2 - GONIOMETRIA

Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos
II - GONIOMETRIA
____________________________________________________________________________________
Viu-se no capítulo anterior que o Engenheiro Agrimensor para livrar-se da descrição puramente
sensorial de um lugar, deve medir. Medir ângulos, distâncias e/ou grandezas relacionadas com a
propagação de sinais eletromagnéticos.
Goniometria é o capítulo da topografia que trata das técnicas para medição de ângulos. Neste
capítulo, inicialmente são apresentadas algumas definições básicas para a compreensão de tais
técnicas. A seguir, no item 2, trata-se da medição simples de ângulos horizontais com trena e teodolitos,
analisando o efeito da curvatura Terra nesses ângulos. No item 3 é feito um breve estudo de ‘azimutes’,
ângulos horizontais com origem no lado norte do meridiano do observador e no item 4 é apresentada
outra forma de representar a orientação em relação ao norte, os ’rumos’, relacionado-os com os
azimutes. No item 5, trata-se da obtenção de ângulos horizontais a partir de azimutes e no item 6
descreve-se brevemente ‘ângulos verticais’, assunto que será melhor estudado em texto específico de
altimetria.
____________________________________________________________________________________
1-
ALGUMAS DEFINIÇÕES
a) Verticais: São linhas força do campo gravitacional terrestre – Figura 2.1.
Vertical de um ponto P: é a reta tangente
P
•
à linha de força nesse ponto. Representa
a direção do vetor gravidade e pode ser
materializada pelo fio de prumo.
Figura 2.1 - Campo gravitacional terrestre e
vertical em um ponto P.
b) Plano horizontal: Qualquer plano perpendicular à vertical.
c) Ângulo Horizontal (α): Qualquer ângulo medido em um plano horizontal. Figura 2.2.
d) Plano vertical: Qualquer plano que contenha a vertical.
e) Ângulo Vertical (θ) : Qualquer ângulo medido em um plano vertical. Figura 2.3
f)
Equador:
Plano que contém o centro da Terra e é perpendicular ao seu eixo de rotação.
g)
Paralelos: Planos paralelos ao equador.
h)
Meridianos: Planos verticais que contém o eixo de rotação da Terra.
i)
Meridiano Zero :
é o meridiano definido pelas estações que acompanham o movimento de rotação
da Terra. Está cerca de 100 m a leste do meridiano do eixo ótico do telescópio do
13
Rodrigues, D. D .- 2008
Goniometria
observatório de Greenwich, que de 1884 a 1987 foi o meridiano zero ou meridiano de
origem ou ainda, primeiro meridiano ou “International Reference Meridian – IRM”.
VT
θ
P •
• P
α
HZ
Vertical de P
Vertical de P
Figura 2.2 - Plano e Ângulo Horizontais
j)
Figura 2.3 - Plano e Ângulo Verticais
Latitude de um ponto: é o ângulo, medido no meridiano do ponto, formado pela vertical deste ponto
com sua projeção equatorial. Sua contagem é feita com origem no equador e varia de 0° a
90°, positivamente para o norte (N) e negativamente para o sul (S). Figura 2.4.
k)
Longitude de um ponto: é o ângulo, medido no equador, entre o meridiano zero e o meridiano do
ponto. Sua contagem é feita de 0° a 180°, positivamente para leste (L ou E) e
negativamente para oeste (O ou W). Figura 2.4.
PN
Meridiano Zero
L
Equador
Longitude de P
O
Meridiano de P
P ●
Vertical de P
Latitude de P
PS
Figura 2.4 – Coordenadas geográficas
l)
Circunferência máxima: Circunferência formada pela interseção de qualquer plano que contém o
centro de uma esfera com a sua superfície. Tem o mesmo raio da esfera.
14
Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos
m) Distância esférica: distâncias medidas ao longo de circunferências que podem ser meridianos, (dM),
equador (dEQ), paralelos (dP) ou uma circunferência máxima qualquer (de), conforme
Figura 2.5. Nesta Figura PS representa o pólo sul; PN o pólo norte; QQ’ o equador; R o
raio do modelo terrestre esférico; f latitude de um paralelo; Df diferença de latitudes;
Dλ diferença de longitudes e B e C representam as posições de dois pontos no
hemisfério sul, sobre a superfície esférica.
PS
Dλ
PS
Rcosf
dP
Q’
dM
de
de
Dλ
f
Df
Q
R
• C
fC
B•
Q’
fB
Dλ
Q
dEQ
PN
PN
Figura 2.5 – Distâncias esféricas
A distância esférica ao longo de um meridiano, uma circunferência máxima, é dada por:
d M = R ⋅ ∆ϕ rad
(2.1)
e ao longo do equador, também uma circunferência máxima, por:
dEQ = R ⋅ ∆λ rad
(2.2)
Portanto, considerando o raio do modelo esférico da Terra, R, igual a 6 371 km, para seguimentos ao
longo de meridianos ou do equador, um ângulo (Dλ ou Df) de 1º (um grau) corresponde a 111 km, de 1’
a 1,9 km e de 1” a 30 m, aproximadamente.
