6a Lista: Rotacao e Conservacao do Momento Angular (Cap

6a Lista: Rotacao e Conservacao do Momento Angular (Cap.9 &Cap.10)
/~ 5 .
Uma roda parte do repollSo com a aceleracao angular
C011Stantede 2,6 rad Zs?e rola durante 6 s. No final deste interva10de tempo, (n) qual a velocidade angular? (b) Qual 0 angulo
varrido na rotacao cia roda? (c) Quantas voltas fez a roda? (d) Qual
a velocidade e qual a aceleracao de urn ponto a 0,3 m de distancia do eixo da roda?
I
~. 92.'
Uma esfera macica homogenea, de raio r, parte do rep uso, a altura h, e rola pelos trilhos de uma montanha-russa que
tern uma volta completa de raio R, como mostra a Fig. 9-56. (a)
Qual 0 menor valor de h para 0 qual a esfera faz a volta sem cair
no topo? (b) Que valor teria h se a bola, em lugar de rolar, deslizasse pelos trilhos, sem atrito?
• 141
Uma bicic1eta tern rodas com 1,2 m de diametro, 0 ciCiist£ acelera, a partir do repouso, com aceleracao const~nte e
chega a velocidade de 24 km/h em 14,0 s. Qual a aceleracao angular das rodas?
d
;
•• 24 I Urna roda montada num eixo que oferece atrito esta
initia1mente em repouso. Urn torque extemo constante de 50 N'rn
e aplicado a roda, durante 20 5, atribuindo-~e velocidade angular de 600 rev I min. 0 torque extemo, depois desse tempo, eremovido e a roda para em 120 s. Calcular (a) 0 momento de inercia da roda e (b) 0 torque do atrito, admitindo que seja constante .
•;:. 27'
Um disco horizontal homogeneo, ~e massaM e raio R,
w. <?
g fi iente de atrito cinetico entre 0 disco e uma superficie horizontal sobre a qual esta pousado e 14.. (0) Determinar 0 torq~e dr
exercido pela forca de atrito sobre urn elemen!o anular de .ralOr e
largura dr. (b) Determinar 0 torque total do atnto sobre 0 disco. (c)
Determinar 0 tempo que 0 disco leva para chegar ao repouso.
ira.erri tomo do seu eixo vertical co~ velocidade an~~
•• 36 .
Uma chapa retangular homogenea tern a massa ~ e os
lados neb. (n) Mostrar, por integracao, que 0 momento de mercia da chapa ern relacao a urn eixo perpendicular ao seu plano e
que passa por urn vertice e m(a2 + 1r)/3. (b) Qual 0 momento de
inercia da chapa em tomo de urn eixo perpendicular ao seu planO'-e~ue passa pelo centro de mas_sa_?
__
•• 60 ) Urn corpo de 4 kg esta sobre uma superffcie h~rizontal-sertt atrito, preso a urn cordel que passa por uma polia e no
qual se pendura urn outro corpo de 2 kg (Fig. 9-45). A polia e urn
disco hornogeneo, com raio de 8 em e massa de 0,6 kg. (n) Calcular a velocidade do corpo de 2 kg ao cair 2,5 m a partir do repouso. (b) Qual a velocidade angular da polia no instante correspondente a queda de 2,5 m?
••55
Urn disco uniforme de massa M e raio R esta montado
de modo a poder girar livremente em tome de urn eixo horizontal que passa pelo seu centro e e perpendicular ao seu plano. Uma
pequenina particula, de massa m, e presa a borda do disco, no seu
topo, na vertical, acima do eixo. 0 sistema recebe pequeno impulso e 0 disco principia a girar. (n) Qual a velocidade angular
do disco quando a particula passa pelo ponto mais baixo da sua
trajet6ria? (b) Nesse ponto, que forca deve ser exercida sobre a
partfcula, pelo disco, a fim de ela nao se desprender?
•• 58
Uma escada de 8,6 m e 60 kg de massa esta encostada
numa parede, quase na vertical. Uma pessoa esta sobre urn degrau de cima, com 0 respectivo centro de massa na ponta da escada. A massa da pessoa e de 80 kg. Num certo instante, a escada
principia a cair, girando em tomo de urn eixo que passa pela sua
base, afastando-se da parede. 0 que e melhor para a pessoa: pular fora da escada e cair em queda livre ou ficar agarrada a escada e s6 pular pouco antes da colisao com 0 solo?
-
--
•• '64 ;
Em 1993, urn gigantesco ioio, de 400 kg e 1,5 ~ de raio,
caiu de urna altura de 57 m. Admitindo que 0 raio do eixo deste
ioio Fosse r = 0,1 m, calcular a velocidade v no final da queda,
• • 87
Uma lata vazia, cuja massa
.- "
total e 3M, rola sern escorregar. A dis-. '.', .~""J'
tribuicao da massa esta esquematiza_ M
da na Fig. 9-54. Qual 0 valor da razao
.'.
entre a energia cinetica de translacao e
a energia cinetica de rotacao em tomo
do respective centro de massa?
