adotado quando
ocorrem faltas assimétricas (FT, FF, FFT), as quais provocam
desequilíbrio nos sistemas. Nestes casos, utiliza-se o método
das componentes simétricas.
Sistema trifásico simétrico e equilibrado: tensões (ou correntes)
apresentam módulos iguais e defasagem de 120.
2. Componentes Simétricas Aplicadas a Sistemas Trifásicos:
Constitui-se em uma transformação linear de componentes de
fase em um novo conjunto de componentes chamadas
componentes simétricas.
O método das componentes simétricas foi desenvolvido por
Fortescue, e pode ser resumido pelo enunciado:
“Um sistema trifásico desequilibrado pode se decomposto em
três sistemas equilibrados e esta decomposição é única”.
Vc1
Va1
120o
Vc2
Va3= Vb3= Vc3
Vb2
Vb1
SEQ. DIRETA
OU POSITIVA
Va3=
Va2
SEQ. INVERSA
OU NEGATIVA
SEQ. ZERO
 seqüência positiva: 3 fasores de igual magnitude e defasados
de 120º na mesma seqüência de fases do sistema original;
 seqüência negativa: 3 fasores de igual magnitude e defasados
de 120º em seqüência de fases contrária à do sistema original;
 seqüência zero: 3 fasores de iguais magnitude e fase angular;
Utilizando o operador a = 1120 tem-se:
Seq. Positiva
Seq. Negativa
Seq. Zero
Va1  Va1
Va2  Va2
Va0  Va0
Vb1  a 2 .Va1
Vb2  a.Va2
Vb0  Va0
Vc1  a.Va1
Vc2  a 2 .Va2
Vc0  Va0
Como o sistema desequilibrado original foi decomposto em três
sistemas equilibrados simétricos, pode-se escrever:
Va  Va0  Va1  Va2
Vb  Vb0  Vb1  Vb2
Vc  Vc0  Vc1  Vc2
Fazendo:
Va0  V0
Va2  V2
Va1  V1
Tem-se:
Va  V0  V1  V2
Vb  V0  a 2 .V1  a.V2
Vc  V0  a.V1  a 2 .V2
Ou na forma matricial:
Matriz de Fortescue (F) - transformação
Va 1 1
Vb  1 a 2
  
Vc  1 a
1  V0 
a  V1 
a 2  V2 
Eq. De Síntese
V0 
1 1
V   1 1 a
 1 3 
V2 
1 a 2
1  Va
a 2  Vb
a  Vc 
Eq. De Análise
Observações:
 Em sistemas equilibrados (Va+Vb+Vc=0) a tensão de
seqüência zero é nula;
 Não existem componentes simétricas de seq. zero se for nula a
soma dos fasores do sistema trifásico desequilibrado original.
Neste caso, o sistema original de fasores é decomposto em um
sistema de seq. positiva e outro de seq. negativa.
 Em sistemas trifásicos, qualquer que seja o desequilíbrio, a
soma dos fasores tensões de linha é nula (Vab + Vbc + Vca = 0)
e em conseqüência não existem componentes de seqüência
zero nas tensões de linha.
3. Decomposição Gráfica dos fasores:
Va1
Va1
Va2
Vc1
Vc1
Va0
Va
Vc2
Vb1
Va1
Vc0
Vb1
Vc
Vb
Vb2
Vb0
Vc1
Vc
Va
Vb1
Vb
4. Correntes:
O teorema de Fortescue aplica-se igualmente aos fasores de
corrente:
 Ia  1 1
 Ib   1 a 2
  
 Ic  1 a
1   I0 
a   I1 
a 2   I 2 
I0 
1 1
 I   1 1 a
 1 3 
 I 2 
1 a 2
1   Ia 
a 2   Ib 
a   Ic 
Em um sistema trifásico a soma das correntes de linha é igual a
corrente de retorno In.
Ib
a
b
Ia
n
In
Ic
c
Pode-se escrever:
I n  I a  Ib  Ic
Como visto:
1
I 0  (I a  Ib  I c )
3
I n  3 .I 0
Assim, a corrente de retorno é igual a 3 vezes a corrente de
seqüência zero.
Observação:
 Em sistemas trifásicos com carga em delta ou em Y não
aterrado não existirá corrente de seqüência zero nas linhas
(Ia+Ib+Ic=0).
