E r - UFPa

CURSO FÍSICA
BÁSICA III
CAMPUS BELÉM
Faculdade de Física
UFPA
Jordan Del Nero
[email protected]
SUMÁRIO
- Interações fundamentais da natureza;
- Ênfase nas interações mais familiares do nosso dia-a-dia (Gravitacional e
Eletromagnética) e suas relações;
- Evolução do Eletromagnetismo Clássico, sua importância e as equações de
Maxwell que descrevem o campo eletromagnético (para campos estáticos e
variáveis no tempo) na sua forma diferencial e integral;
- O operador diferencial nabla e os conceitos de grad, div e rot;
- Produção em laboratório da onda eletromagnética por Hertz;
- Surgimento da Teoria da Relatividade Restrita de Einstein;
- Interesses e aplicações do Eletromagnetismo nas diversas áreas.
Interações Eletromagnéticas
• Entre os constituintes da matéria, podemos classificar em
4 tipos de interações fundamentais na natureza (em
ordem crescente da intensidade da interação):
- Gravitacional
Matéria
Perceptível na escala atômica
Átomos
-
Nuclear fraca
Decaimentos radioativos (,)
-
Eletromagnética
Influência nas escalas macro e micro
- Nuclear forte
Interação que mantém os (+) e (0)
Ligados no núcleo do átomo
Interações Eletromagnéticas
 Interações nucleares operam na escala nuclear e subnuclear, decaindo muito rapidamente para grandes
distâncias. Fenômenos macroscópicos são estudados
levando-se em conta somente as interações gravitacional e
eletromagnética. Diferem do ponto de vista quantitativo em
várias ordens de grandeza.
Força Gravitacional
(entre duas massas puntiformes)
Força de Atração =
11(kg 2 )
11
G

6
.
67

10
N
2
1m
1 kg
1 kg
1m
Força elétrica (ou
Coulombiana)
(entre cargas puntiformes)
1 milhão de
toneladas de
repulsão
Força de Repulsão = k 
1 1(C 2 )
1 m2
 8.98 109 N
Força Gravitacional e
Coulombiana
Interações Eletromagnéticas
Interações entre carga elétrica e fóton
(portador da interação eletromagnética)
Física Clássica: o eletromagnetismo é descrito usando
campos elétrico e magnético. As relações básicas entre
esses campos e matéria são descritas pelas equações de
Maxwell (para campos estáticos e variáveis no tempo).
.E  
 o , .B  0, xE  0, xB  oi
.E   , .B  0, xE    B , xB   o o  E  oi
o
t
t
E e B são independentes
E e B se relacionam
O eletromagnetismo surgi através da experiência de C.
Oersted (1820): uma corrente elétrica produz efeitos
magnéticos (artigo “a ação de correntes sobre ímãs”.
Corrente  campo B  corrente
Lei de Ampère => Lei de Biot-Savart
Lei de Indução de Faraday (1831)
fio
agulhas
imantadas
Interações Eletromagnéticas
Interações entre carga elétrica e fóton
(portador da interação eletromagnética)
Forma Diferencial da Equações de Maxwell:
Forma Integral:
E e B são independentes para campos estáticos (ou estacionários)
.E  
o
 o  .E.dV   o  E.d S    .dV  qenvol .sup erf
Lei de Gauss p/ eletrostática
.B  0
Lei de Gauss p/ magnetostática
xE  0
Lei de Indução de Faraday
xB  o i
Lei de Indução de Ampère
 .B.dV   B.d S  0
 xE.d S   E.dl  0
 xB.d S   B.dl   i
o
E e B se relacionam para campos variáveis no tempo (ou transientes)
.E  
 o Lei de Gauss p/ eletrostática
.B  0 Lei de Gauss p/ magnetostática
xE    B
t
xB   o o  E
Lei de Indução de Faraday
t
 o i
 o  .E.dV   o  E.d S    .dV  qenvol .sup erf
 .B.dV   B.d S  0
 xE.d S 
Lei de Indução de
Ampère-Maxwell
B
.d S
t
E
.d S
t
 E.dl  f .e.m   
 xB.d S   B.dl  f .m.m  
Interações Eletromagnéticas
– Definições:
1- operador nabla (): É um operador diferencial e tem características
semelhantes a de um vetor.
^
    x, y, z   i
 ^  ^ 
 j k
x
y
z
2- operador nabla () atuando em uma função ou campo escalar ():
Gradiente do campo (vetor):
 ^  ^ 
  i
j
k
x
y
z
^
3- operador nabla () atuando em uma função ou campo vetorial (A ):
Divergente do campo (escalar):
^
^
^  ^  ^   ^
 Ax Ay Az
 A   i  j  k  .  i . Ax  j . Ay  k . Az  



x

y

z

x

y
z




^
^
^
^
^
^
Rotacional do campo vetorial (vetor): x A   i   j   k   x  i . Ax  j . Ay  k .Az   ?
^
i
x A 

x
Ax
^
j
^
 x
y
k
   Az Ay  ^  Ax Az  ^  Ay Ax  ^



j 

 i
k
y z  y
z   z
x   x
y 
Ay Az
z  

Interações Eletromagnéticas
– Definições:
Gradiente do campo  (vetor): representa a magnitude e a orientação da
máxima taxa espacial de variação de .
^
^
  ^  ^  ^   ^

d   . i  . j  . k  .  dx. i  dy. j  dz. k 






    x, y, z 
d 
.dx  .dy  .dz
y
z  

 x
x
y
z
dl
G
d
Logo, d  G.dl  G.cos .dl ou dl  G.cos  . P/  = 0,
é, quando dl tem a mesma orientação de G . Assim,
Divergente do campo vetorial (escalar):
d
 maximo . Isto
dl
d
d
|max 
G
dl
dn
É o fluxo líquido que flui p/ fora de uma superfície incremental fechada,
por unidade de volume, à medida que o volume se reduz à zero em
torno do ponto P.
Significado físico:
Medida do quanto o campo
P
vetorial diverge ou emana
P
P
desse ponto P.
. A  0 (diverge)
ponto-fonte
. A  0 (converge)
ponto-sumidouro
. A  0
ponto sem fonte
nem sumidouro
 A  lim
V 0
 A.d S
V
Interações Eletromagnéticas
– Definições:
Teorema da Divergência (ou de Gauss-Ostrogradsky):
Estabelece que o fluxo total de um campo vetorial A que sai de uma
superfície fechada S é igual a integral de volume .A .
 A.d S    A .dV
Rotacional do campo vetorial (vetor): vetor axial (girante), cujo módulo é
a máxima circulação de A por unidade de área S, à medida que S0,
cuja orientação é  à essa área S, quando a mesma está orientada de
modo a se obter a máxima circulação.
x A  lim
S 0
 A.dl
, onde:
S
 A.dl
é a circulação do campo em torno de um
caminho fechado.
P
P
x A (fora da tela)
Significado físico:
Medi a orientação e a magnitude da
máxima circulação do campo vetorial
por unidade de área S no ponto P.
dS
x A  0
Teorema do Rotacional (ou de Stokes):
dl e dS aplica-se a regra da mão direita.
 A.dl   x A.d S
S
dl
Interações Eletromagnéticas
– Por que a teoria eletromagnética se resume nas 4 equações de Maxwell?
Porque é preciso conhecer de um campo vetorial (E e B), o divergente e o
rotacional, para que possamos caracterizá-lo e descrevê-lo
completamente. Haja vista, que esses campos descrevem a onda (ou o
campo) eletromagnética.
Obs: Nem só o div., nem o rot., individualmente, são suficientes para
descrever completamente o campo.
- A interconexão desses campos variando no espaço e no tempo,
justificam a propagação das ondas eletromagnéticas.
-
Interesses do Eletromagnetismo:
1- Campo das aplicações à Engenharias: as eqs. de Maxwell são ctes e
universalmente utilizadas na solução de uma grande variedade de
problemas práticos.
2- Fundamentos da Teoria: o Eletromagnetismo como um caso particular de
uma teoria de campo mais geral que envolve (Eletromagnetismo,
Gravitação e Física Quântica).
Interações Eletromagnéticas
Interações entre cargas elétricas e fóton
(portador da interação eletromagnética)
Física Quântica: as interações eletromagnética são
descritas por quantum electrodynamics (QED) e podem
ser calculadas usando Teoria de Perturbação (Diagramas
de Feynman => são representações pictóricas de interações
entre campos quantizados).
Em Física de altas energias:
Espalhamento Coulomb (elétron-nucleon); Espalhamento
Bhabha (elétron-pósitron); Espalhamento Möller (elétronelétron); Espalhamento Compton (fóton-elétron);
Aniquilação
Decaimento de
; Par criação
Interações Eletromagnéticas
– Eletromagnetismo
(ou
Eletrodinâmica)
Formulada por Maxwell (1864).
Clássica:
– Permitiu obter uma das grandes sínteses da ciência, a
unificação do eletromagnetismo e da óptica, mostrando
que a luz é uma onda eletromagnética.
Eq. da onda
– E e B se relacionam
xE    B
t
, xB   o o  E
2
2 A
2  A
c
2
t
x 2
t
Se a luz se propagar em 1 direção (x)
Lei de Indução de Faraday:
Lei de Indução de Maxwell:
E  Eo .e
B  Bo .e
i  kx  wt 
E
B

x
t
B
E

  o o
x
t
i  kx  wt 
 o  8,9.1012 C 2 / N .m2 , o  4 .107 T .m / A
k.Eo  (w).Bo
Eo w 2 f
 
f c
Bo k 2

k.Bo   o o .(w).Eo
w Eo
1

k Bo  o o
c2 
1
 o o
Interações Eletromagnéticas
– Eletromagnetismo
(ou
Eletrodinâmica)
Formulada por Maxwell (1864).
Clássica:
– As ondas Eletromagnéticas foram produzidas pela 1ª
vez por Hertz (1887) em laboratório, foram denominadas
ondas Maxwellianas ou Hertzianas (ondas curtas de
rádio). Aplicações das ondas eletromagnéticas: Marconi
e outros.
– Extensão das eqs. de Maxwell: abrange todos os
aparelhos de óptica e eletromagnetismo (motores,
cíclotrons, computadores eletrônicos, rádio, TV, radar,
microscópios e telescópios).
– Desenvolvimento do Eletromagnetismo não terminou
com Maxwell: O. Heaviside (1850-1925), H. A. Lorentz
(1853-1928) contribuiram para o esclarecimento da
teoria eletromagnética.
Interações Eletromagnéticas
– Eletromagnetismo
(ou
Eletrodinâmica)
Formulada por Maxwell (1864).
Clássica:
– Serviu como ponte para a elaboração da Teoria da
relatividade restrita (1905): para isso foi necessário
modificar a própria mecânica newtoniana, mas a teoria
eletromagnética de Maxwell permaneceu intacta.
Mecânica Newtoniana:
tempo de Galileu).
v <<c
=> Séc. XVII
(transformações de espaço e
Teoria da Relatividade Restrita de Einstein: v  c
(transformações de espaço-tempo de Lorentz). => Séc. XX
Teoria Eletromagnética de Maxwell: Luz => v = c => Séc. XIX
SUMÁRIO
- O que é matéria?
- A matéria é contínua ou discreta?;
- Introdução do conceito de carga elétrica;
- A carga elétrica é contínua ou discreta;
- A carga elétrica se conserva? Em que situações?
- discussão da lei de interação entre as cargas;
- Associar a essa lei um sistema de coordenada para uma distribuição
discreta e contínua de carga.
Eletricidade
A Eletricidade é parte da Física em que se
estuda os fenômenos envolvendo as cargas
elétricas. Didaticamente, está dividida em três
segmentos:
Eletrostática, Eletrodinâmica e
Eletromagnetismo.
O início dos estudos da Eletricidade será
desenvolvido em torno de uma propriedade
denominada carga elétrica.
Matéria e Carga Elétrica
• A Matéria é formada de átomos que por sua vez são
formados por partículas, cujas cargas e massas são:
Matéria e Carga Elétrica
A estrutura atômica mostra que os elétrons são as
partículas que orbitam em torno do núcleo, onde se
localizam os prótons.
ÁTOMO
Núcleo
Eletrosfera
-Prótons
-Neutrons
- Elétrons
Para o átomo de H, onde: r = 5,3 10-11 m
Atração elétrica entre elétron e próton @ 3,7 108 N
Atração gravitacional entre elétron e próton @ 8,1 1047 N
Fc 3, 7.108
39


