PRE_CALCULO_ AULAS 1E2 - Páginas Pessoais

Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I
Dicas Importantes do Curso Pré-Cálculo
Técnicas de Estudo.
Estudo em Grupo
Comprometimento
Assiduidade
Dúvidas
Pesquisa
Monitoria
Organização
Tempo de Estudo
Texto “SUGESTÕES PARA MELHOR ESTUDAR MATEMÁTICA” na página do DAMAT,
no link: Como estudar Matemática?
http://www.utfpr.edu.br/curitiba/estruturauniversitaria/diretorias/dirgrad/departamentos/matematica/ensino/Sugestoes_para_melhor
_estudar_Matematica.pdf
Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I
Aula 01
Ministrante
Prof. Dr. Raimundo Ronilson Leal do Rosário
Material elaborado pelos professores:
Prof. Dr. Raimundo Ronilson Leal do Rosário
Profª. Drª. Silvana Heidemann Rocha
SUMÁRIO
Ementa
1 Introdução sobre Conjunto
2 Operações com Conjuntos
Conteúdo
1.1 Noção de Conjunto
1.2 Formas de Representar um conjunto
1.3 Relação de Pertinência (∈, ∉ )
1.4 Correspondência Biunívoca
1.5 Conjuntos Importantes
1.5.1 Conjunto Vazio
1.5.2 Conjunto Unitário
1.5.3 Conjunto Universo
1.6 Conjuntos Iguais
1.7 Conjuntos Disjuntos
1.8 Subconjuntos e Relação de Inclusão ( ,  )
1.9 Conjuntos das Partes de um Conjunto
1.10 Par Ordenado
2.1 União (  )
2.2 Interseção (  )
2.3 Diferença (  )
c
2.4 Complementar ( )
2.5 Produto Cartesiano (  )
2.6 Propriedades das Operações com conjuntos
2.7 Partição de um Conjunto
3 Conjuntos Numéricos
3.1 Conjunto dos Números Naturais (ℕ)
3.2 Propriedades das Operações em ℕ
3.3 Conjunto dos Números Inteiros (ℤ)
3.4 Propriedades das Operações em ℤ
3.5 Conjunto dos Números Racionais (ℚ)
3.6 Propriedades das Operações em ℚ
3.7 Conjunto dos Números Irracionais (ℝ−ℚ)
3.8 Conjunto dos Números Reais (ℝ)
3.9 Conjunto dos Números Complexos (C)
3.10 Propriedades das Operações em C
4.1 Potenciação em ℝ e suas propriedades
4.2 Radiciação em ℝ e suas propriedades
4.3 Intervalos
4 Estudos dos Números Reais (R)
4.3.1 Operações com Intervalos
4.4 Módulo de um Número Real
Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I
Aula 01
1. Introdução sobre Conjunto
1.1 Noção de conjunto
Conjunto é o agrupamento, classe ou coleção de elementos.
1.2 Formas de representar um conjunto
Enumeração dos elementos
Propriedades
Diagrama
Ex.:
={ ; ã Ex.:
={ , , }
ê }
Ex.:
1
2
4
3
5
1.3 Relação de pertinência (∈, ∉ )
É convencionado usar os símbolos ∈ e ∉ para relacionar elementos com conjuntos.
Lê-se: “pertence” para o símbolo ∈ e “não pertence” para ∉.
Ex.: Dado o conjunto P = { 1, 2, {1, 2}, {{5}} }, tem-se:
1 ∈P;
2 ∈P;
{1, 2} ∈P;
{{5}} ∈P;
5 ∉ P;
{1}∉ P;
{5} ∉ P.
1.4 Correspondência Biunívoca
É o tipo de correspondência entre dois conjuntos no qual cada elemento do
primeiro conjunto é relacionado a um único elemento do segundo conjunto, e vice-versa.
M
Ex.:
N
1
2
A
3
C
4
B
D
3
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Aula 01
1.5 Conjuntos importantes
1.5.1 Conjunto Vazio ( ∅ ou {} ): é aquele que não possui elemento.
Ex.: A =  ou A = { }.
Observação: O conjunto B = {  } não é vazio, pois possui o elemento  .
1.5.2 Conjunto Unitário: é aquele que possui um único elemento.
Ex.1: { 3 }
(Lê-se: O conjunto unitário formado pelo algarismo 3)
Ex.2: { {5} }
(Lê-se: O conjunto unitário formado pelo unitário 5).
Ex.3: { {6, 7} }
(Lê-se: O conjunto unitário formado pelo par não-ordenado 6 e 7).
1.5.3 Conjunto Universo (
): é o conjunto ao qual pertencem todos os elementos do
assunto sob análise
Ex.: A equação ( − 3)( + 2) = 0 , tem os seguintes conjuntos soluções:

= {3}, se
=ℕ

= {−2, 3}, se
(conjunto dos números naturais);
=ℤ
(conjunto dos números inteiros);
1.6 Conjuntos Iguais
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e todo
elemento de B pertence a A.
Em símbolos, tem-se: A=B  x, x  A  x  B
Ex.: {0, 3, 10} = {0, 10, 3} = {3, 0, 10} = {3, 10, 0} = {10, 0, 3} = {10, 3, 0}
Observações:
 O símbolo  significa “para todo” ou “qualquer que seja”.
 Quando se escreve  x , lê-se “para todo x ” , e refere-se a todos os
elementos do conjunto universo em questão.
4
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1.7 Conjuntos Disjuntos
Dois conjuntos A e B são denominados conjuntos disjuntos quando não possuem
elemento comum.
Ex.: A = {2, 4, 5} e B = {1, 3} são conjuntos disjuntos.
Ex.: M = {números pares} e A = {2, 4, 5} não são disjuntos.
1.8 Subconjuntos e Relação de Inclusão ( ,  )
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento
de A pertence também a B. Notação:
⊂
e lê-se “A está contido em B”.
O símbolo ⊂ é denominado sinal de inclusão. Sua negação é ⊂ (lê-se: “não está
contido”)
Quando
⊂
também pode-se escrever
⊃ , que se lê “B contém A”.
Ex.: Seja o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4}, tem-se:

{2} ⊂ , pois 2 ∈ ;

{0, 2} ⊂ , pois 0 ∈

{0, 5} ⊂ , pois 5 ∉
e 2∈ ;
1.9 Conjunto das Partes de um Conjunto
Dado um conjunto A, o conjunto das partes de A (denotado por P(A) ) é o
conjunto formado por todos os subconjuntos de A.
Em símbolos, tem-se: P (A) = {X / X  A }.
Observação: O número de elementos de A, denotado por n(A), é igual a 2n(A)
Ex.: M = { a, b, c}  P (M) = {  , {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} }, sendo o
número de elementos de P (M) = 2n(M) = 23 = 8.
1.10 Par ordenado
Um par ordenado, denotado por ( , ), consiste de dois elementos, e , dos quais
um o é designado como primeiro elemento e o outro, , como segundo elemento.
5
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2. Operações com Conjuntos
2.1 União ( ∪ )
Dados dois conjuntos A e B, a união de A e B (denotada por
∪ ) é o conjunto
formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.
∪
Ex.:
= {−1, 0, 1, 2, 3} e
={ ;
∈ = {1, 3, 5}, então
∈ }
∪
= ........................................
2.2 Interseção ( ∩ )
Dados dois conjuntos A e B, a interseção de A e B (denotada por
∩ )éo
conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B.
∩
Ex.:
= {−1, 0, 1, 2, 3} e
={ ;
∈ ∈ }
= {1, 3, 5}, então
∩
= ..................................
2.3 Diferença ( − )
Dados dois conjuntos A e B, a diferença entre A e B (denotada por
− )éo
conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.
−
Ex.:
= {−1, 0, 1, 2, 3} e
={ ;
∈ ∉ }
= {1, 3, 5}, então
−
= ..................................
6
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2.4 Complementar de B em relação a A (
Dados dois conjuntos A e B, tal que
(denotado por
)
⊂ , o complementar de B em relação a A
− .
) é o conjunto
=
Ex.:
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= {−1, 0, 1, 2, 3} e
−
= {1, 3}, então
= ............................................
2.5 Produto cartesiano ( × )
Dados A e B dois conjuntos não vazios. O produto cartesiano de A por B (denotado
por
× ; lê-se: A cartesiano B ou produto cartesiano de A por B) é o conjunto cujos
elementos são todos pares ordenados (x, y), onde x pertence a A e y pertence a B.
×
Ex.:
= { , 0, 1} e
= {( , ); ∈ ∈ }
= { , 3}, então
×
= {( , ), ( , 3), (0, ), (0, 3), (1, ), (1, 3)}
2.6 Propriedades das Operações com Conjuntos
Sendo A, B e C três conjuntos quaisquer e U o conjunto universo, tem-se:
i) A  A  A
ii) A    A
iii) A  U  U
iv) A  A  A
v) A    
vi) A  U  A
vii) A  B  B  A
(comutativa em relação à união)
viii) ( A  B )  C  A  ( B  C ) = A  B  C
(associativa em relação à união)
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ix) A  B  B  A
(comutativa em relação à interseção)
x) A  ( B  C )  ( A  B )  C = A  B  C
(associativa em relação à interseção)
xi) A  ( B  C )  ( A  B )  ( A  C )
(distributiva da união em relação à interseção)
xii) A  ( B  C )  ( A  B )  ( A  C )
(distributiva da intersecção em relação à união)
xiii) A  ( B  C )  ( A  B )  ( A  C )
(distributiva
da
interseção
em
relação
à
diferença)
C
onde A C é o complementar de A em relação ao conjunto universo U.
xiv) A  A   ,
xv) U
C