5. Potência em termos de Componentes Simétricas:
A potência aparente total em um circuito trifásico é dada por:
S3  Va .I a*  Vb .I b*  Vc .I c*
S3  [Vabc ]T .[ I abc ]*  {[ F ][V012 ]}T .{[ F ][ I 012 ]}*
S3  [V012 ]T [ F ]T [ F ]*[ I 012 ]*
Sabe-se que:
1 1
[ F ]T [ F ]*  1 a 2
1 a
1  1 1
a  1 a
a 2  1 a 2
1
1 0 0
a 2   3.0 1 0
0 0 1
a 
Logo:
S3  3.[V012 ]T [ I 012 ]*  3.(V0 .I 0*  V1.I1*  V2 .I 2* )
O que significa que a potência complexa em um sistema trifásico
desequilibrado pode ser calculada como a soma das potências
absorvidas em cada seqüência (zero, direta, inversa).
6. Impedância de Sequência:
O sistema abaixo ilustra uma carga trifásica equilibrada, com
impedância série Zs por fase, ligada em estrela, aterrada por
meio de Zn.
As fases estão acopladas entre si por meio de impedâncias
mútuas Zm (resultantes de capacitâncias ou indutâncias entre os
condutores das linhas).
As tensões de fase Va, Vb e Vc podem ser escritas por:
Va  Z s I a  Z m I b  Z m I c  Z n I n
Vb  Z m I a  Z s I b  Z m I c  Z n I n
Vc  Z m I a  Z m I b  Z s I c  Z n I n
Lembrando que In = Ia + Ib + Ic e reordenando as equações:
Va  ( Z s  Z n ) I a  ( Z m  Z n ) I b  ( Z m  Z n ) I c
Vb  ( Z m  Z n ) I a  ( Z s  Z n ) I b  ( Z m  Z n ) I c
Vc  ( Z m  Z n ) I a  ( Z m  Z n ) I b  ( Z s  Z n ) I c
Ou na forma matricial:
Va   Z s  Z n
V   Z  Z
n
 b  m
Vc  Z m  Z n
Zm  Zn
Zs  Zn
Zm  Zn
[Vabc ]  [ Z ].[ I abc ]
Zm  Zn  I a 
Z m  Z n   I b 
Z s  Z n   I c 
[ F 1 ][Vabc ]  [ F 1 ][ Z ].{[ F ][ I 012 ]}
[V012 ]  [ Z 012 ][ I 012 ]
 Z s  2Z m  3Z n
F 1ZF  Z 012  
0

0
0
Zs  Zm
0
0 
0 
Z s  Z m 
As componentes simétricas funcionam como um método de
diagonalização da matriz-impedância. Com isso, têm-se circuitos
de sequência eletricamente desacoplados entre si.
V0  ( Z s  2Z m  3Z n ) I 0
 Z 0  Z s  2Z m  3Z n
V1  ( Z s  Z m ) I1
 Z1  Z s  Z m
V2  ( Z s  Z m ) I 2
 Z2  Zs  Zm
a) Cargas de Impedância em Estrela aterrado
Vag  ZI a  Z N I N  ZI a  Z N ( I a  I b  I c )
Vbg  ZI b  Z N I N  ZI b  Z N ( I a  I b  I c )
Vcg  ZI c  Z N I N  ZI c  Z N ( I a  I b  I c )
Na forma matricial:
Vag   Z  Z N
ZN
  
Z  ZN
Vbg    Z N
Vcg   Z N
ZN
 
[Vabc ]  [ Z ].[ I abc ]
Z N  Ia 
Z N . I b 
Z  Z N   I c 
[ F 1 ][Vabc ]  [ F 1 ][ Z ].{[ F ][ I 012 ]}
[V012 ]  [ Z 012 ][ I 012 ]
Onde:
Z  3Z N
[ Z 012 ]  F 1ZF   0
 0
0
Z
0
0
0 
Z 
Assim, tem-se:
V0  ( Z  3Z N ) I 0
 Z 0  Z  3Z N
V1  ZI1
 Z1  Z
V2  ZI 2
 Z2  Z
 A razão entre a tensão e a corrente de seqüência recebe o
nome de impedância de seqüência.
 A transformação de componentes simétricas desacoplou as
seqüências umas das outras, ou seja, a queda de tensão
referente à uma das seqüências só depende da corrente
daquela seqüência. Isto sugere o conceito de circuitos
equivalentes (ou diagramas) de seqüência.
