mech3_5

3.5- 1
3.5
Sistemas de referência
não-inerciais
A primeira lei de Newton não é válida em todos os sistemas de referência, ver 2.1.2,
mas, sempre podemos achar sistemas de referência nos quais ela (e o resto da
mecânica newtoniana) é verdadeira.
Tais referenciais são chamados de sistemas de referência inerciais. Eles estão em
repouso ou em movimento retilíneo uniforme em relação ao "espaço absoluto".
Hoje se sabe que não existe espaço absoluto e, portanto, tampouco movimento
absoluto, somente existe movimento relativo de um corpo em relação a outro corpo. No
entanto, não é falso considerar as estrelas fixas como um sistema referencial inercial.
Pois, as estrelas fixas não apresentam deslocamento detectável.
A experiência do dia-a-dia nos diz, porém, que o solo pode ser considerado, em
primeira aproximação, como um referencial inercial -denominado assim por Newton.
Em casos excepcionais podemos, no entanto, observar que a nossa Terra é, na
realidade, um sistema referencial não-inercial e as leis de Newton não são estritamente
verdadeiras.
Porém, para experiências normais, vamos sempre supor que os movimentos
astronômicos que a Terra realiza, como, por exemplo, a sua rotação, são desprezáveis.
Mas, um carrossel numa feira é, com certeza, um sistema de referência (x,y,z) nãoinercial.
Se realizarmos experiências sobre uma plataforma girante, podemos considerar um
sistema (X,Y,Z) fixado no solo como referencial inercial. Mais adiante discutiremos
experiências feitas sobre tal plataforma que mostram efeitos bem surpreendentes.
3.5.1
O formalismo para o estudo dos sistemas não-inerciais
Queremos, agora, desenvolver as leis que devemos aplicar em tais casos.
Se dentro do sistema (X,Y,Z) gira outro sistema (x,y,z) com velocidade angular ω,
precisamos, para descrever o movimento de uma partícula em relação a ambos
sistemas, das derivadas dos vetores unitários i, j, k do sistema (x,y,z) em relação ao
3.5- 2
sistema (X,Y,Z) que consideramos estando em repouso. (Estamos tratando apenas dos
efeitos de rotação. No caso mais geral, ver mais adiante, consideraremos também um
movimento de translação do sistema (x,y,z) com respeito ao sistema (X,Y,Z).)
Uma derivada em relação ao tempo será denominado de d/dt, se for medida no sistema
(x,y,z). A derivada com respeito ao tempo no sistema (X,Y,Z) será chamado de D/Dt.
Lembremo-nos da Eq. (2) do parágrafo 3.4.9: v = ω x r, ela vai jogar um papel
fundamental nas discussões a seguir. Pois, existe uma relação importante entre as
duas derivadas na qual aparece este produto vetorial como termo de ligação. Seja u
uma quantidade vetorial arbitrária, por exemplo u = r.
Sua derivada temporal quando tomada em (X,Y,Z) é
(1)
Aqui ω x u representa a diferença entre a derivada temporal do vetor medida em uma
referência fixa (X,Y,Z) e sua derivada temporal medida na referência girante (x,y,z).
Esta transformação podemos escrever na forma
(2)
ou seja, como um operador que se aplica a qualquer vetor u.
Quando aplicamos esta transformação ao vetor-posição r, obtemos
Dr/Dt = dr/dt + ω x r, e aplicada ao vetor ω, resulta Dω/Dt = dω/dt + ω x ω = dω/dt,
já que ω x ω = 0. Então, em ambos os sistemas se mede a mesma aceleração angular:
Dω/Dt = dω/dt.
Se aplicarmos o operador (2) a ele mesmo, obtemos a derivada segunda em relação
ao tempo, que fica
(3)
Mais adiante vamos ver uma aplicação de (3).
Em geral, o sistema (x,y,z) não só gira mas também traslada, isto é, faz um movimento
de translação com velocidade DRo/Dt em relação ao sistema fixo (X,Y,Z).
3.5- 3
Fig. 3.5-1
Ro é o vetor-posição da origem do sistema móvel medido no sistema fixo (X,Y,Z).
R é o vetor posição da partícula P no sistema (X,Y,Z), r é o vetor posição da mesma
partícula em relação ao sistema móvel (x,y,z).