Já uma distância esférica ao longo de um paralelo de latitude f é dada por:
dP = R ⋅ cos ϕ ⋅ ∆λ rad
(2.3)
e ao longo de uma circunferência máxima qualquer unindo dois pontos - pontos B e C da Figura 2.5, por
exemplo - de latitude e longitude conhecidas, pode ser determinada empregando as equações (2.4) e
(2.5), a seguir:
15
Rodrigues, D. D .- 2008
Goniometria
cos d e = sen ϕB ⋅ sen ϕ C + cos ϕB ⋅ cos ϕ C ⋅ cos ∆λ
d e = R ⋅ d rad
e
(2.4)
(2.5)
Após estas definições está-se apto para o estudo das técnicas simples de medição dos ângulos
normalmente empregados na Engenharia.
2-
MEDIÇÃO SIMPLES DE ÂNGULOS HORIZONTAIS
Em textos mais avançados serão estudados métodos que permitem a eliminação de erros
sempre presentes na medição de ângulos. Por hora, serão tratados apenas dos métodos simples, sem a
preocupação com a eliminação de erros residuais.
2.1- Com trena:
Parte-se do princípio de que “medindo três lados de um triângulo é possível determinar seus
ângulos”. Se os segmentos medidos estão contidos em um plano horizontal os ângulos serão
horizontais, se estão em um plano vertical serão verticais e se estiverem contidos em planos inclinados
os ângulos serão espaciais – Figura 2.6. Obviamente, erros cometidos na medição das distâncias
afetarão os valores determinados para os ângulos.
Para calcular os ângulos emprega-se a lei dos co-senos, equação 2.6.
B
HZ
b
A
a
α
c
C
Figura 2.6 – Ângulo com trena
a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α
(2.6)
b2 + c2 − a2
)
2 ⋅b ⋅c
(2.7)
Portanto
α = arccos (
EXERCÍCIO:
Para quais valores de a, b e c o ângulo α será reto (90o ) ?
16
Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos
2.2- Com teodolito
Instrumentos que medem ângulos são chamados ‘goniômetros’; se medem ângulos horizontais e
verticais, ‘teodolito’ e se medem, eletronicamente, ângulos horizontais e verticais e distâncias, ‘estação
total’.
Os limbos - círculos graduados - dos instrumentos empregados em topografia são graduados
nos sentidos, horário e anti-horário. Empregando a graduação horária o ângulo medido é chamado de
‘ângulo horário’ e, caso contrário, ‘ângulo anti-horário’ independentemente do sentido em que o
instrumento é girado, uma vez que o limbo permanece fixo e o que gira é a marca de referência para
leitura ou o vernier. Observe na Figura 2.7 que o ângulo medido é o ângulo horário BÂC porque a
graduação empregada é horária, a origem está em B e o término está em C. Observe que isto independe
do sentido em que o vernier é girado.
Em verdade, não se mede um ângulo diretamente, mas sim duas direções: a direção inicial e a
final. O ângulo é resultado da diferença dessas direções, ou seja:
α = δ final − δ inicial
(2.8)
e se o instrumento é zerado na direção inicial, o ângulo observado será igual a direção final.
O ângulo horário BÂC da Figura 2.7, por exemplo, é derivado das direções horárias, inicial (δAB)
e final (δAC):
BÂC = δ AC − δ AB ,
(2.9)
B
δAB
20
10
. 30
..
10
0
A
0
δAC
C
350
Figura 2.7: Leitura de um ângulo horário com um teodolito mecânico
A Figura 2.8 mostra dois ângulos com mesma direção de origem (δAB) e de término (δAC); porém,
um é horário e o outro anti-horário.
17
Rodrigues, D. D .- 2008
Goniometria
Ângulo anti-horário BÂC
δAC
δAB
A
C
B
Ângulo horário BÂC
Figura 2.8: Ângulo horário e ângulo anti-horário
2.3- Efeitos da curvatura da terra em ângulos horizontais
Em uma região pequena, num raio de aproximadamente 30 Km – campo de atuação da
topografia – pode-se admitir a Terra como um plano. Para uma região um pouco maior, pode-se admitir
um modelo esférico para a forma da Terra. Para a Terra como um todo, o modelo geométrico que mais
se adapta à Terra é o elipsóide de revolução – obtido girando uma elipse em torno de seu eixo menor.
Todos estes são modelos matemáticos, figuras exatas, para a forma da Terra. Em verdade ela se
diferencia de todos eles. O modelo físico para a Terra é o Geóide – superfície de mesmo potencial
gravitacional à altura do nível médio dos mares - Figura 2.9.
Superfície Física
Superfície Esférica
Plano Topográfico
Superfície Elipsoidal
Superfície Geoidal
Figura 2.9 – Modelos Terrestres
Quando as grandezas medidas sobre a Terra são tratadas como se tivessem sido realizadas em
um plano, cometem-se erros. Se se supõe que as medidas foram realizadas sobre uma esfera – e as
tratam como tal - estes erros serão menores e se se considera que foram realizadas sobre o elipsóide,
menores ainda. Trabalhando com o geóide, chega-se mais próximo dos valores naturais.
18
Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos
Se se admite a Terra como um plano, precisa-se diminuir o raio de ação para minimizar os erros.
À medida que se aumenta este raio devem-se considerar o modelo esférico, elipsóidico ou geoidal, e
aprimorar os métodos de medição, processamento e representação.