I1
I0
I2
Z
V1
V0
Z
V2
Z
3Zn
Seqüência zero
Seqüência positiva
Seqüência negativa
b) Cargas de Impedância em Delta ou Estrela isolado
Obs: carga ligada em
Delta pode ser substituída
por outra equivalente
ligada em Estrela com
centro isolado.
O sistema pode ser representado por:
Van'  Van 
1
I a 
V   V   V 1  Z  I 
 bn'   bn  nn'  
 b
Vcn '  Vcn 
1
 I c 
Multiplicando por F-1:
V0 
1
I 0 
V   V 0  Z  I 
 1  nn'  
 1
V2 
0
 I 2 
Ou seja:
V0 = ZI0 – VNN’
V1 = ZI1
V2 = ZI2
Como o centro estrela é isolado: Ia+Ib+Ic=0 e portanto I0 = 0.
Assim:
V0 = - VNN’ V1 = ZI1
V2 = ZI2
 Conclui-se que em cargas em Delta ou Estrela com centro
isolado a impedância de seqüência zero vale infinito, pois não
há corrente de retorno.
c) Linhas de Transmissão
Para efeito de cálculo de CC a linha é sempre representada pelo
modelo de linha curta:
Z = r + jx
O comportamento de uma linha de transmissão não se altera com
as diferentes seqüências de fase, por isso a impedância e o
circuito equivalente de seqüência negativa são os mesmos da
seqüência positiva. Os parâmetros são obtidos por meio de
ensaios ou calculados considerando o condutor e a geometria da
linha.
O circuito equivalente para seqüência zero, assim como o da
seqüência negativa, não se altera. Mas a impedância de
seqüência zero é diferente pois deve incluir o circuito de retorno
das correntes (terra, cabos terra, fio neutro ou combinação
delas). A impedância de seqüência zero encontra-se na faixa de 2
a 6 vezes a impedância de seqüência positiva.
Z1 = Z 2
2xZ1 < Z0 < 6 Z1
d) Gerador Síncrono
Ea
-
In
-
Ia
b'
Z
Ib b
c'
Z
Ic c
+
Ec
Zn
Z
+
Eb
n'
a'
+
n
Tem-se a equação na forma matricial:
Van  Vaa'  Va 'n ' 
1
V   V   V   V .1
 bn   bb'   b 'n '  n 'n  
Vcn  Vcc '  Vc 'n ' 
1
Aplicando a matriz de Fortescue:
Vaa' 
I a 
I 0 
V    Z  I    Z .[ F ]. I 
 bb' 
 b
 1
Vcc ' 
 I c 
 I 2 
Va 'n '   Ea 
 E0 
V    E   [ F ]. E 
 b 'n '   b 
 1
Vc 'n '   Ec 
 E2 
Vn 'n   Z n ( I a  I b  I c )  3Z n I 0
Substituindo:
Van 
I 0 
 E0 
1
V    Z .[ F ]. I   [ F ]. E   3Z I 1
n 0 
 bn 
 1
 1
Vcn 
 I 2 
 E2 
1
Pré-multiplicando por F-1:
V0 
 I 0   E0 
1
V    Z . I    E   3Z I 0
n 0 
 1
 1  1
V2 
 I 2   E2 
0
O que resulta em:
V0 = E0 – (Z + 3Zn)I0
 Z0 = Z + 3Zn
V1 = E1 – (Z)I1
 Z1 = Z
V2 = E2 – (Z)I2
 Z2 = Z
Apenas a seqüência positiva gera tensão a vazio:
E0 = E2= 0
E1= E
Representação:
Seqüência zero
Seqüência positiva
Seqüência negativa
O gerador síncrono é caracterizado por três diferentes reatâncias:
Xd - reatância síncrona de eixo direto d
(correspondente ao funcionamento em regime),
Xd” – reatância subtransitória de eixo direto d
(correspondente ao período sub-transitório)
Xd’ - reatância transitória de eixo direto d
(correspondente ao período transitório).
A reatância de sequência positiva do gerador será então igual a
Xd, Xd” ou Xd’ dependendo do período no qual deseja-se
calcular o curto-circuito.
A reatância de sequência negativa será igual a reatância
subtransitória de eixo direto Xd”.