C U
e
C C
xvi) ( A )  A
xvii) A  B  A  B C
xviii) A  B  B C  A C
C
C
xix) ( A  B)  A  B
C
(Primeira Lei de Morgan)
n
C
n

Ai    AiC  A1C  A2C  ...  AnC

i 1
 i 1 

Generalização: ( A1  A2  ...  An ) C  
C
C
xx) ( A  B )  A  B
C
(Segunda Lei de Morgan)
C
n
 n

Generalização: ( A1  A2  ...  An )    Ai    AiC A1C  A2C  ...  AnC
i 1
 i 1 
C
C
C C
xxi) A  B  ( A  B )
C
xxii) A  B  A  ( B  ( A  B)  A  ( A  B)
C
C C
xxiii) A  B  ( A  B )
xxiv) A= A  ( A  B )
xxv) A= A  ( A  B )
xxvi) A  ( A  B )  ( A  B )
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C
xxvii) A= ( A  B)  ( A  B )
xxviii) A  B  A C  B C  B C  A C
onde  significa ou.
xxix) A  B e C  D  ( A  C )  ( B  D ) ,
xxx) A  ( B  C )  ( A  B )  ( A  C )
onde  é o produto cartesiano.
(distributiva do produto cartesiano em relação à união)
xxi) A  ( B  C )  ( A  B )  ( A  C )
(distributiva do produto cartesiano em relação à
interseção)
xxxii) ( A  B )  ( B  C )  A  C .
onde  significa e
2.7 Partição de um Conjunto
Definição: Os subconjuntos A1, A2, ..., An formam uma partição do conjunto U se:
i) Ai  ,  i = 1, 2, ..., n
ii) Ai  Aj = , para i  j (ou seja, Ai e Aj são conjuntos disjuntos), com j = 1, 2, ...,
n.
n
iii)
A
i
U
i 1
Ex:
U
A1
A2
...
An
A3
An-1
Em resumo:
Uma partição de um conjunto U é uma coleção de subconjuntos não-vazios e
disjuntos de U, cujas uniões são iguais a U.
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3. CONJUNTOS NUMÉRICOS
3.1 Conjunto dos Números Naturais (ℕ)
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, … }
ℕ∗ = ℕ − {0} = {1, 2, 3, 4, … }
3.2 Propriedades das operações em ℕ
i) ( + ) + = + ( + )
ii) + = + iii) + 0 = iv) ( ∙ ) ∙ = ∙ ( ∙ )
v) ∙ = ∙
vi) ∙ 1 = 1 ∙ = vii) ∙ ( + ) = ∙ + ∙
3.3 Conjunto dos Números Inteiros (ℤ)
ℤ = {… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, … }
ℤ = {0,1, 2, 3, 4, … } = ℕ
ℤ = {… , −3, −2, −1, 0}
ℤ∗ = ℤ − {0} = {… , −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, … }
ℤ∗ = {1, 2, 3, 4, . . }
ℤ∗ = {… , −3, −2, −1}
3.4 Propriedades das operações em ℤ
i) ( + ) + = + ( + )
ii)
+ = +
iii)
+ 0 = iv)
+ (− ) = 0
v) ( ∙ ) ∙ = ∙ ( ∙ )
vi)
∙ = ∙
vii)
∙ 1 = 1 ∙ = viii) ∙ ( + ) = ∙ + ∙
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3.5 Conjunto dos Números Racionais (ℚ)
ℚ=
;
∈ ℤ ∈ ℤ∗
ℚ = {}
3.6 Propriedades das operações em ℚ
As oito propriedades em ℤ, e:
ix)
∙ =1
3.7 Conjunto dos Números Irracionais (ℝ−ℚ)
Os números irracionais são dízimas não-periódicas; isto é, são números com
infinitas casas decimas, mas que não apresentam período.
Ex.: √2 = 1,4142136 …
3.8 Conjunto dos Números Reais (ℝ)
O conjunto dos números reais tem como elementos todos os números racionais e
todos os números irracionais.
3.9 Conjunto dos Números Complexos (C)
Pode-se definir o conjunto dos números complexos como o conjunto dos pares
ordenados (x, y) de números reais para os quais estão definidas a igualdade, a adição e a
multiplicação conforme abaixo.
Tomando dois elementos (a, b) e (c, d) de R2, com R2 = RR, tem-se:
i) igualdade:
(a, b) = (c, d)  a = c e b = d
ii) adição:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
iii) multiplicação:
(a, b)·(c, d) = (a·c  b·d, a·d + b·c)
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Todo número complexo z = (a, b) pode ser escrito sob a forma algébrica z = a +
bi, onde a unidade imaginária é definida como =  1 ou i 2  1 .
É esse significado da unidade imaginária que justifica a definição da
multiplicação, em C, como dada no item iii, anteriormente, pois:
(a  bi).(c  di)  ac  adi  bci  bdi 2  ac  bd  (ad  bc)i  (ac  bd , ad  bc)
Nos livros de engenharia, é usual denotar-se a unidade imaginária por j, obtendose, por exemplo, z  a  bj .
Observações:

O conjunto C dos números complexos não é igual ao conjunto R2, uma vez
que, pela definição de conjuntos iguais, os elementos de C e de R2 não são
os mesmos. Por exemplo: ( , ) ∈ C significa que a componente
está
sendo multiplicada pela unidade imaginária, ou seja, ( , ) é apenas uma
forma de representar o número complexo

Um número complexo
=
+
+ .
pode ser representado, ainda, na forma
trigonométrica ou forma polar, dada por z   (cos   i.sen ) ; bem como, na
forma exponencial z  .e i .

