θ θ θ θ π θ ω θ ω θ ω = ω α ω α ω α = π ω ω ω π

Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori.
Rotação dos corpos rígidos


Introdução:
Em algumas situações em física, não há a
possibilidade de estudar o movimento como se a
partícula fosse um ponto material. Citamos o
movimento de um CD/DVD, o movimento de uma serra
elétrica ou de uma roda gigante. Cada um deles envolve
um corpo que gira em torno de um eixo que permanece
estacionário em relação a algum sistema de referência
inercial. A rotação ocorre em todas as escalas, desde o
movimento de elétrons em torno de átomos até o
movimento de galáxias inteiras.
Desenvolveremos métodos especiais que
analisam o movimento de corpos que giram.
No mundo real, as forças que atuam nos corpos
podem ainda deformá-los, esticando-os, torcendo ou
comprimindo-os. Desprezaremos essas deformações,
supondo que o corpo mantenha sua forma definida e
imutável, cujo modelo denominamos de corpo rígido.


t2  t1
Unidade: Radiano por segundo: rad/s.
Velocidade angular instantânea:
  lim
t 0



1

t
2  1

t2  t1


Unidade: Radiano por segundo ao
quadrado: rad/s².
Aceleração angular instantânea:
  lim
t 0

t
d
dt
Ângulo θ:
s
r
   s  r 

Unidades:
Radiano:
Grau:
Grado:100 gr – 90°
  rad    

d
dt
Aceleração angular média:



t
Aceleração angular:

Velocidade angular e aceleração angular
Designamos por eixo fixo aquele que
permanece em repouso em relação a algum referencial
inercial e que não muda de direção.
 2  1

180
Velocidade angular:
 Velocidade angular média:


t

Observações: No MCU:
  
2
   2 f
T
f: Freqüência. Unidade: Hertz (Hz)
1 Hz = 1/s ou rpm=(1/60)Hz
T: período.
 r
 Exemplo 1 – A figura mostra o volante de um
carro que está sendo testado. A posição angular dessa
roda é:
  2  t 3  rad
s 
3
O diâmetro do volante é igual a 0.36m. Ache:
(a) o ângulo θ, em radianos e em graus, nos
instantes t1 = 2.0 s e t2 = 5.0 s.
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori.
(b) Ache a distância percorrida por uma
partícula na periferia do volante nesse intervalo de
tempo.
(c) Calcule a velocidade angular média, em
rad/s e em rev/min (rpm) entre t1 = 2.0 s e t2 = 5.0 s.
(d) Ache a velocidade angular instantânea para
t = 3.0 s.
 Exemplo 2 – Calcule a aceleração angular do
instantânea e a aceleração angular média entre os
instantes t1 = 2.0 s e t2 = 5.0 s do exemplo anterior:
  2  t 3  rad
s 
3

Solução:
d
d d
d 2
 
  2
dt
dt dt
dt
rad
  12  t 2
s
2  1

t2  t1
150  24
rad

   42 2
52
s

Rotação com aceleração angular constante:
    0    t

  0  0  t   t 2

2
    2      0 
2
Solução:
1  2  t13  1  2  23  1  16rad


  rad    
    180
180

16
   180  1  920

3
2  2  t2  2  2  53  2  250rad

   180

250
 
180   2  14000

(b) s  r   s  0.18   250  16
2
0
(a)
s  42m
(c)
  78

 2  1
t2  t1
 
250  16
52
rad
rad
rev
   78
 60    740
s
s
min
d
   6t2
(d)  
dt
  6  32    54 rad s
 Exemplo 3 – Rotação com velocidade
angular constante. Uma roda de bicicleta está sendo
testada em uma oficina de reparos. A velocidade
angular da roda é 4.00 rad/s no instante t = 0s e sua
aceleração angular é constante e igual a 1.20 rad/s2. Um
raio OP da roda coincide com o eixo Ox no instante t =
0s. (a) Qual a velocidade angular da roda no instante t =
2
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori.
3.00 s? (b) Qual é o ângulo formado pelo raio OP e o
eixo +Ox nesse instante?
 Exemplo 4 – Movimento de um disco. O
lançador de um disco gira com aceleração angular  =
50 rad/s², fazendo o disco se mover ao longo de uma
circunferência de raio 0.8m. Vamos supor que o braço
do lançador possa ser tratado como um corpo rígido,
logo, r é constante. Determine o componente vertical e
o componente horizontal da aceleração no instante em
que a velocidade angular é 10 rad/s.
3

(a)
Solução:
  0    t
  4  1.2  3    0.40
(b)
  0  0  t 
  0  43

2
rad
s
t2
 1.20   32    6.6rad

Solução:
m
s2
m
acp   2  r  acp  102  0.8  acp  80 2
s
aT    r  aT  50  0.8  aT  40
2
a  acp2  aT2
 Aceleração tangencial, centrípeta e resultante
a  802  402
m
a  89 2
s
 Exemplo 5 – Projeto de uma hélice. Você foi
solicitado para projetar a hélice de um avião que deve
girar a 2400 rpm. A velocidade do avião deve ser de
75.0 m/s (270 km/h), e a velocidade da extremidade da
lâmina da hélice não pode superar 270 m/s. (Isso é cerca
de 0.8 vezes a velocidade do som no ar. Se as
extremidades das lâminas se deslocassem com a
velocidade do som, elas poderiam produzir uma enorme
quantidade de ruído. Mantendo a velocidade menor que
a velocidade do som obtém-se um nível de ruído
aceitável.)
(a) Qual é o raio máximo que a hélice pode ter?
(b) Com esse raio, qual é a aceleração da
extremidade da hélice?

Aceleração tangencial:

Aceleração centrípeta ou normal:
aT    r
acp 

v2
 acp   2  r
r
Aceleração resultante:
a  a a
2
cp
2
T

Solução:
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori.
f  2400rpm  f 
f  40Hz
2 r1

1 r2
2400
Hz
60
  2 f    2  40    251.3
rad
s
A condição de que o espaçamento entre os
dentes é o mesmo nas duas rodas dentadas é dado por:
2  r1 2  r2
r
N

 1  1
N1
N2
r2 N 2
2 N1

1 N 2
(a) Velocidade tangencial de um ponto P na
extremidade da hélice::
vP    r
Velocidade do avião em relação ao ar: vA.
Velocidade total:
v  vA2  vP2  v  vA2   2  r 2
r2 
v 2  vA2
2
r
r  1.03m
2702  752
2512
(b) A velocidade angular da hélice é constante:
acp   2  r  acp  2512 1.03
acp  6.5 104
A velocidade angular de cada roda dentada é
inversamente proporcional ao número de dentes. Em
uma bicicleta com várias marchas, você obtém a
velocidade angular mais elevada 2 da roda traseira
pedalando com uma taxa 1 quando a razão N1/N2 é
máxima; isso significa que você deve usar a roda
dentada dianteira com maior raio (maior valor de N1) e a
roda traseira com menor raio (menor valor de N2).
m
s2
Força que a hélice exerce:
F
N
F  m  acp   6.5 104
m
kg
As hélices são fabricadas de materiais leves e
duros, como ligas de alumínio.
 Exemplo 6 – Engrenagem de uma bicicleta.
Como relacionar as velocidades angulares das duas
rodas dentadas de uma bicicleta com o número de
dentes de cada roda?
Energia do movimento de rotação
Um corpo girando constitui-se de massas em
movimento. Podemos escrever a energia dese
movimento em termos da velocidade angular do corpo:
A energia cinética total do corpo é a soma das
energias cinéticas de todas as partículas do corpo:
N
N
1
1
2
K   mi  vi2  K   mi    ri 
i 1 2
i 1 2
1 N