A reatância de zero será aproximadamente igual a reatância de
dispersão da armadura Xl.
e) Transformadores
O ensaio de curto-circuito do transformador permite obter os
valores de X1=X2. Os circuitos equivalentes, por fase, para
seqüência positiva e negativa são elaborados desprezando-se
resistências e corrente de excitação, e referindo-se as reatâncias a
um dos lados.
jX1
jX2
Seqüência positiva
Seqüência negativa
O modelo para seqüência zero depende do tipo de ligação do
transformador, permitindo ou não, o estabelecimento de corrente
de seqüência zero através de um percurso fechado.
a) Banco de transformadores ma ligação em Y-Y
b) Banco de transformadores ma ligação em -
c) Banco de transformadores ma ligação em Y- e -Y
a) Banco de transformadores ma ligação em Y-Y
Aplica-se a tensão de sequência zero no primário com o
secundário em curto-circuito. No secundário tem-se:
E 2  3I 2 Z n'
Sabendo-se que:
E1 
N1
E2
N2
e
I2 
N1
I1
N2
2
Tem-se:
N 
E1  3I1  1  Z n'
 N2 
No primário tem-se:
N12
E0  E1  I1 ( Z1  3Z n )  I1 (3Z
 Z1  3Z n )
N 22
'
n
Onde a impedância de seqüência zero será dada por:
2
E0
' N1
Z0 
 (3Z n 2  Z1  3Z n )
I1
N2
Ou seja, o transformador poderá ser representado por um circuito
tendo, no primário, em série com um transformador ideal com
relação de espiras N1/N2, uma impedância constituída pela
associação em série da impedância de curto-circuito com o triplo
da de aterramento do primário e com o triplo da de aterramento
do secundário referida ao primário.
Adotando-se como base de tensão os valores nominais de tensão
do primário e secundário do transformador tem-se em p.u.:
z0  (3zn'  z  3zn )
(p.u.)
Onde:
N 12 S n
Sn
'
z  Z 2  Zn 2 2
V2 n
N 2 V1n
'
n
'
n
z  Z1
Sn
V12n
3Zn
zn  Z n
Z
3Z’n
Sn
V1n2
No caso do transformador ser aterrado diretamente no primário,
no secundário ou em amos os enrrolamentos, tem-se
respectivamente que zn = 0, z’n=0 ou zn = z’n=0.
Z
No caso em que um dos enrolamento está isolado da terra, é
suficiente fazer a impedância de aterramento correspondente
tender a infinito, ficando aberto o circuito.
No enrolamento isolado, não poderá existir circulação de
corrente de seqüência zero, pois no centro-estrela tem-se que:
IA+IB+IC = 3I0 = 0
Z
3Z’n
b) Banco de transformadores ma ligação em -
Aplica-se tensão de sequência zero no primário com o
secundário em curto-circuito, nota-se que o potencial dos pontos
A, B e C é o mesmo:
VAN  VBN  VCN  E0
VAB  VBC  VCA  E0  E0  0
Portanto a corrente fornecida pelos geradores é nula, isto é, a
impedância de seqüência zero é infinita.
c) Banco de transformadores ma ligação em Y- e -Y
Com finalidade didática separamos a impedância de curtocircuito nas parcelas referentes ao primário e ao secundário:
Z11 – impedância de curto-circuito do primário;
Z22 – impedância de curto-circuito do secundário;
V12n
N12
Z1  z
 Z11  2 Z 22
Sn
N2
Observando que os pontos A’, B’ e C’ do secundário estão no
mesmo potencial:
E2  Z22I 2
Sabe-se que:
N1
E1 
E2
N2
I2 
e
N1
I1
N2
Substituindo, tem-se que:
N 12
N2
N1
E1
 Z 22
I1  E1  Z 22 2 I1
N1
N2
N2
No primário tem-se que:
N12
E0  E1  I1 ( Z11  3Z n )  I1 ( Z 22 2  Z11  3Z n )  I1 ( Z1  3Z n )
N2
A impedância vista pelo primário é dada por:
Z 0  ( Z1  3Z n )
Se alimentarmos o transformador com seqüência de fase zero
pelo secundário (), não circulará corrente, pois os pontos A’, B’
e C’ estão no mesmo potencial. Logo, a impedância de seqüência
zero vista pelo secundário é infinita. Assim, o transformador será
representado, em p.u., por uma impedância (z + 3zn) ligada a
terra com circuito desconexo.
3zn
z
No caso do transformador com centro estrela aterrado
diretamente ou isolado tem-se:
z