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PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - [email protected]
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
ÍNDICE
CAPITULO 1 –
CONCEITOS BÁSICOS ............................................................................................................................ 3
1.1 – ESTATÍSTICA ...................................................................................................................................... 3
1.2 – ESTATÍSTICA DESCRITIVA ................................................................................................................ 3
1.3 – ESTATÍSTICA INFERENCIAL ............................................................................................................. 3
1.4 – POPULAÇÃO OU UNIVERSO ........................................................................................................... 3
1.5 – CENSO .............................................................................................................................................. 3
1.6 – AMOSTRA ........................................................................................................................................... 3
1.7 – EXPERIMENTO ALEATÓRIO ............................................................................................................. 3
1.8 – EXPERIMENTO DETERMINÍSTICO .................................................................................................. 3
CAPÍTULO 2 –
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA ............................................................................................................. 3
2.1 – DADOS ESTATÍSTICOS ..................................................................................................................... 3
2.2 – DADOS BRUTOS ............................................................................................................................... 3
2.3 – ROL
................................................................................................................................................ 3
2.4 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA .................................................................................................... 3
2.5 – ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA .............................................................. 4
CAPITULO 3 –
MEDIDAS DE POSIÇÃO ........................................................................................................................... 9
3.1 – INTRODUÇÃO ................................................................................................................................... 9
3.2 – MÉDIA ARITMÉTICA X ................................................................................................................. 9
( )
3.2.1. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS .......................................................... 9
3.2.2. DESVIO EM RELAÇÃO À MÉDIA ARITMÉTICA ....................................................................... 9
3.2.3. PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA ........................................................................... 10
3.3 – MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS ............................................................................ 11
3.3.1. DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS ................................. 11
3.3.2. DADOS AGRUPADOS CONFORME UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS POR CLASSE .... 12
3.3.3. PROCESSO BREVE PARA CÁLCULO DA MÉDIA ARITMÉTICA ........................................... 13
CAPÍTULO 4 –
MODA (Mo) ............................................................................................................................................ 15
4.1 – MODA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS ......................................................................................... 15
4.2 – MODA PARA DADOS AGRUPADOS ................................................................................................. 15
4.2.1. MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA. ............... 15
4.2.2. MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
POR CLASSE ....................................................................................................................... 15
4.3 – DETERMINAÇÃO GRÁFICA DA MODA ............................................................................................. 17
4.4 – A MODA NA CURVA DE FREQÜÊNCIA. ........................................................................................... 17
CAPÍTULO 5 –
MEDIANA (Md) ....................................................................................................................................... 18
5.1 – MEDIANA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS ................................................................................... 18
5.2 – MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS ............................................................................................ 19
5.2.1. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
POR VALOR .......................................................................................................................... 19
5.2.2. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
POR CLASSE ....................................................................................................................... 20
5.3 – RELAÇÃO ENTRE A MÉDIA ARITMÉTICA, MEDIANA E MODA ......................................................... 21
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
CAPÍTULO 6 –
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SEPARATRIZES ..................................................................................................................................... 21
6.1 – QUARTIS ......................................................................................................................................... 21
6.2 – DECIS .............................................................................................................................................. 22
6.3 – PERCENTIS .................................................................................................................................... 23
CAPÍTULO 7 –
OUTRAS MÉDIAS .................................................................................................................................. 24
7.1 – MÉDIA GEOMÉTRICA (G) ................................................................................................................. 24
7.1.1. MÉDIA GEOMÉTRICA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS ..................................................... 24
7.1.2. MÉDIA GEOMÉTRICA PARA DADOS AGRUPADOS ............................................................. 24
7.2 – MÉDIA HARMÔNICA (H) ................................................................................................................... 24
7.2.1. MÉDIA HARMÔNICA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS ....................................................... 24
7.2.2. MÉDIA HARMÔNICA PARA DADOS AGRUPADOS ............................................................... 24
CAPÍTULO 8 –
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE ............................................................................. 25
8.1 – DISPERSÃO OU VARIABILIDADE ................................................................................................... 25
8.2 – AMPLITUDE TOTAL ......................................................................................................................... 25
8.2.1. DADOS NÃO AGRUPADOS .................................................................................................. 25
8.2.2. PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA. ......................... 25
8.2.3. PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR CLASSE .......... 25
8.3 – VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
8.3.1. PARA DADOS NÃO AGRUPADOS ........................................................................................ 26
8.3.2. PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA ........................... 27
8.3.3. PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR CLASSE .......... 28
8.3.4. PROCESSO BREVE PARA CÁLCULOS DO DESVIO PADRÃO ........................................... 29
Capítulo 9
–
TESTES DE ESTATÍSTICA .................................................................................................................... 31
Capítulo 10
–
BATERIA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E COMENTADOS .................................................................. 44
10.1 – BATERIA 1 ........................................................................................................................................ 44
10.2 – BATERIA 2 ........................................................................................................................................ 45
10.3 – BATERIA 3 ........................................................................................................................................ 47
10.4 – BATERIA 4 ........................................................................................................................................ 50
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
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Capitulo 1
CONCEITOS BÁSICOS
1.1 — ESTATÍSTICA
A estatística constitui uma parte da matemática aplicada
que tem como finalidade obter conclusões sobre os verdadeiros parâmetros do universo, utilizando para isso a coleta, a organização, a descrição, a análise e a interpretação
dos dados.
1.2 — ESTATÍSTICA DESCRITIVA
É o ramo da estatística que se preocupa apenas em descrever os dados observados da amostra, sem se preocupar em fazer previsões sobre os parâmetros do universo.
Na estatística descritiva temos a coleta, organização e
descrição dos dados.
1.3 — ESTATÍSTICA INFERENCIAL
A estatística inferencial ou estatística indutiva é a parte
mais importante da estatística, pois é a inferência estatística que permite a análise e a interpretação dos dados através de estimativas de parâmetros do universo.
1.4 — POPULAÇÃO OU UNIVERSO
Portanto, são muitas as dificuldades para a realização de
um censo, logo, nos geralmente utilizamos os processos
de amostragem.
1.6 — AMOSTRA
Amostra é qualquer subconjunto não vazio da população.
Para a seleção da amostra devemos tomar cuidado para
que a amostra seja representativa da população, considerando a aleatoriedade da seleção e o tamanho da amostra.
1.7 — EXPERIMENTO ALEATÓRIO
Experimentos Aleatórios são aqueles que, repetidos nas mesmas condições, produzem resultados possíveis e diferentes.
Exemplo:
O lançamento de uma moeda honesta várias vezes nas
mesmas condições, produz cara ou coroa como resultado,
que só pode ser conhecido após o lançamento.
1.8 — EXPERIMENTO DETERMINÍSTICO
Quando o resultado do experimento já está determinado antes de
sua realização, portanto não interessa ao estudo da Estatística.
Capítulo 2
É qualquer conjunto de elementos ou indivíduos, com pelo
menos uma característica comum ao objeto em estudo.
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
Exemplo:
2.1 — DADOS ESTATÍSTICOS
¾ A população de alturas dos candidatos ao concurso de
AFRF/2000;
¾ A população de escolas de estatística no Brasil em 2000;
¾ A população de computadores em São Paulo.
A população pode ser dita finita ou infinita conforme o número de elementos que possui. Por exemplo a população
dos pesos dos candidatos ao concurso do ICMS/2002 é finita.
Porém se cada aluno é sorteado e recolocado no conjunto
para novo sorteio, teríamos a população de pesos infinita.
Na prática consideramos como infinitas aquelas populações com número de elementos muito grande.
1.5 — CENSO
O censo é o processo que consiste no exame de todos os
elementos da população.
Na prática, a coleta de dados sobre a população requer:
I
— Disponibilidade de tempo
III — Precisão dos dados coletados
III — Recursos financeiros
IV — Planejamento das etapas de coleta
Dados estatísticos são todas as informações levantadas
(coletadas) que servirão como base para o estudo e análise estatística e que chamaremos de Dados.
2.2 — DADOS BRUTOS
Dados Brutos são dados inicialmente coletados que ainda
não foram organizados sistematicamente.
2.3 — ROL
Rol é qualquer arranjo de dados brutos em ordem crescente ou decrescente.
2.4 — DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
A Distribuição de Freqüência é uma disposição de dados
numéricos, de acordo com o tamanho ou magnitude dos
mesmos.
Neste tipo de série não variam local, tempo e o fato.
A distribuição de freqüência pode ser apresentada por valor (único) ou por grupo de escalares (classes), discriminando a freqüência dos mesmos.
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
Descrevemos a seguir cada coluna:
Exemplo:
título
a) Distribuição de freqüência por valor:
a) Classe de Freqüência
NOTAS DOS APROVADOS NO AFRF/2000-SP
cabeçalho
As classes de freqüência são os intervalos em que a
variável nota foi agrupada.
NOTAS
FREQÜÊNCIAS
0
2
1
4
2
5
3
4
4
8
5
3
Os limites de classe são os valores ínfimo e supremo
da classe, sendo que o limite inferior ( lI ) o ínfimo da
classe e limite superior ( LS ) o supremo da classe.
6
9
Assim teremos:
7
5
O limite inferior da 2ª classe é 20
8
2
O limite superior da 3ª classe é 60
9
8
TOTAL
50
Exemplo:
0
20 - representa as notas desde 0 até quase 20
b) Limites de uma Classe ( lI , LS )
c) Intervalo de classe (amplitude de classe) –
FONTE: ALUNO
rodapé
b) Distribuição de freqüência por classe:
É a diferença entre o limite superior real da classe e o
limite inferior real da classe.
h = LS – lI
NOTAS DOS APROVADOS NO AFRF/2000-SP
NOTAS
classes
h
FREQÜÊNCIAS
0
20
10
20
40
15
40
60
50
60
80
20
80
100
5
TOTAL
Obs: Quando o limite inferior da classe coincide com
o limite superior da classe anterior, ele é chamado de limite real. Caso contrário será chamado de limite aparente, e o limite real será a
média aritmética entre eles.
d) Amplitude Total (
100
FONTE: ALUNO
Obs.: E —––| I
I |—–– E
I |—––| I
E –––– E
AT )
É a diferença entre o maior valor e o menor valor da
amostra.
No exemplo acima: AT = 100 – 0 = 100.
E ® Excluindo
I ® Incluindo
e) Ponto médio da classe
2.5 - ELEMENTOS DE UMA
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
É a média aritmética entre o limite inferior real e o limite
superior real
A Tabela abaixo representa as notas de100 alunos aprovados no concurso de AFTN/94 em São Paulo.
NOTAS DOS ALUNOS APROVADOS NO CONCURSO
AFTN/94-SP
NOTAS
f
Xi
Freq. Acumuladas
Abaixo de A partir de
Fr
0
20
10
10
10
100
0,10
10%
40
15
30
25
90
0,15
15%
40
60
50
50
75
75
0,50
50%
60
80
20
70
95
25
0,20
20%
80
100
5
90
100
5
0,05
5%
1,00
100%
100
lI + L S
2
Fr(%)
20
TOTAL
Xi =
f) Freqüência absoluta simples ( fi )
Freqüência absoluta é o número de observações que
ocorreram em determinada classe.
No exemplo acima a Freqüência absoluta ou simplesmente Freqüência da 3ª classe é 50.
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
g) Freqüência Total ( N )
NORMAS PARA APRESENTAÇÃO TABULAR DE DADOS
A Freqüência total é a soma de todas as freqüências
absolutas.
k
∑ fi
N=
Exemplo:
i =1
Título
È
CANDIDATOS APROVADOS NO AFRF/2000 POR ESTA-
k – nº de classes
onde
A apresentação tabular é a apresentação dos dados (ou
resultados) de determinado assunto de modo sintético a
fim de se obter uma visão global do que vamos analisar.
{
DO DO BRASIL
fi – Freqüência absoluta da i-ésima classe
N – Freqüência total.
Cabeçalho
→
ESTADOS
CANDIDATOS
MARANHÃO
h) Freqüências Acumuladas
Freqüência Acumulada Crescente ( ou Freqüência acumulada “abaixo de”, ou Freqüência acumulada “até”)
100
CEARÁ
120
R. G. DO NORTE
que representaremos por F + é a soma das freqüênci-
PARAÍBA
AC
40
110
MINAS GERAIS
as absolutas anteriores de uma determinada classe.
Por exemplo, na tabela acima, a Freqüência acumulada crescente da 3ª classe é a Freqüência acumulada
abaixo de 60 que é 10 + 15 + 50 = 75.
Como a classe é do tipo (40
60) poderíamos falar
em Freqüência acumulada crescente como sendo a Freqüência acumulada até 60, que é: 10 + 15 + 50 = 75.
50
PIAUÍ
80
SÃO PAULO
200
RIO DE JANEIRO
250
R. G. DO SUL
50
TOTAL
Rodapé
→
Corpo
1000
FONTE : CURSO PRÉ-FISCAL
Freqüência Acumulada Decrescente (ou Freqüência acumulada “a partir de”, ou Freqüência acumulada “acima de”)
−
que representaríamos por F
AC
é a soma das freqüências
absolutas acima de determinado valor de classe.
Assim, a Freqüência acumulada decrescente de 3ª classe é a Freqüência acumulada a partir de 40, que dá 75.
Se a classe fosse do tipo (40
60) poderíamos falar
em freqüência acumu-lada decrescente como sendo
freqüência acumulada decrescente acima 40, seria:
50 + 20 + 5 = 75
SÉRIES ESTATÍSTICAS
Chamamos de série estatística ao quadro de distribuição
de dados estatísticas em função da época, do local ou da
espécie do fenômeno.
Sendo assim teremos:
a) série histórica, ou temporal, ou cronológica
Aquela em que a variável é o tempo, permanecendo
fixos o local e a espécie do fenômeno.
Exemplo:
i) Freqüência Relativa ( fr )
É a razão entre a Freqüência absoluta e a Freqüência
total
EXPORTAÇÕES BRASILEIRAS DE CARROS ENTRE
1997-2001
ANOS
f
fr = i
N
ou
fr =
fi
1997
100
∑ fi
1999
200
1999
400
2000
500
2001
300
Portanto, a Freqüência relativa da 4ª classe é
20
VALOR (US$ 1 MILHÃO)
= 0,20 , podemos repre-sentar a Freqüência re-
100
lativa em porcentagem que seria 20% e a somatória da
freqüência absoluta igual a 1ou 100%
FONTE: BANCO DO BRASIL
5
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
b) Série territorial, ou geográfica, ou de localização
Aquela em que a variável é o local, permanecendo fixos o tempo e a espécie do fenômeno.
Exemplo:
Primeiramente veremos a representação gráfica de uma
distribuição de Freqüência.
a) Histograma
EXPORTAÇÕES BRASILEIRAS — 2000
PAÍSES DE DESTINO
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
É a representação gráfica de uma distribuição de Freqüência através de retângulos justapostos de forma
que a área de cada retângulo é proporcional à Freqüência da classe que ele representa e as bases de cada
retângulo iguais às amplitudes das classes que elas
representam.
VALOR (US$ 1 MILHÃO)
ESTADOS UNIDOS
200
CANADÁ
100
ALEMANHA
150
ITÁLIA
100
Exemplo:
INGLATERRA
300
Seja a distribuição de freqüência:
FONTE: BANCO DO BRASIL
FAC+
FAC–
CLASSES
fi
Xi
0 —— 5
10
2,5
10
130
Aquela em que variam as espécies ou categórica do
fenômeno mantendo-se fixos o tempo e o local.
5 —— 6
20
5,5
30
120
6 —— 7
40
6,5
70
100
Exemplo:
7 —— 8
20
7,5
90
60
c) Série categórica, ou específica
REBANHO BRASILEIRO
ESPÉCIE
8 —— 9
10
8,5
100
40
9 —— 10
30
9,5
130
30
QUANTIDADE (1.000 CABEÇAS)
BOVINOS
5.000
SUÍNOS
9.000
OVINOS
2.000
CAPRINOS
1.000
Total
130
Então teremos o histograma:
40
FONTE: MINISTÉRIO DA ECONOMIA
30
d) Série conjugada
Chamamos de séries conjugadas aquelas onde são cruzados 2 (dois) ou mais tipos de séries, podendo ter,
assim, duas ou mais entradas.