K   mi  ri 2    2
2  i 1


Momento de Inércia
Definimos como momento de inércia, o
produto pela massa com o quadrado de sua distância ao
eixo de rotação. A palavra momento dá a idéia de que I
depende da maneira como que a massa do corpo é
distribuída no espaço.
N
I   mi  ri 2
i 1

Unidade: kg.m2.
K
1
I 2
2
Exemplos associados a momento de inércia:

Solução:
v1  v2  1  r1  2  r2
4
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori.
Observação: O momento de inércia de um
corpo depende da localização e da orientação do eixo.
 Exemplo 7 – Momento de inércia em relação
a diferentes eixos de rotação. Um engenheiro está
projetando uma parte de uma certa máquina que
consiste em três conectores pesados ligados por suportes
leves,. Os conectores podem ser considerados como
partículas pesadas conectadas por hastes com massas
desprezíveis.
(a) Qual é o momento de inércia desse corpo em
relação a um eixo perpendicular ao plano do desenho
passando no ponto A?
(b) Qual é o momento de inércia desse em torno de
um eixo que coincide com a haste BC?
(c) Se o corpo gira em torno de um eixo
perpendicular ao plano do desenho e passa por A, com
velocidade angular  = 4.0 rad/s, qual é a sua energia
cinética?

5

 Solução:
(a) A partícula no ponto A está sobre o eixo.
Sua distância r é 0. Assim:
N
I   mi  ri 2
i 1
I  0.1 0.52  0.2  0.42
I  0.057kg  m2
(b) As partículas em B e em C estão sobre o
eixo. Para elas, r = 0. Assim:
N
I   mi  ri 2
i 1
I  0.3  0.42
I  0.048kg  m2
1
2
1
2
(c) K  I   2  K  0.057  42  K  0.46 J
Momento de inércia de figuras:
Teorema dos eixos paralelos
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori.
  20 rad s
v    r  v  20  0.06
I P  ICM  M  d 2
v  1.2
 Exemplo 9 – Desenrolando um cabo. Um
cabo leve, flexível e não deformável, é enrolado várias
vezes em torno da periferia de um tambor, um cilindro
sólido com um diâmetro de 0.120m e massa igual a 50
kg, que pode girar em torno de um eixo estacionário
horizontal mantido por mancais sem atrito. A
extremidade livre do cabo é puxada por uma força
constante de módulo igual a 9.0 N deslocando-se uma
distância de 2.0 m. Ele se desenrola sem deslizar
fazendo o cilindro girar. Se o cilindro inicialmente está
em repouso, calcule sua velocidade angular e a
velocidade escalar final do cabo.
 Solução:
Existe atrito entre o cabo e o cilindro: é isso
que faz o cilindro girar assim que puxamos o cabo.
Porém, como o cabo não desliza, não existe nenhuma
velocidade relativa de deslizamento entre o cabo e o
cilindro, e nenhuma energia mecânica é perdida em
virtude do atrito. A variação de energia cinética do
cilindro é igual ao trabalho W = F s realizado pela força
F = 9.0 N que atua em um deslocamento s = 2.0 m;
portanto, W = 9.2 = 18J. De acordo com a tabela de
momentos de inércia:
I
1
M  R2
2

1
I  50  0.62  I  0.090 kg  m2
2

Como o cilindro está inicialmente em repouso,
pelo teorema trabalho-energia:
W  K 2  K1  W 
1
1
I   2  I 02
2
2
Como o corpo está em repouso:
0  0

2W
2 18
 
I
0.090
m
s
 Exemplo 10 – Desenrolando um cabo II. Em
uma experiência de laboratório para testar a
conservação da energia mecânica de rotação, enrolamos
um cabo leve e flexível em torno de um cilindro maciço
de massa M e raio R. O cilindro gira com atrito
desprezível em torno do eixo horizontal estacionário.
Amarramos a extremidade livre do cabo a um
objeto de massa m e libertamos o objeto sem velocidade
inicial a uma distância h acima do solo. À medida que o
objeto cai, o cabo se desenrola sem deslizar nem se
esticar, fazendo o cilindro girar. Calcule a velocidade do
objeto que cai e a velocidade angular do cilindro no
instante que o objeto atinge o solo.
 Solução:
Inicialmente, o sistema não possui nenhuma
energia cinética (K1 = 0). Consideramos a energia
potencial igual a zero quando o objeto está no nível do
solo. Logo, U1 = m.g.h e U2=0. (Podemos ignorar a
energia potencial gravitacional do cilindro, visto que sua
altura não varia). Assim, o atrito não realiza trabalho,
logo:
WF  U 2  K2  U1  K1   0
O cabo não realiza trabalho total, porque em
uma extremidade a força e o deslocamento estão no
mesmo sentido, e na outra extremidade a força possui
sentido contrário ao do deslocamento. Logo, o trabalho
total do cabo é igual a zero. Imediatamente antes de o
objeto colidir com o solo, tanto o objeto quanto o
cilindro possuem energia cinética. A energia cinética
total K2 nesse instante é:
K2 
1
1
m  v2  I   2
2
2
6
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori.
I
1
M  R 2  cilindro 
2
v R
A velocidade da massa que cai deve ser igual à
velocidade tangencial de um corpo na periferia do
cilindro. Usando essas relações e igualando a energia
total inicial com a energia total final, teremos:
U 2  K2  U1  K1
1
11
 v 
0  m  g  h  m  v 2   M  R 2  
2
22
 R 
1
1 
m  g  h   m  M  v2
2
2 
v
2
2g  h
M
1
2m
 Exemplo 11 – Uso do teorema dos eixos
paralelos. Uma das partes de uma articulação mecânica
possui massa igual a 3.6 kg. Medimos seu momento de
inércia em relação a um eixo situado a uma distância de
0.15 m do seu centro de massa e encontramos o valor IP
= 0.132 kg.m2. Qual o momento de inércia em relação a
um eixo que passa pelo seu centro de massa Icm?
Velocidade angular final:

v
R
Observe que:
M m v 0
M  m  v  2g  h
Veja que v não depende do raio do cilindro!