Chamamos R de vetor-posição absoluto da partícula.
Temos R = Ro + r = Ro + xi + yj + zk ; a velocidade em (x,y,z) chamamos de
velocidade relativa, medida por um observador preso a (x,y,z): vrel := dr/dt.
As derivadas temporais medidas no sistema fixo são -fazendo uso da Eq. (1)DR/Dt = DRo/Dt + dr/dt + ω x r. Escrevendo vabs = DR/Dt e vo = DRo/Dt , obtemos
vabs = vo + vrel + ω x r
(4)
vabs é a velocidade da partícula que mede um observador em (X,Y,Z). Par obter a
aceleração absoluta, temos que formar a derivada D/Dt da Eq. (4):
aabs = Dvabs/Dt = Dvo/Dt + Dvrel/Dt + D(ω x r)/Dt
Façamos outra vez uso da Eq. (1):
Dvrel/Dt = dvrel/dt + ω x vrel = arel + ω x vrel
D(ω x r)/Dt
e
= ω x Dr/Dt + Dω/Dt x r = ω x (dr/dt + ω x r) + Dω/Dt x r
= ω x vrel + ω x (ω x r) + Dω/Dt x r
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Somando:
aabs = ao + arel + 2ω x vrel + ω x (ω x r) + Dω/Dt x r
(5)
Ao mesmo resultado teriamos chegado, se tivéssemos usado o operador da aceleração
(3). É só preciso aplicar o ao vetor r:
D2r/Dt2 = d2r/dt2 + Dω/Dt x r + ω x (ω x r) + 2 ω x dr/dt
O termo - 2ω x vrel é conhecida como a aceleração de Coriolis (com o nome do
engenheiro francês Gustav Gaspard Coriolis, 1792 - 1843, quem foi o primeiro a
chamar a atenção para este termo) que representa a diferença entre a aceleração
quando medida de eixos não-girantes e quando medida no sistema de eixos girantes
(no caso de rotação só).
Se a partícula está em repouso, então o termo de Coriolis 2ω x vrel é zero -ou
desprezável, se vrel for muito pequena. (A expressão sem sinal negativo chamamos em
geral de termo de Coriolis.)
O termo ω x (ω x r) é a aceleração centrípeta, compare a Fig. 3.4-25 no parágrafo
3.4.9. Se pode mostrar que no caso do movimento circular ω x (ω x r) = -Rω2·er, onde
R é o raio do círculo.
(Compare seção 3.4.9 e o seguinte cálculo:
Podemos eleger ω= ω·k e r = r·cos(90-β)·er + r·sen(90-β)·k = r·senβ·er + r·cosβ·k,
ω x r =ω·k x (r·senβ·er + r·cosβ·k) = ω·r·senβ·k x er = ω·R·eφ, já que k x er = eφ.
ω x (ω x r) = ω2·R·k x eφ = ω2·R·(-er), pois, k x eφ = -er .)
A aceleração de Coriolis, assim como a aceleração centrípeta, resulta do movimento
relativo de rotação. Em muitos casos podemos deixar de preocupar-nos do movimento
de translação e ω pode ser considerada como constante. Em tal situação, a Eq. (5) se
reduz a
aabs = arel + 2ω x vrel + ω x (ω x r)
(6)
Se multiplicarmos Eq. (5) pela massa do corpo em movimento, obtemos a equação de
movimento do corpo num sistema não-inercial:
m arel = m aabs - m ao - m 2ω x vrel - m ω x (ω x r) -m Dω/Dt x r
(7)
3.5- 5
O primeiro membro de esta equação é a soma de todas as forças de interação que
atuam sobre o corpo do ponto de vista de um observador no referencial fixo. As outras
forças são "forças fictícias" que tem-se incluir na segunda lei de Newton para
compensar o erro cometido por não estar num sistema inercial. O segundo termo surge
quando o origem do referencial móvel apresenta aceleração. Às vezes, este termo é
denominado Força de Einstein. O último termo surge quando a velocidade angular do
referencial móvel for variável. Encontra-se, às vezes, a denominação Força de Euler.
