Matemática

TIPO DE PROVA: A
Questão 1
Se um número natural n é múltiplo de 9 e de
15, então, certamente, n é:
a) múltiplo de 27
b) múltiplo de 30
c) divisível por 45
d) divisível por 90
e) múltiplo de 135
alternativa C
2 ⋅ 50
= 20 m
5
e seu perímetro é 2 ⋅ (50 m) + 2 ⋅ (20 m) =
Logo suas dimensões são 50 m e
=140 m.
Questão 4
As raízes da equação tg (x + π) = cotg x, pertencentes ao intervalo [0,2π] , têm soma:
3π
9π
a)
b) 2π
c)
d) 3π
e) 4π
2
2
Se n é múltiplo de 9 e de 15, n é múltiplo do
mmc (9, 15) = 45. Logo n é divisível por 45.
Questão 2
De uma excursão participam 280 pessoas,
sendo que 40% do número de homens é igual
a 30% do número de mulheres. O número de
homens é:
a) 208
b) 120
c) 180
d) 140
e) 210
alternativa E
Para x ∈ [0; 2π] temos:
tg(x + π) = cotg x ⇔ tg x =
1
⇔ tg 2 x = 1 ⇔
tg x
5π 
π

ou x =
x =


tg x = 1
4
4 
ou
⇔
ou
⇔
tg x = −1
3π
7π 

ou x =
x =


4
4 
alternativa B
Sendo x o número de homens, o número de mulheres é 280 − x. Como 40% do número de homens é igual a 30% do número de mulheres, temos 0,4 x = 0,3(280 − x) ⇔ x = 120.
Questão 3
Portanto a soma das raízes da equação é
+
π
+
4
3π 5 π 7 π
+
+
= 4π.
4
4
4
Questão 5
A melhor representação gráfica da função f(x) =
Um terreno retangular tem área igual a
2
1000m2 , sendo a largura igual a
do com5
primento. Seu perímetro, em metros, é:
a) 192
b) 184
c) 140
d) 196
e) 204
alternativa C
2a
Sejam a e
as dimensões do terreno retangu5
lar.
Como sua área é1 000 m 2 , então:
2a
a⋅
= 1 000 m 2 ⇔ a = 50 m.
5
=
a)
x2 − 3x
é:
2x − 6
b)
matemática 2
c)
alternativa D
d)
1

