Cap 2 - Unesp

ELETROMAGNETISMO I
2
11
FLUXO ELÉTRICO E LEI DE GAUSS
2.1 - A LEI DE GAUSS
Esta lei é regida por princípios muito simples e de fácil entendimento. O conceito geral de fluxo como
sendo o escoamento de um campo vetorial que atravessa uma secção qualquer, pode ser estendido
para explicar o campo elétrico.
Conceito
O fluxo elétrico que atravessa qualquer superfície fechada é igual à carga total
envolvida por essa superfície (Lei de Gauss)
O trabalho de Gauss consistiu na formulação matemática do enunciado acima, que já era conhecido
e entendido como óbvio. Em outras palavras, o fluxo total de qualquer escoamento é emanado por
uma fonte envolvida por uma superfície fechada, não importando sua forma geométrica.
Gostaríamos apenas de frisar aqui que a superfície tem que ser fechada para que possa envolver
toda a fonte e se deixe atravessar pelo fluxo total resultante.
Eletricamente, imagine uma distribuição de cargas envolvida por uma superfície fechada S (figura
2.1).
y
D
Q
Figura 2.1 Distribuição de cargas no
interior de uma superfície gaussiana.

S
x

Vamos agora tomar um incremento vetorial de superfície S admitido como plana. Este vetor terá
uma orientação no espaço, perpendicular ao plano que tangencia a superfície S neste ponto (centro

de S ) apontando para fora da superfície fechada. A densidade de fluxo que atravessará a



superfície elementar S é dada pelo vetor Ds genericamente formando um ângulo  com S em
cada ponto da superfície fechada em questão.

O fluxo elementar que atravessa S será então:


  Ds . S  DsS cos  (C)
(2.1)


 é uma grandeza (escalar), resultante do produto escalar entre os vetores Ds e S .
Nestas condições, o fluxo total que atravessa a superfície fechada S será então:

  d 


 D .dS
s
s
(C)
(2.2)
A integral resultante é realizada sobre uma superfície fechada (daí o símbolo S ), fruto de uma
integral dupla. Esta superfície é freqüentemente chamada de superfície gaussiana.
Assim, a Lei de Gauss é então matematicamente formulada como:
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
s
12
 
Ds . dS  Q (C)
(2.3)
A carga envolvida pode ser de qualquer tipo: cargas pontuais discretas, linhas de cargas, distribuição
superficial de cargas ou uma distribuição volumétrica de cargas. Desta forma, a Lei de Gauss pode
ser generalizada em termos de cargas em distribuições uniformes respectivamente volumétricas,
superficiais ou lineares, conforme abaixo:


sDs .dS v  v dv (C)
 
D
s s .dS S SdS (C)
 
sDs .dS L  L dL (C)
(2.4)
A integral realizada sobre o lado esquerdo da equação pode ter um domínio diferente daquela
realizada sobre o lado direito. Daí ressaltarmos na expressão intermediária o domínio S da superfície
fechada daquele S contendo a carga superficial.
Exemplo 2.1
Calcular o fluxo que atravessa a superfície de uma esfera de raio a metros, produzido por uma carga
elétrica Q coulombs, concentrada no centro dessa esfera.
Solução:


Sabemos que na superfície de uma esfera de raio O produto escalar D  S é então dado por:
s
a, a densidade de fluxo elétrico é:

Ds 
Q
4 a
2
. a r
( C / m2 )
Q
 Q

.â r   a 2 sendd.â r 
sendd

2
4
 4 a



O elemento diferencial de área, conforme Fig. Os limites de integração foram escolhidos de
modo que a integração seja realizada sobre a
2.2., em coordenadas esféricas é:
superfície uma única vez.
dS r 2 sen θdφdθ  a 2 sen θdφdθ
A integral de superfície será:

2
0
0

Q
sen dd
4
Integrando primeiro em relação a  e em seguida
em relação a 



0
Figura 2.2 Elemento diferencial de área
Q
Q
sen d  ( cos )  Q (C)
0
2
2
Ficando pois comprovado que:


 D .dS  Q
s
s
(C)
Exemplo 2.2
Calcular o fluxo elétrico total que atravessa uma superfície esférica, de centro na origem, possuindo
raio r = 10 m, sendo que a distribuição de carga é composta por uma linha de cargas ao longo do
eixo z, definida por l = 2e2|z| C/m na região –2  z  2 m e l = 0 no restante.
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Solução:
Existem duas maneiras de se resolver este
problema:
Aqueles que adoram resolver integrais
complicadas podem encontrar uma expressão
para o campo elétrico em um ponto qualquer
da superfície de raio r, e integrá-la em toda a
superfície.
Q

2
2e
2z
dz (C)
2
Como a função módulo não é contínua,
vamos dividir a integral acima em duas
integrais:
Q

0
2e  2 zdz 
2
Aqueles um pouco mais espertos podem
simplesmente integrar a função de distribuição
de cargas ao longo de z, de -2 a 2 m. A lei de
Gauss garante que os resultados serão os
mesmos, para qualquer dos dois casos.