Em um plano, a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o; já em uma esfera, esta soma
é um pouco maior. O que excede de 180o é chamado de ‘excesso esférico’, cujo valor dá uma idéia do
erro que se comete nos ângulos ao admiti-los como planos e, portanto, do raio de ação em que se pode
admitir a Terra como tal.
Seja a Figura 2.10 um triângulo esférico de área S. A soma dos ângulos internos do triângulo
será:
(2.10)
 + B̂ + Ĉ = 180 o + ε
onde ε é o excesso esférico que, em segundos sexagesimais, pode ser calculado por (Espartel, 1982):
ε ′′ =
S
1
⋅
R 2 sen 1′′
(2.11)
sendo R o raio da esfera modelo.
c
A
B
S
a
b
C
Figura 2.10 – Triângulo esférico.
Segundo o teorema de Legendre, para triângulos com lados menores que 120 km, a área de um
triângulo esférico é igual à área do triângulo plano cujos lados têm o mesmo comprimento dos
correspondentes lados do esférico, ou seja, o triângulo plano da Figura 2.11 tem a mesma área do
esférico da Figura 2.10, pois seus lados correspondentes têm o mesmo comprimento, quais sejam: a, b e
c.
c
S
b
a
Figura 2.11 - Triângulo plano correspondente ao triângulo esférico da Figura 2.9
19
Rodrigues, D. D .- 2008
Goniometria
Para um triângulo plano eqüilátero de lados iguais a l a área S pode ser dada por:
S=
l2 ⋅ 3
4 ⋅R2
(2.12)
e portanto
ε ′′ =
l2 ⋅ 3
1
⋅
2
4 ⋅ R sen 1′′
(2.13)
Adotando o valor de 6 371 km para o raio da Terra, pode-se verificar que para l = 30 km, ε = 2”.
EXERCÍCIO:
Calcular o excesso esférico, ε, para l igual a 10 km, admitindo R = 6 371 km.
3-
AZIMUTES
Azimutes são ângulos horizontais horários com origem no lado norte do meridiano que passa
pelo vértice, variando de 0 a 360o, Figura 2.12, empregados para orientar plantas topográficas em
relação ao eixo de rotação da Terra. Na referida Figura, AZAB é o azimute de A para B; azimute, medido
na estação A, da direção AB.
N
•
C
AZ AB
HZ
•B
•
A
AZ AC
Figura 2.12: Azimute
Se o meridiano adotado é o natural ou astronômico, o azimute com origem no lado norte do
meridiano é chamado de ‘azimute natural ou verdadeiro’ (pode ser determinado através de métodos
astronômicos realizando observações ao sol ou às estrelas); se o meridiano for o geodésico tem-se o
‘azimute geodésico’ (determinado, por exemplo, através de observações a satélites de navegação); se o
meridiano for o magnético, tem-se o ‘azimute magnético’, [3.2], e se a origem for um alinhamento
paralelo ao meridiano central tem-se o ‘azimute plano’, [3.3].
Azimute astronômico, determinado e usado em astronomia de posição, é o azimute que tem
como origem o lado sul do meridiano astronômico.
Todos esses azimutes são relacionados entre si e um pode ser determinado a partir do outro.
20
Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos
3.1- Azimute geográfico (AZG)
Neste texto, serão desconsideradas as diferenças entre meridiano astronômico e geodésico e
azimute geográfico pode ser o natural, o geodésico ou um ângulo bem próximo destes (na ordem de
minutos). Na Figura 2.13 estão representados dois pontos, A e B, os meridianos geográficos destes
G
. Observe
pontos, o azimute geográfico de A para B, AZ GAB , e o azimute geográfico de B para A, AZBA
que, em pontos fora do equador, as tangentes aos meridianos não são paralelas e conseqüentemente o
módulo da diferença entre os azimutes de A para B e de B para A não é exatamente igual a 180o, ou
seja,
G
AZ GAB − AZ BA
= ± 180 o ± Ce
(2.14)
onde o ângulo Ce é chamado de convergência meridiana esférica.
No caso da Figura 2.13,
G
AZ GAB = AZ BA
+ Ce − 180 o
.
(2.15)
NGB
NGA
AZ GAB
B•
G
AZ BA
A •
Ce
•
Polo Sul
Figura 2.13 – Azimutes geográficos e convergência meridiana esférica.
3.1.1 - Métodos aproximados para determinação do meridiano geográfico
Devido ao tempo gasto e a imprecisão, esses métodos raramente são usados, mas servem para
estimular a curiosidade em relação à astronomia de posição. Os métodos apresentados se baseiam na
hipótese, sabidamente não verdadeira, de que o sol percorre trajetórias circulares com a rotação da
Terra e que o ápice da trajetória ocorre quando ele cruza o meridiano do lugar, de forma que ao
determinar esse ápice, materializa-se o meridiano geográfico.
a) Método das sombras:
21
Rodrigues, D. D .- 2008
Goniometria
O meridiano geográfico pode ser materializado dispondo-se de um mastro, uma estaca ou um
poste devidamente verticalizado e marcando, em horas simétricas às 12:00 h, de meia em meia ou de
hora em hora, a posição da sombra de seu topo. Na Figura 2.14, os pontos 1, 2, 3, e 4 representam as
posições da sombra do topo de um mastro posicionado no ponto A, às 10:00, 11:00, 13:00 e 14:00 h.
