Comunicações Ópticas

Fibras
FibrasÓpticas:
Ópticas:Estruturas
EstruturaseeTeoria
Teoriade
dePropagação
Propagação
Abel Costa
Fibras Ópticas: Estruturas e Teoria de Propagação
AJC
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Abel Costa
„ A natureza da luz:
Š Aproximação corpuscular
Š Aproximação ondulatória
Š Natureza quântica da luz: conceito de dualidade partícula - onda
AJC
O conceito de dualidade partícula-onda foi introduzido pela mecânica quântica. Nesta teoria tornou-se
evidente que os conceitos de partícula e onda, os quais a nível macroscópico parecia óbvio serem
mutuamente exclusivos, deveriam ser “fundidos” ao nível submicroscópico. A imagem de uma partícula
atómica (como electrões, neutrões,etc) como uma concentração localizada de matéria não era suficiente: na
verdade, estas “partículas” originavam fenómenos de interferência e difracção idênticos aos observados em
ondas luminosas. Assim, introduziu-se o conceito de dualidade partícula-onda, consubstanciado na famosa
relação entre massa e energia E=mc2 da teoria da relatividade.
A mecânica quântica associa a uma partícula (fotão, electrão, protão, etc) uma equação de ondas. No caso de
partículas materiais, os aspectos ondulatórios são introduzidos através de uma equação de campo, a famosa
equação de Schrödinger. Para os fotões, a sua natureza ondulatória é descrita pelas equações clássicas do
electromagnetismo, as conhecidas equações de Maxwell.
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Propagação
Abel Costa
Š Aproximação corpuscular
¾
Newton, Descartes
¾
A luz é um feixe de partículas: fotões
¾
A luz consiste de raios luminosos
¾
Em um meio homogéneo, a luz propaga-se
em linha recta
¾
A intensidade luminosa (ou potência) é
inversamente proporcional ao quadrado da
distância da fonte óptica
AJC
Na aproximação corpuscular, a radiação luminosa consiste de ínfimas partículas, invisíveis ao olho humano,
viajando em linha recta. Esta teoria descreve adequadamente certos efeitos ópticos macroscópicos tais como
a reflexão e refracção da luz, falhando todavia em fenómenos de menor escala como a interferência e
difracção da luz.
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Š Aproximação ondulatória
¾
Huygens, Maxwell
¾
A luz é representada por um campo
electromagnético
¾
Velocidade de propagação é uma
característica do meio:
ν=
¾
1
εµ
No vazio: c ≈ 300 000 km/s
AJC
Na aproximação ondulatória, a radiação luminosa é interpretada como uma onda electromagnética, e
representada como um trem de frentes de onda esféricas; define-se frente de onda esférica como a união de
todos os pontos do trem de ondas que estão em fase.
A propagação de uma onda primária pode ser descrita como uma sucessão de ondas esféricas secundárias,
que se sobrepõem e interferem, reconstituindo assim, em instante posterior, uma onda idêntica à primária.
Maxwell prdouziu um conjunto único de equações matemáticas, as quais são uma síntese brilhante sobre os
fenómenos eléctricos e magnéticos. Com base nestas equações, ele foi capaz de mostrar que a luz é uma
perturbação electromagnética, que sob a forma de ondas, se propaga no vazio.
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„ Corpuscular vs. Ondulatório
Š Consequências do carácter corpuscular:
Emissão da luz
Absorção da luz
¾ Efeito fotoeléctrico
¾ Trocas de energia
¾
¾
Š Consequências do carácter ondulatório:
Interferência
¾ Difracção
¾
AJC
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„ Natureza quântica da luz → fotões (ou quanta de energia)
Š Planck: Emissão de luz de modo descontínuo
¾
Fotões
(com h = 6,626 x 10-34 J.s)
Š Energia de um fotão: E = hν
Š Einstein: energia de um fotão: E = mc2
Š Comprimento de onda de De Broglie:
λ0 =
c
ν
=
h
mc
Š Os fotões podem sobrepor-se: não obedecem ao princípio de exclusão de Pauli
Š Em consequência:
¾
dois feixes luminosos cruzam-se sem interagir → ao contrário, dois feixes de electrões ao
cruzarem-se interactuam entre si!!!
AJC
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„ Aproximação da óptica geométrica
Š A luz é representada por raios luminosos
Š Válida quando o comprimento de onda da luz é muito inferior aos valores
geométricos associados ao fenómeno óptico em estudo (e.g., reflexão, lentes)
Š Frequentemente usada para o tratamento de problemas de óptica
AJC
Quando o comprimento de onda da luz é muito inferior às dimensões dos objectos ou obstáculos sobre que
incide, a frente de onda aparece como linhas rectas (ondas planas); nestas condições, a luz pode-se
representar por raios luminosos, os quais indicam a sua direcção de propagação e são perpendiculares à
frente de onda. De notar que, apesar de um conceito útil, o raio luminoso representa uma abstracção sem
realidade física. Com base neste conceito, fenómenos ópticos à escala macroscópica podem ser analisados
apenas por processos geométricos de traçado de raios. Tal constitui a chamada aproximação da óptica
geométrica.
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„ Leis básicas da óptica
Š Reflexão: θi = θr = θ1
Š Refracção: n1 senϕ1 = n2 senϕ2 (lei de Snell-Descartes)
AJC
Os conceitos de reflexão e refracção podem ser interpretados considerando raios luminosos associados a
ondas planas viajando em meios dieléctricos.
A figura mostra o que acontece quando um raio luminoso incide na interface de separação de dois meios
diferentes: parte é reflectido para o meio inicial, enquanto o restante sofre uma curvatura (ou refracção) ao
entrar no segundo meio. Esta curvatura resulta da diferença da velocidade da luz nos dois meios, os quais
apresentam índices de refracção diferentes. A lei de Snell-Descartes traduz matematicamente o fenómeno da
refracção, relacionando os índices de refracção dos meios com os ângulos dos raios relativamente à normal.
Define-se índice de refracção de um meio como a razão da velocidade da luz no vazio c ( c ≈ 3.108 m/s) em
relação à velocidade da luz nesse meio vi
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„ Leis básicas da óptica (cont.):
Š a) Reflexão para um interface ar – vidro
Š b) Reflexão e refracção de um feixe de luz incidente numa lâmina de vidro
AJC
(a)
(b)
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„ Índice de refracção de um meio:
Š É a razão da velocidade da luz no vazio c ( c ≈ 2,9979 x 108 m/s) em relação à velocidade da
luz nesse meio vi
ni =
ni =
c
≥1
vi
Š Índices de refracção para vários meios:
c
≥1
vi
Material
Índice de refracção
Velocidade da luz (km/s)
1,00028
299 706
Gelo
1,310
228 847
Água
1,333
224 900
Acrílico (Perspex)
1,495
200 528
Cristal
1,62
185 055
Cloreto de sódio (sal)
2,37
126 494
Diamante
2,42
123 880
Núcleo típico da fibra (MM)
1,487
201 607
Ar
AJC
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„ Reflexão interna total
AJC
Quando n1 ≥ n2, à medida que o ângulo de incidência aumenta também aumenta o ângulo de refracção.
Verifica-se que para um determinado ângulo de incidência ϕc,, designado por ângulo crítico, o raio emerge
paralelo à interface, isto é, ϕ2 = 90o. Nesta condição
senϕ c =
n2
n1
(1)
Para raios incidentes segundo ângulos maiores que ϕc verifica-se que o raio é praticamente todo reflectido
para o meio original (eficiência de ~ 99,1%). A este fenómeno dá-se a designação de reflexão interna total.
A figura acima ilustra este fenómeno de reflexão interna total: à medida que o ângulo de incidênica é
aumentado, o ângulo de refracção também vai aumentando, até que para o ângulo crítico de incidência o
ângulo de refracção apresenta o valor de 90º. Acima deste limite, não existe raio refractado.
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„ Variações de fase na reflexão
componente normal
componente paralela
tg
tg
δN
2
δP
2
=
n 2 . cos2 .θ1 − 1
n.senθ1
=
n n 2 . cos2 .θ1 − 1
senθ1
(2)
(3)
AJC
