ficha de problemas nº1

Didáctica da Física I
Folha de exercícios nº1
Ano lectivo 2008/09
Cinemática/Dinâmica
1. Num laboratório dois alunos mediram a posição dum carrinho que se movia sobre uma mesa e
obtiveram as seguintes coordenadas (S.I.) em relação a dois eixos ortogonais:
x(t ) = 5 2 + 4 2t − 2t 2
e
y (t ) = 5 2 + 4 2t − 2t 2 .
Determinar:
a) a equação da trajectória;
b) a expressão analítica da lei do movimento, sendo s o = 10 m;
c)
d)
e)
f)
o vector deslocamento no intervalo de tempo [0,3] s;
o deslocamento escalar no mesmo intervalo;
o espaço percorrido no mesmo intervalo.
Esboçar o gráfico da posição medida sobre a trajectória, da velocidade escalar e da aceleração
no intervalo [0,5] s.
g) Caracterizar o tipo de movimento do carrinho.
2. (exame) A Joana conduz um pequeno Kart, com capacidade de se mover “para a frente” e “para trás”,
ao longo de uma pista circular de raio 100 m, e a partir de um dado instante, começa a registar os
valores da velocidade escalar medida pelo seu velocímetro, obtendo o seguinte gráfico :
6
4
+
v [m/s]
2
0
-2
-4
-6
0
40
80
120
160
200
t [s]
Ao mostrar o gráfico ao seu grupo de amigas, a Joana propõe-lhes o seguinte problema: Sabendo que
terminei a corrida na meta, no instante
t=210 segundos, em que posição estava eu
quando comecei a registar os valores da velocidade do meu Kart?
As amigas discutem o problema comentando:
Clara- Dos 160 aos 200 segundos, não houve alteração na posição do Kart.
Cristina- Dos 100 aos 160 segundos e dos 200 aos 210, a Joana andou no sentido
contrário.
Susana- Aos 50 segundos, a aceleração é momentaneamente nula.
Joaquina- No intervalo [0, 210] o espaço percorrido não coincide com o deslocamento.
a) Faça um comentário breve às afirmações das amigas da Joana, dizendo explicitamente se são
verdadeiras ou falsas.
b) Calcule a aceleração do Kart no instante 180 s.
c) Calcule a posição inicial do movimento.
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3. (exame) Considerar a seguinte situação de trânsito, ilustrada na
figura. Um carro com velocidade inicial de grandeza 36 km/h, inicia
a ultrapassagem do motociclo ao longo de uma curva (R=200 m). O
motociclo mantém a grandeza da sua velocidade, 36 km/h, constante.
Um autocarro, que no início da ultrapassagem está a uma distância
de 100 m do carro e com velocidade de 10,8 km/h, começa a travar,
diminuindo a grandeza da sua velocidade de 1300 km/h em cada
hora.
a) Se o carro iniciar a ultrapassagem 10 m atrás do motociclo e terminá-la regressando à sua faixa
de rodagem, 10 m à frente do motociclo, qual deve ser a aceleração mínima do carro, suposta
constante durante toda a ultrapassagem, para que a ultrapassagem se faça sem acidentes?
b) Marcar no instante t=2s, o vector aceleração dos três veículos e justifique o seu módulo, sentido
e direcção. (Se não resolveu a alínea anterior faça aceleração_do_carro=1m/s2).
4. No decorrer duma aula sobre dinâmica e após terem sido enunciadas as leis de Newton, um aluno
coloca ao professor a seguinte questão:
“Uma vez que as forças que actuam num corpo são responsáveis pela alteração do seu movimento,
expressa através da lei fundamental da dinâmica, porque razão quando termino o meu almoço e as
paredes do meu estômago se comprimem durante a digestão dos alimentos, estas forças não me
provocam qualquer tipo de movimento?”
Admitindo que era o professor desse aluno, elabore uma resposta à questão apresentada por forma a
clarificar inequivocamente o seu aluno.
