produtos notáveis e operações com polinômios

PRODUTOS NOTÁVEIS
E
OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
NOME E GRAU DE UM POLINÔMIO
Veja nos exemplos abaixo as classificações dos polinômios: nome do polinômio (quanto ao
número de termos), o seu grau (entre todos os termos da expressão é o que tem a maior soma das potências das variáveis, ou seja, das potências das letras que se multiplicam) e o
número de variáveis (letras diferentes).
Exemplos:
a) 2x3 = monômio do 3º grau com uma variável
b) 5y – 3 = binômio do 1º grau com uma variável
c) 2x – 4xy + 5 = trinômio do 2º grau com duas variáveis
d) 7xy + 3yz – 2xyz2 = trinômio do 4º grau com três variáveis
e) 6x5 + 4x3 – 2x2 +1 = polinômio do 5º grau com uma variável
Operações com monômios (as mesmas regras valem para os polinômios):
SOMA (mais) ou SUBTRAÇÃO (menos):
5x3 + 2x3 = 7x3 (só pode somar ou subtrair monômios semelhantes): soma ou subtrai os
coeficientes, números na frente das letras, e conserva as potências das incógnitas (letras).
5x3 + 2x4 = quando as potências são diferentes não pode somar, pois os monômios não
são semelhantes, então a resposta é a própria equação = 5x3 + 2x4
5x3 – 2x3 = 3x3 (só pode somar ou subtrair monômios semelhantes): soma ou subtrai os
coeficientes, números na frente das letras e conserva as potências das incógnitas (letras).
5x3 – 2x4 = quando as potências são diferentes não pode subtrair, pois os monômios
não são semelhantes, então a resposta é a própria equação = 5x3 – 2x4
5xy + 2yx = são monômios semelhantes, pois a ordem dos fatores não altera o produto,
sendo assim = 5xy + 2xy = 7xy
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MULTIPLICAÇÃO (vezes) ou DIVISÃO:
(12x7) . (4x5) = 48x12 multiplica os coeficientes, números na frente das letras, e soma as
potências das incógnitas (letras).
(12x7) : (4x5) = 3x2 divide os coeficientes, números na frente das letras, e subtrai as potências das incógnitas (letras).
(12x) : (4x) = 3 repare que a incógnita quando não tem potência representada é porque
está elevada a 1. Ao subtrair a potência do primeiro x com o do segundo x, 1 – 1 = 0, a
potência fica zero, x0, e todo número elevado a zero é igual a 1, x0 = 1. Por isto a incógnita “desaparece”, 3x0 = 3 . 1 = 3.
(12x5) : (4x7) = 3x – 2 =
3
x2
quando a potência da incógnita do primeiro monômio é
menor que a potência da incógnita do segundo monômio divide os coeficientes, números na frente das letras, e subtrai as potências das incógnitas (letras). Porém a potência
fica negativa, x5 – 7 = x – 2, que é o mesmo que escrever na forma de fração,
12x 5
4x
(11x7) : (6x5) =
11x 7
6x 5

7

3
x2
.
11x 2
quando o coeficiente do primeiro monômio não for divisível
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pelo coeficiente do segundo monômio, escreva na forma de uma fração.
POTENCIAÇÃO:
(5x4y3)2 = 25x8y6 eleva o coeficiente, número na frente das letras, à potência que está
fora do parênteses e multiplica as potências das incógnitas (letras).
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OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
(5x4 + 3x) + (2x4 – 4x) = (este é o mais fácil, basta eliminar os parênteses e agrupar os
monômios semelhantes).
(5x4 + 3x) + (2x4 – 4x) = 5x4 + 3x + 2x4 – 4x = 7x4 – x
(5x4 + 3x) – (2x4 – 4x) = (cuidado com o sinal de menos) [primeiro eliminar os parênteses fazendo a distributiva (“chuveirinho”) com o sinal de menos e depois agrupar os
monômios semelhantes].
(5x4 + 3x) – (2x4 – 4x) = 5x4 + 3x – 2x4 + 4x = 3x4 + 7x
(2x4 + 3x2).(5x3 – 4x) = [distributiva (“chuveirinho”)] (cuidado com os sinais e a soma
das potências) (agrupar os monômios semelhantes).
(2x4 + 3x2).(5x3 – 4x) = 10x7 – 8x5 + 15x5 – 12x3 = 10x7 + 7x5 – 12x3
(5x4 + 3x)2 – (2x4 – 4x)2 = (cuidado com o sinal de menos) (primeiro desenvolver o produto notável, mantendo o parênteses para o 2º termo) [em segundo, eliminar os parênteses fazendo a distributiva (“chuveirinho”) com o sinal de menos e depois agrupar os
monômios semelhantes].
(5x4 + 3x)2 – (2x4 – 4x)2 = (5x4)2 + 2.(5x4).(3x) + (3x)2 – [(2x4)2 – 2.(2x4).(4x) + (4x)2] =
= 25x8 + 30x5 + 9x2 – ( 4x8 –16x5 + 16x2) = 25x8 + 30x5 + 9x2 – 4x8 +16x5 – 16x2 =
21x8 + 46x5 – 7x2
PRODUTOS NOTÁVEIS
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2
(a – b)2 = a2 – 2.a.b + b2
(a + b) (a – b) = a2 – b2
Exemplos:
(5x4 + y3)2 = (5x4)2 + 2.(5x4).(y3) + (y3)2 = 25x8 + 10x4y3 + y6 [utilize parênteses para não
errar as operações e sempre observe o produto notável de referência. Para este exemplo é: (a+b)2 = a2 + 2.a.b + b2].
(5x4 – y3)2 = (5x4)2 – 2.(5x4).(y3) + (y3)2 = 25x8 – 10x4y3 + y6 [utilize parênteses para não
errar as operações e sempre observe o produto notável de referência. Para este exemplo é: (a – b)2 = a2 – 2.a.b + b2] (preste atenção no sinal de menos que fica apenas no
termo do meio).
(5x4 – y3) (5x4 + y3) = (5x4)2 – (y3)2 = 25x8 – y6 [utilize parênteses para não errar as operações e sempre observe o produto notável de referência. Para este exemplo é:
(a – b) (a + b) = (a + b) (a – b) = a2 – b2] (preste atenção no sinal de menos que fica
apenas no termo do meio).
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