Solução:
I P  I cm  M  d 2
I cm  I P  M  d 2
I cm  0.132  3.6  0.152
I cm  0.051 kg  m2 

Cálculos de momento de inércia.
Quando um corpo rígido não pode ser
representado por massas puntiformes, podemos escrever
a relação integral:
I

r 2 dm
corpo
Dependendo de como a massa está distribuída,
podemos definir as densidades:
Densidade Símbolo Definição Unidade
Linear

Superficial

Volumétrica

M
L
M

A
M

V

kg
m
kg
m2
kg
m3
7
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori.
Para o caso unidimensional, podemos definir:

dm
 dm    dl
dl
I   r 2   dl
 Solução:
Escolhendo um elemento de massa de uma
seção reta da barra com comprimento dx situado a uma
distância x do ponto O. Assim, se a densidade linear é
uniforme:
corpo
Para corpos bi e tridimensionais, veja a tabela a
seguir.
Tabela - Definições de Momentos, Momentos de
inércia e centro de massa.
Corpos
Bidimensionais
(Figuras Planas)
Centro de
Massa
( xm , y m )
xm 
 x   dA
R
  dA
xm 
 x   dV
ym 
 y   dA
R
  dA
  dV
 y   dV
R
  dV
R
R
zm 
 z   dV
R
  dV
R
Momentos
Lâmina
Sólido
M y  xm
M xy  zm
M x  ym
M xz  ym
M yz  xm
Momentos de
Inércia
Figuras Planas
 y  dA
2
Ix
R
2
R
Io, Iz
 ( x
R
Corpos Tridimensionais
 ( y
2
 z 2 )  dV
2
 z 2 )  dV
2
 x 2 )  dV
R
 x  dA
Iy
 ( x
R
2
 y 2 ) dA
L h
I

h
x2
M
M
 dx  I 

L
L
R
R
ym 
dm M
M

 dm 
 dx
dx
L
L
I   r 2 dm
corpo
Corpos tridimensionais
R
( xm , y m , z m )

 ( y
R
 Exemplo 12 – Barra delgada uniforme, eixo
ortogonal ao seu comprimento. A figura mostra uma
barra ou vara delgada uniforme de massa M e
comprimento L. Determine seu momento de inércia em
relação a um eixo passando pelo ponto O, a uma
distância arbitrária h de uma de suas extremidades.
I
L h

x 2 dx
h
3 x Lh
M x

L 3
x  h

1
I  M L2  3L  h  3h 2
3

o Se o eixo passar pela extremidade esquerda: h = 0:
1
I  M  L2
3
o Se o eixo passar pela extremidade direita: h = L:
1
I  M  L2
3
o Se o eixo passar pelo centro: h=L/2:
I
1
M  L2
12
 Exemplo 13 – Cilindro maciço ou oco
girando em torno de seu eixo. A figura mostra um
cilindro oco e uniforme com comprimento L, raio
interno R1 e externo R2 e massa M. Calcule o momento
de inércia em relação ao eixo de simetria do cilindro.
8
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori.
   R 2

2
I  2
  R  x 2  dx 
 2 0

8 5
I
R
15
M
M


4
V
 R3
3
3M

4 R3
8 5
I
R 
15

 Solução:
dm   dV  dm    2  r  L  dr 

I
r 2 dm
corpo
R2
 r   2  r  L  dr 
I
2
R1
R2
I  2  L  r 3dr
I
  L
4
R1
R
4
2
 R14


8 5 3M
R 
15
4 R3
2
I  M  R2
5
I
 Exemplo 14 – Esfera homogênea de raio R e
eixo passando pelo centro. A esfera abaixo poderia ser
uma bola de bilhar. Determine seu momento de inércia.

Solução:
r  R2  x2
dm   dV  dm     r 2  dx


I

2
r dm
corpo
dm       R 2  x 2   dx
Para um disco:
dI 
dI 
1
2

R2  x2
dI 
 
2
1 2
r dm
2
      R  x   dx
2

 R2  x2
2

2
 dx
2
 Exemplo 15 – Movimento de um CD/DVD.
Em um compact disc ou digital video disc, as
informações são gravadas digitalmente em uma série de
pits (―buracos‖) e flats (regiões de áreas planas) sobre a
superfície do disco, representando uma série de binários
0 ou 1, que serão lidos pelo compact disc player e
convertidos em ondas sonoras. Os pits e as flat areas
são detetados por um sistema de um laser e lentes. O
comprimento de um certo número de zeros e uns
gravados é o mesmo ao longo de todo o disco, próxima
a borda ou próximo ao seu centro. Para que o
comprimento da região gravada de ―0s‖ e ―1s‖ sempre
passe pelo sistema de leitura lentes e laser no mesmo
período, a velocidade linear da superfície do disco na
região de leitura deve ser constante. Em um aparelho de
CD típico, a velocidade de leitura é da ordem de 1.3
m/s. Encontre a velocidade angular do disco quando a
informação está sendo lida do interior (first track) em r
= 23 mm e no exterior (final track) r = 58 mm.
9
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori.

Solução:
1.3
rad

i 
 i  56.5
2

v

2.3 10
s
i   
ri
  1.3    22.4 rad
e
e

5.8 102
s

56.5

fi 
 fi  8.99 Hz

i

2
fi 

2
 f  22.4  f  3.565Hz
e
e

2

fi (rpm)  f ( Hz )  60
 fi  539.4rpm

 f e  213.9rpm
10
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori.
Dinâmica do Movimento de Rotação

Introdução:
Ao usarmos uma chave de roda para retirar o
parafuso para trocar o pneu de um automóvel, a roda
inteira pode começar a girar, a menos que você descubra
um meio de mantê-la firme. O que ocorre com a força
que você realiza sobre a chave de roda que ocasiona a
rotação da roda? De modo geral, o que produz a
aceleração angular em um corpo que gira? Uma força
pode puxar, empurrar mas para produzir um movimento
de rotação é necessária uma ação giratória ou de
rotação.
Analisaremos uma nova grandeza física, o
torque, que descreve a ação giratória da força.
Desenvolveremos um novo princípio de
conservação, a lei da conservação do momento angular,
que é extremamente útil para entender o movimento de
rotação do corpo rígido e de corpos não rígidos. Uma
aplicação interessante é o movimento de um giroscópio,
que se comporta de acordo com a dinâmica do
movimento de rotação.
11
Torque
Definimos como torque, ou momento da força

F em relação a um ponto O como sendo o produto da
distância l perpendicular entre o ponto O e a linha de
ação da força e o módulo da força

  F l
Em notação vetorial:



  r F
 Unidade: N.m
 
F : F . Assim:
 Exemplo 1 – Um bombeiro hidráulico, incapaz
de afrouxar a conexão de um tubo, encaixa um pedaço
de sucata (―uma alavanca‖) sobre a haste da chave de
grifa. A seguir ele usa seu peso de 900 N para ficar em
pé na extremidade da alavanca. A distância entre o
centro da conexão e o ponto onde o peso atua é igual a
0.80 m, e o eixo da alavanca faz um ângulo de 19° com
a horizontal.
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori.
Calcule o módulo, a direção e o sentido do
torque que ele aplica em torno do centro de conexão.