δN e δP são as variações de fase das componentes normal e paralela, respectivamente, ao plano de incidência
na fronteira entre dois meios.
A figura mostra as variações de fase para uma interface vidro-ar: n = 1,5 e θc = 48o (onde n = n1 / n2).
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„ Estrutura da fibra óptica
Š A fibra consiste de um núcleo rodeado por uma baínha
Š O material mais comum é o vidro (silica)
Š Diâmetros do núcleo variam desde 7 µm até 1 mm
Baínha
A Fibra Óptica básica
Núcleo
AJC
A estrutura do guia de onda , designado por fibra óptica, é a de um cilindro sólido. É constituída pelo núcleo,
de índice de refracção n1 , o qual é rodeado pela bainha, de índice de refracção n2 ( n1 > n2 ). Apesar de não
ser necessário, em princípio, uma camada adicional de protecção encapsula a fibra óptica, sendo em geral de
material plástico com alguma elasticidade e resistente à abrasão.
A figura acima mostra a fibra óptica em perspectiva.
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Abel Costa
„ Raios e modos de propagação
Š A aproximação do traçado de raios no interior da fibra é válida apenas no limite
de pequeno comprimento de onda.
Š Na aproximação modal (ou electromagnética), a radiação electromagnética que
viaja ao longo da fibra é representada pela sobreposição de modos guiados.
Š Para luz monocromática, viajando ao longo do eixo da fibra (direcção positiva do
eixo dos zz), a sua dependência temporal e espacial pode ser representada por
e j ( ωt − βz )
(4)
β - componente segundo z da constante de propagação k, ¦ k ¦ = 2 π / λ
ω - frequência angular
AJC
Para modos guiados, β assume certos valores discretos, os quais são determinados a partir das equações de
Maxwell e das condições fronteira dos campos eléctrico e magnético na interface núcleo-bainha.
O traçado de raios (ou aproximação da óptica geométrica) para descrever a propagação de luz nas fibras
apenas é válido no limite de pequeno comprimento de onda, isto é, quando a razão do raio em relação ao
comprimento de onda da radiação é grande. Do ponto de vista formal, a aproximação do traçado de raios só é
válida no limite de comprimento de onda nulo (λ=0); todavia, para λs pequenos relativamente às dimensões
do núcleo da fibra e quando o número de modos guiados é elevado (fibras multimodo), os resultados obtidos
são relativamente precisos. A vantagem desta aproximação reside na sua simplicidade e na interpretação
física das características de propagação numa fibra óptica.
Apesar da sua utilidade, a aproximação da óptica geométrica exibe um certo número de limitações e
discrepâncias quando comparada com a análise modal ou electromagnética, baseada na propagação de
radiação electromagnética no interior da fibra. Um caso importante é a análise de fibras monomodo,
correctamente explicada apenas pela teoria electromagnética. Problemas envolvendo fenómenos de coerência
ou interferência são outros fenómenos apenas descritos correctamente pela análise modal. Outra discrepância
ocorre quando a fibra óptica é uniformemente dobrada com um raio de curvatura constante: a análise modal
prevê, acertadamente, que cada modo guiado sofre alguma perda por radiação; ao invés, a análise geométrica
prevê que alguns raios continuam a propagar-se sem sofrerem perdas.
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„ Aproximação da óptica geométrica em fibras “step
“step--index”
Š O raio de luz a cheio propaga-se no
interior da fibra porque na fronteira
núcleo-baínha sofre reflexão interna
total (RIT), sendo reenviado novamente
para o núcleo
Š O raio de luz a tracejado não sofre RIT
pelo que se perde na baínha
Š O ângulo φ deve ser maior que o ângulo
crítico da fibra para haver RIT
Š Através da trigonometria é possível
definir um valor máximo para θ0 ,
chamado de ângulo de aceitação
máximo (θ0,max)
Š Somente os raios que entram no núcleo
com um ângulo inferior a θ0,max se
propagarão na fibra
AJC
A figura representa a propagação de um raio meridional numa fibra “step-index” ideal: perfeitamente
homogénea e cilíndrica, sem descontinuidades ou imperfeições na fronteira núcleo-bainha.
Raios meridionais são aqueles confinados aos meridianos da fibra, que são os planos que contêm o eixo de
simetria da fibra (o eixo do núcleo). Podem ser guiados (que são confinados ao núcleo e se propagam ao
longo da fibra) e não-guiados, que são refractados para fora do núcleo.
Da análise da figura e da lei de Snell-Descartes, o ângulo mínimo ϕmin que permite reflexão interna total para
o raio meridional é
senϕ min =
n2
n1
(5)
É possível escrever esta relação em função do ângulo de aceitação máximo θo,max como
(
n.senθo , max = n1senθc = n12 − n22
)
1
2
Tal obtém-se sabendo que ϕ = π / 2 e usando a relação fundamental da trigonometria.
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(6)
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„ Ângulo de aceitação máximo
AJC
O ângulo de aceitação máximo θ0,max é metade do ângulo do cone visualizado na entrada da fibra óptica (a
amarelo).
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„ Abertura numérica NA
Š Para fibras “step-index” e raios meridionais define-se como
(7)
NA = n.senθ o ,max = n12 − n22
Definindo-se a diferença relativa do índice de refracção núcleo-baínha ∆
n12 − n22
2n12
n −n
≈ 1 2
n1
∆=
(8)
para ∆ << 1
a expressão da abertura numérica NA escreve-se como
NA ≅ n1 2∆
(9)
AJC
Dado que a abertura numérica está relacionada com o ângulo de aceitação máximo, é um parâmetro útil para
descrever a capacidade de colectar luz de uma fibra óptica e para calcular eficiências no acoplamento de
potência óptica fonte de luz → fibra óptica.
É um parâmetro adimensional, inferior à unidade, com valores variando entre 0,14 e 0,50, dependendo das
dimensões e características das fibras.
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„ Propagação de luz numa fibra óptica
AJC
Os dois parâmetros fundamentais de uma fibra óptica “step-index”, de um ponto de vista óptico, são o seu
núcleo e a sua baínha. A luz é guiada no interior do núcleo através do fenómeno de reflexão interna total na
fronteira núcleo-baínha. Para tal se verificar, é necessário que o índice de refracção do núcleo seja superior
àquele da baínha. Os raios luminosos, no interior do núcleo, têm uma propagação em “zigue-zag” ao longo da
fibra, desde que as condições para reflexão interna total se verifiquem; caso contrário, são refractados para a
baínha – ver figura acima.
Na prática, o índice de refracção do núcleo é cerca de 1% superior ao da baínha. Para esta pequena diferença,
mostra-se que o ângulo crítico é de cerca de 82º. Assim, apenas os raios luminosos que incidem na interface
núcleo-baínha com um ângulo de 8º ou inferior a essa mesma superfície fronteira são confinados e
propagados no interior do núcleo.
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„ Exemplo
Š i) Mostre que o ângulo sólido de aceitação no ar é dado por
Ω = π ( n12 − n22 ) = π ( NA )
2
Š ii) Mostre que o ângulo sólido (no ar) para um único modo de radiação electromagnético
entrando ou saindo do núcleo é
Ωmodo =
λ2
π a2
Š iii) Um valor típico para a diferença do índice de refracção relativo é de 1 % para fibras
projectadas para uso em sistemas de longa distância. Assumindo que a aproximação da
óptica geométrica é válida, estime:
a) a abertura numérica da fibra;
b) o ângulo sólido de aceitação no ar quando o índice de refracção do núcleo é 1,46;
c) o ângulo crítico na interface núcleo-baínha da fibra.
AJC
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„ Solução:
Š i) O ângulo sólido de aceitação é:
Ω = ∫∫
r id S
r3
= ∫∫
1
dS
r2
S
Mas,
S
(∵
r dS
)
dS=r2.senθ.dθ.dφ
Donde,
2π
Ω=∫
∫
θ0
φ =0 θ =0
senθ dθ dφ
= 2π (1 − cos θ 0 )
Para θ0 pequenos, tem-se cos θ 0 = (1 − sen2θ 0 )
Mas como NA=senθ0 vem que
12
Ω
1
1 − sen 2θ 0
2
  1

