Polígonos regulares

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Polígonos
Alguns dos geómetras mais conhecidos e proeminentes (Coxeter, Cromwell, Dedo)
defendem que se inicie o trabalho com polígonos sem dar qualquer definição de
polígono e explorando e construindo muitas figuras.
Uma destas geómetras, afirma mesmo que “não é simples dar uma definição elementar
de polígono, que seja simultaneamente correcta e não excessivamente pesada, e
convida o leitor, antes de continuar a leitura, a experimentar dar uma ou mais definições
elementares, procurando dar-se conta, para qualquer delas, de que figuras verificam as
condições da definição, e quais não verificam.” (Dedo, p. 23).
Vamos definir polígono (p-gon) como um circuito de p segmentos de recta A1A2, A2A3,
…, ApA1, definidos por p pares de pontos consecutivos, A1, A2, …, Ap, não colineares
três a três. Não aceitamos que os segmentos se cruzem. Os segmentos chamam-se
lados e os pontos vértices.
Esta definição é um pouco formal e embora se possa construi-la de forma elementar é
preciso adaptar e simplificar a linguagem. Uma definição possível que nos parece
acessível de construir com o recurso a barras articuladas é a seguinte: Circuito plano
fechado, de segmentos ligados 2 a 2 pelos suas extremidades, sem haver dois
segmentos em linha recta e sem haver cruzamentos entre os segmentos. As barras
utilizadas, segmentos, são os lados do polígono, as ligações são os vértices.
É importante notar que podemos considerar, ou não, que os lados se cruzem. Este
aspecto deve ser assumido e pode evoluir ao longo do tempo. No caso de não
aceitarmos a possibilidade dos lados se cruzarem estamos a excluir uma família
importante de polígonos, os polígonos estrelados.
Também os pontos que definem o polígono podem não ser complanares. Segundo
Coxeter, no primeiro caso temos um polígono plano, no segundo um skew polygon.
Um polígono decompõe o plano em duas regiões, uma delas é chamada o interior e é
limitada. Geralmente é conveniente encarar o polígono como sendo formado pelo
interior bem como pelos lados e pelos vértices. À linha poligonal que define o polígono
podemos chamar fronteira do polígono.
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(a)
(d)
(b)
(c)
(e)
(f)
(a) exemplo mais comum de um polígono
(b) exemplo em que os lados se cruzam, pode ser ou não considerado como polígono
(c) de acordo com a definição proposta não é um polígono porque a linha poligonal não
é fechada
(d) de acordo com a definição proposta não é um polígono porque de um dos pontos
saem 4 segmentos
(e) não é uma figura plana, não vamos considerar como polígono
(f) situação que combina características de (c) e de (d)
É habitual ilustrar a apresentação de polígonos por figuras representativas. Neste caso
será sempre desejável discutir os que são e os que não são, de acordo com a definição
estabelecida. Uma definição não deve ser apresentada à priori, como algo estranho às
pessoas que vão usá-la. Será sempre desejável que a definição seja construída e que
esta actividade sirva também para mostrar e vivenciar a natureza flexível do
conhecimento matemático. Por exemplo, se considerarmos determinada definição,
teremos que aceitar como polígonos alguns e outros não. Se partirmos de outra
definição, a classificação entre os que são e os que não são poderá já não ser igual.
A definição de polígono pode evoluir á medida que os conhecimentos matemáticos
aumentam. Uma definição rigorosa de polígono exige conhecimentos matemáticos
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muito sofisticados. Uma definição elementar de polígono não poderá ser tão rigorosa,
mas terá de ser operacional. O importante, a nível elementar, é que uma comunidade
saiba, quando fala de polígonos, que figuras é que deve ou não assumir como tal, e
além, disso, que tenha a flexibilidade necessária para refazer a definição quando fôr
caso disso. A problemática da definição é uma questão central no conhecimento
matemático. O episódio seguinte ilustra muito bem este facto.
A liberdade de construir definições
Há cerca de cinco anos acompanhei de muito perto o trabalho de uma professora do 1º
ciclo com os seus alunos do 3º ano. Inicialmente a ideia desta professora era trabalhar
os polígonos, mas à medida que a preparação do trabalho foi avançado o âmbito do
trabalho alargou-se muito tendo também o estudo dos poliedros tido um lugar muito
destacado entre as actividades realizadas pelas crianças.
Mas uma das situações mais significativas para esta discussão foi a construção do
conceito de polígono.