Uma curva pode ser ajustada a estes pontos. Com um cordão amarrado ao mastro traça-se uma curva
com raio qualquer de forma a cruzar a curva definida pelos pontos marcados. Os pontos P e Q são
definidos pelas interseções dessas curvas. A linha que contém o mastro e é simétrica aos pontos P e Q
é a direção aproximada do meridiano. Segundo Wolf, 2006, se o terreno for plano, o mastro bem
verticalizado, e as posições das sombras marcadas com o devido cuidado pode-se materializar o
meridiano com uma acurácia de 30’.
NG
1
P
2
3
c
Q
4
A
Figura 2.14 – Materialização do meridiano geográfico pelo método das sombras.
b) Método das alturas iguais
Instalado um teodolito em uma estação A, observa-se o sol às 9:00 horas, aproximadamente,
conforme mostrado na Figura 2.15, anotando o ângulo zenital, abaixando a luneta e marcando o ponto P
a, aproximadamente, 150 m do ponto A. Por volta das 15:00 horas, fixa-se a luneta, com a precisão que
o instrumento permite, na elevação do ângulo zenital lido e, acompanhando o sol∗ - sem alterar o ângulo
zenital da luneta - determina-se a direção horizontal para a qual o sol estará novamente na mesma
altura. Nesta posição, baixa-se a luneta e marca-se o ponto Q, também a, aproximadamente, 150 m do
ponto A. A bissetriz do ângulo horizontal PÂQ materializa o meridiano geográfico e a partir dele pode-se
medir azimutes geográficos de qualquer alinhamento.
Ao observar o sol pode-se tomar como referência o seu centro, que é um ponto de referência
impreciso, e tentar passar por ele o cruzamento dos fios do retículo; porém o melhor é tangenciar, nos
fios, as bordas inferior e direita de manhã e as bordas inferior e esquerda à tarde, como mostrado na
Figura 2.15.
∗
Nunca se observa o sol diretamente através de uma luneta sem algum redutor de luminosidade ou filtro. Outra
opção além do uso do filtro é projetar o sol em um papel branco atrás da ocular.
22
Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos
Para obter melhores resultados e contornar a possibilidade de que nuvens impeçam o êxito do
trabalho recomenda-se realizar observações em outras horas simétricas ao meio dia como 10:00, 11:00
h, 13:00 e 14:00 h, aproximadamente.
NG
≈ 9:00 h
PÂQ
2
P
≈ 15:00 h
PÂQ
2
Q
Estação A
Figura 2.15 – Materialização do meridiano geográfico pelo método das alturas iguais do sol.
3.2- Azimute Magnético (AZM)
Definido como o ângulo horizontal horário que o lado norte do meridiano magnético faz com um
alinhamento.
Meridiano magnético: Plano que contém a tangente a uma linha de força do campo magnético
terrestre e os pólos magnéticos - Figura 2.14. È bom lembrar que estes pólos não coincidem com os
pólos geográficos. Em 2005 o pólo norte magnético estava localizado aproximadamente a 118º a oeste
de Greenwich e a 83º acima do equador. Já o pólo sul magnético situava-se, aproximadamente, na
longitude 138º leste e latitude 64º sul (NGDC, 2008).
Polo Norte
Magnético
Meridiano Magnético
S
N
Polo Sul
Magnético
Figura 2.14: Meridianos e pólos magnéticos
23
Rodrigues, D. D .- 2008
Goniometria
A tangente ao meridiano magnético em um determinado ponto é materializada por uma agulha
imantada, apoiada em seu centro de gravidade e com liberdade para girar. A Figura 2.15, representa
esta agulha. A ponta da agulha que aponta para o pólo norte é denominada ‘ponta norte’.
NM
Figura 2.15 – Agulha imantada
Devido à força magnética, essa agulha se inclina em relação ao plano horizontal e orienta-se
segundo o plano vertical do meridiano magnético, dando origem à inclinação magnética – ângulo vertical
θ das Figuras 2.16-a e 2.16-b. Essa inclinação aumenta com a latitude dificultando o emprego de
bússolas em latitudes acima de 60º. Um contrapeso faz com que a agulha permaneça na horizontal.
NM
H
θ
H
H’
θ
H’
NM
Figura 2.16-a: Inclinação magnética em
uma agulha no hemisfério Sul magnético.
Figura 2.16-b: Inclinação magnética em
uma agulha no hemisfério Norte magnético.
A Figura 2.17 mostra a variação geográfica da inclinação magnética em relação ao eixo de
rotação da Terra (I). A linha formada por pontos onde a inclinação é nula denomina-se ‘equador
magnético’.
Declinação Magnética ( δ ): É o ângulo horizontal que o meridiano magnético forma com o
meridiano geográfico em um determinado ponto, ou seja, é a diferença entre os azimutes geográfico e
magnético de um mesmo alinhamento, ou ainda,
δ A = AZ GAB − AZMAB
(2.16)
Se o azimute magnético é maior que o geográfico (norte magnético a oeste do geográfico), a
declinação é negativa e dita ‘declinação ocidental’; caso contrário (norte magnético a leste do
geográfico), é dita ‘declinação oriental’, como mostram as Figuras 2.18-a e 2.18-b. A declinação pode ser
determinada por magnetômetros, bússola e teodolito ou de forma aproximada, empregando bússolas e
uma carta, de onde se determina o azimute geográfico.