Geometricamente, os números complexos são representados num plano
denominado plano de Argand-Gauss que é, conceitualmente, diferente do
plano cartesiano.
3.10 Propriedades das operações em C
Sendo z1, z2 e z3 elementos de C, tem-se:
(z1 + z2) + z3 = z1 + ( z2 + z3 )
(associativa aditiva)
z1 + z2 = z2 + z1
(comutativa aditiva)
z + (0,0) = z
z + (-z) = (0,0)
(z1∙z2)∙ z3 = z1∙(z2∙z3)
(elemento neutro aditivo)
(elemento simétrico ou inverso aditivo)
(associativa multiplicativa)
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z1 ∙ z2 = z2 ∙z1
(comutativa multiplicativa)
z ∙(1,0) = z
z∙ (
Aula 01
(elemento neutro multiplicativo)
a
b
, 2
) = (1,0) , com z = ( , )
2
a b
a  b2
2
z1 ∙ ( z2 + z3) = z1 ∙ z2 + z1 ∙z3 )
(elemento inverso multiplicativo)
(distributiva da multiplicação em relação à adição)
4 Estudos dos Números Reais (R)
4.1 Potenciação em ℝ e suas propriedades
Propriedades de potenciação dos números reais.
1)
=1
2)
=1
3)
=
4)
∙
=
5)
∙
=(
6)
:
=
7)
:
=
8) (
) =
9)
= √
)
4.2 Radiciação em ℝ e suas propriedades
Propriedades de radiciação dos números reais.
1)
√
=
2)
√
= √
3)
√ = √
4) √ ∙
∙ = √ ∙√ ∙√
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=
5)
Aula 01
√
√
6)
√ = √
7)
=
∙
√
4.3 Intervalos
Intervalo é um subconjunto dos números reais.
Representação de Intervalos
a) Limitados.
Intervalos
limitados
Colchetes
Desigualdades
Geometricamente
] , [
Aberto
{ ∈ ℝ;
aberto à esquerda
<
≤ }
fechado
fechado à esquerda
[ , [
b) Limitados superiormente ou inferiormente
Colchetes
Desigualdades
Geometricamente
] − ∞, [
{ ∈ ℝ;
≥ }
] , +∞[
4.3.1 Operações com Intervalos
Exercícios
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4.4 Módulo de um Número Real Valor Absoluto
Definição: Para todo
∈ R, o módulo de , denotado por x , é definido por
 x se x  0
x 
- x se x  0
De acordo com a definição anterior, para todo
∈ R, tem-se x  0 .
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Aula 02
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Profª. Drª. Silvana Heidemann Rocha
Material elaborado pela
Profª. Drª. Silvana Heidemann Rocha
Caro(a) estudante,
Estas notas de aulas têm o objetivo de auxiliá-lo(a) na revisão de conteúdos
básicos para o estudo do Cálculo Diferencial e Integral. No entanto, elas não o(a)
dispensam de consultar livros.
Caso você encontre erros de quaisquer tipos ou tenha sugestões a fazer, favor
comunicar-me; assim, poderei aperfeiçoar o material.
O conteúdo deste material pode ser usado por qualquer pessoa, desde que seja
citada a fonte.
Grata por sua colaboração e bom estudo.
Profª Silvana Heidemann Rocha
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Aula 02
SUMÁRIO
1 SISTEMAS DE COORDENADAS
1.1 SISTEMA UNIDIMENSIONAL OU SISTEMA LINEAR
1.1.1 Conceito e Representação
1.1.2 Comprimento de um Segmento Retilíneo Orientado
1.1.3 Distância entre Dois Pontos, no Sistema Linear