Uma das primeiras actividades realizadas pelas crianças foi a construção física de
polígono. Esta actividade foi realizada no espaço da Educação Física e em grande
grupo. A professora usou um grande elástico, para dentro do qual as crianças iam
entrando, mantendo-se o elástico sempre esticado. De cada vez que entrava uma
criança, em conjunto contavam o número de lados da figura e o número de vértices, isto
é, o número de crianças que já estavam dentro do elástico. As crianças foram assim
tirando conclusões gerais:
— de cada vez que entra mais uma criança, acrescenta-se um lado à figura
— podemos acrescentar quantos vértices quisermos, indefinidamente
— o número de lados é igual ao número de vértices.
Para estas crianças, uma característica importante de um polígono era esta, uma figura
em que o número de lados é igual ao número de vértices. De uma forma natural, e sem
imposição da professora, elas construiram uma definição de polígono. O mais
interessante, é o episódio que aconteceu tempos mais tarde, numa actividade com
papel e lápis, em que tinham de desenhar polígonos com determinados números de
lados. Uma aluna nova, que tinha passado a integrar a turma e que não tinha vivido o
episódio inicial do elástico apresentou o seguinte desenho:
Os colegas reagiram a esta figura, argumentando que aquele não era
polígono porque não verificava a definição deles de poligono, o número
de lados era seis, e o número de vértices era cinco.
Naturalmente estas crianças viveram a actividade matemática na sua forma mais pura e
livre. Elas construiram uma definição, com sentido para elas, e que souberam usar
autonomamente quando tal foi necessário. Um definição é uma caracterização de uma
classe ou conjunto de objectos, aceite por todos, compreensível e utilizável, que permite
construir novas ideias sobre esses objectos.
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Polígonos regulares
Um polígono é regular se tem todos os lados congruentes entre si e todos os ângulos
também congruentes entre si.
Isto quer dizer que há polígonos com os lados todos iguais, equiláteros, que não têm os
ângulos todos iguais, por exemplo, o losango. E há polígonos com os ângulos todos
iguais que não têm os lados todos iguais, por exemplo, o rectângulo. Só no caso dos
triângulos é que se os lados são todos iguais entre si os ângulos também são todos
iguais entre si.
Para todo o polígono regular existe sempre e uma circunferência circunscrita que
contém todos os vértices do polígono. Existe também uma circunferência inscrita que
contém os pontos médios dos lados do polígono. Os centros destas duas
circunferências coincidem e habitualmente este ponto é chamado centro do polígono.
Só iremos falar em centro de um polígono para os polígonos regulares.
A construção de um polígono regular pode ser feita a partir de:
— rotações sucessivas com centro no centro polígono e medida 360°/n
— rotações sucessivas com centro num vértice do polígono e
medida 180°-360º/n
180° - 360 °
n
360°
n
O hexágono regular tem a particularidade de a medida do lado ser igual à medida do
raio da circunferência circunscrita. É interessante fazer a demonstração deste facto.
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A construção de polígonos regulares por diversos processos sempre interessou os
matemáticos, artistas e arquitectos. Actualmente, com o recurso a programas de
geometria dinâmica, a construção de polígonos regulares pode ser feita de modo muito
mais automático, mas estas construções continuam a ser actividades matemáticas
muito ricas do ponto de vista da aprendizagem.
Polígonos Convexos e Polígonos Concâvos
Um polígono que não é intersectado pelo prolongamento de qualquer dos seus lados é
um polígono convexo. Dito de outro modo, polígono convexo é um polígono que fica
todo num dos semi-planos definidos pelo prolongamento de qualquer dos seus lados.
Um polígono é convexo se contém o segmento definido por quaisquer dois dos seus
pontos. Esta definição é equivalente à anterior.
O conceito de convexidade só é utilizado para
polígonos em que a linha fechada que o
define são se intersecta a si própria.
Um polígono que é intersectado pelo prolongamento de pelo menos um dos seus lados
é um polígono côncavo. Dito de outro modo, num polígono côncavo há pelo menos um
lado cujo prolongamento define dois semiplanos que contêm ambos uma parte do
polígono.
Um polígono é côncavo se existem pelo menos dois pontos que definem um segmento
não totalmente contido no polígono.
O conceito de concavidade só é utilizado para polígonos em que a linha fechada que o
define não se intersecta a si própria.
(baseado na CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, 1999, Eric W. Weisstein, Chapman &
Hall/CRC, Washington, D.C.)
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Polígonos estrelados
A definição de polígono estrelado que se apresenta não é única. Ela foi escolhida por
permitir realizar investigações matemáticas interessantes que fazem conexão entre
conhecimentos geométricos e numéricos.