20
10
Exemplo:
POPULAÇÃO DE CÃES BRASILEIROS (100 UNIDADES)
UNID. DA FEDERAÇÃO
ANOS
1998 1999 2000 2001
AMAZONAS
100
150
200
90
MARANHÃO
30
400
300
350
-----------------
------
-----
------
------
-----------------
------
-----
------
------
195
------
------
SÃO PAULO
-----------------
------
------ ------
------
-----------------
------
------ ------
------
-----------------
------
------ ------
------
------------------
------
------ ------
------
0
5
6
7
8
9
10
classes
b) Polígono de freqüência
É o gráfico obtido quando se une os pontos médios
das bases superiores dos retângulos de um histograma,
através de segmentos de retas consecutivos
Exemplo:
O polígono de Freqüência no exemplo anterior seria:
40
30
20
FONTE: IBGE
A tabela acima é chamada de dupla entrada, pois podemos consultá-la no sentido horizontal ou no sentido
vertical.
10
0 2,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5
9 9,5 10
classes
6
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
obs: Para finalmente fechar o polígono de Freqüência
devemos unir os pontos do polígono aos pontos médios das classes anterior e posterior supostas, até
atingir os limites e superfícies correspondentes.
c) Ogivas Decrescentes
É o gráfico construído através da freqüência acumulada decrescente.
c) Ogivas Crescentes
É o gráfico construído através da freqüência acumulada crescente.
.
130
130
120
100
100
90
70
60
40
30
30
10
0
5
6
7
8
9
10
classes
0
5
6
7
8
9
10
classes
Obs.: Orgivas Crescentes e Decrescentes se cruzam na
mediana.
7
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
GRÁFICOS DE SÉRIES ESTATÍSTICAS
Anotações:
a) Gráfico de Barras (ou colunas)
São gráficos que utilizam barras horizontais ou verticais
para representar a magnitude dos dados estatísticos.
Exemplo:
Produção de carros 2000 - São Paulo
Espécie
Produção (mil)
Caminhão
Fusca
Gol
BMW
1.000
10.000
4.000
1.000
10.000
4.000
1.000
1.000
Caminhão
Fusca
Gol
BMW
Obs.: Pode também ser feito na vertical.
b) Gráficos Pictóricos
São gráficos que utilizam figuras para representar a
magnitude dos dados.
c) Gráficos de Setores
São gráficos que evidenciam uma parte do todo.
Exemplo:
Aprovados no INSS/2002
Estados
RJ
SP
MG
RS
CE
Aprovados
50
500
150
200
100
Fonte: ESAF
Modo de Calcular:
RJ
1.000 —– 360º
50 —— X
X = 18º
CE
MG
RS
RJ
SP
8
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
3.2.1 –
Capítulo 3
MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS NÃO
AGRUPADOS
MEDIDAS DE POSIÇÃO
3.1 –INTRODUÇÃO
No caso dos dados não estarem agrupados em uma distribuição, teremos a fórmula semelhante à da definição.
Exemplo 1:
As medidas de posição irão nos mostrar como estão concentrados os nossos dados.
Essas medidas dividem-se em medidas de tendência central, que se caracterizam pelo fato dos dados tenderem a
se concentrar em valores centrais, e as medidas conhecidas como separatrizes.
Sendo assim teremos:
Média Aritmética
Medidas de tendência
Central
MEDIDAS
DE
POSIÇÃO
X=
105 + 102 + 108 + 104 + 106 + 107 + 103
7
X=
735
7
X = 105 pães
Mediana
Moda
Mediana
quartis
Separatrizes
Sabendo que a produção de pães diária em uma padaria,
durante uma semana foi, 105, 102, 108, 104, 106, 107 e 103
pães, temos a produção média da semana como:
centis
Exemplo 2:
O número de filhos de 5 funcionários de uma empresa é 1,
9, 2, 8 e 0 filhos, temos que a média de filhos, nesse escritório, é
X=
1+ 9 + 2 + 8 + 0
5
X=
20
5
percentis
Inicialmente veremos as medidas de tendência central.
3.2 –MÉDIA ARITMÉTICA ( X )
Chamamos de média aritmética a razão entre a soma dos
dados assumidos pela variável e o número de dados considerados.
Sendo assim temos:
n
∑ Xi
X=
i =1
n
X = 4 filhos
3.2.2 — DESVIO EM RELAÇÃO À MÉDIA ARITMÉTICA
Chamamos de desvio em relação à média aritmética, ou simplesmente de desvio em relação à média, a diferença entre
cada valor observado da variável e a sua média aritmética.
Isto é,
Sendo X1, X2, X3, ........, Xn, os dados observados da variável e X a respectiva média aritmética,
E os desvios em relação a média como sendo:
d1 = X1 – X
onde: X – média aritmética
Xi – os valores observados da variável
n – número de valores
d2 = X2 – X
d3 = X3 – X
.................
.................
n
Obs: Anotação
∑ X i significa a soma de todos os valo-
i=1
res Xis para i variando de 1 até n. Isto é,
n
∑ X i = X1 + X2 + X3 +...............+ Xn
i=1
Teremos;
dn = X n – X
d i = Xi − X
Onde di é o desvio do i-ésimo dado em relação à média
aritmética.
9
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
Exemplo 3:
Exemplo 5:
Considerando, o exemplo 1, teremos:
Considerando o exemplo 3, temos:
d1 = 0
X1 = 105, X2= 102, X3 = 108, X4 = 104, X5 = 106, X6 = 107, X7 = 103
d 2 = –3
X = 105
d3 = 3
Então:
d 4 = –1
d1 = X1 – X = 105 –105
\
d1 = 0
d5 = 1
d2 = X2 – X = 102 –105
\
d2 = –3
d6 = 2
d3 = X3 – X = 108 –105
\
d3 = 3
d 7 = –2
d4 = X4 – X = 104 –105
\
d4 = –1
7
d5 = X5 – X = 106 –105
\
d5 = 1
d6 = X6 – X = 107 –105
\
d6 = 2
d7 = X7 – X = 103 –105
\
d7 = –2
∑ di = 0
i =1
Exemplo 6:
Considerando o exemplo 4, temos:
Exemplo 4:
d 1 = –3
Considerando o exemplo 2 , temos:
d2 = 5
d 3 = –2
X1 = 1, X2 = 9, X3 = 2, X4 = 8, X5 = 0 e X = 4
d1 = X1 – X
\ d1 = 1 – 4
\
d1 = –3
d2 = X 2 – X
\ d2 = 9 – 4
\
d2 = 5
d3 = X3 – X
\ d3 = 2 – 4
\
d3 = –2
d4 = X 4 – X
\ d4 = 8 – 4
\
d4 = 4
d4 = 4
d 5 = –4
5
∑ di = 0
i =1
2ª. PROPRIEDADE
d5 = X5 – X
\ d5 = 0 – 4
\
–
d5 = 4
Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (K) a todos os valores de uma variável, a nova média aritmética
se altera, fica aumentada (ou diminuida) da constante ( K )
Isto é:
Yi = Xi ± K
3.2.3 – PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA
Se
Salientamos que este ponto é muito freqüente em provas
de concursos públicos.
Exemplo 7:
1ª. PROPRIEDADE
A soma de todos os desvios em relação à média aritmética
é sempre igual a zero.
Isto é:
então
Y=X±K
Suponha que o padeiro do exemplo 1 resolve aumentar a
produção diária da sua padaria em mais 10 pães por dia.
Assim, temos:
X1 = 105, X2 = 102, X3 = 108, X4 = 104, X5 = 106, X6 = 107, X7 = 103
aumentando em 10 pães por dia, teríamos:
∑ di = 0
i =1
∑ (X1 – X) = 0
n
n
OU
i =1
Y1 = 115, Y2 = 112, Y3 = 118, Y4 = 114, Y5 = 116, Y6 = 117, Y7 = 113
Observe que Yi = Xi + 10, logo Y = X + 10 \ Y = 105 + 10
Y = 115 pães
10
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
Exemplo 8:
Suponhamos que cada funcionário do exemplo 2 tivesse
mais 3 filhos, então:
X1 = 1, X2 = 9, X3 = 2, X4 = 8, X5 = 0
3.3.1- CONSIDERE OS DADOS AGRUPADOS EM
Aumentando em mais 3 filhos, cada funcionário, teríamos
Y1 = 4, Y2 = 12, Y3 = 5, Y4 = 11, Y5 = 3
Y = 4+3
\
UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA ABAIXO:
VALORES (Xi)
Observe que Yi = Xi + 3
Logo Y = X + 3 \
3.3 –MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS
AGRUPADOS
Y = 7 filhos
3ª. PROPRIEDADE
Multiplicando-se (ou dividindo-se) por uma constante ( K ),
todos os valores de uma variável, a nova média aritmética
se altera, fica multiplicada (ou dividida) pela constante.
FREQÜÊNCIA ABSOLUTA (fi)
X1
f1
X2
f2
X3
.
.
.
.
f3
.
.
.
.
Xk
fk
K
Isto é:
∑ fi
Total
Se
Se
Yi = K • Xi
Xi
Yi =
K
então
Y =K⋅ X
então
X
Y=
K
(K ¹0)
i=1
Então a média aritmética da distribuição acima terá a seguinte fórmula:
K
∑ Xi fi
Exemplo 9:
X =
Suponha que o padeiro gostaria de dobrar a produção diária de pães, então teríamos:
∑ fi
X1 = 105, X2 = 102, X3 = 108, X4 = 104, X5 = 106, X6 = 107, X7 = 103
dobrando a produção diária, teríamos:
Y1 = 210, Y2 = 204, Y3 = 216, Y4 = 208, Y5 = 212, Y6 = 214, Y7 = 206
Observe que Yi = 2 • Xi
Logo Y = 2 • X
\ Y = 2 • 105 \
Y = 210 pães
Exemplo 10:
Suponhamos que os funcionários do exemplo 2 triplicassem o nº de filhos, daí,
X1 = 1, X2 = 9, X3 = 2, X4 = 8, X5 = 0
i=1
K
i=1
A partir desse ponto iremos suprimir os índices no símbolo de somatório para facilitar a notação, sendo assim,
teremos:
Xi fi
∑
X=
∑ fi
ou
∑ X i fi
N
Exemplo 11:
Consideremos a distribuição do número de filhos de uma
determinada classe de alunos
NÚMEROS DE FILHOS ( Xi )
Triplicando o nº de filhos, teríamos:
X=
ALUNOS ( fi )
Y1 = 3, Y2 = 27, Y3 = 6, Y4 = 24, Y5 = 0
0
5
1
10
Observe que: Yi = 3 • Xi
2
20
3
10
4
5
Total
50
Logo Y = 3 • X
\
Y =2•4
\
Y = 12 filhos
11
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
Então o método mais fácil de se calcular a média é fazer
mais uma coluna Xi fi , isto é:
fi
Xi
Xi fi
0
5
0
1
10
10
2
20
40
3
10
30
4
5
20
50
100
Total
X =
e
∑ Xi ⋅ fi
∑ fi
Classes
L1
f1
l2
L2
f2
L3
f3
.
.
.
.
Lk
fk
.
.
.
.
logo
100
∴ X = 2 filhos
50
Freqüências aparentes ( fi )
l1
l3
∑ fi = 50,
∴ X =
AGRUPADOS ABAIXO CONFORME UMA
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR CLASSE
Então, temos:
∑ Xi fi = 100
3.3.2 - CONSIDEREMOS AGORA OS DADOS
lk
∑ fi
Total
Exemplo 12:
Considere as notas de 100 alunos aprovados em concurso público.
NOTAS ( Xi )
Então a média aritmética para a distribuição de freqüência
em classe acima terá a seguinte fórmula:
X
ALUNOS ( fi )
2
15
4
18
6
47
8
15
9
5
Total
onde Xi — ponto médio da i-ésima classe.
Exemplo 13:
Considere as alturas de 50 indivíduos de uma empresa,
conforme a distribuição abaixo:
100
Alturas (cm)
Então vamos considerar mais uma coluna de Xifi
Xi
fi
Xi fi
2
15
30
4
18
72
6
47
252
8
15
120
9
5
45
100
549
Total
150
160
5
160
170
10
170
180
20
180
190
10
190
200
5
50
Então o método mais fácil é considerar duas colunas, dos
pontos médios ( Xi ) e do produto do ponto médio pela
freqüência absoluta ( Xi fi ), isto é,
Classe
X =
∑
∑ fi
Xi ⋅ fi
e
∑ fi = 100,
∴ X =
Indivíduos ( fi )
Total
Logo:
∑ Xi fi = 549
X i fi
∑
=
∑ fi
logo
549
∴ X = 5,49
100
fi
Xi
Xifi
150
160
5
155
775
160
170
10
165
1.650
170
180
20
175
3.500
180
190
10
185
1.850
190
200
5
195
975
50
X
Total
8.750
12
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
Temos, então:
∑ Xi fi = 8.750
X =
∑ Xi ⋅ fi
∑ fi
∑ fi = 50,
e
∴ X =
8.750
∴
50
Onde X0 é uma constante arbitrária escolhida convenientemente entre os valores dos pontos médios, geralmente
o da classe que possui a maior freqüência. Através da relação acima podemos chegar a seguinte fórmula:
logo
X = 175 cm
X = X0 +
∑ (Yi ⋅ fi )h
∑ fi
Exemplo 14:
Exemplo 15:
Considere os salários de 100 funcionários de uma empresa, conforme a distribuição abaixo:
Salários Mínimos ( S.M.)
Funcionários ( fi )
Vamos considerar o exemplo 13
Alturas (cm)
Indivíduos ( fi )
Xi
0
2
20
150
160
5
155
2
4
40
160
170
10
165
20
170
180
20
175
190
10
185
200
5
195
4
6
6
8
15
180
8
10
5
190
Total
Total
100
Considerando então mais duas colunas, dos pontos médios (Xi ) e do produto do ponto médio pela freqüência absoluta ( Xi fi ), temos:
Classe (SM)
fi
Xi
0
2
20
1
20
2
4
40
3
120
4
6
20
5
100
6
8
15
7
105
8
10
5
9
45
Total
Xifi
100
∑ Xi fi = 390
X =
∑ Xi ⋅ fi
∑ fi
Observando a coluna de pontos médios (Xi), temos que o
ponto médio da classe de maior freqüência é o valor 175,
portanto X0= 175 e h = 10 (intervalo de classe). Logo os
valores de Yi , serão:
Y1 =
Y2 =
Y3 =
e
∑ fi = 100,
∴ X =
X1 − X 0
h
logo
390
100
Y4 =
Y5 =
∴
X 2 − X0
h
390
Temos, então:
50
X3 − X0
h
X 4 − X0
h
X5 − X0
h
Y1 =
∴ Y2 =
∴ Y3 =
∴ Y4 =
∴ Y5 =
155 − 175
10
165 − 175
10
175 − 175
10
185 − 175
10
195 − 175
10
∴ Y1 = −2
∴ Y2 = −1
∴ Y3 = 0
∴ Y4 = 1
∴ Y5 = 2
X = 3,9 salários mínimos
Logo, vamos construir a tabela de cálculos
3.3.3 – PROCESSO BREVE PARA CÁLCULO DA
Classes
MÉDIA ARITMÉTICA
Como geralmente o cálculo da média aritmética em distribuição de freqüência por classe é trabalhoso, inventaram
um processo, que consiste em mudar a variável original X
por outro Y, de modo que obedeça a seguinte relação:
Yi =
Xi − X 0
h
fi
Xi
Yi
Yifi
150
160
5
155
–2
–10
160
170
10
165
–1
–10
170
180
20
175
0
0
180
190
10
185
1
10
190
200
5
195
2
10
Total
50
0
13
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
Temos, então:
∑ Yi ⋅ fi = 0
X 0 = 175
∑ (Yi ⋅ fi )h
X = X0 +
∑ fi
X = X0 +
∑ fi = 50
→ X = 175 +
0
Como : X 0 = 3, h = 2,
50
Temos : X = 3 +
X = 175 cm
X = 3 + 0,9
∴
45 ⋅ 2
100
∑ (Yi ⋅ fi )h
∑ fi
∑ (Yi ⋅ fi ) = 45, ∑ fi = 100
→ X =3+
90
100
X = 3,9 salários mínimos
Exemplo 16:
Consideremos o exemplo 14:
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES SOBRE A MÉDIA ARITMÉTICA
Classe (SM)
fi
Xi
0
2
20
1
2
4
40
3
4
6
20
5
6
8
15
7
8
10
5
9
100
X
Total
1) A média sofre influência de valores extremos (pequenos ou grandes) da distribuição.