0,
4568.10
FG 8,1.1047
Início da Eletricidade
• Em 600 a.C, quando Thales de Mileto verificou que um
bastão de âmbar (resina fóssil) atritado (processo de
eletrização por atrito) a pele de animais atraía pequenos
fragmentos de palha.
Carga Elétrica
(evolução das constatações de Mileto)
•
W. Gilbert (1600): Em seu trabalho De Magnete, menciona
outros corpos que se eletrizam por atrito (vidro, enxofre).
• Charles Du Fay (1733): Atração e repulsão descrita em
termos de cargas elétricas (processo de eletrização por
atrito). Ex: pedaço de seda no bastão de vidro e ebonite num
pêlo de animal.
• B. Franklin (1706-1790): concluiu que existem 2 tipos de
carga: (+) e (-).
Pelo estudo dos fenômenos elétricos, verificou-se
que existe dois tipos de cargas elétricas.
Convencionou-se, então, que a carga do elétron
seria negativa e a do próton, positiva.
Elétron (e –)  carga elétrica negativa
Próton (e+)  carga elétrica positiva
Resultado da Experiência
Princípio da Atração e Repulsão
“Partículas portadoras de cargas elétricas
de mesmo sinal se repelem e as de sinais
opostos se atraem.”
Lei de Du-Fay
Cargas elétricas de mesmo sinal se repelem e sinais
contrários se atraem
P
P
E
E
P
E
N
N
CARGA ELÉTRICA
Propriedade de atração ou repulsão entre prótons e elétrons
A carga elétrica
elementar
Experimentalmente, concluiu-se que as
quantidades de carga elétrica do elétron e
do próton são iguais em valores absolutos.
A este valor deu-se o nome de quantidade
de carga elétrica elementar (e):
e = 1,60 . 10-19 C
onde a unidade de medida é C (Coulomb)
Quantidade de Carga
Elétrica
Para a determinação da quantidade de
carga elétrica total (Q) que um corpo possui,
utiliza-se a expressão:
Q=n.e
Onde:
n = nº de elétrons perdidos ou recebidos.
e = carga elétrica elementar.
Quantização da Carga
• A carga era considerada como um fluido
elétrico contínuo (base em Fís. Clássica).
Com base na teoria atômica da matéria
(Fís. Quânt.), foi mostrado que os fluídos
não são contínuos, mas sim formados de
átomos, que por sua vez são constituídos
de uma certa quantidade mínima de carga
elétrica (e). Logo,
Q=n.e
Onde:
n = nº de elétrons perdidos ou recebidos.
e = carga elétrica elementar.
Unidade de Carga (MKS)
• A unidade de carga (C) é definida a
partir da unidade de corrente elétrica.
q  it
• O Coulomb é a quantidade de carga
que atravessa em 1s a seção reta de
um fio percorrido por uma i constante
de 1A.
Corpo Neutro: Possui o mesmo número
de prótons e elétrons.
Corpo Eletrizado: Possui número diferente
de prótons e elétrons.
- Positivamente eletrizado: mais (+) que (-).
- Negativamente: mais (-) que (+).
Em uma eletrização sempre são os elétrons
que se movem de um corpo para outro.
Conservação da Carga
• Normalmente um corpo é neutro (+) = (-). Quando eles são
atritados, ficam carregados com cargas de mesmo valor
absoluto, mas de sinal contrário. Esta hipótese, formulada
pela 1ª vez por Benjamin Franklin, é considerada a 1ª
formulação da lei de conservação de carga elétrica.
• Isto sugere a idéia de que o processo de atrito não cria
cargas, mas apenas as transfere de um objeto para outro,
perturbando ligeiramente o estado eletricamente neutro de
cada um.
• Confirmação por experiências muito precisas no macro e
micro (Física Atômica e Nuclear => decaimento radioativo e
reações nucleares).
• Ex: aproximação e-e+ aniquilam =>  (
E  mc )
2
Como: qtotal = 0 (antes e depois) => conservação da carga, mas
Obs: m não é conservada, pois é transformada em E.
Os meios materiais, quanto ao
comportamento
elétrico,
podem
ser
classificados em:
Condutores e Isolantes
1729- Stephen Gray: as cargas elétricas (elétrons) podiam ser
transmitidos por diferentes materiais.
Condutores e Isolantes
Condutores:
São materiais nos quais os portadores
de carga elétrica têm grande liberdade de
movimento; podem ser de três tipos:
Eletrônicos (1ª ordem ou classe)
Os portadores de carga são os
elétrons livres.
Ex.: metais e grafite, etc.
Iônicos (2ª ordem ou classe):
Os portadores de cargas são íons
(átomos ou grupos de átomos que
receberam ou perderam elétrons – cátions e
ânions).
Ex.: soluções eletrolíticas (ácidos, bases e
sais em solução).
Gasosos (3ª ordem ou classe)
Os portadores de carga que se
movimentam são os elétrons e os íons.
Ex.: gases ionizados (néon, argônio, etc).
Condutores, Semicondutores
e Isolantes
1. Introdução
• Materiais quanto à
condutividade elétrica:
– Metais (condutores)
– Semicondutores
– Isolantes
• Faixa de condutividade:
– 10 -18 W-1m-1 (quartzo,
poliestireno) a 10 8 W-1m-1
(prata, cobre).
Condutores, Semicondutores
e Isolantes
Mecânica Quântica
• Elétron tem comportamento de partícula
e/ou de onda, dependendo do caso.
• Solução da equação de Schrödinger resulta
em estados quânticos para os elétrons:
– discretos em átomos isolados
– bandas de estados em sólidos.
Condutores, Semicondutores
e Isolantes
3. Bandas de Energia dos Materiais e
Densidade de Estados.
• Um estado quântico = uma solução possível
da equação de Schrödinger.
h
y
2

 y  Vy  ih
2m
t
• Conhecendo V(r,t) determina-se as soluções
possíveis – (pares de E(energia) e k(número
de onda)).
• Átomos isolados: níveis discretos de energia,
formando camadas, sub-camadas e orbitais.
• Em sólidos ???
Condutores, Semicondutores
e Isolantes
Modelo Kronig-Penney
solução da equação de Schrödinger.
Níveis permitidos
Níveis não permitidos
Níveis permitidos
Níveis não permitidos
Níveis permitidos
Condutores, Semicondutores
e Isolantes
Resumo:
metais, semicondutores e isolantes
Semicondutor versus Isolante ?
Depende do valor de E G.
Limite ~ 2.5 a 3.0 eV
Isolantes ou Dielétricos
São materiais nos quais os
portadores de carga elétrica não
encontram facilidade de movimento.
Ex.: ar atmosférico, água pura, ebonite,
vidro, borracha, mica, plástico, etc.
Processos de Eletrização
1- ATRITO
Na eletrização por atrito os corpos ficam eletrizados com cargas de
sinais opostos.
Processos de Eletrização
2- CONTATO
Na eletrização por contato, os corpos ficam eletrizados com cargas de
mesmo sinal.
Processos de Eletrização
3- INDUÇÃO
Na eletrização por indução, os corpos ficam eletrizados com cargas
de sinais opostos.
Como carregar um corpo
metálico por indução
Atração entre
um corpo carregado e
um corpo isolante neutro
Polarização
Positiva = prótons
Negativa = elétrons
Módulo = 1,6x10-19C
Número de prótons = número de elétrons
Número de prótons ≠ número de elétrons
Os corpo ficam
eletrizados com
cargas de sinais
Opostos.
Os corpo ficam
eletrizados com
cargas de
Mesmo sinal.
Os corpo ficam
eletrizados com
cargas de sinais
Opostos.
ELETROSCÓPIOS
Aparelhos destinados a detectar se um corpo esta eletrizado
Lei de Coulomb (Força
Elétrica)
Já foi visto anteriormente que as
partículas com cargas de mesmo sinal se
repelem e as de sinais diferentes se atraem.
Essa força de interação eletrostática
entre as partículas carregadas foi medida
pela 1ª vez por C. A. de Coulomb, em 1785.
qQ
F k 2
r
 F qQ (não ficou comprovado)



qQ
1
12
2
2


8,85.10
C
/
N
.
m
F 2
F 2
o


r
r
1
9
2
k
4 o
 9.10 N .m / C 2
Lei de Coulomb
“O módulo da força de interação eletrostática
entre duas partículas carregadas é diretamente
proporcional ao produto dos valores absolutos
de suas cargas e inversamente proporcional ao
quadrado da distância que as separa”.
Fk
Q1 . Q 2
d
2
Gráfico da Lei de Coulomb
Força Elétrica
1- Força de Repulsão
qQ
F 2
r
2- Força de Atração
qQ
F  2
r
A Balança de Torção
Para medir as forças:
1º - Em 1766, J. Priestley (descobriu o
O), repetiu a experiência de Franklin,
condutor carregado (superfície) e no
interior (Felét. = 0). Verificou que Felét. 
Fgrav..
- Em 1785, Coulomb (J. Mitchell)
aperfeiçoou o método de detectar a
força elétrica entre duas cargas por
meio da torção de um fio.
A partir dessa idéia criou um
medidor de força extremamente
sensível, denominado balança de
torção.
Coulomb´s
Balança de Torção de Coulomb (1785)
Determinação de k?
L

FC é considerável e  (cte de torção)
também.
Aparecimento do torque () e do ângulo
( = 3,96.10-3rad).
Comprimento da haste (L = 0,5m), as cargas q = ? e Q = ? (são 2 de cada).
O período de torção é T = 769s e a distância entre o centro das 2 esferas
é d = 0,1m. O período de oscilação de um pêndulo de torção é:
2
2
2
L
2
 
3
2
L
I

2
m

2*0,
01*
0,
25

1,
25.10
kg
.
m


I  m 
 
2
2
1
2
L
4

I

8
2
2
  FC
I



8,34.10
kg
.
m
/
s
Torque:
2
T  2
2
T

2

d
9
2
2
kQq L
k


9.10
N
.
m
/
C
  2 2
QqL
d 2
Balança de Torção de Coulomb (1785)
Verificação da dependência da Força Coulomb com o inverso do
quadrado da distância que separa as 2 cargas elétricas:
- Nas experiências de Coulomb, a precisão não era muito grande
(da ordem de alguns por centos).
- Cavendish (1772), por um método baseado na idéia de Priestley.
Chamando: 2+ o expoente de r, Cavendish mostrou que || < 2%.
-Usando métodos análogos, E. R. Williams e colaboradores
demonstraram, em 1971, que   3.1016 (enorme precisão).
- Assim, a dependência foi verificada com enorme precisão.
Qq
FC  k 2
r
  3.1016
Qq
FC  k 2
r
Balança de Torção de Cavendish (1798)
Determinação de G?
L

FG é muito pequeno e k (cte de torção)
também.
Aparecimento do torque () e do ângulo
( = 3,96.10-3rad).
Comprimento da haste (L = 0,5m), as massas m = 10g e M = 10kg (são 2 de cada).
O período de torção é T = 769s e a distância entre o centro das 2 esferas
é d = 0,1m. O período de oscilação de um pêndulo de torção é:
2
2
2
L
2
 
3
2
L
I

2
m

2*0,
01*
0,
25

1,
25.10
kg
.
m


I  m 
 
2
2
1
2
L
4

I

8
2
2
k  FG
I
k


8,34.10
kg
.
m
/
s
Torque:
2
T  2
2
T
k
k d 2
GMm L
G
 6, 63.1011 N .m2 / kg 2
k  2 2
MmL
d 2
A constante de proporcionalidade k
dependo do meio em que estão imersas as
partículas e é denominada constante
eletrostática.
O valor de k no vácuo (ko) foi determinado empiricamente:
ko = 9,0 . 109 N . m2/C2
(no SI)
Esse valor também se aplica quando o
meio em que se encontram as partículas é o
ar (seco):
kar @ ko
Distancia
DEPENDE
Módulo das cargas
Meio
F  ko
Q1 . Q2
d
2
2
N
.
m
ko  9 x109
C2
Lei de Coulomb
(Tratamento Vetorial)
 Na
eletrostática,
consideramos
somente
configurações de cargas em repouso (com
respeito a um referencial inercial), em equilíbrio
eletrostático, isto é, nada varia com o tempo.
z
q2
q1
+
+
O
x
y
Lei de Coulomb
z
 A força
que q1
exerce sobre q2,
F21 pode ser
expressa sob
forma vetorial:

q1 q2
F21  k 2 r̂12
r
q1
r12
+
r12
r1
O
x
Onde r12 é o vetor
unitário dirigido de q1
para q2
r2
y
q2
+
F 21
Lei de Coulomb
r2 - r1
 Observar
que a
força elétrica
obedece à 3a Lei de
Newton (Ação e
Reação)
^
z
Fig 23.5

q q
F12  k 1 2 2 r̂21
r
r1
r1221r̂ é o vetor unitário
O
dirigido de q2 para q1
x
r2

 
r12  r2  r1

 
r21  r1  r2
y
Lei de Coulomb para mais de 2
cargas
z
 Aplicação
da Lei
de Coulomb para
cada par de
cargas. Sejam
q1,q2,..,qn, as
cargas presentes.
Calculamos a
força exercida
sobre uma delas,
q1, pelas demais,
através da
equação vetorial:
q1
F 12
r12
+
r12
q2
+
r13
r1
+
r2
q3
r3
O
x
F 12  k
F 13
y
q1q2
r 21
2
r 21 F 13  k
F  F 12  F 13  .....  F 1n
q1q3
r 31
2
r 31
Lei de Coulomb para n cargas
puntiformes (descrição microscópica)
 Para
uma distribuição discreta de carga: interação
das n cargas sobre a carga q1.
F  F 12  F 13  .....  F 1n
F k
q1q2
r 21
2
r 21  k
q1q3
r 31
n
F  k
j 2
n
F  kq1 
j 2
r 31  ....  k
2
r n1
q1q j
r j1
2
r j1
2
r j1
qj
r j1
q1qn
2
r n1
Lei de Coulomb
 Para
uma distribuição contínua de carga:
descrição macroscópica em termos de cargas
distribuídas sobre linhas, superfícies e volumes.
n
F  kq1 
j 2

r j1
2
r j1
F  kq1 
1
r j1
2
r j1.dq j
q1
F  k 2  dq j
r
distribuição contínua de carga sobre uma linha:
q
l

qj
dq  .dl
, onde:  é a densidade linear de carga
distribuição contínua de carga sobre uma superfície:
q
s

dq   .ds
, onde:  é a densidade superficial de carga
distribuição contínua de carga sobre um volume:
q
v
dq  .dv
, onde:  é a densidade volumétrica de carga
Lei de Coulomb

Para uma distribuição contínua de carga sobre linhas,
superfícies e volumes. Isso sugere que a carga elétrica,
como a massa podem variar continuamente. Isso não é
verdade. Existe na natureza um valor mínimo (e) de carga.

Isso significa que, quando temos num fio uma corrente de
1A, a carga total que atravessa sua secção transversal em
1s equivale à carga de 6, 24.1018 elétrons, o que ilustra
bem o valor microscópico e  1,602.1019 C .

Millikan demonstrou a existência da carga elementar em
suas experiências com gotas de óleo.
Ear
P
P = FC
P = Ear
vterminal
+++++++++
FC
P
- - - -----
Valores obtidos:
q  ne
Exercícios
Cap.26- Carga e Matéria
Livro Halliday e Moisés: 2, 6, 9,11,13, 19,20,21.
1- Duas esferas idênticas de massa m estão
carregadas com carga q e suspensas por fios
isolantes de comprimento L. O ângulo de abertura
resultante é 2. a) Mostre que:
q 2 cos  16 o L2 mgsen3
b) se m=1g, L=20cm e =30o, qual é o valor de q?
L
m
2
L
m
Solução
L 2 L

x
m
m
d  2x
d  2Lsen
P

Fe
q
sen
 m.g.
2
4 o d
cos 
1
2
x  L.sen
L
Fe  P.tg
q2
sen
 m.g.
2
2
4 o 4 L sen 
cos
1
q 2 cos  16 o L2
mgsen3
q  4 Lsen
 o mgtg  1, 6.107 C
Exercício
2- Cargas q, 2q e 3q são colocadas nos vértices de
um triângulo equilátero de lado a. Uma carga Q de
mesmo sinal que as outras 3 é colocada no centro
do triângulo. Obtenha a força resultante sobre Q.
2q
Q
3q
q
FQ , q
Solução
2q
Q
FQ ,3q
FQ , q
30
q
3q
FQ ,2 q
 Fy  FQ ,3qy  FQ ,qy  FQ ,2 qy  0

 Fx  FQ ,3qx  FQ,2 qx
FQ ,3q
o
30
x
o
30o
FQ ,2 q
a/2
a
x

o
2.cos 30
3a
3
Q.3q

o
 FQ ,3qy  FQ ,3q .sen30  k 2 x 2
Fx  FQ,3qx  FQ,qx  FQ,3q .cos30 FQ,q .cos30 
Q.2q