Um polígono estrelado {p/q} em que p e q são números inteiros positivos, é uma figura
que se obtém ligando por segmentos de recta p pontos igualmente espaçados situados
numa circunferência. Estes pontos são ligados seguindo uma regularidade q, isto é, de
q em q pontos.
{5/2}
{6/2}
{8/2}
{8/3}
{10/4}
{7/2}
{9/2}
{11/5}
{7/3}
{9/3}
{9/4}
{15/7}
Em algumas das figuras apresentadas, não se obteve um polígono. O código, permite
identificar as características do polígono a partir de relações entre os números que o
compõem. A definição usual exige que p e q sejam números primos entre si. De acordo
com esta definição, a linha que define o polígono estrelado pode ser percorrida sem
levantar o lápis. Porém, esta ideia de polígono estrelado pode ser generalizado a uma
figura estrelada, polígono estrelado impróprio, em que p e q têm um divisor comum. No
caso do polígono estrelado impróprio não é possíve percorrer a linah que o define sem
levantar o lápis.
Thomas Bradwardine foi o primeiro matemático que estudou sistematicamente estes
polígonos.
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Outras características importantes de estudar num polígono
O número de ângulos de um polígono é sempre igual ao número de lado. Esta relação,
embora muito simples pode não ser imediatamente evidente. Ela é muito útil para o
estabelecimento de outras relações pois assim podemos falar indiferentemente do
número de lados e do número de ângulos de um polígono sem receio de haver
enganos.
Soma dos ângulos internos
Num polígono qualquer a soma dos ângulos internos está relacionada com o número
de lados do polígono. Isto significa que há uma fórmula matemática que permite calcular
o valor desta soma a partir do número de lados.
Um processo para obter essa fórmula pode ser a partir da análise de alguns casos
particulares (processo indutivo), demonstrando depois a sua validade.
nº lados
soma
3
4
5
6
7
8
180º
360º
540º
720º
900º
..
n
(n –2) x 180º
Para demonstrar esta fórmula parte-se do facto de que a soma dos ângulos internos de
um triângulo é 180º. E divide-se cada polígono em triângulos, de modo que todos os
ângulos destes triângulos equivalem à soma dos ângulos internos do polígono.
Constatamos que o número de triângulos possível de obter para um polígono qualquer
é igual ao número de lados menos 2. Desta conclusão tiramos imediatamente a fórmula
multiplicando por 180º.
Uma outra maneira de expressar o valor desta soma é estabelecer o número de ângulos
rectos a que é equivalente.
nº lados
3
4
5
6
7
valor em ângulos rectos
2
4
6
8
10
7
8
..
n
(n –2) x 2
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Para um polígono regular, o facto de sabermos qual é a soma dos seus ângulos
internos permite obter a medida de cada um deles, visto que são todos iguais.
A medida do ângulo interno de um polígono regular é igual a (n-2)x180º/n.
Soma dos ângulos extermos
Num polígono qualquer, a soma dos ângulos externos tem uma característica muito
interessante, é sempre 360º. Isto significa que se percorremos a fronteira do polígono, a
partir de um vértice qualquer e de modo que o polígono fique sempre à nossa esquerda
(ou à nossa direita), ao voltar ao vértice inicial demos exactamente uma volta completa
de 360º.
Os ângulos extermos obtêm-se a partir dos prolongamentos
dos lados do polígono, sempre com a mesma orientação.
O ângulo externo é sempre o suplementar (o que falta para completar
um ângulo raso) de um ângulo interno.
Num polígono regular os ângulos externos são todos iguais e a sua medida é 360º/n.
Para o caso particuilar dos polígonos regulares, este é outro processo para obter a
medida do ângulo interno. Como é evidente os dois processos levam ao mesmo valor.
soma dos ângulos externos
360º
medida de cada ângulo externo
360ª/n
medida de cada ângulo interno
180º - 360º/n
soma dos ângulos internos
n (180º - 360º/n)
= 180ºn – 360º
= 180º (n-2)
A preocupação de chegar ao mesmo resultado por processos diferentes tem três
vantagens muito importantes. Por um lado, mostra a corerência e as ligações entre os
vários conhecimentos e raciocínios, por outro, ilustra que raciocínios matemáticos
diferentes conduzem aos mesmos resultados, Além disso, pode ajudar quem sinta
alguma insegurança num raciocínio a validar resultados que obteve recorrendo a um
outro processo.
Diagonais de um polígono
Um segmento que une dois vértices não consecutivos de um polígono é uma diagonal.
