4a. Lista – Oscilador Amortecido e Forçado

IF/UFRJ – Física II – 2010/2 – Raimundo
Turmas IFA/OV1/IGM1/MAB/MAI/MAA/BCMT
a
4 Lista de Problemas – Oscilador Amortecido e Forçado
1. [RHK4-15.62] No sistema mostrado na
figura, o bloco tem massa igual a 1,52 kg e a
constante de força da mola vale 8,13 N/m. A
força de atrito é dada por – b(dx/dt), onde b
= 227 g/s. O bloco foi puxado para o lado à
distância de 12,5 cm e a seguir abandonado.
(a) Calcule o intervalo de tempo necessário para a amplitude cair para um terço do
seu valor inicial. (b) Quantas oscilações o bloco faz nesse tempo?
2. [RHK4-15.64] Um oscilador harmônico amortecido envolve um bloco (m = 1,91
kg), uma certa mola (k = 12,6 N/m) e um meio amortecedor F = −bv. Inicialmente o
bloco oscila com amplitude de 26,2 cm; por causa do amortecimento, a amplitude
cai para ¾ deste valor inicial, depois de quatro ciclos completos. (a) Qual é o valor
de b? Que quantidade de energia foi “perdida” durante estes quatro ciclos?
3. [RHK4-15.65] Suponha que você esteja examinando as características do sistema de
suspensão de um automóvel de 2.000 kg. A suspensão “cede” 10 cm, quando todo o
peso do automóvel é colocado sobre ela, e a amplitude da oscilação decresce de
50% durante um ciclo completo. Determine os valores de k e b da mola e do sistema
absorvedor de choque de cada roda. Suponha que cada roda suporte 500 kg.
4. [HMN-4.5] Uma partícula de massa m move-se na direção z no interior de um
fluido, cuja resistência de atrito é da forma −ρ dz/dt, ou seja, é proporcional à
velocidade (ρ > 0). A força peso é desprezível em confronto com a resistência de
atrito durante o intervalo de tempo considerado. Dadas a posição inicial z0 e a
velocidade inicial v0, ache z(t).
5. [HMN-4.6] Para pequenas partículas em queda livre na atmosfera, a resistência do
ar é proporcional à velocidade, ou seja, orientando o eixo z verticalmente para baixo,
é da forma −ρ dz/dt. Considere a queda livre de tal partícula a partir de uma posição
inicial z0 e velocidade inicial v0, levando em conta a força peso (ao contrário do
problema anterior). Ache z(t). [Sugestão: Procure uma solução particular da equação
diferencial de movimento, que é inomogênea. Para isto, leve em conta que, para
tempos grandes, a partícula tende a cair com velocidade constante (por quê?), que se
chama velocidade terminal.]
6. [RHK4-15.66] Considere as oscilações de um sistema bloco-mola amortecido,
sendo forçado por uma força
. Mostre que, na ressonância, (a) a
amplitude das oscilações é
, e (b) a velocidade máxima do bloco
oscilante é
.
7. [RHK4-15.67] Um carro de 1.000 kg, carregado com quatro pessoas de 80,0 kg
cada, está viajando em uma estrada irregular. As ondulações na estrada estão
separadas de 4,0 m. O carro balança com amplitude máxima quando sua velocidade
é 16 km/h. A seguir, o carro pára e as quatro pessoas descem. De quanto sobe a
suspensão do carro devido a este decréscimo no peso?
8. [RHK4-15.68] Partindo da solução do oscilador forçado,
G = m 2 (ω 2 − ω
€
2 2
0
)
+ b 2ω 2 e
, onde
, encontre a velocidade v (= dx/dt) no
movimento oscilatório forçado. Mostre que a amplitude de velocidade é
.
9. [Serway-12.31] Um bebê alegra-se gritando de felicidade e saltando para cima e
para baixo em seu berço. Sua massa é de 12,5 kg e o colchão do berço pode ser
modelado como uma mola leve com constante de força de 4,30 kN/m . (a) O bebê
logo aprende a saltar com esforço mínimo e amplitude máxima dobrando seus
joelhos em que freqüência? (b) Ele aprende a usar o colchão como um trampolim perdendo contato com ele em parte de cada ciclo – quando sua amplitude excede
qual valor?
10. [HMN-4.8] Um oscilador não amortecido de massa m e freqüência própria ω0 movese sob a ação de uma força externa
, onde β > 0 é uma constante.
Inicialmente, o oscilador encontra-se em repouso na posição de equilíbrio. Ache o
deslocamento x(t). Sugestão: Procure uma solução particular da equação diferencial
inomogênea de comportamento análogo ao de F.
3
11. [HMN-4.9] Um bloco cúbico de 10 cm de aresta e densidade 8g/cm está suspenso
do teto por uma mola de constante elástica 40 N/m e
comprimento relaxado de 0,5 m, e mergulhado dentro de um
fluido viscoso de densidade 1,25 g/cm3. Na situação
considerada, a resistência do fluido é proporcional à velocidade,
com coeficiente de proporcionalidade ρ = 2 N⋅s/m. Inicialmente
em equilíbrio, o bloco é deslocado de 1 cm para baixo, e solto a
partir do repouso. Com origem no teto e eixo z vertical orientado
para baixo (figura), determine a coordenada z da extremidade superior do bloco em
função do tempo.