FQ ,2 qy  FQ ,2 q  k 2

Qq  3 3 3 
x

Fx  k 2 
 
Q.q

x  2 2
o
 FQ ,qy  FQ ,q .sen30  k 2 x 2

Qq
Qq
Fx  k 2 3 3  3 3k 2
a
a
Exercício
• Ex1- Duas cargas puntiformes, +q e –q, estão
colocadas nos vácuo, separadas por uma distância 2d.
Com que força atuam sobre a 3ª carga q´, situada
sobre a mediatriz do segmento que liga as duas cargas,
a uma distância D do ponto médio deste segmento?
q´
D
q
2d
q
Solução
F 1  F q´q
F1  F 2
q´
F
D F 2  F q´ q
r

q
d
d
F  2 F 1 cos 
d
F  2 F1
r
q
Usando a Lei de Coulomb, temos:
1
qq´ d
F 2
4 o r 2 r
Onde: k 
1
4 o
F 
qq´
2 o
e r 2  D2  d 2

d
D d
2
2
F

3

qq´
d
2 o D 2  d 2 3 2


2d aponta para -q.
Exercício
• Ex2- Uma carga Q está distribuída uniformemente
sobre um anel circular vertical de raio  e de
espessura desprezível. Qual é a força exercida sobre
uma carga puntiforme q, situada sobre o eixo
horizontal que passa pelo centro do anel, a uma
distância D do seu plano?
Q  dQ
d dl
l  dl
r

q

dF 
D
dF
Solução
d
dl

r
(arco)
q

Ângulo azimutal.
dl  .d
dQ  .dl
dF 
D
dF
dQ  .dl  ..d
Usando a Lei de Coulomb para uma distribuição contínua de carga
dQ, temos:
1
q
dF 
dQ
2
4 o r
Logo: d F 
1
q
dF 
 .d
2
4 o r
1
q Q
 .d
2
4 o r 2
d F   d F .cos  
1
Q


, onde:
2
1
qQ
dF 
.d
2
2
8  o r
qQ
D
2
2
2
,
onde:
r

D


.
d

.
8 2 o r 2
r
Solução
d
dl
r

q

dF 
D
dF
F 
qQ
8  o
F 
F 
2
D
2

D 
2
qQ
8  o
2
2

3
 d
2
0
D

D 
qQ D
qQ

4 o r 3 4 o
2
2

3
2
2
D

D 
2
2

3
2
O que é o campo?
• O conceito de campo aparece como uma
abstração da interação a distância entre
corpos.
• Um corpo A interage com outro corpo B
através de “algo” que existe em volta de B
e que interage com alguma propriedade
do corpo A. Este “algo” em B existe
independente de A e é chamado de
campo.
Exemplos de campos vetoriais (gravitacional , de
velocidade, elétrico e magnético)?
• Ex1: Corpos ou ponto do espaço nas vizinhanças da Terra,
associamos um vetor intensidade de campo gravitacional ( g ).
Esse vetor representa a aceleração gravitacional à qual fica
sujeito um corpo de prova abandonado nesse ponto.
• Ex2: Escoamento de água de um rio: a todo ponto na água
associa-se uma grandeza vetorial, o campo vetorial de
velocidade ( v ), a velocidade com que a água passa pelo
ponto.
• Obs: g e v não variam com o tempo (campos estacionários).
• Ex3: Se colocarmos uma carga perto de um bastão
carregado, uma Fe atuará sobre a carga, dizendo-se, então,
que existe um ( E ) nessa região.
• Ex4: Analogamente, diz-se que existe um campo magnético
(B) em torno de um ímã.
• Os campos (E) e (B) constituem conceitos fundamentais da
teoria clássica Eletromagnética.
• Neste capítulo, trataremos dos campos elétricos associados
a cargas e a um referencial inercial no qual eles se
encontram em repouso (Eletrostática).
• Antes de Faraday, o conceito de ação a
distância aplicava-se as Fe, Fm e Fg.

carga
carga
(interação direta e instantânea entre o par
de cargas)
• Atualmente, se raciocina em termos de
campos elétricos. Ou seja,

carga
campo
carga
(interação de campo entre o par de
cargas)
E
F
E
q2
1- A carga q1, produz um campo elétrico no espaço a sua volta.
2- O campo atua sobre q2; isso se traduz pela ação da força (F
= F21).
A carga q2 também produz um E2 e que esse E2 atua sobre q1,
que será submetida a ação de uma força –F = F12 (3ª Lei de
Newton).
Obs: Se q1 estiver acelerado, q2 tomará conhecimento
instantaneamente
(contradiz
os
resultados
experimentais) através de uma perturbação no E que
se propaga com velocidade c. O tempo necessário é:
t = d/c.
Portanto, o E desempenha um papel de transmissor da
interação entre as cargas.
Problemas:
a- cálculo dos E produzidos por distribuições de cargas
conhecidas;
b- cálculo das forças que um dado campo E exerce sobre as
cargas nele colocadas.
Michael Faraday
- O campo elétrico (E) gerado por uma carga elétrica (Q) pode
ser representado por linhas imaginárias (linhas de força ou de
campo) indicando a sua orientação (direção e sentido) em um
ponto qualquer no espaço. Isto é, estas linhas servem para
visualizar a configuração dos campos elétricos.
- A idéia de magnitude convenciona-se que é inversamente
proporcional ao espaçamento dessas linhas.
Obs: Faraday utilizava estas linhas, pois não apreciava E
como um vetor.
As linhas de força (ou de
campo)
são
linhas
imaginárias, tangentes aos
vetores campo elétrico em
cada ponto do espaço e
no mesmo sentido dos
vetores campo elétrico.
- Características:
- Linhas de Força do Campo não se interceptam, já que a
direção do campo elétrico em qualquer ponto é única.
- As linhas de força (E) são traçadas de tal forma que o
número de linhas que atravessam a unidade de área de uma
seção  à direção das mesmas é proporcional ao módulo do
campo elétrico.
no de.linhas no de.linhas
q

A . E
- Quanto maior o valor da carga, mais linhas de força (E)
devem ser utilizadas para representar o campo elétrico.
- regiões em que as linhas de força são próximas E, caso
contrário E.
Obs: Não é óbvio que seja possível traçar um conjunto de
linhas satisfazendo estas condições. Se a Lei de Coulomb
não fosse verdadeira, isso não seria possível.
Resumindo

Em cada ponto, o vetor campo elétrico E é tangente, à linha de
campo elétrico que passa pelo ponto.

O número de linhas, por unidade de área, que atravessam uma
superfície perpendicular às linhas do campo, é proporcional ao
valor do campo elétrico na região.

Se o módulo de E for muito grande
as linhas de campo estarão muito
juntas. Caso contrário estarão mais
espaçadas.

A densidade de linhas através da
superfície A é maior que a
densidade através da superfície B.

O
campo
não
é
uniforme.
Seu módulo é maior em A do que
em B.
EA > EB
Características:
AFASTAMENTO:
APROXIMAÇÃO:
origem
Carga puntiforme,
linhas de campo tem
direção radial e
sentido que depende
do sinal de Q.
Quando Q > 0
As Cargas positiva
são as fontes das
linhas de campo
terminam
Quando Q < 0
As Cargas negativas são
os sorvedouro das linhas
de campo.
Superposição de Campos Elétricos
Em primeiro plano o
campo resultante
Campo produzido por
cada uma das cargas
Cargas Puntiformes de Sinais
Contrários
Cargas Puntiformes de Sinais
Iguais
Linhas de campo de duas cargas positivas
Linhas de campo de um dipolo
LINHAS DE CAMPO ELÉTRICO

Carga positiva 2q e carga negativa q:
metade das linhas que saem de 2q
terminam em q e as restantes
terminam no infinito.
Visualização 3D das Linhas de Campo


As linhas de campo
saem das cargas positivas e
entram em cargas negativas.
O número de linhas que
saem de uma carga (ou
entram) é proporcional ao
módulo da carga.
Campos Elétricos individuais


Carga +3q
 Carga  q

Soma dos vetores Campo Elétrico em cada
ponto

Carga 3q
 Carga  q


Visualização 2D das Linhas de Campo


Carga +3q
 Carga  q

Campo Elétrico Uniforme (CEU)
Um campo elétrico é dito uniforme se, em qualquer
ponto dele, o vetor campo elétrico é o mesmo (constante).
Portanto, num campo elétrico uniforme, as linhas de
força são paralelas entre si e distanciadas igualmente.
Linhas de Campo do CEU
Descontinuidade
na placa
Ex: Num plano uniformemente
carregado, o campo elétrico é
dito uniforme.
Na prática, um campo elétrico uniforme é obtido por
duas placas paralelas entre si, carregadas uniformemente
com quantidade de cargas iguais, em valores absolutos, mas
de sinais opostos.
Importante: Reconhecer os elementos de simetria de um
problema, pois isto permite prever a simetria das linhas de
força. (a) simetria plana (linhas de força  ao plano, E=cte); (b)
simetria esférica (linhas de força são radiais, Ecte, diminui
com a distância); (c) simetria cilíndrica ou axial (linhas de força
são radiais).
Importante
- As linhas de força representam o modo como E varia numa dada região
do espaço.
- O que significa um Evácuo? Historicamente, vácuo => meio elástico (éter), e
o E como uma modificação deste meio (análogo a tensão numa corda) =>
tentativas falharam.
- Por que introduzir um E aparentemente abstrato no vácuo? Pensa-se na
criação de um E, num ponto do vácuo, por uma configuração de cargas, e
na atuação deste E sobre uma outra carga colocada neste ponto. A
interação entre cargas passa a ser mediada pelo E.
- Cargas se movem com relação as outras? Lei de Coulomb (ação à
distância) sentida instantaneamente. Pelo E demora um certo tempo.
- O próprio Newton (gravitação) considerava inadmissível a idéia de ação à
distância no vácuo, pois não havia qualquer agente intermediário.
- As equações de Maxwell para o Eletromagnetismo são expressas em
função da intensidade dos campos E e B, e não em termos das linhas de
força, e que as diferenças entre o ponto de vista da ação à distância e de
campo aparecem quando houver variações da distribuição de cargas com
o tempo. ( c = finita de propagação das O.E)
Campo Elétrico (E)
 Se colocarmos uma carga perto de um
bastão carregado, uma Fe atuará
sobre a carga, dizendo-se, então, que
existe um E nessa região. Portanto,
F q E  E k
Q
r
2
Q - carga geradora
ou superfície
carregada.
 Ao aplicarmos a expressão anterior, devemos
usar uma carga de prova tão pequena quanto
possível. Uma carga de prova grande poderia q – carga de prova
perturbar a distribuição de cargas que produzem o
F
campo. Logo,
E  lim
q 0
q
Unidades no SI: N/C (Newton/Coulomb) ou V/m (Volt/metro)
Obs: Definição de E, conceitualmente correta e muito apropriada no
momento, é raramente aplicada na prática, devido a dificuldades
experimentais. O valor de E é normalmente obtido por meio de
quantidades mais facilmente mensuráveis (potencial elétrico).
Conclui-se , através dessas expressões, que E e F têm a
mesma direção: mas os sentidos dependem do sinal de q:
E
q>0
F
q > 0 : E e F tem o mesmo sentido
E
q<0
F
q <0 : E e F tem sentidos opostos
Ex1: Determine o módulo da intensidade E do campo
elétrico tal que 1é, esteja sujeito a uma força igual a seu
próprio peso.
F
q  e  1, 6.10
19
E 
C
E 
m
E 
g
q
E
9,1.10


q
P
q
31
kg 
1, 6.1019 C
 9,8m / s 
2
E  5, 6.1011 N / C
O módulo da intensidade E do campo elétrico é muito fraco.
E
q<0
F
q <0 : E e F tem sentidos opostos
Campo Elétrico

E
Definição de
Campo Elétrico
q - carga de prova
 
 
F (r )  qE (r )
Campo Elétrico de uma carga puntiforme Q
Qq
FqQ  k 2 rˆ  qE
r
Q
E (r )  k 2 rˆ
r
Onde:
rˆ 
Q sobre q
z
no ponto q
r
r
r̂
: vetor unitário que vai desde a
origem (O) até o ponto P onde é
colocada q - carga de prova.
Direção de E: radial a Q.
Sentido: Q > 0 (sai)
Q < 0 (entra)
r̂
Q
O

r
 
E (r )
q
y
x
A carga Q é pensada como “fonte” do
campo elétrico E, que é „sentido‟ pela
carga de prova q através da força FqQ.
A Força Elétrica e o Campo Elétrico obedecem
ao Princípio da Superposição
O Campo Elétrico total, devido a um grupo de cargas, em
cada ponto do espaço, é igual à soma vetorial dos
campos elétricos produzidos por cada uma das cargas.
E2 (r2 )
 Para uma distribuição discreta de n
E
(
r
)
En (rn )
1 1
cargas puntiformes:
n
E (r )  E1 (r )  E2 (r )  ...  En (r )   Ei (r )
P
z
r1
Q1
x
O
r2
Q2
i 1
rn
n
E (r )  k .
i 1
Qn
y
r i  r OP  r OQi
e
Qi
ri
2
ri 
.r i
, onde:
ri
r OP  r OQi
ri

r OP  r OQi
A idéia básica é que uma distribuição de cargas no espaço vazio (vácuo) afeta
todos os pontos do espaço, produzindo em cada um deles um campo elétrico
(En) de prova revela a existência deste campo pela força nela exercida (FqQn).
Exercícios
Cap.27- Campo Elétrico
Livro Halliday e Moisés
1- A fig. mostra um dipolo elétrico (2 cargas de módulo q e
sinais opostos a uma distância 2a). Qual é o valor do
campo E produzido por essas cargas num ponto P, a uma
distância r, medida sobre a mediatriz do segmento que une
as cargas? Supor r >> a.
Cálculo de Campo Elétrico de
um dipolo elétrico, em pontos
sobre a mediatriz.
Ex  E1x  E2 x  0
Solução
E  E1  E 2 . Em módulo:
q
1
q
1
E1  E2  k 2 

2
x
4 o x
4 o
Logo,
q
2
2
a

r


O vetor resultante da soma E1 e E2 tem direção vertical (eixo y),
apontando de cima para baixo, e módulo igual a:
1
q
a
E y  2.
. 2
.
2
4 o  a  r  a 2  r 2 1 2


E y  2 E1.cos 
Ey 
Se r >>a,
Obs:
Ey 
1
E 2
r
1
4 o
1
4 o
2a  q

.
r
Carga
puntiforme
3
.
2aq
a
2
r
2

3
2
, onde: p = 2aq (momento de
dipolo elétrico). Logo,
1
E 3
r
1
p
Ey 
. 3
4 o r
Campo de duas cargas positivas
Campo sobre o plano de simetria de duas cargas de mesmo sinal
Solução
Logo,
E  E1  E 2
E1  E2  k
. Em módulo:
q
1
q
1


r2
4 o r 2
4 o
E y  2 E1.cos 
q
 a2  y2 
1
q
a
E y  2.
. 2
.
2
4 o  a  y  a 2  y 2 1 2


Ey 
Se y >>a,
1
4 o
.
2aq
a
2
y
2

3
2
1
p
Ey 
. 3
4 o y
, onde: p = 2aq (momento de dipolo elétrico).
Exercícios
Cap.27- Campo Elétrico
Livro Halliday e Moisés
2- A fig. mostra que uma carga q1 = 1C a 10cm de uma
carga q2 = 2C. Em que ponto da reta que une as 2 cargas
é nula a intensidade do campo elétrico (E)?
x?
P
q2
q1
l  10cm
Solução
O ponto tem de estar entre as cargas, pois somente nessa
região as forças exercidas por q1 e q2, sobre uma carga de
prova, têm sentidos opostos. Sendo E1 e E2 as intensidades
dos campos elétricos devido às cargas q1 e q2, temos:
1
4 o
E1  E2
q1
q2
1