A reta passa pelos pontos A =  ; 2  e
2

B = (1; 1) e uma equação da mesma é
x y 1
1
2 1 =0 ⇔
2
1 1 1
y
1
−2 −
−x = 0 ⇔
2
2
y
x
⇔ 2x + y − 3 = 0 ⇔
+
= 1.
3
3
2
⇔ 2x + y +
e)
Logo a área do triângulo que a reta r forma com
1 3
9
os eixos cartesianos é
.
⋅
⋅3 =
2 2
4
Questão 7
alternativa D
f(x) =
x
f(x) =
x(x − 3)
x 2 − 3x
⇔ f(x) =
⇔
2 ,
2x − 6
2(x − 3)
x ≠3
cuja melhor representação gráfica é apresentada
na alternativa D.
Questão 6
1
,
x
x > 0. A reta r, determinada pelos pontos A e
B, forma com os eixos cartesianos um triângulo de área:
Os pontos A e B estão no gráfico de y =
a)
3
2
b)
1
2
c)
7
4
d)
9
4
e)
5
2
Na figura, AH = 4, BC = 10 e DC = 8. A medida de AB é:
a) 4,8
b) 5,2
c) 5,0
d) 4,6
e) 5,4
alternativa C
Temos, pelo caso AA, ∆ABH ~ ∆CBD. Logo:
AB
AH
AB
4
=
⇔
=
⇔ AB = 5
CB
CD
10
8
Questão 8
Na figura, ABCD é um quadrado de lado 2 e
as curvas são arcos de circunferências com
centros em D e em C. A área do triângulo
DCE é:
a) 3
b)
3
2
c) 2 3
d)
3
4
e) 4 3
matemática 3
alternativa A
Os arcos de centros C e D têm raio igual ao lado
do quadrado. Assim DE = CE = DC = 2 e, portanto, o triângulo DCE é eqüilátero de lado 2 e área
22 ⋅ 3
igual a
=
4
Questão 10
Qualquer que seja o natural n, (2n + 1 + 2n ) ⋅
⋅ (3n + 1 − 3n ) ÷ 6n é sempre igual a:
3.
b) 6n + 1
a) 6n
c)
1
6
d) 1
e) 6
alternativa E
Considerando que a expressão dada é:
[(2 n + 1 + 2 n ) ⋅ (3 n + 1 − 3 n )] : 6 n =
= [2 n (2 + 1) ⋅ 3 n (3 − 1)] : 6 n =
= [(2 ⋅ 3) n ⋅ 3 ⋅ 2] : 6 n = 6
Questão 9
Questão 11
Considere um poste perpendicular ao plano
do chão. Uma aranha está no chão, a 2 m do
poste, e começa a se aproximar dele no mesmo instante em que uma formiga começa a
subir no poste. A velocidade da aranha é de
16 cm por segundo e a da formiga é de 10 cm
por segundo. Após 5 segundos do início dos
movimentos, a menor distância entre a aranha e a formiga é:
a) 2,0 m
b) 1,3 m
c) 1,5 m
d) 2,2 m
e) 1,8 m
Se log2 (log3p) = 0 e log3 (log2q) = 1, então
(p + q) é igual a:
a) 5
b) 17
c) 11
d) 9
e) 4
alternativa C
log 2 (log 3 p) = 0 ⇔ log 3 p = 2 0 ⇔ p = 3 1 = 3 ;
log 3 (log 2 q) = 1 ⇔ log 2 q = 3 1 ⇔ q = 2 3 = 8 .
Logo p + q = 3 + 8 = 11.
alternativa B
Após 5 segundos, a aranha estará a
2 m − 5 ⋅ 0,16 m = 1,2 m do poste, e a formiga
estará a 5 ⋅ 10 cm = 50 cm = 0,5 m do chão.
Assim, a menor distância entre a aranha e a formiga é d = 1,2
2
+ 0,5
2
m = 1,69 m = 1,3 m.
Questão 12
Se o polinômio p(x) = x 5 + 4ax4 + 3x 3 + a 3 ,
a ∈ R, é divisível por x − a, então a2 + 1 é:
b) 1
a) 10
c) 2
d) 2
e) 26
alternativa B
Como p(x) é divisível por x − a,
p(a) = 0 ⇔ a5 + 4a ⋅ a4 + 3a3 + a3 = 0 ⇔
⇔ 5a5 + 4a3 = 0 ⇔ a3 (5a 2 + 4) = 0 ⇔
a3 = 0
⇔
ou
5a
2
⇔ a = 0.
+4 = 0
Portanto a 2 + 1 =
0 2 + 1 = 1.
matemática 4
Questão 13
Se construímos uma seqüência infinita de
quadrados, sendo o primeiro de lado 1 e cada
um dos outros com lado igual à metade do
lado do quadrado anterior, então a soma das
áreas desses quadrados é:
3
4
5
4
a) 2
b)
c)
d)
e)
4
5
4
3
alternativa E
Temos que cada um dos outros quadrados têm
lado igual à metade do lado do quadrado anterior.
Conseqüentemente, as áreas desses quadrados
formam uma PG infinita cujo primeiro termo é
1 
a1 = 12 = 1 e cuja razão é q =  
2
2
=
1
.
4
Portanto a soma das áreas dos quadrados é
a1
1
4
.
=
=
1
1−q
3
1−
4
Questão 14
Os múltiplos de 7, existentes entre 20 e 508,
são em número de:
a) 72
b) 70
c) 68
d) 67
e) 69
alternativa B
Como 20 = 7 ⋅ 2 + 6 e 508 = 7 ⋅ 72 + 4, os múltiplos
de 7 entre 20 e 508 são 7 ⋅ 3, 7 ⋅ 4, ..., 7 ⋅ 72.
Logo há 72 − 3 + 1 = 70 múltiplos de 7 nas condições dadas.
Questão 15
Num conjunto de 8 pessoas, 5 usam óculos.
Escolhidas ao acaso duas pessoas do conjunto, a probabilidade de somente uma delas
usar óculos é:
15
15
8
5
3
b)
c)
d)
e)
a)
28
56
28
56
28
alternativa A
Num conjunto de 8 pessoas, das quais 5 usam
óculos, há 5 maneiras de se escolher uma que
use óculos e 8 − 5 = 3 maneiras de se escolher
uma que não use óculos.
Por outro lado, o número de maneiras de se esco8  8 ⋅ 7
lher 2 pessoas num conjunto de 8 é   =
=
2 
2
= 28.
5 ⋅ 3 15
.
Logo a probabilidade pedida é
=
28
28
Questão 16
Se os telefones de uma certa vila devem ter
números de 5 algarismos, todos começando
com 23 e todos múltiplos de 5, então o número máximo de telefones que a vila pode ter é:
a) 1000
b) 2000
c) 500
d) 200
e) 400
alternativa D
Os números dos telefones são números de 5 algarismos, começando com 23. Como devem ser
múltiplos de 5, há 2 possibilidades para o último
algarismo (0 ou 5) e 10 possibilidades para cada
um dos dois algarismos restantes.
Logo o número máximo de telefones que a vila
pode ter é 2 ⋅ 10 ⋅ 10 = 200.
Questão 17
A quantidade de números inteiros compreendidos entre 300 e 500 que podemos formar,
usando apenas os algarismos 3, 4 e 5, é:
a) 30
b) 24
c) 42
d) 52
e) 18
alternativa E
Como os números devem estar entre 300 e 500,
e conter apenas os algarismos 3, 4 e 5, há 2 possibilidades para o algarismo das centenas (a saber: 3 e 4), 3 para o das dezenas e 3 para o das
unidades.
Logo há 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 18 números nas condições dadas.
Questão 18
x − y = 3