2π 1 − 1 − sen2θ 0   = π sen 2θ 0
2

 
Ω π sen2θ 0 = π ( NA ) = π ( n12 − n22 )
2
AJC
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Š ii) Para um modo de radiação
electromagnética entrando ou saindo da
abertura do núcleo, o ângulo externo é
dado pelo ângulo de difracção do
campo distante (“far-field”) de um feixe
gaussiano.
Ângulo de campo distante:
 λ 

πa 
θ 0 = tg −1 
λ
πa
De acordo com a alínea anterior,
Ωmodo
2
λ
 λ 
 =
2
πa  πa
π sen2θ 0 πθ 02 = π 
2
Š iii) Usando a eq. (9) com ∆=0,01 tem-se para a abertura numérica:
NA=n1(2∆)1/2=1,46.(2.0,01)=0,21
Para ângulos pequenos, o ângulo de aceitação no ar é dado por:
Ω=πsen2θa=π(NA)2=π.0,04=0,13 rad
Usando a eq. (8) para a diferença do índice de refracção relativo
∆
n1 − n2
n
= 1− 2
n1
n1
⇒
n2
= 1 − ∆ = 1 − 0, 01 = 0,99
n1
AJC
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Da eq. (5) vem que o ângulo crítico na interface núcleo-baínha é
Φχ=sen-1(n2 / n1)=sen-10,99=81,9º
AJC
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„ “SkewSkew-rays”
rays”
AJC
São raios que não são confinados a um único plano, mas seguem um percurso helicoidal na sua propagação
no interior da fibra, atravessando assim diferentes planos. São, por isso, mais difíceis de traçar.
Apesar dos “skew rays” constituírem uma parcela significativa do número total de raios guiados, a sua
análise, bastante complexa, não é necessária para se obter uma ideia geral da propagação de raios no interior
de uma fibra óptica. Assim, para a maior parte dos casos, a análise de raios meridionais é considerada
adequada.
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„ Modos electromagnéticos numa fibra óptica
Š A aproximação geométrica é útil para visualizar a propagação da luz na fibra
Š Para se obter um modelo preciso para a propagação da luz na fibra, a teoria
electromagnética deve ser usada
Š A base da análise electromagnética são as equações de Maxwell e condições
fronteira adequadas ao caso da fibra óptica
Š Para simplificar a análise inicial, é frequente usar-se uma guia de onda plana
dieléctrica, designada por “symmetrical-slab waveguide”
n2
n1
n2
Guia de onda dieléctrica planar
AJC
Um “symmetrical-slab waveguide” é composto de material dieléctrico com índice de refracção n1
ensanduichado por material dieléctrico com índice de refracção n2 < n1 . Tal estrutura representa a forma
mais simples de guia de onda óptico, servindo de modelo para a compreensão da propagação das ondas
electromagnéticas no interior da fibra óptica – ver figura acima.
Página 68
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Abel Costa
„ Representação de onda associada a raios de luz
n2 < n1
A
C
θ1
θ1
n1
n2 < n1
d
B
Š Cada raio indica a direcção de propagação da luz, sendo perpendicular à frente de onda
(linha a tracejado)
Š Para ondas planas todos os pontos ao longo da mesma frente de onda estão em fase
Š Interferência destructiva ocorre quando a diferença de fase entre dois pontos não é um
múltiplo inteiro de 2π ; quando tal se verifica, o raio luminoso não se propaga
Š O percurso do raio entre A e C envolve uma variação de fase devida à distância entre AB
e BC bem como uma outra variação de fase devida às reflexões em A e B
Š Combinando estas variações de fase e igualando o resultado a um múltiplo de 2π
(interferência construtiva), obtém-se uma condição para a propagação dos “raios”
luminosos, cuja designação mais adequada agora é de “ modos de propagação”
AJC
A teoria da óptica geométrica parece permitir que qualquer raio de luz incidente segundo um ângulo θ1
inferior ao ângulo crítico θc possa propagar-se ao longo da fibra. Todavia, quando o efeito de interferência
devido à fase da onda plana associada ao raio é considerado, apenas raios incidentes segundo certos ângulos
iguais ou inferiores a θc, isto é, para valores discretos de θ1 , são permitidos propagarem-se na fibra.
Consideremos a figura acima esquematizada. À medida que o raio se propaga sofre uma variação de fase
dada por
δ = k1.s = n1.k.s =
n1.2π .s
λ
(10)
k1 é a constante de propagação no meio n1; k=k1/n1 é a constante de propagação no vácuo; s é a distância
percorrida pelo raio.
Ora, a fase da onda plana, associada ao raio, que é duplamente reflectida na interface núcleo-bainha, deve ser
a mesma da onda incidente, ou seja, a onda deve interferir construtivamente consigo própria. Da figura, a
variação total de fase de A → B → C, com duas reflexões em A e B, deve ser um múltiplo inteiro de 2π. Da
eq. (10) tem-se que
 2d 