2
2
x
4 o  l  x 
q1
x2

2
q2
l  x 
x
lx
q1
q2
q1
l  x 
q2
x
x
1
l
q2
10cm

 4,1cm
1 2
q1
Lembrete para o próximo exercício
Adição de Vetores
Lembrete para o próximo exercício
Subtração de Vetores
 
  

A B  A  B
Exercícios
Cap.27- Campo Elétrico
Livro Halliday e Moisés
• 3- Uma carga puntiforme –q está localizada no ponto
(0,0,-d) de um sistema de coordenada cartesiano, e
outra +q, no ponto de coordenada (0,0,d). Qual é o
campo elétrico no ponto (x,y,z)?
P  x, y, z 
z
q
P  0, 0, d 
O
vetores posição das cargas -q e +q.
y
x
q
P  0, 0, d 
r  r q  xi  y j   z  d  k
r  r  q  xi  y j   z  d  k
Solução
Logo,
E  x, y, z   E q  E  q


q  r q
r q  
E  x, y , z  


3
3 
4 o  r q
r q  





xi  y j   z  d  k
q   xi  y j   z  d  k
E  x, y , z  


3
3
2
2
2
2
4 o   2
2
2
2
x  y z d
x  y z  d


Em z = 0, obtemos:





q 
2d

E  x, y , 0  

k

3

2
2
2
2
4 o  


 x  y  d 


Onde: p = 2qd (momento de dipolo elétrico):
E  x, y , 0   
p
4 o  x  y  d
2
2
2

3
k
2





Solução
Por outro lado, num ponto (0,0,z), com z > d (acima da carga +q),
obtemos:

xi  y j   z  d  k
q   xi  y j   z  d  k
E  x, y , z  


3
3
2
2
2
2
4 o  
2
2
2
2
 x  y z d
x  y z  d



z  d k 

q   z  d  k


E  0, 0, z  



6 
4 o    z  d 6
 z  d   






1
1


E  0, 0, z  




k
2
2
4 o  
 z  d   
  z  d 
q
2
2



z

d

z

d






E  0, 0, z  


k
2
2
4 o  

  z  d  .  z  d  

q
2
2
2
2



z

2
zd

d

z

2
zd

d




q 


E  0, 0, z  

k
2
2
4 o  

 z  d  . z  d 









Solução
Por outro lado, num ponto (0,0,z), com z > d (acima da carga +q),
obtemos:
2
2
2
2

   z  2 zd  d    z  2 zd  d   



E  0, 0, z  

k
2
2
4 o  

 z  d  . z  d 



q


1


E  0, 0, z  

 2.2d .z   
k
2
2
4 o

  z  d  . z  d  



q

2qd 
1


E  0, 0, z  
z 
k
2
2 
2 o  

  z  d  . z  d  

E  0, 0, z  
p
2 o  z  d
2
2

2
zk
Solução
Por outro lado, num ponto (0,0,0) na origem, com d  0, obtemos:


q 
d
d

E  0, 0, 0  

k

3/ 2
3/ 2  
2
2
4 o   d  
 d   





E  0, 0, 0  
  d
d 

k
 3
3 
4 o   d
d 
q
E  0, 0, 0  
 2d 
 3 k
4 o  d 
q
q
1
E  0, 0, 0   
k
2 o d 2
Exercício 1: Cálculo de Campo Elétrico de q1 e q2,
no ponto P
A Força Elétrica e o Campo Elétrico obedecem
ao Princípio da Superposição
O Campo Elétrico total, devido a uma carga total Q, em
cada ponto do espaço, é igual a divisão dessa carga em
elementos infinitesimais de carga dQ.

dE (r )
Para uma distribuição contínua de
cargas puntiformes:
n
r
rP
rdQ
x
i 1
P
z
O
dE (r )   Ei (r )   dEi (r )
Q
E (r )   dEi (r )  k .
dQ
y
dQi
r ji
k
E (r )  2 . dQ
r
2
.r ji
Distribuições contínuas de carga

q
E  k 2 rˆ
r
Como em todo cálculo vetorial nós temos
que calcular, separadamente, cada uma
das componentes Ex, Ey, Ez




E  E x i  E y j  Ez k

rP

 
 
 
E i 0
E (rP )   E i (rP )    dE (rP )
i


E x (rP )   dE x (rP );


E y (rP )   dE y (rP );


E z (rP )   dE z (rP )
cargas
Densidade de carga
dq
Densidade linear de carga

dl
dq
dl
Densidade superficial de carga
dS
dq

dq
dS
Densidade volumétrica de carga
dV
dq
dq

dV
Cálculo do Campo Elétrico de uma Linha Infinita de Carga
Calcular o Campo Elétrico (E) a uma
distância y da linha?
dq  .dx
dE

dEy
P
dEx
O campo dE devido a um dq no Ponto P é dado por:
y
r

dE 
dq
+++++++++++
dEx  dE.s en
x
x 
Ex  

sen .dE  0
x 
x 
E  Ey  2

dq
4 o r 2
O vetor dE tem componentes x e y dado por:
dx
Logo,
1
cos .dE
(contribuição da direita e esquerda
se anulam).
E2
x 0
Fazendo mudança
de variável (x em ).
dEy  dE.co s 
e
x  y.tg
1
4 o
x 

x 0
cos .
.dx
r2
dx  y.sec2  .d
Cálculo do Campo Elétrico de uma Linha Infinita de Carga
Calcular o Campo Elétrico (E) a uma
distância y da linha?
dE

dEy
P
   / 2
y.sec2  .d
E
cos .

2 o  0
r2
dEx
y

r
dq
+++++++++++
dx
x
x  0   0
x       / 2
Sabendo que:
y
cos  
r
   / 2 cos
E
.d

2 o  0 y

  / 2
E
sen


  0
2 o y

E
2 o y
2
y
r2 
cos 2 
Cálculo do Campo Elétrico de um
Segmento de Reta
Exercícios
Cap.27- Campo Elétrico
Livro Halliday e Moisés
• 4- Um disco circular horizontal de raio R está
uniformemente carregado com densidade superficial de
carga . Qual é o campo elétrico num ponto do eixo
vertical que atravessa o disco em seu centro, a uma
distância x do centro?
Obs: podemos pensar no disco
como subdividido em áneis de
largura infinitesimal dr e raio r
variando de 0 a R.
A carga de um anel é dq = .ds
dq = .(2r.dr)
O campo dE que ele cria no Ponto P
é dado por:
dE
Exercícios
Cap.27- Campo Elétrico
Livro Halliday e Moisés
O campo dE que ele cria no Ponto P é
dado por:
k
E (r ) 
y

y
2
.cos   dq
k
x
E (r )  2 2 .
2 r.dr
1 
 x  r   x2  r 2  2
2 x
r
E (r ) 
4 o 0 x 2  r 2
R
Se R (x<<<R), obtemos o
campo produzido por um plano
infinito uniformemente carregado:

x
E (r )  
x

2
2
r
2


3
.dr
2
1
2 R
0
o

 
x

E (r ) 
1
E
k

2
2
2 o
2 o (descontinuidade)
x

R





1 
2

Cálculo de Campo Elétrico de um Anel de carga
5- Anel de carga q e raio a. Calcule E nos pontos do eixo do anel, que
distam x do seu centro.
Obs: podemos pensar
no
anel
como
subdividido em áneis de
comprimentos
infinitesimal dl e raio a.
A carga de um anel é
q dq

l dl
q
q
dq  dl 
dl
l
2 a
Devemos decompor E em duas componentes. O campo dE que dq cria
Uma paralela ao eixo Ex e outra perpendicular no Ponto P é dado por:
ao eixo E
Obs: A componente perpendicular será anulada.
O campo dE paraleo que ele cria no Ponto P é dado por:
E  dE
dEx  dE.cos
E   cos  .dE
x  1 dq 
x
E   .
. 2 
r  4 o r 
a2  x2
E
1
 1
q.dl
.
.
 4 o 2 a a 2  x 2


2 a
q.x
.
4 o 2 a a 2  x 2
E

1
4 o
.
E
4 o
.

3
 dl
2
0
q.x
a  x
Para x >> a:
1





q.x
x6
2
2

3
2
1
q
E
. 2
4 o x
Resultado esperado, porque a grandes distâncias o anel se
comporta como uma carga puntiforme q.
Cálculo de Campo de um Anel
As componentes E1 e E2 dos elementos de carga q1 e q2
simétricos em relação ao eixo se cancelam. A resultante será
então 2(Ex).

Q
0

Q
k x dQ
kx
dE x  

3
3
0
2
2 2
2
2 2
a  x  a  x 

Q
0
dQ
Cálculo de Campo de um Disco
O campo de um disco
será igual a soma dos
campos de vários anéis
com raios variando de
r  0 até r  R.
Se a carga do disco está
uniformemente distribuída, nós podemos escrever:
 A) e dQ = ( dA)
Q=(

R
0

R
R k x ( dA)
R k x ( {2 r dr})
k x dQ
dEanelr  


3
3
3
0
0
0
2
2 2
2
2 2
2
2 2
r  x 
r  x 
r  x 
Linhas de campo de disco
Para pontos distantes
(r>>R) o campo parece
ser radial como o de uma
carga pontual
Carga do
Disco
Linhas de campo de disco
Para pontos longe da borda e próximos ao disco podemos visualizar
que o campo é perpendicular ao plano
Movimento de Cargas em Campo Elétrico Uniforme
-Investigaremos a outra parte da interação carga-campo, sendo dado um
campo E, que forças e que torques atuarão sobre uma configuração de
cargas colocadas nesse campo?
Um campo elétrico E exerce uma força sobre uma partícula carregada, dada
por:
F  qE
a
- Esta força produz uma aceleração: F  ma
qE
m
- Exemplo: partícula de massa m e carga q, abandonada do repouso sob
a ação de um E uniforme. Descreva o seu movimento?
+++++++++
E
qE
As equações de movimento da partícula?
a
m
2
2
2qE y
t
qEt
2
qEt , y  a 
, v y  2ay 
v y  at 
m
2
2m
m
mv 2 m  2qE y 
 
WF  F . y  qE. y  qE y , Ec 
  qE y
2
2 m 
vo = 0
v1
v2
- - -----
Movimento de Cargas em Campo Elétrico Uniforme
Aplicações
Impressora de Jato de Tinta
(deflexão de um feixe de elétrons)
-
Ex:
elétron
de
massa
m,
carga
e
e
velocidade
vo,
perpendicularmente num E uniforme. Descreva o seu movimento?


F  qE
a
2 Lei de Newton :

 qE
 a
m


F  ma
entra
Impressora de Jato de Tinta
L
y
x  v ox t
1
y  a t2
2
1 qE 2 1 qE  L 


y
t 
2m
2 m  v ox 
2
Princípio de Funcionamento do Osciloscópio
de raios catódicos de deflexão eletrostática
- elétron (q  -e ) com velocidad e v z
1 qE x 2 1 qE x  L 
 
x
t 
2 m
2 m  vz 
1 qE y 2 1 qE y  L 
 
y
t 
2 m
2 m  vz 
2
2
Tela de TV ou do Monitor
Dipolo num Campo Elétrico (E) Uniforme


p
E
  dxF  pxE
A distância entre as cargas é considerada como um vetor de
módulo 2d. O produto deste vetor pelo valor da carga q é um
outro vetor na mesma direção designado por p = 2 dq (vetor
momento de dipolo elétrico).
  2 dxF  2F  d .sen 
  2F  d .sen 
  2d .F.sen
  2d .qE.sen
  p.E.sen
F  qE
Dipolo num Campo Elétrico (E) Uniforme
Portanto, um dipolo elétrico colocado num campo elétrico
externo E sofre um torque que tende a alinhá-lo com o E.
Logo, na forma vetorial, temos:

  p E
p
E
Representação ao lado:

Para isso, é necessário que um agente externo realize trabalho
(W) para mudar a orientação desse dipolo elétrico. Esse W é
armazenado na forma de Energia Potencial (U), no sistema
constituído pelo dipolo e pelo dispositivo para criar o campo
elétrico externo E. Se o ângulo  variar de 90º até um ângulo
qualquer, o W necessário para girar o eixo do dipolo é dado por:
Dipolo num Campo Elétrico (E) Uniforme

W   dW    d  U
90
  p.E.sen
Sabendo que:
U
Logo,


90
90
 pE.sen .d  pE  sen .d 
U  pE cos  90   pE.cos 

Na forma vetorial:
U   p.E
Exercício
Introdução
Lei de Gauss
- Primeira das equações de Maxwell básica do Eletromagnetismo.
- Outra forma de se expressar a Lei de Coulomb.
Lei de Coulomb
Lei de Gauss
- Se conhecermos a distribuição
de cargas, podemos utilizar a Lei
de Coulomb, a fim de calcular E
em qualquer ponto no espaço
(x,y,z).
- os cálculos não são trabalhosos,
porém o número de problemas
que se pode resolver por meio
dela é pequeno). Essa lei é mais
útil, pois é mais fácil de
compreender,
do
que,
propriamente, pela resolução de
problemas.
- Esse método funciona e é direto,
porém muito trabalhoso (a não ser
nos
casos
mais
simples)
precisando de um computador.
- Apesar disso, envolve problemas
com um alto grau de simetria
(plana, cilíndrica e esférica).
Introdução
- Antes de discutir a Lei de Gauss, é necessário definir o conceito de
fluxo de um campo vetorial (E).
Fluxo (propriedade relativa a qualquer campo vetorial) de Fluido (água):
m
a 
t
x
a   S
t
m  V
a 
V
t
V  S.x
a   Sv   Sv.cos
Para uma superfície fechada o fluxo (fluido, E, B) é nulo.
Não há nem fonte nem sorvedouro de fluido dentro da superfície.

v
S
Introdução
-Vimos em Hidrodinâmica o conceito de fluxo ou vazão de um fluido
através de uma superfície S. No entorno de um ponto do fluido onde a
velocidade é v, o volume de fluido que atravessa o elemento de
superfície S (normal tem direção n ) durante um intervalo de tempo dt é
o volume dV contido num cilindro de base S e geratriz v.n .dt (altura):
Volume de fluido que atravessa S durante dt.
n
v.n.dt
S
n
Para uma superfície fechada S com normal externa
S
v.dt

Integral estendida a toda superfície fechada (volume
que sai através de S é igual ao que entra)

dV
a 
 v.n.S
dV  v.n.dt .S
dt
Em particular (sem fonte e nem sorvedouro):
v
a 
 v.n.dS  0
S
n.