2) Quanto à propriedade 1, observe que a soma dos desvios em relação à média aritmética tem a seguinte notação:
Analogamente teremos X0 = 3, h = 2
Y1 =
Y2 =
Y3 =
Y4 =
Y5 =
X1 − X 0
h
X 2 − X0
h
X3 − X0
h
X 4 − X0
h
X5 − X0
h
∴
Y1 =
∴ Y2 =
∴ Y3 =
∴ Y4 =
∴ Y5 =
1− 3
2
3−3
2
5−3
2
7−3
2
9−3
2
∴ Y1 = −1
∴ Y2 = 0
∴ Y3 = 1
∴ Y4 = 2
•
Sdi = 0 ou S (Xi – X ) = 0 para dados não agrupados.
•
Sdifi = 0 ou S (Xi – X )
• fi
= 0 para dados agrupados.
3) O processo breve pode ser usado no caso dos dados
não estarem agrupados em uma distribuição de freqüência por classe, basta fazer h = 1.
4) A média aritmética representa o centro de massa dos
dados.
5) A média aritmética, no caso de dados agrupados, é a
média ponderada pelas freqüências absolutas.
∴ Y5 = 3
Construindo a tabela de cálculo temos:
Classes (SM)
fi
Xi
Yi
Xifi
0
2
20
1
–1
–20
2
4
40
3
0
0
4
6
20
5
1
20
6
8
15
7
2
30
8
10
5
9
3
15
Total
100
45
14
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
Exemplo 20
Capítulo 4
Vamos considerar a distribuição do exemplo 12.
MODA (MO )
Notas (Xi)
Chamamos de moda o valor ou atributo que ocorre com
maior freqüência em uma distribuição.
Por exemplo, a nota modal dos alunos de um concurso é a
nota mais comum, isto é, a nota que a maioria dos alunos
obtiveram.
4.1 - MODA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS
Quando temos série de valores não agrupados, a moda é
facilmente encontrada, pois pela definição, basta encontrar o valor que mais se repete.
Exemplo 17
4, 2, 6, 4, 3, 5, 7, 9, 4, 10, 8, 4, 3, 2, 4
Mo = 4. (unimodal)
Exemplo 18
3, 2, 3, 4, 5, 3, 4, 2, 3, 2, 5, 2.
Neste caso são dois valores (2 e 3) que mais se repetem, e na mesma quantidade.
Portanto, dizemos que a distribuição possui duas modas iguais a 2 e 3, e chamamos de bimodal.
Exemplo 18.1
1, 2, 3, 0, 7, 3, 2, 5, 1, 9, 15
Mo = 1 Mo = 2 Mo = 3 (multimodal)
Exemplo 18.2
2, 0, 1, 3, 4, 15, 7
Não existe Moda (amodal)
2
15
4
18
6
47
8
15
9
5
Observamos que o valor da nota 6 possui a maior freqüência (47), portanto a nota modal é 6.
4.2.2 — MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM
UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
POR CLASSE
Quando os dados estiverem agrupados em distribuição de
freqüência por classe, a moda estará evidentemente na
classe que possui a maior freqüência (classe modal).
Se os dados forem agrupados em classe, perdemos o conhecimento dos dados e os respectivos cálculos da média, da moda e da mediana, nesse caso, fazemos uma
estimativa entre os limites inferiores e superiores da classe da mesma.
No caso da moda, existem 3 métodos de cálculo da moda:
a) MODA BRUTA
4.2 - MODA PARA DADOS AGRUPADOS
4.2.1 –
Alunos ( fi )
Chamaremos de moda bruta ao ponto médio da classe
modal (classe que contém a maior freqüência).
MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM
UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA.
Sendo assim teremos uma fórmula para a moda bruta:
Quando os dados estiverem agrupados em uma distribuição de freqüência de valores, para acharmos a moda basta observar qual é o valor da variável que possui a maior
freqüência.
Exemplo 19
Vamos considerar a distribuição do exemplo 11.
M0 =
onde:
li* —
li*
+ L*
2
limite inferior da classe modal
L* — limite superior da classe modal
Número de filhos (Xi)
Alunos ( fi )
Exemplo 21
0
5
1
10
2
20
Alturas (cm)
3
10
150
160
5
160
170
10
170
180
20
180
190
10
190
200
5
4
5
Observamos que o valor 2 filhos possui a maior freqüência
(20), logo a moda é 2 filhos
Vamos considerar a distribuição do exemplo 13
Indivíduos (fi)
15
PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - [email protected]
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
Temos que a classe modal é a classe 170
180, logo
li* = 170 e L* = 180 e a moda bruta será:
li* + L*
M0 =
2
→ M0 =
170 + 180
∴ M 0 = 175 cm
2
Exemplo 22
Vamos considerar a distribuição do exemplo 14
Salários Mínimos (SM)
Funcionários (fi)
0
2
20
2
4
40
4
6
20
6
8
15
8
10
5
logo, classe modal: 2
Moda bruta: M0 =
4
li* = 2
Então, temos:
Classe modal: 170
li* = 170,
h* = 180 –170 = 10
fmax = 20,
fant = 10
fpos=10
logo:
M0 = li* +
M0 = 170 +
M0 = 170 +
L* = 4
2+4
∴ M0 = 3 salários mínimos
2
180
[ f max
− f ant ]⋅ h*
[ f max − f ant ] + [f max
[ 20 − 10 ]⋅ 10
[ 20 − 10 ] + [ 20 − 10 ]
− f post
]
10 ⋅ 10
→ M0 = 170 + 5 ∴ M 0 = 175 cm
10 + 10
Exemplo 24
Vamos considerar a distribuição do exemplo 14
b) MODA DE CZUBER
Salários Mínimos (SM)
Trata-se que uma estimativa, na classe modal, através de
uma regra de três, que resulta na seguinte fórmula:
l
M 0 = i* +
[ f max − f ant ]⋅ h*
[ f max − f ant ] + [f max − f post ]
0
2
20
2
4
40
4
6
20
6
8
15
8
10
5
Classe modal: 2
onde:
li*
– é o limite inferior da classe modal
fmax – é a freqüência absoluta máxima (freqüência de
classe modal)
fant – é a freqüência absoluta anterior à classe
modal
fpost – é a freqüência posterior à classe modal
h*
h* = 4 – 2 = 2
fmax = 40
fant = 20
fpost
= 20
M0 = li* +
Vamos considerar a distribuição do exemplo 13.
Alturas (cm)
Indivíduos (fi)
150
160
5
160
170
10
170
180
20
180
190
10
190
200
5
4
li* = 2
– intervalo da classe modal
Exemplo 23
Funcionários (fi)
M0 = 2 +
[ f max
− f ant ]⋅ h*
[ f max − f ant ] + [f max
[ 40 − 20 ] ⋅ 2
[ 40 − 20 ] + [ 40 − 20 ]
− f post
]
M 0 = 3 salários mínimos
16
PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - [email protected]
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
c) MODA DE KING
b) MODA CZUBER
A fórmula da moda de King é também uma estimativa na
classe modal, mas não considera a freqüência absoluta
da classe modal.
*
M0 = l i +
freqüências
A
f post ⋅ h*
B
D
C
f ant + f post
Exemplo 25
li*
Considerando os dados do exemplo 13 temos:
li* = 170
fant = 10
fpost = 10
M0 = 170 +
Classes
Moda de Czuber
Para achar a moda de Czuber no histograma acima, basta
descer uma perpendicular, a partir da intersecção dos segmentos AD e CB, ao eixo horizontal das classes.
h* = 10
M0 = li* +
L*
c) MODA DE KING
f post ⋅ h*
freqüências
f ant + f post
A
10 ⋅ 10
∴ M0 = 175 cm
10 + 10
B
D
D`
C
4.3. DETERMINAÇÃO GRÁFICA DA MODA
li*
Podemos determinar graficamente a posição da moda no
histograma da distribuição de freqüência absoluta, como
veremos a seguir.
Classes
L*
C´
a) MODA BRUTA
Moda de King
Para achar a moda de King no histograma acima, basta
unir os pontos D’C’ e verificar a intersecção com o eixo
freqüências
horizontal, onde D’
A
B
li* = DL* e
L*C’= C
li*
4.4. A MODA NA CURVA DE FREQÜÊNCIA.
Na curva de freqüência, a moda será o valor que
corresponde, no eixo horizontal, ao ponto de freqüência
máxima (vertical).
f
li*↑L*
classes
UNIMODAL
(UMA MODA)
Moda bruta (Mo)
Para achar a moda bruta no histograma acima basta descer uma perpendicular, a partir do ponto médio do segmento AB, ao eixo horizontal das classes.
Mo
x
17
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
f
Capítulo 5
MEDIANA (MD)
BIMODAL
(DUAS MODAS)
---
A mediana é outra medida de posição, que representa o
valor que divide a distribuição em dois conjuntos com o
mesmo número de elementos.
M01
M02
x
5.1. MEDIANA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS
X = Md
A definição é bem clara e fácil de ser interpretada no caso
de dados não agrupados.
Exemplo 26
MULTIMODAL
Dado a série de valores
4, 12, 10, 3, 15, 5, 14, 8, 7
Mo1
Mo2
Mo3
x
X = Md
f
ANTIMODAL ou AMODAL
a mediana será fácil de ser identificada após encontrarmos o Rol.
Rol: 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15.
Agora veremos qual é o valor central que divide a distribuição de forma que tenha o mesmo nº de elementos à esquerda e à direita desse valor.
Logo a mediana é 8 (Md = 8), pois temos quatros valores
abaixo de 8 e quatro valores acima de 8.
Observe que no exemplo acima havia 9 valores, e nove é
um número ímpar.
x
OBS.:
1. Em uma distribuição simétrica e unimodal a Média Aritmética é igual a moda e igual a Mediana.
2. Em uma distribuição simétrica e bimodal apenas a
Média Artimética e a Mediana são iguais.
3. Em uma distribuição simétrica e multimodal a Média
Artimética e a Mediana são iguais e coincidem apenas
como uma das modas.
Portanto, se o rol tem um número ímpar de dados a mediana será justamente o termo central.
Se, porém, houvesse um número par de dados, a mediana, seria então valor entre os dois termos centrais, e por
convenção adotamos a mediana como sendo a média aritmética entre os dois termos centrais.
Exemplo 27
Dada a série de valores
6, 4, 10, 5, 12, 3, 20, 7
Existem 8 dados, como o número de dados é par, existem
dois termos centrais no Rol.
Rol: 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 20
↑↑
termos centrais
Logo a mediana será:
Md =
6+7
2
Md = 6,5
18
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
RESUMINDO
•
Nota
Se a série possui n elementos teremos:
Se n for ímpar, existe um termo central no rol e
este termo central do rol será justamente a
mediana, que será calculada como sendo o
a)
n +1
termo de ordem
do rol.
2
b)
Se n for par, existem dos termos centrais no rol,
e a mediana será a média aritmética entre esses
termos centrais, que será calculado como sendo
a média aritmética entre os termos de ordem
freqüência
freq. Acum.
6
10
10
7
15
25
8
2
27
9
14
41
10
10
51
TOTAL
51
X
Observamos então, na coluna de freqüência acumulada,
que o 26º elemento do rol é 8, logo Md = 8.
Se a freqüência total (N) fosse par, procederíamos da seguinte forma,
n
n
e
+1
2
2
Portanto no exemplo 26, temos n = 9 (ímpar), logo, a
Exemplo 29
Nº de aprovados em um
concurso, por nota
⎛ n +1 ⎞
mediana será o 5º termo do rol ⎜ 2 ⎟ , isto é, Md = 5º
⎝
⎠
termo do rol = 8.
Nota
Aprovados
No exemplo 27, termos n = 8 (par), logo a mediana será a
6
10
⎞º
+ 1⎟⎟
⎠
7
15
8
1
9
14
10
10
TOTAL
50
média aritmética entre o 4º e 5º termo do rol
⎛
⎜
⎜
⎝
n
2
⎞º
⎟ e
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎝
n
2
6+7
Md =
= 6,5
2
5.2. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
5.2.1.
MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM
UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
POR VALOR
Nota
Vamos ver esta situação através de um exemplo.
Exemplo 28
Nº DE APROVADOS EM UM
CONCURSO, POR NOTAS
NOTA
Como a freqüência total (N) é 50, existem dois termos centrais (25º e 26º), logo construindo a freqüência acumulada
teríamos.
APROVADOS
6
10
7
15
8
2
9
14
10
10
TOTAL
51
Seja N a freqüência total N =
freqüência
freq. Acum.
6
10
10
7
15
25
8
1
26
9
14
40
10
10
50
TOTAL
50
X
Logo, a mediana será a média aritmética entre os termos
de ordem
⎛ N ⎞
⎛ N
⎞
25º ⎜
+ 1 ⎟ , isto é,
⎟ e 26º ⎜
⎝ 2 ⎠
⎝ 2
⎠
∑ f i , portanto N = 51 apro-
vados, isto é, existem 51 dados, como 51 é ímpar existe
⎛ N+1
um termo central, que é o termo de ordem 26 ⎜
⎝ 2
⎞
⎟,
⎠
Md =
7+8
2
Md = 7,5
no rol. Para ser fácil a identificação dele vamos construir a
freqüência acumulada crescente.
19
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5.2.2.
MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
POR CLASSE
N
= 25 , então a classe que contém a
2
Daí, N = 50 \
mediana será a classe 170
Quando temos os dados agrupados em uma distribuição
de freqüência por classe, teremos que determinar qual será
o ponto do intervalo de classe em que está compreendida
a mediana. Logo, precisamos achar qual a classe que contém a mediana.
Evidentemente a classe que contém a mediana será a que
corresponde a freqüência acumulada imediatamente su-
⎛ N ⎞
⎟.
⎝ 2 ⎠
perior a ⎜
h* = 10
F
f* = 20
Md = l i* +
AC . ANT
⎡N
⎤
⎢⎣ 2 – FAC ⋅ ANT ⎥⎦
f*
Md = 170 + 5
∴
= 15
→ Md = 170 +
[ 25 – 15 ] ⋅ 10
20
Md = 175 cm
Exemplo 31
Tudo que foi dito acima está considerado na fórmula abaixo:
Considerando os dados do exemplo 14 temos:
Salários minímos (SM)
Md = l i* +
Funcionários
⎡N
⎤
⎢⎣ 2 – FAC.ANT ⎥⎦ ⋅ h *
0 |—––– 2
20
2 |—––– 4
40
f*
4 |—––– 6
20
6 |—––– 8
15
8 |—––– 10
5
Onde:
l * – é o limite inferior da classe que contém a mediana
i
h* –
f* –
N –
li* = 170
180, logo,
o intervalo da classe que contém a mediana
a freqüência absoluta da classe que contém a mediana
Freqüência total
FAC.ANT – Freqüência acumulada crescente anterior à classe
que contém a mediana.
TOTAL
100
Primeiramente precisamos fazer a freqüência acumulada
crescente
Salários minímos (SM) Funcionários Freq. Acum.