 senθ 1 
δAC = n1 .k .
(11)
e da eq. (2) - assumindo por simplicidade que a onda é polarizada normal ao plano de incidência
 n 2 cos 2 θ − 1 
1


n.senθ 1

com n = n1/n2. Então, a seguinte condição deve ser satisfeita
δ 1 = 2arctg 
2n1 .k .d
+ 2δ 1 = 2π .M
senθ 1
(12)
(13)
onde M é um inteiro que determina quais os ângulos de incidência permitidos aos raios que se propagam nas
fibras.
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„ Distribuições de E para vários modos guiados num “symmetrical
“symmetrical--slab”
slab”
AJC
Como outras guias de onda, a fibra óptica guia ondas luminosas de padrões distintos chamadas de modos, os
quais descrevem a distribuição da energia óptica através da guia de onda. O comprimento de onda da
radiação e as dimensões, forma e natureza do guia de onda determinam que modos se propagam.
Para a fibra, e numa análise simplificada, o diâmetro do núcleo e o comprimento de onda da luz especificam
o número de modos possíveis: em termos simples, quanto maior a guia de onda, medida em termos de
comprimentos de onda, mais modos pode esta suportar.
Em essência, as dimensões da guia estabelecem as condições fronteira para os campos eléctrico e magnético
que constituem o campo electromagnético. Tendo em conta estas condições fronteira nas equações de onda,
pode-se então calcular as propriedades teóricas da guia de onda em questão. As soluções destas equações
diferenciais representam os modos de propagação.
A figura acima ilustra os padrões de campo de vários modos de ordem inferior, os quais representam soluções
das equações de Maxwell para o “slab-waveguide”. A ordem de um modo é igual ao número de zeros
através do guia de onda (a intensidade nula é representada pela linha tracejada).
Da figura pode-se observar que o campo eléctrico dos modos guiados não está completamente confinado à
parte central do “slab”, ou seja, não se anulam na fronteira entre os dois meios; ao invés, estendem-se
parcialmente na região correspondente ao segundo meio. Conclui-se também que o campo varia
harmonicamente na parte central do guia de onda, enquanto fora desta região apresenta um decaimento
exponencial. Para modos de ordem inferior, a maioria da energia está concentrada na zona central da “slab”,
ao contrário do que acontece para modos elevados, em que a distribuição do campo penetra mais
profundamente no segundo meio.
Página 70
Fibras
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Ópticas:Estruturas
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Teoriade
dePropagação
Propagação
Abel Costa
„ Tipos de fibra óptica
AJC
Variações na composição material do núcleo originam os dois tipos de fibra mais vulgares esquematizados na
figura.
No primeiro caso, o índice de refracção do núcleo é uniforme em toda a sua extensão, sofrendo uma variação
abrupta (“degrau”, ou em inglês “step”); esta fibra designa-se por fibra de índice em degrau (ou fibra
“step-index” ).
No segundo caso, o índice de refracção do núcleo não é homogéneo mas varia com a distância radial ao
centro da fibra; esta é a fibra de índice gradual ( ou fibra “graded-index” ).
Quer as fibras tipo “step-index” ou “graded-index” podem ainda ser subdivididas em monomodo
(“singlemode”) ou multimodo (“multimode”).
Como o nome indica, fibras monomodo suportam apenas um único modo de propagação. Ao invés, as fibras
multimodo suportam a propagação de centenas de modos.
De reparar que na figura estão indicadas as dimensões típicas das diferentes fibras, o que dá uma ideia da sua
escala dimensional.
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Abel Costa
„ Fibras multimodo de índice em degrau (“step(“step-index”)
0
N2 N1
Perfil do índice de refracção
Š Tipo de fibra mais simples e antiga
Š N1 é o índice de refracção do núcleo; N2 é o índice de refracção da baínha
Š A designação “índice em degrau” resulta da variação abrupta do índice de refracção ao
passar da baínha para o núcleo
AJC
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Abel Costa
„ Teoria electromagnética de propagação de modos em fibras ópticas
Š Equações de Maxwell
→
→
∂B
∇× E = −
∂t
(14a)
→
→
∂D
∇×H =
∂t
→
(14b)
(14c)
∇. D = 0
→
∇. B = 0
(14d)
E - campo eléctrico
H - campo magnético
D - densidade de fluxo eléctrico
B - densidade de fluxo magnético
AJC
Nas equações de Maxwell, acima escritas, supõe-se que o meio é dieléctrico , isotrópico e linear, sem
correntes nem cargas livres. Os quatro vectores de campo estão relacionados por
→
→
→
→
D=εE
(15)
B= µH
onde ε é a permitividade dieléctrica e µ é a permeabilidade magnética. De relembrar que no vazio
c=
1
µ 0ε 0
= 2,99792458 × 108 ≈ 3 × 10 8 m/s
1
⋅10 −9 C 2 .N -1 .m - 2
36π
µ 0 = 4π × 10 − 7 Wb.A -1 .m -1
ε0 =
Nota: Um meio diz-se dieléctrico quando a sua condutividade σ é desprezável, ou seja, as suas propriedades
eléctricas e magnéticas são completamente determinadas por ε e µ.; por outro lado, dado a fibra ser um
meio não-magnético µ é aproximado por µ0.
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Š Equações de onda
→
∂2 E
∇ 2 E = εµ 2
∂t
→
→
∂2 H
∇ H = εµ 2
∂t
2
(16)
→
(17)
AJC
A partir das equações de Maxwell pode-se derivar uma relação definindo a propagação das ondas do campo
electromagnético, que se designam por equações de onda.
Método:
Aplicando o rotacional à eq. (14a), usando a identidade vectorial ∇x(∇xE) = ∇(∇. E) - ∇2E e recorrendo à
eq. (14c) obtém-se a equação de onda para o campo eléctrico E.
Por um raciocínio análogo, obtém-se a segunda equação de onda para o campo magnético.
Para coordenadas rectangulares cartesianas e cilíndricas polares, as equações de onda acima escritas são
válidas para uma das três componentes de cada campo vectorial, isto é, satisfazem a equação de onda escalar
∇ 2ψ =
1 ∂ 2ψ
v 2P ∂t 2
(18)
onde ψ representa qualquer uma das componentes de E ou H, e vP é a velocidade de fase no meio dieléctrico:
vP =
1
µε
(19)
De notar que a velocidade de fase é a velocidade de propagação de um ponto de fase constante na onda
electromagnética.
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Š Soluções das equações de onda
→
→
→
→
(20)
E = E 0 (r ,φ ).e j (ωt − βz )
H = H 0 (r ,φ ).e j (ωt − βz )
(21)
AJC
Considerando a fibra óptica cilíndrica e o sistema de coordenadas polares da figura (onde se assume que a
propagação dos modos é ao longo do eixo dos zz), verifica-se que a solução básica da equação de onda é uma
sinusóide, sendo a mais importante a onda plana uniforme que apresenta uma dependência funcional dada
pelas expressões das eqs. (20) e (21).
Substituindo as eqs. (20) e (21) em (14a) e (14b), respectivamente, e por manipulação adicional obtém-se
Er = −
j
q2
 ∂E z µω ∂H z 