1.1.4 Vizinhança e Ponto de Acumulação, na Reta Real
1.2 SISTEMAS BIDIMENSIONAIS
1.2.1 Conceito, Tipos e Representações
1.2.2 Sistema Cartesiano Ortogonal ou Plano Cartesiano
1.2.2.1 Distância entre Dois Pontos, no Plano Cartesiano
1.2.2.2 Vizinhança e Ponto de Acumulação, no Plano Cartesiano
2 INTRODUÇÃO À RELAÇÃO BINÁRIA E À FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL (Conceitos)
3 RELAÇÃO BINÁRIA
3.1 DEFINIÇÃO, NOTAÇÃO E REPRESENTAÇÃO
3.2.DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO, IMAGEM DE UMA RELAÇÃO BINÁRIA
3.3 RELAÇÃO INVERSA
4
FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL
4.1 DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO
4.2 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
4.3 FUNÇÕES IGUAIS
4.4 REPRESENTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO
4.4.1 Diagrama de Venn
4.4.2 Gráfico
4.4.3 Função na Forma Explícita
4.4.4 Função na Forma Implícita
4.4.5 Função na Forma Paramétrica
4.5 CLASSIFICAÇÃO DE UMA FUNÇÃO
4.5.1
Função Injetora, Função Sobrejetora, Função Bijetora
4.5.2
Função Par, Função Ímpar
4.5.3
Função Periódica
4.6 OPERAÇÕES COM FUNÇÕES
4.6.1
Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão
4.6.2
Multiplicação de uma Função por um Escalar
4.6.3
Composição de Duas Funções ou Função Composta
4.6.4
Inversão ou Função Inversa
4.7 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL
4.7.1
Conceito, Definição e Representação, no Plano Cartesiano
4.7.2
Sinais e Zeros de uma Função
4.7.3
Intervalos de Crescimento e de Decrescimento
4.7.4
Extremos Relativos e Extemos Absolutos
4.7.5
Translação e Reflexão de Gráfico
4.7.6
Função Algébrica, Função Transcendente, Função Elementar, Função Especial
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Aula 02
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Aula 02
1 SISTEMAS DE COORDENADAS
Conceito: Sistemas de coordenadas são referenciais pelos quais se estabelece uma
correspondência recíproca entre pontos geométricos e números reais.
Esses sistemas são usados para investigação analítica (que procede por análise) de
propriedades geométricas; por exemplo, determinar a equação de uma curva geométrica.
1.1 SISTEMA UNIDIMENSIONAL OU SISTEMA LINEAR
1.1.1 Conceito e Representação
No sistema linear, um ponto pode mover-se livremente sobre a reta dos números
reais, denominada simplesmente de reta real.
A reta real representa geometricamente o espaço de dimensão um. A orientação
positiva da reta é da esquerda para a direita, sendo O um ponto fixo sobre essa reta. O
ponto O é denominado origem do sistema e a reta real orientada é denominada eixo.
A distância de um ponto P à origem O é x vezes o comprimento adotado como
unidade de medida na escala do eixo. Se P localiza-se à direita da origem, x é positivo.
Se P localiza-se à esquerda da origem, x é negativo.
Nessa correspondência entre o ponto P e o número real x, diz-se que:

P tem coordenada (x);

P é a representação geométrica ou gráfica do número real x;

A coordenada (x) é a representação analítica de P;

Há correspondência biunívoca entre ponto geométrico e número real; ou seja, a
cada número real corresponde um e único ponto sobre o eixo, e a cada ponto
sobre o eixo corresponde um e único número real.
Geralmente escreve-se, juntos, o ponto P e sua coordenada x, assim: P(x).
19
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Aula 02
A origem O tem coordenada 0 (zero) e o ponto A, correspondente à unidade de
comprimento adotada (escala), tem coordenada 1.
Ex.:
0
1
x
O
A
P
R
1.1.2 Comprimento de um Segmento Retilíneo Orientado
Num sistema linear, o comprimento do segmento retilíneo orientado P1 P2 , determinado
por dois pontos dados P1 ( x1 )
e
P2 ( x 2 ) ,
é obtido, tanto em grandeza como em sinal,
subtraindo-se a coordenada do ponto inicial P1 da coordenada da extremidade P2 . Assim:
P1 P2  x 2  x1
1.1.3 Distância entre Dois Pontos, no Sistema Linear
A distância d entre dois pontos dados
P1 ( x1 )
e
P2 ( x 2 ) é definida como o valor
absoluto do comprimento do segmento retilíneo determinado por esses dois pontos. Assim:
d  P1 P2  x 2  x1
1.1.3 Ponto de Acumulação e Vizinhança, na Reta Real
Um número a , com a R, chama-se ponto de acumulação do conjunto X, com X  R,
quando todo intervalo aberto ( a   , a   ), de centro em a , contém algum ponto x  X ,
diferente de a ; onde  > 0 é o raio do intervalo.
Se a é ponto de acumulação à direita do conjunto X, então todo intervalo [ a , a +  ), com
 >0, contém algum ponto de X diferente de a . Analogamente, se a é ponto de
acumulação à esquerda do conjunto X, então todo intervalo ( a -  , a ], com  >0, contém
algum ponto de X diferente de a .
A condição “ a é ponto de acumulação de X” exprime-se simbolicamente por:
  0,  x  X / 0  x  a   ,
20
Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I
onde x  a   , equivalente a a   < x < a + 
Aula 02
ou a -  < x  a <  ou, ainda, a
x
 (a   , a   ) , representa a vizinhança de raio  do ponto a .
Geometricamente, tem-se:
X
(
)
a
R
1.2 SISTEMAS BIDIMENSIONAIS
1.2.1 Conceito, Tipos e Representações
Um sistema bidimensional é um sistema no qual um ponto pode se mover
livremente para todas as posições de um plano.
Para localizar um ponto, num plano, é necessário um sistema de coordenadas.
Os sistemas bidimensionais mais comuns são: o sistema cartesiano ortogonal, o
sistema cartesiano oblíquo e o sistema de coordenadas polares.
Em Cálculo Diferencial e Integral 1, o enfoque é dado ao estudo de relações e de
funções caracterizadas sobre um sistema cartesiano ortogonal. Esse sistema é
denominado, ainda, sistema de coordenadas cartesianas retangulares ou plano
cartesiano.
O sistema de coordenadas polares (ou sistema polar), o sistema cartesiano oblíquo
e os sistemas tridimensionais de coordenadas são estudados em outras disciplinas.
(a) Plano Cartesiano
(b) Sistema de Coordenadas Polares
Figura 1 – Exemplos de sistemas bidimensionais
21
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Aula 02
1.2.2 Sistema Cartesiano Ortogonal ou Plano Cartesiano
Esse sistema é formado por duas retas orientadas, denominadas eixos
coordenados, perpendiculares entre si. O ponto O, de intersecção entre os eixos
coordenados, é denominado origem do sistema. Veja a figura 2, adiante.
O eixo
⃗ ou, mais comumente, eixo x, é denominado eixo das abscissas; e o eixo
⃗ , ou eixo y, é o eixo das ordenadas.
A orientação positiva do eixo x é para a direita, e a orientação positiva do eixo y é
para cima.
Os eixos coordenados x e y dividem o plano em quatro quadrantes, numerados no
sentido anti-horário, conforme apresentado na figura 2, adiante.
Sobre o eixo das abscissas e à direita de O, marca-se o ponto A, correspondente à
unidade de comprimento do eixo x. Analogamente, sobre o eixo das ordenadas e acima
de O, marca-se o ponto B, correspondente à unidade de comprimento do eixo y. Os
segmentos OA e
OB representam as escalas utilizadas no eixo x e no eixo y,
respectivamente.
Os segmentos OA e OB não necessitam ter exatamente a mesma medida, uma
vez que x e y geralmente representam grandezas distintas; por exemplo, tempo e
velocidade, tempo e deslocamento, lado e área, etc. Como, em Matemática, x e y são
grandezas quaisquer, é usual adotar a mesma escala para ambos os eixos coordenados.
Essa escala é denominada escala identidade.
y
II(-,+)
I(+,+)
1
B
1
O
III(-, -)
A
x
IV (+,_)
Figura 2 – Esquema de um Plano Cartesiano
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Aula 02