0 |—––– 2
20
20
Exemplo 30
2 |—––– 4
40
60
Considerando o exemplo 13
4 |—––– 6
20
80
6 |—––– 8
15
95
8 |—––– 10
5
100
Altura (Cm)
Indivíduo (fi)
150
160
5
160
170
10
170
180
20
180
190
10
190
200
5
TOTAL
TOTAL
Daí, N =100 ∴
FAC . ANT = 20
Ìndivíduo (fi)
Freq. Acum.
150
160
5
5
160
170
10
15
170
180
20
35
180
190
10
45
190
200
5
50
50
X
TOTAL
X
N
= 50 , e então a classe que contém a
2
mediana será a classe 2
50
Primeiramente precisamos fazer a freqüência acumulada
crescente.
Alturas (Cm)
100
4, logo,
li* = 2 h* = 2 f* = 40
⎡N
⎤ *
⎢⎣ 2 – FAC.ANT ⎥⎦ ⋅ h
Md = l i* +
f*
Md = 2 +
Md = 2 +
[50 – 20 ] ⋅ 2
40
60
∴
40
Md = 3,5 salários mínimos
20
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5.3. RELAÇÃO ENTRE A MÉDIA ARITMÉTICA,
MEDIANA E MODA
Capítulo 6
SEPARATRIZES
Quando a distribuição for unimodal, isto é, a moda for única teremos a seguinte situação.
a) DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA
6.1. QUARTIS (Q)
Chamamos de quartis os valores que dividem a distribuição em quatro partes iguais.
X = Md = Mo
Logo, teremos três quartis:
Primeiro quartil ( Q1 ) será o valor que terá 25% dos dados à sua esquerda e 75% dos dados à sua direita.
Isto é,
SE A DISTRIBUIÇÃO É SIMÉTRICA E UNIMODAL
ENTÃO:
X = Md = Mo
Segundo quartil ( Q2 ) será o valor que terá 50% dos
dados à sua esquerda e 50% dos dados à sua direita. Portanto o segundo quartil é a própria mediana.
Terceiro quartil ( Q3 ) será o valor que terá 75% dos dados à sua esquerda e 25% dos dados à sua direita logo.
b) DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA NEGATIVA
25%
25%
Q1
25%
Q2
25%
Q3
X < Md < Mo
Isto é,
Para calcular os quartil, basta, na fórmula da mediana,
SE A DISTRIBUIÇÃO É ASSIMÉTRICA NEGATIVA
E UNIMODAL ENTÃO:
substituir o
X < Md < Mo
c) DISTRIBUIÇÃO É ASSIMÉTRICA POSITIVA
Q
K
KN
N
por
2
4
= l i* +
⎤
⎡ KN
⎢⎣ 4 – FAC.ANT ⎥⎦ ⋅ h*
f*
onde K = 1, 2, 3, daí teremos:
⎡
⎤ *
⋅h
–F
AC.ANT ⎥⎦
* ⎢⎣ 4
Q1 = l +
i
f*
N
Mo < Md < X
Isto é,
SE A DISTRIBUIÇÃO É ASSIMÉTRICA POSITIVA
E UNIMODAL ENTÃO:
Mo < Md < X
⎡N
⎤ *
⎢⎣ 2 – FAC.ANT ⎥⎦ ⋅ h
*
Q =l +
i
2
f*
⎡ 3N
⎤ *
⎢⎣ 4 – FAC.ANT ⎥⎦ ⋅ h
*
Q =l +
i
3
f*
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Exemplo 32
Considerando os dados do exemplo 14
Salários minímos (SM)
Funcionários
Freq. Acum.
0
2
20
20
2
4
40
60
4
6
20
80
6
8
15
95
8
10
5
100
100
X
TOTAL
Q3 = 4 +
Q3 = 4 +
KN
100
=
= 25.
4
4
li* = 2
4. daí,
Q 1 = li* +
Q1 = 2 +
h* = 2
f* = 40
F
AC . ANT
= 20
6.2. DECIS (D)
Chamamos de decis os valores que dividem a distribuição
em dez partes iguais.
O primeiro decil ( D1 ) será o valor que terá 10% dos dados
à sua esquerda e 90% dos dados à sua direita.
[ 25 – 20 ] ⋅ 2
40
O segundo decil ( D2 ) será o valor que terá 20% dos dados à sua esquerda e 80% dos dados à sua direita.
Q1 = 2,25 salários mínimos
O terceiro decil ( D3 ) será o valor que terá 30% dos dados
à sua esquerda e 70% dos dados à sua direita e assim por
diante até ...
N
100
=
= 50
2
2
∴
Logo, a classe que contém o primeiro quartil será a classe
4. daí,
Q 2 = li* +
Q2 = 2+
li* = 2
h* = 2
= 20
f* = 40 F
AC . ANT
⎡N
⎤ *
⎢⎣ 2 – FAC . ANT ⎥⎦ ⋅ h
Nono decil ( D9 ) será o valor que terá 90% dos dados à
sua esquerda e 10% dos dados à sua direita.
10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10%
D 1 D 2 D3 D4 D5 D 6
D7
D8
D9
f*
obs:
[50 – 20 ]⋅ 2
Q2 = 2 + 1,5
40
logo:
D
K
KN
3 × 100
K=3 ∴
=
= 75
4
4
logo, a classe que contém o terceiro quartil será a classe
6. daí,
Note que o quinto decil ( D5 ), pela definição, coincide
com a mediana.
\ Q2 = 3,5 salários mínimos
Cálculo do terceiro quartil (Q3)
4
30
20
Logo, teremos nove decis:
f*
Cálculo do segundo quartil (Q2)
2
20
Obs.: A Mediana será sempre igual ao 2º quartil.
⎡N
⎤ *
⎢⎣ 4 – FAC . ANT ⎥⎦ ⋅ h
Q1 = 2 + 0,25 \
K=2
[75 – 60 ] ⋅ 2
Q3 = 5,5 salários mínimos
Logo, a classe que contém o primeiro quartil será a classe
2
f*
Q3 = 4 + 1,5
Cálculo do primeiro quartil (Q1):
K =1 ∴
Q 3 = l i* +
⎡ 3N
⎤ *
⎢⎣ 4 – FAC . ANT ⎥⎦ ⋅ h
li* = 4
h* = 2 f* = 20
F
AC . ANT
= 20
= l*+
i
⎡ KN
⎤
–F
⎢⎣
⎥⎦ ⋅ h*
AC.ANT
10
f*
Para calcular os decis basta substituir na fórmula da mediana o
N
KN
por
.
2
10
22
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Exemplo 33
Salários minímos (SM)
Funcionários
Freq. Acum.
0
2
20
20
2
4
40
60
4
6
20
80
6
8
15
95
8
10
5
100
100
X
TOTAL
K
Salários minímos (SM)
KN
9 × 100
K=9 ∴
=
= 90
10
10
Logo, a classe que contém o nono decil será a classe
8, daí:
li* = 6
h* = 2
f* = 15
F
AC . ANT
[90 – 80 ]⋅ 2
15
D9 = 6 + 1,33
\
∴
D9 = 6 +
Freq. Acum.
0
2
20
20
2
4
40
60
4
6
20
80
6
8
15
95
8
10
5
100
100
X
Vamos calcular, por exemplo, o qüinquagésimo quinto
percentil ( P55 )
K = 55 ∴
20
15
D9 = 7,33 salários mínimos
Obs.: A Mediana será sempre igual ao 5º decil.
6.3. PERCENTIS (P)
KN
55 × 100
=
= 55
100
100
Logo, a classe que contém o qüinquagésimo quinto
percentil será a classe 2
F
AC . ANT
4, daí:
= 20
li* = 2
h* = 2 f* = 40
⎡
⎤
– F AC . ANT . ⎥ ⋅ h*
⎦
* ⎢⎣ 100
P55 = li +
*
55 N
Chamamos de percentis os valores que dividem a distribuição em cem partes iguais.
Logo, teremos noventa e nove percentis:
O primeiro percentil (P1) será o valor que terá 1% dos dados à sua esquerda e 99% dos dados à sua direita.
O segundo percentil (P2) será o valor que terá 2% dos dados à sua esquerda e 98% dos dados à sua direita.
E assim por diante até o Nonagésimo nono percentil (P99)
que será o valor que terá 99% dos dados à sua esquerda e
1% dos dados à sua direita.
Obs: Note que o quinquagésimo percentil (P50), pela definição, coincide com a mediana.
Logo:
1% 1% 1% 1%
P 1 P2
P3
P4
Funcionários
TOTAL
= 80
⎡ 9N
⎤ *
⎢⎣ 10 – FAC . ANT ⎥⎦ ⋅ h
D 9 = l i* +
f*
D9 = 6 +
f*
Exemplo 34
Calcular o nono decil ( D9 )
6
= l i* +
P
⎡ KN
⎤ *
⎢⎣ 100 – FAC.ANT ⎥⎦ ⋅ h
f
P55 = 2 +
P55 = 2 +
[55 – 20 ] ⋅ 2
40
70
40
∴
P55 = 2 + 1, 75
P55= 3,75 salários mínimos
Obs.: A Mediana será sempre igual 50º percentil.
Portanto:
Q 2 = D 5 = P 50 = Md
1% 1%
P8
P99
Para calcular o percentil basta substituir na fórmula da
mediana o
N
KN
por
2
100
23
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
Capítulo 7
G=
OUTRAS MÉDIAS
G=
7.1. MÉDIA GEOMÉTRICA (G)
7.1.1.
17
17
1 ⋅ 16 ⋅ 243 ⋅ 4096
15925248 ∴ G = 2,65
7.2. MÉDIA HARMÔNICA (H)
MÉDIA GEOMÉTRICA PARA DADOS NÃO
É o inverso da média aritmética dos inversos dos dados.
AGRUPADOS
Sejam X1, X2, X3, ..., Xn dados não agrupados, então a
média geométrica será
G=n
X 1 ⋅ X 2 ⋅ X 3 ⋅ LL X n
7.2.1.
MÉDIA HARMÔNICA PARA DADOS NÃO
AGRUPADOS
Sejam X1, X2, X3, ........., Xn, dados não agrupados. Então
a média hamônica será:
n
H=
n
∑ X1i
Exemplo 1
Calcular a média geométrica dos dados: 2, 8, 4, 16, 1.
G=
G=
G=
i =1
Exemplo 4
5
2 ⋅ 8 ⋅ 4 ⋅ 16 ⋅ 1 ∴
5
Calcule a média harmônica dos dados: 2, 3, 4, 1.
H=
21 ⋅ 2 3 ⋅ 2 2 ⋅ 2 4 ⋅ 2 0 ∴
5
2 10
G = 22
∴
H=
G=4
2⋅6⋅8
→
3
G=
96
\ G = 4,5
AGRUPADOS
G=
X
f1
1
4
6 + 4 + 3 + 12
12
H = 1,92
MÉDIA HARMÔNICA PARA DADOS
N
H=
K
f
∑ Xii
MÉDIA GEOMÉTRICA PARA DADOS
N
H=
∴
Observe que é necessário o uso de máquina de calcular.
7.1.2.
∴
AGRUPADOS
Calcular a média geométrica de 2,6,8.
3
4 × 12
25
7.2.2.
Exemplo 2
G=
4
1
1
1
+
+
+1
2
3
4
i=1
Exemplo 5
f2
⋅ X2
⋅ LL X
fK
K
Exemplo 3
Calcular a média geométrica
Xi
fi
f
X i
i
1
2
3
2
4
5
1
16
243
4
6
4.096
TOTAL
17
H=
Xi
fi
1
2
1
Xi
fi
Xi
1
2
2
4
0,5
2
3
6
0,33
2
4
5
0,25
1,25
TOTAL
17
N
fi
∑ Xi
→ H=
7,25
17
∴
7 , 25
H = 2,34
Observação importante: H ≤ G ≤ X
24
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Exemplos:
Capítulo 8
a) X: 10, 10, 10, 10, 10
MEDIDAS DE DISPERSÃO
OU DE VARIABILIDADE
AT = 10 - 10
AT = 0
(Dispersão nula)
b) Y: 8, 9, 10, 11, 12
8.1. DISPERSÃO OU VARIABILIDADE
Já aprendemos que um conjunto de dados pode ser resumido a alguns parâmetros de posição, como: a média aritmética, a mediana e a moda, que através de suas características resumem informações importantes sobre todo o
conjunto.
AT = 12 - 8
AT = 4
c) Z: 2, 3, 10, 15, 20
AT = 20 - 2
AT = 18
Porém não é o bastante para as medidas de posições,
representarem os dados, pois faltaria a idéia de concentração (grau de homogeneidade ou heterogeneidade) que
existem entre os dados do conjunto.
Observamos, então, que a maior dispersão é da variável
Z (AT = 18), e a menor dispersão é da variável X (AT = 0).
Por exemplo:
8.2.2.
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA.
X: 10, 10, 10, 10, 10
Y: 8, 9, 10, 11, 12
AT = XMax – XMin
Z: 2, 3, 10, 15, 20
observamos que as médias X, Y e Z são
X = 10 , Y = 10 ,
PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA
Exemplo:
Z = 10
Notamos então, que apesar das três variáveis X, Y, Z terem
a mesma média aritmética, o conjunto X é o mais homogêneo, pois todos os valores são iguais a 10. Prosseguindo
então, o conjunto Y é mais heterogêneo que o X, isto é, os
dados do conjunto Y são mais dispersos (tem maior dispersão ou variabilidade) que os dados da variável X.
Daí, temos que, a dispersão de Z é maior que a dispersão
de Y, que é mais disperso que X.
Xi
fi
0
1
2
3
4
5
8
10
15
20
AT = 4 – 0
AT = 4
8.2.3.
PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR
Outro exemplo característico é aquele em que dois indivíduos saem para jantar e, um deles come um leitão inteiro
e o outro não come nada. Em média os dois comeram a
metade do leitão, cada um. Observe que nesse caso a
média aritmética não caracteriza, sozinha a situação, pois
a dispersão nesta situação é alta. Sendo assim os dois
indivíduos morreriam, um de fome e outro de indigestão.
Concluímos então que para caracterizar os dados precisamos simultaneamente das medidas de posição e das medidas de dispersão que estudaremos a seguir.
8.2. AMPLITUDE TOTAL
8.2.1.
DADOS NÃO AGRUPADOS
Chamamos de amplitude total (AT) a diferença entre o
maior e menor valor dos dados
AT = XMAX – XMIN
CLASSE
A amplitude total é a diferença entre o maior limite superior
e o menor limite inferior.
AT = LMAX–
lMIN
Classes
Freq.
Exemplo:
0
2
4
6
2
4
6
8
10
20
30
40
AT = 8 – 0
AT = 8
OBS: A amplitude total não é uma medida conveniente
de dispersão, pois considera somente os valores
extremos da distribuição. Portanto sua aplicação é
limitada.
25
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
8.3. VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
PROPRIEDADES
No tópico anterior vimos que a amplitude total sofre influência apenas dos valores extremos, por isso procuramos
uma medida de dispersão que considere todos os dados.
a) Quando somamos (ou subtraímos) a todos os nossos
dados uma constante (k), a variância não se altera,
continua a mesma.
A variância é uma medida de dispersão que considera o
quadrado dos desvios em torno da média aritmética.
Assim teremos:
b) Quando somamos (ou subtraímos) a todos os nossos
dados uma constante (K), o desvio padrão não se altera, continua o mesmo.
2
∑ (X i – X )
n
σ2
=
c) Quando multiplicamos (ou dividimos) todos os nossos
dados por uma constante (k), a nova variância se altera, fica multiplicada (ou dividida) pelo quadrado da constante.
i =1
n
Isto é,
A variância é a média aritmética dos quadrados dos
desvios em torno da média aritmética.
Obs:
d) Quando multiplicamos (ou dividimos) todos os nossos
dados por uma constante (K), o novo desvio padrão se
altera, fica multiplicado (ou dividido) pelo valor absoluto da constante.
