Flexão em vigas - Website Prof. Willyan
Propaganda
Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Vigas Flexão em vigas Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Vigas • Estrutura linear que trabalha em posição horizontal ou inclinada, assentada em um ou mais apoios e que tem a função de suportar os carregamentos normais a sua direção (se a direção da viga é horizontal, os carregamentos são verticais). Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Posição Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Formato Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Seção Transversal Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Apoios • Apoios ou vínculos são componentes ou partes de uma mesma peça que impedem o movimento em uma ou mais direções. Considerando o movimento no plano, podemos estabelecer três possibilidades de movimento: • Translação horizontal; • Translação vertical; • Rotação. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida As cargas externas aplicadas sobre as vigas exercem esforços sobre os apoios, que por sua vez produzem reações para que seja estabelecido o equilíbrio do sistema. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Classificação – Os apoios são classificados de acordo com o grau de liberdade, ou seja, os movimentos que permitem. Desta forma temos: Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Classificação das vigas quanto aos apoios: Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Cargas • Carga Concentrada – Classificamos como carga concentrada, quando a superfície ocupada pela carga quando a superfície ocupada pela carga e relativamente pequena em relação a viga. Exemplos: pés das bases de maquinas; rodas de veículos, etc. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Carga Distribuída Uniforme – Quando o carregamento e igualmente distribuído em um determinado comprimento ou por toda a viga. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Carga Distribuída Variável • Quando o carregamento é distribuído de forma variável em um terminado comprimento ou por toda a viga. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Flexão • Flexão provoca uma tensão de tração de um lado da viga e uma tensão de compressão do outro lado. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida A fórmula da Flexão • O momento resultante na seção transversal é igual ao momento produzido pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro. σ = tensão normal no membro M = momento interno I = momento de inércia y = distância perpendicular do eixo neutro Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Exemplo • A viga tem seção transversal retangular e está sujeita à distribuição de tensão mostrada na figura abaixo. Determine o momento de interno M na seção provocado pela distribuição de tensão. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Flexão Reta ou Normal – solicitação que provoca, ou tende a provocar, curvatura nas peças. – O esforço solicitante responsável por este comportamento é chamado de momento fletor, podendo ou não ser acompanhado de esforço cortante e força normal. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Flexão Reta ou Normal • Quando desenvolvemos a fórmula da flexão, impusemos a condição de que a área da seção transversal fosse simétrica em torno de um eixo perpendicular ao eixo neutro e também que o momento interno resultante M agisse ao longo do eixo neutro. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Esforço cortante (V) e Momento Fletor (M) Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • A determinação da tensão normal e de cisalhamento máximas, requer a identificação do esforço cortante e do momento fletor máximos atuantes na viga. • O esforço cortante e o momento fletor em um determinado ponto de uma viga é encontrado, passando-se uma seção através do ponto deseja do e aplicando-se as equações de equilíbrio da estática para o trecho cortado. • Convenção de sinais para os esforços V e V’ e para os momentos M e M’. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Exemplo 1. • Para a viga e o carregamento mostrado na figura, construa o diagrama de esforço cortante e de momento fletor e determine a tensão normal máxima devido à flexão. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Momento Fletor – No dimensionamento de peças submetidas a flexão, admitem-se somente deformações elásticas. A tensão de trabalho e fixada pelo fator de segurança, através da tensão admissível. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Exercício • A viga simplesmente apoiada tem a área de seção transversal mostrada na figura. Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e represente a distribuição de tensão na seção transversal nas localizações B, C e D. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Flexão Obliqua ou Assimétrica – Ocorre em vigas com seções assimétricas; – Vigas com seção simétrica e fora do plano de simetria; Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Para cargas inclinadas passando pelo centróide, deve-se decompor a carga em duas componentes: Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Os momentos em uma seção distante “x” podem ser determinados em função das componentes Py e Pz: Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • O momento fletor “M” na seção “x” é a resultante dos momentos My e Mz e tem a inclinação θ com o eixo “z”. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Momento decomposto em cada eixo Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Momento aplicado arbitrariamente – Podemos expressar a tensão normal resultante em qualquer ponto na seção transversal, em termos gerais, como: σ = tensão normal no ponto y, z = coordenadas do ponto medidas em relação a x, y, z My, Mz = componentes do momento interno resultante direcionados ao longo dos eixos y e z Iy, Iz = momentos principais de inércia calculados em torno dos eixos y e z Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Orientação do eixo neutro – O ângulo α do eixo neutro pode ser determinado aplicando σ = 0. Temos: IMPORTANTE: utilizar um sistema x, y e z orientado pela regra da mão direita. Ângulo é positivo se medido no sentido do eixo +y para +z, do contrário serão negativos. My = M.sen e Mz = M.cos Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Exemplo 1 • A seção transversal retangular mostrada na Figura está sujeita a um momento fletor M = 12 kN · m. Determine a tensão normal desenvolvida em cada canto da seção e especifique a orientação do eixo neutro. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Exemplo 2 • Uma viga em T está sujeita a um momento fletor de 15 kN.m. Determine a tensão normal máxima na viga. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Ambas as componentes do momento são positivas. Temos: Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Para propriedades da seção, temos: z A (0,04).(0,1).(0,05) + (0,2).(0,03).(0,115) ∑ z= = = 0,089m (0,04).(0,1) + (0,2).(0,03) ∑A Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Pelo teorema dos eixos paralelos, I = I + Ad 2 os principais momentos da inércia são: Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • A maior tensão de tração ocorre em B e a maior tensão de compressão ocorre em C. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Exercício 1. – A viga em T está sujeita a um momento fletor M = 15 kN·m direcionado, como mostra a figura. Determine a tensão de flexão máxima na viga e a orientação do eixo neutro. A localização y do centroide, C, deve ser determinada. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Exercício 2 – A viga tem seção transversal retangular. Se estiver sujeita a um momento fletor M = 3.500N.m direcionado como mostra a figura, determine a tensão de flexão máxima na viga e a orientação do eixo neutro. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Vigas compostas – Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são denominadas vigas compostas. – A fórmula da flexão foi desenvolvida para vigas de material homogêneo. Entretanto vamos modificar a seção transversal da viga em uma seção feita de um único material e utilizar a fórmula. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Método da seção transformada – Se um momento for aplicado a essa viga, então, como ocorre a um material homogêneo, a área total da seção transversal permanecerá plana após a flexão, e por conseqüência, as deformações normais variarão linearmente de zero no eixo neutro a máxima no material mais afastado desse eixo. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida O método consiste em transformar a viga em outra feita de um ÚNICO material. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • A altura da viga deve permanecer a mesma para preservar a distribuição de deformações. 1 + rígido; 2 – rígido - Regra: numerador o material que será substituído! O fator de transformação é uma razão entre os módulos dos diferentes materiais que compõem a viga. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida “Uma vez determinada a tensão da seção transformada, ela deve ser multiplicada pelo fator de transformação para obter a tensão na viga verdadeira” Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Exemplo 1 • Uma viga composta é feita de madeira e reforçada com uma tira de aço localizada em sua parte inferior. Ela tem a área de seção transversal mostrada na figura abaixo. Se for submetida a um momento fletor M=2KN.m, determine a tensão normal nos pontos B e C. Considere Emad=12GPa e Eaço=200GPa. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Transformaremos a seção em outra feita inteiramente de aço, substituindo a madeira. A seção transformada é mostrada na figura ao lado. A localização do centroide (eixo neutro) é: Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Portanto, o momento de inércia em torno do eixo neutro é • Aplicando a fórmula da flexão, a tensão normal em B’ e C • A tensão normal na madeira em B é Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Exemplo 2 (6.121 – Hibbeler) – As partes superior e inferior da viga de madeira são reforçadas com tiras de aço, como mostra a figura. Determine a tensão de flexão máxima desenvolvida na madeira e no aço se a viga for submetida a um momento fletor M = 5 kN.m. Trace um rascunho da distribuição de tensão que age na seção transversal. Considere Emad = 11 Gpa, Eaço = 200 Gpa. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Emad 11GPa n= = = 0,055 Eaço 200GPa Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida baço = n.bmad baço = 0,055.0,2m baço = 0,11m σ max( aço ) 3 3 0,2.0,34 0,189.0,3 I= − 12 12 I = 2,2981.10 − 4 σ max( aço ) σ max( aço ) M ..cc = I 5.103.0,170 = 2,2981.10 − 4 = 3698707 Pa σ max( aço ) = 3,698MPa. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida σ max( mad ) M .c = n. I σ aço ( 0,15 m ) σ max( mad ) 5.103.0,150 = 0,055 2,2981.10 − 4 = 163178,27 Pa σ aço ( 0,15 m ) σ max( mad ) σ max( mad ) = 0,16 MPa. σ aço ( 0,15 m ) M .c = I 5.103.0,150 = 2,2981.10 − 4 = 3263565,55Pa σ aço ( 0,15 m ) = 3,263MPa. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Exemplo 3 (6.123 – Hibbeler) – A viga em U de aço é usada para reforçar a viga de madeira. Determine a tensão máxima no aço e na madeira se a viga for submetida a um momento M = 1,2 KN.m. (Eaço = 200 GPa, Emad = 12 GPa) Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Vigas de concreto armado Observação: O diagrama de tensão para concreto revela que o mesmo pode ser 12,5 vezes mais resistente sob compressão do que tração Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Na análise de uma viga de concreto simples (sem armadura), a mesma rompe bruscamente tão logo que surge a primeira fissura, (Figura 12a). Entretanto, colocando-se uma armadura convenientemente posicionada na região das tensões de tração, eleva-se significativamente a capacidade resistente da viga (Figura 12b). Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Em situações reais de projeto com concreto armado, a capacidade do concreto de suportar qualquer carga de tração é desprezada – a fratura do concreto é imprevisível. • A análise de tensão requer localizar o eixo neutro e determinar a tensão máxima no aço e no concreto. E aço • Usa-se o fator de transformação: n = E concreto Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Considera-se n > 1 convertendo o ferro em função do aço. “É preciso uma quantidade “maior” de concreto para substituir o aço” h' bh' − nAaço (d − h') = 0 2 Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Exemplo 1 – A viga de concreto armado tem a área de seção transversal como mostra a figura abaixo. Se for submetida a um momento fletor M = 60 kN·m, determine a tensão normal em cada uma das hastes de reforço de aço e a tensão normal máxima no concreto. Considere Eaço= 200 GPa e Econc= 25 Gpa. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • A área total de aço é Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Exige-se que o centroide se encontre no eixo neutro. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • O momento de inércia da seção transformada, calculado em torno do eixo neutro, é • Aplicando a fórmula da flexão à seção transformada, a tensão normal máxima no concreto é Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • A tensão normal em cada uma das duas hastes é, portanto, Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Vigas Projeto de Vigas em flexão Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida • Objetivo – Análise e projeto de vigas; • Vigas – membro estrutural suportando cargas ao longo do seu comprimento; • Cargas transversal em vigas são classificadas em cargas concentradas ou cargas distribuídas; • As cargas aplicadas resultam em forças internas, consistindo de esforço cortante e momento fletor, gerando tensões de cisalhamento e tensões normais, respectivamente; • A tensão normal é, comumente, o critério crítico usado para o projeto; • Requer a determinação da localização e da magnitude do momento máximo. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida “Para projetar uma viga com base na resistência, exigem-se que as tensões de flexão e de cisalhamento verdadeiras não ultrapassem as tensões admissíveis para o material”. • Reque a determinação do “módulo de resistência à flexão” da viga (S(W)=I/c). • A tensão normal máxima ocorre no ponto onde o momento fletor é máximo; • Módulo de resistência à flexão (w): Representa o tipo de seção reage ao esforço, ou seja, representa a resistência da seção em relação ao esforço de flexão. Para cada tipo de seção transversal estudada tem-se uma equação diferente para se calcular o valor de W. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Tabela de Módulo de resistência a flexão em relação ao eixo x. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Exemplo 2. • A viga simplesmente apoiada da figura deve suportar o carregamento indicado. Sabendo-se que atensão admissível do material usado é de 160MPa, selecione o perfil de abas largas a ser utilizado. Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Dimensionamento da seção transversal Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida
