uma sequência didática para o ensino da matemática

UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA
Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu
Mestrado Profissional em Educação Matemática
ROGÉRIO DELFINO DE SOUZA
UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA
PROBABILÍSTICA NA TERCEIRA SÉRIE DO ENSINO MÉDIO COM
APOIO DE DISPOSITIVOS MÓVEIS
VASSOURAS
2015
ROGÉRIO DELFINO DE SOUZA
UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA
PROBABILISTICA NA TERCEIRA SÉRIE DO ENSINO MÉDIO COM
APOIO DE DISPOSITIVOS MÓVEIS
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa
de Pós-Graduação Stricto Sensu – Mestrado
Profissional em Educação Matemática – da
Universidade Severino Sombra, como requisito
parcial à obtenção do título de Mestre em
Educação Matemática.
Orientador:
Prof. Dr. Marco Antônio Pereira Araújo
VASSOURAS
2015
ROGÉRIO DELFINO DE SOUZA
UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA
PROBABILISTICA NA TERCEIRA SÉRIE DO ENSINO MÉDIO COM
APOIO DE DISPOSITIVOS MÓVEIS
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da
Universidade Severino Sombra, como requisito
parcial para obtenção do título de Mestre em
Educação Matemática, sob orientação do Dr.
Marco Antonio Pereira Araújo.
__________________________________________________
Prof.Dr. Marco Antônio Pereira Araújo (USS- Orientador)
_________________________________________________
Prof. Dr. Carlos Vitor de Alencar Carvalho (USS)
_______________________________________________
Prof.ª Dr.ª Janaina Veiga (CEFET-RJ)
Vassouras – RJ, 19 de junho de 2015
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a
reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de
fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura:___________________Local e Data:_________
Dedico este trabalho primeiramente a Deus,
principal responsável por esta conquista, e à
minha esposa, Sonia Maria da Silva de Souza.
AGRADECIMENTOS
À Deus, por me iluminar e guiar sempre.
A Sonia Maria da Silva de Souza, Thiago Delfino de Souza, Maria Helena de Souza, José
Messias da Silva, Antonia Pereira da Silva, Andréa Seixas e Jorge Rosário companheiros de
todos os momentos.
A “vovó” Maria da Conceição Timóteo e Manoel Delfino de Souza (in memorian), pessoas
ímpares na minha vida pessoal e profissional.
Ao Prof. Dr. Marco Antônio Pereira Araújo, pela orientação desde os primeiros passos na
pesquisa, pelo incentivo, confiança e amizade.
Aos Professores do Mestrado profissional em Educação Matemática da USS, pelas sugestões,
comentários e críticas que tanto contribuíram para a elaboração e evolução desta pesquisa e
para o meu crescimento pessoal e profissional.
Aos companheiros de turma, por tantas ideias, experiências, conhecimentos e saberes
partilhados nos nossos encontros.
Aos meus alunos, pois sem eles, não haveria sentido esta pesquisa.
RESUMO
O presente trabalho está inserido na linha de pesquisa “Metodologias e Tecnologias de
Informação Aplicadas ao Ensino da Matemática” do Programa de Pós-Graduação Stricto
Sensu, Mestrado Profissional em Educação Matemática da Universidade Severino Sombra.
Esta dissertação descreve os procedimentos utilizados de uma sequência didática que tem
como objetivo verificar quais as contribuições que os dispositivos móveis associados a
resolução de problemas e jogos podem contribuir para a aprendizagem da frequência relativa
tendendo para probabilidade clássica em função do número crescente de simulações. O acesso
a conteúdos multimídia deixou de estar limitado a um computador pessoal (PC) e estendeu-se
também às tecnologias móveis (telemóvel, PDA, Pocket PC, Tablet PC, Laptops),
proporcionando um novo paradigma educacional, o mobile learning ou aprendizagem móvel.
Tendo esta tecnologia como ferramenta inseridas no processo do ensino da Matemática.
Entretanto, os jogos de azar são uns dos principais contextos em que os alunos podem
compreender as características das situações aleatórias. O uso de jogos e da resolução de
problemas no ensino da Matemática indica que a resolução de problemas é um veículo
poderoso e eficaz para a aprendizagem. Os conceitos e os procedimentos matemáticos, em sua
maioria – senão todos –, podem ser mais bem ensinados por meio da resolução de problemas,
os estudantes devem resolver problemas com enfoque vivenciado o mais próximo possível da
realidade com o objetivo de alcançarmos uma Aprendizagem Significativa elaborada por
Ausubel. A escolha por esse referencial teórico se deve ao fato de entender-se que ele
estabelece premissas suficientes para sustentar os objetivos indicados: o que o estudante já
sabe é o ponto de partida para a aprendizagem significativa e o material a ser aprendido, deve
ser relacionável à estrutura cognitiva do aprendiz. Desenvolveu-se o tabalho com o uso do
aplicativo Dice, jogo de dados e moedas, não específico para o ensino da matemática, e o
Software Simulaprob totalmente elaborado para o ensio da matemática probabilística obtendo
um aproveitamento satisfatório em relação ao aplicativo Dice.
Palavras-chave: Resolução de problemas; Jogos; frequência relativa; probabilidade;
Dispositivos móveis.
ABSTRACT
This work is inserted in the research line "methodologies and Information Technology
Applied to Math teaching" of the Graduate Program Stricto Sensu, Professional Masters in
Mathematics Education at the University Severino Sombra. This paper describes the
procedures used in a didactic sequence aims to determine which contributions that mobile
devices associated with problem solving and games can contribute to the learning of the
relative frequency tending to classical probability due to the increasing number of
simulations. Access to multimedia content is no longer limited to a personal computer (PC)
and also extended to mobile technologies (mobile phone, PDA, Pocket PC, Tablet PC,
Laptops), providing a new educational paradigm, mobile learning and mobile learning having
this technology as inserted tool in mathematics education process. However, gambling is one
of the main contexts in which students can understand the characteristics of random
situations. The use of games and problem solving in mathematics education indicates that
problem solving is a powerful and effective vehicle for learning. The concepts and
mathematical procedures, most - if not all - can be better taught through problem solving,
students must solve problems focusing lived as close to reality in order to achieve Meaningful
Learning elaborate by Ausubel. The choice of this theoretical framework is because to
understand that it establishes sufficient data to support the stated goals: what the student
already knows is the starting point for meaningful learning and the material to be learned must
be relatable the cognitive structure of the learner. The work was developed using the App.
Dice, a dice game and coins, not specifically for math teachings, and also the Simulaprob
totally developed for probalistic math teachings getting a satisfactory utilization in relation to
Dice.
Keyword: Troubleshooting; games; relative frequency; probability; mobile technology
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Recorte do layout do Currículo Mínimo, Sétimo ano do Ensino Fundamental ........ 29
Figura 2: Recorte do layout do Currículo Mínimo, 3ª Série do Ensino Médio ........................ 30
Figura 3: Interface do Aplicativo Dice para Download ........................................................... 60
Figura 4: Tela de Escolha dos Dados e Moedas ....................................................................... 60
Figura 5: Dados e Moedas em conjunto ................................................................................... 60
Figura 6: Tela de Demonstração de Exclusão de Ícones .......................................................... 61
Figura 7: Mapa Conceitual Para o Ensino de Probabilidade .................................................... 67
Figura 8: Imagens do primeiro encontro realizado no Colégio Estadual Rio Dourado ........... 77
Figura 9: Questão seis do Questionário de Conhecimentos Prévios ........................................ 77
Figura 10: Questões de sete a Nove do Questionário de Conhecimentos prévios ................... 78
Figura 11: Tabela de Possibilidades para Yasmim, Isadora e Ísis............................................ 81
Figura 12: Tabela de Possibilidades em Forma de Disco......................................................... 81
Figura 13: Grupo (C) com Dificuldade na Construção do ....................................................... 82
Figura 14: Histograma Clássico de Duas Moedas após a Explicação Sobre Plano Cartesiano 83
Figura 15: Organização do Espaço Amostra da ....................................................................... 85
Figura 16: Distribuição de Frequência (1) ................................................................................ 86
Figura 17: Distribuição de Frequência (2) ................................................................................ 86
Figura 18: Distribuição de Frequência (3) ................................................................................ 86
Figura 19: Histograma Clássico das Somas das Faces ............................................................. 87
Figura 20: Histograma da Soma das Faces dos Dados para 250 Experimentações ou Jogadas
.................................................................................................................................................. 88
Figura 21: Evento de Interesse das Moedas ............................................................................. 89
Figura 22: Distribuição de Frequência (1) ................................................................................ 90
Figura 23: Distribuição de Frequência (2) ................................................................................ 90
Figura 24: Distribuição de Frequência (3)................................................................................ 91
Figura 25: Rendimento em Salado Aplicativo Dice ................................................................. 92
Figura 26: Rendimento em Sala do Software Simulaprob ....................................................... 93
Figura 27: Teste e IC para duas Variâncias: ............................................................................. 93
LISTAS DE TABELAS
Tabela 1: Percentual de Baixo Rendimento Por Descritor do Primeiro Bimestre de 2011 .............19
Tabela 2: Percentual de Baixo Rendimento Por Descritor do Primeiro Bimestre de 2012 .............20
Tabela 3: Percentual de Baixo Rendimento Por Descritor do Primeiro Bimestre de 2013 .............21
Tabela 4: Percentual de Baixo Rendimento Por Descritor do Segundo Bimestre de 2011 .............22
Tabela 5: Percentual de Baixo Rendimento Por Descritor do Segundo Bimestre de 2012 .............23
Tabela 6: Percentual de Baixo Rendimento Por Descritor do Segundo Bimestre de 2013 .............23
Tabela 7: Percentual de Baixo Rendimento Por Descritor do Terceiro Bimestre de 2011 .............25
Tabela 8: Percentual de Baixo Rendimento Por Descritor do Terceiro Bimestre de 2012 .............25
Tabela 9: Percentual de Baixo Rendimento Por Descritor do Terceiro Bimestre de 2013 .............26
Tabela 10: Análise a priori e a posteriori .................................................................91
LISTA DE SIGLAS
CIED
CIES
CPUB
CIET
EDUCOM
IDEB
MEC
PRONINFE
SEI
SAERJ
SAERJINHO
SEEDUC/RJ
SEED/MEC
TE
TIC
UFMG
UNICAMP
UFPE
UFRGS
UFRJ
USS
PROINFO
Centros de Informática na Educação de 1º e 2º graus
Centros de informática na Educação Superior
Centros Pilotos em Universidades Brasileiras
Informática na Educação Tecnológica
Computadores na Educação
Índice de Desenvolvimento da Educação Básica
Ministério da Educação e Cultura
Programa Nacional de Informática Educativa
Secretaria Especial de Informática
Sistema de Avaliação da Educação do Estado do Rio de Janeiro
Programa de Avaliação Diagnóstica do Processo Ensino Aprendizagem
Secretaria de Educação do Estado do Rio de Janeiro
Secretaria de Educação a Distância
Tecnologias Educacionais
Tecnologias da Informação e Comunicação
Universidade Federal de Minas Gerais
Universidade Estadual de Campinas
Universidade Federal de Pernambuco
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Universidade Severino Sombra
Programa Nacional de Informática na Educação
LISTA DE QUADROS
Quadro 1:Resultados da Busca da Revisão Sistemática ........................................................... 41
Quadro 2:Comparativo dos Softwares Encontrados ................................................................. 54
Quadro 3: Aplicativos Encontrados .......................................................................................... 58
Quadro 4: Estrutura de uma Sequência Didática para o Ensino da Probabilidade ................... 70
Quadro 5: Habilidades e Objetivos Pretendidos com as Atividades Propostas ........................ 71
Quadro 6: Orientações das Atividades ..................................................................................... 72
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 15
2 ANALISE DOS
RESULTADOS SAERJINHO DE DOIS MIL E ONZE A DOIS
MIL E TREZE E PROBABILIDADE................................................................................. 18
2.1 PROBABILIDADE NO CURRÍCULO MÍNIMO............................................................. 28
2.2 PROBABILIDADE NO ENSINO MÉDIO ....................................................................... 30
3 REVISÃO SISTEMATICA DA LITERATURAE TECNOLOGIASEDUCACIONAIS
.................................................................................................................................................. 37
3.1 REVISÃO SISTEMÁTICA DA LITERATURA................................. 37_Toc422775825
3.2 AS TECNOLOGIAS EDUCACIONAIS COMO SUPORTE À APRENDIZAGEMT .... 45
3.3 ANALISE DOS SOFTWARES E APLICATIVOS PARA DISPOSITIVOS MÓVEIS .. 53
4 TEORIA DA APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA USO DE JOGOS E SOLUÇÃO
DE PROBLEMAS EM SALA DE AULA ............................................................................ 62
4.1 TEORIA DA APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA ........................................................ 62
4.2 UMA PROPOSTA SIGNIFICATIVA PARA O USO DE JOGOS E SOLUÇÃO DE
PEOBLEMAS EM SALA DE AULA...................................................................................... 67
5 ATIVIDADES E ESTUDO EXPERIMENTAL ............................................................... 71
5.1 ATIVIDADES .................................................................................................................... 71
5.2 EXECUÇÃO DAS ATIVIDADES .................................................................................... 75
5.3 ANALISE DOS RESULTADOS ....................................................................................... 91
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................. 95
REFERÊNCIAS...................................................................................................................... 97
1 INTRODUÇÃO
Iniciando a carreira profissional como professor da Rede Estadual de Ensino do Estado
do Rio de Janeiro, tive a oportunidade de vivenciar e compartilhar na sala dos professores e
reuniões pedagógicas por área,a discussão sobre a dificuldade de ensinar probabilidade com
recursos tradicionais. Nós professores já entendemos que há necessidade de recursos mais
significativos para que a aula seja produtiva e atraente para ambos, alunos e professores.
Sabemos que a introdução à Probabilidade nos Ensino Fundamental e Médio ocorreu apenas
nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática a partir de 1998, onde foi inserida
dentro do bloco Tratamento da Informação em conjunto com a Estatística e a Combinatória.
Os PCN defendem sua inclusão devido à demanda social e, por isso, seu ensino não pode ser
baseado apenas em definições e fórmulas determinísticas; deve ser trabalhado de modo mais
amplo, interdisciplinar e principalmente fazendo conexão com a realidade, sugerindo uma
abordagem frequentista,
baseado na evidência empírica, considerando os resultados
aleatórios em longo prazo, a partir da repetição experimental. Os cálculos de probabilidade
nessa perspectiva envolvem, ajuste de curvas, tabelas de distribuição e histogramas, entre
outros. Os valores de probabilidades fornecidos nessa interpretação não são exatos, havendo
dificuldades em se determinar qual é o número de repetições adequado a um experimento,
para se garantir uma estimativa confiável.
Acreditamos na importância da incorporação de novas Tecnologias Educacionais (TE)
no ensino da Matemática, servindo como ferramenta facilitadora da aprendizagem, no
desenvolvimento e na construção de novos conceitos matemáticos. A sequência didática desta
dissertação tem o objetivo de contibuir com aprendizagem da probabilidade clássica e
frequência relativa auxiliada por dispositivos móveis associados à resolução de problemas e
jogos.
A escolha do tema desta dissertação foi definida através do levantamento estatístico
fornecido pelo governo do Estado do Rio de Janeiro do primeiro, segundo e terceiro bimestres
de dois mil e onze a dois mil e treze através da avaliação diagnóstica SAERJINHO.
Buscou-se, assim, avaliar as relações entre as ações do sistema didático, utilizando um
roteiro definido que cumpra as fases a seguir apresentadas:
16
Fase 1 – Análise Preliminar
Para a obtenção das respostas aos problemas identificados, visando auxiliar na
consecução dos objetivos propostos, foi realizado, preliminarmente, um levantamento do
perfil dos estudantes participantes da oficina pedagógica, bem como, dos seus conhecimentos
prévios a respeito da probabilidade clássica e frequência relativa (experimentos aleatórios,
espaço amostral, eventos, definição de probabilidade na visão clássica, empírica ou pelo
enfoque da frequência relativa).Para isso, foram colhidas informações na SEEDUC/RJ,
conforme capítulo 2 , por meio de estatísticas. Esses resultados foram utilizados no estudo de
viabilidade e serviram para balizar o grau de informação do conteúdo presente na utilização
do Software Simulaprob e o aplicativo Dice.
Fase 2 – Apresentação
Na fase de apresentação, o Software Simulaprob e o aplicativo Dice foram aplicados
em oficina pedagógica realizada no Colégio Estadual Rio Dourado – Casimiro de Abreu, Rio
de Janeiro, para estudantes da 3º série do ensino médio. Nesse estágio, utilizou-se um
datashow com vista a contribuir para a melhoria da compreensão dos significados de
conceitos de probabilidade clássica e frequência relativa.
Fase 3 – Análise a Posteriori
Nessa fase, foram analisados e consolidados os resultados alcançados, verificando o
envolvimento e a compreensão dos estudantes no estudo sobre probabilidade clássica e
frequência relativa utilizando os dispositivos móveis, Software Simulaprob e o aplicativo Dice
como ferramentas educacionais.
Fase 4 – Avaliação dos softwares
Nessa fase foram realizadas a avaliação final do Software Simulaprob e do aplicativo
Dice, a documentação das pesquisas aplicadas e a divulgação dos resultados alcançados, que
constam nesta dissertação. Vale destacar que o objetivo deste trabalho não é demonstrar se a
utilização do Software Simulaprob e o aplicativo Dice, aplicado no ensino das propriedades
da probabilidade clássica e frequência relativa, é melhor ou pior do que outras ferramentas de
ensino, mas mostrar que estes são formas diferenciadas e inovadoras de se ensinar o referido
assunto, utilizando as Tecnologias Educacionais (TE).
17
Os capítulos seguintes descrevem detalhadamente cada uma das atividades das fases
mencionadas com vistas à validação dos resultados propostos nos objetivos.
O capítulo 2 trata das informações colhidas na SEEDUC/RJ, por meio de estatísticas,
resultados que foram utilizados no estudo que serviram de norte em relação ao conteúdo com
menor rendimento pelos alunos do ensino médio do Estado do Rio de Janeiro através do
SAERJINHO e o conceito de probabilidade clássica e relativa.
O capítulo 3 trata de uma revisão sistemática em função do ensino da probabilidade e
frequência relativa com o auxílio de dispositivos móveis que envolvam solução de problema e
jogos. Apresenta um breve relato sobre a importância das tecnologias aplicada à educação
matemática, destacando a necessidade de revisão do papel da escola e dos educadores na
formação de novos cidadãos, considerando a rápida evolução do mundo em que vivemos em
função da crescente globalização. Estão descritos o processo de escolha pelo Software
Simulaprob e o aplicativo Dice para dispositivos móveis no que se refere à interface,
facilidade de acesso, download, sistema operacional e funcionamento.
O capítulo 4 descreve a Teoria da Aprendizagem Significativa, apresentando as
condições e vantagens de sua aplicação no processo de facilitação da construção do
conhecimento pelo educando, a partir da interação de um conceito geral, já incorporado pelo
aprendiz, a um novo conceito apresentado, potencializando a formação de novas informações,
o que dá significado real ao conhecimento adquirido.A metodologia utilizada no
desenvolvimento da pesquisa realizada, com destaque na concepção e organização do
processo por meio da resolução de problemas e jogos. Tem em sua conclusão a relação das
atividades utilizando a Tecnologia Educacional móvel, no apoio ao estudo de probabilidade e
frequência relativa a serem executadas, com vistas à consecução do processo de construção da
pesquisa.
O capítulo 5 apresenta a análise dos dados e descreve os resultados qualitativos
obtidos na pesquisa avaliando se o Software Simulaprob e o aplicativo Dice contribuíram na
aprendizagemdo educando, a partir do desenvolvimento da oficina pedagógica realizada com
estudantes do terceiro ano do ensino médio.
O capítulo 6 apresenta as considerações finais do trabalho, destacando as conclusões
mais relevantes do estudo desenvolvido e, também, algumas recomendações e sugestões do
autor.
18
2 ANALISE DOS RESULTADOS SAERJINHO DE DOIS MIL E ONZE A DOIS MIL
E TREZE DE PROBABILIDADE
A analise dos rendimento por descritores deste trabalho aconteceram a partir de dois mil e
onze porque a Secretaria de Estado de Educação do Estado do Rio de Janeiro deu início, em
abril do referido ano, ao Saerjinho, sistema de avaliação bimestral do processo de ensinoaprendizagem nas escolas. Os alunos do 5º e 9º ano do Ensino Fundamental e das três séries
do Ensino Médio Regular, Integrado e do Curso Normal das escolas estaduais de ensino