d S  n.dS
a 
 v.n.dS
S
a 
 v.cos .dS
S
Introdução
- Substituindo v por E, encaramos as linhas de fluxo como linhas de força.
- Trataremos apenas com superfícies fechadas, imersas no campo E. Isso
porque, a Lei de Gauss é expressa apenas em termos dessas superfícies.
Obs1: fluido incompressível = 0 (superfícies fechadas) => sem fontes e
sorvedouro dentro da superfície fechada.
fluido incompressível  0 (superfícies fechadas) => fontes e sorvedouro
dentro da superfície fechada.
Obs2: elétrico = 0 (superfícies fechadas) => sem fontes e sorvedouro dentro
da superfície fechada.
elétrico  0 (superfícies fechadas) => fontes (cargas positivas; nesse
caso, elétrico > 0 ) e sorvedouro (cargas negativas; nesse caso, elétrico < 0 )
dentro da superfície fechada.
Introdução
- Substituindo v por E, encaramos as linhas de fluxo como linhas de força.
Exemplo de superfícies fechadas, num campo elétrico E,dos três casos
abaixo:
elétrico = 0 (superfícies fechadas) => sem fontes e sorvedouro dentro
da superfície fechada.
elétrico  0 (superfícies fechadas) => fontes (cargas positivas; nesse
caso, elétrico > 0 ) e sorvedouro (cargas negativas; nesse caso, elétrico < 0 )
dentro da superfície fechada.
E 
 E.n.dS
S4
S
- Para S1:
E  0
- Para S2:
E  0
- Para S3:
E  0
- Para S4:
E  ?
S1
S3
S2
Introdução
- Qual a importância do conceito de fluxo de um campo elétrico E?
Sua importância decorre do fato da Lei de Gauss, uma das 4 equações de
Maxwell básicas do Eletromagnetismo, ser expressa em termos dessa
quantidade.
Definição precisa de fluxo de campo elétrico (E) em uma superfície
fechada, arbitrária imersa num campo elétrico E não uniforme:
 E  N .m2 / C
 E   E. S
E 
 E.n.dS
E
S
E 
 E.cos .dS

S
- Para  > 90 :
E  0
- Para  > 90 :
E  0
- Para  = 90:
E  0
S
E
S
E
S
 E
Fluxo do Campo Elétrico 
Vetor área
caso particular)
Campo Elétrico Uniforme
e Superfície Plana
 = E A cos 
E  (L)-2 e dA  (L)+2
então  possui a dimensão da constante k da Lei de Coulomb
Fluxo do Campo Elétrico
(caso geral)
 
  S E .dA
   E dA cos 
   E  dA   E dA
No caso mais geral,
E e  podem variar ao longo
da superfície de integração.
Fluxo do Campo Elétrico
(caso geral)
Fluxo do Campo Elétrico
através de Superfícies Fechadas



O fluxo através de S1, S2 e S3 é o
mesmo.
Se a carga for 2 vezes maior, o fluxo
também será.
Se a carga for negativa, o fluxo vai
ser para dentro da superfície
(negativo).


Se a carga estiver fora da
superfície, o fluxo é nulo.
Mas o Campo Elétrico NÃO
Fluxo do Campo Elétrico
através de Superfícies Fechadas

Se a carga interna total for nula,
o fluxo é nulo. Isto é, se uma
superfície fechada contiver
quantidades iguais de cargas de
sinais opostos, o fluxo do campo
elétrico será nulo (E = 0).

A carga existente fora da
superfície fechada não contribui
para o valor de q contida no
interior da superfície.

Mas o Campo Elétrico NÃO é
necessariamente nulo!
O Fluxo: Qualitativamente
E1
{(E1.dS1) > 0}
dS1
E2
q0
1
2
3
{(E2.dS2) < 0}
dS2
E3
{(E3.dS3) > 0}
dS3
 i
= (E1.dS1)
|(E1.dS1)| = |(E2.dS2)|=|(E3.dS3)|
A Lei de Gauss
O Fluxo do Campo Elétrico (E) através de
qualquer superfície fechada (gaussiana) só
depende da carga interna à superfície e vale
qint/o. Isto é, dá uma relação entre o E e a carga
total q (levando em conta o sinal da carga),
eventualmente contida na superfície A.
q   o . E   o .  E.n.dA
S
A Lei de Gauss leva à Lei de Coulomb
Leva-se em conta certas condições de simetria
(no caso, a mais simples é mostrada abaixo):
- E e dA são paralelos entre si e
radiais à superfície esférica.
 o  E.d A   o  E.dA  q
S
 o .E
S

dA  q
Sesf  4 r 2
 o .E (4 r 2 )  q
E
1
q
4 o r 2
- Colocando uma carga de prova qo
no ponto onde calculamos E:
Aplicação da Lei de Gauss ao E de uma
carga puntiforme isolada q colocada no
centro de uma superfície esférica de raio r.
F
1 q
1 q.qo


F

qo 4 o r 2
4 o r 2
A Lei de Coulomb leva à Lei de Gauss
Fluxo do Campo de uma carga puntiforme
através de uma Superfície Esférica centrada na
carga

   E .nˆ dA   E n dA
S
Constante para todos os dA
 
kq
kq
kq
2
dA

dA

(
4

r
)
2
2
2
r
r
r
q
1
  4kq 
pois k 
o
4 o
Generalização
O Fluxo do Campo vale q/o mesmo que a
superfície não seja esférica.
E
dA cos 
dA
Elementos de superfície
•Superfície Esférica
dA  r sen d  r d
A   dA 
 r sen d  r d
Sesférica

2
A  r 2 0 sen d 0 d 4 r 2
•Superfície Cilíndrica
dA  r d  dz
A   dA 
h
2
 r d  dz  r 0 dz 0 d 2 r h
Scilíndrica
Conseqüências da Lei de Gauss
Cargas externas não contribuem para o
fluxo (apesar de contribuirem para o
campo élétrico)
Qinterna   0 S En dA  ZERO
 
Qinterna   0 S E1.dA1
1
 
 
  0 S E 2 .dA2   0 S E3.dA3
2
3
 
E.dA  ZERO
 
E.dA  ZERO
Conseqüência da Lei de Gauss
q1
S 
o
q2  q3
 S 
o
 S   0 ( zero)
Fluxo através de uma Superfície Fechada
(outro exemplo)
Qinterna   o 
q   o    o S E n dA
 vale q  o

mas não dá para concluir nada sobre E ,
a partir dessa expressão.
A Lei de Gauss
A
lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico
líquido através de qualquer superfície
gaussiana fechada, é igual à carga líquida no
interior da superfície, dividida por 0 .
 Esta
lei só é útil para calcular o módulo do
campo elétrico em um número limitado de
situações nas quais existe elevado grau de
simetria.
 Situações
em que a Lei de Gauss é útil cálculo
do módulo do campo elétrico:
simetria esférica, cilíndrica e planar.
Aplicação da Lei de Gauss
para Cálculo do Campo Elétrico
 Analisar
a simetria da distribuição de cargas e
obter:


a direção do campo
os pontos em que o módulo de

E
é constante.
 Escolher
a superfície gaussiana (fechada)
adequada:

onde E é constante ou onde
 Escrever
 
EdA.
a Lei de Gauss para a superfície
escolhida, “tirar” E da integral e obter sua
expressão.
Análise de simetria
de uma distribuição esférica
Planos de simetria:
• família de planos que
contém o centro
A interseção de dois destes planos define
a direção do campo elétrico
Escolha de superfície gaussiana
em problemas de simetria esférica
r>R
r
R
r<R
R
Campo criado por uma esfera
uniformemente carregada
Cálculo do campo para
r > R. A carga interna é
igual a Q0.
Cálculo do campo para
r < R. A carga interna é
menor do que Q0.
Análise de simetria de um fio muito
longo
Planos de simetria:
• plano perpendicular ao eixo
• família de planos que
contém o eixo
A interseção de dois destes planos define
a direção do campo elétrico
Campo criado por um fio muito longo
uniformemente carregado
l
Área Lateral
Área da Tampa
(2r) l
( r2)
Linhas de campo de disco
Para pontos longe da borda e próximos ao disco podemos vizualizar
que o campo é perpendicular ao plano
Campo criado por um plano “infinito”
uniformemente carregado
Modelos Atômicos de Thomson e Rutherford
Thomson
Rutherford
Desprezar o efeito dos elétrons.
+
+
+
Desprezar o efeito dos elétrons.
+
+
+
+
rn  6,9.1015 m
+
r+ = 1Å
+
Carga + dos átomos estava
distribuída numa esfera de raio r.
Calcular o E na superfície de 1
átomo de ouro (Z = 79)?
1
Z .e
E 
4 o r 2
E  1,1.1013 N / C
Carga + dos átomos se distribuí no
núcleo do átomo de raio rnúcleo.
Calcular o E na superfície do núcleo
de 1 átomo de ouro (Z = 79)?
1
Z .e
En 
4 o rn 2
ou
r 2
En  E 2
rn
En  2,3.1021 N / C
• En >> E+ => Fn é cerca de 100000000 vezes maior F+. Isto é, F se a carga estiver
toda concentrada numa região pequena (o núcleo) localizada no centro do átomo.
Condutores em Equilíbrio Eletrostático



Condutor é um material que possui
cargas livres para se movimentar por
todo o material.
O condutor está em equilíbrio
eletrostático quando não há cargas em
movimento.
Conseqüências:
1) O campo elétrico é nulo no interior do
material condutor em equilíbrio
eletrostático.
Se não fosse nulo, existiria força
elétrica agindo sobre suas cargas
livres, que se movimentariam.
2) O campo elétrico em pontos da
superfície de um condutor em equilíbrio
eletrostático é perpendicular à
superfície.
Se não fosse perpendicular, haveria
movimento de cargas na superfície.
Condutores em Equilíbrio Eletrostático

Qualquer excesso de carga num
condutor em equilíbrio eletrostático
deve estar na superfície.
Demonstra-se isso a partir da Lei de
Gauss.

Intervalo de tempo necessário para
um condutor atingir o equilíbrio é da
ordem de 10-16 s. Rádio FM é
transmitida na faixa de 100 MHz ( t
~ 10-8 s)
Luz visível ~ 10+15 Hz
Raio X ~ 10+18 Hz
Raio  ~ 10+20 Hz
Condutores em Equilíbrio Eletrostático


( Ecargas vizinhas )   ( Ecargas do condutor )
As
cargas no interior do condutor se redistribuem de tal forma
que, no interior do condutor, o campo criado pelas cargas
redistribuídas se opõe ao campo criado por Q.
O rearranjo de cargas resulta num campo total nulo no interior do
condutor.
Notar que continua valendo o princípio da superposição
Campo na Superfície do Condutor
O campo elétrico é perpendicular à
superfície do condutor.
O módulo do campo elétrico em
pontos próximos à superfície (mas
fora dela) é igual a /0, onde  é a
carga por unidade de área neste
ponto da superfície.
Se a forma do condutor for irregular
a carga tende a se acumular onde a
superfície for mais pontiaguda. (Esta
propriedade poderá ser demonstrada
mais adiante quando aprendermos o
conceito de potencial.)
Campo na Superfície do Condutor

Podemos usar a lei de Gauss
para obter a relação entre o
campo elétrico e a densidade
superficial de cargas sobre a
face externa da superfície de
um condutor em equilíbrio.
Cálculo do Campo na Superfície do Condutor
Para isto é conveniente
traçar uma superfície
gaussiana com a forma
de um pequeno cilindro
com as bases paralelas
à superfície.
Aplicando a lei de
Gauss, neste pequeno
cilindro, podemos
calcular o campo na
superfície do condutor:
 f   E dA  E  A 
qin
0
A

0

 E 
0
Condutores em Equilíbrio Eletrostático
Outra forma mais qualitativa de se
obter o mesmo resultado é o de se
considerar que quando estamos
muito próximos a superfície nós
podemos considerar esta
superfície como sendo um plano
infinito de carga , e portanto com
E =  / (20). Superposto a este
campo devemos ter o campo
criado pelo resto da superfície do
condutor.
O campo criado pelo resto da superfície tem que ser igual, e em
sentido contrário, ao campo criado pelo pequeno disco. Isto se faz
necessário para que o campo total no interior do condutor seja
nulo. Sendo assim o campo no interior é nulo e no exterior é 2 (  /
(20) ).
Conseqüência da Aplicação da Lei de Gauss



A carga no interior de um
condutor tem que ser nula.
Qualquer excesso de
carga, num condutor deve
estar na superfície externa.
Se o condutor for oco a
carga em sua superfície
interna tem que ser nula.
Caso contrário E não será
nulo no interior do
condutor
Conseqüência da Aplicação da Lei de
Gauss

Se num condutor oco houver uma
carga não nula em sua cavidade
interna, a carga na sua superfície
interna será igual em módulo a
carga no interior da cavidade.

A carga na superfície externa será
igual a soma algébrica da carga
existente no condutor com a carga
existente na sua cavidade.
Todas estas afirmações podem ser obtidas pela aplicação da Lei de
Gauss
Divergência de um vetor e a Equação de Poisson

Numa teoria de campo, queremos exprimir
o estudo do campo E num ponto P em
termos de seu comportamento na
vizinhança imediata de P. Pela Lei de
Gauss,
q
E 
 E.d S 
S

o
É um indicador global da presença de
cargas (fontes E) no volume interno a S.
Queremos encontrar um indicador local que
sinalize a presença de fontes num ponto P.
Para isso, envolvemos P uma superfície
gaussiana S que limita um volume V e
contém uma carga q:
  P  V
 E   E.d S 

o
o
S
q
 1
lim 
V 0 V

 
S E.d S    o
dS
P
V
S
 1
E  lim 
V 0 V

E 

S E.d S 

o
(Equação de Poisson da Eletrostática
é a forma local da Lei de Gauss).
Esse limite, que caracteriza a densidade de fontes do E em P, é independente
de S e define uma característica local do E, que se chama divergência.
POTENCIAL ELÉTRICO (V)
A
lei de Coulomb tem a mesma forma que a lei
da gravitação universal, e portanto a força
eletrostática também é conservativa.
 É possível então definir uma função energia
potencial (escalar) associada a esta força.
 Isto é, o campo elétrico nas proximidades de um
corpo carregado pode ser descrito não somente
pelo vetor intensidade do E, mas também pela
função energia potencial elétrico (V). Pois, estás
grandezas se relacionam.
POTENCIAL ELÉTRICO (V)
Poder de atração ou repulsão dentro do campo elétrico
q
Q
q
k .Q
V
d
V
 E
d
Unidade: Volt(V)
POTENCIAL ELÉTRICO (V)
 Se
uma carga de prova for colocada num
campo eletrostático E, a força sobre a carga
será q0E:
F  q0  E
 Então
essa força q0E é conservativa. Pois, o WF
depende apenas dos pontos inicial e final e não
do caminho entre eles.
O
trabalho (W) realizado por um agente externo
que desloca a carga (sem variar a energia
cinética) é igual ao negativo do trabalho feito
pela força q0E.
 Num deslocamento infinitesimal ds, o trabalho
do CAMPO ELÉTRICO será:
dWcampo  F  d s  q0 E  d s
E para um deslocamento finito de A a B :
B
Wcampo 
B
 F ds  q E ds
0
A
A
F

Por definição, a variação da energia potencial
dU é igual ao negativo do trabalho realizado
por uma força conservativa :
 

dU   F  ds  q0 E  ds
 No
caso de um deslocamento finito da
carga de prova qo, entre os pontos A e B, a
variação da energia potencial é dada por:
B
B
A
A
U  U B  U A    F  d s  q0  E  d s
A integral
U  q0 
B
A
 
E  ds
É uma integral de linha e como a força F é conservativa essa integral
não depende do percurso seguido entre A e B !
B
Para uma força conservativa o
percurso vermelho é equivalente ao
percurso azul
A
i.e. a variação de energia potencial depende
somente dos pontos A e B.
A diferença de potencial, VB - V A, entre os pontos A e B é definida
como a variação da energia potencial dividida pela carga de prova q0:
B

UB  U A
VB VA 
   E  ds
A
q0
Definição de ddp
A ddp VB - VA é igual ao trabalho por unidade de carga, que um
agente externo deve efetuar para deslocar uma carga de prova, no
campo elétrico, de A até B, sem alterar a energia cinética da carga.
E
A
B
+
+
O potencial elétrico num ponto arbitrário é igual ao trabalho necessário, por
unidade de carga, para trazer uma carga de prova positiva (+q0) do infinito
até o ponto considerado.
Se VA = 0 no infinito :
VP  

P

E ds
Conclusão: Isto nos permite definir o potencial elétrico num ponto P.
A unidade SI de potencial é o joule por coulomb, definido como uma
unidade chamada volt (V) :
J
1 V 1
C
Ou seja: é necessário efetuar 1 J de trabalho sobre uma carga
de 1 C para cobrir uma ddp de 1 V.
DIFERENÇA DE POTENCIAL
CAMPO UNIFORME
E
E é paralelo ao eixo x e uniforme
 
VB  VA  V    E  ds
B
A
B
A
B
B
   E.cos 0 .ds    Eds
0
A
d
A
E é constante e pode sair da integral

B
V   E ds   Ed
A
IMPORTANTE
O sinal negativo depende do fato
que VB < VA
E
q0
Se uma carga de prova +q0 se
desloca de A para B
+
+
A
B
d
A variação da sua energia potencial será :
U  q0V   q0 Ed
NOTA: Se q0 for positivo, U será negativo
Uma carga positiva perde energia potencial elétrica quando se desloca
na direção do campo elétrico
Em geral, em um campo
elétrico uniforme
V   
B
A
A variação de energia
potencial da carga será :
Todos os pontos sobre um plano
perpendicular a um campo
elétrico uniforme estão num
mesmo potencial
 
 B   
E  ds   E   ds  E  d
A
 
U  q0V   q0 E  d
E
B
d
A
C
B e C estão no mesmo potencial
SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS
Def.: Qualquer superfície constituída por uma distribuição contínua de
pontos que possuam o mesmo potencial.
Ao longo dessas superfícies o potencial é constante
Campo elétrico entre duas placas planas paralelas com cargas
opostas
d = 0,3 cm
E=?
Movimento de um próton em um campo elétrico uniforme
E = 8x104 V/m
V = ?
d = 0,5 m
POTENCIAL DE CARGAS PUNTIFORMES
E
ds
Superfícies equipotenciais
 
W   F  ds  0
POTENCIAL DE CARGAS PUNTIFORMES
 
VB  VA    E  ds
B

dr
ds
B
A
mas:

q
E  k 2 rˆ
r
ds
(Coulomb)
rB
 

q
E  ds  k 2 rˆ  ds
r
A
rA

rˆ  ds  ds cos θ  dr
 
dr
VB  VA    E  ds    Er dr  kq  2
r
A
A
rA
B
B
r
rB
q
rB
kq
VB  VA 
r rA
1 1
VB  VA  kq  
 rB rA 
A ddp entre dois pontos quaisquer A e
B só depende das coordenadas radiais
rA e rB.
B
ds
Se escolhemos VA = 0 por rA =  :
rB
A
O potencial elétrico de uma carga
puntiforme a uma distância r da carga
vale
q
V k
r
r
rA
q
Potencial total em um ponto P devido a um
grupo de cargas
 q1 q2
qi 
V  k    ...  
ri 
 r1 r2
Vale o princípio da superposição
qi
V  k
i ri
(soma algébrica de escalares)
ri = distância do ponto P à carga
qi
q1
r1
P
q2
r2
r3
q3
Energia potencial da interação de um sistema
de partículas carregadas
q1q2
U  q2V1  k
r12
Se q1 e q2 têm o mesmo sinal : U >0
r12
q1
r12
Para um sistema com mais de 2 cargas:
 q1q2 q2 q3 q1q3 

U  k


r23
r13 
 r12
q2
q2
r23
q1
r13
q3
Potencial de uma distribuição contínua de cargas
1° MÉTODO
Potencial de um pequeno elemento dq
como carga puntiforme
dq
dq
dV  k
r

dq
V  k
r
r
P
é a mesma coisa que
qi
V  k
i ri
O potencial é nulo num ponto P infinitamente distante da distribuição de
cargas.
Potencial de uma distribuição contínua de cargas
2° MÉTODO (útil quando se conhece o campo elétrico)
 
UB U A
VB  VA 
   E  ds
q0
A
B
E é calculado em qualquer ponto mediante a lei de Gauss e depois
substituímos esta expressão na equação acima
Potencial de um anel uniformemente carregado
Q = carga total
dq
x2  a2
a
VP = ?
x
P
dq
dq
VP  k 
 k 2
r
x  a2
VP 
k
x a
2
2
Mas cada dq está a uma mesma
distância
 dq 
x2  a2
kQ
x2  a2
Cálculo do campo E a partir do potencial V
Se
 
dU   q0 E  ds




E  E x i  E y j  Ez k
e
 
dU
dV 
  E  ds
q0




ds  dx i  dy j  dz k
 
dV   E  ds  ( E x dx  E y dy  E z dz )
V
V
V
Ex  
; Ey  
; Ez  
x
x
z

ou E  V
No caso do anel uniformemente carregado (só há componente x)
dV
d 2
Ex  
 kQ ( x  a 2 ) 1 / 2
dx
dx
1 2
kQx
2 3 / 2
 kQ ( )( x  a )
(2 x )  2
2
( x  a 2 )3 / 2
E em x=0 ?
Potencial de um disco uniformemente carregado
 = carga por
unidade de área
a
r
VP = ?
x2  r 2
x
Uso o resultado do anel
dV 
k dq
2
x r
2
a
V  k 
0

P
dr
k 2 r dr
2
2
dA  2 r dr
x r
a
2r dr
2
2 1/ 2


k

(
x

r
)
2
r
dr

x2  r 2
0

V  2 k  x  a
2

2 1/ 2
x

Podemos sempre achar E utilizando a formula
 
dU
dV 
  E  ds
q0


dV
x

Ex  
 2 k 1  2
2
dx

x a 
E em x=0 ?
POTENCIAL DE UM
CONDUTOR CARREGADO
E = 0 no interior do condutor.
 E = perpendicular à superfície de um condutor
em equilíbrio.

Não há componente paralela à superfície (E// = 0).

Excesso de carga só pode se situar na
superfície do condutor.
Todos os pontos sobre a superfície de um
condutor carregado, em equilíbrio, tem o
mesmo potencial.
Para os pontos A e B:
 
E  ds  0
VB  VA   
B
A
 
E  ds  0
A e B podem ser quaisquer
V é constante na superfície de
um condutor carregado em
equilíbrio.

A superfície de qualquer condutor
carregado, em equilíbrio, é uma superfície
equipotencial.

V= const. no interior do condutor, e igual
ao valor que tem na superfície do condutor.
E=0

No interior do condutor :
V = const.
Superfícies equipotenciais
A variação de V é nula para
qualquer
deslocamento
perpendicular ao campo
elétrico E.
dV
Er  
dr
POTENCIAL DA ESFERA CONDUTORA
Condutor em equilíbrio eletrostático  O Campo Elétrico é nulo no interior
E=
kQ
r2
No interior
0
V=
No exterior da
esfera
kQ
r
kQ
R
No exterior da
esfera
No interior
(constante)
+ +
+ R
+
+
+++
Q
Linhas do campo
elétrico
Q=0
Superfícies
equipotenciais
Duas esferas condutoras carregadas, muito
afastadas e ligadas por um fio condutor
E1
?
E2
“Poder das Pontas”
q1 r1

q2 r2
q1
q2
V k k
r1
r2
r1
q1
As esferas estão muito separadas. Posso considerar que o
campo de uma não influi na outra.
q1
E1  k 2
r1
q2
E2  k 2
r2
E1 r2

E 2 r1
r2
q2
Campo mais intenso perto
da esfera menor
CAPACITORES E DIELÉTRICOS



Capacitor é um dispositivo capaz de
armazenar energia eletrostática que
pode ser liberada de maneira
controlada durante um curto período
de tempo.
Um capacitor consiste de dois
condutores separados
espacialmente que podem ser
carregados +Q e -Q
respectivamente. Com formatos
arbitrários (qualquer simetria, serão
chamados de placas).
Em 1746, Pieter Van M., Prof. em Leiden,
descobre a “garrafa de Leiden”, o 1º
capacitor (ou condensador), capaz de
armazenar carga elétrica.
Representação:
+
-
Capacidade Elétrica ou Capacitância (C)
Seja um condutor inicialmente neutro e isolado. Ao
ser eletrizado com carga Q, este adquire um potencial V.
Q
V
como: Q  V, assim temos:
Q
C
V
Se construirmos o gráfico
de Q versus V, teremos:
Q
 constante
V
ou
Q  C V
QN
tgθ   C
V
numericamente

A capacitância é definida como a
razão entre a carga num condutor
do capacitor e a ddp aplicada.

A capacitância é uma característica do capacitor
e não depende da carga ou da ddp.
[Coulomb]
[C] 
 [ Farad ]
[Volt ]
Q
C
V
C
1F 1
V
A capacitância de uma montagem depende da disposição
geométrica dos condutores.
Os submúltiplos do Farad (F):
Q
U
1 mili-Farad
1 mF = 10 – 3 F
1 micro-Farad
1 F = 10 – 6 F
1 nano-Farad
1 nF = 10 – 9 F
1 pico-Farad
1pF = 10 – 12 F
Capacitores ou Condensadores
Capacitores ou condensadores são
elementos elétricos capazes de armazenar
carga elétrica e, conseqüentemente, energia
potencial elétrica.
Podem ser esféricos, cilíndricos ou
planos, constituindo-se de dois condutores
denominados armaduras que, ao serem
eletrizados, armazenam cargas elétricas de
mesmo valor absoluto, porém de sinais
contrários
CAPACITÂNCIA DE UM CONDUTOR
ESFÉRICO
O campo no exterior de uma distribuição esferossimétrica de carga, é radial e vale
Q
Ek 2
r
b
b
 
dr
Vb  Va    E  ds   kQ 2
r
a
a
b
1
 1 1
 kQ    kQ  
 b a
 r a
a b
Vb  Va  kQ
ab
Q 1 ab
C 
V k a b
b  a
a
C   4 o a
k
CAPACITÂNCIA DE UM CONDUTOR
ESFÉRICO
+Q
O segundo condutor é uma esfera
condutora, concêntrica à primeira,
oca e com raio infinito.
R
0
0
 1 1   Vr = 0 no infinito (r )
VR  Vr  kQ   
R r
Q
VR  k
R
Q
Q
R
C 
  4  0 R
V kQ k
R
E
Linhas de
campo
saem
V  E.r
C é proporcional ao
raio R e independe da
carga Q e da ddp (V).
Ex: Condutor esférico (Terra) => RT = 6370km e o = 0,00000000000885
C  710 F
C para poder escoar bastante carga para a Terra sem alterar o seu potencial.
CAPACITOR CILÍNDRICO
É constituído por 2 cilindros coaxiais.
 
Vb  Va    E.ds
b
a
lei de Gauss achamos:
E é o campo na região: a < r < b
2 k
E
r
dr
b
Vb  Va    Er dr  2k 
 2k ln  
a
a r
a
Então:
2 ol
Q
Q
l
C 


V 2kQ  b 
b
b
ln   2k ln   ln  
l
a
a
a
Portanto, o capacitor
Se,
b
d
d




b d a
ln
 ln 1 

cilíndrico é como um
b
2 al o  o A
C

d
d
b
 
a



a
a
a = 5cm, l = 20cm e d = 1mm
(garrafa de Leiden)
capacitor plano “enrolado”.
C  560 pF
CAPACITOR DE PLACAS PLANAS
dielétrico (vácuo)
PARALELAS
É constituído por duas placas iguais, planas e
paralelas que, ao serem conectadas a uma
bateria, adquirem cargas elétricas de sinais
contrários, como mostra a figura.
Assim, podemos considerar E entre as placas
como uniforme.
 Q/A
Obs: Desprezaremos os efeitos de borda dos planos
d <<< L comprimento das placas (infinito).

Q
E 
0 0 A
Qd
V  Ed 
0 A
A
C  0
d
dielétrico
(vácuo)
 Q/A
 A figura
mostra que o campo é uniforme na
região central entre as placas e não
uniforme nas bordas das placas.
A capacidade eletrostática (ou
capacitância) do capacitor plano
depende das seguintes grandezas:
– área das placas: A
– distância entre as placas: d
– permitividade elétrica do dielétrico: 
A

d
D
A
C  0
d
A expressão anterior permite concluir que a capacidade
eletrostática de um capacitor plano é:
• diretamente proporcional a constante dielétrica do
meio  entre as placas;
• diretamente proporcional a área das placas A;
• Inversamente proporcional a distância d entre as
placas.
Lembrando que no caso de o meio
entre as placas ser o vácuo, o valor da
constante dielétrica é:
o = 8,85 . 10 – 12 F/m
A permitividade elétrica típica
membrana celular é aproximadamente:
da
 = 10 o
Como exemplo pode-se imaginar a
membrana celular como um capacitor no
qual duas soluções condutoras estão
separadas por uma delgada camada
isolante – a membrana plasmática.
Associação de Capacitores em Série ligados
aos terminais (ou pólos) de uma bateria
C1
C2
C3
+
-
+
-
+
-
Q1  Q2  Q3  cons tan te
U  U1  U 2  U 3
1
1 1
1
  
Ceq. C1 C2 C3
n
1
1

Ceq. i 1 Ci
Associação de Capacitores em Paraliloe
ligados aos terminais (ou pólos) de uma bateria
C1
+
-
+
C2
-
+
C3
-
As placas formam um conjunto
único de carga total:
Q  Q1  Q2  Q3
n
Ceq.   Ci
i 1
U1  U 2  U 3  cons tan te
Ceq.  C1  C2  C3
ENERGIA ARMAZENADA EM
CAPACITORES