8.3.1.
PARA DADOS NÃO AGRUPADOS
a) É fácil mostrar que:
∑ (X i – X )
n
2
n
=
i=1
∑ Xi
2
– nX
VARIÂNCIA ⎛⎜ σ
⎝
2
i=1
Portanto podemos escrever a variância como:
n
σ
2
∑ X2i
=
i =1
n
2
– X
Fórmula prática
b) Quando queremos estimar a variância através de uma
amostra, consideramos como estimador não tendencioso da variância a estatística
∑ (X 1 – X )
n
S
2
=
n–1
2
∑ (X i – X )
n
n
2
∑ (X i – X )
n
σ2 =
i =1
(1)
n
ou
n
∑ X i2
σ2 =
i =1
– X
n
2
(2)
DESVIO PADRÃO ( σ )
i =1
Por isso, se criou a medida chamada de desvio padrão
(σ), como sendo a raiz quadrada do desvio padrão.
i =1
⎟
⎠
2
É fácil observar que se a variância considera o quadrado
dos desvios em torno da média, a sua unidade é o quadrado da unidade original.
σ=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
2 ⎞
n
∑
ou σ =
X
i =1
n
2
– X
2
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
2
∑ (X i – X )
n
σ=
i=1
(3)
n
ou
n
∑ X i2
σ=
i =1
n
– X
2
(4)
26
PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - [email protected]
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
Exemplo:
8.3.2.
PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
Vamos aplicar as duas fórmulas para exemplificar.
Seja a variável X: 0, 2, 4, 6, 8
⎧
⎪ X = 0+2+4+6+8
⎪
5
X: 0, 2, 4, 6, 8
⎪⎪
20
→⎨
desvios: -4, -2, 0, 2, 4
X =
⎪
5
desvio quadrado: 16, 4, 0, 4, 16 ⎪
⎪X =4
⎩⎪
Pela fórmula 1
2
∑ (Xi – X )
2
VARIÂNCIA (σ )
∑ (X i – X )
n
σ
2
=
2
i =1
σ =
σ2 =
i =1
n
40
5
ou
n
∑ X i fi
16 + 4 + 0 + 4 + 16
=
5
σ2
σ2 = 8
∴
Onde N =
Pela fórmula 2
X =
∑ X1
n
Xi
X i2
0
0
2
4
4
16
6
36
8
64
20
120
20
=4
5
σ
2
σ
2
σ
2
=
=
n
2
(Freqüência Total)
Xi
fi
0
10
2
20
4
40
6
20
8
10
100
1ª solução: – Primeiramente calculamos a média aritmética.
– X
= 24 – 16 ∴
σ
2
Xi
fi
0
10
0
2
20
40
4
40
160
6
20
120
8
10
80
Total
100
400
=8
Para calcular o desvio padrão basta saber que o desvio
padrão é a raiz quadrada da variância, daí
∴
N
– X
2
120
2
–4
5
8
i =1
Exemplo:
2
Logo, vimos que a variância ( σ ) é 8.
σ=
2
Vamos calcular a variância usando as duas fórmulas, para
exemplificar
n
∑ X2i
i =1
∑ fi
=
Total
=
i
N
n
2
⋅f
σ = 2,83
X =
∑ Xi f i
N
=
400
100
fiXi
∴
X =4
27
PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - [email protected]
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
Prosseguimos, no cálculo dos desvios e seus quadrados
Xi
0
10
–4
2
20
4
40
6
PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR CLASSE
(X i – X )2 (X i – X )2 fi
Xi – X
fi
8.3.3.
16
160
–2
4
80
0
0
0
20
2
4
80
8
10
4
16
160
Total
100
( )
2
VARIÂNCIA σ
∑ (X i – X ) ⋅ f i
n
σ2
480
2
∑ (X i – X ) ⋅ f i
2
i =1
=
N
n
σ2 =
ou
i =1
480
∴ σ 2 = 4,8
100
→ σ2 =
N
n
∑ X i fi
2ª solução: Como já calculamos a média aritmética, temos:
2
Xi fi
Xi
f
i
2
Xi
0
10
0
0
2
20
4
80
4
40
16
640
6
20
36
720
8
10
64
640
Total
100
2080
σ2 =
onde: N =
σ
N
2
Xi f i
i =1
N
= 20 , 8 – 16
2
– X
∴
→ σ2 =
σ
2
Considere as alturas de 50 alunos de uma turma, conforme a distribuição abaixo:
2080
– ( 4 )2
100
Para o cálculo do desvio padrão temos:
σ=
2
⋅f
i =1
i
160
5
160
170
10
170
180
20
180
190
10
190
200
5
ou
n
∑ X i fi
σ=
2
i =1
N
– X
2
4,8
∴
σ = 2,19
Alunos
Xi
Xi fi
150
160
5
155
775
160
170
10
165
1650
170
180
20
175
3500
180
190
10
185
1850
190
200
5
195
975
Total
Para calcular o desvio padrão basta achar a raiz quadrada
da variância
σ=
50
Para exemplificar vamos resolver pelas duas fórmulas.
Primeiramente vamos calcular a média aritmética.
Alturas
N
Alunos
150
Total
∑ (X i – X )
2
Exemplo:
= 4,8
n
– X
Xi — ponto médio da i-ésima classe
Alturas (cm)
∑
2
i =1
∑ f i — (Freqüência Total)
n
σ2 =
2
X =
∑ X i fi
N
50
=
8750
8750
∴ X = 175 cm
50
28
PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - [email protected]
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
1ª solução:
8.3.4.
PROCESSO BREVE PARA CÁLCULOS
DO DESVIO PADRÃO
Prosseguimos no cálculo dos desvios e seus quadrados.
Xi – X
Altura (cm) Alunos Xi
(X i – X )2 (X i – X )2 fi
Analogamente ao cálculo do processo breve para a média
aritmética, mudamos a variáveis x por y tal que
150
160
5
155
–20
400
2000
160
170
10
165
–10
100
1000
170
180
20
175
0
0
0
180
190
10
185
10
100
1000
onde: Xo –
190
200
5
195
20
400
2000
h –
Total
50
6000
2
∑ (X i – X ) f i
n
σ
2
=
=
N
6000
2
∴ σ = 120 cm
50
2ª solução:
Altura (cm)
Alunos
2
150
160
5
155
–2
–10
4
20
160
170
10
165
–1
–10
1
10
180
190
10
185
1
10
1
10
190
200
5
195
2
10
4
20
165
27.225
272.250
170
180
20
175
30.625
612.500
180
190
10
185
34.225
342.250
190
200
5
195
38.025
190.125
50
Total
50
n
∑
1.537.250
σ=h
1.537.250
– (175 ) 2
50
i =1
f Y2
i i
N
σ 2 = 30.745 – 30.625 ∴ σ 2 = 120 cm
Para o cálculo do desvio padrão temos:
∑ (X i – X )
n
σ=
2
f i Yi2
0
10
N
Yi2
0
170
→ σ2 =
f i Yi
0
160
2
Yi
0
120.125
– X
Xi
175
24.025
∑
Alunos
20
155
σ2 =
Alturas (cm)
180
5
2
i i
Xo = 175cm
170
160
X f
intervalo de classe
X i fi
150
Total
é um valor arbitrário
2
Xi
Xi
h
No exemplo anterior teríamos:
h = 10
i =1
Xi – Xo
y=
⋅f
1=1
i
N
⎛ n
⎜
f Y
⎜
i i
⎜ i =1
–⎜
N
⎜
⎜⎜
⎝
∑
σ = 10
60 ⎛ 0 ⎞
–⎜
⎟
50 ⎝ 50 ⎠
σ = 10
60
50
σ = 10 1, 20
0
∴
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
60
2
2
σ = 10,95 cm
ou
n
∑ X i fi
σ=
2
i =1
N
– X
2
Mas para calcular o desvio padrão basta achar a raiz quadrada da variância.
σ=
120 ∴ σ = 10,95 cm
29
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - [email protected]
Anotações:
30
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - [email protected]
CAPÍTULO 9 - TESTES DE ESTATÍSTICA
TESTE 1
Calcule a Média Aritmética dos números: 5, 9, 7, 1, 3.
a) 5
b) 4
c) 6
d) 7
e) 8
TESTE 6
Calcule a Média Geométrica dos números: 1, 9, 1, 3,
27, 9,3, 3, 1, 1.
a) 9
b) 1
c) 3
d) 6
e) 8
TESTE 2
TESTE 7
Calcule a Média Aritmética dos números: 8, 2, 4, 6, 0.
a) 4
b) 2
c) 3
d) 5
e) 6
Calcule a Média Harmônica dos números: 2, 4, 6, 8.
a) 3,84
b) 3,48
c) 4,83
d) 4,38
e) 8,43
TESTE 3
TESTE 8
Calcule a Média Aritmética dos números: 17, 15, 1, 3,
7, 6, 8, 11, 13.
a) 9
b) 8
c) 7
d) 6
e) 5
TESTE 4
Calcule a Média Geométrica dos números: 1, 3, 6, 72.
a) 6
b) 5
c) 3
d) 7
e) 4
Calcule a Média Geométrica dos números: 2, 4, 6, 8.
a) 4,42
b) 4,78
c) 5,00
d) 6,0
e) 5,52
TESTE 9
Calcule a Média Aritmética dos números: 2, 4, 6, 8.
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
TESTE 10
TESTE 5
Calcule a Média Geométrica dos números: 25, 1, 5,
125, 1, 1.
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
e) 25
Os intervalos de classe podem ser apresentados de
várias maneiras. Dentre situações abaixo, a correta é:
a) 2 — 6 compreende todos os valores entre 2 e 6,
inclusive os extremos.
b) 2 I—I 6 compreende todos os valores entre 2 e 6,
exclusive os extremos.
c) 2 I— 6 compreende todos os valores entre 2 e 6,
exclusive o 2 e inclusive o 6.
d) 2 —I 6 compreende todos os valores entre 2 e 6,
inclusive o 2 e exclusive o 6.
e) 2 — 6 compreende todos os valores entre 2 e 6,
exclusive os extremos.
31
PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - [email protected]
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
Considere a distribuição de freqüência transcrita a
seguir para responder às questões 11 e 12.
Peso
(kg)
2 I— 4
4 I— 6
6 I— 8
8 I— 10
10 I— 12
Freqüência simples
Absoluta
9
12
6
2
1
TESTE 13
a) A soma dos pontos médios dos intervalos de
classe é inferior à soma das freqüências absolutas
simples.
b) 28% das observações estão no quarto intervalo de
classe.
c) Manos de 25 observações têm diâmetro abaixo de
10 cm.
d) Mais de 85% das observações têm diâmetro não
inferior a 6 cm.
e) 75% das observações estão no intervalo 6 I—— 12.
TESTE 11
a) 65% das observações têm peso não inferior a 4 kg
e inferior a 10 kg.
b) Mais de 65% das observações têm peso maior ou
igual a 4 kg.
c) Menos de 20 observações têm peso igual ou
superior a 4 kg.
d) A soma dos pontos médios dos intervalos de
classe é inferior ao tamanho da população.
e) 8% das observações tem peso no intervalo de
classe 8 I—— 10.
TESTE 14
A Média Aritmética da distribuição é igual a:
a) 9,00 cm
b) 8,80 cm
c) 8,70 cm
d) 8,90 cm
e) 9,15 cm
TESTE 15
TESTE 12
Calcule a mediana : 4, 12, 10, 3, 15, 5, 14, 8, 7
A Média Aritmética da distribuição é igual a:
a) 5,27 kg
b) 5,24kg
c) 5,21 kg
d) 5,19 kg
e) 5,30 kg
TESTE 16
Calcule a mediana : 6, 4, 10, 5, 12, 3, 20, 7
TESTE 17
Considere a distribuição de freqüência transcrita a
seguir para responder às questões 13 e 14.
Diâmetro
(cm)
Freqüência simples
Absoluta
4 I— 6
6 I— 8
8 I— 10
10 I— 12
12 I— 14
6
8
12
10
4
Calcule a mediana
Nº DE APROVADOS EM UM
CONCURSO, POR NOTAS
NOTA
6
7
8
9
10
APROVADOS
10
15
2
14
10
TOTAL
51
32
PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - [email protected]
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
TESTE 22
TESTE 18
Calcule a mediana
Nº de aprovados em um concurso, por nota
Nota
Aprovados
6
10
7
15
8
1
9
14
10
10
TOTAL
50
Seja a tabela abaixo:
IDADE
FREQ. ACUMULADA
1
10
2
15
3
25
4
40
5
50
Calcule a média aritmética:
a) 3,75
b) 3,25
TESTE 19
c) 3,00
Calcule a mediana
Altura (Cm)
d) 3,20
Indivíduo (fi)
150 |—– 160
5
160 |—– 170
10
170 |—– 180
20
180 |—– 190
10
190 |—– 200
5
TOTAL
e) 2,80
TESTE 23
Calcule a média aritmética
CLASSES
FREQÜÊNCIA
0|—– 2
10
2|—– 4
20
4|—– 6
40
6|—– 8
20
8|—– 10
10
a) 4
b) 5
c) 6 d) 7 e) NRA
50
TESTE 20
Calcule a mediana
Salários minímos (SM)
Funcionários
0 |—––– 2
20
2 |—––– 4
40
4 |—––– 6
20
6 |—––– 8
15
8 |—––– 10
5
TOTAL
TESTE 24
O depósito em caderneta da poupança no mês de
março de 2002 de 600 clientes de um banco encontrase na tabela abaixo:
DEPÓSITO EM R$ 1.000,00
100
TESTE 21
Calcule a média aritmética da distribuição abaixo:
Nº DE CLIENTES
0 |—– 10
100
10 |—– 20
120
20 |—–
30
80
30 |—–
40
70
40 |—–
50
60
Xi
freq.
50 |—–
60
50
10
5
60 |—–
70
40
11
8
70 ou mais
12
10
13
6
a) 11,58
Total
b) 11,00
d) 12,00
e) 12,99
29
c) 12,58
80
A porcentagem dos que depositaram R$ 30.000,00 ou
mais é:
a) 50%
b) 70%
c) 60%
d)30%
e)80%
33
PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - [email protected]
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
TESTE 25
TESTE 28
Calcule a mediana da distribuição abaixo:
Xi
fi
2
15
4
10
6
40
8
10
10
a) 2
b) 3
20
d) 5
c) 4
Calcule a mediana da distribuição abaixo:
CLASSE
FREQÜÊNCIA
0|—– 1
1|—– 2
2|—– 3
3|—– 4
4|—– 5
5|—– 6
6|—– 7
7|—– 8
8|—– 9
9|—– 10
e) 6
Total
TESTE 26
Calcule a mediana da distribuição abaixo:
Xi
fi
a) 2
2
20
4
10
6
40
8
10
10
b) 3
b) 3, 44
d) 3, 21
e) NRA
TESTE 29
d) 5
e) 6
Nº DE CASAS
TESTE 27
Calcule a mediana da distribuição abaixo:
CLASSE
FREQÜÊNCIA
a) 2
0|—– 2
10
2|—– 4
20
4|—– 6
30
6|—–
20
8
8|—– 10
b) 3
c) 4
100
c) 4, 69
A fim de implementar um projeto de instalação de
parques infantis em uma certa região de uma cidade,
foi selecionada uma amostra de 50 quadras das 300
existentes na região. A distribuição da amostra é
apresentada a seguir:
20
c) 4
a) 4, 42
7
9
12
16
14
15
11
8
5
3
10
d) 5
e) 6
Nº DE QUADRAS
0|—– 20
20|—–40
40|—–60
60|—–80
80|—– 100
7
20
11
7
5
Total
50
A instalação dos parques deve ser iniciada pelas
quadras mais populosas. Por limitação de verbas,
decidiu-se beneficiar somente as 50% mais populosas.
O número mínimo de casas que a quadra deverá ter
para ser beneficiada com a instalação de um parque
infantil é:
a) 25
b) 30
c) 32
d) 35
e) 38
34
PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - [email protected]
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
TESTE 30
TESTE 33
A tabela abaixo representa os salários pagos a 200
funcionários de uma empresa.
Nº de Salários Mínimos
Nº de Funcionários
0 |¾ 2
80
2 |¾ 4
60
4 |¾ 6
20
6 |¾ 8
30
8 |¾ 10
10
Total
200
Calcule:
a) O salário médio dos funcionários.
b) O salário mediano dos funcionários
c) A moda bruta
d) A moda de czuber
e) A moda de King
TESTE 31
Seja a distribuição de estatura de 300 alunos de uma
turma.
Estaturas(cm)
130 |¾ 140
140 |¾ 150
150 |¾ 160
160 |¾ 170
170 |¾ 180
Total
Alunos
40
60
100
60
40
300
Calcule:
a) A moda bruta
b) A moda de Czuber
c) A moda de king
Seja a distribuição de estatura de 400 alunos de
uma turma.
Calcule:
a) A moda bruta
b) A moda de Czuber
c) O primeiro quartil
d) O segundo quartil
e) O terceiro quartil
Calcule:
a) O primeiro quartil.
b) O segundo quartil.
c) O terceiro quartil.
d) O quarto decil.
e) O quinto decil.
f) O nono decil.
TESTE 34
Seja a distribuição de estatura de 300 alunos de uma
turma.
Estaturas(cm)
130 |¾ 140
140 |¾ 150
150 |¾ 160
160 |¾ 170
170 |¾ 180
Total
Alunos
40
60
100
60
40
300
Calcule:
a) O oitavo percentil.
b) O 45º percentil.
c) O 50º percentil.
TESTE 32
Estaturas(cm)
140 |¾ 150
150 |¾ 160
160 |¾ 170
170 |¾ 180
180 |¾ 190
Total
A tabela abaixo representa os salários pagos a 20
funcionários de uma empresa.
Nº de Salários Mínimos
Nº de Funcionários
0 |¾ 10
8
10 |¾ 20
6
20 |¾ 30
2
30 |¾ 40
3
40 |¾ 50
1
Total
20
Alunos
80
60
120
80
60
400
TESTE 35
Seja a distribuição de estatura de 400 alunos de uma
turma.
Estaturas(cm)
140 |¾ 150
150 |¾ 160
160 |¾ 170
170 |¾ 180
180 |¾ 190
Total
Alunos
80
60
120
80
60
400
Calcule:
a) A média aritmética.
b) O desvio médio.
c) A variância.
d) O desvio padrão
35
PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - [email protected]
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
Seja P a proporção de empregados com salários
fora do intervalo [R$ 12.500,00; R$ 16.100,00].
Assinale a opção correta.
TESTE 36
A tabela abaixo representa os salários pagos a 20
funcionários de uma empresa.
Nº de Salários Mínimos
0 |¾ 10
10 |¾ 20
20 |¾ 30
30 |¾ 40
40 |¾ 50
Total
Calcule:
a) A média aritmética.
b) O desvio médio.
c) A variância.
d) O desvio padrão.
Nº de Funcionários
8
6
2
3
1
20
a)
b)
c)
d)
e)
P é no máximo 1/2
P é no máximo 1/1,5
P é no mínimo 1/2
P é no máximo 1/2,25
P é no máximo 1/20
TESTE 39
(INSS- ESAF) Sejam X1,X2,X3,........Xn observações de um
atributo X. Sejam:
n
X =
∑
i=1
Seja a distribuição de estatura de 40 alunos de uma
turma.
Estaturas(cm)
140 |¾ 150
150 |¾ 160
160 |¾ 170
170 |¾ 180
180 |¾ 190
Total
Calcule:
a) A média aritmética
b) A mediana
c) A moda bruta
d) A moda de Czuber
e) O 2º quartil
f) O 5º decil
g) O 50º percentil
h) A variância
i) O desvio padrão
Alunos
8
6
12
6
8
40
(SUSEP-ESAF) Seja X uma variável aleatória com valor
esperado µ e desvio padrão
. Pode-se afirmar
que:
(AFRF-2003) As realizações anuais Xi dos salários
anuais de uma firma com N empregados produziram as
estatísticas
1 N
∑ X i = R$ 14.300,00
N i=1
)
2⎤
⎡1 N
S = ⎢ ∑ Xi − X ⎥
⎣ N i=1
⎦
de X em valor absoluto por menos que 2S.
b) Pelo menos 99% das observações de X diferem
de X em valor absoluto por menos que 2S.
c) Pelo menos 75% das observações de X diferem
de X em valor absoluto por menos que 2S.
d) Pelo menos 80% das observações de X diferem
de X em valor absoluto por menos que 2S.
e) Pelo menos 90% das observações de X diferem
de X em valor absoluto por menos que 2S.
TESTE 40
TESTE 38
(
∑
Assinale a opção correta:
a) Pelo menos 95% das observações de X diferem
TESTE 37
X=
Xi e
n
1
S =
( Xi − X) 2
n i =1
2
0,5
a) Pelo menos 75% das observações de X pertencerão
ao intervalo
.
b) Pelo menos 80% das observações de X pertencerão
ao intervalo [µ − 2σ; µ + 2σ] .
c) Pelo menos 90% das observações de X pertencerão
ao intervalo [µ − 2σ; µ + 2σ] .
d) Pelo menos 95% das observações de X pertencerão
ao intervalo [µ − 2σ; µ + 2σ] .
e) a) Apenas com o conhecimento de µ e não é
possível fazer afirmação sobre o percentual de
realizações de X que cairão no intervalo
.
= R$ 1.200,00
36
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - [email protected]
TESTE 41
(AFRF-2000-ESAF) Numa amostra de tamanho 20 de
uma população de contas a receber, representadas
generica-mente por X, foram determinadas a média
amostral M =100 e o desvio-padrão S =13 da variável
transformada (X-200)/5. Assinale a opção que dá o
coeficiente de variação amostral de X.
a) 3,0 %
b) 9,3 %
c) 17,0 %
d) 17,3 %
e) 10,0 %
TESTE 42
(AFRF-2000-ESAF)Tem-se um conjunto de n
mensurações X 1 , ... , X n com média aritmética M e
variância S2, onde M = (X1 + ... + Xn )/ n e S2 = (1/ n) Si
( Xi – M )2 Seja ? a proporção dessas mensurações que
diferem de M, em valor absoluto, por pelo menos 2S.
Assinale a opção correta.
a) Apenas com o conhecimento de M e S não
podemos determinar q exatamente, mas sabe-se
que 0,25 ≥ θ.
b) O conhecimento de M e S é suficiente para
determinar q exatamente, na realidade tem-se
q = 5% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.
c)
O conhecimento de M e S é suficiente para
determinar q exatamente, na realidade tem-se
q = 95% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.
d) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar
q exatamente, na realidade tem-se
q = 30% para
qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.
e) O conhecimento de M e S é suficiente para
determinar? q exatamente, na realidade tem-se q
= 15% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.
TESTE 43
Seja a distribuição de estatura de 30 alunos de uma turma.
Estaturas(cm)
Alunos
10 |¾ 20 4
20 |¾ 30 6
30 |¾ 40 10
40 |¾ 50 6
50 |¾ 60 4
Total
30
Calcule:
a) A variância
b) O primeiro coeficiente de assimetria de Pearson.
c) O segundo coeficiente de assimetria de Pearson
d) O coeficiente de assimetria quartílico
e) O coeficiente de assimetria percentílico
TESTE 44
Seja a distribuição de estatura de 50 alunos de uma
turma.
Estaturas(cm)
Alunos
0 |¾ 10
6
10 |¾ 20
4
20 |¾ 30
30
30 |¾ 40
6
40 |¾ 50
4
Total
50
Calcule:
a) A variância
b) O primeiro coeficiente de assimetria de Pearson.
c) O segundo coeficiente de assimetria de Pearson
d) O coeficiente de assimetria quartílico
e) O coeficiente de assimetria percentílico
TESTE 45
(TCU-93) Com base na tabela de freqüência acumulada
de salários abaixo, assinale a opção incorreta.
Salários
Frequência
em reais
Acumulada
abaixo de 50000
0
abaixo de 60000
25
abaixo de 70000
45
abaixo de 80000
65
abaixo de 90000
80
abaixo de 100000
90
abaixo de 110000
95
abaixo de 120000
100
a) Apenas 5 funcionários ganham salários iguais ou
superiores a R$ 110.000,00.
b) Um quarto dos funcionários ganham menos de
R$ 60.000,00.
c) 70% dos funcionários ganham mais de R$ 60.000,00
e menos de R$ 80.000,00.
d) O nono decil é maior ou igual a R$ 100.000,00.
e) Mais da metade dos funcionários ganham menos
de R$ 80.000,00.
37
PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - [email protected]
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
TESTE 46
Os dados seguintes, ordenados do menor para o
maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50
preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores
internacional. A unidade monetária é o dólar americano.
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8,
8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11,
12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23
Os valores seguintes foram calculados para a amostra:
åi Xi = 490 e å i Xi2 – ( å i Xi )2 / 50 = 668
Assinale a opção que corresponde à mediana e à
variância amostral, respectivamente (com aproximação
de uma casa decimal)
a)
b)
c)
d)
e)
(9,0 14,0)
(9,5 14,0)
(9,0 13,6)
(8,0 13,6)
(8,0 15,0)
TESTE 49
O índice de inflação no mês de junho foi 10% e se
manteve constante nesse nível em julho e agosto.
Assinale a opção que mais se aproxima da
desvalorização da moeda nesse período.
a) 33%
b) 30%
c) 25%
d) 20%
e) 10%
TESTE 50
TESTE 47
Considere os preços e quantidades dos bens durante
o período de 2000 a 2002.
Bens
c) A série S3 mostra evolução de preços distinta das
séries S1 e S2
d) A série S1 mostra evolução de preços distinta das
séries S2 e S3
e) As três séries não podem ser comparadas pois
têm períodos-base distintos
2000
p
q
2001
p
q
2002
p
q
B1
10
2
12
1
13
3
B2
8
4
9
3
10
11
B3
12
6
14
5
13
14
Total
30
12
35
9
36
28
Calcule:
a) O índice de preços de Laspeyres com base em
2000.
b) O índice de preços de Paasche com base em
2000.
c) O índice de quantidade de Laspeyres com base em
2000.
d) O índice de quantidade de Paasche com base em
2000.
TESTE 48
Dadas as três séries de índices de preços abaixo,
assinale a opção correta.
Ano
S1
S2
S3
1999
50
75
100
2000
75
100
150
2001
100
125
200
2002
150
175
300
a) As três séries mostram a mesma evolução de
preços
b) A série S2 mostra evolução de preços distinta das
séries S1 e S3
A tabela abaixo dá os valores dos preços Pti e
quantidades Qti de quatro itens de consumo A, B, C e
D nos tempos t1 < t2 . Os preços estão em reais e as
quantidades em unidades apropriadas.
Item
A
B
C
D
Pt1
10
9
4
5
Pt2
15
11,5
5
6,5
Qt1
5
5
3
3
Qt2
4
4
2
2
Assinale a opção que dá o valor mais próximo do índice
de preços de Paasche no tempo t2 com base em t1.
a) 136
b) 137
c) 138
d) 139
e) 136,5
TESTE 51
A tabela abaixo dá a evolução nos tempos t1 e t2 dos
preços, em reais e das quantidades, em unidades
apropriadas, de três produtos A, B e C. Assinale a
opção que corresponde ao índice de preços de Paasche
com base em t1, com duas casas decimais.
a) 131%
b) 202%
c) 129%
d) 186%
e) 154%
38
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
TESTE 52
TESTE 55
A tabela abaixo apresenta a evolução de preços e
quantidades de cinco produtos.
Ano
Produto
Produto
Produto
Produto
Produto
A
B
C
D
E
1960 (ano base)
Preço (po) Quant.
(qo)
6,5
53
12,2
169
7,9
27
4,0
55
15,7
393
Σpo qo = 9009,7
Totais
1970
1979
Preço (p1)
Preço (p2)
11,2
15,3
22,7
4,9
26,2
29,3
47,2
42,6
21,0
64,7
Σp1 qo = 14358,3
Σp2 qo = 37262,0
Assinale a opção que corresponde aproximadamente
ao índice de Laspeyres para 1979 com base em 1960.
a) 415,1
b) 414,4
c) 398,6
d) 416,6
e) 413,6
TESTE 53
Marque a opção que representa os índices de Laspeyres
de preços, no período de 1993 a 1995, tomando por
base o ano de 1993:
Artigos
a)
b)
c)
d)
e)
Quantidades (1000t)
93
12
20
Preços (R$/t)
93
94
95
A1
94
13
25
58
81
109
A2
95
14
27
84
120
164
A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências
relativas da variável tempo, em segundos, requerido
para completar uma operação de montagem:
Tempo (Seg.)
a ------ b
b ------ c
c ------ d
d ------ 40
Total
Sabendo-se que nessa tabela todas as classes têm a
mesma amplitude e que 22 segundos é o tempo que é
excedido por 75% das montagens, o valor de a é:
a) 20
b) 18,5
c) 17,8
d) 17,2
e) 16
Atenção: Para resolver as questões de números 56 e 57
considere o resultado abaixo:
O histograma representa a distribuição de salários (X)
dos 500 funcionários da firma A, no mês de agosto de
2004, expressos em números de salários mínimos (SM).
40%
25%
100,00; 141,2; 192,5
100,00; 141,4; 192,8
100,00; 141,9; 193,1
100,00; 142,3; 193,3
100,00; 142,8; 193,7
TESTE 54
Marque a opção que representa os índices de Paasche
de preços, no período de 1993 a 1995, tomando por
base o ano de 1993:
a) 100,00; 141,3; 192,3
b) 100,00; 141,6; 192,5
c) 100,00; 141,8; 192,7
d) 100,00; 142,0; 193,3
e) 100,00; 142,4; 193,6
Freüência relativa
0,25
0,25
0,25
0,25
1,00
18%
17%
1
3
5
7
9
x
TESTE 56
O valor de X que separa os 35% dos funcionários que
ganham menos é:
a) 3,5 SM
b) 4 SM
c) 4,2 SM
d) 4,5 SM
e) 4,8 SM
TESTE 57
Em setembro de 2004 todos os salários receberam um
aumento de 4% sobre os de agosto. A mediana de X em
setembro passou a ser igual a:
a) 4,25 SM
b) 4,42 SM
c) 4,50 SM
d) 4,65 SM
e) 4,82 SM
39
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
TESTE 58
As realizações anuais Xi dos salários anuais de uma
firma com n empregados produziram as seguintes
estatísticas:
800
1000
1200
1250
1500
TESTE 61
N
∑ Xi
X = i=1
N
a)
b)
c)
d)
e)
e
= R$30.000,00
As realizações anuais Xi dos salários anuais de uma
firma com n empregados produziram as seguintes
estatísticas:
∑ (Xi − X)
N
S=
N
2
i=1
N
∑ Xi
X = i=1
N
= R$1.000,00
Seja P a probabilidade de empregados com salários
fora do intervalo [R$27.500,00;R$32.500,00]. Assinale
a opção correta.
a) P é no máximo 5%
b) P é no mínimo 5%
c) P é no máximo 16%
d) P é no mínimo 16%
e) P é no máximo 25%
TESTE 59
As realizações anuais Xi dos salários anuais de uma
firma com N empregados produziram as estatísticas
∑ (Xi − X)
N
N
∑ Xi
X = i=1
N
= R$8.000,00
S=
2
i=1
N
Se P a proporção máxima de empregados com
salários fora do intervalo [R$ 5.500,00; R$ 10.500,00]
for 16%, o valor de S será em reais:
a) 800
b) 1000
c) 1200
d) 1600
e) 2000
TESTE 60
As realizações anuais Xi dos salários anuais de uma
firma com N empregados produziram as estatísticas
∑ (Xi − X)
N
N
∑ Xi
X = i=1
N
= R$8.000,00
S=
2
i=1
N
Se P a proporção máxima de empregados com
salários fora do intervalo [R$ 5.500,00; R$ 10.500,00]
for 25%, o valor de S será em reais:
e
= R$15.800,00
∑ (Xi − X)
N
S=
2
i=1
= R$1.800,00
N
Seja P a probabilidade de empregados com
salários no intervalo [R$13.400,00;R$18.200,00].