M
••• 104, Uma bola esferica homogenea e posta a girar em torno deum eixo horizontal com a velocidade angular % e entao
pousada no solo. 0 coeficiente de atrito cinetico entre a bola e 0
solo e 14.. Calcular a velocidade do centro de massa da bola quando ela principia a rolar pelo solo, sem escorregar.
, 110.
0 torque exercido sobre urn satelits de comunicacoes
em '6rbita terreste pela forca gravitacional da Terra
(a) esta dirigido para 0 centro da Terra.
(b) e paralelo ao eixo da Terra e na direcao do p610 norte.
(c) e paralelo ao eixo da Terra e na direcao do p610 sul,
(d) esta dirigido na direcao do satelite,
(e) e nulo.
: ~~-:t
_.
'---'
• ~ 68 __ as dois corpos de uma
m.trulna de Atwood tern as mass as
m1 = 500 g e m2 = 510 g, respectivamente, e estao ligados por urn fio de
massa desprezfvel que passa por
uma roldana sem atrito (Fig. 9-49).
A roldana e urn disco homogeneo
de 50 g de massa e 4 em de raio. Nao
ha escorregarnento do fio sobre a
roldana. (a) Calcular a aceleracao
dos dois corp os. (b) Qual a tensao no
ramo do fio que suporta a massa m1?
E no ramo que suporta mz? Qual a
diferenca entre as duas? (c) Quais
seriam as respostas anteriores se
fos~ desprezada a massa da polia?
/1II=50g
.r=4cm
• 103 i Uma bola de bilhar, de raio r, esta inicialmente em
re~uso sobre a mesa horizontal (Fig. 9-60). Esta bola e atingida
por uma tacada horizontal que proporciona uma forca de m6du10 Po durante intervalo de tempo muito pequeno flt. 0 taco atinge a bola a uma altura h acima do ponto de contato com a massa.
(n) Mostrar que a velocidade angular inicial da bola Wo esta relacionada com a velocidade linear inicial do centro de massa Do por
% = 5vo(h - r)12-,2.
"t
I
t
Figura 9-60 Problema
103
~. 14/
Uma montagem para a medida do momento de inercia e urn corpo esta esquematizada na Fig. 9-53. Uma plataforma circular e solidaria com um tambor coaxial cujo raio e de 10
cm e em tomo do qual se enrola um cordel. 0 cordel passa por
uma polia sem atrito e mantem pendurado urn corpo de massa
M. 0 sistema corneca a se mover do repouso e se mede 0 tempo
de queda do corpo M de uma altura D. Depois, 0 corpo de momento de inercia desconhecido e colocado sobre a plataforma circular, 0 cordel e enrolado no tambor e repete-se a medida do tempo de queda de M na distancia D. Com as medidas se po de calcular 0 momento de
inercia I desconheci:
do. Sejam M = 2,5 kg,
I
d = 1,8 m e 0 primeiro
tempo de queda 4,2 s.
(a) Oeterminar 0 mo'-' .
....•••
_1( ••_ •..
mento de mercia do
sistema plataforma
circular, tambor e polia. (b) Comocorpode
momento de mercia
desconhecido sobre a
plataforma, 0 tempo
de queda e 6,8 s para
a distancia D = 1,8 m.
Calcular 0 momento
~
inercia I do corpo.
Figura 9-53 Problema ~_
•• 122 0 disco vertical de urn rebolo e uniforme, com a massatie 60 kg e 0 raio de 45 em. 0 disco e solidario a uma manivela,
com uma pega a 65 cm do centro do disco e de massa desprezivel. Uma carga de 25 kg e pendurada na ponta da manivela, na
posicao horizontal. Oesprezando atritos, calcular (a) a aceleracao
angular inicial do disco do rebolo e (b) a velocidade angular
maxima do disco.
• f' 114/ Um disco homogeneo, com 0,12 m de raio e 5 kg de
masserpode girar livremente em tomo de um eixo que passa pelo
seu centro (Fig. 9-62). Uma corda enrolada no disco e puxada com
a forca de 20 N. (a) Que torque a corda exerce sobre 0 disco? (b)
Qual a aceleracao angular do disco? (c) Se 0 disco partir do repouso, que velocidade angular ele tern depois de 5 s? (d) Qual a
energia cinetica do disco depois de 5 s? (e) Qual 0 angulo de rotaC;ii.o
total do disco nesses 5 s? if> Mostrar que 0 trabalho efetuado
pelo torque sobre 0 disco, 'T.19, e igual a energia cinetica,
~.5)
Ii
A C,,:-lcularj>proquto-yetori~ ~ ~
co~ (a) ~ = 4 ~ e
+ 6 t, (b) A = 4 i e B = 6 i + 6 k e (c) A = 2 i + 3 j e
B=-3i+2j.