Solução:
  I 
 
O ângulo  entre r e F é igual a 190°. Assim,
o braço l da alavanca é:
l  0.8  sen109  l  0.76m
  F  l    900  0.76
  680N  m
12
 Torque e aceleração angular de um corpo
rígido.
A relação fundamental para a dinâmica da
rotação de um corpo rígido pode ser feita se
imaginarmos que o corpo constituí de um número
grande de partículas. Escolhemos para o eixo de rotação
o eixo Oy; a primeira partícula de massa m1 está a uma
distância r1 do eixo. Assim, a segunda lei de Newton
para o movimento tangencial é:
F1,tan  m1  a1,tan
F1,tan  r1  m1  r12  
Somando sobre todas as partículas:
    m  r  
2
i
i
i
Segunda lei de Newton para o movimento de
rotação:
 Exemplo 2 – Desenrolando um cabo. A
figura mostra a mesma situação mostrada no exemplo
do capítulo anterior.
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori.
R T  I   R T 
Um cabo é enrolado diversas vezes em torno de
um cilindro sólido uniforme que pode girar em torno de
seu eixo. O cilindro possui diâmetro igual a 0.120 m e
massa de 50 kg. O cabo é puxado com uma força de 9.0
N. Supondo que o cabo seja desenrolado sem se dilatar
e sem deslizar, qual sua aceleração?

Solução:
  F  l    9  0.060
  0.54N  m
1
I  M  R2
2
1
I  50  0.062
2
I  0.09  kg  m2 



I
0.054
rad
   6.0 2
0.090
s
 Exemplo 3 – Desenrolando um cabo II.
Suponha a mesma situação mostrada no exemplo
anterior. Ache a aceleração do objeto de massa m e a
aceleração angular do cilindro.
y
R
1
T  M a
2
a  atan  R  
1
m g  M a  ma
2
g
a
M
1
2m
1
T  M a
2
1
g
T M
M
2
1
2m
M
g
M 2m  g
T

T 

2
m

M
2
2 2m  M
2m
mM
T
g
2m  M
 Exemplo 4 – Um cavaleiro de massa m1
desliza sem atrito ao longo de um trilho de ar horizontal.
Ele está ligado a um objeto de massa m2 por meio de um
fio de massa desprezível. A polia é uma casca cilíndrica
(ligada ao centro por raios de massa desprezível) com
massa M e raio R, e o fio faz o cilindro sem deslizar
nem dilatar. Ache a aceleração angular da polia e a
tensão em cada parte do fio.
 Solução:
As equações de movimento para o cavaleiro e o
objeto são:
 Solução:
F
1
M  R2 

2
a
 m g T  m a
O peso Mg e a força normal N não possuem
torque em relação ao eixo de rotação.
Assim:
  I 
F
x
F
y
 T1  m1  a1
 m2  g  T2  m2  a2
Momento de inércia da polia em torno do eixo:
I  M  R2
13
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori.
Considerando positivo o sentido da rotação dos
ponteiros do relógio, a equação do movimento da polia
é:
  I   T  R  T  R  M  R
2
1
2

Como o fio não dilata nem desliza, temos as
relações cinemáticas adicionais:
a1  a2  R  
Juntando as equações, teremos:
T1  m1  a1


m2  g  T2  m2  a2
 T T  M a
1
 2 1
Somando
eliminando-se T1 e T2:
equações
e
 Movimento combinado de rotação
translação: Relações envolvendo energia.
e
a1 
as
três
14
m2
g
m1  m2  M
Substituindo na relação acima:
m1  m2
g
m1  m2  M
 m  M   m2  g
T2  1
m1  m2  M
T1 
Todo movimento de um corpo rígido pode ser
sempre dividido em um movimento de translação do
centro de massa e outro de rotação em torno do centro
de massa. A energia cinética do corpo possui duas
parcelas: uma devida à translação do centro de massa e
outra devida à rotação:
K

1
1
2
M  vcm
 I cm   2
2
2
Condição para rolamento sem deslizamento:
vCM  R  
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
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3
2
M  vcm
0
4
4
vcm 
g h
3
0 M  g h 
 Exemplo 5 – Enrolamento de uma casca
cilíndrica. Uma casca cilíndrica oca de raio R e massa
M rola sem deslizar com uma velocidade vCM ao longo
de uma superfície plana. Qual a sua energia cinética?

Solução:
 Exemplo 7 – Competição entre corpos
girando. Em uma demosntração durante a aula de
física, o professor faz uma ―competição‖ de vários
corpos rígidos redondos, deixando-os rolar do alto de
um plano inclinado. Qual a forma do corpo que alcança
primeiro a parte inferior?
15
1
1
2
M  vcm
 I cm   2
2
2
2
1
1
v 
2
K  M  vcm
 M  R 2   CM 
2
2
 R 
2
K  M  vcm
K


 Exemplo 6 – Velocidade de um ioiô. Um ioiô
é feito enrolando-se um fio diversas vezes em torno de
um cilindro de massa M e raio R. Mantém-se presa a
extremidade enquanto o cilindro é liberado sem
velocidade inicial. O fio se desenrola, mas não desliza
nem se dilata à medida que o cilindro cai e gira. Use
considerações de energia para achar a velocidade do
centro de massa vCM do cilindro sólido depois que ele
caiu a uma distância h.
 Solução:
K1  0  U1  M  g  h  U 2  0
1
1
2
K 2  M  vcm
 I cm   2
2
2
K1  U1  K2  U 2
1
1
2
0  M  g  h  M  vcm
 I cm   2  0
2
2
Chamando de:
I cm  c  M  R 2
2
1
1
v 
2
M  g  h  M  vcm
 c  M  R 2   cm 
2
2
 R 
1
1
2
2
M  g  h  M  vcm
 M  vcm
c
2
2
1
2 gh
2
M  g  h  M  vcm
1  c   vcm 
2
1 c
 Solução:
1
1
2
M  vcm
 I cm   2
2
2
vCM
1