são
Se as soluções do sistema 
2
mx − y = 6
todos os pontos de uma reta, então:
matemática 5
a) m = 2
b) m = −2
c) m é qualquer número real
d) m = 0
1
e) m =
2
Questão 20
alternativa A
As soluções do sistema dado são todos os pontos
de uma reta se, e somente se, o sistema é possível e indeterminado.
1
−
1
2 = 3 ⇔ m = 2.
Assim,
=
m
−1
6
Uma equação da reta r, paralela à reta de equação x + y − 4 = 0 , é x + y + k = 0 .
Assim, a distância de P = (2, 1) à reta r é:
12 + 12
Numa circunferência de raio 5, uma corda
perpendicular a um diâmetro separa esse
diâmetro em duas partes, uma das quais
mede 2. O comprimento da corda é:
b) 6
alternativa A
|2 + 1 + k |
Questão 19
a) 4
A equação de uma reta, paralela à reta
x + y − 4 = 0 e distante 3 2 do ponto P = (2, 1),
é:
a) x + y + 3 = 0
b) x + y + 9 = 0
c) x + y − 3 = 0
d) x − y − 6 = 0
e) x + y − 12 = 0
c) 7
d) 8
e) 5
alternativa D
Sejam AB e CD um diâmetro e uma corda, respectivamente, da circunferência de raio 5 com
AB ⊥ CD, AB ∩ CD = {E}.
Sendo x a medida da metade da corda CD, temos:
x 2 = (2 ⋅ 5 − 2) ⋅ 2 ⇔ x 2 = 16 ⇔ x = 4
Logo o comprimento da corda CD é 8.
⇔
= 3 2 ⇔ |3 + k | = 6 ⇔
3 +k =6
k =3
ou
⇔ ou
3 + k = −6
k = −9
Logo a equação de uma reta paralela à reta em
questão é x + y + 3 = 0 .