5. Após a explicação dada ao aluno do problema 4, um outro interroga o professor da seguinte maneira:
“Quando ando de bicicleta, a força que exerço com os meus pés nos pedais da minha bicicleta
permitem que eu (juntamente com a bicicleta) me movimente. No entanto, quando está muito frio e
se forma gelo na estrada, apesar de exercer as mesmas forças (ou mais...) nos pedais não consigo
obter qualquer movimento. Será que as leis de Newton não se aplicam neste caso?
Como responderia a esta questão de forma a esclarecer o seu aluno.
6. (Comboio do Texas, problema proposto) Considere uma linha de comboio “perfeitamente
horizontal” onde circula, com velocidade constante de 30 km/h, uma carruagem de mercadoria aberta
no topo. Subitamente, começa a chover de forma torrencial e a carruagem vai ficando cheia de água.
Finalmente, pára de chover e constata-se que a carruagem fica com uma massa de água equivalente
ao dobro da sua massa (em vazio). Entretanto e passado algum tempo, abre-se um buraco na base da
carruagem que permite que a água vá escoando até a carruagem ficar novamente vazia.
Determinar a velocidade final da carruagem, nas seguintes condições:
A chuva caiu na vertical relativamente ao solo;
A chuva caiu na vertical relativamente à carruagem.
7. (exame) Num livro de exercícios de Física está o seguinte problema :
Uma pintora de paredes de 60 Kg está sobre uma plataforma de alumínio de 15 Kg.
Uma corda está amarrada à plataforma e passa por uma roldana, podendo a pintora
puxar a corda para subir. Qual a força que a pintora deve exercer na corda para subir
com aceleração de 0,8 m.s-2? Considere a roldana ideal e a massa da corda desprezável.
Um aluno resolveu-o da seguinte forma:
A força de tensão que puxa o elevador é em módulo igual à força ( F ) que a pintora exerce. Esta força tem que vencer o
peso e originar a aceleração desejada. F=(mpintora + melevador ) g + (mpintora + melevador ) a = 75x10 + 75x0.8 = 810 N
Critique a resolução do aluno, dizendo explicitamente se esta está ou não correcta. Se não concordar
com o aluno, resolva o problema correctamente.
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8. (exame) Um passageiro viaja clandestinamente no vagão de mercadorias de um combóio. No
instante inicial o combóio parte do repouso e começa a acelerar com a = 3 m/s2, em relação à
estação. O passageiro vê então um caixote (massa = 1 Kg) na extremidade B do combóio, dirigir-se a
ele com a = 1 m/s2.
a) Do ponto de vista do passageiro, que forças actuam no caixote? Desenhe-as, faça a respectiva
legenda e calcule os seus módulos.
b) E do ponto de vista de um observador inercial na estação? Desenhe as forças e faça a respectiva
legenda.
c) Do ponto de vista do passageiro quanto tempo demora o caixote a atingi-lo?
d) E do ponto de vista do observador na estação, quanto tempo demora o caixote a atingir o
passageiro?
e) Suponha agora que está um gato em cima do caixote enquanto este se move em direcção ao
passageiro, para o gato que forças actuam no caixote? Desenhe-as e faça a respectiva legenda.
a
5 metros
A
B
9. Considere uma roldana de massa desprezável e dois corpos A e B ligados entre si por um fio como
mostra a figura. O fio tem massa desprezável e é inextensível. Sobre a roldana exerce-se uma força F
de intensidade variável F = 4t2 j (SI). Considere a aceleração da gravidade igual a 10 ms-2. A massa
de B é 2 kg e a de A é 1 kg. No instante inicial todos os corpos têm velocidade nula.
a) Desenhe as forças que actuam nos corpos (A, B e
y
roldana) e faça a respectiva legenda.
F
b) Calcule a aceleração do corpo A e a do corpo B.
c) Qual o vector velocidade do corpo A ao fim de 1
segundo?
d) A que distância do eixo dos xx está o centro de massa
do sistema (corpo A, corpo B, roldana e fio) ao fim
A
B
de 2 segundos ?
x
10. Considere um cubo e uma esfera que descem um plano inclinado (de inclinação α) muito polido.
Cubo e esfera, ambos homogéneos e de massa m, partem do repouso, e percorrem a mesma distância
l até atingirem a parte mais baixa do plano inclinado. Utilizando as leis de Newton, calcule qual
deles chega primeiro ao solo e com que velocidade.