, .. .,..
j 14 ,1
Uma particula que tern velocidade constante tern 0 mom:en:o angular nulo em relacao a um certo ponto. Mostrar que a
particula ou passou pelo ponto ou ira passar pelo ponto.
ir
= 6i
-+
A
A
•f
11} Uma particula percorre, co~ a velodda-d-'--e-c-o-ns-tan--te-rJ-,~
que esta a distancia b da origem 0 (Fig. 10-30). Seja dA a
area varrida pelo vetor posicao tracado de 0 ate a parncula, no intervalo de tempo dt. Mostrar que dAl dt e constante no tempo e igua1
a LI2m, com L 0 momento angular da particula em relacao a origem.
r>dt
Figura 10-30 Problema 17
o
-r-
•@
Um~Amoeda de 15 g, com 1,5 em de diametro, gira em
tomo de um diametro vertical, que passa por urn ponto fixo de
uma mesa, a 10 rev I s. (a) Qual 0 momento angular da moeda
em relacao ao seu centro de massa? (b) Qual 0 momento angular da mo.eda em relacao a urn ponto da mesa, a 10 em da moeda? Imagme agora que a moeda gira em tome de urn diametro
vertical a 10 rev Is e ao mesmo tempo 0 centro da rnassa desloca-se numa reta paralela ao plano da mesa, a 5 eml s. (c) Qual e
o momenta angular da moeda em relacao a urn ponto sobre a
reta do deslocamento? (d) Qual 0 momento angular da moeda
ern relacao a urn ponto a 10 em da reta do deslocamento do centro de massa? (Ha duas respostas para a Ultima pergunta. Encontre as duas e explique a razao da dualidade.)
r :.
23' NaFig.l0-32,oplanoinclinado~~;;~tritoeofioque
,,~
dois corpos passa pelo cen~o de massa de ~ada urn. 0 momento de in&cia cia polla e I e 0 raio R. (a) Determinar a ~~tante
dos torques que atuam sobre 0 sistema (isto e, sobre os dois corpos
_ 0 fio e a polla). (b) Oar a expressao do momento angular total do
sistema em rela¢o ao centro da polia quando a velocidad~ de cada
corpo for v. (c) Calcular a aceleracao de cada corpo a partir dos resultados conseguidos em (a) e em (b), igualando a r~ultante dos
torques a taxa de variacao do momento angular do sistema,
\
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~.• 118} Uma bola de gude, de massa M e raio R, rola sem escorregar pela rampa da esquerda, partindo de uma altura a, como
mostra a Fig. 9-65. A bola de gude atinge entao a altura h2 na rampa da dire ita, que nao tem atrito. Calcular esta altura h~.
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{ 3~~1 Num colapso gravitacional (as f~r~~ que atuam sobre
a~ias
partes de urn corpo estao todas dirigtdes para 0 c:entro
de massa), 0 raio de uma estrela esferica girante, de densidade
uniforme, diminui por urn fator de 2, e a densidade cresc:nte da
estrela permanece uniforrne ern todo 0 volume. Qual a ~~o entre
a velocidade angular final ~ e a velocidade angular inicial WI?
(a) 2
(b) 0,5
(c) 4
(d) 0,25
(e) I,D
,. -,
~~iJ)
Um corpo de massa m,-d-es-li-'zandosobre uma mesa
ho~ntal
sem atrito, esta preso a um fio que passa por um
buraco no centro da mesa. Inicialmente, 0 corpo desliza com a
veloeidade VOl descrevendo um circulo de raio T. Calcular (a) 0
momento angular do corpo, (b) a energia cinetica do corpo e (c)
a tensao no fio. Uma pessoa, embaixo da mesa, puxa lentamente 0 fio. Que trabalho e efetuado para reduzir 0 raio do drculo
de To ate To/2?
~---.-<43'1 Uma partfcula puntiforme, de 0,2kg, esta em movi-" men'to-'Sobre uma superffcie horizontal, sem atrito, presa a uma
fita de borracha cuja outra ponta esta fixa no ponto P. A forca da
fita sobre a bola, na direcao de P, e dada por F = bx, com x 0 comprimento da fita e b uma constante desconhecida. A massa descreve a trajet6ria pontilhada na Fig. 10-37. No ponto A, a sua veloeidade e de 4 m/ s, na dir~ao do vetor assinalado. A distancia
AP e 0,6 mea BP e I,D m. (a) Determinar a velocidade da particula nos pontos B e C. (b) Calcular b.
