Exercícios de Matemática II

Exercícios de Matemática II
Sequências
1) Os números x − 4, x + 1 e 2x + 1
formam, nesta ordem, uma progressão
aritmética. O maior desses três
números é:
R$ 1 000,00. Quanto esse cliente
pagou de entrada na aquisição desse
carro?
6) De acordo com a disposição dos
números.
A) 1
B) 5
C) 7
D) 9
E) 11
2) Ao financiar uma casa no total de 20
anos, Carlos fechou o seguinte
contrato com a financeira: para cada
ano, o valor das 12 prestações deve ser
igual e o valor da prestação mensal em
um determinado ano é R$ 50,00 a mais
que o valor pago, mensalmente, no ano
anterior. Considerando que o valor da
prestação no primeiro ano é de R$
150,00, determine o valor da prestação
no último ano.
3) Um ciclista percorre 40 km na primeira
hora; 34 km na segunda hora, e assim
por diante, formando uma progressão
aritmética.
Quantos
quilômetros
percorrerá em 6 horas?
4) Uma sequência de quatro números é
tal que os três primeiros formam uma
PA de razão 6, os três últimos formam
uma PG e o primeiro termo é igual ao
quarto. A soma desses quatro números
é:
A) −18
B) −14
C) −8
D) 0
E) 4
5) Um carro, cujo preço à vista é R$ 24
000,00, pode ser adquirido dando-se
uma entrada e o restante em 5 parcelas
que se encontram em progressão
geométrica. Um cliente que optou por
esse plano, ao pagar a entrada, foi
informado que a segunda parcela seria
de R$ 4 000,00 e a quarta parcela de
A soma dos elementos da décima linha
vale:
A) 2066
B) 5130
C) 10330
D) 20570
E) 20660
7) Resolva a equação:
x x x x x
x
x− + − + − +
−⋯=4
2 3 4 9 8 27
8) Em um campeonato de basquete, o
time “Bola no Aro” realizou 15 partidas
em que obteve vitórias, empates e
derrotas. Sabendo que formam, nessa
ordem, uma progressão aritmética de
razão 3, quantos jogos esse time
venceu?
9) Numa PG de quatro termos, a razão é
5 e o último termo é 375. Qual é o
primeiro termo dessa PG?
Matrizes
10) Indique explicitamente os elementos
da mátria A = a
tal que a = i − j.
11) Determine x e y de modo que se tenha
x+1
2y
2x 3y
=
3
y+4
3 4
12) Resolvendo-se a equação matricial
x
1 2
5
. y =
, encontramos para
4 3
10
x e y valores respectivamente iguais a:
19) Seja , = & − 2+, em que & =
0 −1
−3 2
! e +=
!. Calcule a
−1 −2
1 2
matriz inversa de C.
A) -2 e 1
B) -1 e 2
C) 1 e -2
D) 1 e 2
E) 2 e -1
Determinantes
13) A matriz A é inversa da matriz B, A =
3 −1
x 1
e
B=
.
Nessas
y 2
5 3
condições, podemos afirmas que a
soma de x + y vale:
A) -1
B) -2
C) -3
D) -4
E) -5
16) Calcule a soma de todos os elementos
1 −1
da inversa da matriz M =
!.
0 2
17) A inversa da matriz & =
3(
a) &$% = ' 7
2(
7
b) &
c) &
$%
3(
=' 7
2(
7
3(
=' 7
2(
7
−2(
7)
1(
7
1 2
−2 3
−2(
7)
1(
7
2(
7)
1(
7
3( −2(
7)
d) & = ' 7
2( −1(
7
7
18) Resolva a equação &. * = +, em que
2 −1
3
&=
!e+= !
1 3
5
$%
21) O termo geral da matriz M. ., é a =
3i − 2j. Calcule o det M.
22) Determine x tal que:
14) Considerando
as
matrizes
A=
1 3
−1 0 3
! eB=
!. Calcule o
2 1
1 2 −2
produto A.B.
1 −2
15) Seja a matriz A =
! e A$% a sua
3 1
inversa. Qual é a soma dos elementos
da primeira coluna de A$%?