Suponhamos que q seja a carga no capacitor, em certo
instante, durante o processo de carregamento.
Nesse instante, a diferença de potencial no capacitor é
V=q/C.
O trabalho necessário para transferir uma carga dq, da
placa com a carga -q para a placa com a carga +q, é
dado por:
q
dW  Vdq  dq
C
239
ENERGIA DE UM CAPACITOR
W 
Q
0
q
Q2
dq 
C
2C
O
trabalho efetuado no processo de carga do
capacitor pode ser considerada como a
energia potencial U armazenada no
capacitor. Como Q=CV, a energia
eletrostática num capacitor carregado será:
2
Q
1
1
U
 QV  CV 2
2C 2
2
240
DENSIDADE DE ENERGIA
 Num
capacitor de placas paralelas :
1 0 A 2 2 1
U
( E d )  ( 0 Ad ) E 2
2 d
2
a densidade de energia será :
1
u  0 E 2
2
 Esse resultado se aplica a qualquer capacitor,
independentemente de sua geometria.
241
CAPACITORES COM
DIELÉTRICOS
 Dielétrico
é um material não condutor,
como borracha, vidro, ou papel.
 Quando se insere um dielétrico entre as
placas de um capacitor, um campo elétrico
é gerado dentro do dielétrico em sentido
contrário ao campo entre as placas. O
campo elétrico resultante diminui por um
fator K denominado constante dielétrica.
242
E
+
-
+
+
-
-
-
+
+
Ei
ET = E - Ei
243
CAPACITORES COM
DIELÉTRICOS



As placas do capacitor são
carregadas com carga Qo ,
aplicando-se diferença de
potencial Vo , e em seguida
desligadas da bateria.
O dielétrico é colocado entre as
placas (desligadas da bateria). A
carga nas placas continua a
mesma.
Como o campo elétrico diminui, a
diferença de potencial também
diminui por um fator K :
V0
V
K
onde V0=Q0/C0.
244
CAPACITORES COM
DIELÉTRICOS
 Uma
vez que V < V0 teremos K > 1.
 Como a carga Q0 no capacitor não se altera:
Q0
Q0
Q0
C

K
V V0 / K
V0
C  KC 0
onde C0 é a capacitância na ausência do
dielétrico.
245
CAPACITORES COM
DIELÉTRICOS
a capacitância aumenta por um K
quando o dielétrico enche toda a região entre
as placas.
 A nova capacitância quando o capacitor estiver
com o dielétrico será:
 Portanto
CK
0 A
d
246
CAPACITORES COM
DIELÉTRICOS
1. O dielétrico aumenta a capacitância de um
capacitor.
2. O dielétrico eleva a voltagem operacional
máxima de um capacitor, devido a maior
rigidez dielétrica (campo elétrico máximo que pode
existir sem provocar rompimento dielétrico).
3. O dielétrico pode proporcionar suporte
mecânico entre as duas placas condutoras.
247
CAPACITORES COM
DIELÉTRICOS
O
capacitores comerciais são feitos de uma
folha metálica enrolada a folhas delgadas de
papel parafinado, ou mylar que servem de
material dielétrico. Essas camadas
alternadas, são enroladas como cilindros.
248
ESTUDA AS CARGAS ELÉTRICAS EM
MOVIMENTO
 A maioria das aplicações práticas envolve cargas em movimento.
 Equipamentos domésticos operam com correntes alternadas.
Movimento desordenado
dos elétrons.
DEFINIÇÃO
Corrente elétrica: Movimento ordenado de
elétrons.
Condição
Deve existir uma diferença de potencial
(DDP) em volt(V)
Aplicando-se uma diferença de potencial:
Criando pólos (+ e -) nos extremos
Comparação com o movimento
hidráulico
Sentidos da corrente elétrica
Real
Convencional
CÁLCULO DA CORRENTE ELÉTRICA
• Intensidade de corrente elétrica (i): é a medida da
quantidade de carga elétrica total que atravessa
uma secção transversal do condutor, na unidade de
tempo.
Q
dQ
i  lim

t 0 t
dt
Coulomb/segundo (Ampere)
Corrente Elétrica
Relação da corrente com o movimento das partículas carregadas
• Volume de um elemento de
comprimento x e área A:
• Volume = A x
• Se n for a densidade de portadores de carga móveis por
unidade de volume:
n x A 
Q  q  n x A 
n° portadores no volume considerado
Carga no elemento de volume
x  v d  t
Onde vd é a velocidade dos portadores.
Q  (n A vd t )  q
e dividindo por t
Q
I
 n q vd A
t
A velocidade vd dos portadores de carga é uma velocidade média
Velocidade de migração
vd
E
Resistência Elétrica e Lei de Ohm
Um campo elétrico pode existir dentro de um condutor que está fora do equilíbrio
eletrostático
I n A vd q
J 
 nqvd
A
A
J   A m
2

Densidade de corrente por unidade de área
qE
J  nqvd  nqat  nq
.t
m
qt
 = condutividade
J   E  nq .E

 m
Lei de Ohm
J  E
m
nq 2t 1
  2  = resistividade


nq t
m

Resistência Elétrica e Lei de Ohm
I
A
Va
Vb
l
E
l
 
Vb  Va    E  ds  E  dx  E l
b
a
0
Resistência Elétrica e Lei de Ohm
mas
V
J  E 
l
I
J
A
 l 
 I  R  I
V  J  

 A
l
l
l
R

 A
A
Lei de Ohm
R  W
Tipos de corrente
• Corrente eletrônica
É quando for submetida apenas por elétrons livres
em movimento (metais condutores).
• Corrente iônica
É obtida pela movimentação de íons (+) e (-).
Ex: Em soluções eletrônicas (sais,ácidos ,bases).
Tipos de corrente
• Corrente contínua (cc): os deslocamento dos
elétrons livres ocorre num único sentido.
Ex: pilhas e baterias.
Obs: quando a corrente apresentar sentido
constantes ela é dita contínua e constante.
e
intensidade
Tipos de corrente
• Propriedade Gráfica da Corrente contínua
(cc):
Tipos de corrente
• Corrente Alternada (ca): os deslocamento dos
elétrons livres ocorrem com alternância de
sentidos periodicamente no decorrer do tempo.
EFEITOS DA CORRENTE ELÉTRICA
•
Efeito Fisiológico
•
Efeito Térmico ou Joule
•
Efeito Químico
•
Efeito Magnético
EFEITO FISIOLÓGICO
Corresponde a passagem da corrente elétrica através de
organismos vivos, atua diretamente no sistema nervoso e
produz contrações musculares. Mas conhecido como CHOQUE
ELÉTRICO.
EFEITOS DA CORRENTE ELÉTRICA NO CORPO HUMANO
Corrente Elétrica
(60 Hz)
Duração
Efeitos mais graves
0 a 0,5 mA
qualquer
nenhum
0,5 a 2 mA
qualquer
limiar de percepção
2 a 10 mA
qualquer
dor, contração e descontrole muscular
10 a 25 mA
minutos
contração muscular, dificuldade
respiratória e aumento da pressão arterial
25 a 50 mA
segundos
paralisia respiratória, fibrilação ventricular
e inconsciência
50 a 200 mA
mais de um
fibrilação ventricular, inconsciência,
ciclo cardíaco paralisia respiratória e marcas visíveis
acima de 200 mA
menos de um fibrilação ventricular, inconsciência e
ciclo cardíaco marcas visíveis
acima de 200 mA
mais de um
parada cardíaca reversível, inconsciência e
ciclo cardíaco queimaduras
EFEITO TÉRMICO OU JOULE
Consiste no aquecimento de um condutor
quando percorrido por uma corrente elétrica. É
causado pelo choque entre os elétrons livres e os
átomos dos condutores.
James P. Joule
(1818 - 1889)
“É a transformação de energia elétrica em
energia térmica (Calor)”
FÍSICA
Eletrodinâmica
EFEITO QUÍMICO
Corresponde a certas reações químicas que ocorrem quando
a corrente elétrica atravessa as soluções eletrolíticas. Esse efeito
é
muito
utilizado
no
recobrimento
de
peças
como
NIQUELAMENTO, CROMAÇÃO, PRATEAÇÃO, etc.
EFEITO MAGNÉTICO
Corresponde a existência de um CAMPO MAGNÉTICO na
região em torno de um condutor quando percorrido por corrente
elétrica. Esse efeito é o único que sempre ocorre, sendo assim o
mais importante.
EFEITO LUMINOSO
A corrente elétrica ao atravessar um gás sob baixa pressão
provoca a emissão de luz. O efeito luminoso é utilizado nas
lâmpadas de vapor de sódio, nas Lâmpadas fluorescente, etc.
RESISTOR
Dispositivo que transforma energia elétrica em
energia térmica (efeito Joule).
SÍMBOLOS DO RESISTOR
RESISTÊNCIA ELÉTRICA
U U1 U2 U3



   constante  R
i
i1
i2
i3
Assim, temos:
U
R
i
ou
U  R i
A equação anterior é a representação
analítica da 1ª LEI DE OHM. A constante R é
denominada RESISTÊNCIA ELÉTRICA do
condutor, esta não depende da ddp (U) aplicada
nem da intensidade de corrente (i), depende
apenas do condutor e de sua temperatura.
George S. Ohm
(1787-1854)
Os resistores que obedecem à lei de Ohm são chamados ôhmicos.
Unidades:
No SI.: R  W (Ohm);
i  A (Ampère)
U  V (Volt);
RESISTÊNCIA DO RESISTOR
R
i
-
+
U
R
i
Unidade de Resistência:
Volt/Ampere = (ohm,Ω)
U
1ª Lei de OHM
Mantendo-se constante a temperatura do
resistor, sua resistência elétrica permanecerá
constante.
U
R
i
Resistor ôhmico
A lei de Ohm
Objetivos
 Pode explicar característica elétrica dominante de
um componente.
 Conceituar o que é um componente eletrônico.
passivo e um componente eletrônico ativo, dando
exemplos.
 Descrever
os
processos
construtivos
dos
componentes eletrônicos passivos.
 Compreender o conceito de curva característica.
 Fazer a leitura dos valores nominais dos
componentes eletrônicos passivos.
 Enumerar os critérios mais importantes para a
especificação de resistores, capacitores e indutores.
Componentes ativos
Em eletricidade, qualquer elemento que
produz energia sob a forma elétrica a partir de
outras formas de energia é um elemento ativo.
Um elemento capaz de converter energia
elétrica que se apresenta com certas
características, transmutando-a ainda em
energia elétrica, porém dotada de outras
características, também é considerado um
elemento ativo.
Componentes passivos
Um elemento passivo é um elemento que
consome energia elétrica.
 São inúmeros os componentes passivos
utilizados em eletricidade. Três são os mais
simples, e mais usados. Eles são o resistor, o
capacitor, e o indutor.
Resistores
Resistores são componentes eletrônicos cuja
principal finalidade é controlar a passagem de
corrente elétrica. Denomina-se resistor todo
condutor, no qual a energia elétrica consumida
é transformada exclusivamente, em energia
térmica.
Constituição do Resistor
ü A
resistência
elétrica
é
diretamente
proporcional ao comprimento do condutor (L)
ü A resistência elétrica é inversamente
proporcional àseção transversal do condutor (A)
ü A resistência elétrica depende do material do
condutor (ρ).
2ª LEI DE OHM
L
A
R

 .L
A
(Resistividade do material (ohm.m))
Segunda lei de Ohm
• R= . L/A
u
u
u
u
R: valor da resistência (Ω)
 : resistividade do material (Ω.m)
L: comprimento do material (m)
A: Área da secção transversal (m2).
Resistividade como função da temperatura
1 d

 dT
α:: coeficiente de temperatura da resistividade (1/ºC)
 : resistividade do material (Ω.m)
T: temperatura do material (ºC)
Fazendo ρ→ρo e T→To (condição), temos:
  o 1   .T 
Equação empírica da reta tracejada.
Resistência como função da temperatura
R
 .L
A
  o 1   .T 
Logo,
R
o .L
A
1   .T 
R  Ro 1   .T 
Processos de Fabricação
Por deposição de filme
de material resistivo
Fio resistivo enrolado
ü Resistência de carbono
aglomerado
ü Resistência de película
de carbono
ü Resistência de película
metálica
ü Resistência bobinada
ü Resistência bobinada
vitrificada
Resistores de carbono
aglomerado
Estes resistores são fabricados utilizando uma
mistura de pó de grafite com um material neutro
(talco, argila, areia ou resina acrílica). A
resistência é dada pela densidade de pó de
grafite na mistura.
O acabamento deste componente é feito com
camadas de verniz, esmalte ou resina.
Características
Desvantagens
â
Apresenta baixa precisão
â
Tolerâncias de 5%, 10 e
20 %.
â
A oxidação do carbono
pode provocar a alteração
do valor nominal da
resistência.
â
Apresenta altos níveis de
tensão de ruído .
Vantagens
â
baixo custo de 3 a 6
vezes menor que os de
película metálica.
Resistor de película de
carbono
Este componente é fabricado pela deposição
em vácuo de uma fina película de carbono
cristalino e puro sobre um bastão cerâmico,
para resistores de valor elevado , o valor é
ajustado pela abertura de um suco espiralado
sobre sua superfície.
Vantagens
â
â
â
â
â
Estes resistores são bastante precisos.
Apresentam baixos níveis de ruído.
Apresentam grande estabilidade nos circuitos.
São fabricados com tolerância de ± 1%
Alcançam valores de 100 MΩ.
Resistor de película metálica
Este componente é fabricado de um modo
muito semelhante ao do resistor de carbono
onde o grafite é substituido por uma liga
metálica que apresenta alta resistividade ou
por um óxido metálico. A película
normalmente é inoxidável, o que impede a
variação do valor da resistência com o
passar do tempo. Pode ser fabricado em
espiral o que aumenta a resistência.
Características
Vantagens
â
â
Apresentam grande
precisão
Tolerâncias entre 0,1% e
2%.
Desvantagens
â
â
alto custo
baixa
potência
dissipação.
de
Apresentação
ü Resistência de carbono
aglomerado
ü Resistência de película
de carbono
ü Resistência de película
metálica
Resistor bobinado
Este componente pode ser fabricado com um
material de resistência específica ou pela
união de vários materiais, ou pelo uso de
ligas metálicas. O fio condutor é enrolado em
um tubo cerâmico e para evitar curto-circuito
entre as espiras, é feito o recobrimento do fio
com esmalte que suporta altas temperaturas.
Caracterísiticas
Vantagens
â
â
Desvantagens
Baixo custo.
â
Grandes dimensões
Alta dissipação de
potência.
â
Baixa precisão
Resistor bobinado vitrificado
O processo de fabricação é o mesmo do
resistor bobinado, tendo como diferenças que
o tubo onde é enrolado o condutor é
vitrificado e a isolacão entre as espiras é feita
com uma camada de material vítreo de
grande espessura. Isto permite um melhor
isolamento térmico da resistência de outros
componentes que podem interferir em suas
características elétricas.
Apresentação
ü Resistência bobinada
ü Resistência bobinada
vitrificada
Resistores variáveis
Também existem resistores com valores variáveis. Estes
componentes são bastantre empregados em controle de
volume, controle de fontes de alimentação e em filtros,
são conhecidos por “Trimpots”, “potenciômetros” ou
“reostatos” e podem ser fabricados tanto com películas de
carbono, metálicas ou por fio enrolado, e a variação da
resistência é obtida pela variação comprimento do
condutor ou pela área da película metálica definida entre
o cursor e e os terminais do componente.
Apresentação
Potênciometros
Apresentação
Potênciometros
deslizantes
Representação gráfica
A representação de um resistor está
associada à sua principal característica de
dificultar a passagem de corrente elétrica.
Ocorreram variações nesta representação
na década de 70 por isso apresentamos
as duas representações, que podem ser
encontradas em circuitos elétricos.
Esquema da posição dos
anéis de valores
Os resistores das séries
E6, E12 e E 24 não
apresentam o 4°anel
com isso o fator de
multiplicação é dado
pelo 3° anel.
Esquema da posição dos anéis
de valores (código de cores)
1.Identidicar a cor do primeiro anel, e verificar através da tabela de
cores o algarismo correspondente à cor. Este algarismo será o primeiro
dígito do valor do resistor.
2.Identificar a cor do segundo anel. Determinar o algarismo
correspondente ao segundo dígito do valor da resistência.
3.Identificar a cor do terceiro anel. Determinar o valor para multiplicar o
número formado pelos itens 1 e 2. Efetuar a operação e obter o valor
da resistência.
4.Identificar a cor do quarto anel e verificar a porcentagem de
tolerância do valor nominal da resistência do resistor.
Exemplo
1º Faixa Vermelha = 2
2º Faixa Violeta = 7
3º Faixa Marrom = 10
4º Faixa Ouro = 5%
O valor será 270W com 5% de tolerância. Ou seja, o valor exato da
resistência para qualquer elemento com esta especificação estará entre
256,5W e 283,5W.
Curva Característica
35
Resist
ncia
30
Tens‹o (V)
A curva característica
de um resistor é
dada pela 1° lei de
Ohm
U=R.I
Onde:
U: tensão aplicada
R: Resistência
I: Corrente
1½
25
5ž
20
3ž
15
10
5
0
0
1
2
3
4
Corrente (A)
5
6
7
Movimento
ORDENADO de
Cargas elétricas.
EFEITOS
Térmico
Luminoso
Químico
Fisiológico
Magnético
Expressa a oposição
Dos condutores à
Passagem da corrente
Elétrica.
V
R
i
Energia (E) e Potência (P) Elétrica
τ
P
Δt
Teremos:
E
P
Δt
Q
P
V
Δt

Onde:
=
trabalho ou energia.
E

t = Intervalo de tempo de
consumo de energia.
E  P.Δt
P  i.V
P  R.i
2
V 


R
2
Unidades:
No S.I.:
P  W (Watt);  =E  J (Joule)
Múltiplos: 1kW = 103 W
e
t  s (segundo)
1MW = 106 W
Unidade usual de energia:
kWh  quilowatt-hora (Distribuidoras de energia)
1kWh = 1kW x 1h
P.Δt
E
1000
A potência elétrica pode também ser dada
por:
P  i.U
Em que:
elétrica
i

intensidade
da
corrente
U  ddp ou tensão elétrica
Dessa forma temos que:
1 W = 1V x 1 A
Prof. Msc. Marcelo Pessoa
POTÊNCIA ELÉTRICA DO RESISTOR
Com:
U=R.i e P=i.U,
P  R.i
e
2
podemos facilmente chegar a:
2
U
P
R
Prof. Msc. Marcelo Pessoa
U  R.i

i.U
2
P  i .R
U 2

R
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
Associação de Resistores Série
R
1
i1
R
R
i2
i3
2
3
i
-
R
1
i1
R
R
i2
i3
2
3
i
i1  i2  i3  i  cons tan te
U  U1  U 2  U 3
Req.  R  R  R
1
2
3
R R
n
eq
i 1
n
RESUMO
ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE
I=CONSTANTE
U=U1+U2+U3
Req=R1+R2+R3
Associação de Resistores Paralelo
R
1
R
2
R
3
+
U
-
Prof. José Patrocínio
R
1
R
2
R
3
+
U
-
U = U1 = U2 = U3 = CONSTANTE
i = i 1 + i2 + i3
1
1
1
1
 

Req R1 R2 R3
n
1
1

Req i 1 Ri
RESUMO
ASSOCIAÇÃO EM PARALELO
U = constante
I = i1 + i2 + i3
1/Req=1/R1+1/R2+1/R3
Associação de 2 Resistores em Paralelo
R
1
R
2
R1.R2
Req 
R1  R2
+
U
Associação de n Resistores iguais em
Paralelo
R
R
R
R
R
Req 
n
-A corrente é a
Mesma pra todos
Os resistores.
U  U1  U 2  U 3
A ddp é a mesma pra
Todos os resistores.
i  i1  i2  i3
Resistor equivalente
Resistor equivalente
Req  R1  R2  R3
1
1 1 1
  
Req R1 R2 R3
R1.R2
Req 
R1  R2
R
Req 
n
Curto-Circuito
i
i
i
i
REGRA DOS NÓS
Calcular a Resistência equivalente (Req) entre A e B
a)
Nomear os nós (encontro de três ou mais fios), de tal forma que se entre dois
nós não existir resistência, receberão o mesmo nome (curto-circuito).
b)
Seguir a sequência dos nós, onde o início do circuito se dá no ponto A e seu
final no ponto B.
c)
Dois (ou mais) caminhos entre nós diferentes representa ligação em paralelo.
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1.(IME)-A intensidade da corrente elétrica de um condutor metálico varia com
o tempo, de acordo com o gráfico a seguir. Sendo a carga elementar de um
elétron 1,6x10-19C, determine:
a) a carga elétrica que atravessa uma secção do condutor
entre os instantes o e 8s.
I(mA)
Q = área da figura  Q = (B+b) . h
2
64
Q = ( 8 + 2) . 64
2
Q = 320mC
t(s)
0
2
4
8
Q = 0,32C.
b) o número de elétrons que atravessa uma
secção do condutor entre os instantes 0 e 8s.
Q = n.e
 0,32 = n .1,6.10-19  n =
0,32
1,6. 10-19
n = 0,2.1019 elétrons ou n = 2.1018 elétrons
c) i =
Q
t
 i = 0,32
8
 I = 0,04A ou
I = 40mA
2.
Faça o circuito esquemático da montagem abaixo e indique o
sentido da corrente, quando a chave estiver fechada.
12V
-
+
chave
-
+
Ch
i
Texto para responder às questões 3;4;5 e 6.
No esquema abaixo, os fios a,b,e c são os três fios de entrada
de energia elétrica numa residência. As tensões estão
indicadas na figura. F1 e F2 são dois fusíveis.
Aparelhos
i
U
Lâmpada
1A
110V
Refrigerador
4A
110V
Ferro elétrico
2A
110V
Televisor
2A
110V
Chuveiro elétrico
15A
220V
F1
a +
110V
E
B
D
b +
110V
c
-
F2
A
C
3. As tensões elétricas
Uab = 110V
Ubc = 110V
Uac = 220V
F1
a +
110V
E
B
D
b +
110V
c
-
F2
4. Dos aparelhos
necessariamente:
C
A
apresentados,
o Chuveiro (220V)
o
aparelho
D
é,
19A
F1
a +
2A
110V
E
2A
15A
B
D
b +
110V
c
-
F2
A
C
5. Sendo B e E os aparelhos de mesma corrente elétrica,
então a intensidade total de corrente em F1 , será de :
i = 15 A + 2A + 2A = 19A
F1
a +
110V
E
B
D
b +
1A
110V
c
F2
-
4A
A
C
15A
20A
6.Considerando que A e C são os dois outros possíveis
aparelhos, então a corrente total em F2 será de:
i = 15A + 4A + 1A = 20A
GERADOR ELÉTRICO
Dispositivo que transforma uma certa
forma de energia em energia elétrica.
SÍMBOLO DO GERADOR
+
r
-
E
i
FORÇA ELETROMOTRIZ (E)
É a ddp total do gerador.
U
E
EQUAÇÃO DO
GERADOR
U = E – r.i
Gerador ideal
r=0
U=E
GRÁFICO DO GERADOR
U
E
icc
i
RECEPTOR ELÉTRICO
Dispositivo que transforma energia elétrica
em outra modalidade de energia que não
seja exclusivamente calor.
Motores Elétricos
Acumuladores
SÍMBOLO DO RECEPTOR
Onde: U = Ddp nos terminais do receptor
E’ = Força contra-Eletromotriz (fcem)
r’ = Resistência interna do receptor
i = corrente elétrica
FORÇA CONTRA-ELETROMOTRIZ
(E’)
É a ddp ÚTIL do RECEPTOR.
U
E’
U = E’ + r´.i
GRÁFICO DO RECEPTOR
U
E
’
i
tg
 = r’
POTÊNCIAS DO RECEPTOR
PT = Pu + Pd
RENDIMENTO DE UM RECEPTOR
CIRCUITO GERADOR-RESISTOR-RECEPTOR
Onde:
i
 Intensidade de corrente elétrica.
E  Força eletromotriz (fem) – Gerador.
E’  Força contra-Eletromotriz (fcem) – Receptor.
r  Resistência interna do gerador.
r’  Resistência interna do receptor.
EXERCÍCIOS
Prof. Msc. Marcelo Pessoa
EXERCÍCIOS
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EXERCÍCIOS
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LEIS DE KIRCCHOFF
As leis de Kircchoff são aplicadas a circuito complexos não
reduzíveis a uma malha.
DEFINIÇÕES BÁSICAS
NÓ: é o ponto comum a três ou mais condutores.
RAMO: é o trecho de circuito entre dois nós
consecutivos.
MALHA: é o conjunto de ramos que delimitam um
percurso fechado.
REDE: é o conjunto de malhas.
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AS LEIS DE KIRCCHOFF
1ª LEI OU LEI DOS NÓS:
Baseiam-se
elétricas.
no
princípio
da
conservação
das
cargas
“ Em um nó, a soma das correntes
elétricas que chegam é igual a soma das
correntes que saem”
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LEIS DE KIRCHHOFF
Lei dos nós
i1
i3
i4
i2
i

i
 chegam  saem
2ª LEI OU LEI DAS MALHAS:
Baseiam-se no princípio da conservação da energia.
“ Percorrendo-se uma malha num certo
sentido, partindo-se de um ponto e
chegando-se a esse mesmo ponto, a soma
algébrica das ddp’s é nula”
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LEI DAS MALHAS
R1
E2
E1
R3
i
E4
 (U
geradores
E3
R2
 U receptores  U resistores)  0
APLICAÇÃO DAS LEIS DE KIRCCHOFF NA RESOLUÇÃO DE
CIRCUITO
Seja o circuito abaixo, onde se deseja determinar as
correntes dos ramos do circuito elétrico.
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PROCEDIMENTOS
1)
Atribuir
letras
aos
pontos
do
circuito
e
arbitrariamente, um sentido para as correntes nos ramos.
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escolher,
2) Aplicar a 1ª Lei de Kircchoff.
Para o nó B temos:
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3) Escolher um sentido para percorrer as malhas.
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3) Aplicar a Lei das Malhas, observando a conversão de sinais.
Obs: Como o sentido da corrente coincide com o sentido da malha,
o produto da resistência pela corrente é positivo: + R.i
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Obs: Como o sentido da corrente é contrária ao sentido da malha,
então o produto da resistência pela corrente será negativo: R.i
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Obs: Como o sentido da malha entrou no pólo negativo, então: - E.
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Obs: Como o sentido da malha entrou no pólo positivo, então: + E.
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PONTE DE WHEATSTONE
É um dispositivo utilizado para se determinar a resistência
elétrica desconhecida de um resistor.
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LEI DE OHM GENERALIZADA
R1
A
E2
E1
R3
i
E4
E3
R2
B
U AB   (U geradores  U receptores  U resistores)
1)
v
r =1
1=
1
60v
1
3
7
2=
A
20v
6
1º Passo : Cálculo da Resistência Equivalente
a) Resistências em paralelo.
v
r =1
1= 60v
1
R1.R 2
RP 
R1  R2
1
3
7
2=
A
20v
6
6.3
RP 
63
RP  2W
b) Resistência equivalente.
v
r =1
1=
1
60v
Curto(ideal)  R=0
1

3
7
2=
A
20v
6
Req  1  2  7  10W
2º Passo : Cálculo da corrente total
V
i 
R
v
r =1
1=
1
60v

1
3
7
2=
A
20v
6

i
R

60  20
i
 4A
10
3º Passo : Leitura do Voltímetro
v
V= - R.i
r =1
1=
1
60v
V  60  1.4
1
3
7
2=
6
20v
A
Voltímetro Ideal  r= 
(Não esquecer !)
V  56V
4º Passo : Cálculo da potência no resistor de 7
W.
P  V.i
v
P  R.i
2
r =1
1=
1
60v
2
V
P
R
1
3
7
6
P  R.i
2
2=
A
20v
P  7.(4)
2
P  112W  0,112kW
5º Passo : Cálculo energia consumida pelo
resistor de 7W em 10h.
v
r =1
1=
1
60v
1
3
7
2=
A
20v
6
E
P
t
E  P.t
E  0,112.10
E  1,12kWh
IMÃ: Dispositivo capaz de atrair Fe, Co, Ni,
Aço (ferromagnéticos)
TIPOS DE IMÃS
NATURAL
MAGNETITA
TEMPORÁRIO
CONTATO
ATRITO
CORRENTE
ELÉTRICA
PÓLOS DE UM IMÃ
N
S
S
N
N
N
S
S
INSEPARABILIDADE DOS PÓLOS
DOMINÍOS MAGNÉTICOS
MAGNETISMO E TEMPERATURA
Todo imã natural perde o poder magnético
ao atingir uma determinada temperatura,
chamada de Ponto de Curie.
Ferro: Temperatura de Curie: 770°C
Cobalto: Temperatura de Curie: 1075°C
Níquel: Temperatura de Curie: 365°C
- Dois pólos  Norte e Sul
-Pólos de mesmo nome se repelem e de
Nomes contrários se atraem.
- Inseparabilidade dos pólos.
-Pólo norte aponta para o norte geográfico
Da Terra.
-Campo Magnético  Sai do pólo norte e
entra no pólo sul.
- Imãs elementares  Organizados.
- 1820 – Experiência de Oersted.
- Relação entre fenômenos
Elétricos e fenômenos
magnéticos.
FORÇA
CAMPO
Variação do fluxo
magnético.
MAGNETISMO DA TERRA
CAMPO MAGNÉTICO
Experiência de Oersted
N
N
S
S
+
-
i
i
+
-
Uma corrente elétrica
induz, em um
condutor, o
surgimento de um
campo magnético
(imã).
CAMPO MAGNÉTICO EM UM FIO
RETILÍNEO
B
i
r
-
+
A
Módulo do Campo Magnético
 0i
B
2r
Unidade de
B: tesla (T)
0 é a constante de
permeabilidade magnética do
vácuo e vale 4x10-7 T.m/A
Configuração do Campo
Magnético
REGRA DA MÃO DIREITA
B
r
i
Campo magnético no centro da
Espira Circular
i
r
i
B
 0i
2r
i
i
B
i
B
i
N
S
i
Solenóides
L
N
B  0 i
L
B  0 ni