presencial passaram a fazer ao final de cada bimestre, provas de Língua Portuguesa e de
Matemática.
Analisou-se em março de dois mil quatorze os gráficos entre os anos de dois mil e onze
a dois mil e treze das avaliações internas Saerjinho. verificou-se o baixo rendimento nestes
três anos, referente aos conteúdos envolvendo probabilidade e contagem utilizando o
princípio multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjos simples e/ou
combinações.
RESULTADOS SAERJINHO 1° BIMESTRE 2011 /2012/2013
As Habilidades e Competências a serem desenvolvidas segundo currículo mínimo
estabelecido pela SEEDUC/RJ para estes bimestres foram:
- Resolver problemas de contagem utilizando o princípio multiplicativo ou
noções de permutação simples e/ou combinação simples.
- Utilizar o princípio multiplicativo e o princípio aditivo da contagem na
resolução de problemas.
- Identificar e diferenciar os diversos tipos de agrupamentos.
- Calcular a probabilidade de um evento. (Rio de Janeiro, 2012, p.1)
As tabelas 1, 2 e 3, abaixo transcritas, sinalizam Percentuais de Baixo Rendimento Por
Descritor dos primeiros bimestres dos anos de 2011, 2012 e 2013 em relação ao aprendizado
da matemática na terceira série do ensino médio, envolvendo conteúdos básicos fundamentais
para a vida do aluno. Os alunos não obtiveram resultados satisfatórios superiores a vinte e
cinco por cento nas habilidades e competências propostas pelo currículo mínimo, conforme o
boletim informativo da SEEDUC/RJ, com persistência nos conteúdos referente a “resolver
problema de contagem utilizando o princípio multiplicativo ou noções de permutação simples,
arranjos simples e/ou combinações simples”(descritores H75, D60 ou H60), “calcular a
probabilidade de um evento”(H76 e D67) e “identificar a localização de números reais na reta
numérica”(H36). A experiência profissional na Rede Escolar do Estado do Rio de Janeiro
evidencia um modelo de ensino tradicional da matemática que por sua vez não estimula o
desenvolvimento do estudante com situações concretas e contextualizadas de pesquisa,
aprendizagem colaborativa e construções coletivas entre os próprios estudantes.
19
Tabela 1: Percentual de Baixo Rendimento Por Descritor do Primeiro Bimestre de 2011
Habilidades e Competências
Percentuais de
Acertos (%)
Descritores
H54
Resolver problema envolvendo P.A./P.G. dada a fórmula do
termo geral.
10,5
H75
Resolver problema de contagem utilizando o princípio
multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjos simples e/ou
combinações simples.
11,9
H50
Analisar crescimento/decrescimento, zeros de funções reais
apresentadas em gráficos.
13,2
H116
Resolver problemas envolvendo o cálculo da média aritmética ou
mediana ou moda.
15,4
H33
Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras
planas, com ou sem malhas.
15,8
H43
Resolver problema envolvendo equação do 2º grau.
16,3
H31
Resolver problema envolvendo noções de volume.
17,0
H36
Identificar a localização de números reais na reta numérica.
21,3
Determinar, valores de seno e cosseno de um arco no intervalo
21,6
Resolver problema que envolva razões trigonométricas no
triângulo retângulo (seno, cosseno, tangente).
23,7
H15
[0,2].
H11
H76
Calcular a probabilidade de um evento.
Fonte: Matriz de referência SEEDUC/RJ - 2011
24,2
20
Tabela 2: Percentual de Baixo Rendimento Por Descritor do Primeiro Bimestre de 2012
Habilidades e Competências
Percentuais
Acertos (%)
Descritores
de
D24
Resolver problemas envolvendo a medida da área total e/ou
lateral de um sólido (prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera).
5,6
D57
Resolver problemas envolvendo função do 2º grau.
14,5
D32
Calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem 2 ou 3.
15.7
D25
Resolver problemas envolvendo noções de volume.
16,0
D55
Resolver problemas envolvendo P.A./P.G. dada a fórmula do
termo geral e/ou a soma dos termos.
16,4
D60
Resolver problemas de contagem utilizando o princípio
multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjos simples
e/ou combinações simples.
21,9
D68
Resolver problemas que envolvam porcentagem.
24,9
Fonte: Matriz de referência SEEDUC/RJ - 2012
21
Tabela 3: Percentual de Baixo Rendimento Por Descritor do Primeiro Bimestre de 2013
Habilidades e Competências
Percentuais
Acertos (%)
Descritores
H24
Resolver problemas envolvendo a medida da área total e/ou
lateral de um sólido (prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera).
13,1
H32
Calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem 2 ou 3.
18,7
H54
Resolver problemas envolvendo juros simples ou compostos.
18,7
H60
Resolver problemas de contagem utilizando o princípio
multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjos
simples e/ou combinações simples.
20,5
H25
Resolver problemas envolvendo noções de volume.
20,9
H55
Resolver problemas envolvendo P.A./P.G. dada a fórmula do
termo geral e/ou a soma dos termos.
21,5
H46
Reconhecer números reais em diferentes contextos.
22,1
H57
Resolver problemas envolvendo função do 2º grau.
24,9
de
Fonte: Matriz de referência SEEDUC/RJ –2013
RESULTADOS SAERJINHO 2° BIMESTRE 2011 /2012/2013
O currículo mínimo enfoca as competências e habilidades voltadas para probabilidade e
estatística, conforme SEEDUC/RJ o aluno deve desenvolver a capacidade de:
- Resolver problemas utilizando a probabilidade da união de eventos e
a probabilidade de eventos complementares
- Resolver problemas envolvendo probabilidade condicional.
- Compreender os conceitos básicos de estatística: população, amostra,
frequência absoluta e frequência relativa.
- Construir, ler e interpretar histogramas, gráficos de linhas, de barras
e de setores.
22
- Resolver problemas envolvendo o cálculo da média aritmética,
mediana e moda.
- Resolver problemas envolvendo cálculo de desvio-padrão. (RIO DE
JANEIRO, 2012, p.1)
As tabelas 4, 5 e 6, que se seguem, evidenciam Percentuais de Baixo Rendimento Por
Descritor dos segundos bimestres dos anos de 2011, 2012 e 2013 o que nos leva a perceber
certa deficiência na aprendizagem do estudante de conteúdos básicos e essenciais da
matemática na terceira série do ensino médio quanto habilidades e competências propostas
pelo currículo mínimo não obtendo resultados satisfatórios superiores a vinte e cinco por
cento, conforme o boletim informativo da SEEDUC/RJ, referente a cada ano já citado,
obtendo uma persistência nos conteúdos referente aos descritores “resolver problema de
contagem utilizando o princípio multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjos
simples e/ou combinações simples”(H75, D60 ou H60), calcular a probabilidade de um
evento(H76 e D67) e “identificar a localização de números reais na reta numérica” (H36).
Tendo em vista a importância do ensino do principio multiplicativo e probabilidade, as
deficiências em questão nos levam a rever e propor estratégias pedagógicas para se contribuir
para a formação de cidadãos do século XXI, capazes de explorar suas competências
cognitivas de maneira que interessem o estudante.
Tabela 4: Percentual de Baixo Rendimento Por Descritor do Segundo Bimestre de 2011
Habilidades e Competências
Percentuais
Acertos (%)
Descritores
de
H76
Calcular a probabilidade de um evento.
6,7
H21
Utilizar relações métricas do triângulo retângulo para resolver
problemas significativos.
14,5
H36
Identificar a localização de números reais na reta numérica.
22,3
H114
Resolver sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas ou
três equações e três incógnitas.
25,0
Fonte: Matriz de referência SEEDUC/RJ - 2011
23
Tabela 5: Percentual de Baixo Rendimento Por Descritor do Segundo Bimestre de 2012
Habilidades e Competências
Percen
tuais
de
Acerto
s (%)
Desc
ritor
es
D25
Resolver problemas envolvendo noções de volume.
19,1
D68
Resolver problemas que envolvam porcentagem.
24,0
D60
Resolver problemas de contagem utilizando o princípio
multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjos
simples e/ou combinações simples.
24,6
Fonte: Matriz de referência SEEDUC/RJ – 2012
Tabela 6: Percentual de Baixo Rendimento Por Descritor do Segundo Bimestre de 2013
Habilidades e Competências
Percen
tuais
de
Acerto
s (%)
Desc
ritor
es
H67
H60
H73
Resolver problemas envolvendo probabilidade.
Resolver problemas de contagem utilizando o princípio
multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjos
simples e/ou combinações simples.
Resolver problemas envolvendo o cálculo da média
aritmética, mediana ou moda.
Fonte: Matriz de referência SEEDUC/RJ – 2013
15,3
22,8
24,1
24
RESULTADOS SAERJINHO 3° BIMESTRE 2011 / 2012/ 2013
Trata-se de um enfoque no campo algébrico simbólico (números complexos) e o
campo geométrico ( geometria analítica ) e, conforme SEEDUC/RJ, o aluno deve desenvolver
a capacidade de:
- Identificar e conceituar a unidade imaginária.
- Identificar o conjunto dos números complexos e representar um
número complexo na forma algébrica.
- Calcular expressões envolvendo as operações com números complexos
na forma algébrica.
- Calcular potências de expoente inteiro da unidade imaginária.
- Resolver problemas utilizando o cálculo da distância entre dois
pontos.
- Identificar e determinar as equações geral e reduzida de uma reta.
(RIO DE JANEIRO, 2012, p.2)
As tabelas 7, 8 e 9 nos mostram Percentuais de Baixo Rendimento Por Descritor dos
terceiros bimestres dos anos de 2011, 2012 e 2013 deixando claro as habilidades não
alcançadas e uma permanência de alguns descritores dos bimestres anteriores, como:
“resolver operações com números complexos na forma algébrica”(D98), “resolver problema
envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas, com ou sem malhas quadriculadas”
(D32) e habilidades anteriores como princípio multiplicativo e probabilidade também ficaram
entre o mínimo estabelecido. A busca pelo conhecimento por meio dos diversos recursos
bibliográficos e
tecnológicos de modo a encontrar soluções para
desafios da
contemporaneidade, na vida pessoal e profissional dos educandos propiciam aos alunos o
desenvolvimento das habilidades e competências nucleares previstas no currículo mínimo.
25
Tabela 7: Percentual de Baixo Rendimento Por Descritor do Terceiro Bimestre de 2011
Habilidades e Competências
Percentuais de
Acertos (%)
Descritores
D109
Efetuar cálculos envolvendo as operações com matrizes.
16,7
D32
Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras
planas, com ou sem malhas quadriculadas .
18,1
D75
Resolver problema de contagem utilizando o princípio
multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjos simples
e/ou combinações simples.
19,6
D110
Calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem 2 ou 3.
21,3
D89
Determinar a distância entre dois pontos no plano cartesiano.
22,1
D76
Calcular a probabilidade de um evento.
22,5
D18
Identificar a equação de uma reta apresentada a partir de dois
pontos dados ou de um ponto e sua inclinação.
23,1
D98
Resolver equação do 2º grau no conjunto dos números complexos.
23,9
D70
Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou
inversa, entre grandezas.
25,0
Fonte: Matriz de referência SEEDUC/RJ – 2011
Tabela 8: Percentual de Baixo Rendimento Por Descritor do Terceiro Bimestre de 2012
Habilidades e Competências
Percentuais de
Acertos (%)
Descritores
D67
Resolver problemas envolvendo probabilidade.
22,3
D15
Identificar a equação de uma reta apresentada, a partir de dois
pontos dados ou de um ponto e sua inclinação.
22,5
Fonte: Matriz de referência SEEDUC/RJ – 2012
26
Tabela 9: Percentual de Baixo Rendimento Por Descritor do Terceiro Bimestre de 2013
Habilidades e Competências
Percentuais de
Acertos (%)
Descritores
H15
Identificar a equação de uma reta apresentada, a partir de dois
pontos dados ou de um ponto e sua inclinação.
15,9
H60
Resolver problemas de contagem utilizando o princípio
multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjos simples
e/ou combinações simples.
14,1
Fonte: Matriz de referência SEEDUC/RJ – 2013
Feita uma análise dos gráficos os quais apresentam competências que englobam as
habilidades indicadas por descritores da Matriz Referência, detectou-se entre os anos de dois
mil e onze a dois mil e treze da avaliação Saerjinho, indicadores de baixo rendimento nos
conteúdos de probabilidade e princípio fundamental da contagem. Muitas decisões que
tomamos em nossas vidas dependem de certas perguntas cujas respostas estão relacionadas a
experimentos aleatórios. As evidências de deficiências nas habilidades já citadas, por não
poderem ser previstas com exatidão o resultado em determinadas situações devido a sua
natureza aleatória, são estudados métodos para determinar quais desses resultados são menos
ou mais prováveis de ocorrerem.
Diante dessas dificuldades partiu-se para uma revisão sistemática1 com o intuito de
levantar dissertações e artigos referentes a sequências didáticas que envolvessem o estudo da
probabilidade frequentista e clássica, conforme o abordado no capítulo dois. Percebe-se então
a importância de se tratar o assunto de forma que o estudante venha a se interessar por um
conhecimento novo e esse conhecimento seja relevante à resolução de alguns problemas
práticos que o instigue a investigar. Segundo Rodrigues (2008) apud Lopes pontua que
Por outro lado, existem coisas que ocorrem em nossa volta que não podem
ser previstas de antemão com precisão absoluta, como por exemplo:
1
No Google Acadêmico
27
resultados de loterias; resultados de campeonatos de futebol; previsão do
tempo; resultados de exames médicos; resultados de investimento em bolsas
de valores, entre outros. São situações que envolvem acaso e incerteza.
Situações que residem no âmbito das possibilidades e chances de ocorrência.
(RODRIGUES, 2008, p.3)
Hoje em dia, Estatística e Probabilidade fazem parte do discurso jornalístico e
científico cotidiano quando se trata, por exemplo, de pesquisas de intenção de voto, perfil
sócio econômico da população brasileira, as chances da cura de determinada doença ou riscos
de contraí-la. Espera-se, portanto, que numa formação básica do cidadão, não apenas se
adquira a capacidade de ler e analisar dados expostos em diversas formas, mas que se possa
refletir criticamente sobre os seus significados e emitir juízos próprios, pois esses
conhecimentos proporcionam uma adequada contextualização sociocultural, aproximando o
conhecimento adquirido na Escola à realidade do aluno. Este tema é importante e também por
ser utilizado em quase todas as demais áreas do conhecimento, como, por exemplo,
demografia, saúde, linguística, política, nas ciências, etc, possibilitando o desenvolvimento de
várias atividades integradas dentro da escola.
De acordo com os PCN, quando se propõe métodos de aprendizado ativo, em que os
alunos se tornem protagonistas do processo educacional, não personagens pacientes, se quer
ter a certeza de que o conhecimento foi de fato apropriado pelos alunos, ou mesmo elaborado
por eles. Por isso a escolha de jogos como metodologia visando sequências didáticas que
favoreçam o desenvolvimento do raciocínio e a participação efetiva dos alunos nos
experimentos. Segundo Moura (1992), o jogo será conteúdo assumido com a finalidade de
desenvolver habilidades de resolução problemas, possibilitando ao aluno a oportunidade de
estabelecer planos de ação para atingir determinados objetivos, executar jogadas segundo este
plano e a avaliar a eficácia destas jogadas nos resultados. Desta maneira, o jogo aproxima-se
da matemática via desenvolvimento de habilidades de resolução de problemas.
Neste trabalho a questão adaptada do caderno de atividades pedagógicas de
aprendizagem autorregulada ( caderno de conteúdos e atividades que pode ser utilizado pelo
professor como atividades regulares em sala no ano letivo referente a cada série e, aulas
direcionadas com o devido auxilio aos alunos que por qualquer motivo justificável, como por
exemplo, doença e gravidez perderam aulas ou avaliações), primeiro bimestre, volume dois,
terceira série do ensino médio do ano de dois mil e onze envolvendo três irmãs em uma
discussão para lavar a louça do almoço, decidindo quem o fará através do lançamento de duas
moedas honestas, sendo a única questão dos cadernos de atividades no período da pesquisa.
Além das moedas incluímos no problema da louça o jogo de dois dados honestos,
28
direcionados às turmas de terceira série do ensino médio com a finalidade de construir
conceitos de probabilidade clássica e frequência relativa.
2.1 Probabilidade no Currículo Mínimo
O Currículo Mínimo (SEDUCRJ, 2011) é um documento elaborado pela Secretaria de
Estado de Educação do Rio de Janeiro que serve como referência a todas as escolas da rede
estadual. Apresenta as competências, habilidades e conteúdos básicos que devem estar nos
planos de curso e nas aulas. Desta forma, o Estado pretende garantir os conteúdos essenciais
básicos comuns a todas as escolas da rede, de modo que esses estejam alinhados com as atuais
necessidades de ensino identificadas nas legislações vigentes, nas Diretrizes e Parâmetros
Curriculares Nacionais e nas matrizes de referência dos principais exames nacionais e
estaduais.
Em sua apresentação, a Secretaria Estadual de Educação esclarece que este currículo
propõe um ponto de partida mínimo que precisa ser elaborado e preenchido em cada escola,
por cada professor, com aquilo que lhe é específico, peculiar ou lhe for apropriado.
Desta
forma, ressalta que estará ampliando a autonomia do professor (SEDUCRJ, 2011, p.5).
Reconhece, ainda, que o estabelecimento de um Currículo Mínimo é uma ação
norteadora que não soluciona as dificuldades da Educação Básica, mas que permite criar um
solo firme para o desenvolvimento de um conjunto de boas práticas educacionais a fim de
construir uma escola e um ensino de qualidade.
O Currículo Mínimo apresenta o conhecimento distribuído em quatro campos:
Numérico-Aritmético, Algébrico-Simbólico, Geométrico e da Informação, os quais vêm
planejados por bimestre, destacando as competências e habilidades que devem
ser
desenvolvidas ao longo de cada série.
É muito importante ressaltar que os conhecimentos elencados neste
documento são aqueles considerados fundamentais, sem os quais os
estudantes não teriam condições de cursar a série seguinte. Assim, cabe ao
professor, além de desenvolver as competências e habilidades aqui
sugeridas, aprofundar e/ou avançar mais, respeitando sempre as
características e peculiaridades das suas turmas. (SEDUCRJ, 2011, p. 5).
29
Analisando o conteúdo de Probabilidade no Currículo Mínimo, observou-se que os
alunos têm o primeiro contato com o tema no sétimo ano do Ensino Fundamental. Porém, este
é trabalhado numa visão muito restrita, apenas para construir uma noção intuitiva de
Probabilidade. O outro momento em que terão contato com a Probabilidade é o terceiro ano
do Ensino Médio.
No sétimo ano, o currículo deixa claro que é apenas para desenvolver uma noção
intuitiva da Probabilidade. Porém, no terceiro ano, não avança como deveria, mencionando
apenas que o aluno deverá calcular a probabilidade de um evento.
Segue um recorte do layout de como os conteúdos, as habilidades e as competências
são apresentados neste currículo mínimo. Apresentamos as únicas páginas que apresentam
os conteúdos de Probabilidade. No sétimo ano do Ensino Fundamental, a Probabilidade é
trabalhada no último bimestre, quando é apresentado o conteúdo de análise de dados
conforme figura 1.
Figura 1: Recorte do layout do Currículo Mínimo, Sétimo ano do Ensino Fundamental
Fonte: SEEDUC/RJ
No Ensino Médio, a Probabilidade é estudada no primeiro e segundo bimestres do
terceiro ano, quando são apresentados os conteúdos de Probabilidade e Combinatória
conforme figura 2.
30
Figura 2: Recorte do layout do Currículo Mínimo, 3ª Série do Ensino Médio
Fonte: SEEDUC/RJ
Não encontra-se de forma detalhada para orientação do professor o conteúdo de
probabilidade, não menciona a possibilidade de se estender o assunto para o campo do
tratamento da informação associando a aproximação da frequência relativa com a
probabilidade clássica e quantidade de experimentos simulados junto as tecnologias.
2.2 Probabilidade no Ensino Médio
A introdução da Probabilidade no Ensino Médio ocorreu apenas nos Parâmetros
Curriculares Nacionais de Matemática de 1998, onde foi inserida dentro do bloco Tratamento
da Informação, em conjunto com a Estatística e a Combinatória.
Os PCN defendem sua inclusão devido à demanda social e, por isso, seu ensino não
pode ser baseado apenas em definições e fórmulas determinísticas; deve ser trabalhado de
modo mais amplo, interdisciplinar e principalmente fazendo conexão com
a realidade,
sugerindo uma abordagem frequentista.
O Guia de Livros Didáticos PNLD 2008, declara que o bloco Tratamento da
Informação tem sido pouco valorizado nos livros didáticos e ainda aponta problemas graves,
como o uso do termo possibilidade sendo usado como sinônimo de probabilidade.
Os problemas apontados pelo Guia podem ser um reflexo do que vem acontecendo no
ensino atual. Talvez o pouco tempo de presença da Probabilidade, Estatística e Combinatória
31
no Ensino Fundamental ainda não tenha permitido um consenso de que conteúdos devem ser
abordados e de que forma esse ensino deve ocorrer.
Entretanto, os conceitos ou noções que conduzem à definição de probabilidades
podem ser abordados a partir de atividades ou situações-problema. As concepções
frequentista e clássica de probabilidade, integrada no ensino médio tendo em vista uma
aprendizagem mais profunda e significativa em termos de compreensão e aplicação das
probabilidades.
De modo geral, ao estudarmos qualquer fenômeno devemos procurar um modelo
matemático que nos ajude a descrever de forma satisfatória o fenômeno apresentado. Assim,
necessitamos materializar uma forma matemática para os fenômenos de observação, tais
modelos matemáticos são de dois tipos: Determinístico e Não-Determinístico.
O Modelo determinístico é relativo aos experimentos que apresentam um resultado
com um padrão matemático, ou seja, quaisquer desvios ou erros se apresentaram pequenos o
suficiente para jamais alterar o modelo que com isto se torna suficiente. São exemplos as leis
da Física (Gravitacional e as de Kepler).
O Modelo Não-Determinístico (probabilístico ou estatístico) se apresenta como
resultados irregulares quando analisados individualmente, ou seja, existiram desvios
suficientes que podem alterar um dado comportamento de um fenômeno qualquer, mesmo que
saibamos todas as possíveis respostas do experimento. São exemplos quaisquer experimentos
com resultados aleatórios (jogar um dado comum, tirar uma carta de um baralho de 52 cartas,
etc.).
Os Experimentos Aleatórios têm sua formação num conjunto circunstancial com
respostas observáveis e incertas, com três características fundamentais:

o experimento pode ser repetido quantas vezes desejarmos;

a cada resultado individual observa-se total irregularidade dos resultados tornando-os
sem previsão exata;

após uma grande repetição do experimento observamos impressionante regularidade
estatística quando da análise dos dados em conjunto.
Exemplos de experimentos aleatórios:

observar o naipe sorteado de um baralho comum com 52 cartas;

observar o resultado da face voltada para cima de um dado ao arremessá-lo uma vez;
32

contar o número de parafusos defeituosos produzidos diariamente por uma dada
máquina.
O Espaço Amostral (Ω) caracteriza-se ao realizarmos um experimento aleatório, o
conjunto de todos os resultados possíveis do experimento será chamado de espaço amostral.
Indicaremos o número de elementos do espaço amostral por N(Ω).
Exemplo: Construir o espaço amostral (Ω) dos seguintes experimentos aleatórios:
a) Jogar um dado e observar a face voltada para cima.
Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} e N(Ω) = 6
b) Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima.
Ω= {K, C}, onde K = cara e C = coroa e N(Ω ) = 2
c) Lançar uma moeda e um dado ao mesmo tempo.
Ω= {1K, 2K, 3K, 4K, 5K, 6K, 1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C}e N(Ω) = 12

O espaço amostral (Ω) poderá ser finito ou infinito. Aqui veremos apenas
experimentos com espaço amostral finito.
O resultado obtido quando se realiza um experimento aleatório pode ser formado por
um número ou um grupo de números, um atributo ou grupo de atributos ou, ainda, por uma
combinação de aspectos quantitativos e/ou qualitativos. Assim, as características de interesses
associadas a um experimento aleatório será chamado de espaço amostral. Na teoria das
probabilidades, o espaço amostral (Ω) é um termo primitivo, logo sem definição a partir de
outros termos, alguns autores consideram-no mesmo inserido no conceito de experimentos
aleatórios.
Através das operações dos conjuntos matemáticos por todos conhecidas, poderemos
sempre criar novos eventos:
1. A∪B = o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem;
2. A∩B = o evento que ocorre se A e B ocorrem;
3. AC= o evento que ocorre se A não ocorre.
Exemplo 1: No lançamento de duas moedas honestas, sejam os eventos:
A = {sair exatamente uma cara e uma coroa}
B = {sair uma cara na primeira moeda}
C = {sair pelo menos uma coroa}
33
Ω= {KK, KC, CK, CC}
A = {KC, CK}
B = {KK, KC}
C = {KC, CK, CC}
A∪B = {KC, CK, KK}
B∩C = {KC}
AC= {KK, CC}
Exemplo 2: No lançamento de dois dados ordinários, seja o evento A = {(i, j): i + j = 5; i, j
=1,2, 3, 4, 5, 6} Assim, seu espaço amostral (Ω) será:
(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)
(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)
A = {(1, 4); (2, 3); (3, 2); (4, 1)}
A Probabilidade clássica de um evento ocorrer é o quociente entre o número de casos
favoráveis ao evento e o número de casos possíveis, supondo todos os casos igualmente
possíveis, ou seja, equiprováveis conforme equação 1.
(1) 𝑃(𝐴) =
𝑛(𝐴)
𝑁(Ω)
A probabilidade Empírica ou pelo enfoque da frequência relativa é determinada com
base na proporção de vezes que ocorre um resultado favorável em um certo número de
observações ou experimentos conforme equação 2.
(2)
𝑃 (𝐴 ) =
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
Dado um espaço amostral Ω, a função probabilidade associa a cada evento um número
real, onde:
34
1. 0 ≤ P(A) ≤1;
2. Se P(A) = 1, A é dito evento certo;
3. Se P(A) = 0, A é dito evento impossível;
4. Se Ac é o complemento do evento A, então P(Ac) = 1 – P(A);
5. Se A ⊂ B, então P(A) ≤ P(B).
Dois Eventos são Mutuamente Exclusivos ou disjuntos se eles não ocorrem
simultaneamente, isto é, A∩B = Ø. Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, então,
P(A∪B) = P(A) + P(B).
Teorema da Soma: Se A e B são dois eventos quaisquer, então:
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Obs.:

Quando associamos a cada ponto do espaço amostral a mesma probabilidade, o espaço
amostral será denominado equiprovável.