$%
20) Duas matrizes quadradas A e B são
tais que o seu produto B.A resulta
numa matriz, que tem determinante
igual a 30. Qual é o determinante de A
sabendo que o determinante de B é
igual a 60?
x−1
/ 0
3x
2
1
x+1
23) Seja A = a
x
3x
−1/ = 0
4
2x
2x
0
−x
2i − 3 se i < j
ordem 3, em que a = 1 i − j se i = j .
i + j se i > j
Qual o valor do determinante de A?
a matriz
quadrada de
−2 35
24) Resolva a equação 0
0 = −4
1 −3
Sistemas Lineares
25) Carlinhos possui certa quantidade de
bolinhas de gude e algumas latinhas
onde guardá-las. Ao colocar 4 bolinhas
em cada lata, sobraram 2 bolinhas,
mas quando colocou 5 bolinhas em
cada lata, a última ficou com apenas 2
bolinhas. Podemos afirmar que todas
as latas ficariam com o mesmo número
de bolinhas se ele tivesse:
A) 36 bolinhas
B) 42 bolinhas
C) 49 bolinhas
D) 55 bolinhas
E) 63 bolinhas
26) Em uma vídeo locadora, o acervo de
filmes foi dividido, quanto ao preço, em
três categorias: Série Ouro (SO), Série
Prata (SP) e Série Bronze (SB).
Marcelo estava fazendo sua ficha de
inscrição, quando viu Paulo alugar dois
filmes SO, dois filmes SP e um filme SB
e pagar R$ 13,50 pela locação dos
filmes. Viu também Marcos alugar
quatro filmes SO, dois filmes SP e um
filme SB e pagar R$ 20,50 pela
locação. Marcelo alugou três filmes SO,
um filme SP e dois filmes SB e pagou
R$ 16,00 pela locação dos filmes.
Então, nesta locadora, o preço da
locação de três filmes, um de cada
categoria, é igual a:
A) R$ 7,50.
B) R$ 8,00.
C) R$ 8,50.
D) R$ 9,00.
E) R$ 10,00.
27) Calcule o valor de y do sistema
25 − 37 + 8 = 8
6 7 + 28 = 5
5 + 27 + 28 = 5
28) Um refrigerante, três salgados e uma
sobremesa custam, justos, 18 reais.
Dois
refrigerantes, sete salgados e
duas sobremesas custam, juntos, 38
reais. Qual é o custo de um refrigerante
e uma sobremesa, justos, em reais?
29) Se o terno (5, 7, 8) é solução do sistema
35 + 8 = −5
65 + 7 + 8 = −2, então o valor de 35 +
27 − 8 = −3
57 + 48 é igual a:
A) -8
B) -7
C) -6
D) -5
E) -4
Limites
30) Calcule
32) Calcule o valor do lim
B →?
33) O valor do lim
B A $CBD%.
B A $%E
B → ? B A $CBD%.
B$?
é
Lembrete: ax²+bx+c=a(x-x’)(x-x”)
A)
B)
C)
D)
E)
1
4
8
-2
2
34) Calcule lim
→F
35) Seja
.$√?$
f(x) = H
lim f(x).
→$.
xI
x
2
1( H,
x
calcule
36) Determinar se a função f(x) =
x
, se x ≤ 1
J
é contínua em x = 1
3 − x, se x > 1
37) Verificar se as funções a seguir
possuem assíntotas horizontais:
a) f(x) =
L $? A D%
? L $.
b) f(x) =
. A $. DE
N(5) =
?
³
38) Qual a assíntota vertical da função
(B$.)L
?
39) Verificar se a função
25 − 3 , OP > 1
, OP = 1 em 5 = 1.
60
.
5 − 2 , OP < 1
N(5) =
Derivadas
√ $.
lim
$?
→?
31) Calcule lim
→.
A $?
