Circuito LC

Circuitos LC
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Esquema elétrico de um circuito LC
Os circuitos LC se comportam como ressonadores eletrônicos, sendo um componente
chave em muitas aplicacões, tais como osciladores, filtros e misturadores de frequência.
Um circuito LC consiste de um indutor e um capacitor. A corrente elétrica irá alternar
entre ele a uma frequência angular de
,
onde



L é a indutância (em Henrys)
C é a capacitância (em farads).
ω é a frequência angular (em radianos por segundo).
Um circuito LC é um modelo idealizado, visto que ele assume que não há dissipação de
energia devido à resistência elétrica. Para um modelo incorporando a resistência veja o
circuito RLC.
Frequência de ressonância
Capacitores, dispositivos que armazenam energia no campo eléctrico, possuem
reatância igual a -1/ωC
Indutores, dispositivos que armazenam energia no campo magnético, possuem reatância
igual a ωL
A frequência de ressonância (aquela com que excitamos o circuito) implica que as
reatâncias do capacitor e da bobina possuem módulos iguais. Tendo elas sinais opostos,
irão anular-se e a impedância do circuito será puramente resistiva. Desse modo,
obteremos uma corrente eficaz maior, pois toda a corrente do circuito estará em fase
com a tensão (não haverá corrente em quadratura)
sendo XL = XC, temos:
onde ω é a frequência de ressonância (usualmente denotada por ω0)
A frequência de ressonância do circuito LC (em radianos por segundo) é
1/ωC = ωL → ω² = 1/LC
Onde ω é a frequência de ressonância (usualmente denotada por ω0)
Quando a frequência está acima de ω0, a reatância do circuito tem caráter indutivo e a
corrente fica atrasada em relação à tensão. quando a frequência está abaixo de ω0, a
reatância do circuito tem caráter capacitivo e a corrente fica adiantada em relação à
tensão.
A frequência equivalente, medida em hertz é:
2πfL = 1 / (2πfC) →
Ou
Análise do circuito
Pela Lei da Tensão de Kirchoff, nós sabemos que a tensão através do capacitor, VC
deve ser igual à tensão através do indutor, VL:
VC = VL
Do mesmo modo, pela lei da corrente de Kirchoff, a corrente através do capacitor mais
a corrente através do indutor devem ser iguais a zero:
iC + iL = 0
Das relações constitutivas para os elementos do circuito, nos sabemos que
e,
Após rearranjar e substituir, nós obtemos uma equação diferencial de segunda ordem
Então definimos o parâmetro ω como segue:
Com esta definição, podemos simplificar a equação diferencial:
O polinomial associado é s
2
+ ω2 = 0, então
s = + jω
ou
s = − jω
onde j é a unidade imaginária.
Portando, a solução completa para a equação diferencial é
i(t) = Ae + jωt + Be − jωt
e pode ser resolvida para A e B considerando-se as condições iniciais.
Visto que a exponencial é complexa, a solução represente uma corrente alternada
senoidal.
Se as condições iniciais são tais que A = B, então nós podemos utilizar a fórmula de
Euler para obter uma senóide real com amplitude 2A e frequência angular
.
Deste modo, a solução resultante se torna:
i(t) = 2Acos(ωt)
As condições iniciais que satisfariam este resultado são:
i(t = 0) = 2A
e
Impedância dos circuitos LC
LC série
Consideremos primeiro a impedância do circuito LC série. A impedância total é dada
pela soma das impedâncias capacitiva e indutiva:
Z = ZL + ZC
Escrevendo a impedância indutiva como ZL
= iωL, a impedância capacitiva como
e substituindo nós temos:
Escrevendo esta expressão sob um denominador comum temos:
2
Note que o numerador implica que se ω LC = 1 a impedância total Z será igual a zero
e em outros casos diferente de zero. Desse modo o circuito conectado em série irá atuar
como um FILTRO PASSA-BANDA, possuindo impedância zero na frequência de
ressonância do circuito LC.
LC paralelo
A mesma análise pode ser aplicada ao circuito LC paralelo. A impedância total é então
dada por:
e após a substituição de ZL e ZC, nós temos:
o que simplifica a:
2
Note que porém para todos os outros valores de ω LC a impedância é finita. Deste
modo o circuito conectado em paralelo atuará como um FILTRO REJEITA-BANDA,
possuindo impedância infinida na frequência de ressonância do circuito LC.
Seletividade
Os circuitos LC são comumente utilizados como filtros; a razão L/C determina a sua
seletividade. Para um circuito ressonante série, quando maior a indutância e menor a
capacitância, mais estreita é a banda passante. Para um circuito ressonante paralelo o
inverso se aplica.
Gráficos dos circuitos L C
XC = 1/ 2πfC
XL = XC
XL = 2πfL
XL = XC