 β
+
r ∂φ 
 ∂r
β

r
j 
H r = − 2  β
q 
Eφ = −
Hφ = −
j
q2
j
q2
∂H z 
∂E z

− µω
∂r 
∂φ
∂H z εω ∂E z 

−
∂r
r ∂φ 
 β ∂H z
∂E z

+ εω
∂r
 r ∂φ



(22a)
(22b)
(22c)
(22d)
onde q2 = εµ ω2 - β2. De notar que uma vez conhecidas as componentes Ez e Hz todas as outras componentes
podem ser determinadas.
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Š Equações de onda em coordenadas cilíndricas
∂ 2E z
+
1 ∂E z 1 ∂ 2E z
+
+ q 2E z = 0
r ∂r r 2 ∂φ 2
∂ 2H z
+
1 ∂H z 1 ∂ 2H z
+ 2
+ q 2H z = 0
2
r ∂r r ∂φ
∂r 2
∂r
2
(23)
(24)
AJC
Se as condições fronteira não conduzirem ao acoplamento entre as componentes do campo electromagnético,
soluções de modos podem ser obtidas para as quais Ez = 0 ou Hz = 0.
Quando Ez = 0 os modos são designados por transversos eléctricos, abreviando-se para modos TE. Quando
Hz = 0 os modos designam-se por transversos magnéticos, ou recorrendo a siglas, modos TM.
Modos híbridos existem se Ez ou Hz são não-nulos. Designam-se neste caso por modos HE ou EH,
dependendo de Hz ou Ez , respectivamente, terem a maior contribuição para o campo transverso.
No caso de fibras ópticas, estão presentes modos híbridos, o que torna a sua análise bastante mais complexa
do que no caso em que apenas existam modos TE ou TM (caso, por exemplo, de guias de onda metálicas
ocas).
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„ Fibras de índice em degrau (“step
(“step--index”)
index”)
Š Usando o método de separação de variáveis, a solução da eq. (23) é da forma
E z = A.F1(r ).F2 (φ ).F3 ( z ).F4 (t )
(25)
Como já pressuposto (ver eq. 4):
F3 ( z ).F4 (t ) = e j (ω t − β z )
e supondo F2 periódica em φ
F2 (φ ) = e jνφ
(26)
(27)
Substituindo na eq.(25) e usando a eq. (23) obtém-se
∂ 2 F1
∂r 2
+
1 ∂F1  2 ν 2 
F1 = 0
+ q −
r ∂r 
r 2 
(28)
AJC
De notar que a dependência em φ é periódica devido à simetria cilíndrica da fibra, o que se traduz no facto de
a componente F2 dever ser a mesma quando φ varia de 2π.
De referir que uma equação idêntica a (28) pode ser obtida para Hz.
A eq. (28) é uma equação diferencial conhecida, tendo como solução a função de Bessel.
Na derivação, assume-se uma fibra “step-index”, com núcleo homogéneo de índice de refracção n1 e raio a, o
qual é rodeado por uma bainha de dimensão infinita e índice de refracção n2 . A razão de a bainha ser infinita
resulta de os modos guiados no núcleo terem um decaimento exponencial fora do mesmo, devendo ser
desprezáveis (i. e., nulos) na fronteira externa da bainha - na prática, a bainha tem uma espessura suficiente
para o campo dos modos guiados ser desprezável na fronteira da mesma.
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As expressões para Ez e Hz no núcleo são
E z (r < a ) = A.Jν (ur ).e jνφ .e j (ωt − βz )
(29)
H z (r < a ) = B.Jν (ur ).e jνφ .e j (ωt − βz )
(30)
As expressões para Ez e Hz na baínha são
E z (r > a ) = C.Kν (ϖr ).e jνφ .e j (ωt − βz )
(31)
H z (r > a ) = D.Kν (ϖr ).e jνφ .e j (ωt − βz )
(32)
AJC
A, B, C e D são constantes arbitrárias.
Jν (ur) representam as funções de Bessel do 10 género de ordem ν , com
u2 = k12 - β2 e k1 = 2π n1 / λ
(33)
Kν (ϖr) representam as funções de Bessel modificadas do 20 género de ordem ν , com
ϖ2 = β2 - k22 e k2 = 2π n2 / λ
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(34)
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Abel Costa
AJC
De reparar que, do gráfico, as funções de Bessel Jν (r) são funções oscilatórias gradualmente amortecidas
com respeito a r. Pode-se também notar que o campo é finito para r =0, sendo representado pela função de
Bessel J0 de ordem zero. Todavia, o campo anula-se quando r → ∞ . Assim, as soluções na bainha são
funções de Bessel modificadas Kν .Estas funções decaem exponencialmente com r, como pode ser observado
na parte inferior (b) da figura.
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Valores de β possíveis que representam soluções de modos guiados
n2 k = k2 ≤ β ≤ k1 = n1 k
(35)
com k = 2π /λ constante de propagação do vazio.
AJC
A condição acima para os valores de β resulta de duas condições de corte (“cutoff conditions”):
i) da definição da função de Bessel modificada: Kν (ϖr) → e-ϖr se ϖr → ∞ ; mas como Kν (ϖr) → 0 se r
→ ∞ , então ϖ > 0 ⇒ β ≥ k2 ;
ii) deriva da função Jν (ur): dentro do núcleo o parâmetro u deve ser real para que F1 seja real, o que implica
que k1 ≥ β .
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Abel Costa
AJC
Para um guia de onda cilíndrico (a fibra) todos os modos de propagação são híbridos, excepto aqueles para os
quais ν =0 (não existe dependência angular): neste caso, duas equações de valores próprios resultam, cujas
soluções correspondem a modos TE0m (Ez = 0) e TM0m (Hz = 0).
Quando ν ≠ 0 a situação é bastante complexa, sendo necessário recorrer a métodos numéricos para se
determinar os modos de propagação, que correspondem a soluções da equação transcendental
(J ν + K ν ).(k12 .J ν + k 22 .K ν ) =  βν 
