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Apontamentos de Matemática – 6.º ano
Decomposição em fatores primos e divisores
Aplicação da decomposição em fatores primos para determinar os divisores de um número
A decomposição de um número em fatores primos permite determinar os seus divisores.
Exemplo
Calcular os divisores de 50 a partir da sua decomposição em fatores primos.
A decomposição em fatores primos é: 50 = 2 × 52
Sabemos que os fatores primos são divisores de 50, isto é, 2 e 5 são divisores de 50.
Mas também é o número 1 (divisor de todos os números) e os diversos produtos dos seus
fatores primos. Vamos escrever todos:
1, 2, 5, 2 × 5 = 10, 5 × 5 = 25, 2 × 5 × 5 = 50, ou seja, 1, 2, 5, 10, 25 𝑒 50.
Este método, apesar de funcionar com qualquer número, torna-se trabalhoso à medida que
número de fatores primos da decomposição vai aumentando. Podemos assim ter alguma
dificuldade em encontrar todos os divisores. Na página seguinte, vamos ver outro
procedimento para encontrar os divisores.
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Apontamentos de Matemática – 6.º ano
Decomposição em fatores primos e divisores
Faz-se a decomposição do número em fatores primos (à esquerda)
Traça-se uma linha vertical e coloca-se o número 1, que é divisor de todos os números naturais
(à direira)
A seguir multiplicam-se todos os fatores primos por todos os divisores e encontrados.
2 = 2 × 1 – o fator primo (2) multiplica-se pelo primeiro divisor encontrado (1)
(figura à esquerda)
5 = 5 × 1 𝑒 10 = 5 × 2 – o fator primo (5) multiplica-se pelos divisores já encontrados (1 e 2)
(figura ao centro)
25 = 5 × 5 𝑒 50 = 5 × 10 – o fator primo (5) multiplica-se pelos outros dois divisores
encontrados (5 e 10)
(figura à direita)
Os números encontrados são os divisores: 1, 2, 5, 10, 25, 50
Notas:
Faz-se um único esquema. Aqui apresentei vários para se perceber quais os passos a dar.
Há outras maneiras de apresentar os cálculos, mas a ideia é sempre multiplicar todos os
fatores primos pelos divisores que se vão encontrando.
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Decomposição em fatores primos e divisores
Observe os exemplos seguintes.
Os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 e 90
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Os divisores de 150 são 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150
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Os divisores de 360 são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45 60, 72, 90,
120, 180 e 360.
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Decomposição em fatores primos e divisores
Exercícios propostos
1. Utilizando a decomposição em fatores primos, determine os divisores dos seguintes
números:
a) 36
b) 63
c) 275
d) 180
e) 300
Para saber mais!
Aplicação da decomposição em fatores primos para determinar o número de divisores de um
número (Tema não incluído no programa e metas curriculares)
Para calcular o número de divisores de um número inteiro decomposto em fatores primos:
- adiciona-se 1 unidade a todos os expoentes;
- multiplicam-se os valores encontrados.
Exercício resolvido
Determinar o número de divisores de 360.
Resolução
360 = 23 × 32 × 5
Os expoentes da decomposição são 3, 2 e 1. Então o número de divisores de 360 é
(3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 4 × 3 × 2 = 24
O número 360 tem 24 divisores.
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Decomposição em fatores primos e divisores
Exercícios propostos (com revisões)
2. Considere os números: 𝐴 = 2 × 32 × 5 𝑒 𝐵 = 63
a) Escreve B como um produto de fatores primos.
Resolva as alíneas seguintes usando as decomposições em fatores primos.
b) Determine 𝑚. 𝑑. 𝑐. (𝐴, 𝐵) e 𝑚. 𝑚. 𝑐. (𝐴, 𝐵).
c) Justifique que 𝐴 é um número par.
d) Determine os divisores de 𝐴.
3. Determine, sem calcular 𝐴, o número de divisores de 𝐴 = 22 × 5 × 112
(Este exercício não se enquadra no programa e metas curriculares)
Soluções dos exercícios propostos:
1. a) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
b) 1, 3, 7, 9, 21, 63
c) 1, 5, 11, 25, 55, 275
d) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180
e) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300
2. a) 63 = 32 × 7
b) 𝑚. 𝑑. 𝑐. (𝐴, 𝐵) = 32 = 9
𝑚. 𝑚. 𝑐. (𝐴, 𝐵) = 2 × 32 × 5 × 7 = 715
É par, pois 2 é divisor de 𝐴 (está na sua decomposição)
3. 18 divisores
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