No plano cartesiano, cada ponto P pode ser, inequivocamente, localizado mediante
um par ordenado ( , ), onde
é a abscissa de P e
No par ordenado ( , ),
e é a sua ordenada.
não podem ser trocados de lugar, pois há uma
relação de ordem no par. Os números reais
e são denominados coordenadas
retangulares de P.
O módulo da abscissa
ordenada representa a distância que P está do eixo e o módulo da
representa a distância que P está do eixo .
y
Py
O
P(x,y)
Px
x
Figura 3 – Localização de um ponto P, no plano cartesiano
No plano cartesiano, para cada ponto distinto P, há um e apenas um par de
coordenadas ( , ). Inversamente, qualquer par de coordenadas ( , ) determina um e
apenas um ponto. Assim, no sistema cartesiano ortogonal, há uma correspondência
biunívoca entre cada ponto geométrico e um par ordenado de números reais.
A localização de um ponto por meio de suas coordenadas é denominada gráfico
do ponto. Um gráfico de pontos é mais fácil de ser construído se for utilizado papel de
coordenadas retangulares (papel quadriculado).
Os pontos do plano cujas ordenadas são zero localizam-se sobre o eixo ,e os
pontos cujas abscissas são zero localizam-se sobre o eixo .
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1.2.2.1 Distância entre Dois Pontos, no Plano Cartesiano
Exercício:
Num plano cartesiano, localize dois pontos P1(x1, y1) e P2 (x2, y 2), onde x1, x2, y1 e
y2 são números reais quaisquer, e determine a distância entre P1 e P2.
Solução:
y
y
Observação:
Neste caso, tem-se:
x
O
x
O
M
No triângulo P1 MP2 tem-se:
P1 M  y 2  y1
e
MP2  x 2  x1 .
Atente-se ao conceito de distância entre dois pontos no sistema unidimensional,
para não tomar, por exemplo, a distância entre P1 e M, dada pelo valor absoluto do
comprimento do segmento orientado P1 M , como negativa; já que, neste caso, y 2  y1  0.
É comum o erro P1 M  y 2  y1 .
Pelo teorema de Pitágoras, vem:
2
2
P2 P1 = P1 M + MP2
2
2
 P2 P1 = y 2  y1
2
2
2
+ x 2  x1 
2
P2 P1 = ( x 2  x1 ) 2 + ( y 2  y1 ) 2 , pois a  a 2 ,  a  R.
Fazendo d = P2 P1 , vem:
d  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2 .
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1.2.2.2 Bola aberta ou Vizinhança e Ponto de Acumulação, no Plano Cartesiano
a) Bola aberta ou vizinhança, no plano cartesiano
 , com P0 (x0, y0)  R2 e  > 0. Chama-se bola
aberta ou vizinhança de centro em P0 e de raio  , denotada por B(P0,  ), o conjunto de
todos os pontos P( , )  R2 cuja distância até P0 é menor que  , isto é, pelos pontos
Sejam o ponto P0 e o número real
P( , ) que satisfazem P  P0   .
Em símbolos, tem-se:
B(P0,
 ) = {( , )  R2 / ( x, y )  ( x0 , y 0 )   } = { ( , )  R2 /
( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2   }
 ) é o conjunto de todos os pontos
internos à circunferência de centro em P0(x0, y0) e de raio  .
Geometricamente, no plano cartesiano, B(P0,
Nesse caso:
( x, y )  ( x0 , y 0 ) =
( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2
b) Ponto de Acumulação, no Plano Cartesiano
Seja X  R2. Um ponto P0 ( x0 , y 0 ) , com P0  R2 e P0 não necessariamente
pertencente a X, é dito um ponto de acumulação de X, se toda bola aberta de centro em
P0 contiver pelo menos um ponto P ( x, y ) , com P  X e P  P0.
Dizer que ( x0 , y 0 ) é ponto de acumulação de X significa dizer que existem pontos
( x, y ) de X, distintos de ( x0 , y 0 ) , tão próximos de ( x0 , y 0 ) quanto se queira.
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Aula 02
INTRODUÇÃO À RELAÇÃO BINÁRIA
Considere a seguinte situação:
“Num dia de frio, um jovem ou uma jovem está, despreocupadamente, tomando
seu banho, na água bem quente; e o banheiro enchendo-se de vapor de água. A mãe,
impaciente, bate periodicamente à porta:
- Saia já desse banho. Já falei várias vezes: desligue o chuveiro!”
Para o jovem ou a jovem, o importante é prolongar o seu prazer, num banho bem
quente; mas para a mãe, a preocupação é outra: as faturas de energia elétrica e de água que
deverão ser pagas, dentro em breve. Aqui, está sendo considerado um chuveiro elétrico.
Uma situação como essa pode ser analisada do ponto de vista quantitativo, a
exemplo de muitas outras situações quotidianas.
Para uma análise quantitativa, primeiramente, liste as grandezas físicas envolvidas
no problema em questão, com suas respectivas unidades de medida. Grandeza física,
aqui, é tudo aquilo que pode ser medido, pesado ou comparado quantitativamente.
No problema acima, tem-se, por exemplo, as seguintes grandezas físicas e suas
unidades de medida:

Potência do chuveiro (em watts),

Temperatura da água (em ºC),

Tempo que o chuveiro permanece ligado (em minuto),

Vazão da água (em m3/minuto),

Volume de água utilizada (em m3),

Energia consumida (em kwh),

Valor a ser pago pela energia consumida (em $),

Valor a ser pago pela água utilizada (em $).
Numa situação ideal, algumas dessas grandezas podem ser consideradas constantes e
outras variáveis como, por exemplo:
Grandezas constantes
Potência do chuveiro
Temperatura da água
Vazão da água
-
Grandezas variáveis
Volume de água
Tempo que o chuveiro permanece ligado
Energia consumida pelo chuveiro
Valor pago pela energia consumida
Valor pago pela água utilizada
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Aula 02
É possível determinar um modelo matemático para representar essa situação.
Nesse modelo, podem ser relacionadas diversas grandezas ou, no caso mais
simples, apenas duas delas.
Dentre as grandezas variáveis listadas anteriormente, pode-se relacionar duas
delas; por exemplo:
 a energia consumida e o tempo em que o chuveiro permanece ligado;
 a energia consumida e o valor pago por essa energia;
 o volume de água utilizada e o tempo em que o chuveiro permanece ligado;
 o volume de água utilizada e o valor pago por esse volume de água .
Em cada uma dessas relações, é preciso identificar qual é a variável dependente e
qual é a variável independente, perguntando-se qual grandeza depende de qual. Por
exemplo: a energia consumida depende do tempo em que o chuveiro permanece ligado,
ou é o tempo em que o chuveiro permanece ligado que depende da energia consumida?
Na relação entre a energia consumida e o tempo em que o chuveiro permanece
ligado, a energia consumida depende do tempo em que o chuveiro permanece ligado. Nesse
caso, o tempo é arbitrário (grandeza independente) e a energia consumida é a grandeza
dependente.
Na relação entre a energia consumida e o valor pago por essa energia, o valor pago
pela energia depende da quantidade de energia que é consumida. Nesse caso, a energia
consumida é a grandeza independente e o valor a ser pago é a grandeza dependente.
Analogamente, o volume de água utilizada depende do tempo em que o chuveiro fica
ligado e o valor a ser pago pela água consumida depende do volume de água que é utilizado.
Em Matemática, no estudo das relações entre duas grandezas quantitativas, é
usual representar, genericamente, a variável dependente por y, e a variável independente
por x, sem se preocupar com o que essas grandezas podem estar representando
particularmente (se tempo, se volume, se área, etc).
Assim, na relação entre energia consumida e tempo, a energia será representada
por y e o tempo, por x. Já na relação entre valor pago e energia consumida, o valor pago
será representado por y e a energia consumida, por x.
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Aula 02
Utilizando-se diagramas, pode-se resumir essas duas situações, nominando-as de
S e T, onde S e T representam as seguintes relações distintas:
Tempo
S
Energia
consumida
(x)
Energia
consumida
(y)
x1
y1
x2
y2
xn
yn
T
(x)
Valor pago
(y)
y1
x1
x2
y2
xn
yn
Se a cada valor da variável independente x houver apenas um único
correspondente valor da variável dependente y, então a relação é denominada função.
Exemplo:
A lei matemática y = x2, onde x  R, y  R, expressa que y é uma função de
x, pois para cada valor real de x existe um único y em correspondência. No
entanto, em y 2 = x, y não é uma função de x, mas x é função de y.
Numa função, a lei matemática que associa x e y pode ser: uma função polinomial;
uma função racional; uma função irracional; uma função trigonométrica circular; uma
função exponencial; uma função logarítmica; uma função modular, dentre outras,
dependendo da natureza do problema analisado.
Em Cálculo Diferencial e Integral 1, serão estudadas apenas as relações entre
duas grandezas e somente quando ambas assumem valores reais (o universo
considerado é o conjunto dos números reais, tanto para a grandeza dependente como
para a independente).
A seguir, serão discutidos, de forma mais rigorosa do ponto de vista matemático, os
conteúdos relação binária e função real de uma variável real.
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Aula 02
3 RELAÇÃO BINÁRIA
3.1 DEFINIÇÃO, NOTAÇÃO E REPRESENTAÇÃO
Definição:
Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, chama-se relação binária de A em B a
todo subconjunto R de A×B.
Em símbolos: R é relação binária de A em B  R  A × B.
Observações:

R, aqui, não é o conjunto dos números reais, mas o nome de uma relação
entre os conjuntos A e B;

A×B, como visto anteriormente, é um conjunto denominado produto
cartesiano entre os conjuntos A e B; lê-se: A cartesiano B.
Exemplos: Dados A = {2, 3, 4, 8} e B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, tem-se:
a) A × B = { (2, 2),(2, 3),(2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7),
(4, 2),(4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (8, 2), (8, 3), (8, 4), (8, 5), (8, 6), (8, 7) }.
b) Seja R o conjunto de pares ordenados (x, y)  A × B tal que x é divisor de y.
Assim:
R = {(x, y)  A × B / x y} = {(2, 2),(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)} é uma relação
binária de A em B.
Observação: x y lê-se: x divide y ou x é divisor de y.
Em diagramas tem-se:
A
2
R
B
2
onde A é o conjunto de partida e B é o conjunto
de chegada da relação R.
3
3
4
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Aula 02
3.2 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO, IMAGEM DE UMA RELAÇÃO BINÁRIA
3.2.1 Domínio de uma relação R, de A em B, é o conjunto D de todos os primeiros
elementos dos pares ordenados pertencentes a R.
Em símbolos:
x  D   y , y  B / ( x, y )  R .
No diagrama anterior, D = {2, 3, 4}
3.2.2 Contradomínio de uma relação R, de A em B, denotado por CD, é o conjunto de
chegada B.
3.2.3 Imagem de uma relação R, de A em B, é o conjunto Im de todos os segundos
elementos dos pares ordenados pertencentes a R.
Em símbolos:
y  Im   x, x  A / ( x , y )  R .
No diagrama anterior, Im = {2, 3, 4, 6}.
Observação:

Decorre da definição que, numa relação R, de A em B, D  A e Im  B .
3.3 RELAÇÃO INVERSA
Definição:
Dada uma relação R, de A em B, o conjunto R 1   ( y, x)  B  A / ( x, y )  R é uma
relação de B em A, denominada relação inversa de R.
Note que se R é uma relação de A em B, então R 1 é um subconjunto de B × A.
Em diagrama, tem-se:
A
R
B
A
R
-1
B
x1 .
. y1
x1 .
. y1
x2 .
. y2
x2 .
. y2
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Aula 02
Propriedades das Relações Binárias Inversas
a) D(R-1) = Im(R)
b) Im(R-1) = D(R)
c) (R-1)-1 = R
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