2
1 
 1
 2+ 2
ϖ 
 a  u
Jν =
J ν'
uJ ν (ua )
Kν =
K ν'
ϖK ν (ϖa)
2
(36)
Nota: Para uma dedução exaustiva da eq.(36) ver “Optical Electronics in Modern Communications”,
capítulo 3, 5ª edição, de Amnon Yariv, Oxford University Press (1997).
Página 81
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Abel Costa
Š Frequência normalizada V
2
2
(
2
V = a . u +ϖ
2
)
2
(
 2πa  2
2
=
 . n1 − n2
 λ 
)
(37)
Š Constante de propagação normalizada b
2
 β  − n 2
2
aϖ
 k
b=
=
V2
n12 − n22
2
2
(38)
AJC
De notar que a frequência normalizada V , também designada por constante estrutural, é um parâmetro
adimensional, donde algumas vezes se designar por número V ; com base nesta variável, pode-se determinar
quantos modos uma fibra óptica pode suportar.
Relembrando as eqs. (7) e (8), pode-se rescrever eq. (37) como
V = 2π / λ . a . NA
= 2π / λ . a . n1 . √2∆
(39)
De notar que V combina informação sobre três parâmetros importantes no desenho de uma fibra óptica: a,
raio do núcleo; ∆, diferença relativa do índice de refracção núcleo-bainha; λ, comprimento de onda da
radiação luminosa.
Da expressão para os modos guiados dada pela eq. (35), que define os limites para β (n2k e n1k,
respectivamente), tem-se que 0 ≤ b ≤ 1.
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Só existe um modo quando V<2,405!!
AJC
Da figura conclui-se que cada modo apenas pode existir para valores de V que excedam um certo valor limite.
Os modos deixam de existir (“cutoff”) quando β / k = n2.
De notar que o modo HE11 não tem “cutoff” e só se anula quando o diâmetro do núcleo é zero. Este é o
princípio no qual a fibra monomodo se baseia - um único modo de propagação. Por uma escolha apropriada
do raio do núcleo a , n1 e n2 de maneira que
V=
2πa
λ
(n
2
1
)
1
− n22 2 ≤ 2.405
(40)
que representa o valor para o qual a função de Bessel J0 , de ordem inferior, é zero; quando a expressão (40) é
válida, verifica-se que todos os modos excepto HE11 se anulam.
No caso de uma fibra multimodo, com um valor de M (número total de modos) elevado, uma relação
aproximada entre o parâmetro V e M pode ser derivada para o caso de uma fibra “step-index”
M ≅
2π 2 a 2
λ2
(n
2
1
)
− n22 =
Página 83
V2
2
(41)
Fibras
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„ “Weakly guiding fiber approximation”
approximation”
∆ << 1
(42)
donde a eq. (36) poder ser escrita como
uJ
j −1 (ua )
J j (ua)
=−
ϖ K j −1 (ϖa )
K j (ϖa )
(43)
com
1
j= ν + 1
ν−1
para os modos TE e TM
para os modos EH
para os modos HE
AJC
As equações acima representadas indicam que, na aproximação ∆ << 1, todos os modos caracterizados por
um conjunto comum de j e ν satisfazem a mesma equação característica. Tal significa que estes modos são
degenerados, comportando-se como ondas TEM.
A resolução da eq. (43), tendo em contas as eqs.(33) e (34), permite calcular o valor próprio u, e portanto β,
em função da frequência normalizada. Assim, as características de propagação dos vários modos, a sua
dependência do comprimento de onda e parâmetros da fibra podem ser determinadas.
Página 84
Fibras
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AJC
Nota: Comparar a figura com a figura de dois quadros atrás.
Qualquer combinação de um modo HEν+1,m com um modo EHν-1,m constituirá, igualmente, um modo guiado.
Tais modos, obtidos da combinação de modos degenerados, designam-se por modos linearmente
polarizados, representando-se pela notação LPjm ; de notar que só faz sentido falar de modos LP na “weakly
guiding fiber approximation”. Em geral, tem-se
1. Cada modo LP0m é derivado de um modo HE1m ;
2. Cada modo LP1m resulta dos modos TE0m , TM0m e HE2m ;
3. Cada modo LPνm (ν ≥ 2) deriva dos modos HEν+1 e EHν-1 .
Página 85
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AJC
A figura ilustra as quatro possíveis direcções dos campos eléctrico e magnético e as correspondentes
distribuições de intensidade para o modo LP11 .
Página 86
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AJC
Na figura é esquematizada a composição dos dois modos LP11 a partir dos modos exactos e seus campos
eléctricos e magnéticos transversos, e respectivas distribuições de intensidade.
Página 87
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AJC
A figura mostra os perfis de intensidade do campo eléctrico para os 3 modos LP (a) de ordem mais baixa, em
conjunto com a distribuição do campo eléctrico dos modos exactos (b e c), que são seus constituintes.
Observar, a partir das configurações dos modos exactos, que a intensidade do campo na direcção transversa
(Ex ou Ey) (parte d para Ex) é idêntica para os modos exactos que pertencem ao mesmo modo LP - daqui
resulta a designação linearmente polarizado.
Página 88
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„ Fluxo de potência em fibras “step
“step--index”
index”
Š Fracção do fluxo de potência no núcleo para o modo ν
Pcore = 1 − u 2 1 −
P
e na baínha