A $.
o
40) Calcule as derivadas em relação a x:
a) y = x 2 + 4 x
2
b) f ( x ) = 2
x
3
c) y = x
1

d) f ( x ) =  3x +  ⋅ (6 x − 1)
x

e) y = x(2 x − 1)(3 x + 2 )
f)
(
y = x2 − a2
)
5
g) f(x) = 2e3x² + 6x + 7
41) A derivada de N(5) = ln(5 E − 1) é:
S
A) N R(B) = P EB . ln(5 E − 1)
B) N R(B) = 65 I . ln(5 E − 1)
C) N R(B) =
D) N R(B) =
E) N R(B) =
R: 161,20.
BS
B U $%
EB S
B U $%
BS
B$%
42) Um fabricante de móveis estima que o
custo semanal da fabricação de x
armários é dado por ,(5) = 5 − 35 . −
805 + 500. Cada armário é vendido por
V$ 2800,00. Qual é o lucro máximo
semanal possível?
43) Determine a função lucro total de uma
empresa cujas funções receita e custo
marginal
são,
respectivamente
VXYZ[ (5) = 44 − 95 e ,XYZ[ (5) = 20 −
75 + 25², em que x representa
quantidade em milhares.
44) Estima-se que , daqui a t anos, a
circulação de um jornal local será C(t) =
100t² + 400t + 5.000. Calcule o
aumento sofrido pela circulação daqui
a
6
meses.
R: 200 jornais.
45) Estima-se que, daqui a t anos, a
população de uma certa comunidade
6
será de p(t) = 20 mil habitantes.
t +1
Qual será o aumento aproximado da
população durante os próximos 3
meses?
R: 1.500 habitantes.
46) A receita mensal de um fabricante é de
R(q) = 240q + 0,05q² reais, quando a
produção é de q unidades. Atualmente,
o fabricante produz 80 unidades por
mês e pretende aumentar este total em
0,65 unidades. Estime a variação que
sofrerá a receita total mensal com este
aumento.
47) 0 custo total de um fabricante é de C(q)
= 0,1q³ - 0,5q² +500 q + 200 reais,
quando a produção e de q unidades. A
produção atual é de 4 unidades e o
fabricante pretende diminuir este
número para 3,9 unidades. Estime a
variação resultante no custo total.
R: diminuição de 50,08.
48) 0 estudo da eficiência do turno da
manhã de uma certa fábrica indica que
um operário médio, chegando ao
trabalho às 8 horas, montará f(x)= -x³
+ 6x² + 15x rádios x horas depois.
Quantos rádios o operário montará
aproximadamente, entre 9 horas e 9
horas
e
15
minutos?
R: 6.
49) Em certa fábrica, a produção diária é de
1
2
Qk = 600k
unidades,
onde
k
representa o investimento de capital
medido em unidades de 1.000 reais. O
investimento atual de capital é de R$
900.000,00. Estime o efeito resultante
na
produção
diária
com
um
investimento de capital adicional de R$
800,00.
R: aumento de 8 unidades.
50) Em certa fábrica, a produção diária é de
1
3
Q( L) = 60000 L unidades, sendo L o
número de operários-hora. Atualmente
trabalham 1.000 operários-hora na
fábrica, diariamente. Estime o efeito
resultante na produção, quando
apenas 940 operários-hora estiverem
trabalhando.
R: diminuição de 12.000 unidades.
51) Suponha que h(x) unidades de fuzis
sejam produzidas diariamente quando
x
máquinas
são
usadas,
e
2
3
h( x) = 2000 x + 40 x − x .
Usando
diferencial estime a variação na
produção diária se o número de
máquinas usadas for aumentado de 20
para 21.
R: aumento de 2.400 fuzis.
x2
seja a
2
receita total recebida da venda de x
mesas. Determine a receita marginal
quando 40 mesas são vendidas. Qual a
receita efetiva da venda da 41a mesa?
R: R$ 260,00 e R$ 259,50.
52) Suponha que R( x) = 300 x −
53) Suponha que C(q) seja o custo total
de fabricação de q livros, e C(q) = 110
+ 4q + 0,02q².
a) Deduza a formula do C mg .
R: 0,04q + 4.
b) Estime o custo de fabricação do
101° livro.