Podemos representar a probabilidade como fração própria, número decimal ou
percentual.
Exemplo 3: Qual é a probabilidade de um número ímpar aparecer quando jogamos um dado?
Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {aparecer um número ímpar} = {1, 3, 5}
𝑃 {𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒𝑟 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 í𝑚𝑝𝑎𝑟} =
𝑛(𝐴)
𝑁(Ω)
𝑃 {𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒𝑟 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 í𝑚𝑝𝑎𝑟} =
3 1
=
6 2
Exemplo 4: Qual é a probabilidade de uma “cara” aparecer ao jogarmos uma moeda não
viciada?
Ω= {K, C}
A = {uma “cara” aparece} = {K}
𝑃{𝑢𝑚𝑎 "cara" 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒} =
1
2
Probabilidade Condicional: Seja B um evento arbitrário compondo um espaço
amostral Ω, onde P(B) > 0 por já ter ocorrido. Uma vez que B já ocorreu, a probabilidade de
35
um outro evento A ocorrer dado que o evento B tenha ocorrido será dada pela seguinte
probabilidade condicional, definido pela equação 3:
(3) 𝑃(𝐴⁄𝐵) =
𝑃(𝐴 ∩ B)
𝑃(𝐵)
Analogamente, a probabilidade de ocorrer o evento B tendo já ocorrido o evento A:
𝑃(𝐴⁄𝐵) =
𝑃(𝐴∩B)
𝑃(𝐵)
; (neste caso P(A) > 0, pois o evento A já ocorreu)
Teorema: Seja Ω um espaço finito equiprovável composto pelos eventos A e B. Assim como
a equação 4.
(4) 𝑃(𝐴⁄𝐵) =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑚 (𝐴 ∩ B)
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝐵
Exemplo 5: Dois dados não viciados são lançados.
a) Se a soma dos resultados apresentados pelos dados foi 5, qual é a probabilidade de ter
ocorrido a face 2 em um deles?
b) Se uma face 2 ocorreu, qual é a probabilidade da soma dos dados ser 5?
Solução: O espaço amostral Ω é o mesmo do exemplo 2, onde N ( ) Ω = 36.
Sejam B = {soma 5} = {(1, 4); (2, 3); (3, 2); (4, 1)} e A = {ocorre a face 2} = {(1,2); (2, 1);
(2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6); (3, 2); (4, 2); (5, 2); (6, 2)}
A∩B = {(2, 3); (3, 2)}
2
4
𝑃(𝐴⁄𝐵) = 36 , 𝑃(𝐵) = 36 , 𝑃 (𝐴) =
11
36
a) Desejamos saber a probabilidade de A tendo ocorrido B:
2⁄
1
𝑃(𝐴⁄𝐵) = 3 =
4⁄
2
36
b) Neste caso desejamos saber a probabilidade de B tendo ocorrido A:
36
2/36
P(A/B) =
2
=
11/36
11
𝑃(𝐴⁄𝐵) =
2⁄
36 = 2
11⁄
11
36
Pelo enfoque clássico para determinar as probabilidades devemos conhecer o número
de resultados igualmente prováveis que são favoráveis ao evento e o número total de casos
possíveis. Quando os problemas são simples, estes números podem ser diretamente contados.
Atualmente o ensino da Probabilidade sugere uma abordagem experimental para introduzir os
conceitos, nesta perspectiva contemplaremos os conceitos de frequência, distribuição de
frequência, probabilidade e experimento aleatório.
Entendemos por frequência, o número de vezes que um valor aparece no domínio de
uma classe e distribuição de frequência a organização mais completa de dados ou informações
considerando a frequência relativa e/ou acumulada da situação proposta. Coutinho defende a
visão frequentista de probabilidade que parece “[...] mais adequada a um primeiro contato
com as probabilidades, pois pode utilizar experimentos ligados à realidade dos alunos, uma
vez que não precisa estar limitado à hipótese de eqüiprobabilidade”. (COUTINHO, 1994, p.
09)
No entanto, observa-se que a definição clássica de probabilidade só se aplicava a
espaços amostrais onde os eventos simples eram equiprováveis. Sendo este caso o da maioria
das aplicações envolvendo probabilidade em jogos de azar, área e outros. Entretanto, estes
mesmos jogos repetidos inúmeras vezes nos levam a considerar a probabilidade de um evento
como a frequência relativa, ou seja, a proporção de vezes que um evento ocorre em uma série
suficientemente grande de realizações de um experimento, em condições idênticas.
Oportunizando assim, uma nova definição de probabilidade, a definição frequentista. Se A é o
evento de interesse, a probabilidade de A é dada pela equação 5:
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐴 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑢
(5) 𝑃 (𝐴) ≅ 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑢𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
Logo:
lim𝑛→∞ 𝑓𝑛 (𝐴) = P(A)
37
A probabilidade clássica será utilizada neste trabalho como conexão fundamental para
probabilidade relativa com intuito de levar o aluno a perceber a estabilização de um
experimento em função de um grande número de experimentações.
3
REVISÃO
SISTEMATICA
DA
LITERATURA
E
TECNOLOGIAS
EDUCACIONAIS
3.1 Revisão Sistemática da Literatura
A revisão sistemática é um recurso importante da prática baseada em evidências, que
consiste em uma forma de síntese dos resultados de pesquisas relacionados com um problema
específico. A presente dissertação tem como objetivo oferecer subsídios que proporcionem
reflexões fundamentadas na revisão sistemáticas do ensino significativo focando uma
sequência didática voltada para o ensino da probabilidade teórica ou clássica e probabilidade
relativa através das tecnologias móveis. Em relação à importância da revisão sistemática,
vemos que este recurso proporciona a identificação valiosa de informações para a tomada de
decisões, tem potencial para minimizar algumas barreiras para a utilização de resultados de
pesquisas. O professor devido à carga horária semanal tem dificuldades no uso de pesquisas
devido à falta de tempo, falhas na busca de pesquisas e deficiência de habilidades para avaliar
e sintetizar as pesquisas encontradas. Assim, a revisão sistemática consiste em solução, pois
proporciona uma síntese do conhecimento baseado em pesquisas, relativo a um tópico
específico.
A seguir apresentamos as fases da revisão sistemática e aspectos relevantes a serem
considerados para o ensino da probabilidade teórica ou clássica e probabilidade relativa
através das tecnologias móveis na utilização desse recurso.
Questão de pesquisa: “Como as tecnologias móveis podem auxiliar no ensino da
probabilidade e frequência relativa no ensino médio?”
Intervenção: trabalhos que relacionem o ensino da probabilidade e frequência relativa com
softwares e aplicativos para dispositivos móveis.
Controle: não definido.
38
Efeito: estratégias de auxílio no ensino da probabilidade e frequência relativa com
dispositivos móveis.
Medida de desfecho: números de estratégias de auxílio no ensino da probabilidade frequência
relativa com dispositivos móveis.
População: teses, dissertações, artigos, conferências e revistas relacionados com sequência
didática no ensino da probabilidade e frequência relativa e tecnologias.
Problema: como reduzir as dificuldades no ensino da probabilidade e frequência relativa com
o uso das tecnologias.
Aplicação: entender as estratégias utilizadas no ensino da probabilidade e frequência relativa.
Critérios Para Revisão Sistemática
a) Seleção de fontes
A seleção de fontes será fundamentada em bases de dados eletrônicos incluindo as teses,
dissertações, conferências, artigos e revistas listados a seguir. Será considerada também a
busca por proceedings de conferências, cuja a temática seja, como as tecnologias móveis
podem auxiliar no ensino da probabilidade e frequência relativa no ensino médio?
b) Palavras-chave
Tecnologia móvel, ensino médio, software, probabilidade, frequência relativa, solução de
problemas e jogos.
c) Idioma de estudo é o Português
d) Método de busca de fontes
As fontes serão acessadas via web. No contexto dessa revisão não será considerada a busca
manual.
e) Tipos de trabalhos de pesquisas
Teórico, prova de conceito, estudos experimentais em sala de aula em nível médio.
f) Critérios de inclusão e exclusão de trabalhos de pesquisa
As pesquisas devem estar disponíveis na web; as pesquisas devem considerar estudos
referentes ao ensino de probabilidade e freqüência relativa, solução de problemas e jogos.
39
Avaliação da Qualidade dos Estudos Primários
Não foi definido um checklist para a avaliação da qualidade dos trabalhos. A
abordagem para definição da qualidade está fundamentada na fonte para extração do material
e na aplicação dos critérios de inclusão/exclusão dos estudos.
Estratégia de Extração de Informação
Para cada estudo selecionado após a execução do processo de seleção, foram extraídos
os seguintes dados:
a) Título de pesquisa
b) Autores
c) Fonte
d) Tipo de pesquisa
e) Categoria
Sumarização de Resultados
Os resultados foram tabulados e foram realizadas análises para definir os materiais que
expliquem um fazer pedagógico com o intuito de rever os conceitos referentes ao ensino de
probabilidade e frequência relativa no ensino médio tendo como auxilio de aprendizagem as
tecnologias móveis.
Busca
Foi necessário restringir o escopo das buscas. Essa restrição varia de acordo com a
string de busca utilizada e considera o periódico no qual a busca é realizada e o local onde as
palavras chave serão procuradas (todo o texto ou abstract).
As stringde busca utilizadas para a questão de pesquisa apresentada foram:
1. ("tecnologias moveis" OR "probabilidade" OR "Software grátis" OR "frequência relativa")
+ ("solução de problema" OR"jogos") + "ensino médio" – 6400 resultados.
Com o objetivo de obter maior restrição para análise, optamos por uma nova string,
mesmo sabendo que nos seis mil e quatrocentos resultados poderia haver trabalhos relevantes.
40
2. “matemática” + ("tecnologias moveis" OR "probabilidade" OR "Software grátis" OR
"frequência relativa ") + ("solução de problema" OR "jogos") + "ensino médio" + ("livre" OR
"grátis") – 2600 resultados
Baseando-se nestes resultados procuramos encontrar um meio termo entre a primeira
string e a segunda, pois havia muitas teses, dissertações, artigos,conferênciase revistas de
pouca relevância para este trabalho.
3. “matemática” + ("aplicativos" OR "tecnologiasmóveis") + ("softwareeducativo" OR “
ferramentas”)+ ("soluçãode problema" OR "ensino médio") + ("probabilidade" OR
"frequência relativa") +"jogos" – 430resultados.
Os artigos, teses e dissertações encontradas e selecionadas na primeira e na segunda
strings também foram achadas nessa busca. Por isso optou-se por estes quatrocentos e
cinquenta e cinco resultados comobase de escolha das teses, dissertações, artigos,
conferências e revistas na pesquisa.
Como resultado de busca realizado no Google Acadêmico, definido na lista de fontes
dos critérios para realização da Revisão Sistemática, foram encontrados vinte e sete resultados
relevantes para a pesquisa a partir do ano de dois mil e dez que, após aplicados os critérios de
inclusão e exclusão, nove trabalhos foram selecionados.
41
Resultados da Busca da Revisão Sistemática
Quadro 1: Resultados da Busca da Revisão Sistemática
Titulo
Ensino de probabilidade:Concepções a respeito da
utilização do Software Winstats como facilitados da
aprendizagem
Autores
Camila Cristina Lopes e Jackson Ricardo Pereira de
Lucena Silva
Fonte
Google acadêmico
Tipo de pesquisa
Qualitativa
Categoria
Artigo
Resumo
O artigo faz o tratamento do ensino da
Probabilidade com o intuito de desenvolver nos
alunos habilidades de análise crítica e
argumentação. Considera no atual cenário
tecnológico, há necessidade de um ensino que
concilie o desenvolvimento do raciocínio e da
criatividade com as tecnologias. Assim, os
objetivos deste trabalho consistem em
investigar as contribuições do Software
Winstats para o ensino de Probabilidade através
da realização de uma oficina com alunos do
terceiro ano do curso Técnico em Agropecuária
Integrado ao Ensino Médio do IFC – Campus
Concórdia.
Palavras-Chave: Ensino de Probabilidade.
Tecnologias. Winstats. Prática Pedagógica.
Titulo
SIMULA-PROB: Un Software para apoyar la
enseñanza y aprendizaje de la probabilidad a través
de simulación
Autores
Diego Alonso Gastélum Chavira e Santiago Inzunsa
Cázares
Fonte
Google acadêmico
Resumo
A presente dissertação descreve um projeto de
desenvolvimento de Software como apoio no
ensino da probabilidadeem nivel médio e nivel
básico universitario. Foca o ensino da
frequência de probabilidade por meio de
simulação de experimentos aleatórios, por
exemplo, dados, moedas e modelos de urnas.
Palavras-chave:Ensino,
Probabilidade,
desenvolvimento de Software educativo.
Tipo de pesquisa
Qualitativa
Categoria
Dissertação de Mestrado
Titulo
Revisión de alternativas propuestas para mejorar el
aprendizaje de la Probabilidad
Autores
María Alejandra Osorio Angarita e Augusto Suárez
Parra
Resumo
A dissertação relata a importancia de utilizar
estrategias de aprendizagens inovadoras devido
ao rápido avanço da tecnología para captar nos
estudantes interesse pela aprendizagem da
probabilidade. O trabalho apresenta uma série
de softwares educativos como simuladores,
applets, atividades lúdicas e outras estratégias
no mesmo sentido. Enfatiza também a
42
Fonte
Google acadêmico
Tipo de pesquisa
Qualitativa
Categoria
Dissertação de Mestrado
Titulo
Jogos educativos em dispositivos móveis como
auxílio ao ensino da Matemática
preocupação acadêmica por desenvolvimento
de diferentes ferramentas e estratégias que
complementam o ensino e aprendizagem da
probabilidade.
Palavras-chave: Aprendizagem, Educação,
Ensino, Probabilidade, Estatistica e Software
educativo.
Fonte
Google acadêmico
Resumo
Este artigo propõe a utilização de jogos
educativos para dispositivos móveis como meio
de estimular o aprendizado da Matemática.
Para tanto, foi criado um jogo baseado na
obra literária de Malba Tahan: O homem
que calculava. Este jogo foi desenvolvido para
dispositivos móveis com o sistema operacional
Android.
Tipo de pesquisa
Qualitativa
Palavras chaves: Aprendizado, dispositivo
móvel, Android, Fração matemática.
Autores
José Francisco Barbosa Neto e Fernando de Souza da
Fonseca
Categoria
Artigo
Titulo
Tecnologias Móveis em Educação: o uso do celular
na sala de aula
Autores
Maria Cristina Marcelino Bento e Rafaela dos Santos
Cavalcante
Fonte
Google acadêmico
Tipo de pesquisa
Qualitativa
Resumo
A presente pesquisa busca atender ao objetivo
do PIBIC-EM: fortalecer o processo de
disseminação das informações e conhecimentos
científicos e tecnológicos básicos, bem como
desenvolver as atitudes, habilidades e valores
necessários à educação científica e tecnológica
dos estudantes do ensino médio.
Palavras-chave: Tecnologias Móveis; Prática
Educativa; Ensino Médio; Tecnologias da
Informação e Comunicação.
Categoria
Artigo
Titulo
UCA – Um computador por aluno: possibilidade de
aprendizagem com o uso do laptop na sala de aula
Autora
Aline Soares da Silva
Fonte
Google acadêmico
Resumo
Este estudo se propõe a verificar como
professores de uma escola pública estadual da
região metropolitana de Porto Alegre percebem
o uso do laptop enquanto recurso pedagógico,
com objetivo de identificar e analisar as
ferramentas deste dispositivo móvel usadas na
sala de aula e sua implantação para a
aprendizagem dos alunos e professores, como
43
Tipo de pesquisa
Qualitativa
Categoria
Monografia
também,
se
ocorrem
mudanças
no
planejamento UCA – Um computador por
aluno na escola.Constatou-se que o uso do
laptop na sala de aula trouxe novas
possibilidades de ensino e aprendizagem
favorecendo a promoção de ambientes de
aprendizagem colaborativos, a construção de
conhecimento e mudanças na prática
pedagógica dos professores. Além disso,
percebe-se que o uso desta ferramenta pode
contribuir para mudanças na forma de ensinar e
aprender, mudança na escola que deixa de ser
vista como um espaço de aprendizagem
exclusivo dos alunos para se transformar em
um ambiente de construção de conhecimento,
entre alunos e professores.
Palavras-chave: UCA – Um computador por
aluno.
Aprendizagem.
Formação
de
professores.
Titulo
Um Novo Jogo para o Estudo do Raciocínio
Combinatório e do Cálculo de Probabilidade
Autores
José Marcos LOPES e Josiane de Carvalho
REZENDE
Fonte
Google acadêmico
Tipo de pesquisa
Qualitativa
Categoria
Tese de Doutorado
Resumo
O objetivo deste artigo é desenvolver uma
proposta de ensino para o estudo do raciocínio
combinatório e do cálculo de probabilidades
através de um jogo e utilizando-se da
metodologia de Resolução de Problemas, bem
como subsidiar a prática docente desses
conteúdos matemáticos. Desse modo, o
presente trabalho apresenta uma pesquisa
bibliográfica que tem como intuito o ensino e
aprendizagem de conceitos de combinatória e
probabilidade, utilizando-se a metodologia de
resolução de problemas e uma adequada
intervenção do professor, os alunos são
estimulados a desenvolverem estratégias de
contagem, ferramenta indispensável no estudo
inicial de Análise Combinatória e do Cálculo
de Probabilidades.
Palavras-chave:Jogos, Resolução de Problemas,
Raciocínio combinatório, Probabilidade.
Titulo
Introdução ao Conceito de Probabilidade por uma
Visão Frequentista
Autores
Cileda de Queiroz e Silva Coutinho
Fonte
Google acadêmico
Resumo
Este trabalho sobre o ensino de probabilidades
é de natureza didática, no sentido utilizado na
França atualmente, seguindo os trabalhos de
Guy Brousseau: um estudo teórico e aplicado
das relações entre o ensino e a aprendizagem
em matemática. O objetivo é estudar as
concepções espontâneas ou pré-construídas dos
alunos à propósito do acaso e de
44
probabilidades, analisando as sequências
experimentais de introdução a estes conceitos, a
partir da observação da estabilização da
frequência relativa de um evento após um
grande número de repetições da experiência
aleatória. O objetivo final da escolha
frequentista é, sem dúvida, estender a noção de
probabilidade às situações não somente de
"casos igualmente prováveis", segundo o
enunciado de Laplace em seu segundo
princípio, na obra "Ensaio Filosófico de
Probabilidades", mas também modelizar as
situações complexas tais como as questões de
confiabilidade, difusão (epidemias), na
pesquisa petrolífera ou no controle estocástico.
Como objetivo didático, trata-se de ligar de
forma profunda o ensino às condições de
aprendizagem nas quais o aluno de hoje está
inserido.
Tipo de pesquisa
Qualitativa
Categoria
Dissertação de Mestrado
Palavras-chave:
acaso,
probabilidades,
sequências experimentais, frequência relativa.
Titulo
Objetos de Aprendizagem e o Ensino de Matemática:
Análise de sua importância na aprendizagem de
conceitos de probabilidade
Autores
José Jefferson Aguiar dos Santos e Filomena Maria
Gonçalves da Silva Cordeiro Moita
Fonte
Google acadêmico
Tipo de pesquisa
Qualitativa
Categoria
Dissertação de mestrado
Resumo
Neste trabalho mostra-se como o uso das
tecnologias pode contribuir, de forma
significativa, no processo de ensino e
aprendizagem, e para isso, aborda como os
Objetos de Aprendizagem (OA) podem apoiar
no ensino de conceitos de probabilidade. Os
Objetos de Aprendizagem são definidos
explorando sua característica interacionista e
são feitas relações com a Teoria da
Aprendizagem Significativa. O OA proposto
visa aproximar a tecnologia ao ensino,
favorecendo ao usuário a aquisição de
conhecimentos, competências e habilidades
sobre o conceito de probabilidade, permitindo
ao professor de tornar suas aulas mais
interessantes e desafiadoras, tornando a
aprendizagem mais dinâmica e atraente.
Palavras-chave: Tecnologia da Informação e
Comunicação, Objetos de Aprendizagem,
Aprendizagem Significativa, Probabilidades.
Fonte: Próprio
A partir da Revisão Sistemática da Literatura realizada, pôde-se ter uma compreensão
melhor do tema em estudo, a partir dos trabalhos publicados sobre o assunto. Pode-se
perceber que pelo resultado da revisão, os estudos no que concerne a aplicativos simuladores
45
de probabilidade relativa para dispositivos móveis e Softwares simuladores de experimentos
probabilísticos esta um pouco restrito, mas, a partir desta revisão tivemos trabalhos
importantes sendo um norte para a pesquisa, por exemplo, Ensino de probabilidade:
Concepções a respeito da utilização do Software Winstats como facilitados da aprendizagem;
SIMULA-PROB: Un Software para apoyar la enseñanza y aprendizaje de la probabilidad a
través de simulación; Introdução ao Conceito de Probabilidade por uma Visão Frequentista.
Quanto aos outros trabalhos referentes as tecnologias móveis e conceitos de probabilidade que
ajudaram a formar toda estrutura teórica
do trabalho, foram: Revisión de alternativas
propuestas para mejorar el aprendizaje de la Probabilidad; Jogos educativos em dispositivos
móveis como auxílio ao ensino da Matemática; Tecnologias Móveis em Educação: o uso do
celular na sala de aula; UCA – Um computador por aluno: possibilidade de aprendizagem
com o uso do laptop na sala de aula; Um Novo Jogo para o Estudo do Raciocínio
Combinatório e do Cálculo de Probabilidade; Objetos de Aprendizagem e o Ensino de
Matemática: Análise de sua importância na aprendizagem de conceitos de probabilidade.
O software mais citado nos trabalhos é o Simulaprob, junto às novas metodologias
para o ensino da probabilidade que foram apresentadas nos artigos selecionados concernetes
as tecnologias voltadas para aprendizagem da probabilidade relativa, o que amplia uma área
de pesquisa buscando estratégias utilizadas com o uso dos dispositivos móveis e suas
ferramentas para o ensino da probabilidade relativa, tal como proposto nesta Revisão
Sistemática da Literatura.
3.2 As Tecnologias educacionais como suporte à Aprendizagem
A educação, nos dias atuais, vem passando por um processo acelerado de inovações
tecnológicas, de revisão de significados, de atualização de conteúdos e de mudança de
valores, tendo como ponto de partida a evolução ocorrida no mundo em que vivemos. A cada
dia que passa, o ser humano incorpora-se a uma sociedade mais globalizada, com a
disponibilização e acesso a uma infinidade de informações.
A incorporação das novas tecnologias de comunicação nos meios escolares provoca,
inevitavelmente, a necessidade de avaliação de novos modelos de ensino que favoreçam a
construção do conhecimento organizado, pela integração da cultura acadêmica à cultura
social, promovendo a aprendizagem por meio da relação associada entre o indivíduo e o
ambiente em que vive.
46
José Armando Valente, em seu livro “O Computador na Sociedade do Conhecimento”
(VALENTE, 2005), destaca que “O computador pode ser também utilizado para enriquecer
ambientes de aprendizagem e auxiliar o aprendiz no processo de construção do seu
conhecimento” e acrescenta, ainda, que:
A implantação da informática, como auxiliar do processo de construção do
conhecimento, implica em mudanças na escola que vão além da formação do
professor. É necessário que todos os segmentos da escola – alunos,
professores, administradores e comunidade de pais – estejam preparados e
suportem as mudanças educacionais necessárias para a formação de um novo
profissional. (VALENTE, 2005, p. 2)
A escola, como instituição integrante e atuante dessa sociedade e desencadeadora do
saber sistematizado, não pode ficar fora desse acelerado processo de informação. É necessário
que acompanhe as mudanças do mundo em evolução e promova as transformações
educacionais requeridas. Segundo D’Ambrosio (2002):
A matemática é sem dúvida uma das matérias mais temidas pelos alunos em
geral, e como tal, pode-se ver que quanto mais recursos e meios reais forem
utilizados numa aula, maior será o aproveitamento da matéria. A escola não
se justifica pela apresentação do conhecimento obsoleto e ultrapassado e,
sim em falar em ciências e tecnologia. (D´AMBROSIO, 2002, p. 80)
Acredita-se que, para o uma melhoria significativa da escola, o método educacional
deve passar por revisões, tanto nas suas formas de organização institucional como nos seus
conteúdos curriculares, impostas pela nova geografia política do planeta, pela globalização e
pela revolução tecnológica.
As sociedades contemporâneas têm grandes desafios a enfrentar pelo fato do
conhecimento ter se tornado o centro dos processos de transformação social,
consequentemente, a educação assume, neste contexto, um importante papel
para além da reprodução e promoção social. Aliada as tecnologias à
educação tenta enfrentar estes desafios quando utiliza alternativas
importantes para o processo de reflexão e (re) leituras das diferentes formas
de conhecimento que são disseminados pelas novas tecnologias da
informação (TIC) como são chamadas .(PEREIRA E MOITA, 2007, p. 86)
Diante do cenário atual escolar Brasileiro, os educadores necessitam cada vez mais de
alternativas pedagógicas que auxiliem o processo de ensino e aprendizagem. A informática e
o computador podem ser recursos altamente eficientes para a melhoria desse processo. As
Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC) deram um novo suporte ao ato de ensinar e
aprender. Elas estão cada vez mais presentes no cotidiano de alunos e professores. O uso do
47
computador na Educação objetiva a integração deste no processo de aprendizagem dos
conceitos curriculares em todas as modalidades e níveis de ensino, podendo desempenhar
papel de facilitador entre o aluno e a construção do seu conhecimento. Ele enfatiza a
necessidade de os docentes estarem preparados para realizar atividades computadorizadas
com seus alunos (VALENTE, 1999).
O setor educativo precisa explorar e construir conhecimentos segundo as necessidades
de seu desenvolvimento numa articulação em que a unidade escolar assume o papel de
mobilizadora de transformações e o professor, o papel de canalizar a aprendizagem.O
professor é o principal ator de qualquer processo de escolha ou introdução de inovações
tecnológicas na escola. Para que haja mudanças na qualidade do seu trabalho docente, é
necessário que possa refletir e entender as suas escolhas pedagógicas, a importância que dá
aos diferentes componentes curriculares para, então, analisar de que modo as diversas
tecnológicas poderão auxiliá-lo no processo de ensino e de aprendizagem (VALENTE, 1999).
No ensino da Matemática, torna-se evidente que, ao usar o computador, seja com uma
simples apresentação de slides ou algo mais complexo como softwares matemáticos, os
alunos retêm de forma mais concreta o conhecimento. Os Parâmetros Curriculares Nacionais
de Matemática trazem em seu texto indicações de como e para quais finalidades o computador
pode ser usado nas aulas de Matemática:




como fonte de informação;
como auxiliar no processo de construção do conhecimento;
como meio de desenvolver formas de pensar, refletir e criar soluções;
como ferramenta para determinadas atividades.
[...] [O computador] pode ser um grande aliado do desenvolvimento
cognitivo dos alunos, principalmente na medida em que possibilita o
desenvolvimento de um trabalho que se adapta a distintos ritmos de
aprendizagem e permite que o aluno aprenda com seus erros. Por outro lado,
o bom uso que se possa fazer do computador na sala de aula também
depende da escolha do software, em função dos objetivos que se pretende
atingir e da concepção de conhecimento e de aprendizagem que orienta o
processo. (BRASIL, 1998, p. 44)
Lopes (1998, p. 40) declara que é “necessário desenvolver uma prática pedagógica na
qual sejam propostas situações em que os estudantes realizem atividades, observando e
construindo os eventos possíveis, através de experimentação concreta”. Recomenda ainda o
ensino das noções probabilísticas baseado em uma metodologia heurística e ativa, através da
proposição de problemas concretos e da realização de experimentos reais ou simulados.
48
Nesse contexto, as tecnologias de informática aparecem como uma importante
ferramenta para a aprendizagem matemática. Brignol (2004) propõe seu uso integrado às
necessidades e interesses do aluno, e vinculado aos objetivos educacionais da sociedade,
explorando as interações, geração de novas informações e significados, possibilitando novas
formas de ler e interpretar as realidades existentes.
Por se tratar de uma mídia de fácil acesso e que se constitui no principal foco de
atenção dos jovens, Borba e Penteado (2007, p. 15) destacam que “devido às cores, ao
dinamismo e à importância dada aos computadores do ponto de vista social, seu uso na
educação poderia ser a solução para a falta de motivação dos alunos”.
A Tecnologia Móvel e o Ensino da Matemática
A ampliação do acesso aos dispositivos Móveis em todo o mundo tem promovido
mudanças no modo de produção e compartilhamento do conhecimento. Ao se apresentar
múltiplas possibilidades para a aprendizagem, baseadas na mobilidade de dispositivos,
alunos,conteúdos e no acesso ao conhecimento a qualquer hora e em qualquer lugar, surgem
novos desafios para a escolarização. Com os dispositivos móveis chegando às escolas, seja
através de programas governamentais (como o Tablet Educacional do PROINFO) e dos
próprios alunos ou por solicitação das escolas, as pesquisas, estudos e discussões sobre as
possibilidades educacionais dessas ferramentas se renovam. A aprendizagem Móvel viabiliza
o espaço de convergência da Internet com as telecomunicações, criando ampla rede de
comunicação e de oportunidades de aprendizagem. Essa perspectiva reposiciona a sala de aula
e todos os espaços fora dela como lugares possíveis para ensinar e aprender.
As principais características da aprendizagem móvel são a portabilidade desses
dispositivos, sua integração com diferentes mídias e tecnologias digitais e a mobilidade e
flexibilidade de acesso à informação e estudo aos sujeitos, independente de sua localização
geográfica ou de espaços físicos formais de aprendizagem.
De acordo com as Diretrizes para as Políticas de Aprendizagem Móvel (UNESCO,
2013), a facilidade de acesso aos dispositivos e a crescente disseminação do uso na sociedade
faz com que cada vez mais pessoas tenham, ao menos, um dispositivo ao seu dispor e saibam
como utilizá-lo. Os dispositivos móveis potencialmente são ferramentas importantes para
contribuir com a melhoria e ampliação da aprendizagem, principalmente para estudantes com
escasso acesso à educação de qualidade em razão de fatores geográficos, econômicos e
sociais.
49
Dentre as principais potencialidades oferecidas pelos dispositivos móveis para o
ensino e a aprendizagem, destacam-se a ampliação do acesso a conteúdos pedagógicos, a
possibilidade de criação de comunidades de aprendizagem ativa, interativa e colaborativa. A
participação em comunidades de aprendizagem proporciona intercâmbio multicultural; é a
aposta nessa interconexão entre diferentes pessoas e culturas que pode potencializar a
construção de conhecimento dentro e fora da sala de aula. Entretanto, a aprendizagem móvel
também enfrenta sérios desafios, pois os dispositivos móveis, especialmente os telefones
celulares, são vistos por educadores e gestores como “prejudiciais” ou “como um fator de
distração” em sala de aula. Razão pela qual o uso de dispositivos móveis em sala de aula é
proibido na maior parte das instituições educacionais brasileiras.
Em 2009, a Comissão de Educação e Cultura da Câmara dos Deputados aprovou, em
âmbito federal, uma lei que proíbe o uso de telefones celulares nas salas de aulas das escolas
de educação básica, à exceção de casos em que forem autorizados pelo professor ou pela
administração da escola. Nos diferentes âmbitos educacionais, os debates acerca da utilização
dos dispositivos móveis se limitam à proibição ou permissão de uso dos dispositivos moveis
em sala de aula.
A aposta no potencial criativo que os dispositivos móveis podem oferecer ainda é
desconsiderada. Entretanto, este quadro tem aos poucos se modificado, pois nos últimos cinco
anos surgiram iniciativas no Brasil que se propõem a viabilizar e ampliar o uso pedagógico
dos dispositivos móveis em espaços formais e não formais de ensino e aprendizagem. Uma
dessas iniciativas é o desenvolvimento de diferentes aplicativos educacionais livres para uso
em dispositivos móveis.
Diferentes dos sistemas operacionais para computadores ou notebooks, os aplicativos
livres são pequenos módulos, ferramentas e serviços com poucas funcionalidades e requisitos
de hardware. São considerados livres por dispor das quatro liberdades básicas: 1) executar o
programa; 2) estudá-lo; 3) redistribuí-lo através de cópias; 4) aperfeiçoá-lo e liberar seus
aperfeiçoamentos, de modo que toda a comunidade se beneficie deles.
Celulares
Há 40 anos, data de sua criação, talvez não pudéssemos predizer de sua evolução e
necessidade humana. A facilidade, agilidade e independência de espaço físico tornaram este
“acessório” necessário para a vida pessoal e profissional. Hoje não consegue-se imaginar e
organizar nosso cotidiano sem a interferência dele. Os aplicativos associados como rádio,
50
despertador, agenda, e agora Internet, facilitaram a vida e dispensaram a aquisição de outros
equipamentos, embora algumas poucas pessoas ainda sintam a necessidade de agenda em
papel ou um rádio relógio ao lado da cama.
Smartphone
É um telefone móvel que mistura características do celular e do tablet. Permite o
desenvolvimento e utilização de diversos aplicativos que são compartilhados por milhares de
pessoas. Possui uma grande capacidade de armazenamento de dados e a agrega outras
tecnologias como o Bluetooth.
Notebook
É um computador portátil que, diferente dos tablets, possui o teclado já acoplado. Suas
funções, usos e capacidades de armazenamento são os mais variados possíveis. Sua evolução
nos mostra que a cada lançamento se tornam mais leves e mais potentes. São bons para
trabalho e lazer, possuindo diferentes formas de entrada e saída de dados.
A principal diferença entre estes dispositivos aqui apresentados é a forma de interação
entre o aluno e o Software ou aplicativo. No Software baseados em computador desktop,
segundo Brandão et al. (2006), a interação acontece por meio de mouse e teclado. Entretanto,
em um aplicativo sensível ao toque, a interatividade proporcionada ao se utilizar os dedos
para a manipulação dos objetos de aprendizagem pode fazer com que as ações e o uso das
ferramentas se tornem muito mais naturais para o aluno.
Limitações no Uso das Tecnologias Moveis
Em seu artigo, intitulado Tecnologias Móveis, Dias (2012) aponta que “as TICs
romperam para sempre com o conceito de espaço fixo e também de tempo. A mobilidade nos
permite ver e informar o tempo todo e a todos”. Desta forma, o desafio é descobrir como usar
as tecnologias móveis para fazer com que o estudo seja tão parte do dia-a-dia que sequer seja
percebido como estudo (DUARTE, 2008).
Além disso, no mesmo artigo, alerta sobre fatores limitadores a estas tecnologias
muito pertinentes a discussão ora em vigor:

limitações tecnológicas: tela pequena, baixa resolução, processamento lento, baixa
capacidade de armazenamento, incompatibilidade entre plataformas;
51

limitações pedagógicas: espaço de visualização restrito, dispersividade da atenção,
comprometimento da memória visual, baixa resolução dificulta a compreensão,
fragmentação de conteúdos, pouco conhecimento por parte dos educadores, uso das
tecnologias como suporte, e não como ferramenta.
Logo, as limitações são os desafios que devem ser superados para que se possa ter
efetivamente mais autonomia e desempenho para os usuários destas tecnologias. Entretanto,
tem-se a impressão que desafios como esses serão superados em breve e sem maiores
problemas.
O Papel do Professor Junto a Tecnologia Educacional
O impacto das tecnologias de informação e comunicação (TICs) da sociedade em geral
no Brasil tornou uma geração mais atualizada e mais informada, porque os modernos meios
de comunicação, por exemplo a Internet, permite o acesso instantâneo à informação e os
nossos alunos têm mais facilidade para buscar conhecimento por meio da tecnologia colocada
à sua disposição. Deve-se então privilegiar a construção coletiva dos conhecimentos mediados
pela tecnologia, na qual o professor intermédia e orienta esta construção.
O papel do educador está em orientar e mediar as situações de aprendizagem para que
ocorra a comunidade de alunos e ideias, o compartilhamento e a aprendizagem colaborativa
para que aconteça a apropriação que vai do social ao individual. O professor, pesquisando
junto com os educandos, problematiza e desafia-os, pelo uso da tecnologia, à qual os jovens
modernos estão mais habituados, surgindo mais facilmente a interatividade.
Nessa proposta pedagógica os quadros, livros texto e professores conteúdistas deverão
acompanhar a evolução tecnológica ou ficarão obsoletos, pedagogicamente falando. Com o
aumento acelerado de aquisição das novas tecnologias elas se caracterizam pela
interatividade, não-linearidade na aprendizagem (é uma ‘teia’ de conhecimentos e um ensino
em rede) e pela capacidade de simular eventos do mundo social e imaginário. Não se trata,
porém, de substituir o livro pelo texto tecnológico, a fala do docente e os recursos tradicionais
pelo fascínio das novas tecnologias. Não podemos esquecer que os mais poderosos e
autênticos "recursos" da aprendizagem continuam sendo o professor e o aluno que, conjunta e
dialeticamente, poderão descobrir novos caminhos para a aquisição do saber. Refletindo
sobre o papel e a competências do professor, neste processo de mediar a interação, utilizando
recursos tecnológicos de maneira criativa, na busca da construção coletiva do conhecimento.
52
Isto implica uma análise da mudança do paradigma educacional e da função do professor na
relação pedagógica, focalizando as inovações tecnológicas como ferramentas para ampliar a
interação.
Diversos são os tipos de aplicativos que o professor pode escolher, dependendo dos
objetivos do conteúdo matemático a ser aplicado, características dos educando e proposta
pedagógica da escola. Planejar uma aula com recursos tecnológicos exige preparo do
ambiente, dos materiais que serão utilizados, dos conhecimentos prévios dos alunos para
manusear estes recursos, do domínio da tecnologia por parte do professor, além de seleção e
adequação dos recursos à clientela e aos objetivos propostos pela disciplina.
Borba e Penteado (2005, p. 19-21) destacam algumas ações governamentais que foram
implementadas, em nível nacional, a partir da década de 1980, com o objetivo de promover o
uso da informática no processo educacional. Dentre outras citamos:
a) em agosto de 1981, foi realizado o I Seminário Nacional de Informática
Educativa com o objetivo de fomentar a implantação do uso de tecnologia
computacional nas escolas brasileiras;
b) em 1983, foi lançado o Projeto Computadores na Educação (EDUCOM)
pelo Ministério da Educação (MEC) e pela Secretaria Especial de
Informática (SEI), tendo como objetivo a criação de Centros Pilotos em
Universidades Brasileiras (CPUB), instalados na Universidade Federal do
Rio de Janeiro (UFRJ), na Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG),
na Universidade Federal de Pernambuco (UFPE), na Universidade Federal
do Rio Grande do Sul (UFRGS) e na Universidade Estadual de Campinas
(Unicamp), voltados para o desenvolvimento de pesquisas sobre as diversas
aplicações do computador na educação;
c) ainda dentro das ações do Projeto EDUCOM foram desenvolvidos novos
subprojetos denominados FORMAR I e FORMAR II, em 1987 e 1989,
respectivamente, com o objetivo de formar recursos humanos para o trabalho
na área de informática educativa, tendo atingido 17 estados brasileiros com a
criação de Centros de Informática Educativa, atuando como multiplicadores
da implantação da informática nas escolas públicas;
d) em 1989, foi lançado pelo MEC o Programa Nacional de Informática
Educativa(PRONINFE), fortalecendo as iniciativas dos projetos anteriores e
contribuindo, também, para a criação de Laboratórios de Informática e de
Capacitação de Professores, distribuídos geograficamente por todo o país,
por meio dos Centros de Informática na Educação de 1º e 2º graus (CIED),
dos Centros de Informática na Educação Tecnológica (CIET) e dos Centros
de Informática na Educação Superior (CIES);
e) Em abril de 1997, foi criado pela Secretaria de Educação a Distância
(SEED/MEC) o Programa Nacional de Informática na Educação
(PROINFO), tendo como principal objetivo incentivar e dar suporte para a
introdução das chamadas Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC)
nas escolas de nível fundamental e médio, em todo país, com vistas,
principalmente, a melhorar a qualidade do processo de ensino e
aprendizagem, propiciando uma educação voltada para o desenvolvimento
científico e tecnológico.
53
A partir da implantação dos projetos governamentais, muitas escolas, percebendo o
potencial da informática como estratégia cognitiva, introduziram em suas atividades escolares
a chamada informática educativa que, além de promover o contato dos estudantes com o
computador, tinha como objetivo a utilização desse recurso como instrumento de apoio às
matérias e aos conteúdos lecionados, melhorando a preparação do educando para interagir
numa sociedade tecnologicamente desenvolvida. Paralelamente, essa ferramenta serviria de
estímulo ao processo de capacitação dos professores, auxiliando no uso e na implantação das
Tecnologias Educacionais nas atividades pedagógicas, onde essas tecnologias seriam
utilizadas no aprimoramento do ensino voltado para a
construção de conhecimentos e
promovessem uma transformação da cultura escolar.
3.3 Analise dos Softwares e aplicativos para dispositivos móveis
Esta seção apresenta uma proposta de Tecnologia Educacional,
descrevendo o
processo de escolha do Software Simulaprob e o aplicativo Dice, como ferramenta para o
estudo de probabilidade e frequência relativa, enquadrados de acordo com os conceitos da
Teoria da Aprendizagem Significativa.
A ideia principal dessa dissertação é integração de iniciativas educacionais de
dispositivos móveis voltadas para o apoio ao ensino da Matemática, por meio de um ambiente
virtual móvel. Atualmente os softwares e aplicativos educativos com enfoque em
probabilidade que podem ser usados nas escolas como recursos para dinamizar as aulas estão
escassos. O Software educativo simlaprob pode ser um importante acessório para o aluno
adquirir conceitos em probabilidade clássica e frequentista, desta maneira segundo Insunza,
Gastélum e Alvarez ( 2009), menciona o seguinte:
1.
Facilita-se um ensino baseado na experimentação, através da qual os
estudantes podem construir ideias corretas a respeito de conceitos
probabilísticos.
2.
Serve de ponte entre a probabilidade e a estatística, ajudando com isso
a compreender a relação tão estreita que há entre dados e casualidade,
situação bastante sugerida em currículos atuais.
3.
Amplia o campo de aplicações da probabilidade, abordando
problemas onde não se cumpre necessariamente o principio de
equiprobabilidade que exige em enfoque clássico.
(INSUNZA, GASTÉLUM e ALVAREZ, 2009, p. 137)
No entanto, para poder implementar o enfoque frequentista no ensino da
probabilidade, o computador é um elemento indispensável, pois realizar os experimentos em
54
forma manual requer muito tempo, pela grande quantidade de repetições de um experimento
que há de realizar para que as frequências relativas se estabilizem e aproximem o Maximo
possível da probabilidade clássica, como estabelece a lei dos grandes números em
probabilidade.
O conjunto de situações, procedimentos e representações simbólicas oferecidas por
essa ferramenta é muito amplo e com um potencial que atende boa parte deste conteúdo.
Entretanto o aplicativo Dice não foi elaborado com objetivo educacional, mas é um
instrumento bem próximo da realidade dos alunos, como dados e moedas tradicionais.
Essas ferramentas permitem ajudar os alunos para que dê novos significados às tarefas
de ensino e ao professor a chance para planejar, de forma inovadora, as atividades que
atendam aos objetivos do ensino. Segundo Gonçalves (2003) apud Santo e Loreto (2010,
p.56):
 o conteúdo, ou seja, se este atende às necessidades do objetivo curricular
e se tem relevância pedagógica;
 se o Software permite modificações a fim de atender às necessidades
individuais dos alunos, se é auto-suficiente ou ele precisa da intervenção
do professor, se pode ser utilizado em várias situações de sala de aula
(individual, pequeno ou grande grupo), se os softwares possibilitam
diferentes formas de aprendizagem (visual, auditiva, numérica, verbal);
 na operação do software, como é tratado o erro dos usuários, qual o
controle que o usuário tem da operação do software, se existe um bom
manual tanto para o professor como para o aluno e se o Software usa as
capacidades gráficas, sonoras e de cor;
 apresentação clara de objetivos e indicação das possibilidades de uso
(interface);
 oferecimento de recursos multimídias;
 interativo em relação a diferentes opções de manuseio.
Seguindo os critérios de avaliação de softwares livres com o objetivo de identificar um
Software para laptops e um aplicativo para celulares com jogos de dados e moedas que atenda
as necessidades referentes ao ensino de probabilidade e frequência relativa para ensino médio.
Quadro 2:Comparativo dos Softwares Encontrados
Software
Software
Fathom
Pós
Apresenta aplicações para vida
real;
Permite aos estudantes manipular
dados;
Adequado ao conteúdo em
questão;
Boa
capacidade
gráfica
(apresentação de histogramas).
Contra
Língua Inglesa;
Versão Demo;
Manual
com
poucas
informações para o aluno e
para o professor;
Nenhuma
interação
auditiva;
Deficiente
quanto
ao
Disponível em:
www.tetri.pt/index.p
hp/layour-padraovm/softwareutil/fathom-detail
55
Download simples
Software
Probability
Explorer
Software
Simulaprob
Software
Winstats
Apresenta aplicações para vida
real;
Permite
aos
estudantes
manipular dados;
Oferece facilidade de interação
com o usuário;
Adequado ao conteúdo em
questão;
Boa interação visual;
Simulação e analise de
resultados;
Ambiente de aprendizagem
com múltiplas formas de
representar os dados.
Possível aplicar em vários
conteúdos.
Apresenta aplicações para vida
real;
Versão livre;
Permite
aos
estudantes
manipular dados;
Oferece facilidade de interação
com o usuário;
Adequado ao conteúdo em
questão;
Manual detalhado para o
professor e aluno;
Janelas com indicação de erros
e reorientação para o aluno;
Simulação
e
análise
de
resultados dos experimentos de
probabilidade e frequência
relativa dentro do contexto do
jogo;
Boa
capacidade
gráfica
(apresentação de histogramas);
Distribuição de frequência
detalhada;
Capacidade de simular até dez
mil experimentações.
Apresenta aplicações de vários
jogos da vida real;
Versão livre;
ambiente de aprendizagem
com múltiplas formas de
representar os dados;
Não oferece facilidade de
interação com o usuário.
Língua Inglesa;
Versão Demo;
Manual
com
poucas
informações para o aluno e
para o professor;
Nenhuma interação auditiva.
http://www.probexp
lorer.com
Necessidade do programar
Java para a instalação.
Língua espanhola;
Falta de interação visual dos
objetos com usuário;
Falta de interação em
relação a diferentes opções
de manuseio;
Pouca capacidade em cores;
Nenhuma interação auditiva.
http://pcc.uasnet.m
x/~dchavira/Simula
prob.html.
Falta de interação em
relação a diferentes opções
de manuseio;
http://math.exeter.e
du/rparris/winstats.
html
56
Língua portuguesa;
Permite aos estudantes manipular
dados;
Adequado ao conteúdo em
questão;
Simulação e analise de resultados
dos experimentos de probabilidade
e frequência relativa dentro do
contexto do jogo;
Boa
capacidade
gráfica
(apresentação de histogramas);
Distribuição
de
frequência
detalhada.
Capacidade de simular até dez
milhões de experimentações.
Pouca capacidade em cores;
Nenhuma interação auditiva;
Não oferece facilidade de
interação com o usuário;
Não
oferece
manual
detalhado para o professor e
aluno;
Poucas
janelas
com
indicação de erros e
reorientação para o aluno.
Fonte: Dados da Pesquisa.
O uso das Tecnologias da Informação e Comunicação Móveis e sem Fio (TIMS)
aumentam os desafios da realidade escolar. Educadores precisam se adequar a realidade
desenhada pelas TIMS. Entre as TIMS, temos o celular, tablets e smartphones com sistema
Android, com aplicativos que podem vir a ser utilizados em sala de aula como recurso
pedagógico para as aulas no Ensino Médio.Os critérios de seleção para escolha do aplicativo
para celulares, tablets e smartphones com sistema Android baseou-se nos fundamentos
técnicos de computação móvel segundo Braga (2012), são:
 sistema operacional;
 design;
 beleza;
 simplicidade;
 usabilidade;
 reconhecimento de gestos;
 estrutura de aplicativos;
 compatibilidade;
 comunicação.
A avaliação desses jogos e calculadoras probabilísticas foram realizadas segundo os
critérios de Medeiros e Schimiguel (2012):
 Qualidade do conteúdo – veracidade e apresentação equilibrada das ideias com nível
apropriado de detalhes, enfatizando os pontos significantes;
 Alinhamento do Objetivo da Aprendizagem – alinhamento entre as metas de
aprendizagem, atividades, avaliações e características dos alunos;
 Motivação – capacidade de motivar o interesse do jogador;
 Imersão – capacidade de envolver o jogador profundamente;
 Objetivos Claros – metas claras do que deve ser realizado;
57