V 2 

Jν2 (ua )

(
ua
J ν +1 ). J ν −1 (ua ) 
Pclad = 1 − P core
P
(44)
(45)
P
AJC
Como já anteriormente discutido (ver figura do quadro da página 23), o campo electromagnético para um
dado modo não tende para zero na fronteira núcleo-bainha, mas varia de um comportamento oscilatório
(núcleo) para um decaimento exponencial (bainha). Assim, a energia electromagnética de um modo guiado é
transportada parte no núcleo e parte na bainha: tanto mais distante um modo está do seu “cutoff” mais
concentrada a sua energia no núcleo; ao invés, à medida que o “cutoff” se aproxima, maior é a percentagem
da energia que viaja na bainha; na zona de “cutoff”, o campo não mais decai fora do núcleo e o modo tornase um modo radiativo.
No caso de fibras ópticas que suportam a propagação de muitos modos, a fracção da potência total na bainha
é aproximada por
P
clad
P
≅
1
4
4 2
−
2 =
M
3
3V
Página 89
(46)
Fibras
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Abel Costa
„ Fibras monomodo (“single(“single-mode fibers”)
0
N2 N1
Perfil do índice de refracção
Š Apresentam diâmetros do núcleo de alguns comprimentos de onda (tipicamente,
entre 8-12 µm)
Š Diferença relativa do índice de refracção núcleo baínha ∆ pequena (entre 0,2 e 1%)
Š Apenas suportam um único modo de propagação, o modo fundamental LP01, o que
para fibras “step-index” só é possível para a gama de valores
0 ≤ V ≤ 2,405
(47)
AJC
Dado que apenas o modo LP01 existe, verifica-se que o limite para operação de um único modo depende do
“cutoff” do modo guiado LP11 : este ocorre à frequência normalizada de Vc = 2,405 (ver figura do quadro da
página 36).
Na prática, e dado a diferença do índice de refracção núcleo-bainha variar entre 0,2 e 1%, o diâmetro do
núcleo deve ser ajustado ligeiramente abaixo do valor de “cutoff” do modo LP11, ou seja, V um tudo nada
inferior a 2,4. A título exemplificativo, valores típicos para fibra monomodo são: diâmetro do núcleo de 8,5
µm, diferença relativa de índices de ∆ ≈ 0,3% a um comprimento de onda de 1,3 µm, donde resulta que V ≅
2,355.
Página 90
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„ Fibras monomodo (cont.)
É o tipo de fibras mais corrente em telecomunicações. Principais razões:
Š Exibem as maiores larguras de banda de transmissão e as menores perdas
Š Dispõem de uma qualidade de transmissão superior a qualquer outro tipo de fibra
Š Oferecem uma capacidade de evolução substancial para suportar futuros serviços
de banda larga
Š Apresentam compatibilidade com a tecnologia de óptica integrada em
desenvolvimento
Š Asseguram, em elevado grau, que a sua instalação é “ à prova do futuro” pois
exibem tempos de vida médios superiores a 25 anos
AJC
Página 91
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Abel Costa
„ Distribuição de energia numa fibra monomodo e multimodo
> 50 µm
7-9 µm
Núcleo
Baínha
Núcleo
Baínha
Distribuição de energia em fibras monomodo:
máximo ocorre no centro do núcleo
(sombreado mais escuro = maior energia)
Distribuição de energia em fibras
multimodo está confinada ao núcleo
AJC
A distribuição da intensidade da energia óptica numa fibra monomodo não é uniforme, nem está confinada
totalmente ao núcleo (cerca de 20% propaga-se na baínha).
Em fibras multimodo, assumindo-se a aproximação modal em vez da óptica geométrica (ou traçado de raios),
verifica-se que uma pequeníssima percentagem da energia está confinada à baínha, na região imediatamente a
seguir ao núcleo; tipicamente, tal energia representa < 1% da energia total. Assim, a aproximação da óptica
geométrica mantém-se válida.
Página 92
Fibras
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Š “Mode-field diameter (MFD)” e “spot size” (I)
AJC
Muitas propriedades do modo fundamental LP01 são caracterizadas pela extensão radial do seu campo
electromagnético, donde a distribuição espacial da radiação é que importa conhecer e não o diâmetro do
núcleo e a abertura numérica da fibra. Assim, o “mode-field diameter- MDF” é um parâmetro fundamental
para a caracterização da fibra monomodo: inclui a dependência da penetração do campo em função do
comprimento de onda (por outras palavras, nem toda a radiação luminosa é transportada no núcleo, conforme
esquematizado na parte esquerda da figura).
Para fibras monomodo do tipo “step-index” ou “graded-index”, operando perto do comprimento de onda de
“cutoff”, o campo é bem aproximado por uma distribuição gaussiana (parte direita da figura): neste caso, o
MDF define-se como a distância entre os pontos para os quais a amplitude do campo decaiu de 1/e (0,37) do
seu valor máximo.
Um outro parâmetro, directamente relacionado com o “mode-field diameter”, é o denominado “spot size” ou
“mode-field radius” ω0 : MFD = 2 ω0.
Todavia, para fibras reais e com perfis de índice arbitrários, a distribuição do campo não é estritamente
gaussiana. Vários modelos foram propostos para caracterizar e medir o MDF, sendo que o designado por
“definição de Petermann II” é bastante aceite, sendo recomendado pelo ITU-T (ex-CCITT).
Para os interessados em aprofundar este tópico, recomenda-se o artigo: K. Petermann, Electron. Lett., vol. 19,
pp. 712-714, 1983.
Página 93
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Propagação
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Š “Mode-field diameter (MFD)” e “spot size”(II)
¾
Quando V → 2,4 então “spot size w” → raio do núcleo da fibra a
¾
Para V < 2, o “spot size” é bastante
superior às dimensões do núcleo
¾
Para V < 2, o feixe de luz é
parcialmente contido na baínha,
aumentando assim as perdas
¾
Por este motivo, o valor da constante
estrutural deve ser: 2 < V < 2,4
¾
MFD ou o “spot size” são parâmetros
frequentemente especificados bem
como o diâmetro ou o raio do núcleo
da fibra
AJC
Página 94
Abel Costa
Š A aproximação gaussiana
AJC
A figura mostra o perfil do campo electromagnético do modo fundamental no interior de uma fibra
monomodo “step-index” para dois valores da frequência normalizada. Dependendo do valor de V, uma
porção significativa da energia do modo propaga-se na região da bainha; mesmo para o valor de “cutoff” Vc
somente 80% da energia viaja no interior do núcleo.
Pode-se observar da figura que a forma do modo fundamental LP01 é semelhante a uma curva gaussiana, o
que permite aproximar a distribuição exacta do campo por uma distribuição gaussiana. A razão da
aproximação gaussiana para a distribuição transversa do campo reside na sua simplicidade em relação à
solução exacta, sendo muito útil nos cálculos envolvendo eficiências de acoplamento na entrada da fibra bem
como perdas em juntas e conectores. Neste contexto, descreve com bastante precisão o campo no interior do
núcleo, originando valores para a constante de propagação β do modo guiado bastante aproximados aos
valores correctos.
Nesta aproximação apenas um parâmetro, o “mode-field raius” ω0 , é necessário para definir a distribuição
radial da amplitude do campo. Este é aproximado pela seguinte fórmula empírica, com uma precisão melhor
que 1%


λ
ω 0 = r 0,65 + 0,434 
λ

 c




3
2
6

 λ 
+ 0,0149 
 λ  
 c
r - raio do núcleo
λc - comprimento de onda de “cutoff”
λ - comprimento de onda da radiação luminosa
Nota: Para uma explicação mais detalhada ver Senior, págs. 67 - 73.
Página 95