R: 8,00.
c) Qual o custo real de fabricação do
101º livro?
R: 8,02.
54) Seja R(q) = -2q² + 1.800q, a função
receita diária, para a fabricação de
fogões, onde q é o número de unidades
produzidas diariamente. Atualmente, o
fabricante está produzindo 400 fogões
por dia e pretende elevar este número
para 401.
a) Use análise marginal para estimar o
ganho adicional produzido pelo
401° fogão.
R: 200,00.
b) Qual a diferença entre o ganho real
e o aproximado calculado no item
(a).
R: 2,00.
55) 0 ganho total diário pela fabricação
de refrigeradores é de R(q) = 240q +
0,05q² reais, onde q é o número de
unidades produzidas diariamente.
Atualmente,
o
fabricante
está
produzindo 80 unidades por dia e
pretende elevar este número de 1
unidade.
a) Estime o ganho adicional produzido
pela 81a unidade.
R: 248,00.
b) Calcule o ganho adicional real
produzido pela 81a unidade.
R: 248,05.
56) A demanda semanal x por certo tipo de
rádio é de 30.000 unidades quando o
preço é de R$25,00 e 40.000 unidades
quando o preço é de R$20,00. O
investimento inicial é de R$275.000,00
e o custo unitário é de R$17,00. Admita
que a demanda seja uma função linear
do preço. Aproxime a variação no lucro
para um aumento de uma unidade nas
vendas quando x =28.000.
R: -5,00.
57) Um fabricante produz objetos a R$
20,00 cada. Estima-se que, se cada
objeto for vendido por x reais os
consumidores
comprarão
mensalmente 120 - x objetos.
Determine o preço com o qual o
fabricante
obterá
maior
lucro.
R: x = 70
58) Um fabricante de doces produz balas
por R$ 0,05 cada e estima que, se a
bala for vendida por x reais, os
consumidores
comprarão
−0 ,1 x
balas por
aproximadamente 1000.e
semana. Qual deverá ser o preço da
bala para maximizar o lucro?
R: x = 15
59) A demanda de certo produto é D(p) =
160 -2p , onde p é o preço de venda do
produto. Qual o preço que torna maior
a despesa do consumidor , isto é, seu
gasto?
R: p = 40
60) Suponha que o custo total em reais,
pela fabricação de q unidades de um
certo produto, seja dado por
C(q) =
3q² + q + 48 :
a) Expresse o custo médio de
fabricação por unidade do produto
como função de q.
R: C (q) = 3q + l + 48/q
b) Para qual valor de q é menor o
custo médio?
R: q = 4
61) Uma firma de produtos plásticos
recebeu uma ordem de produção de
8.000 unidades. A firma possui 10
máquinas, cada uma produzindo 30
unidades por hora. O gasto em
eletricidade é de R$20,00 por máquina
e o custo de operação é de R$4,80 por
hora.
a) Quantas máquinas devem ser
utilizadas para minimizar o custo?
R: 8
b) Os intervalos em que a função custo
cresce ou decresce;
R: cresce em |8, 10|
c) A produção para que a Receita seja
máxima;
R: x = 5
d) Os intervalos em que a receita
cresce ou decresce;
R: cresce em|0,8|, decresce em
|8,10|
62) Suponha que a equação de demanda
para uma certa mercadoria seja p = 4 0,0002x, onde x é o número de
unidades produzidas semanalmente e
p reais é o preço de cada unidade. O
número do custo total da produção de
x unidades é 800 + 3x. Se o lucro
semanal deve ser o maior possível,
encontre o número de unidades que
serão produzidas por semana, o preço
de cada unidade e o lucro semanal.
R:x = 2500, p = R$ 3,50, L = R$ 450,00.
63) Uma loja compra certos objetos a
R$50,00 cada. Quando o preço de
venda é de R$ 80,00, a loja vende
mensalmente 40 objetos. Baixando R$
5.00 no preço de cada objeto, esperase vender mais 10 unidades por mês.
Qual deverá ser o preço de venda do
objeto para maximizar o lucro?
R: p = 75,00