Assinale a opção correta.
a) P é no máximo 7/16
b) P é no mínimo 7/16
c) P é no máximo 9/16
d) P é no mínimo 9/16
e) P é no máximo 1/2,25
As questões de número 62 até 63 referem-se ao
enunciado abaixo:
O diagrama de ramos e folhas abaixo corresponde às
observações (22,22,23,24,25,...,78) de uma amostra
com cem elementos do atributos X. Conforme os
dados da amostra observamos que
∑ Xi = 4900
e
.
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
2234
566778
0122334
55677888
00011333444
555688888888889
000122333444444
55566888999
00001112
566777
111222
668
40
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
TESTE 62
Assinale a opção que dá o valor da mediana amostral
de X.
a) 44,5
b) 48,0
c) 48,5
d) 49,0
e) 50,0
TESTE 63
Assinale a opção que dá o valor da moda amostral de X.
a) 48,0
b) 50,0
c) 53,0
d) 54,0
e) 55,0
Assinale a opção que dá o valor do índice para 2003.
a) 170,00
b) 168,60
c) 166,00
d) 169,00
e) 167,00
As questões 67 e 68 dizem respeito ao enunciado
seguinte: Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma amostra da variável
X. Não existem observações coincidentes com os
extremos das classes.
Classes
2000 – 4000
4000 – 6000
6000 – 8000
8000 – 10000
10000 – 12000
12000 – 14000
Freqüências Acumuladas(%)
5
16
42
77
89
100
TESTE 64
Assinale a opção que dá o valor aproximado da variância
amostral de X.
a) 186,4
b) 188,3
c) 190,3
d) 199,3
e) 225,0
TESTE 65
Assinale a opção que dá o valor aproximado do primeiro
coeficiente de assimetria de Pearson amostral de X.
a) 0,072
b) 0,078
c) 0,082
d) 0,089
e) 0,091
TESTE 66
Deseja-se construir um índice de preços, com base em
2001, utilizando a técnica de Laspeyres, para o conjunto
de produtos {A,B,C}.
Produtos
UnidadesConsumidas
No Ano Base
TESTE 67
(ESAF-AFRF-2003) Assinale a opção que corresponde
à estimativa do valor x da distribuição amostral de X que
não é superado por cerca de 80% das observações.
a) 10.000
b) 12.000
c) 12.500
d) 11.000
e) 10.500
TESTE 68
(ESAF-AFRF-2003) Assinale a opção que corresponde
ao valor do coeficiente de assimetria percentílico da
amostra de X, baseado no 1º, 5º e 9º decis.
a) 0,024
b) 0,300
c) 0,010
d) - 0,300
e) - 0,028
Preços Unitários
A
B
250
600
2001
50
30
C
300
100
2002
90
40
2003
120
50
120
140
41
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - [email protected]
TESTE 69
(ESAF-AFRF-2003) Dadas as três séries de índices de
preços abaixo, assinale a opção correta.
a) As três séries mostram a mesma evolução de
preços.
b) A série S2 mostra evolução de preços distinta das
séries S1 e S3.
c) A série S3 mostra evolução de preços distinta das
séries S1 e S2.
d) A série S1 mostra evolução de preços distinta das
séries S2 e S3.
e) As três séries não podem ser comparadas pois
têm períodos-base distintos.
TESTE 70
(ESAF-AFRF-2003) O atributo Z= (X-2)/3 tem média
amostral 20 e variância amostral 2,56. Assinale a
opção que corresponde ao coeficiente de variação
amostral de X.
a) 12,9%
b) 50,1%
c) 7,7%
d) 31,2%
e) 10,0%
TESTE 71
(ESAF-AFRF-2002-1) Em um ensaio para o estudo da
distribuição de um atributo financeiro (X) foram
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço
de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de
freqüências abaixo. A coluna Classes representa
intervalos de valores de X em reais e a coluna P
representa a freqüência relativa acumulada. Não
existem observações coincidentes com os extremos
das classes.
As questões de 71 a 76 referem-se a esses
ensaios.
TESTE 71
Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X.
a) 140,10
b) 115,50
c) 120,00
d) 140,00
e) 138,00
TESTE 72
(ESAF-AFRF-2002-1) Assinale a opção que
corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição
de X.
a) 138,00
b) 140,00
c) 136,67
d) 139,01
e) 140,66
TESTE 73
(ESAF-AFRF-2002-1) Seja S o desvio padrão do
atributo X. Assinale a opção que corresponde à medida
de assimetria de X como definida pelo primeiro
coeficiente de Pearson.
a) 3/S
b) 4/S
c) 5/S
d) 6/S
e) 0
TESTE 74
(ESAF-AFRF-2002-1) Assinale a opção que
corresponde à estimativa da freqüência relativa de
observações de X menores ou iguais a 145.
a) 62,5%
b) 70,0%
c) 50,0%
d) 45,0%
e) 53,4%
42
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
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TESTE 75
(ESAF-AFRF-2002-1) Considere a transformação
Z=(X-140)/10. Para o atributo Z encontrou-se
2
∑i7=1 Z i fi = 1680
onde fi é a freqüência simples da classe i e Zi o ponto
médio de classe transformado. Assinale a opção que
dá a variância amostral do atributo X.
a) 720,00
b) 840,20
c) 900,10
d) 1200,15
e) 560,30
TESTE 76
(ESAF-AFRF-2002-1) Entende-se por curtose de uma
distribuição seu grau de achatamento em geral medido
em relação à distribuição normal. Uma medida de
Q
curtose é dada pelo quociente K = P − P onde Q
90
10
b ≠1
é a metade da distância interquartílica e P90 e
P10 representam os percentis de 90% e 10%,
respectivamente. Assinale a opção que dá o valor da
curtose ê para a distribuição de X.
a) 0,263
b) 0,250
c) 0,300
d) 0,242
e) 0,000
TESTE 77
(ESAF-AFRF-2002-1) Um atributo W tem média
amostral a ≠ 0 e desvio padrão positivo
. Considere
a transformação Z=(W-a)/b. Assinale a opção correta.
a) A média amostral de Z coincide com a de W.
b) O coeficiente de variação amostral de Z é unitário.
c) O coeficiente de variação amostral de Z não está
definido.
d) A média de Z é a/b.
e) O coeficiente de variação amostral de W e o de Z
coincidem.
TESTE 78
(ESAF-AFRF-2002-1) A inflação de uma economia,
em um período de tempo t, medida por um índice geral
de preços, foi de 30%. Assinale a opção que dá a
desvalorização da moeda dessa economia no mesmo
período.
a) 30,00%
b) 23,08%
c) 40,10%
d) 35,30%
e) 25,00%
Para a solução das questões de números 79 a 81
utilize o enunciado que segue.
O atributo do tipo contínuo X, observado como um
inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma
população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de
freqüências seguinte:
Classes
Freqüência (f)
29,5-39,5
4
39,5-49,5
8
49,5-59,5
14
59,5-69,5
20
69,5-79,5
26
79,5-89,5
18
89,5-99,5
10
TESTE 79
(ESAF-AFRF-2002-2) Assinale a opção que
corresponde à estimativa da mediana amostral do
atributo X.
a) 71,04
b) 65,02
c) 75,03
d) 68,08
e) 70,02
TESTE 80
(ESAF-AFRF-2002-2) Assinale a opção que
corresponde à estimativa do número de indivíduos na
população com valores do atributo X menores ou iguais
a 95,5 e maiores do que 50,5.
a) 700
b) 638
c) 826
d) 995
e) 900
TESTE 81
(ESAF-AFRF-2002-2) Assinale a opção que
corresponde ao valor modal do atributo X no conceito
de Czuber.
a) 69,50
b) 73,79
c) 71,20
d) 74,53
e) 80,10
43
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
58. Os intervalos de classe podem ser apresentados
de várias maneiras. Dentre as situações abaixo, a
correta é:
Capítulo 10
BATERIA DE EXERCÍCIOS
RESOLVIDOS E COMENTAD0S
a. 2 — 6 compreende todos os valores entre 2 e 6,
inclusive os extremos
b. 2 — 6 compreende todos os valores entre 2 e 6,
exclusive os extremos
10.1. BATERIA 1
c. 2 — 6 compreende todos os valores entre 2 e 6,
exclusive o 2 e inclusive o 6
d. 2 — 6 compreende todos os valores entre 2 e 6,
inclusive o 2 e exclusive o 6
56. Analisando-se corretamente a figura abaixo, conclui-se que em uma distribuição de freqüência
deste tipo:
e. 2 — 6 compreende todos os valores entre 2 e 6,
exclusive os extremos
Solução e comentário
Evidente, pois a classe 2 — 6 exclui o 2 e o 6.
Resposta: Alternativa E
a. a moda é maior que a mediana
b. a mediana é maior que a moda
c. a mediana é maior que a média
d. a média é menor que a moda
59. Assinale a alternativa correta, considerando a série: 8, 5, 14, 10, 8 e 15
a. A média aritmética é 10 e a mediana é 12
e. média, moda e mediana são iguais
b. A amplitude total é 7 e a moda é 8
Solução e comentário
c. A mediana é 9 e a amplitude total é 10
Observamos que a cauda está para o lado direito, portanto
a distribuição é assimétrica positiva
d. A média aritmética é 10 e a amplitude total é 7
logo:
e a resposta é a opção B.
Resposta: Alternativa B
57. O tipo de diagrama de área que procura demonstrar a proporção de partes em um todo representado por um círculo é
a. Gráfico de setores
b. Ogiva de Galton
e. A mediana é 12 e a amplitude total é 7
Solução e comentário
Média aritmética ( X )
X=
X =
8 + 5 + 14 + 10 + 8 + 15
6
60
6
X = 10
c. Gráfico Pictórico
d. Cartograma
Moda ( M0 )
e. Gráfico Pola
Como a moda é o valor mais freqüente, temos: M0 = 8
Solução e comentário
Evidente, a opção correta é o gráfico de setores, também
conhecido como gráfico de pizzas
Resposta: Alternativa A
Mediana ( Md )
Rol: 5, 8, 8, 10, 14, 15
Md =
8 + 10
2
\ Md = 9
AMPLITUDE TOTAL (AT) ® AT = 15 – 5 \
AT = 10
Resposta: Alternativa C
44
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
60. Dado o gráfico abaixo, onde fi é a freqüência simples ou absoluta da i-ésima classe então:
10.2. BATERIA 2
37. Marque a opção correta.
fi
12
a) Um evento tem, no mínimo, dois elementos do
espaço-amostra de um experimento aleatório.
10
b) Em um experimento aleatório uniforme todos os
elementos do espaço-amostra são iguais.
8
c) Dois experimentos aleatórios distintos têm,
necessáriamente, espaços-amostra distintos.
6
d) Uma parte não nula do espaço-amostra de um
experimento aleatório define um evento.
4
e) Um experimento aleatório pode ser repetido
indefinidamente, mantidas as condições iniciais.
2
Solução e comentário
2
4
6
8
10 12 14 16
idade
A opção A é falsa, pois a definição de evento é qualquer
subconjunto do espaço amostral.
a) A moda se encontra na 4a classe e é igual a 9
A opção B é falsa. Observe também que a opção é absurda,
b) O número de observações é igual a 42
A opção C é absurda.
c) Como a distribuição é assimétrica, moda = média
= mediana
d) A freqüência acumulada crescente da 3a classe é 20
A opção D é confusa, poderia ser verdadeira, já que um
evento é qualquer subconjunto do espaço amostral.
A opção E é verdadeira, pois qualquer experimento mesmo não aleatório pode ser repetido.
7
e)
∑ f i = 48
Resposta: Alternativa E
i =1
Considere a distribuição de freqüência transcrita
a seguir para responder às questões 38 a 41:
Solução e comentário
Baseado no gráfico poderíamos ajustar a seguinte distribuição de freqüência, sem perder as características principais:
CLASSES
Peso
(kg)
fi
2
4
2
4
6
6
6
8
Freqüência simples
Absoluta
2
4
9
10
4
6
12
8
10
12
6
8
6
10
12
8
8
10
2
12
14
6
10
12
1
14
16
4
TOTAL
48
A opção A é falsa, pois:
A moda Bruta seria 9
A moda de CZUBER seria 8,33.
A moda de King seria 8,88
Como o problema se omitiu sobre o tipo de moda, vamos
supor que se refere à moda de CZUBER.
38.
a) 65% das observações têm peso não inferior a 4
Kg e inferior a 10 Kg.
b) Mais de 65% das observações têm peso maior ou
igual a 4 Kg.
A opção C é falsa, pois a distribuição é claramente
c) Menos de 20 observações têm peso igual ou
superior a 4 Kg.
assimétrica, e a relação Mo = Md = X só é válida para
as simétricas.
d) A soma dos pontos médios dos intervalos de
classe é inferior ao tamanho da população.
A opção B é falsa, pois o número de observações é 48.
A opção D é falsa pois a freqüência acumulada da 3ª classe é 18.
A opção E é correta pois a freqüência total é 48.
Resposta: Alternativa E
e) 8% das observações tem peso no intervalo de
classe 8 l—— 10
45
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
Solução e comentário
PESO
(kg)
Onde
Freqüência Ponto
Médio
simples
absoluta
(Xi)
Freqüência
Relativa
Freqüência
Acumulada
Crescente
Xi — Ponto médio da i-ésima classe.
Freqüência
Acumulada
Decrescente
2 l—— 4
9
3
30%
9
30
4 l—— 6
12
5
40%
21
21
6 l—— 8
6
7
20%
27
9
8 l—— 10
2
9
7%
29
3
10 l—— 12
1
11
3%
30
1
Total
30
35
— Freqüência Absoluta simples da i-ésima classe
fi
N — Freqüência Absoluta total.
Logo: X =
158
30
∴
X = 5,27 Kg
Resposta: Alternativa A
40. A mediana da distribuição é igual a
A opção A é falsa, pois 67% (40% + 20% + 7%) têm peso
não inferior a 4 Kg e inferior a 10 Kg (4 l–— 10)
a. 5,30 kg
A opção B é correta, pois 70% (40% + 20% + 7% + 3%)
têm peso maior ou igual as 4 Kg.
c. um valor inferior a 5 kg
b. 5,00 kg
d. 5,10 kg
A opção C é falsa, pois 21 observações têm peso igual ou
superior a 4 Kg.
A opção D é falsa, pois a soma das partes médias é 35 e o
tamanho da população é 30. (Ao aluno que está começando a estudar estatística informamos que a soma dos pontos médios não serve para nada).
A opção E é falsa, pois 7% das observações têm peso no
intervalo 8 l–— 10
Resposta: Alternativa B
e. 5,20 kg
Solução e comentário
Fórmula da Mediana:
+
⎡N
⎢⎣ 2 − F AC ant
Md = li* +
fi
⎤ *
⎥⎦ ⋅ h
Onde:
39. A média aritimética da distribuição é igual a
a. 5,27 kg
b. 5,24 kg
l *i
→ limite inferior da classe que contém a mediana.
+
FAC
c. 5,21 kg
ANT
→ Freqüência acumulada anterior da classe que
contém a mediana.
d. 5,19 kg
h* → Intervalo de classe que contém a mediana.
e. 5,30 kg
f i → Freqüência absoluta da classe que contém a mediana
Solução e comentário
Peso (kg)
fi
Ponto Médio (Xi)
Xifi
N → Freqüência absoluta total.