12. [HMN-4.11] Uma pessoa está segurando uma extremidade A de uma
mola de massa desprezível e constante elástica 80N/m. Na outra
extremidade, B, há uma massa de 0,5 kg suspensa, inicialmente em
equilíbrio. No instante t = 0, a pessoa começa a sacudir a extremidade
A (figura), fazendo-a oscilar harmonicamente com amplitude de 5 cm e
período de 1s. (a)Calcule o deslocamento z da massa em relação à
posição de equilíbrio, para t > 0. (b) Calcule a força total F(t) exercida
sobre a extremidade A para t > 0.
13. [HMN-4.12] Um bloco de 1 kg, ligado a uma parede vertical por uma mola de
massa desprezível e constante elástica 100 N/m, inicialmente
relaxada, pode deslocar-se sobre uma superfície horizontal
com coeficiente de atrito (estático e cinético) µ = 0,25. No
instante t = 0, o bloco é deslocado de 24,5 cm para a direita e
solto a partir do repouso. Descreva o movimento subseqüente. Observação: Como a
força de atrito tem sinal oposto ao da velocidade, é preciso tratar separadamente
cada semiperíodo de oscilação.
14. [HMN-4.14] Duas partículas de mesma massa, igual a 250 g, estão
suspensas do teto por barras idênticas de 0,5 m de comprimento e
massa desprezível, e estão ligadas uma à outra por uma mola de
constante elástica 25 N/m. No instante t = 0, a partícula 2 (veja a
figura) recebe um impulso que lhe transmite uma velocidade de 10
cm/s. Determine os deslocamentos x1(t) e x2(t) das posições de equilíbrio das duas
partículas para t > 0.
15. [HMN-4.15] Duas partículas de mesma massa m deslocam-se com atrito desprezível
sobre uma superfície horizontal, presas por molas de
constante elástica k a paredes verticais, e ligadas uma
a outra por uma mola de constante K; veja a figura ao
lado. Inicialmente, com as partículas em repouso na posição de equilíbrio,
comunica-se uma velocidade v à partícula 2 através de um impulso. Determine os
deslocamentos das duas partículas, x1(t) e x2(t), a partir das respectivas posições de
equilíbrio, para t > 0.
16. [HMN-4.16] Dois pêndulos idênticos, formados por partículas de massa m
suspensas por barras de massa desprezível e comprimento ℓ, estão ligados um ao
outro por uma mola de massa desprezível e constante elástica k, inicialmente
relaxada, com os pêndulos na posição vertical de equilíbrio (figura do Prob. 14).
Aplica-se à partícula 2 uma força
. (a) Obtenha a solução estacionária
para os deslocamentos x1(t) e x2(t), das duas partículas. (b) Trace gráficos
representando o andamento das amplitudes de oscilação das duas partículas como
função de ω.
17. [HMN-4.17] Um modelo clássico para a molécula de CO2 é constituído por duas
partículas idênticas de massa M ligadas a uma partícula central de massa m por meio
de molas idênticas de constante elástica k e
massa desprezível. Sejam x1, x2, e x3 os
deslocamentos das três partículas a partir das
respectivas posições de equilíbrio; veja a figura
ao lado. (a) escreva as equações de movimento
para x1, x2, e x3, e verifique que o centro de massa do sistema permanece em repouso
ou em movimento retilíneo uniforme. (b) Obtenha as equações de movimento para
as coordenadas relativas ξ ≡ x2 − x1 e η ≡ x3 − x2. (c) A partir de (b), calcule as
freqüências angulares de oscilação, associadas aos dois modos normais de vibração
do sistema. Interprete fisicamente estes dois modos, caracterizando os tipos de
oscilação das massas a eles associados. (d) Aplique este modelo à molécula de CO2,
calculando a razão entre as duas freqüências de modos normais de vibração para
esta molécula. Tome as massas do C e do O como 12 e 16, respectivamente, em
unidades de massa atômica.
18. [HMN-4.18] Uma partícula de massa m está ligada por uma mola de constante
elástica k e massa desprezível a outra partícula de mesma massa,
suspensa do teto por uma mola idêntica à anterior; veja a figura.
Inicialmente, o sistema está em equilíbrio. Sejam z1 e z2
deslocamentos a partir das respectivas posições de equilíbrio, das
partículas 1 e 2, com o eixo orientado verticalmente para baixo. (a)
Escreva as equações de movimento para z1 e z2. (b) Obtenha os
modos normais de oscilação vertical do sistema. Para isto,
considere uma nova coordenada q, combinação linear de z1 e z2: q =
α z1+ β z2. Escreva a equação de movimento para q e procure
determinar os coeficientes α e β de tal forma que esta equação para
q se reduza à equação de um oscilador harmônico simples. Você
obterá duas soluções, q1 e q2, que se chamam as coordenadas normais. Calcule as
freqüências de oscilação, ω1 e ω2 associadas aos dois modos normais do sistema.
Respostas:
3) k = 490 N/cm; b = 1,1 × 103 kg/s. 4)
9) a) 2,95 Hz; b) 2,85 cm. 10)
. 7) 4,9 cm.
. 11) z =
2,15 + 0,01 exp (−0,125 t)[cos 2,23t + 0,056 sen 2,23t] (em m). 12) a)
; b)
, onde ω = 2π/T (T = 1s),
, A = 0,05 m, a =
= 0,066 m. 13) O bloco oscila com período
T = (π/5) s ≈ 0,63 s. A amplitude de oscilação decresce de 4,9 cm por semiperíodo. O
bloco pára na origem após 5 semiperíodos ≈ 1,57 s (tomando a origem na posição de
equilíbrio). 14) x1 = 1,13 sen (4,43 t) − 0,34 sen (14,8 t); x2 = 1,13 sen (4,43 t) + 0,34 sen
(14,8 t). 15)
, onde ω12 = k/m, e ω22 = (k+2K)/m.