Os termos do centro são
Fcf = - m ω x (ω x r) Força Centrífuga
Fc = - m 2ω x vrel Força de Coriolis
(8)
Exemplo:
Os sistemas (X,Y,Z) e (x,y,z) tem a mesma origem. A velocidade angular do sistema
móvel (x,y,z) em relação ao (X,Y,Z), que é fixo, é de ω = 2t i - t2 j +(2t + 4) k, onde t é o
tempo. O vetor-posição de uma partícula no instante t, observado no sistema (x,y,z), é
r = (t2 + 1) i - 6t j + 4t3 k.
Calcúle os vetores vrel, vabs, arel e aabs no instante
t = 1 s.
Solução:
•
reset()://vel. rel
mat:= Dom::Matrix(): export(linalg):
r:=mat([[t^2+1,6*t^2,4*t]]):
w:=mat([[2*t^2,t^3,2*t-4]]):
vrel:=diff(r,t)://velocidad relativa
subs(%,t=1);
| 2, 12, 4 |
vabs:= vrel+crossProduct(w,r)://velocidad absoluta
•
subs(%,t=1)
3.5- 6
•
simplify(vabs)
o que significa: dr/dt + ωxr = (2t(12t-6t2+2t3+1), 14t-4t2-6t3-4, -t3 + 12t4-t5+4))
•
arel:=diff(vrel,t);
•
aabs:=
arel+2*crossProduct(w,vrel)+crossProduct(diff(w,t),r)
+crossProduct(w,crossProduct(w,r)):
subs(%,t=1)
Então:
vrel (1s) = 2i + 12j + 4k; vabs (1s) = 18i + 14k
aabs (1s) = 44i - 76j + 22k
arel (1s) = 2i + 12j;
3.5.2
A Terra como sistema não-inercial
Uma das aplicações mais interessantes das Eqs. (6) e (7) é o estudo do movimento de
um corpo (partícula) em relação à Terra.
No lindo site sobre temas de física: http://www.fisica.ufc.br/coriolis/tintim11.htm você
pode ler o seguinte sobre o tema "Força de Coriolis":
"Uma das consequências mais espetaculares da "força de Coriolis" na atmosfera
da Terra é o movimento giratório dos furacões que costumam perturbar a vida
dos habitantes do hemisfério norte.
As grandes massas de ar que se deslocam nesses furacões, às vezes em
grandes velocidades, formam enormes círculos em torno de uma região de baixa
pressão, o chamado "olho" do furacão. No hemisfério norte esses movimentos
são no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Quando os ventos se
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deslocam na direção da região de baixa pressão a força de Coriolis faz com eles
se desviem para a direita.
No hemisfério sul um furacão deveria girar no sentido horário. Mas, para sorte
nossa, por alguma razão meteorológica, quase não existem furacões no nosso
hemisfério. "
Se a Terra não girasse, o movimento atmosférico seria muito simples. A convecção
térmica faria subir o ar quente acima do Equador, e esse ar quente se dirigiria pela alta
atmosfera para os pólos, onde desceria para voltar para as regiões equatoriais pela
baixa atmosfera. Mas a Terra gira! Essa rotação provoca a existência da força de
Coriolis que tende a curvar as trajetórias de móveis que se desloquem à velocidade vrel
sobre a superfície da Terra, por exemplo as moléculas do ar, balas de canhão, mísseis
balísticos intercontinentais. Devido às suas altas velocidades e aos tempos mais longos
que a aceleração de Coriolis tem para atuar, se deve tomar em conta a relativamente
pequena força de Coriolis.
Na figura 3.5-2 vemos um ponto P sobre a superfície da Terra. O ângulo λ que Ro faz
com o Equador é a latitude do lugar. O eixo-z do sistema girante (x,y,z) está vertical ao
plano tangente à Superfície da Terra no Ponto P. O eixo-y coincide com a linha NorteSul.
Fig. 3.5-2
3.5- 8
Na figura 3.5-3 vemos o sistema (x,y,z) preso ao ponto P da superfície da Terra. O
sistema (x,y,z) gira com a velocidade angular ωr em torno do eixo-z local que fica
vertical à superfície da Terra. ωr é a componente radial de ω, e ωy é a componente
segundo o eixo-y (a linha Norte-Sul).