_O,6m __
A
3,2kg
,,
......
,.'
"
'
.,
I
2,~
• .(74 --Dois
patinadores no gelo estao de maos dad as e giram
angular de uma volta a cada 2,5 s. As massas sac 55
kg e 85 kg, e a separacao entre ambos e de 1,7 m. Calcular (a) 0
momento angular do sistema em tomo do centro de massa e (b) a
energia cinetica total do sistema.
.
a velotidade
'
•••••••• _~i<#'
B
• -{52'
A Fig. 10-40 mostra uma barra homogenea, de comp .
0 L e massa M, que gira em tomo de urn eixo numa de
suas pontas. A barra, inicialmente em repouso, e atingida por uma
particula de massa m num ponto d = 0,8 L abaixo do eixo. Admita que a colisao seja perfeitamente inelastica. Qual deve ser
M
a velocidade V da particula para
que 0 angulo maximo entre a
barra e a vertical seja de 90·?
• i"i2) .A se~da l~i de.Kepler afirma: 0 raio vetor do Sol ate
~ 'piarteta ~~e. ar~as l~
em tempos iguais. Mostrar que esta
lei e consequenoa Imediata da lei de conserva~ao do momento
angul~ e de ~ for~a de atra~ao gravitacional entre 0 Sol eo planeta agir na direcao da reta que une os dois corpos celestes.
IT
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mLI---- •.••.•
)l
..
M
,
• • '\ 57 Imagine que, na situa~ah1 a Fig. 10-42, m =0,40
kg, M = 0,75 kg, L1 = 1,2 m e
L2 = 0,8 m. Que velocidade
angular inicial minima tem
que ter a barra para que 0 sistema de uma volta completa
~~
Um disco homog~neo, com 2,5 kg e 6,4 em de raio, esta
n:toh~d~ no ce~tro de urn eixo de 10 em e gira a 700 rev / min. 0
eixo esta na honzontal e apoiado por uma ponta num suporte em
~o~o do qual p~e girar. ~ outra ponta do eixo tern, no estado
ImCla~uma velocidade h~>rlzontal que propicia a precessao sem
nutacao. (n) Qual a velocidade angular de precessao? (b) Qual a
ve~ocidade do ~ent:o de massa durante a precessao? (c) Que .
mOd.ulo e que direcao tem a aceleracao do centro de massa? (d)
Quais as compon:ntes vertical e horizontal da forca exercida pelo
suporte sobre 0 eixo de rotacao?
l~Jm "/
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p~nt&tnedio, por urn bisel agudo. Uma bola de argila, de 3,2 kg,
cai do repouso, de uma altura de 1,2 m, e faz uma colisao perfeitamente inelastica com a barra, a 0,9 m do ponto de apoio (Fig.
10-38). Calcular 0 momento angular do sistema barra-bola de
argila imediatamente depois da colisao inelastica.
O,6m_
~----<l.,) P
..
• .~49) Uma barra de 2,4m e 16,0 kg esta suportada, no seu
L2
..
o ..
Lo", ....
...::--"'.
••
86 A Fig. 10-47 mostra urn cilindro oeo, de massa M = 1,2
kg e comprimento L = 1,6 m, que pode girar em tomo de eixo
vertical que passa pelo seu centro. No interior do cilindro estao
dois discos, cada qual com 0,4 kg, amarrados ao eixo por cordeis
delgados e separados urn do outro por e = 0,8 m. Os corders se
rompem se 0 esforco sobre eles for maior do que 100 N. A partir
do repouso, aplica-se urn torque ao sistema ate que os cordeis se
rompam. Admitindo que os discos sejam massas puntiformes e
que 0 raio do cilindro seja desprezivel, calcular 0 trabalho feito
ate 0 instante do rompimento. Imagine que nesse instante 0 torque
extemo desapareca e que a parede intema do ci1indro nao ofereca atrito. Determine a expressao da velocidade angular do sistema em funcao de x, distfu1cia entre cada disco e 0 eixo, com x <
L/2.
,....
.··'i,'
No sistema do Problema 86, calcular a velocidade angular do sistema nos instantes em que as duas massas puntiformes estao urn pouco aquem e urn poueo alem das extremidades
do cilindro .
-i
l'61ll-Figura 10-42 Pr~blema555 a 5f
m
m
• {70 /'
Urna barra homogenea, de massa M e comprimento L,
estii p6usada sobre uma mesa horizontal sem atrito. Uma amosrra de massa plastica, com m = M/4, move-se sobre uma reta
horizontal, perpendicular a barra, atinge a barra nas proximidades de urna extremidade, onde fica presa. Descrever qualitativamente 0 movimento da barra com a massa de plastico colada.
1+---(=0,8
1ll---
.•••
1
Figura 10-47 Problemas 86 a 88