Repita o problema considerando o plano muito rugoso.
11. Faça a legenda e complete o gráfico seguinte que diz
respeito ao módulo da velocidade do centro de massa e
da velocidade angular de uma esfera rígida e homogénea
de raio R=10 cm, que é lançada horizontalmente com
velocidade inicial de 10 m/s, numa superfície horizontal
com coeficiente de atrito 0,1. [I=2/5MR2]
80
10,0
9,5
60
9,0
40
8,5
8,0
20
7,5
0
7,0
0
2
4
t (em segundos)
6
8
4
12. (Bola de bilhar. A tacada) Considere uma bolha de bilhar (massa, m=200 g, raio, R=5 cm e
momento de inércia relativamente a um eixo que passa pelo centro de massa da bola, I=2/5 mR2) sobre
uma mesa de bilhar e na qual é aplicada uma tacada com ilustrado nas figuras (caso 1 – “puxar” a bola e
caso 2 – “avançar” a bola). Por acção dessa tacada a bola adquire uma velocidade de centro de massa de
50 cm/s e uma velocidade angular de 40 rad/s com direcção perpendicular ao plano da folha e com o
sentido representado.
Construa os gráficos da velocidade do centro de massa e da velocidade angular da bola em função do
tempo para os dois casos ilustrados.
Caso 1
Caso 2
r
r
ω
r
vCM
ω
⊗
•
r
vCM
←
←
cinético, µC = 0.5
estático, µE = 0.9
Coeficiente de atrito entre a bola e a superfície da mesa de bilhar:
13. (exame) Na figura os blocos A e B têm massa 1 e 5 Kg respectivamente. Entre A e B existe atrito
(µe = µc = 0.1) mas B pode-se deslocar sem atrito sobre a superfície horizontal. No instante inicial A
move-se com velocidade v0 = 1,2 i m/s, enquanto B está em repouso.
Um observador inercial diz que A diminuiu a sua velocidade enquanto B a aumentou, até que ambos
se deslocam com a mesma velocidade.
A
B
x
a) Acha possível a situação que o observador descreve? Como a explica?
b) Que distância percorre o bloco A até os blocos se moverem com a mesma velocidade?
14. Num exame de Física constava o seguinte problema.
Uma rampa em forma de quarto de circunferência, e de massa M, é colocada numa mesa horizontal
sem atrito. Uma pequena bola de massa m coloca-se no topo da rampa e solta-se, deixando-se
deslizar ao longo da superfície polida da rampa. Qual a velocidade da rampa no instante em que a
bola deixa a rampa?
Um aluno resolveu-o da seguinte forma:
Tanto a bola como o sistema (bola+rampa), porque não há nenhuma força dissipativa
a realizar trabalho, conservam a sua energia mecânica. Então para o sistema:
∆px=0 ⇒ MvM=mvm
∆Em = 0 ⇒ mgR=1/2 mv2m + 1/2 MvM2
⇒VM = (2m2gR/(M2+m))1/2
Critique a resolução do aluno.
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15. (problema proposto) Uma barra não homogénea, muito fina, está pousada em cima de uma mesa
polida. Não existe atrito entre a mesa e a barra. Lança-se um disco com massa = 1 kg e velocidade
v = 5 m/s, contra a barra.
i) Da primeira vez o disco atinge a barra no ponto y=2 e verifica-se que
y
após o choque o disco fica parado e a barra move-se em linha recta com
v=1
m/s.
2
1
5
y
x
A
2
1
5
x
ii) Da segunda vez prende-se a barra numa das extremidades (ponto A) à
mesa. O disco atinge o centro da barra (y = 1,5 m) e verifica-se que este
fica incrustado na barra. A barra adquire um movimento de rotação
dando uma volta completa em cada 40 segundos.
a) Diga se para cada um dos choques existe conservação da quantidade de movimento, da energia
mecânica e do momento angular do sistema.
b) Determine a massa da barra.
c) Determine o momento de inércia da barra em relação a A.
d) Determine a posição do centro de massa da barra.
16. (exame) Uma pistola “lança-setas” é constituída por uma mola elástica,
cuja constante elástica é K = 4000 N/m, e está suspensa por um fio, de massa
desprezável, como ilustra a figura. A massa da pistola é 200 g e a massa da
seta é 2 g. Quando carregada com uma seta a energia potencial elástica da
mola é 0,2 J. A pequena distância da pistola encontra-se uma placa quadrada
de madeira que pode rodar, livremente, em torno de um eixo que passa pelo
seu centro (ponto O da figura). A placa tem massa M = 200 g, lado L = 5 cm e
espessura 0,1 cm. O momento de inércia da placa relativamente a um eixo que
contém um dos lados da placa (quadrado) que passa em O’, é I O ' = 13 ML2 .
a) Disparando a pistola automaticamente, qual é a velocidade da seta à saída da pistola?
b) Qual é a altura máxima alcançada pela pistola?
c) Desprezando o efeito da gravidade sobre a seta no seu percurso até à placa, e sabendo que a
mesma fica presa, junto à extremidade superior, na placa de madeira, determinar o número de
rotações da placa por segundo, após o impacto da seta. (Ignore o acréscimo de massa relativo à
seta quando presa na placa.)
d) Diga, justificando, qual a dependência do ponto de impacto da seta com a placa, no valor do
número de rotações da placa por segundo.
17. (exame) A Laura, à procura de apontamentos antigos de Física, foi ao
sótão de sua casa, mas ao descer, largou a porta tipo alçapão e esta atingiu-a
na cabeça como mostra a figura. Considere que a porta pode rodar sem atrito
em torno de um eixo horizontal e com momento de inércia ml2/3 ( m a massa
da porta e l a sua largura). Considere ainda que, quando a Laura largou a porta,
esta estava em repouso praticamente na posição vertical.
a) Marque as forças que actuam na porta quando esta está na posição que a figura indica.
b) Explicando o acontecido, a Laura diz: “Posso considerar que existe conservação do momento
angular da porta durante a queda pois, em relação ao centro de massa, todas as forças têm
momento nulo”. Diga explicitamente se concorda ou não com a Laura.
c) Qual o impulso que a Laura recebeu vindo da porta quando esta a atingiu na cabeça
considerando que depois do choque a porta ficou em repouso?
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18. (exame) Considerar os dois iô-iô’s apresentados na figura de igual massa M e raio maior R. No
primeiro caso (iô-iô tradicional) o fio enrola no pequeno cilindro interior de raio R/2, enquanto que no
segundo caso (iô-iô invertido) o fio enrola no cilindro exterior de raio R.
Numa aula de Física, um aluno apresenta
dificuldades em interpretar o movimento dos iôF
iô’s quando estes são colocados na horizontal, o 1º
sobre uma superfície e o 2º sobre uma calha dupla
r
aberta, e lhe é aplicada uma força F horizontal de
pequena intensidade de forma que não exista
deslizamento do iô-iô relativamente à superfície
onde apoia.
Sem recorrer a cálculo, explique de forma
F
inequívoca qual o movimento de ambos os iô-iô’s.
Caracterizar a aceleração do centro de massa dos iô-iô’s bem como a força de atrito em ambos os casos.
n.b.: considerar o momento de inércia de ambos os iô-iô’s, relativamente ao seu eixo, como sendo
I o = 12 MR 2 , onde M representa a massa do iô-iô e R o raio maior; e o fio com massa e espessura
desprezáveis.
19. (exame) Um cilindro de massa m e raio R encontra-se
envolvido por muitas voltas de fio de massa e espessura
desprezáveis. A outra extremidade do fio encontra-se ligado a
um bloco de massa M, como é ilustrado na figura. Aplica-se
r
m
M
F
R
O
uma força F no centro de massa do cilindro.
O momento de inércia do cilindro relativamente a um eixo que passa no ponto O (ponto de contacto do
cilindro com a superfície) e é paralelo ao eixo do cilindro é I O = 32 mR 2 . Determinar para as seguintes
situações as acelerações do cilindro, angular e do centro de massa, e do bloco:
a) ausência de atrito entre a superfície de apoio e os corpos (bloco e cilindro).
b) ausência de atrito entre a superfície e o bloco e presença de atrito entre a superfície e o
cilindro de tal forma que não haja deslizamento do cilindro.
20. (exame) Numa demonstração, durante uma aula, foi
utilizada uma miniatura dum carril de combóio montado
sobre uma grande roda que podia girar livremente, com atrito
desprezável, em torno dum eixo vertical (ver figura). Um
combóio de brincar, com massa m, foi colocado sobre o carril
e, com o sistema inicialmente em repouso, foi ligada à
alimentação eléctrica. O combóio atinge uma velocidade
escalar estacionária v relativamente ao carril.
a) Traçar, justificando, os diagramas de forças no combóio (considere-o como um ponto material)
e no carril.
b) Qual a velocidade angular ω da roda se for M a sua massa e R o seu raio (despreze a massa dos
raios da roda e do carril, isto é considerar a massa M da roda como estando distribuída
uniformemente à distância R do seu centro).
c) Se for ∆t o intervalo de tempo necessário para o combóio atingir a velocidade estacionária
relativamente ao carril determinar o momento médio criado pelo motor do combóio nas suas
rodas motrizes.
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21. (exame) Um iô-iô tem massa M e raio maior R. Fio de
massa desprezável e de comprimento igual a l m é enrolado no
pequeno cilindro interior de raio R/2.
Numa aula de Física, um aluno apresenta dificuldades em
interpretar o movimento do iô-iô quando este é inicialmente
abandonado na vertical e, depois de desenrolado o fio, é
colocado sobre uma superfície horizontal (coeficientes de atrito
estático e cinético, µe = 1.2 µc) passando a descrever um
movimento de translação horizontal.
a) Representar num diagrama todas as forças que actuam no iô-iô; i) durante o seu movimento na
vertical, ii) durante o seu movimento na horizontal.
b) Determinar por considerações de energia as velocidades do centro de massa e angular do iô-iô
após o fio ter desenrolado totalmente.
c) Sem recorrer a cálculo, explique de forma inequívoca, a origem do movimento de translação
horizontal do iô-iô, após o desenrolar do fio.
d) Determinar a velocidade terminal do centro de massa do iô-iô no seu movimento horizontal.
Considerar como condições iniciais que a velocidade inicial do centro de massa é nula e que a
velocidade angular relativamente ao eixo do iô-iô é a obtida na alínea b). Se não conseguiu
calculá-la considere-a como sendo wo.
22. Um cilindro uniforme com massa M e raio R está em repouso sobre
um bloco de massa m, o qual, por sua vez, repousa sobre uma mesa
horizontal sem atrito. Se uma força horizontal F de pequena
intensidade é aplicada no bloco, este é acelerado e o cilindro rola sem
escorregar.
a) Representar num diagrama as forças que actuam no bloco e no cilindro.
b) Determinar as acelerações do bloco, do centro de massa e angular do cilindro.
23. (exame) Um iô-iô repousa num plano inclinado a uma distância D
da base do plano, conforme ilustra a figura. A massa do iô-iô tem massa
M, raio exterior R e raio interior r e o momento de inércia relativamente
ao seu eixo é 1/2MR2. Fio de massa desprezável está enrolado com
muitas voltas em torno do centro do iô-iô (raio r) e a outra extremidade
do fio está presa por um gancho no topo do plano inclinado, de forma
que o fio tem uma direcção paralela ao plano inclinado.
a) Inicialmente a superfície da rampa é formada por gelo e não apresenta qualquer atrito.
Quais são as acelerações angular e do centro de massa do iô-iô.
b) Por considerações de energia determinar a velocidade do centro de massa do iô-iô quando
este alcança a base da rampa e compare com o valor obtido com base na aceleração do
centro de massa calculada na alínea anterior.
c) Entretanto o gelo derreteu e o coeficiente de atrito estático (µe) é suficiente para o iô-iô
fique parado quando colocado sobre a rampa nas condições ilustradas na figura. Nestas
condições caracterizar a força de atrito que actua no iô-iô.
24. A figura mostra um cilindro de raio R e momento de inércia I
cujo eixo está fixo. O cilindro está inicialmente em repouso e o
bloco de massa M, mostrado na figura, desloca-se para a direita,
sem atrito, com velocidade v1. O bloco entra em contacto com o
cilindro e escorrega sobre ele, mas o atrito é o bastante para que o
escorregamento cesse antes de acabar o contacto dos dois. Determinar a velocidade final do bloco.