ωr é a projeção da velocidade angular de rotação da Terra sobre a vertical do lugar
considerado. ωr é, portanto, máximo nos pólos, onde o eixo de rotação coincide com a
vertical, e nulo no Equador, onde a vertical é perpendicular ao eixo de rotação da Terra.
Fig. 3.5-3
O sistema (x,y,z) faz em T = 2π/ωr segundos uma volta completa com respeito às
estrelas fixas.
Já que a Terra faz uma volta (= 2π radianos) em torno a seu eixo em aproximadamente
24 horas = 86 400 segundos, a velocidade angular ι ω = 2π/86 400s = 7,27 ·10-5 rad/s.
O valor exato será mais perto do ω = 7,29 ·10-5 rad/s, pois T é, na realidade, 86 164 s.
A componente de ω devido ao movimento da Terra em torno ao Sol é desprezável, pois
esta contribuiηão é 365 vezes menor do que o valor anterior.
Segundo à figura 3.5-3, temos para a velocidade angular local
ωr = ωy + ωr = ωcosλ j + ωsenλ k
(9)
Assim, temos para a componente radial num lugar com λ = 40o do hemisfério norte o
valor ωr = 7,29·10-5 rad/s · sen 40o = 4.69-5 rad/s.
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Fig. 3.5-4
A figura 3.5-4 mostra um sistema (x,y,z) preso a um ponto P da superfície da Terra. Na
origem de (x,y,z) encontra-se uma partícula em repouso com respeito ao sistema
(x,y,z).
A partícula de massa m está ligada a uma das extremidades de uma corda, cuja outra
extremidade está presa num ponto de suspensão, por exemplo, à mão de um pedreiro
utilizando o pêndulo como fio de prumo.
As forças que agem sobre a partícula são a força radial Fr da gravitação e a tensão T
no fio. Supomos que ω = const. ou seja, Dω/Dt =0. Já que também r = 0 e vrel = 0, a
Eq. (7) se reduz a
m aabs - m ao = Fr + T - mao = 0
(10)
ao é apenas a aceleraçaõ centrípeta da origem de (x,y,z) com respeito ao sistema
inercial (X,Y,Z) que ja determinamos na seção 3.4: ao = ω x (ω x Ro).
O módulo de este vetor no Equador é (raio da Terra = 6,37·106 m)
Ro ω2 = 6,37·106 m · (7,29·10-5)2 s-2 = 0.0338 m·s-2
Este valor é somente (0.0338/9.81)·100% = 0.345% de g = 9.81 m/s2.
Num lugar com latitude λ temos |ao| = Ro ω2·cos λ.
3.5- 10
Voltemos à Eq. (10): Fr + T - m· ω x (ω x Ro) = 0
Para a força do fio sobre a partícula podemos escrever -mg. Escrevendo Fr = mgo,
onde o vetor go aponta para o centro da Terra, obtemos mgo -mg - m· ω x (ω x Ro) = 0.
Como se vê, a força - m· ω x (ω x Ro), uma força centrífuga, faz com que T e Fr estão
colineares somente no Equador, em outros lugares da Terra formam um pequeno
ângulo ε, que depende da latitude λ.
O vetor g = go - ω x (ω x Ro), que é ligeiramente desviado do vetor radial go, tem a
direção indicada pelo fio de prumo. g é o vetor aceleração da gravidade "normal", ele
que se observa na superfície da Terra. Este vetor chama-se também de aceleração
efetiva da gravidade.
A direção de g é chamada de vertical. A direção de go, que é radial, é a direção da
força gravitacional, que aponta para o centro da Terra.
O módulo desta força é Fr = G·m·M/Ro2, compare com 2.1.4.
Fig. 3.5-5
Este esboço quer mostrar que as três forças T = -mg, Fr e -mωx(ωxRo) não são
colineares. T e Fr formam um pequeno ângulo ε cujo valor pode ser calculado
aplicando o teorema dos senos: sen ε /(mRoω2cosλ) = senλ/mg
Ou seja, ε ≈ sen ε = Roω2·sen(2λ)/(2g) ≈ 0,1o para λ = 45o. Na figura 3.5-5 deveriamos
indicar, também, a verdadeira forma da Terra, que é um elipsoide.