(48)
Fibras
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Propagação
Abel Costa
Š Propagação de modos em fibras “single-mode”
Existem dois modos de propagação degenerados, que apesar de análogos são
independentes;
¾ Apresentam planos de polarização ortogonais;
¾ Propagam-se com diferentes velocidades de fase;
¾ Têm índices de refracção efectivos distintos, sendo a sua diferença chamada de
birefringência da fibra Bf : Bf = ¦ nx - ny ¦ = ¦ βx - βy ¦ .
¾
AJC
O facto de termos dois modos de propagação degenerados resulta de o modo fundamental LP01 ser na
realidade a combinação de dois modos HE11 (ver tabela do quadro da página 36). Apresentam planos de
polarização ortogonais, os quais podem ser arbitrariamente escolhidos como polarizações horizontal (H) ou
vertical (V), conforme ilustrado na figura. Em geral, o campo eléctrico da radiação é uma sobreposição linear
destes dois modos de polarização, dependendo também da polarização da luz na entrada da fibra.
Em fibras ideais, perfeitamente cilíndricas, os dois modos são degenerados com constantes de propagação
iguais (kx = ky) donde um modo excitado com o seu estado de polarização na direcção dos xx não interagirá
com o modo com o estado ortogonal segundo yy, isto é, a luz injectada na fibra manterá o seu estado de
polarização inicial ao longo da fibra. Todavia, as fibras reais apresentam imperfeições (núcleos não
circulares, não-concentricidade núcleo-bainha, tensões laterais assimétricas, variações nos índices de
refracção, etc) que quebram a simetria circular, levantando a degenerescência dos dois modos (kx ≠ ky). Daí
propagarem-se com velocidades de fase ligeiramente diferentes, de que resulta a birefringência da fibra Bf ,
a qual também se pode definir pela seguinte expressão
β = k0 ¦nx - ny¦
(49)
Se ambos os modos são excitados, então verifica-se, devido à birefringência, um atraso de fase entre eles.
Quando esta diferença de fase é um múltiplo inteiro de 2π, os dois modos estarão em fase donde o seu estado
de polarização inicial à entrada da fibra será reproduzido. O comprimento da fibra sobre o qual ocorre este
batimento designa-se por “fiber beat length - LP”
LP = 2π / β
(50)
Em fibras monomodo convencionais Bf não é constante ao longo da fibra mas varia aleatoriamente devido a
flutuações na secção do núcleo e não-homogeneidade do seu índice de refracção. Em consequência, luz
injectada na fibra com polarização linear rapidamente alcança um estado de polarização arbitrário.
Página 96
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„ Fibras multimodo de índice gradual (“graded(“graded-index”)
0
N2 N1
variação
parabólica
Perfil do índice de refracção
Š Diâmetros do núcleo típicos para esta fibra: 50 a 120 µm
Š Diferentes perfis do índice de refracção foram desenvolvidos
Š A designação “índice gradual” resulta da variação gradual do índice de refracção no
núcleo, desde um máximo no eixo do núcleo até um mínimo na interface núcleo-baínha
AJC
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„ Fibras de índice gradual (“graded
(“graded--index fibers”)
fibers”)
AJC
Não têm um índice de refracção constante no núcleo, mas sim um decréscimo gradual desde um valor
máximo n1 no eixo da fibra até ao valor n2 - constante - na bainha. Matematicamente,
[
]
1
n(r) = n1 1 − 2∆(r / a)α 2 ,
1
2
0 ≤ r ≤ a (núcleo)
(51)
= n1 (1 − 2∆) ≅ n1 (1 − ∆) = n2 , r ≥ a (baínha)
A equação expressa de modo conveniente o perfil do índice de refracção do núcleo da fibra em função do
parâmetro α : para α = ∞ representa um perfil “step-index”; para α = 2 um perfil parabólico; para α =1 um
perfil triangular.
Hoje em dia, o perfil do índice de refracção que produz os melhores resultados em termos das características
das fibras multimodo é o aproximadamente parabólico com α ≈ 2. É tal a difusão de tais fibras que o termo
“índice gradual” usado sem mais especificação adicional refere-se a fibras com perfil aproximadamente
parabólico. Daqui em diante, quando nada for dito em contrário, o termo “fibras multimodo de índice
gradual” representa este tipo de perfil.
Página 98
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AJC
Usando a aproximação da óptica geométrica, o decréscimo gradual do índice de refracção do centro do
núcleo origina uma multitude de refracções dos raios, uma vez que eles efectivamente incidem sobre um
grande número de interfaces sucessivas, passando de regiões de índice de refracção elevado para outras de
índice inferior.
Este mecanismo é ilustrado na figura, onde se pode observar a curvatura gradual do raio, com um ângulo de
incidência cada vez maior, até que as condições de reflexão interna total se concretizam; nesse instante, o
percurso do raio altera-se, propagando-se agora em direcção ao eixo do núcleo.
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AJC
A figura esquematiza uma fibra multimodo com perfil de índice de refracção parabólico. Como se pode ver,
os raios meridionais parecem percorrer caminhos curvos na sua propagação ao longo da fibra
Apesar de muitos modos distintos serem excitados na fibra “graded-index”, as diferentes velocidades de
grupo dos modos tendem a ser normalizadas pelo perfil do índice. Recorrendo novamente ao traçado de raios,
verifica-se que os raios que viajam mais perto do eixo da fibra percorrem distâncias menores que aqueles que
se propagam na zona mais externa do núcleo. Todavia, a zona central da fibra corresponde a uma região de
índice de refracção elevado donde os raios que viajam nesta zona fazem-no a uma velocidade inferior à dos
raios externos. Existe, assim, uma compensação dos percursos mais longos, que se traduz numa redução da
dispersão da fibra - os diferentes raios, apesar de se propagarem ao longo de percursos distintos, demoram
aproximadamente o mesmo tempo a efectuar a sua propagação no interior da fibra.
Uma situação análoga existe para os “skew rays”.
Página 100
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Š Abertura numérica NA de fibras multimodo “graded-index”
AJC
A determinação da abertura numérica para este tipo de fibras é bem mais complexa que no caso de fibras
“step-index”.
Considerações de óptica geométrica mostram que a luz incidente no núcleo da fibra na posição r propagar-seá como modo guiado somente se estivar dentro da abertura numérica local NA(r) nesse ponto, definindo-se
como
[
NA( r ) = n 2 (r ) − n22
]
1
2
( a) ,
≅ NA(0) 1 − r
=0
α
r≤a
(52)
r<a
onde NA(0) representa a abertura numérica no eixo da fibra
[
NA(0) = n 2 (0) − n22
] = (n
1
2
2
1
− n22
)
1
2
≅ n1 2∆
(53)
A figura mostra as aberturas numéricas para fibras multimodo com diferentes perfis do índice de refracção α
.
Página 101
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Abel Costa
Š Modos em fibras multimodo “graded-index”
¾
A análise de modos usa métodos aproximados; o mais usado é o método WKB, de
Wenzel, Kramers e Brillouin
¾
De maneira idêntica à fibra “step-index”, a seguinte equação de onda escalar deve
ser resolvida
[
]
∂ 2ψ 1 ∂ψ 1 ∂ 2ψ
+ n 2 (r )k 2 − β 2 ψ = 0
+
+
∂r 2 r ∂r r 2 ∂φ 2
(54)
Pelo método WKB, as soluções dos modos guiados são obtidas assumindo Ex a forma
Ex =
1
{G1 (r ) exp[ jS (r )] + G2 (r ) exp[− jS (r )]}.  cos lφ  . exp( jβz )
2
 senlφ 
(55)
AJC
Nota: Para uma dedução da expressão do número total de modos guiados usando o método WKB ver
Senior, págs. 50-55.
Página 102
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O número de modos guiados suportados por uma fibra multimodo “graded-index” é
α 
2
M = 
 . (n1 k a ) . ∆
α + 2 
(56)
α   V 2 
M ≅ 
.
 α + 2   2 
(57)
Usando a eq. (39) vem
AJC
No caso do núcleo da fibra ter um perfil de índice de refracção parabólico tem-se que
M≈
V2
4
(58)
o que representa metade do número de modos guiados suportados por uma fibra multimodo “step-index” ver eq. (41).
Página 103