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25. (exame) Duas bolas de massas m e M podem deslizar livremente
num trilho horizontal circular de raio R, sem atrito. Certa mola
(suposta ter massa desprezável) está comprimida entre as bolas,
unidas por um fio fino, e armazena uma energia potencial Uo.
a) se o fio romper, a mola lançará as duas bolas em sentidos
opostos. As bolas colidem quando se encontram
novamente no trilho (figura). Em posição ocorrerá a
colisão?
b) Determinar o intervalo de tempo entre o rompimento da
linha e a colisão.
c) Supondo que a colisão seja perfeitamente elástica e frontal, determinar o ponto em que as
bolas colidirão novamente.
26. (exame) Uma esfera oca uniforme pode girar sem atrito em
torno de mancais verticais. Uma corda de massa desprezável
passa pelo equador da esfera e sobre uma roldana e está presa
num pequeno objecto.
a) Representar o diagrama de forças aplicadas na esfera, na
roldana e no pequeno objecto.
b) Determinar a aceleração angular da esfera e da roldana?
Por considerações energéticas determinar a velocidade do
pequeno objecto de massa m após ter caído duma distância h, partindo do repouso.
27. (exame) Os dois discos ilustrados na figura têm igual massa m e raio R. O
disco superior pode rodar livremente em torno do seu eixo. Uma corda
inextensível com massa desprezável dá um número de voltas considerável em
torno de ambos os discos. A partir dum certo instante o disco inferior é
abandonado.
a) Representar num diagrama as forças que actuam nos discos.
b) Determinar em função do tempo a velocidades do centro de massa e
angular do disco inferior.
c) Determinar em função do tempo a posição do centro de massa do disco
inferior.
n.b.: o momento de inércia dum disco relativamente ao seu eixo é I o = 12 mR 2 .
28. (exame) Um cilindro com massa M e raio R está sobre um
plano inclinado de 30º (ver figura). Um fio, enrolado um nº de
voltas considerável em torno do cilindro, estende-se paralelamente
ao plano inclinado e, passando por uma roldana de massa
desprezável, sustenta um corpo de massa m. A tensão no fio e a
força de atrito cinético exercida sobre o cilindro pelo plano
inclinado são apenas suficientes para impedir o cilindro de descer
pelo plano inclinado à medida que gira (i.é, a posição do centro de
massa do cilindro não se altera), enquanto o fio desenrola e o
corpo de massa m desce com aceleração a. O coeficiente de atrito cinético entre o plano inclinado e o
cilindro é dado por µc = 0,25.
a) Determinar a aceleração a do corpo suspenso e a razão de massas M / m.
b) Determinar o trabalho realizado pela força de atrito quando o corpo suspenso se desloca 20
cm.
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29. (exame) Na figura as massas m1 e m2 estão ligadas por um fio A que passa
sobre uma roldana B de massa desprezável. O eixo desta roldana está ligado a
uma massa m3, por um segundo fio C que passa sobre uma segunda roldana D de
massa M e raio R. A massa dos fios pode ser considerada desprezável. O sistema
é libertado a partir do repouso. Determinar:
a) A aceleração dos blocos m1, m2 e m3.
b) A aceleração do centro de massa da roldana B.
c) A aceleração angular da roldana D.
30. (exame) Uma fita flexível de comprimento L e massa desprezável está firmemente enrolada sobre si
em torno da superfície dum cilindro com massa m e raio R. O conjunto é colocado sobre um plano com
inclinação θ (ver figura). A fita desenrola enquanto o cilindro rola pelo plano inclinado e a ponta
superior da fita é mantida presa.
a) Determinar a aceleração do centro de massa do
cilindro e o tempo que a fita demora a desenrolar
completamente.
b) Se o coeficiente de atrito estático entre as superfícies
do cilindro e do plano inclinado for inferior a
tg θ 3 o cilindro irá derrapar ou não sobre o plano
inclinado
após
completamente?
a
fita
ter
desenrolado