A declinação magnética varia com a posição geográfica e com tempo. A Figura 2.19 mostra um
mapa com valores da declinação para o ano 2000. Linhas de mesma declinação magnética são
denominadas ‘Isogônicas’. Na Figura 2.19 observa-se que a declinação magnética, no Brasil, em 2000,
estava entre -23o (ou 23o W), no extremo leste do País, a –3o (3o W), no extremo oeste.
24
Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos
Figura 2.17 – Variação geográfica da inclinação magnética em relação ao eixo de rotação
da Terra (I) - (Fonte: NGDC, 2008)
NG
NM
NG
δ<0
δ>0
δw
O
NM
δe
L
Figura 2.18-a: Declinação negativa
ou ocidental
L
O
Figura 2.18-b: Declinação positiva
ou oriental
As variações do campo magnético podem ser de curto ou longo período, bem como sofrer
anomalias devido às tormentas magnéticas. Elas podem ter origem no interior ou exterior da Terra. A
variação de fonte interna, também chamada variação secular, deve-se ao movimento das cargas
elétricas da parte líquida do núcleo terrestre (formado por níquel e ferro), que funciona como um ímã cujo
magnetismo dá origem ao campo magnético terrestre. A variação de fonte externa está ligada à atividade
solar, que altera o sistema de correntes formado por partículas eletricamente carregadas da ionosfera. O
campo magnético terrestre é influenciado pela energia solar recebida pela Terra, que varia em função de
fatores como estações do ano, períodos do dia ou ocorrência de explosões solares (NGDC, 2008).
& ): Obviamente, variações no campo magnético terrestre, com tempo,
Variações da declinação ( δ
levam a variações na declinação magnética. Estas variações dependem da posição geográfica e podem
25
Rodrigues, D. D .- 2008
Goniometria
chegar a 10’ por dia. O Observatório Nacional publica, de cinco em cinco anos, arquivos ou cartas
magnéticas do Brasil que contém as Isopóricas, ou seja, linhas de mesma variação da declinação
magnética. (ON,2008).
Figura 2.19 – Mapa de isogônicas para o ano 2000. (Fonte: NGDC, 2008)
A Figura 2.20 mostra um esboço de parte, região de Viçosa – MG, da carta magnética do Brasil
de 2000.
- 6,0
- 5,5
- 5,0
- 4,5
- 4,0
- 20o
V
•
- 23
- 25o
- 20
- 45o
Curva isogônica (o)
- 21
- 22
- 40o
Curva isopórica (’/ano)
Ano de
referência:
2000
Figura 2.20: Trecho da Carta Magnética do Brasil - 2000
26
Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos
A declinação magnética em um determinado local, para uma determinada época t, pode ser
calculada realizando interpolações na carta magnética confeccionada para uma época to empregando a
seguinte equação:
δ t = δ to + δ& to ⋅ ( t − t o )
(2.17)
onde
to
=
Época, para a qual foi confeccionado a carta isogônica (em anos),
t
=
Época, para a qual se deseja calcular a declinação magnética (em anos),
δ to =
Declinação magnética, para o local, extraída da carta isogônica (em minutos
sexagesimais),
δ& to = Variação da declinação, para o local, extraída do mapa (em minutos por ano) e
δt
= Declinação magnética, para o local, na época t (em minutos).
Atualmente, para atualizar as declinações e suas variações emprega-se “cartas magnéticas
digitais”
e
programas
de
computador
específicos
para
tal
fim.
Na
página
http://staff.on.br/~jlkm/magdec/index.html é possível determinar diretamente, para qualquer município
brasileiro, a declinação magnética (D, de acordo com o software), a inclinação magnética em relação ao
eixo de rotação da Terra (I), as componentes da intensidade do campo magnético, horizontal (H), norte
(X), leste (Y) e vertical (Z) e a intensidade total (F). Explicações sobre estas grandezas e sobre modelos
geomagnéticos
podem
ser
encontradas
na
página
http://www.ngdc.noaa.gov/seg/geomag/faqgeom.shtml#q1.
Quanto ao período de validade dos cálculos depende do modelo que está sendo empregado
pelo programa. Este modelo é informado na tabela de resultados do processamento. Normalmente, o
período de uso de um modelo é de cinco anos. Por exemplo, o modelo WMM-2005 pode ser empregado
somente até 2010.
EXERCÍCIO: empregando um software, determinar a declinação magnética em Viçosa para o dia atual.
Uma vez que o norte magnético sofre variações até mesmo diárias, uma planta topográfica deve
ser orientada pelo norte geográfico e não pelo magnético. No entanto, este pode ser determinado a partir
daquele, se a declinação para uma época t é conhecida, empregando a seguinte equação:
AZ G =
AZ M
+ δt
t
(2.18)
M
O azimute magnético num determinado local e numa época t, AZ t , pode ser medido,
empregando:
•
Uma bússola, onde uma agulha imantada, instalada no centro de um limbo graduado,
gira, livremente, 360o
ou
27
Rodrigues, D. D .- 2008
•
Goniometria
Um goniômetro dotado de declinatória. Numa declinatória a agulha não gira livremente e
estará centralizada em seu visor quando a luneta estiver apontada para o norte. O
azimute deve ser lido no limbo horizontal do goniômetro;
Ainda hoje é comum encontrar-se plantas orientadas pelo norte magnético; porém, se a data de
medição do azimute constar na planta, o azimute geográfico - e consequentemente o meridiano
geográfico – pode ser resgatado através da equação (2.18).
