Aula 7 - DE/UFPB

Probabilidade I
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Variáveis Aleatórias
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Variáveis Aleatórias
Ao descrever o espaço amostral de um experimento aleatório, não especificamos
que um resultado individual seja um número.
Exemplos:
(i) Jogue uma moeda três vezes e observe a sequência de caras e
coroas.
Ω=
(ii) De um lote de 4 peças das quais 2 são defeituosas, peças são
extraídas até as 2 defeituosas sejam retiradas.
Ω=
(iii) Observar o sexo das crianças em famílias com três filhos.
Ω=
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Contudo, em muitas situações experimentais, estaremos interessado na
mensuração de algo e no seu registro como um número.
Mesmo nos exemplos apresentados acima poderemos atribuir um número real a
cada elemento do espaço amostral.
Exemplos:
(i) Seja X o número de caras.
X (kkk ) =
, X (kkc ) = X (ckk ) = X (kck ) =
X (kcc ) = X (ckc ) = X (cck ) =
e X (ccc ) =
,
.
(ii) Seja X o número de peças retiradas.
X (DD ) =
, X (DPD ) = X (PDD ) =
X (DPPD ) = X (DPDP ) = . . . =
.
e
(iii) Seja X o número de meninos.
X (MMM ) =
, X (MMF ) = X (MFM ) = X (FMM ) =
X (MFF ) = X (FMF ) = X (FFM ) =
e X (FFF ) =
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,
.
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Variáveis Aleatórias
Na realização de um fenômeno aleatório, é comum termos interesse em
uma ou mais quantidades.
Elas são funções dos resultados que ocorreram e, em muitas situações, a
própria função identidade. Nesses casos, os elementos resultantes são as
quantidades de interesse.
Em geral, antes da realização de um fenômeno aleatório, não sabemos seu
resultado. Entretanto, seu espaço de probabilidade pode ser estabelecido
de forma a avaliar a probabilidade de qualquer evento de interesse.
Podemos também atribuir probabilidades às funções desses eventos.
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Após a realização do fenômeno teremos uma observação conhecida que, no
entanto, não é mais aleatória. Podemos considerar que a observação
conhecida do fenômeno aleatório produz um particular valor observado da
variável aleatória.
Assim, uma outra realização do fenômeno forneceria um outro valor
observado da variável, na maioria das vezes, diferente do anterior.
Desejamos então atribuir um número real x a cada resultado ω do espaço
amostral Ω.
x = X (ω)
O domínio de X é Ω, e os números na imagem são números reais.
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Experimento: jogar 2 moedas e observar o resultado
(K = cara e C = coroa)
X: número de caras em 2 lances de moeda
KK
KC
CK
CC
Ω
0
1
X(CC) = 0
X(KC) = X(CK) = 1
X(KK) = 2
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2
X(Ω) (imagem)
P(X = 0) = P(CC)
P(X = 1) = P(KC ∪ CK)
P(X = 2) = P(KK)
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Definição 7.1: (Variável Aleatória) Seja (Ω, A , P ) um espaço de probabilidade.
Uma função X : Ω → R, que associa a cada elemento de ω ∈ Ω um número real
é uma variável aleatória.
Uma variável aleatória é, portanto, uma função do espaço amostral Ω nos
reais, para a qual é possível calcular a probabilidade de ocorrência de seus
valores.
Em geral, as variáveis aleatórias são representadas por letras maiúsculas
do fim do alfabeto.
IMPORTANTE: A função X deve ser unívoca, isto é, para todo ω ∈ Ω deve
haver apenas um X (ω) associado. Contudo, diferentes valores de ω podem
levar a um mesmo valor de X .
O espaço imagem, RX , é composto de todos os possíveis valores de X .
O espaço amostral original Ω corresponde ao resultado do experimento.
Enquanto que RX é o espaço amostral associado à variável aleatória X .
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Em geral, as variáveis aleatórias são representadas por letras maiúsculas
do fim do alfabeto.
IMPORTANTE: A função X deve ser unívoca, isto é, para todo ω ∈ Ω deve
haver apenas um X (ω) associado. Contudo, diferentes valores de ω podem
levar a um mesmo valor de X .
O espaço imagem, RX , é composto de todos os possíveis valores de X .
O espaço amostral original Ω corresponde ao resultado do experimento.
Enquanto que RX é o espaço amostral associado à variável aleatória X .
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EXEMPLO 7.1: Uma lâmpada é testada até queimar.
Ω = {(d , t )|d = dia, t = momento}
X = tempo
em
horas
Uma vez que ω = (d , t ) tenha sido observado, o cálculo de X (ω) não
envolve qualquer aleatoriedade.
Quando ω é especificado, X (ω) fica completamente determinado.
EXEMPLO 7.2: Três moedas são atiradas sobre a mesa.
Ω = {kkk , kkc , kck , ckk , kcc , ckc , cck , ccc }
X = numero
de
caras
Tão logo as moedas repousem a fase ’aleatória´ do experimento terminou.
A contagem do número de caras é feita depois que os aspectos aleatórios
do experimento tenham terminado.
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Os eventos associados a Ω são ‘relacionados’ a eventos associados com RX , a
partir da seguinte definição:
Definição 7.2: (Eventos Equivalentes) Seja Ω o espaço amostral de um
experimento. Seja X uma variável aleatória definida em Ω com espaço imagem
RX . Seja A um evento em Ω e B um evento em RX . os eventos A e B são
equivalentes se
A = {ω ∈ Ω|X (ω) ∈ B }
EXPLICANDO: A será constituído por todos os resultados em Ω, para os quais
X (ω) ∈ B.
EXEMPLO 2.3: Considere o lançamento de duas moedas. Seja X o número de
caras obtido.
Ω = {kk , kc , ck , cc }
RX = {0, 1, 2}
Seja B = {1}, temos que A = {kc , ck }.
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Definição 7.3: Seja A um evento em Ω e B um evento em RX , então definimos a
probabilidade de B como
PX (B ) = P (A)
Lembrando: A = {ω ∈ Ω|X (ω) ∈ B }.
Observação 7.1: PX será a medida de probabilidade induzida por X no espaço
ΩX . Assim, (ΩX , PX ) será o espaço de probabilidade induzido pela variável
aleatória X .
Observação 7.2: Omitiremos o subscrito para que a notação não fique muito
carregada.
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EXEMPLO: Considere o lançamento de dois dados honesto. Seja Y a soma das
faces superiores.
Eventos (Y )
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Eventos Equivalentes em Ω
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