2
2e2 zdz (C)
0
0
Q   e2 z
2
 e2z
2
0
Q   1  e4  e4  1  107,19 (C)  
Então:
2.2 - A RELAÇÃO CONSTITUTIVA ENTRE O FLUXO E O CAMPO ELÉTRICO
Sabe-se que uma carga pontual cria um campo elétrico no vácuo expresso em coordenadas
esféricas pela equação vetorial (1.6). Por outro lado, o exemplo 2.1 define o fluxo que este mesmo
campo elétrico cria ao atravessar uma superfície esférica, portanto fechada. Uma análise imediata
mostra que existe uma relação entre a densidade de fluxo D e o campo elétrico correspondente E
definida pela permissividade 0 do meio, no caso, o espaço livre ou o vácuo. Vetorialmente esta
relação constitutiva pode ser dada por:


D  0 E
(2.5)
Exemplo 2.3
Considere uma linha infinita de cargas. Utilizando a Lei de Gauss encontre a expressão para o
campo elétrico em um ponto do espaço, criado por esta distribuição linear.
Solução:
De discussões anteriores sobre o campo
elétrico de uma linha infinita de cargas, vimos
que o campo elétrico é radial e só varia com o
raio r.
S
Portanto:

D  D r . a r
( C / m2 )
A superfície gaussiana selecionada é um
cilindro de raio r e comprimento L, com eixo
coincidente coma própria linha de cargas.
D
Aplicando a Lei de Gauss:
S
L
D


 D.dS  D dS  0 dS  0 dS
lado
Q D 
r
S
Q
L 2
0
D
D
0
topo
rddz  Dr 2L
Q

 l (C / m2 )
2 rL 2 r
Figura 2.3 Superfície gaussiana em
torno de uma linha infinita de cargas
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base
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

D
l
E
. a r 
. a r
0
2  0 r
14
( N / C)
Exemplo 2.4
Encontrar a expressão para o campo elétrico produzido por uma distribuição superficial infinita de
cargas.
Solução:

D
(curva) estará acima da superfície carregada e
a outra metade abaixo dela.
Aplicando então a Lei de Gauss:

S
Q

D

S


 D. dS  0 dS  D dS  D dS
lado
topo
base
 s S  DS  DS
Figura 2.4 Superfície gaussiana para
uma distribuição superficial de cargas.
D
Da discussão do capítulo anterior, o campo
elétrico produzido por uma distribuição
superficial e plana de cargas terá a direção da
normal à superfície, no ponto onde se deseja
calcular o campo elétrico.
A superfície gaussiana utilizada será um
pequeno cilindro, de altura h e área de base
S. Uma das metades da superfície cilíndrica
s
2
 ρ
 ρ
D  S â n ; E  S â n
2
2ε 0
Por este exemplo chegamos à conclusão (em princípio absurda) de que o campo elétrico em um
ponto, provocado por uma distribuição superficial de cargas, não depende da distância entre o
ponto e a superfície. Não se esqueça de que este raciocínio foi feito para uma distribuição infinita
de cargas, que não existe na prática. Uma distribuição superficial finita de cargas pode ser
considerada como infinita se a distância do ponto de interesse à distribuição superficial de cargas for
muito pequena, comparada com as dimensões da mesma. Para pontos mais distantes, a distribuição
não exibe simetria especular e não pode ser considerada infinita, o que invalida a expressão acima.
Exemplo 2.5
Dois condutores cilíndricos coaxiais, para efeitos práticos são considerados como sendo de
comprimento infinito. O cilindro interno é maciço, de raio a. O cilindro externo, oco, possui raio
interno b e raio externo c. Uma carga de densidade superficial s (C/m2) é colocada na superfície do
condutor interno. Avaliar o campo elétrico em todo o espaço, a partir do centro dos cilindros (r = 0)
até o exterior onde r > c. O meio entre os condutores possui permissividade elétrica 0.
Solução:
S1
E
Figura 2.5 Corte transversal das superfícies
gaussianas em um cabo coaxial
S2
S3
a
b
S4
Quatro superfícies gaussianas (fechadas)
cilíndricas concêntricas de comprimento L são
traçadas e as fronteiras entre elas serão por
enquanto ignoradas.
A primeira delas S1 possui um raio r < a.
Portanto:
c
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 
Q   D  dS  0
S1
Como a carga está distribuída na superfície

onde r = a, E = 0 no interior do cilindro
interno.
A segunda superfície gaussiana S2 possui um
raio a < r < b.
 