A tendência atual é utilizar receptores de sinais de satélites de navegação para determinarem
coordenadas de dois pontos e a partir destas, obter diretamente o azimute geográfico. Bússolas e
declinatórias estão em desuso para fins topográficos.
3.3- Azimute Plano ou Azimute da Carta (AZP):
Como desenhar, representar graficamente, uma Terra quase esférica em um plano? Uma
resposta detalhada a esta questão é encontrada em textos específicos de representações cartográficas.
Aqui será feita uma breve introdução ao sistema e projeção UTM apresentando suas características
principais.
Fisicamente não é possível representar a Terra em um plano sem deformá-la. O problema se
torna em minimizar as deformações, saber o que foi deformado e o quanto foi, estabelecendo uma
relação matemática, uma correspondência, biunívoca Terra-planta. Tem-se assim um sistema de
projeção plana. Entre os vários sistemas de projeção existentes, o mais empregado na engenharia, e
recomendado pela União de Geodésia e Geofísica Internacional (UGGI), é o sistema “Universal
Transverso de Mercator” – UTM. ‘Universal’ porque pode ser empregado em todas as longitudes,
ficando, porém, limitado às latitudes menores que 80º; ‘Transverso’ porque a projeção é feita sobre um
cilindro transversal, perpendicular, ao eixo de rotação da Terra – Figura 2.21 – e ‘Mercator’ se deve a
‘Gerhard Kremer Mercator’, cartógrafo que iniciou o desenvolvimento desse sistema.
As superfícies de projeção utilizadas em diferentes sistemas de projeção são: um plano, um
cilindro ou um cone, lembrando que o cilindro e o cone podem ser planificados sem deformação.
Figura 2.21: Projeção Universal Transverso de Mercator - UTM.
O sistema de projeção UTM apresenta as seguintes características - Figura 2.22:
28
Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos
MC
NQ
NQ
Equador
NQ
NG
γC
γA
NG
B
AZ PAB
AZ GAB
A
C
Figura 2.22: Características da projeção UTM.
a) O equador é uma linha reta horizontal;
b) Os meridianos localizados nas longitudes 3 o , 9 o , 15 o , L(6N + 3) o , com N variando de 0 a
29, a Oeste ou a Leste de Greenwich, são retas na vertical e denominados “Meridianos
Centrais (MC)”.
c) Os demais meridianos são curvas voltadas para o Meridiano Central;
d) Os paralelos são curvas de concavidade voltada para os pólos;
e) Linhas retas paralelas ao meridiano central definem os “Nortes de Quadrícula - NQ”. Os
nortes de quadrícula são, portanto, paralelos, independentemente da distância que os
separam, e a diferença entre os dois azimutes planos de um mesmo alinhamento é
exatamente 180º - Figura 2.23. O azimute de B para A pode ser chamado de contraazimute do azimute de A para B.
f) O ângulo entre o Norte Geográfico e o Norte de Quadrícula é denominado convergência
meridiana plana (γ ) e pode ser determinado, de forma aproximada, pela seguinte
equação (CHAGAS,1965):
γ A ≈ ( λ A − λ MC ) ⋅ sen ϕ A
Onde
(2.19)
γ A é a convergência meridiana no ponto A;
λA é a longitude do ponto A, negativa a oeste de Greenwich;
FA é a latitude do ponto A, negativa ao sul do equador
e
λMC é a longitude do meridiano central, negativa a oeste de Greenwich.
29
Rodrigues, D. D .- 2008
Goniometria
NQ
NQ
B
AZ
P
AB
AZ PBA
A
Figura 2.23: Azimutes planos ou da carta.
Observe na Equação (2.19) e na Figura 22, que se o norte de quadrícula (NQ) estiver a oeste do
norte geográfico (NG) a convergência meridiana plana é negativa e, se a leste, positiva. Figuras 2.24-a e
2.24-b.
O azimute geográfico pode ser determinado a partir do azimute plano empregando a equação
(2.20)
AZ GAB =
AZ PAB + γ A
NG
(2.20)
NG
NQ
γ>0
γ<0
O
L
O
Figura 2.24-a: Convergência negativa
NQ
L
Figura 2.24-b: Convergência positiva
EXERCÍCIOS: Admitindo um raio da Terra de 6 371 km,
i)
Calcular a distância esférica do meridiano central de longitude -45º a Viçosa, ao longo do
paralelo. As coordenadas de Viçosa são: latitude = -20º 45’ e longitude -42º 52’.
ii)
Calcular a convergência meridiana em Viçosa.
iii)
Calcular, para o paralelo de Viçosa o comprimento de arco no paralelo e a convergência
meridiana para as seguintes diferenças de longitude ( ∆λ ), em relação ao meridiano central:
1”, 1’, 17,3’, 28,9’ e 34,6’ .
30
Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos
A Tabela 2.1 mostra os resultados do exercício iii. Estes resultados revelam que no campo de
atuação da topografia podem-se admitir os nortes paralelos, sem incorrer em erros significativos. Os
azimutes medidos em topografia têm, normalmente, uma precisão abaixo de trinta minutos. Vale lembrar
que o objetivo dos azimutes é orientar as plantas em relação ao eixo de rotação da Terra e não afetam
as distâncias nem as áreas.