 I  M  R2
R
2
K
1
1 1
v 
2
K 2  M  vcm
  M  R 2   CM 
2
2 2
 R 
3
2
K 2  M  vcm
4
Aplicando a conservação da energia:
K1  U1  K2  U 2
2
Todos os cilindros sólidos possuem a mesma
velocidade no ponto inferior do plano, mesmo quando
possuem massas e raios diferentes, pois eles possuem o
mesmo valor da constante c. Todas as esferas sólidas
possuem a mesma velocidade na base do plano. Quando
menor o valor de c maior a velocidade do corpo quando
ele chega na parte inferior do plano. Observando a
tabela de momento de inércia, vemos que a ordem de
chegada do plano é: Qualquer esfera maciça, qualquer
cilindro maciço, qualquer esfera oca com parede fina ou
casca esférica e, finalmente, qualquer casca cilíndrica.
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori.
 Exemplo 8 – Aceleração de um ioiô. Ache a
aceleração de cima para baixo do ioiô e a tensão no fio.
1
M  acm
2
1
2
T M g
2
3
2
T  M g
3
T
 Exemplo 9 – Aceleração de uma esfera
rolando. Uma esfera de bliche sólida rola sem deslizar
para baixo de uma rampa ao longo de uma guia. O
ângulo de inclinação da rampa em relação à horizontal é
. Qual é a aceleração da bola? Considere a bola uma
esfera homogênea sólida, desprezando seus orifícios.
 Solução:
A equação para o movimento de translação do
centro de massa é:
F
y
 M  g  T  M  acm
O momento de inércia em relação a um eixo
que passa pelo centro de massa:
1
I  M  R2
2
Somente a força de tensão possui torque em
relação a um eixo que passa pelo centro de massa é:
  T  R  I
cm
  T  R 
1
M  R2 
2
Como o fio se desenrola sem se deslizar:
vCM  R  
aCM  R     
aCM
R
1
M 
R 
2
acm
1
T  M  acm
2
M  g  T  M  acm
1
M  g  M  acm  M  acm
2
1
M  g  M  acm  M  acm
2
3
2
M  g  M  acm  acm  g
2
3
T
 Solução:
A figura mostra o diagrama de corpo livre,
mostrando o sentido positivo das coordenadas.
Usando o momento de inércia da esfera sólida:
I
2
M  R2
5
Equações de translação e rotação do centro de
massa e chamando de f a força de atrito:
F
x
 M  g  sen  f  M  acm
  f  R  I
Como: aCM
2
M  R2 
5
aCM
 R    
R
cm
  f  R 
Substituindo, teremos:
2
M  acm
5
M  g  sen  f  M  acm
2
M  g  sen  M  acm  M  acm
5
2
M  g  sen  M  acm  M  acm
5
7
5
M  g  sen  M  acm  acm   g  sen
5
7
f 
16
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori.
f 
2
2
5
M  acm  f  M   g  sen
5
5
7
2
f   M  g  sen
7
Coeficiente de atrito:
2
 M  g  sen
f
7
 
N
M  g  cos 
2
  tg 
7
 Trabalho e potência no movimento de rotação
Podemos escrever:
dW  Ftan ds  ds  R  d
dW  Ftan R  d
dW    d
2
Podemos desenvolver:
d
 d
dt
dW  I    d
d
 d
dt
dW  I 
2
W   I    d
1
1
1
I  22  I  12
2
2
dW
d
 
dt
dt
P   
Wtot 
P

6000
Hz
60
f  100Hz
f  6000rpm 
rad
s
1.49 105

200
1
dW  I    d  dW  I 
P      
  2  f    2 100    200
W     d
dW    d
 Exemplo 10 – Um anúncio fazendo
propaganda da potência desenvolvida pelo motor de um
automóvel afirma que o motor desenvolve 1.49.10 5W
para uma rotação de 6000 rpm. Qual é o torque
desenvolvido pelo motor?

Solução:
  237N  m
 Exemplo 11 - Um motor elétrico desenvolve
um torque constante de  = 10 N.m sobre o esmeril
montado no seu eixo motor. O momento de inércia é I =
2.0 kg.m². Sabendo que o sistema começa a se mover a
partir do repouso, calcule o trabalho realizado pelo
motor em 8.0 s e a energia cinética no instante final.
Qual a potência média desenvolvida pelo motor?
 Solução:
  I    

I
10
rad
    2
2
s
   t
rad
  5  8    40
s
1
1
K  I   2  K  2  402  K  1600 J
2
2
1
1
    t 2    5  82    160rad
2
2
W      W  10 160  W  1600 J
W
1600
P
P
 P  200W
t
8
17
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
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A potência instantânea P = não é constante,
porque  cresce continuamente. Porém podemos
calcular o trabalho total por:
t2
t2
W   P  dt  W       dt
t1
t1
t2
8
W       t  dt   10  5  tdt
t1

 

dL 
 vmv
 r  ma


dt
0

dL  
 r F
dt 
dL 

dt
0
W  50
2 t 8
t
2
 W  1600 J
18
t 0
 Momento angular

Uma grandeza análoga ao momento linear p de uma
partícula é o momento angular, que representamos por

L . Definimos como:
  
Lrp
Para um corpo rígido de i partículas, o momento
angular de cada uma será:
Li  mi  vi  ri
Li  mi   ri  i   ri
Li  mi  ri 2  i
L  m  v  r  sen
L  mv l
Pode-se mostrar que a taxa de variação do momento
angular é igual ao torque da força resultante:



dL dr   dp

 pr
dt
dt
dt



  mdv
dL dr

 mv  r 
dt dt
dt
L   Li  L   mi  ri 2  i
L  I 
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
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19
 Exemplo 12 – A hélice da turbina de um motor
a jato possui momento de inércia 2.5 kg.m² em torno do
eixo de rotação. Quando a turbina começa a girar, sua
velocidade angular em função do tempo é dada por
  400  t 2 rad s3 
(a) Calcule o momento angular da hélice em função
do tempo e ache seu valor em t = 3.0 s.
(b) Determine o torque resultante que atua sobre a
hélice em função do tempo e calcule seu valor para t =
3.0 s.
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
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 Solução:
2
(a) L  I    L  2.5  400  t
L  1000  t 2
kg  m2
L  t  3  1000  32  L  9000
s
dL
(b)  
   1000  2t
dt
  2000  t
  t  3  2000  3    6000 N  m

Conservação do momento angular
Princípio da conservação do momento angular: Esse
princípio vale em todas escalas, desde o sistema
atômico como o planetário e decorre da equação:

dL 

dt

dL 
 
Quando  i  0 
0
dt
i
Podemos escrever também:
I1  1  I 2  2
 Exemplo 13 – Qualquer um pode ser
bailarino. Um professor de física acrobata está de pé
sobre o centro de uma mesa girante, mantendo seus
braços estendidos horizontalmente com um haltere de
5.0 kg em cada mão.
Ele está girando em torno de um eixo vertical
completando uma volta a cada 2.0 s. Calcule a nova
velocidade angular do professor quando ele aproxima os
dois halteres do seu estômago e discuta como isso
modifica a sua energia cinética. Seu momento de
inércia (sem os halteres) é igual a 3.0 kg.m² quando seus
braços estão distendidos para fora, diminuindo para 2.2
kg.m² quando suas mãos estão próximas do seu
estômago. Os halteres estão inicialmente a uma
distância de 1.0 m do eixo e a distância final é igual a
0.20 m. Considere o halteres como partículas.