 D  dS 
S2
L
Portanto:

2
0
O campo elétrico no interior do cilindro
externo, também condutor, é nulo.
A quarta superfície gaussiana S4 é um cilindro
externo maior de raio r > c. A carga induzida
na superfície interna do condutor externo por
sua vez induz uma carga oposta a ela de
mesma magnitude na superfície externa do
condutor externo, com raio c. Portanto:
 
D
  dS  Q
L 2
rddz  s

0
addz
0
S4

D2rL  s 2 aL
D 2rL   S( c ) 2cL
Q  2aLS
a
(C / m2 )
r
D   S(c )
Q
 2as
L
c
(C / m 2 )
r
Como as cargas induzidas são iguais:
Se a carga for expressa por unidade de
comprimento, sua densidade linear ficará:
l 

 D  dS  S(c) S(c) dS
S4
A carga total envolvida por S2 e a densidade
de fluxo nesta superfície fechada são
respectivamente:
D s

 D  dS  0
S3
S( a )

0
interna com densidade s induz uma carga
oposta de igual magnitude na superfície
interna do condutor externo de raio b
eletricamente neutro, e assim a carga total
envolvida por esta superfície é nula.
 S(a ) dS
A primeira integral é calculada sobre a
superfície gaussiana de raio r e a segunda
sobre a superfície carregada do condutor
interno com raio a. Seguindo os exemplos
anteriores, pela geometria, observamos que a
densidade de fluxo possui o seu módulo
constante em função da distância radial r.
Portanto para S(a) = S vem:
D
15
 S(a ) 2 aL   S( b ) 2bL
S(c ) 2cL S( b) 2bL
onde
A correspondente densidade de fluxo será
S(c ) c  S( b) b  S(a ) a
 a 
D l  l (C / m 2 )
2a r 2r
E o campo elétrico será expresso por

 D
l
E

. a r ( N / C)
 0 2  0 r
expressão idêntica à obtida para uma linha
reta (infinita) eletricamente carregada.
A terceira superfície gaussiana S3 é um
cilindro com raio r, tal que b < r < c. A carga
Embora as cargas sejam iguais em
intensidade, as densidades superficiais não o
são.
Desta forma
a 
D ext  S( a )  l (C / m 2 )
r 2r
Aplicando a relação constitutiva teremos o
campo elétrico externo dado por
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

D
l
E ext  ext 
. a r ( N / C)
0
2  0 r
16
Em outras palavras, externamente ao
conjunto, tudo se passa como se o campo
fosse criado por uma distribuição linear de
cargas ao longo do eixo do cabo coaxial.
Esta é a mesma expressão para o campo
produzido pelo condutor interno.
Graficamente:
O condutor externo não exerce influência
sobre o campo elétrico produzido pela
distribuição de cargas do condutor interno.
E
(N/C)
a
b
c
r (m)
Figura 2.6 Comportamento do campo elétrico em função de r.
2.3 - COMENTÁRIOS
A lei de Gauss fornece o fluxo elétrico total que atravessa uma superfície fechada envolvendo uma
distribuição de cargas, ou seja, determina o fluxo criado por um campo elétrico. A intensidade ou
módulo deste campo elétrico pode ser obtida pela aplicação direta da lei de Gauss e o emprego da
relação constitutiva entre a densidade de fluxo e o correspondente campo elétrico. Neste caso, para
que o vetor do campo elétrico seja conhecido, torna-se necessário o conhecimento da configuração
ou disposição geométrica das suas linhas de força.
Pelos exemplos que acabamos de resolver, podemos concluir que somente o conhecimento da
simetria do problema nos permite escolher superfícies gaussianas adequadas. O não conhecimento
dessa simetria torna a solução do problema pela Lei de Gauss extremamente complicada.
Problemas que não possuem simetria conhecida são resolvidos de uma forma um pouco diferente,
como será visto no próximo capítulo.
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EXERCÍCIOS
1) Determine o fluxo que passa através de uma superfície fechada S envolvendo as cargas
pontuais Q1 = 30 nC, Q2 = 140 nC e Q3 = ─ 70 nC.
2) Uma superfície gaussiana qualquer envolve duas cargas iguais em módulo e polaridades
opostas. Há fluxo atravessando-a? Determine este fluxo em caso afirmativo.
3) O eixo x contém uma distribuição linear uniforme de carga L = 50 nC/m. Qual o fluxo
elétrico por unidade de comprimento que passa através de uma fita definida pelo plano z = 3
m limitado por y = ± 2 m?
4) Generalize para o problema anterior o caso de uma fita plana, paralela à linha carregada,
mas que não possui simetria em relação a ela.