Tabela 2.1: Comprimento de arco e convergência
meridiana ao longo do paralelo de Viçosa –
MG. R = 6371 km
Diferença de Comprimento do arco
Convergência
longitude
no paralelo de latitude
Meridiana
( ∆λ )
-20º 45’ – dP – (km)
4-
1”
0,029
-0,35”
1’
1,73
-21”
17,3’
30
-6’
28,9’
50
-10’
34,6’
60
-12’
RUMOS (bearings)
São ângulos horizontais horários com origem no lado do meridiano que mais se aproxima do
alinhamento, variando de 0 a 90o, acompanhado do quadrante que pode ser: NE, SE, SO ou NO, como
mostra a Figura 2.25, onde RAB é o rumo da direção AB, RAC é o rumo da direção AC e assim por diante.
N
E
RAE
RAB
B
L
A
O
D
RAD
RAC
C
S
Figura 2.25 - Rumos
A Figura 2.26-a mostra uma forma utilizada em plantas cadastrais para representar as direções
dos alinhamentos. Nela verifica-se que o rumo de A para B é 53o NE e o de B para A 53o SO. Já a Figura
31
Rodrigues, D. D .- 2008
Goniometria
2.26-b mostra rumos extremos que, principalmente na confecção de algoritmos para programas de
computador, devem ser considerados.
EXERCÍCIOS:
i) Calcular os ângulos horários AB̂C e BĈD da Figura 2.26-a.
ii) Quais são os rumos dos alinhamentos AB, BA, AC e CA da Figura 2.26-b ?
A
SO 53 NE
N
B
NO 47 SE
A
D
C
SO 53 NE
B
•
O
•
L
C •
S
Figura 2.26-a: Orientação de alinhamentos
Figura 2.26-b: Rumos extremos
4.1- Relações entre azimutes e rumos:
Embora a tendência seja padronizar o uso de azimutes; rumos ainda são empregados e se torna
necessário conhecer a relação entre eles. A Figura 2.27 mostra para cada quadrante a equação que
relaciona azimutes e rumos. Uma vez que azimutes têm origem no lado norte do meridiano e são
medidos no sentido horário, o primeiro quadrante é o NE, o segundo SE e assim por diante.
N
4o Quadrante
E
1o Quadrante
B
RAB = AZAB NE
RAE = 360 - AZAD NW
O
L
A
D
RAC = 180 - AZAC SE
RAD = AZAD - 180 SW
C
3o Quadrante
S
Figura 2.27 – Relações entre rumos e azimutes
32
2o Quadrante
Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos
EXERCÍCIO:
Elaborar algoritmo para transformar azimute em rumo e rumo em azimute.
5-
ÂNGULOS HORIZONTAIS ENTRE ALINHAMENTOS A PARTIR DE AZIMUTES
È tarefa bastante comum em topografia a determinação de ângulos horizontais horários ou antihorários a partir de azimutes. Da Figura 2.28-a pode se verificar que os ângulos horários
α = BÂC = AZ AC − AZ AB
e
(2.21)
β = CÂB = AZ AB − AZ AC + 360
(2.22)
Já os ângulos anti-horários da Figura 2.28-b:
α = BÂC = AZAB − AZ AC + 360
(2.23)
β = CÂB = AZ AC − AZ AB
(2.24)
N
AZAB
CÂB = β
A
AZAC
N
B
C
BÂC = α
B
AZAB
BÂC = α
A
AZAC
C
CÂB = β
Figura 2.28-a: Ângulos horizontais horários
a partir de azimutes
Figura 2.28-b: Ângulos horizontais antihorários a partir de azimutes
O cálculo de ângulos, como os mostrados na Figura 2.29, a partir de azimutes, pode ser
generalizado da seguinte forma:
Ângulos Horários :
AB̂C = AZ BC − AZ BA
BĈD = AZ CD − AZ CB
EĈD = AZ CD − AZ CE
Anti − horários :
ED̂C = AZ DE − AZ DC
DÊC = AZ ED − AZ EC
⎫
⎪
⎪
⎪⎪
o
⎬ se ângulo < 0 , somar 360
⎪
⎪
⎪
⎪⎭
(2.25)
33
Rodrigues, D. D .- 2008
Goniometria
N
E
AZAB
C
A
D
B
Figura 2.29 – Generalização da obtenção de ângulos a partir de azimutes
EXERCÍCIOS:
i) Calcular o ângulo horário BÂC da Figura 2.30 a partir dos azimutes AZBA e AZCA.
N
B
A
N
C
Figura 2.30: Ângulo horizontal a partir de azimutes
ii) Determinar o ângulo anti-horário 31̂2 e o horário 12̂3 sabendo que AZ12 = 39º 30’; AZ13 =
101º 00’ e AZ23 = 163º 30’.
6-
ÂNGULOS VERTICAIS
Como definido anteriormente, trata-se de todo e qualquer ângulo medido em um plano vertical.