20
Solução
I  I prof  I halteres
I1  3  2  5 12
I1  13kg  m2
I 2  2.2  2  5  0.22
I 2  2.6kg  m2
f 
1
1
rad
 f  Hz    2 f    
T
2
s
I1  1  I 2  2
I
13
rad
2  1  1  2 
   2  5
I2
2.6
s
I
13
f 2  1  f1  f 2 
 0.5  f 2  2.5Hz
I2
2.6
1
1
K1  I1  12  K1  13   2  K1  64 J
2
2
1
1
2
K 2  I 2  22  K 2  2.6   5   K1  320 J
2
2
 Exemplo 14 – A figura mostra 2 discos, um
deles é o volante de um motor e o outro é um disco
ligado a um eixo de transmissão. Seus momentos de
inércia são IA e IB, respectivamente; inicialmente eles
estão girando com a mesma velocidade angular A e B,
respectivamente. A seguir empurramos os dois discos
um contra o outro aplicando forças que atuam ao longo
do eixo, de modo que sobre nenhum dos dois discos
surge torque em relação ao eixo. Os discos permanecem
unidos um contra o outro e atingem uma velocidade
angular final . Deduza uma expressão para .
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
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K2 
K2 
 Solução:
O único torque que atua sobre cada disco é o torque
que cada disco exerce sobre o outro disco; não existe
nenhum torque externo. Logo o momento angular total
do sistema dos dois discos é o mesmo antes e depois de
eles serem unidos. No equilíbrio final eles giram juntos
como se constituíssem um único corpo com momento
de inércia:
I  I A  IB
A conservação do momento angular fornece:
I A  A  I B  B  I  
I   I 
 A A B B
I
I A   A  I B  B

I A  IB
1
 I A  IB  2
2
1
 0.04  0.02  1002
2
K2  300 J
Um terço da energia foi perdida na ―colisão
angular‖, o análogo rotacional de uma colisão linear
completamente inelástica. Não deveríamos esperar
conservação da energia cinética, embora a força externa
resultante e o torque resultante sejam nulos, porque
existem forças internas não conservativas (forças de
atrito) que atuam enquanti os dois discos começam a
girar unidos e tendem a girar com uma velocidade
angular comum.
 Exemplo 16 – Momento angular em uma
ação policial. Uma porta de largura 1 m e massa de 15
kg é articulada com dobradiças em um dos lados de
modo que possa girar sem atrito em torno de um eixo
vertical. Ela inicialmente não está aberta. Um policial dá
um tiro com uma bala de 10 g e velocidade de 400 m/s
exatamente no canto da porta. Calcule a velocidade
angular da porta imediatamente depois que a bala
penetra na porta. A energia cinética se conserva?
 Exemplo 15 – No exemplo anterior, suponha
que o volante A tenha massa de 2.0 kg, um raio de 0.20
m e uma velocidade angular inicial de 200 rad/s.
Calcule a velocidade angular comum final  depois que
os discos ficam em contato. A energia cinética se
conserva nesse processo?
 Solução:
1
1
mA  rA2  I A  2  0.22  I A  0.040kg  m2
2
2
1
1
2
I B  mB  rB  I B  4  0.12  I B  0.020kg  m2
2
2
IA 

I A   A  I B  B
I A  IB
0.04  50  0.02  200
0.04  0.02
rad
  100
s
1
1
K1  I A   A2  I B  B2
2
2
1
1
K1  0.04  502  0.02  2002
2
2
K1  450 J

 Solução:
Considere um sistema formado pela porta
juntamente com a bala em seu interior. Não existe
nenhum torque externo em torno do eixo definido pelas
dobradiças, de modo que o momento angular em torno
desse eixo deve se conservar. O momento angular da
bala é:
L  m  v  l  L  0.01 400  0.5
L  2kg  m2 s
O momento angular final é:
L  I 
I  I porta  Ibala
I
mp  d 2
3
 mbala  l 2
21
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
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15 12
I
 0.010  0.52
3
I  5.0025kg  m2
mv L
L  I    
I
2
rad

   0.40
5.0025
s
A colisão entre a porta e a bala é inelástica porque
forças não conservativas atuam durante o impacto da
bala. Logo, não esperamos que haja conservação da
energia cinética. Para conferirmos, calculamos a energia
cinética inicial e final:
1
1
K1  m  v 2  K1  0.010  4002
2
2
K1  800 J
1
K2  I   2
2
1
K 2  5.0025  0.42
2
K2  0.40 J

L  3.6 105  kg  m2 s   kˆ


(c) L  I  
 1

L   m  R 2     kˆ
2

 1

L   1200  202   0.75  kˆ
2


L  1.8 105  kg  m2 s   kˆ
 Exemplo 18 - A máquina de Atwood tem
dois corpos de massa m1 e m2 ( sendo m1 maior que m2),
ligados por um cordel de massa desprezível que passa
por uma polia cujos rolamentos não oferecem atrito. A
polia é um disco uniforme, de massa M e raio R. O
cordel não escorrega na polia. Determinar a aceleração
angular da polia e a aceleração dos dois corpos pela
equação:
N


i 1
i , ext

dL

dt
A energia cinética final é apenas 1/2000 da energia
cinética inicial.
 Exemplo 17 - Determinar, em cada caso, o
momento angular para as seguintes situações:
(a) um carro de 1200 kg percorre no sentido
anti-horário um círculo com 20 m de raio com
velocidade de 15 m/s.
(b) o carro mencionado desloca-se com
velocidade

v  15  m s   iˆ sobre a reta y = y0 =20m,
paralela ao eixo x.
(c) um disco, no plano xy, com raio de 20 m e a
massa de 1200 kg, girando a 0.75 rad/s em torno do seu
eixo, que coincide com o eixo z.

Solução:
  

(a) L  r  p  L  r  m  v  kˆ


L  20 1200 15  kˆ  L  3.6 105  kg  m2 s   kˆ


(b) r  x  iˆ  y  ˆj  r  x  iˆ  y0  ˆj



p  m  v  p   p  iˆ
  

L  r  p  L  x  iˆ  y0  ˆj   p  iˆ

L  y0  p  kˆ

 