2 l—– 4
9
3
27
4 l—– 6
12
5
60
logo
6 l—– 8
6
7
42
diana é 4 l—– 6. Logo:
8 l—– 10
2
9
18
10 l—– 12
1
11
11
Total
30
158
( )
Fórmula da Média Aritmética X
N
30
=
= 15 , portanto a classe que contém a Me2
12
Md = 4 +
Md = 4 +
[15 − 9 ] ⋅ 2
12
6x2
n
∑ Xi fi
X =
i=1
N
Md = 4 + 1
12
→ Md = 4 +
12
12
∴ Md = 5 Kg
Resposta: Alternativa B
46
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
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41. A moda da distribuição
e. Os intervalos de classe de uma distribuição de
freqüência têm o ponto médio eqüidistante dos
limites inferior e superior de cada classe e sua
amplitude ou é constante ou guarda uma relação
de multiplicidade com a freqüência absoluta
simples da mesma classe.
a. coincide com o limite superior de um intervalo de
classe
b. coincide com o ponto médio de um intervalo de
classe
c. é maior do que a mediana e do que a média
geométrica
Solução e comentário
d. é um valor inferior à média aritmética e à mediana
A opção A é falsa, pois é absurda.
e. pertence a um intervalo de classe distinto do da
média aritmética
A opção B é Falsa, também não tem sentido.
Solução e comentário
Obs.: Se o aluno souber o que é uma distribuição
assimétrica positiva, basta observar a distribuição
para concluir que a opção correta é a letra D.
A opção C é correta, pois se for a Freqüência Relativa
acumulada crescente é na última classe, caso contrário,
se for decrescente é na primeira classe.
A opção D é Falsa, só seria verdade para a moda e não
para a mediana.
A opção E é falsa, pois não existe a relação dita na opção.
Ou ainda, pela moda de CZUBER:
Mo = li* +
[f max − f ant ]⋅ h
[f max − f ant ] + [f max − f post ]
Onde:
li*
→
Resposta: Alternativa C
10.3. BATERIA 3
limite inferior da classe modal.
f max → Freqüência absoluta simples da classe modal
43. Assinale a opção correta.
f ant → Freqüência absoluta simples anterior à classe modal.
a. A média harmônica é a média geométrica dos
inversos das determinações da variável
f post → Freqüência absoluta simples posterior à classe modal.
b. A média aritimética não é influenciada pelos
valores extremos da distribuição.
h → intervalo da classe modal.
c. A moda e a mediana são influenciadas pelos
valores extremos da distribuição.
Daí:
Mo = 4 +
Mo = 4 +
[12 − 9 ].2
[12 − 9 ] + [12 − 6 ]
d. a moda, a mediana e a média aritmética são expressas
na mesma unidade de medida da variável a que se
referem
3x2
e. A moda é uma medida de posição que permite
dividir a distribuição em duas partes de igual
freqüência.
3+6
6
∴ Mo = 4 +
9
logo, Mo = 4,67 Kg daí
Mo < Md < X
Resposta: Alternativa D
Solução e comentário
A opção A é falsa, pois a média harmônica é o inverso da
média aritmética dos inversos dos dados.
A opção B é falsa, pois uma das maiores desvantagens da
média aritmética é a influência sofrida pelos valores extremos.
42. Marque a assertiva correta.
a. O intervalo de classe que contém a moda é o de maior
freqüência relativa acumulada (crescentemente)
b. A freqüência acumulada denominada “abaixo de”
resulta da soma das freqüências simples em
ordem decrescente.
c. Em uma distribuição de freqüência existe uma
freqüência relativa acumulada unitária, ou no
primeiro, ou no último intervalo de classe.
d. O intervalo de classe que contém a mediana é o
de maior freqüência absoluta simples.
A opção C é falsa, pois a moda e a mediana não sofrem
influência de valores extremos por isso é que são chamadas de estatísticas robustas.
A opção D é correta, pois a moda, a mediana a média aritmética são expressas na mesma unidade dos dados.
A opção E é falsa, pois a moda é o valor mais freqüente da
distribuição, a opção tentou confundir o candidato com a
definição da mediana que é o valor que divide a distribuição em duas partes iguais.
Resposta: Alternativa D
47
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
Considere a distribuição de freqüência transcrita
a seguir para responder às questões de 44 a 47.
Diâmetro
(cm)
45. A média aritmética da distribuição é igual a
a. 9,00 cm
b. 8,80 cm
Freqüência simples
absolutas
c. 8,70 cm
4 l—— 6
6
d. 8,90 cm
6 l—— 8
8
e. 9,15 cm
8 l—— 10
12
10 l—— 12
10
12 l—— 14
4
Solução e comentário
Diâmetro (cm)
fi
Xi
4 l—– 6
6
5
30
6 l—– 8
8
7
56
8 l—– 10
12
9
108
10 l—– 12
10
11
110
12 l—– 14
4
13
52
Total
40
44.
a. A soma dos pontos médios dos intervalos de
classe é inferior à soma das freqüências absolutas
simples.
b. 28% das observações estão no quarto intervalo
de classe
c. Menos de 25 observações têm diâmetro abaixo
de 10cm
356
Fórmula da Média Aritmética ( x )
d. Mais de 85% das observações têm diâmetro não
inferior a 6cm
e. 75% das observações estão no intervalo 6 l—–12.
Xifi
n
∑ X i fi
X =
Solução e comentário
i=1
N
Onde:
Ponto
Médio Freqüência
Relativa
(Xi)
Diâmetro
(cm)
Freqüência
simples
absoluta
4 l—— 6
6
5
6 l—— 8
8
8 l—— 10
Freqüência
Acumulada
Crescente
Freqüência
Acumulada
Decrescente
15%
6
40
7
20%
14
34
12
9
30%
26
26
10 l—— 12
10
11
25%
36
14
12 l—— 14
4
13
10%
40
4
Total
40
45
100%
X
x
A opção A é falsa, pois a soma das freqüências absolutas
simples é 40 e a soma do pontos médios dos intervalos de
classe é 45. Vale a pena ressaltar, também, para o aluno
que está começando a estudar estatística que a soma dos
pontos médios não serve para nada.
A opção B é falsa, pois 25% das observações (Freq. Relativa) estão no quarto intervalo de classe.
A opção C é falsa, pois 26 observações têm diâmetro abaixo
de 10 cm (Ver Freq. Acumulada Crescente)
Xi — ponto médio da i-ésima classe.
fi
— freqüência simples absoluta.
N — freqüência absoluta total.
X =
356
40
∴
X = 8,9 cm
Resposta: Alternativa D
46. A moda da distribuição é igual a
a. 9,7 cm
b. 9,3 cm
c. 9,6 cm
d. 9,4 cm
e. 9,5 cm
Solução e comentário
A opção D é falsa, pois 34 (85%) das observações têm
diâmetro não inferior a 6 cm (Ver Freq. Acumulada Decrescente).
Como o problema se omitiu, vamos calcular a moda de
Czuber.
A opção E é correta, pois 75% (20% + 30% + 25%) das
observações estão no intervalo 6 l—–12 (Ver Freq. Relativa)
Mo = li* +
[ f max
[ f max
− f ant ] ⋅ h
[
− f ant ] + f max − f post
]
Resposta: Alternativa E
48
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
Onde:
l
*
i — limite inferior da classe que contém a moda
Md = 8 +
[ 20 − 14 ].2
12
6x2
12
fmax — freqüência absoluta simples da classe modal.
Md = 8 + 1
f ant
logo, coincide com o ponto médio da 3ª classe.
— freqüência anterior à classe modal.
∴
→ Md = 8 +
Md = 9 cm
fpost — freqüência posterior à classe modal.
h
Resposta: Alternativa C
— intervalo da classe modal.
Mo = 8 +
[12 − 8 ].2
[12 − 8 ] + [12 − 10 ]
48. Assinale a opção correta
Mo = 8 +
4x2
4+2
a. Em um experimento aleatório é impossível garantir
a ocorrência de um evento
em uma particular
realização do experimento, se ele não é um evento
certo.
Mo = 8 +
8
∴ Mo = 8 + 1, 3 ∴ Mo = 9,3 cm
6
b. Um plano de amostragem corretamente
elaborado garante a fidedignidade dos dados da
população.
Resposta: Alternativa B
47. A mediana da distribuição
a. é igual à média aritmética
b. é inferior à média aritmética
c. coincide com o ponto médio de um intervalo de
classe
d. pertence a um intervalo de classe distinto do que
contém a média aritmética
e. é eqüidistante da média aritmética e da moda
Solução e comentário
⎡N
+
⎢⎣ 2 − F AC ant
*
Md = li +
fi
⎤ *
⎥⎦ ⋅ h
Onde:
li* – limite inferior da classe que contém a mediana.
N
+
FAC
c. A opção pela amostragem, em relação ao censo,
garante a redução de tempo, mas conduz sempre
ao incremento de custo e à perda de precisão.
d. Uma amostra aleatória extraída de uma população
deve superar, no tamanho, a 5% do número de
elementos populacionais.
e. Em um experimento aleatório cada elemento do
espaço-amostra tem a mesma probabilidade de ser
selecionado em uma realização do experimento.
Solução e comentário
A opção A está correta, pois é a definição de experimento
aleatório.
A opção B é Falsa, pois o plano de amostragem não garante a fidedignidade dos dados.
A opção C é falsa, pois a amostragem reduz o custo.
A opção D é falsa, pois o tamanho da Amostra depende da
precisão desejada.
A opção E é falsa, opção absurda.
– frequência absoluta total.
Resposta: Alternativa A
ant
– Frequência Acumulada crescente anterior à classe
que contém a mediana.
h* – Intervalo da classe que contém a mediana
fi
– Freqüência absoluta da classe que contém a mediana.
Logo:
N
40
=
= 20
2
2
logo, a classe que contém a mediana é: 8 — 10, daí:
49
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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
10.4. BATERIA 4
Cálculo do coeficiente de Assimetria:
AS =
Considere a distribuição de freqüência transcrita
a seguir para responder às questões de 07 a 08:
Peso (kg)
(
3 X − Md
)
σ
∴ AS =
3 ( 6.96 − 7 , 00 )
2 , 38
A S ≅ −0,017
Resposta: Alternativa D
Freqüência
absolutas simples
2 l—— 4
7
4 l—— 6
9
6 l—— 8
18
8 l—— 10
10
10 l—— 12
6
08 - A mediana e a moda da distribuição;
a) diferem por um valor superior a 10% da média
aritmética;
b) têm valor superior ao da média aritmética;
c) têm valor inferior ao da média aritmética;
d) têm o mesmo valor;
07. O coeficiente de assimetria da distribuição é :
e) diferem por um valor igual a 10% da média
aritmética.
a) nulo;
Solução e comentário
b) positivo e maior do que um;
c) positivo e menor do que um;
P e so
(kg)
d) maior do que menos um;
Freqüência
absoluta
simples
e) menor do que menos um.
Ponto Freqüência
Médio Acumulada
Crescente
(X )
i
( fi )
Solução e comentário
(Xi – X)2
Xifi
2 l—— 4
7
3
7
221
(Xi – X)2.fi
4 l—— 6
9
5
16
45
Peso (Kg)
fi
Xi
Xi – X
2 l—— 4
7
3
–3,96
15,6816
109,7712
6 l—— 8
18
7
34
126
4 l—— 6
9
5
–1,96
3,8416
34,5744
8 l—— 10
10
9
44
90
6 l—— 8
18
7
0,04
0,0016
0,0288
8 l—— 10
10 l—— 12
6
11
50
66
10
9
2,04
4,1616
41,6160
10 l—— 12
6
11
4,04
16,3216
97,9296
Total
50
X
X
348
Total
50
X
X
X
283,92
Obs.: O aluno mais preparado poderia observar que a diferença X – Md seria pequena, próxima de zero, e que o
desvio padrão certamente seria maior do que 1,
chegando então a conclusão que a única opção
correta seria a opção D.
Cálculo da variância:
σ2 =
2
⋅ fi
∑ x i fi
N
então : X =
348
∴ X = 6,96 Kg
50
classe que contém a mediana: 6 l—— 8 , pois
∴
daí,
σ = 2,38 Kg
Cálculo da Média aritmética:
Cálculo da mediana:
N
σ 2 = 5 , 68 Kg 2 ∴
Prosseguindo, então:
X =
Prosseguindo, então:
∑ (X i − X )
Obs.: Antes de prosseguir com a solução, notamos que o
aluno mais preparado poderia observar que a distribuição acima é assimétrica negativa e portanto a
opção correta seria a opção B.
σ=
5 , 68
σ2
283 , 92
=
50
N
50
=
= 25
2
2
⎡ N
⎤ *
⎢⎣ 2 − Freq.Acum. Ant. ⎥⎦ ⋅ h
Md = l * +
i
fi
50
PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - [email protected]
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
Md = 6 +
[ 25 − 16 ].2
18
Md = 6 +1
∴
10 – Assinale a opção correta:
9⋅2
→ Md = 6 +
18
M d = 7 Kg
a)
A utilização de gráficos de barras ou de colunas
exige amplitude de classe constante na distribuição de freqüência;
b)
O histograma é um gráfico construído com
freqüências de uma distribuição de freqüência ou
de uma série temporal;
c)
O polígono de freqüência é um indicador gráfico
da distribuição de probabilidade que se ajusta à
distribuição empírica a que ele se refere;
d)
O histograma pode ser construído para a
distribuição de uma variável discreta ou contínua;
e)
O polígono de freqüência é constituído unindose os pontos correspondentes aos limites inferiores
dos intervalos de classe da distribuição de
freqüência.
Cálculo da Moda (Czuber):
classe modal:
M 0 = l i* +
6 |–— 8
[ f max
[ f max
− f ant ] ⋅ h
[
− f ant ] + f max − f post
]
então:
M0 = 6 +
Mo = 6 +
[18 − 9 ] ⋅ 2
[18 − 9 ] + [18 − 10 ]
Solução e comentário
18
17
A opção "B" é falsa, pois o histograma representa apenas
a distribuição de freqüência por classe .
∴
M 0 = 7,06 Kg
logo: X < M d < M 0
Resposta: Alternativa B
09 - Assinale a assertiva correta:
a) Toda medida de posição, ou de assimetria, é um
momento de uma variável aleatória;
b) A média aritmética é uma medida de posição, cuja
representatividade independe da variação da
variável, mas depende do grau de
assimetria da distribuição de freqüência;
c) Em qualquer distribuição de freqüência, a média
aritmética é mais representativa do que a média
harmônica;
d) A soma dos quadrados dos resíduos em relação
à média aritmética é nula;
A opção "C" é correta, mas seria necessário considerar as
freqüências relativas e as densidades das classes (freqüência relativa dividida pela amplitude), para se obter um indicador da distribuição de probabilidade. Esta opção está
mal formulada, forçando a resposta da questão. (ver Estatística básica Amilcar Gomes de Azevedo - pág. 80 - Livros
Técnicos e Científicos e Estatísticas Básica - Pedro Alberto
Marettin - pág. 118 - Atual Editora).
A opção "D" é falsa, porém, o gráfico (histograma) representa a tabulação feita através da distribuição de freqüência por classe, o que pode ser feito independentemente da
variável ser discreta ou contínua (ver Estatística Básica Pedro Alberto Marettin - pág. 12 - Atual Editora).
Opção "E" é falsa, pois o polígono de freqüência é
construído unindo-se os pontos médios das classes .
Opção "A" é absurda.
Resposta: Alternativa C
e) A moda, a mediana e a média aritmética são
medidas de posição com valores expressos em
reais que pertencem ao domínio da variável a que
se referem.
Solução e comentário
Opção "A", totalmente absurda.
Opção "C" é falsa pois a representatividade das médias
depende das peculiaridades dos dados.
Opção "D" é falsa, pois o que é zero é a soma dos desvios
em relação à média aritmética, e não à soma do quadrado
dos resíduos.
Opção "E" é falsa, pois a mediana e até mesmo a média
aritmética podem não pertencer ao domínio da variável.
Opção "B" é absurda.
Resposta: Não há opção correta.
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