2
5) Dado o vetor densidade de fluxo ou deslocamento elétrico D  2xâ x  3â y (C/m ), calcule o
fluxo total que atravessa um cubo de arestas com 2 m, centrado na origem de um sistema
cartesiano tri-ortogonal e com as arestas paralelas aos eixos das coordenadas.
6) O eixo z de um sistema coordenado contém uma distribuição uniforme de cargas, com

densidade l = 50 nC/m. Calcule o campo Elétrico E em (10,10,25) m, expressando-o em
coordenadas cartesianas e cilíndricas.
7) Existem duas configurações lineares de carga, com densidades iguais, l = 6 nC/m, paralelas

ao eixo z, localizadas em x = 0 m , y = 6 m. Determine o campo elétrico E em (–4,0,z) m.
8) Uma superfície fechada S envolve uma distribuição linear finita de cargas definida pelo
intervalo 0  L   m, com densidade de cargas l = –0 sen (L/2) C/m. Qual é o fluxo total
que atravessa a superfície S ?
9) Na origem de um sistema de coordenadas esféricas existe uma carga pontual Q C. Sobre
uma casca esférica de raio a uma carga (Q'- Q) C está uniformemente distribuída. Qual é o
fluxo elétrico que atravessa a superfície esférica de raio k m, para k < a e k > a ?
10) Uma área de 40,2 m 2 sobre a superfície esférica de raio 4 m é atravessada por um fluxo de
15 C de dentro para fora. Quanto vale a carga pontual localizada na origem do sistema
relacionado a tal configuração esférica?
11) Uma carga pontual Q = 6 nC está localizada na origem de um sistema de coordenadas
cartesianas. Quanto vale o fluxo  que atravessa a porção do plano z = 6 m limitada pelo
intervalo –6  y  6 m; –6  x  6 m ?
r

z
12) Dado que D  30e b a r  2 a z (C / m2 ) em coordenadas cilíndricas, calcule o fluxo total que
b
sai da superfície de um cilindro circular reto descrito por r = 2b m, z = 0, z = 5b m.
13) Na origem de um sistema de coordenadas esféricas existe uma carga pontual Q = 1500 pC.
Uma distribuição esférica concêntrica de cargas elétricas de raio r = 2 m tem uma densidade
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s = 50 pC/m2. Qual a densidade de cargas de outra superfície esférica, com r = 3 m,
concêntrica com o sistema, para resultar D = 0 em r > 3 m?
14) Um capacitor de placas paralelas, tendo o ar como dielétrico de permissividade 0, contém
2
uma distribuição superficial de carga S C/m na armadura positiva. Por indução, existe uma
carga de mesma distribuição e polaridade oposta na armadura negativa. Desprezando o
efeito de borda (espraiamento do campo elétrico), use a lei de Gauss para calcular o campo
E para a região entre as placas e fora delas.
15) Uma película infinita com densidade uniforme s = (10-9/6) C/m2 está localizada no plano
definido por z = – 5 m. Outra película com densidade s = (–10-9/6) C/m2 está localizada
em outro plano z = 5 m . Calcule a densidade linear uniforme, l , necessária para produzir

o mesmo valor de E em (5,3,3) m, supondo que esta última se localize em z = 0, y = 3?
16) Certa configuração engloba as seguintes duas distribuições uniformes. Uma película
carregada com s = -60 nC/m2, uniforme, em y = 3 m, e uma reta uniformemente
carregada, paralela ao eixo x, com l = 0,5 C/m, situada em z = –3 m, y = 2 m. Aonde o

campo E será nulo ?
17) Tem-se a seguinte distribuição volumétrica de cargas: – 2 C/m3 onde –2 < y < –1 m, 2
3
C/m para 1 < y < 2 m e  = 0 para todo o restante. Use a lei de Gauss para determinar D
em todo o espaço. Esboce o gráfico Dy vs. y.
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