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Um triângulo não tem diagonais, porque nenhum vértice tem vértices que não sejam
consecutivos. Analogamente ao que foi feito para os ângulos, é possível obter uma
relação entre o número de lados e o número de diagonais de um polígono. Recorrendo
a uma análise e registo de alguns casos podemos chegar a esta relação.
nº lados
3
4
5
6
7
nº diagonais
0
2
5
9
14
…
n
n (n-3)/2
Nos quadriláteros e nos polígonos regulares em geral também é interessante estudar as
diagonais de outros pontos de vista, nomeadamente sobre as suas dimensões e
posições relativas. No caso dos quadriláteros isso será feito no tema Quadriláteros.
Sobre as diagonais dos polígonos regulares é interessante estudar a relação entre as
suas dimensões.
2 diagonais iguais
5 diagonais iguais
6 diagonais menores
3 diagonais maiores
quadrado — 2 diagonais iguais
pentágono regular — 5 diagonais iguais
hexágono regular — 6 diagonais menores e 3 diagonais maiores (2 tamanhos)
p-regular 7 lados — 7 diagonais menores e 7 diagonais menores (2 tamanhos)
p-regular 8 lados — 3 tamanhos
p-regular 9 lados — …
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Segmentos e pontos
Esta é outra situação que também permite obter uma relação matemática interessante.
Quantos segmentos definem 5 pontos não colineares?
Qual é a relação entre o número de pontos e o número de segmentos definidos,
considerando em cada caso que nunca há mais de 2 pontos colineares?
Uma das maneiras mais directas de resolver o
problema é através de um esquema.
5 pontos
10 segmentos
Este processo revela-se pouco eficaz quando se amplia o
problema para mais pontos ou quando se procura uma
generalização.
Mesmo assim pode ser feito um esquema para cada número de pontos, traçar todos os
segmentos e fazer a contagem um a um.
nº pontos
1
2
3
4
5
6
7
8
nº segmentos
0
1
3
6
10
15
21
28
Para melhorar o processo de contagem, pode voltar-se à figura inicial procurando
observá-la com esta preocupação. Constata-se que cada ponto se liga com outros 4
pontos, como são 5 pontos, contam-se 20 segmentos. Mas cada segmento está a ser
contado 2 vezes porque está a ser contado para cada 2 pontos. Recorrendo ao princípio
do pastor conclui-se que são 10 segmentos. Igualmente se podería pensar para
qualquer número de pontos procurando chegar a uma relação geral:
10 pontos
45 segmentos
(10 x 9)/2 = 45
20 pontos
190 segmentos
(20x19)/2 = 190
n pontos
n (n-1) /2
A validade desta fórmula pode demonstrar-se pensando que:
— cada ponto se liga com todas os outros, mas não consigo próprio, o que dá
um número total de ligações que pode ser expresso por n x (n —1);
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— mas ao fazer a contagem deste modo contam-se duas vezes cada um dos
segmentos visto que cada um é contado para cada um dos pontos que definem
um segmento;
— basta então dividir por dois, visto que se sabe que a contagem foi feita a
dobrar, daí a fórmula escrita.
Neste problema também se podería ter usado uma outra estratégia de contagem que
está relacionada com o tipo de regularidade numérica que estes números apresentam.
nº pontos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
nº segmentos 0
1
3
6
10
15
21
28
36
45
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
+8
+9
O padrão é sempre adicionar o número inteiro seguinte ao que foi somado. Obtêm-se os
números triangulares já conhecidos de outros problemas e investigações. Vale a pena
reforçar que esta regularidade recorrente não é tão potente quanto a fórmula geral
obtida pelo primeiro processo. No caso da recorrência é preciso recorrer, como a
própria designação sugere, ao valor anterior. No caso da fórmula geral obtém-se
directamente o número de segmentos a partir do número de pontos.
O recurso a uma tabela de dupla entrada também é útil e ilustra a demonstração desta
fórmula geral.
A
A
B
C
D
E
F
B
x
C
x
x
D
x
x
x
E
x
x
x
x
F
x
x
x
x
x
Estas relações sobre ângulos e diagonais, embora quantitativas, são específicas das
Geometria. Outros aspectos quantitativos, como área e perímetro, são estudados em
temas de Grandezas e Medidas.
No âmbito da Geometria, os polígonos também podem ser estudados sobre a sua
simetria, mas isso será feito no tema Simetria.
Referências
Coxeter, H. S. M. 1973. Regular Polytopes. Dover Publications, New York.
Dedo, Maria. 1999. Forme – simmetria e topologia. Zanichelli editore, Bolonha, Itália.
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