Embora possam ser calculados a partir de distâncias observadas, é mais comum o emprego de
instrumentos óticos-mecânicos, ou eletrônicos, dos quais os mais utilizados são teodolitos e estações
totais. Se a leitura no círculo vertical é zero quando a luneta está apontando para o zênite o ângulo
vertical medido é chamado de ‘Zenital’, se tal leitura ocorre quando a luneta está apontando para o nadir,
é denominado ‘nadiral’ e se a leitura zero ocorrer quando a luneta estiver na horizontal o ângulo é dito
‘vertical’ ou de ‘inclinação’.
34
Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos
6.1- Ângulo Zenital
As Figuras 2.31-a e 2.31-b representam um instrumento que mede ângulos zenitais. Na 2.31-a o
círculo vertical está à esquerda, CE, do observador e se diz que a luneta está em Posição Direta (PD).
Neste caso o ângulo zenital medido estará entre 0o e 180o. Já na Figura 2.31-b o círculo está à direita,
CD, e se diz que a luneta está em Posição Invertida (PI). Assim o ângulo zenital medido estará entre
180o e 360o.
Zênite
Zênite
Ẑ AB
B
B
Ẑ AB
Figura 2.31-a: Medida de um ângulo
zenital. Luneta em PD ou CE
Figura 2.31-b: Medida de um ângulo
zenital. Luneta em PI ou CD
6.2- Ângulo Nadiral
A origem do ângulo, em vez de no zênite, está no nadir. È cada vez mais raro
instrumentos com esta característica. Os círculos também são graduados de 0 a 360o.
6.3- Ângulo de inclinação ou simplesmente, ângulo vertical
Tem origem no horizonte e intervalo de 0º ± 90º . Positivo (+) se o ponto visado estiver acima do
horizonte e negativo (-) se estiver abaixo. A Figura 2.32-a mostra tipos de graduação de limbos verticais
e a 2.32-b mostra uma luneta em PI e um ângulo de inclinação positivo. A marca de referência para
leitura permanece na vertical e o círculo graduado gira com a luneta.
6.4- Declividade ( Decl )
Declividade é outra forma de expressar ângulos de inclinação. É definida como a tangente do
ângulo de inclinação, que pode ser expressa em porcentagem se multiplicada por cem. Da Figura 2.33,
35
Rodrigues, D. D .- 2008
Goniometria
onde DH e DV são as distâncias, horizontal e vertical, respectivamente, entre os pontos A e B, verifica-se
que
Decl = tg î =
10
0
10
170
90
10
(2.26)
10
90
90
170 0
0
DV
DH
90
10
20
10
0
Figura 2.32-a: Tipos de graduação de
limbos verticais
10 0
10
Figura 2.32-b: Luneta com um ângulo
de inclinação positivo
E em porcentagem
Decl = 100 × tg î =
DV
× 100
DH
(2.27)
B
DV
Ẑ
Î
A
DH
Figura 2.33: Ângulos verticais, distâncias horizontal e vertical
EXERCÍCIOS:
i) Se DHAB = 10 m e DVAB = + 5 m, qual é a declividade de A para B? e de B para A?
ii) Qual é a declividade, em porcentagem, de um alinhamento cujo ângulo de inclinação é 45o ?
iii) E se a inclinação for maior que 45o ?
6.5- Relações entre as Tangentes de Ângulos Zenitais e de Inclinação.
O uso de ângulos verticais em equações matemáticas quase sempre é feito através de suas
tangentes. Embora as relações entre os ângulos zenitais e de inclinação sejam óbvias, é preciso estar
atento às relações entre suas tangentes. A Figura 2.34 mostra estas relações. Nela verifica-se que no
36
Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos
terceiro e no quarto quadrantes ( Ẑ > 180 o ) a tangente do ângulo zenital tem sinal contrário à tangente
do ângulo de inclinação. Observa-se ainda que nestes quadrantes o seno do ângulo zenital é o negativo
do co-seno do ângulo de inclinação.
Da equação (2.26) verifica-se que
DVAB = DH ⋅ tg îAB
(2.28)
Se îAB for menor que zero, DVAB também será negativa, indicando uma descida de A para B. Se
o ângulo observado é o zenital, Ẑ AB , é necessário verificar o quadrante na substituição de tgî, ou seja:
para Ẑ no primeiro ou segundo quadrante,
DVAB =
DH
(2.29)
tg Ẑ AB
e para Ẑ no terceiro ou quarto quadrante,
DVAB = −
4o Quadrante
Zˆ = 270 º + iˆ
tgZˆ =
DH
1o Quadrante
Zênite
Zˆ = 90 º − iˆ
E
−1
tgiˆ
B
Ẑ AB
sen Ẑ = − cos î
îAE
îAB
A
3o Quadrante
−1
tgiˆ
îAC
sen Ẑ = − cos î
C
D
tgZˆ =
1
tgiˆ
sen Ẑ = cos î
2o Quadrante
îAD
Zˆ = 270 º + iˆ
tgZˆ =
(2.30)
tg Ẑ AB
Nadir
Zˆ = 90 º − iˆ
tgZˆ =
1
tgiˆ
sen Ẑ = cos î
Figura 2.34 – Relações entre as tangentes de ângulos zenitais e de inclinação
EXERCÌCIOS: Determinar DV, empregando Î e Ẑ , nos seguintes casos:
i)
DH = 100,00 m, Î = -30º e Ẑ = 120 o
ii)
DH = 100,00 m, Î = -30º e Ẑ = 240 o
37