Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh
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Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh Prof. Ohara Kerusauskas Rayel Disciplina de Eletrônica Digital - ET75C Curitiba, PR 16 de abril de 2015 Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 1 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Introdução Manipulação Algébrica não é trivial. Requer experiência e habilidade Não existe maneira fácil de saber se a expressão obtida ainda pode ser simplificada Alguns ajustes facilitam a obtenção da expressão minimizada O primeiro deles consiste em colocar a expressão na forma de Soma de Produtos, como veremos a seguir Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 2 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Forma Canônica SOP Consiste em chegar à uma expressão que seja uma soma dos produtos de todas as variáveis de entrada, na forma normal ou negada Exemplo: z = f (A, B, C, D). Forma SOP possível: ABCD + ABCD + ABCD + ABCD Cada um dos termos da soma é também chamado de minterm Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 3 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Forma Canônica SOP Cada minterm pode ser obtido diretamente da tabela-verdade da função x =A·B·C +A·B·C +A·B·C Minterm Maxterm A B C x A·B·C A·B·C A·B·C A·B·C A·B·C A·B·C A·B·C A·B·C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 4 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Forma Canônica POS Consiste em chegar à uma expressão que seja um produto de somas de todas as variáveis de entrada, na forma normal ou negada Exemplo: z = f (A, B, C, D). Forma POS possível: (A+B +C +D)·(A+B +C +D)·(A+B +C +D)·(A+B +C +D) Cada um dos termos da soma é também chamado de maxterm Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 5 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Forma Canônica POS Cada maxterm também pode ser obtido diretamente da tabela-verdade da função x = (A + B + C) · (A + B + C) · (A + B + C) Minterm Maxterm A B C x A·B·C A·B·C A·B·C A·B·C A·B·C A·B·C A·B·C A·B·C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 6 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Simplificação Algébrica Para obter êxito na simplificação algébrica, recomenda-se que os seguintes passos sejam seguidos: 1 Colocar a expressão no formato SOP (Soma de Produtos, do inglês Sum of Products) através da aplicação dos Teoremas de DeMorgan e da multiplicação de termos 2 Verifica-se a existência de fatores comuns. Se existirem, fatora-se a expressão e com sorte obtém-se mais simplificações. Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 7 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Simplificação Algébrica Exemplo: z = A · B · C + A · B · (A · C) 1 2 Obter Expressão SOP 1 z = A · B · C + A · B · (A + C) - Teorema de DeMorgan 2 z = A · B · C + A · B · (A + C) 3 z = A · B · C + A · B · A + A · B · C - Distributiva 4 z =A·B·C+A·B+A·B ·C Fatorar 1 z = A · C · (B + B) + A · B 2 z = A · C · (1) + A · B 3 z = A · (C + B) Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 8 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Simplificação Algébrica Descrição Algébrica de circuitos com posterior simplificação economiza hardware Porém, a simplificação pode ser bastante difícil de obter Muitos passos são necessários, além de experiência e habilidade Como obter então uma simplificação ótima garantida? Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 9 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Mapa de Karnaugh Método para simplificar expressões lógicas de até 6 variáveis Também usado para converter uma Tabela-Verdade em circuito Tabela-Verdade A B C X 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 Mapa de Karnaugh →ABC →ABC →ABC A A A A B B B B C C 1 1 1 0 1 0 0 0 →ABC Cada linha/coluna só pode diferir de 1 bit (1 variável) Para tal, a ordem deve sempre ser: A B, A B, A B, A B. Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 10 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Expressão sem simplificação A B C X 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 →ABC →ABC →ABC A A A A B B B B C C 1 1 1 0 1 0 0 0 →ABC Expressão SOP obtida a partir da Tabela-Verdade: X = A B C + A BC+ABC+ABC Mapa de Karnaugh permite simplificar a expressão através do agrupamento de 2, 4 ou 8 quadros de valor 1, eliminando 1, 2 ou 3 variáveis, respectivamente. Objetivo: menor número de grupos com, com o máximo de 1’s agrupados Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 11 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Agrupamento de quadros Neste mapa, 2 grupos de 2 são possíveis São simplificadas as variáveis que se alteram dentro de cada agrupamento No superior, a variável C muda, então ficamos com: A B No inferior, a variável A muda, então ficamos com: B C A expressão final é a soma das simplificadas: X = A B + B C, muito mais simples que a expressão SOP Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 12 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Agrupamento de 2 quadros Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 13 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Agrupamento de 2 quadros Quadros das bordas da tabela são adjacentes aos da borda oposta, pois só uma variável muda! Como fica a expressão final neste caso? Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 13 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Agrupamento de 2 quadros Quadros das bordas da tabela são adjacentes aos da borda oposta, pois só uma variável muda! Como fica a expressão final neste caso? X=AB+BC Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 13 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Agrupamento de 4 quadros Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 14 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Agrupamento de 4 quadros Condições ‘don’t care’ devem ser substituídas por 1’s e 0’s de forma a gerar os melhores agrupamentos Como fica a expressão final neste caso? Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 14 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Agrupamento de 4 quadros Condições ‘don’t care’ devem ser substituídas por 1’s e 0’s de forma a gerar os melhores agrupamentos Como fica a expressão final neste caso? X=BD+BD Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 14 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Agrupamento de 8 quadros Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 15 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Agrupamento de 8 quadros Como fica a expressão final neste caso? Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 15 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Agrupamento de 8 quadros Como fica a expressão final neste caso? X=B Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 15 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Agrupamento de 8 quadros - 2o exemplo Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 16 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Agrupamento de 8 quadros - 2o exemplo Como fica a expressão final neste caso? Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 16 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Agrupamento de 8 quadros - 2o exemplo Como fica a expressão final neste caso? X=D Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 16 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Mapa de Karnaugh a partir da expressão X = C(A B D + D) + A B C + D X=ABCD+CD+ABC+D Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 17 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Mapa de Karnaugh a partir da expressão X=ABCD+CD+ABC+D Preencher com 1 todos os quadros que possuem termos da expressão SOP Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 18 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Mapa de Karnaugh a partir da expressão X=ABCD+CD+ABC+D Preencher com 1 todos os quadros que possuem termos da expressão SOP Como fica a expressão final neste caso? Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 18 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Mapa de Karnaugh a partir da expressão X=ABCD+CD+ABC+D Preencher com 1 todos os quadros que possuem termos da expressão SOP Como fica a expressão final neste caso? X=AB+C+D Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 18 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Circuito Simplificado Economia e facilidade de implementação! Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 19 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Exercícios Simplifique as expressões abaixo. Desenhe o circuito inicial e o simplificado: 1 z =A·B·C +A·B·C +A·B·C Resposta AB + AC 2 z = AC(A · B · D) + A · B · C · D + A · B · C Resposta B̄C + ĀD̄(B + C) 3 x = (A + B) · (A + B + D) · D Resposta B D̄ 4 s = A·B·C +A·B·C +A·B·C +A·B·C +A·B·C Resposta ĀB + C̄ 5 s = (A ⊕ B) · B · (A + C) + D(A + B + C) Resposta AB̄ C̄ + ĀBC + AB̄D Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 20 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Exercícios 1 Encontre 2 soluções ótimas para o Mapa de Karnaugh abaixo: A A A A 2 B B B B CD CD CD CD 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 Encontre a solução ótima para o Mapa de Karnaugh abaixo: A A A A B B B B CD CD CD CD 1 X 0 X 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 21 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Exercícios Exercícios para estudo: refazer os realizados em sala de aula, além dos seguintes exercícios do livro “Sistemas digitais: princípios e aplicações": 4-1, 4-2, 4-5, 4-7, 4-8, 4-12, 4-14, 4-15 e 4-16. Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 22 / 23 Introdução Formas Canônicas Simplificação Algébrica Mapas de Karnaugh Exercícios Próxima Aula: Mapas de Karnaugh de 5 e 6 variáveis e Projeto de Circuitos! Rayel, O.K. — Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh 23 / 23