Solução:

dL
 i ,ext 

dt
i 1
Lz  Lp  L1  L2
N

Lz  I    m1  v  R  m2  v  R
 z ,res  m1  g  R  m2  g  R
dL
 z ,res  Z
dt
d
m1  g  R  m2  g  R   I    m1  v  R  m2  v  R 
dt
m1  g  R  m2  g  R  I    m1  a  R  m2  a  R
22
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
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1
a
M  R 2    m1  m2   a  R
2
R
m1  m2
a
g
1
M  m1  m2
2
 m1  m2   g  R 
 Exemplo 19 – Um disco gira em torno de um
eixo sem atrito, que coincide com o respectivo eixo de
simetria, com velocidade angular inicial i, como
mostra a figura. O seu momento de inércia em relação
ao eixo é I1. Num certo instante, o disco cai sobre o
outro, de momento de inércia I2, montado sobre o
mesmo eixo. Graças ao atrito entre as duas superfícies
em contato, os dois discos atingem uma velocidade
angular comum aos dois, f. Calcular essa velocidade
angular.
 Solução:
A velocidade angular final está relacionada com a
inicial pela conservação do momento angular:
L f  Li
 I1  I 2    f
f 
 I1  i
I1
 i
I1  I 2
 Exemplo 20 – Um carrossel com 2 m de raio
e 500 kg.m2 de momento de inércia gira em torno de seu
eixo, sem atrito, completando uma volta a cada 5 s.
Uma criança, com 25 kg, está inicialmente no centro do
carrossel e depois caminha até a borda. Calcular a
velocidade angular que terá, então, o carrossel.
I
m
 m  R 2    f  I m  i
Im
 i
Im  m  R2
500
f 
 i
500  25  22
5
 f   i
6
5 1
1 rev
f    f 
6 5
6 s
f 
 Exemplo 21 – A criança mencionada no
exemplo anterior corre com velocidade 2.5 m/s sobre
uma tangente à beira da plataforma do carrossel, que
está imóvel, e pula para a plataforma. Calcular a
velocidade angular final da criança no carrossel.
 Solução:
Momento angular inicial da criança correndo em
relação ao centro da plataforma do carrossel:
Li  m  v  R
Expressão do momento angular final do sistema
criança-carrossel em termos da velocidade angular final
f:
Lf   m  r 2  Im   f
Igualando as expressões:
m R
L f  Li
2
 Im   f  m  v  R
mv R
m  R2  Im
rad
 f  0.208
s
f 
 Solução:
Pela conservação do momento angular:


L f  Li
I sis , f   f  I sis ,i  i
I sis  I m  I c  I m  m  r 2
 Exemplo 22 – Uma partícula de massa m
descreve, com velocidade v0, um círculo de raio r0 sobre
a superfície de uma mesa horizontal sem atrito. A
partícula está presa a um fio que passa por um buraco na
mesa, no centro do círculo. O fio é lentamente puxado
para baixo, de modo que a partícula acaba descrevendo
um círculo de raio rf.
23
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
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r  rf
L20
W
2 m  r2
W
r  r0
L 1 1
  
2  m  rf2 r02 
2
0
(a) Calcular a velocidade final em termos de r0, v0 e
rf.
(b) Calcular a tensão T no fio quando a partícula
descreve um círculo de raio rf em termos de m, r e do
momento angular L0  m  v0  r0 .
(c) Calcule o trabalho feito pela partícula pela tensão

 Exemplo 23 – Uma barra de massa M e
comprimento d pode girar em torno de um eixo fixo a
uma de suas extremidades. Uma bola de massa plástica,
com massa m e velocidade v, atinge a barra a uma
distância x do eixo e fica grudada na barra.

T, integrando T  dr de r0 até rf. Dar a resposta em
termos de r0, rf e L0.
 Solução:
(a) A conservação do momento angular relaciona as
velocidades final à inicial e os raios inicial e final:


L f  L0
m  v f  rf  m  v0  r0  v f 

(b) Como

r0
 v0
rf
 F  ma
i
i
v2
r
m  v f  rf  m  v0  r0  L0
T  m
v
Achar a razão entre a energia final e a energia inicial
do sistema.
L0
mr
2
 L0 


2
v
mr 
T  m  T  m 
r
r
2
L
T 03
mr
(c) O trabalho é:
 
dW  T  dr  dW  Tr  dr
L20
Tr 
m  r3
dW  
2
0
 Solução:
1.
Energia cinética depois da colisão em termos
do momento angular Li e do momento de inércia I´do
sistema bola-massa:
Ef 
2
0
L
L
 dr  W   
 dr
3
3
mr
m

r
r0
2 I
2.
Conservação do momento angular para
relacionar Li a m, v e x:


L f  Li  L f  Li  m  v  x
3.
O momento de inércia I´:
1
I   m  x2  M  d 2
3
4.
rf
L2f
As expressões de Lf e de I´na equação de Ef
ficam:
Ef 
L2f
2 I
 Ef 
m  v  x
2
1


2   m  x2  M  d 2 
3


24
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
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3  m2  v 2  x 2 
Ef  

2  3m  x 2  M  d 2 
(h)
5.
A razão entre a energia cinética depois da
colisão e a energia inicial da bola de massa plástica é
então:
3  m2  v 2  x 2 
E f 2  3m  x 2  M  d 2 

1
Ei
m  v2
2
Ef
3m  x 2

Ei 3m  x 2  M  d 2
 Exemplo 24 – Calcule o torque de cada força
em relação ao ponto O em cada caso:
F = 10N
L = 4m
(g)
F1=180N
F2 = 26N
F3 = 14N

(a) 

 40  N  m   kˆ
 34.6  N  m   kˆ

(c)   20  N  m   kˆ



(d)   17.3  N  m   kˆ (e)   0  kˆ (f)   0  kˆ


(g)  F  1.62  N  m   kˆ ;  F  2.34  N  m   kˆ
1
2

ˆ
 F3  1.78  N  m   k
 


(h)    F   F   F  5.3  7.5  0  N  m   kˆ ;
1
2
3

  0.726  N  m   kˆ
(b) 
25
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e o linear são grandezas vetoriais. Em particular,
precisamos da relação geral entre o torque resultante

de
 que atua sobre um corpo e a taxa de variação


momento angular L , dada por

dL
  dt .
Vamos
inicialmente aplicar essa equação ao caso em que o
volante não está girando. Tomamos a origem sobre o
ponto O do pivô e supomos que o volante seja
simétrico, com massa M e momento de inércia I em
torno do eixo do volante. O eixo do volante está
inicialmente na direção ao longo do eixo Ox. As únicas
forças que atuam sobre o giroscópio são a força normal

Giroscópios e precessão
Se o eixo do volante for inicialmente colocado
horizontalmente e depois largado, sua extremidade livre
começará a cair sob a ação da gravidade, se o volante
inicialmente não estava girando. Porém, quando o
volante está inicialmente girando, o que ocorre é
basicamente diferente. Um movimento possível é o
movimento circular uniforme do eixo em um plano
horizontal combinado com o movimento de rotação do
volante em torno desse eixo. Esse movimento
surpreendente, que não é intuitivo, denomina-se
precessão. A precessão ocorre na natureza, assim como
nas máquinas que giram, como no caso do giroscópio. A
Terra sofre precessão: seu eixo de rotação ( o eixo que
liga o pólo norte ao pólo sul) muda constantemente de
direção, e a direção desse eixo só retorna exatamente à
posição inicial depois de um ciclo completo de
precessão que dura 26000 anos.

que atua sobre o pivô N e o peso w do volante que atua
no centro de massa, situado a uma distância r do pivô.
A força normal possui torque nulo em relação ao

pivô e o peso possui torque  na direção do eixo Oy ,
como indicado na figura a seguir.
Inicialmente não existe rotação e o momento angular

inicial Li

 0 .Pela equação:

dL
  dt


A variação dL do momento angular em um intervalo de
tempo curto dt é:
 
dL    dt
Para estudar o estranho fenômeno da precessão,
devemos nos lembrar que o torque, o momento angular

Essa variação está na direção Oy porque  também
está. À medida que decorre cada intervalo de tempo dt, o
26
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momento angular varia em incrementos adicionais dL
na direção Oy porque a direção do torque é constante. O
aumento crescente do momento angular horizontal
significa que o giroscópio gira para baixo com
velocidade crescente em torno do eixo Oy até que ele
atinja o suporte ou então que caia na mesa onde ele se
apoia.
Vamos agora analisar o que ocorre quando o
volante está inicialmente girando, de modo que o

Li não é igual a. Uma vez que

o volante gira em torno do eixo de simetria Li está ao
momento angular inicial
longo desse eixo. Porém, cada variação de momento

angular dL é perpendicular ao eixo, porque o torque
  
  r   é perpendicular ao eixo. Isso faz com que a
No instante indicado na Figura (a), o giroscópio

L . Depois de um intervalo de


tempo curto dt, o momento angular passa para L  dL
possui momento angular
a variação infinitesimal do momento angular e

 
dL    dt que é perpendicular a L . Como indica o
diagrama vetorial da Figura, isso significa que o eixo
do volante do giroscópio girou de um ângulo pequeno
d dado por:

dL
d  
L
direção do eixo varie, porém seu módulo não varia. As

variações de dL ocorrem sempre no plano xy
horizontal, de modo que o vetor momento angular e o
eixo do volante que com ele se move estão sempre em
um plano horizontal. Em outras palavras, o eixo não cai
— ele apenas sofre precessão.
Caso isso ainda lhe pareça difícil, pense em uma
bola presa a um fio. Se a bola estiver inicialmente em
repouso e você puxar o fio para você, a bola também se
deslocará para você. Porém, se a bola estiver
inicialmente
se
movendo
e
você
puxá-la
perpendicularmente à direção do seu movimento, ela se
moverá em um círculo em torno de sua mão: ela não se
aproximará de sua mão. No primeiro caso a bola possuía
momento angular zero; quando você aplica uma força

F orientada para você durante um intervalo de tempo
 
dt, a bola adquire um momento linear dp  Fdt que
também está orientado para você. Porém, quando a bola

já possui um momento linear p , uma variação do


momento angular dp perpendicular a p produzirá uma
variação da direção do movimento, e não uma variação
do módulo da sua velocidade. Troque




p por L e F
por  neste raciocínio, e você verá que a precessão é
simplesmente o análogo relacional do movimento
circular uniforme.
A taxa com a qual o eixo se move. d/dt, denominase velocidade angular de precessão escalar:
representando essa grandeza por , achamos:


dL

L
d
 wr

 
dt
dt
L I 
Portanto a velocidade angular de precessão é
inversamente proporcional à velocidade angular da
rotação em torno do eixo. Um giroscópio que gira
rapidamente realiza uma precessão lenta; caso o atrito
nos mancais faça diminuir a velocidade angular do
volante, a velocidade angular de precessão aumenta. A
velocidade angular de precessão da Terra é muito lenta (
l rev/26000 anos) porque sua velocidade angular em
torno do eixo, ou velocidade angular de spin é muito
grande, e o torque 
devido às influencias
gravitacionais do Sol e da Lua é relativamente pequeno.
A medida que o giroscópio realiza uma precessão,
seu centro de massa se move em um círculo de raio r
sobre um plano horizontal. Seu componente vertical da
aceleração é zero, de modo que a torça normal de baixo

para cima N exercida pelo pivô deve ter módulo pre
cisamente igual ao peso. O movimento circular do
centro de massa com velocidade angular  necessita de

F orientada para o interior do círculo, com

2
módulo F  M   r . Essa força também deve ser
uma força
fornecida pelo pivô.
Uma hipótese básica que lidemos em nossa
analise do giroscópio foi que o vetor momento angular

L está associado somente com o momento angular de
spin do volante e e puramente horizontal. Contudo,
existirá também um componente vertical do momento
angular associado com o movimento de precessão do
27
Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação
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giroscópio.
Ignorando isso estamos tacitamente
supondo que a precessão é lenta, isto é, que a velocidade
angular de precessão  é muito menor do que a
velocidade angular de spin . Como a Equação anterior
de  mostra, um valor elevado de  automaticamente
fornece um valor pequeno de , de modo que essa
aproximação é razoável. Quando a precessão não é
lenta, efeitos adicionais mostram que surge um
movimento ondulado de cima para baixo, denominado
nutação do eixo do volante, que se superpõe com o
movimento de precessão. Você pode ver o movimento
de nutação ocorrendo em um giroscópio à medida que
sua velocidade angular de spin diminui, de modo que 

aumenta, e o componente vertical de L não pode ser
mais desprezado.
Dessa maneira, o giroscópio serve como referência de
direção, mas não de posição. Ou seja, é possível movimentar um
giroscópio normalmente no espaço sem qualquer trabalho além do
necessário para transportar sua massa. A resistência surge contrária a
forças que atuem de maneira a rotacionar seu eixo de rotação a
qualquer configuração não paralela à sua posição original. Assim, um
veículo munido de um giroscópio e sensores apropriados pode medir
com precisão qualquer mudança em sua orientação, exceto rotações
que ocorram no plano de giro dos discos do giroscópio. Por essa
razão, normalmente são utilizados dois giroscópios perpendiculares de
modo a integralizar a possibilidade de detecção de variações na
orientação.
É usado como auxiliar em navegação de helicópteros radio
controlados, corrigindo automaticamente o curso.
As agências espaciais utilizam um aparelho baseado no
giroscópio conhecido como giroscópio humano para o treinamento de
astronautas. O astronauta utiliza o peso como motor e tem a sensação
de "driblar a gravidade". Somente depois de estar apto ao Giroscópio
humano o astrounauta estará pronto para fazer viagens espaciais.
Adaptado de:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Giroscópio
Sears & Zemansky, Young, Física, V 1, Ed. Pearson 10a Edição.
Giroscópio é um dispositivo que consiste de
um rotor suspenso
por
um
suporte
formado
por
dois circulos articulados, com juntas tipo cardan. Seu funcionamento
baseia-se no princípio da inércia. O eixo em rotação guarda direção
fixa em relação ao espaço. O giroscópio veio a substituir a bússola na
navegação marítima. Na aviação, serve de girocompasso e piloto
automático, permitindo o vôo em condições de visibilidade zero.
Nos vôos espaciais o dispositivo é fundamental para a
orientação das espaçonaves.
O giroscópio consiste essencialmente em uma roda livre,
ou varias rodas, para girar em qualquer direção e com uma
propriedade: opõe-se a qualquer tentativa de mudar sua direção
original. Exemplo facilmente observável é que, ao girar a roda de uma
bicicleta no ar e tentar mudar a direção de seu eixo bruscamente,
percebe-se uma enorme reação.
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