Feedback e Adaptação – elaboração do feedback positivo e negativo do jogo.
Conteúdo que se adapta de acordo com a habilidade do jogador;
Apresentação – informação visual;
Interação Social – dispor meios de interação com outros jogadores;
Reusabilidade – capacidade de ser utilizado em diferentes contextos de
aprendizagem e com alunos de diferentes idades e interesses.
A justificativa para o uso de tecnologias nas aulas de probabilidade e frequência relativa
são de uma forma geral as dificuldades encontradas pelos alunos da rede Estadual de Ensino
do Rio de Janeiro, procurando com isso a melhoria nas aulas dos professores que ministram
este conteúdo. Entretanto, para que haja viabilidade de acesso para a maioria optou-se por
softwares e aplicativos livres. Com isto, fez-se uma seleção de softwares e aplicativos livres
para aplicação no ensino de probabilidade e frequência relativa junto aos trabalhos
relacionados da revisão sistemática com a proposta de visualizar simuladores de jogos de
moedas e dados voltados para o Ensino Médio. O Software simulador dos jogos dados e
moedas que atendeu as exigências, segundo Gonçalves (2003), foi o Simulaprob, até porque a
dificuldade de encontrá-los é bem relevante, assim como aplicativos para dispositivos móveis
voltados especificamente para o ensino da probabilidade, então, selecionou-se alguns
aplicativos dos muitos encontrados no Google Play sobre calculadoras de probabilidade e
jogos de dados e moedas. Segundo Braga (2012) , Medeiros e Schimiguel (2012) para este
estudo em questão:
Quadro 3: Aplicativos Encontrados
Aplicativos
Probability Calculator
A B Probability
Pós
Roda no sistema Android;
Gratuito;
Reconhecimento de gestos;
Simplicidade;
Contra
Inglês e espanhol;
comunicação;
Design;
Qualidade do conteúdo;
Alinhamento do Objetivo da Aprendizagem;
Motivação;
Objetivos claros;
Apresentação;
Interação Social;
Conteúdo que se adapta de acordo com a
habilidade do jogador.
Probabilidade
Gaussiana
Disponível em:
https://play.google.com/store/apps/details?id=a
ppinventor.ai_sirbacon_development.Probabilit
y_Calculator&hl=pt_BR
https://play.google.com/store/apps/details?id=c
om.mstar.probability1&hl=pt_BR
https://play.google.com/store/apps/details?id=c
om.marcoscapelitte.gaussian&hl=pt_BR
Probability
Distributions
https://play.google.com/store/apps/details?id=c
om.mbognar.probdist&hl=pt_BR
Fonte: Dados da pesquisa.
A principal diferença entre o aplicativo aqui apresentado e demais softwares é a forma
de interação entre o aluno e o software. Nos softwares baseados em computador desktop
Segundo Brandão etal. (2006), a interação acontece por meio de mouse e teclado. Entretanto,
em um aplicativo sensível ao toque, a interatividade proporcionada ao se utilizar os dedos
para a manipulação dos objetos de aprendizagem pode fazer com que as ações e o uso das
ferramentas se tornem muito mais naturais para o aluno.
Entretanto, devido à dificuldade de encontrar trabalhos desenvolvidos com o conteúdo
de probabilidade especificamente simuladores experimentais voltados para aprendizagem,
decidiu-se a partir dessa perspectiva analisar aplicativos de jogos de dados e moedas que
pudessem ser baixados com facilidade por celulares, tablets, smartphones, gratuitos com
sistema Android.
Os jogos são uma ferramenta de interação social que não necessitam especificamente
ser desenvolvidos para educação, pois isso vai depender do tratamento dado pelo professor
em não transformar o lúdico em enfado na sala de aula, entretanto, quando uma atividade
envolve prazer, diversão, motivação, interesse e paixão, o indivíduo é capaz de dedicar a ela
uma grande parte do tempo e esforço. Como jogos digitais envolvem muitos fatores
motivacionais, podendo ser estimulados por educadores para auxiliar na aprendizagem de
conteúdos difíceis de tratar em salas de aula tradicionais.
A principal ideia é que os jogos digitais, como ferramentas educacionais, possam ajudar
no desenvolvimento e conhecimento e habilidades cognitivas, como a resolução de
problemas, o pensamento estratégico, a tomada de decisão, entre outras, propiciando uma
compreensão mais profunda de certos princípios fundamentais de determinados assuntos
(BROM apud NETO, 2011). Embasado nessas ideias e nas dificuldades encontradas no que se
refere a aplicativos especificamente voltados para experimentos aleatórios com boa interface,
manuseio do número de simulações, distribuição de frequências, espaço amostral, tabela de
simulações e histogramas sobrepondo a frequência relativa com a probabilidade clássica,
decidimos pelo aplicativo a seguir:

O jogo Dice como de acordo com as figuras 3, 4, 5 e 6 interface do aplicativo Dice
para dowloand, tela de escolha dos dados e moedas, dados e moedas em conjunto e a
tela de demonstração de exclusão de Ícones ) dos mais variados encontrados no buscador
Google play ficou bem próximo da realidade do aluno quanto ao manuseio, sons,
cores, interface e as mais variadas formas de se jogar, por exemplo, movimentando o
dispositivo móvel nas mais variadas direções ou simplesmente o toque na tela para
que inicie-se a jogada.
60
Figura 3: Interface do Aplicativo Dice para Download
Fonte: Google play
Figura 4: Tela de Escolha dos Dados e Moedas
Fonte: próprio Autor
Figura 5: Dados e Moedas em conjunto
Fonte: próprio autor
61
Figura 6: Tela de Demonstração de Exclusão de Ícones
Fonte: próprio autor
A análise dos resultados da pesquisa realizada durante a escolha do Software e do
aplicativo já citado contribuiu para aumentar a conscientização da importância do uso das
novas tecnologias como ferramenta de aprendizagem, em especial, no ensino da Matemática.
No meio educacional, devem existir grandes esforços por parte dos educadores e da
ordem pública para que a informática esteja cada vez mais frequente nas práticas de ensino,
como ferramenta que contribua para um ensino mais significativo e uma aprendizagem mais
consistente, capaz de promover a sensibilidade,a intuição, a percepção e a imaginação do
educando. Nos últimos anos, pesquisas a respeito da aprendizagem da Matemática têm sido
desenvolvidas, utilizando a informática como recurso pedagógico, mas as dificuldades
encontradas nas escolas publicas do Rio de Janeiro para tal são imensas a ponto do professor
sentir-se altamente desestimulado a utilizar estes recursos tecnológicos e, muita das vezes
custeiam particularmente com o propósito de desenvolver uma boa aula e ainda sim
encontram dificuldade dentro do ambiente escolar como internet bloqueada, sistemas
operacional, tomadas, número de alunos por computador,extensões, chaves em geral, entre
outros, etc.
62
4 TEORIA DA APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA USO DE JOGOS E SOLUÇÃO
DE PROBLEMAS EM SALA DE AULA
4.1 Teoria da Aprendizagem Significativa
A aprendizagem é muito mais significativa à medida que o novo conteúdo é
incorporado às estruturas de conhecimento de um aluno e adquire significado para ele a partir
da relação com seu conhecimento prévio. Ao contrário, ela se torna mecânica ou repetitiva,
uma vez que se produziu menos essa incorporação e atribuição de significado, e o novo
conteúdo passa a ser armazenado isoladamente ou por meio de associações arbitrárias na
estrutura cognitiva.
Quando o conteúdo escolar a ser aprendido não consegue ligar-se a algo já conhecido,
ocorre o que Ausubel apud Moreira chama de aprendizagem mecânica, ou seja, quando as
novas informações são aprendidas sem interagir com conceitos relevantes existentes na
estrutura cognitiva. Um bom ensino deve estar centrado no estudante, promover a mudança
conceitual e facilitar a aprendizagem significativa segundo Moreira (2010, p.5).
Na aprendizagem significativa, o aprendiz não é um receptor passivo. Longe
disso. Ele deve fazer uso dos significados que já internalizou, de maneira
substantiva e não arbitrária, para poder captar os significados dos materiais
educativos. Nesse processo, ao mesmo tempo que está progressivamente
diferenciando sua estrutura cognitiva, está também fazendo a reconciliação
integradora de modo a identificar semelhanças e diferenças e reorganizar seu
conhecimento. Quer dizer, o aprendiz constrói seu conhecimento, produz seu
conhecimento.
Com base nestes conceitos vemos nos dispositivos móveis uma forma de não
arbitrariedade de ensinar, por ter significados e podendo através dos jogos e da resolução de
problemas junto ao conteúdo matemático de probabilidade relativa e probabilidade clássica
em conexão com o cotidianos dos alunos fazermos uma ponte para uma aprendizagem
significativa tentando o Máximo possível minimizar a ideia de uma aprendizagem mecânica,
na qual novas informações são memorizadas de maneira arbitrária, literal, não significativa.
Esse tipo de aprendizagem, bastante praticado ainda na escola publicas do Estado do Rio de
Janeiro, que traz a cultura capitalista e ilusória de que as notas são muito mais importantes
para "passar" nas avaliações, levando os alunos a uma baixo rendimento na aprendizagem,
não requer compreensão e não dá conta de situações novas. A aprendizagem significativa
deve ser progressiva, quer dizer, os significados vão sendo captados e internalizados
63
progressivamente e nesse processo a linguagem e a interação pessoal são muito importantes.
(Moreira, Caballero y Rodríguez Palmero, 2004).
Conceitos da Teoria de Aprendizagem Significativa
Nesse contexto, os rumos tomados nesta dissertação destacamos a suma importância, da
teoria da aprendizagem significativa de Ausubel e o dever a priori, não como a única
eexclusiva teoria, mas como algo relevante para uma reflexão sobre a aprendizagem na
Matemática, particularmente sobre as ideias históricas dos estudantes, a teoria da
aprendizagem significativa, ao descrever o processo de aprendizagem, no qual destaca o
conhecimento prévio do aprendiz como o fator isolado mais importante na determinação do
processo de ensino, oferece uma contribuição fundamental para o reconhecimento do aluno,
conforme Moreira (2010, p.4).
A aprendizagem significativa caracteriza-se pela interação cognitiva entre o
novo conhecimento e o conhecimento prévio. Nesse processo, que é nãoliteral e não-arbitrário, o novo conhecimento adquire significados para o
aprendiz e o conhecimento prévio fica mais rico, mais diferenciado, mais
elaborado em termos de significados, e adquire mais estabilidade.
Essa teoria representa um meio de vivência educativa, apresentada de uma forma lógica,
atuando como um material didático potencialmente significativo que, combinado com os
conhecimentos prévios do educando, reorganiza a estrutura cognitiva desse indivíduo,
contribuindo para dar um significado ao processo educacional, por meio de conceitos
internalizados, atuando como elemento motivador para os aprendizes.
Assim, em sua
percepção sobre conhecimento prévio, Moreira destaca que:
[...] o conhecimento prévio é, isoladamente, a variável que mais influencia a
aprendizagem. Em última análise, só podemos aprender a partir daquilo que
já conhecemos. David Ausubel já nos chamava atenção para isso em 1963.
Hoje, todos reconhecemos que nossa mente é conservadora, aprendemos a
partir do que já temos em nossa estrutura cognitiva. [...] se queremos
promover a aprendizagem significativa é preciso averiguar esse
conhecimento prévio e ensinar de acordo (MOREIRA, 2010, p. 4-5).
Ausubel esclarece, também, o processo de aquisição, retenção e organização de novos
conhecimentos pelo indivíduo como sendo:
[...] as ideias ancoradas na estrutura cognitiva, não só manifestam,
inicialmente, pouca força de dissociabilidade, como também a perdem muito
64
rapidamente, pois estas novas idéias podem representar-se, de forma
adequada, pelas que estão mais estabelecidas, para fins de memória. Por outras
palavras, pressupõe-se que apenas as variantes categóricas discrimináveis de
ideias anteriormente apreendidas possuem potencialidades de retenção a longo
prazo (AUSUBEL, 2003, p. 170).
Uma Aprendizagem Significativa está relacionada à possibilidade dos
educandos
aprenderem, de modo consciente, por múltiplos caminhos, e de forma colaborativa,
permitindo o desenvolvimento de suas competências e habilidades. As estratégias devem ser
trabalhadas pelo professor para centrar sua ação educativa numa aprendizagem significativa.
Isto é, o processo cognitivo é realizado mediante a incorporação dos novos conceitos
apresentados aos conhecimentos preexistentes do educando, permitindo, assim, o incremento
de novos elementos de conhecimento por parte desse indivíduo. Nesse sentido, Moreira e
Masini (2001) enfatizam que:
A importância do processo de assimilação não está somente na aquisição e
retenção de significados, mas também no fato de que implica um mecanismo
de esquecimento subjacente dessas ideias. [...] Entretanto, o significado das
novas ideias, no curso do tempo, tende a ser assimilado ou reduzido pelos
significados mais estáveis das ideias estabelecidas (MOREIRA e MASINI,
2001, p. 26).
Especificamente no estudo da Matemática, o processo de ensino e aprendizagem deve
ter o cuidado de propiciar ao estudante um ambiente favorável à construção do pensamento
lógico-abstrato. Os conteúdos e a metodologia aplicados devem servir ao desenvolvimento do
potencial do educando, não apenas na memorização das proposições e demonstrações de
teoremas e fórmulas matemáticas, mas, sobretudo, na busca da compreensão significativa que
despertem o interesse do aprendiz e o conduza para a sua transformação na sociedade.
Promover, portanto, uma integração do estudante com os conceitos da Matemática
incentivar
sua curiosidade e interesse na elaboração de teorias que
comprovem ou
desmintam os fatos observados, tendo em vista que, investigando construções já realizadas ou
efetuando novas construções, os aprendizes podem inferir resultados diversos, desenvolver a
credibilidade e elaborar novas demonstrações que, sem as construções auxiliares, seriam de
difícil compreensão e realização.
Observa-se, ainda, que o uso das Tecnologias Educacionais pode ser uma importante
ferramenta de integração, entre a escola e a sociedade, entre o mundo concreto e o abstrato,
entre a teoria e a prática. Se os estudantes fazem as pontes entre o que aprendem
intelectualmente e as situações reais, experimentais e profissionais, ligadas aos seus estudos, a
65
aprendizagem será mais significativa e enriquecedora, podendo servir de base para a avaliação
de seu envolvimento no processo educacional.
Os recursos computacionais disponíveis são de grande valia para facilitar o alcance a
esse objetivo. Atualmente, o microcomputador é uma ferramenta poderosa que temos à
disposição para que esse processo se torne mais simples.
Nesses termos, a aplicação de Software educativo no ensino da probabilidade, por
exemplo, mediante aprendizagem da probabilidade relativa tendendo a probabilidade clássica
em função do número de experimentações através de dispositivos moveis, possam ser
manuseados pelos estudantes que possa ser também, uma forma de fortalecer e melhorar o
desenvolvimento do raciocínio lógico do aprendiz.
Finalizando, os dispositivos móveis, como elemento a auxiliar na busca de resultados,
pode ser um agente da Teoria da Aprendizagem Significativa, servindo para a exploração de
resultados e para o incentivo de investigações, podendo sugerir caminhos para a realização de
demonstrações desconhecidas, propondo artifícios e desafios que possibilitarão ao educando a
busca de novas ideias relacionadas aos conteúdos apresentados, gerando outros conceitos e
proposições.
O Mapa Conceitual como Facilitador da Aprendizagem Significativa
No processo educacional os mapas conceituais vêm sendo adotados por vários
educadores em seus métodos de ensino, esses diagramas se apresentam como uma ferramenta
potencialmente facilitadora da aprendizagem. Eles podem ser usados de várias formas, em
geral como instrumento de ensino ou como um instrumento avaliativo.
Os mapas conceituais estão fundamentados na Teoria da Aprendizagem Significativa de
Ausubel. Em meados da década de setenta Joseph Novak professor de Educação da
Universidade de Cornell, junto aos seus colaboradores, refinaram e divulgaram esta teoria
cognitiva de aprendizagem, além de criarem os mapas conceituais. Cada mapa conceitual é
uma expressão pessoal do autor sobre um determinado tema, por isso essa ferramenta
possibilita a visualização das relações hierárquicas dos conceitos que estão sendo
apresentados, a partir do nível mais geral até o seu maior detalhamento. Esse processo,
conhecido como princípio da “diferenciação progressiva”, considera que, inicialmente, as
ideias mais gerais devem ser apresentadas para,
em seguida, serem progressivamente
diferenciadas, isto é, partindo de um conceito geral (já incorporado pelo aluno) o
conhecimento pode ser construído de modo a ligá-lo com novos conceitos, facilitando a
66
compreensão das novas informações, o que dá significado real ao conhecimento
adquirido.Segundo Moreira e Masini, os mapas conceituais “[...] podem ser vistos como
diagramas hierárquicos que procuram refletir a organização conceitual de uma disciplina ou
parte de uma disciplina” (MOREIRA e MASINI, 2001, p. 51).
Em termos de significados para os mapas conceituais, segundo Moreira (2012, p. 6 )
deve-se:
1) identificar a estrutura de significados aceita no contexto da matéria de
ensino;
2) identificar os subsunçores (significados) necessários para a aprendizagem
significativa da matéria de ensino;
3) identificar os significados preexistentes na estrutura cognitiva do
aprendiz;
4) organizar sequencialmente o conteúdo e selecionar materiais curriculares,
usando as ideias de diferenciação progressiva e reconciliação integrativa
como princípios programáticos;
5) ensinar usando organizadores prévios, para fazer pontes entre os
significados que o aluno já tem e os que ele precisaria ter para aprender
significativamente a matéria de ensino, bem como para o estabelecimento de
relações explícitas entre o novo conhecimento e aquele já existente e
adequado para dar significados aos novos materiais de aprendizagem.
A figura 7 mostra o mapa conceitual para o ensino de probabilidade relativa tendendo a
probabilidade clássica, a leitura começa a partir do conceito central do mapa, que neste caso é
a PROBABILIDADE. A partir deste então, segue-se para os modelos matemáticos
enfatizando o modelo determinista e o modelo não determinista com o intuito de fazer uma
diferenciação progressiva entre os dois modelos partindo dos pré conceitos já existentes nos
alunos para só assim implementar a ideia de experimentos aleatórios e consequentemente
chegarmos a proposta da aprendizagem significativa.
67
Figura 7: Mapa Conceitual Para o Ensino de Probabilidade
Fonte: próprio autor
O conhecimento preexistente (conhecimentos prévios) do indivíduo, somado à vontade
de aprender e à utilização de um material potencialmente significativo, pode gerar uma
aprendizagem significativa. A estrutura cognitiva do aprendiz está constantemente se
reestruturando durante a aprendizagem significativa.
4.2 Uma Proposta Significativa Para o Uso de Jogos e Solução de Problemas em Sala de
Aula
Para os povos antigos, suas crenças religiosas justificavam todos os acontecimentos, o
que provocou a dificuldade de aceitar e compreender a concepção do acaso. A percepção
ainda que tardia de que ocorrências do cotidiano podem ser de ordem aleatória, por não haver
uma causa plausível, fez surgir a Teoria das Probabilidades.
O cotidiano das relações sociais está repleto de situações problemáticas, situações que
representam alguma dificuldade para aqueles que estão diante delas, e precisam contorná-las.
Resolver problemas é parte da atividade humana e, de que outra forma seria possível aprender
a lidar com eles, senão resolvendo-os? Nesse sentido:
68
Resolver um problema é encontrar um caminho onde nenhum é conhecido
de imediato, encontrar o modo de sair de uma dificuldade, tornear um
obstáculo, para atingir um final desejado que não é imediatamente atingível,
por meios apropriados (POLYA, 1945 apud ERNEST, 1996, p. 30).
Os PCNs elegem a solução de problemas como peça central para o ensino da
Matemática, pois o pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o indivíduo está
engajado ativamente no enfrentamento de desafios. O tratamento de situações complexas e
diversificadas oferece ao aluno a oportunidade de pensar por si mesmo, construir estratégias
de resolução e argumentações, relacionar diferentes conhecimentos e, enfim, perseverar na
busca da solução. Neste sentido é que entendemos que os jogos podem ser utilizados no
ensino e aprendizagem de Matemática. O jogo neste ambiente educacional deve ser concebido
como um elemento que pode disparar o processo de construção do conhecimento. O jogo deve
expressar aspectos-chave do tópico matemático que se quer estudar. Assim, o jogo é utilizado
como um ponto de partida e um meio para se ensinar Matemática.
A atividade de jogar desempenha papel importante no desenvolvimento: de habilidades
de raciocínio lógico, dedutivo e indutivo; no aprimoramento da linguagem, da criatividade, da
atenção e da concentração. Durante a realização do jogo, o aluno passa a ser um elemento
ativo do seu processo de aprendizagem, vivenciando a construção do seu saber e deixando de
ser um ouvinte passivo.
No ensino tradicional de probabilidade, o professor apresenta definições, fórmulas e
propriedades e depois resolve exercícios utilizando esses resultados. Essa prática de ensino
mostrou-se ineficaz. É recente na história da Didática, a atenção ao fato que o aluno é agente
da construção do seu conhecimento, pelas conexões que estabelece com seu conhecimento
prévio num contexto de resolução de problemas.
Assim, neste contexto, quando se redefine o papel do aluno perante o saber, é necessário
também redimensionar o papel do professor que ensina Matemática. O professor deve ser
agora um organizador da aprendizagem e escolher problemas que possibilitam a construção
de conhecimentos. O professor deve também agir como mediador, ao promover a
confrontação das propostas dos alunos, atuar como controlador ao estabelecer as condições
para a realização das tarefas, ser um incentivador da aprendizagem e estimular a cooperação
entre os alunos.
Para Moura (1992) a união entre jogo e resolução de problemas está intimamente
vinculada à intencionalidade do professor.
69
É possível combinar jogo e resolução de problemas nas séries iniciais;
porém, fazer isto é muito mais que uma simples atitude, é uma postura que
deve ser assumida na condução do ensino. E assumi-la com vistas ao
desenvolvimento de conceitos científicos exige um projeto de ensino,
inserido no projeto coletivo da Escola. Fazer isto é dar um sentido humano
ao jogo, à resolução de problemas e, sendo assim, à Educação Matemática
(MOURA, 1992, p. 51).
Como aponta Van de Walle (2009, p. 59), “boas tarefas, baseadas em resolução de
problemas, possuem múltiplos caminhos para chegar à solução e, nesse caso, podem
apresentar mais de uma solução, já que a resolução assume um caráter subjetivo”.
Uma de nossas contribuições, nesta investigação, é oferecer um jogo virtual próximo da
realidade do aluno através dos dispositivos móveis, que juntamente com o uso da metodologia
de solução de problemas, pode ser utilizado na construção efetiva de todos os conceitos
básicos de probabilidade.
Sequência Didática com o jogo Dice e o Software Simulaprob
Seguimos o conceito de sequência didática sob a concepção de Zabala (1998), que
atribui importância à ordenação das práticas pedagógicas. Assim, por sequência didática
entendemos “[...] um conjunto de atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a
realização de certos objetivos educacionais, que têm um princípio e um fim conhecidos, tanto
pelos professores como pelos alunos” (ZABALA, 1998, p.18).
As diversas sequências didáticas exploram dados do cotidiano dos cidadãos, permitindo
fazer abordagem dos tópicos, dada no sentido da interdisciplinaridade, uma vez que
simultaneamente serão explorados conceitos matemáticos referente ao ensino da
probabilidade, numa linguagem que permite ao professor adaptar as sequências a um
conteúdo específico, dependendo do nível de conhecimentos prévios dos alunos.
Apropriando-nos da Teoria das Situações Didáticas, compreendemos a sequência
didática como a articulação entre situações didáticas (que servem para ensinar) visando criar
um adequado desenvolvimento das ideias relacionadas com determinado conceito e
possibilitar a compreensão do mesmo. Cabe salientar que toda situação, didática, apresenta
uma intencionalidade para a aprendizagem, que deve estar clara para o professor desde a
concepção das tarefas a ser construída e compreendida pelo aluno no decorrer de suas ações.
A sequência considera, também, a importância das intenções educacionais e o papel das
tarefas propostas na definição dos conteúdos de aprendizagem. Alguns critérios para análise
das sequências reportam que os conteúdos de aprendizagem explicitando as intenções
70
educativas, podendo abranger três dimensões: “[...] dimensão conceitual – o que se deve
saber?; dimensão procedimental – o que se deve saber fazer?; dimensão atitudinal – como se
deve ser?” (ZABALA, 1998, p.31). Zabala (1998) salienta que existem diversos tipos de
sequência, não sendo possível afirmar que uma seja melhor ou pior que outra. O que importa
é o reconhecimento das possibilidades e carências de cada uma, a fim de compreender quais
se adaptam melhor às necessidades educacionais de cada aluno, em determinados contextos,
de acordo com o tipo de conteúdo (conceitual, procedimental ou atitudinal).
Com essa compreensão propõe-se o Quadro 4, com a estrutura de uma sequência
didática para o ensino de probabilidade clássica e probabilidade relativa, transpondo para a
prática pedagógica a teoria aqui discutida.
Quadro 4: Estrutura de uma Sequência Didática para o Ensino da Probabilidade
Etapa
1.Definição de um tema
2. Levantamento das atividades
para a investigação
3.Definição de um instrumento
para a coleta de dados
4.Organização dos
dados coletados
5.análises e interpretação dos
Dados
Pressupostos
Probabilidade relativa tendendo para probabilidade clássica em
função do número de experimentações (jogadas).
Solucionar o problema da lavagem da louça do almoço entre três
irmãs, jogando dados e moedas através de dispositivos móveis.
Questionário de verificação do aprendizado.
Os dados serão tabulados e transpostos do instrumento de coleta
para um gráfico. Com o objetivo de uma tomada de consciência e
apropriação dos conceitos obtidos pelos aprendizes.
Retirada de informações e conclusões de maneira coerente e não
equivocada da aprendizagem da probabilidade relativa tendendo a
probabilidade clássica em função do número de experimentações
(jogadas).
Fonte: próprio autor
A sequência didática deste trabalho será de conhecimento do aluno e análise de
desempenho do mesmo, bem como dos conteúdos em si, visto que os conteúdos expostos na
sequência serão suficientemente compreendidos pelo aluno, atendendo ao objetivo
educacional proposto, seja na apresentação dos conteúdos no cenário 1 (uso de celulares com
o jogo Dice), seja no cenário 2 (uso do Software Simulaprob).
71
5 ATIVIDADES E ANALISE DO ESTUDO EXPERIMENTAL
A primeira etapa da pesquisa foi o levantamento de dados analisando-se os gráficos
dos anos de dois mil e onze a dois mil e treze das avaliações internas Saerjinho, programa de
avaliação diagnóstica do processo Ensino Aprendizagem realizado nas unidades escolares da
rede estadual de educação básica. Verificou-se o baixo rendimento nestes três anos referente
aos conteúdos envolvendo probabilidade e contagem utilizando o princípio multiplicativo ou
noções de permutação simples, arranjos simples e/ou combinações nos dando a definição da
área específica de desenvolvimento do objeto deste trabalho.
Na Revisão Sistemática da Literatura os resultados foram tabulados e foram realizadas
análises para definir os materiais que expliquem um fazer pedagógico com o intuito de rever
os conceitos referentes ao ensino de probabilidade e frequência relativa no ensino médio
tendo como auxilio de aprendizagem as tecnologias móveis e objetivo de identificar tipos de
ferramentas utilizadas, potencialidades e fragilidades. A escolha do aplicativo para celulares,
tablets e smartphones com sistema Android baseou-se nos fundamentos técnicos de
computação móvel segundo Braga (2012) e o Software simulador de jogos dados e moedas
que atendeu as exigências, segundo os critérios de Gonçalves (2003), foi o Software
Simulaprob, conforme capitulo dois.
Foram desenvolvidas atividades sobre probabilidade clássica e relativa para alunos do
3º ano do Ensino médio.São apresentadas reflexões sobre o auxílio do Software Simulaprob e
o aplicativo Dice, no processo de ensino e de aprendizagem do aluno, juntamente com a
descrição da utilização do softwaree aplicativono produto educacional desta dissertação. A
pesquisa apoia-se nos princípios da aprendizagem significativa.
5.1 Atividades
Nos quadros cinco e seis estão as orientações referentes as habilidades pretendidas com
as ativiadades e os procedimentos de execução em sala de aula.
Quadro 5: Habilidades e Objetivos Pretendidos com as Atividades Propostas
Conteúdo por Atividade
Habilidades a Serem Trabalhadas e objetivos
Resolver problemas de contagem que envolva o principio multiplicativo.
Resolver problemas que envolvam o calculo da probabilidade de ocorrência
de um evento como a razão entre o número de casos favoráveis e o número
de casos possíveis, em espaços equiprováveis finitos.
72
Resolver problemas que envolvam analise e interpretação de dados
apresentados em tabelas.
Resolver problemas que envolvam analise interpretação de dados
apresentados em gráficos de coluna.
Pretende-se desenvolver as noções de probabilidade na concepção clássica
focando o acaso, espaço amostral, equiprobabilidade de cada evento,
experimentação com objetos virtuais próximos da realidade, socialização
dos resultados, construção de tabelas e confecção de histogramas.
(1) Probabilidade Clássica
(2) Probabilidade Clássica e
Frequência Relativa
(3) Frequência Relativa
(4) Eventos Mutuamente
Exclusivos e Frequência Relativa
Resolver problemas que envolva tendência a estabilização da freqüência
relativa de um evento. Comparar a definição de Probabilidade Clássica com
a definição de Probabilidade como Frequência Relativa.
Desenvolver a capacidade de observação Experimental.
Pretende-se com esta atividade levar os alunos a perceberem que mesmo
com um número pequeno de experimentações os subconjuntos do espaço
amostra Ω (cara,coroa) e (coroa, cara) continuarão tendo a maior
probabilidade de ocorrer com uma certa proximidade da probabilidade
clássica. Construir, ler e interpretar histogramas.
Analise da distribuição de frequência focando a equiprobabilidade e a não
equiprobabilidade; Capacidade de estimar a probabilidade teórica de dados
de frequência; Compreensão das características das seqüências de resultados
de convergência e aleatoriedade.
Levar os alunos a perceberem a não equiprobabilidade nos eventos
experimentais propostos e estimar resultado em função de observações.
Calcular e comparar as probabilidades desses eventos mutuamente
exclusivos.
Levar os alunos a perceberem a probabilidade de um ou outro evento
acontecer.
Habilidades e objetivos das atividades dois e tres.
Quadro 6: Orientações das Atividades
Material para o aplicativo
Dice
Material para o Software
Simulaprob
Celular, tablet ou smartphone com sistema android, internet para baixar o
aplicativo no Google player ou cabo de transferência para executável, papel
milimetrado para construção de histogramas, lápis, borracha, régua de trinta
centímetros e folhas de ofício para construção de tabelas.
Laptop com sistema operacional Windows, internet para baixar o executável do
Software Simulaprob ou via pendrive.
Organização Atividade
Cada aluno do grupo representará um personagem do problema.
A partida será composta por um determinado número de jogadas conforme as
ativiades propostas.
Serão disputadas por três alunos representando Yasmin, Isadora e Isis.
Propor aos alunos uma única forma de proceder com as jogadas (condições
idênticas).
Analise dos resultados entre o grupo.
Analise dos resultados entre a turma.
Duração para o aplicativo
Dice
Duas aulas de 50 minutos.
73
Duração para o Software
Simulaprob
Instruções
Pré - requisitos para
resolução
Uma aula de 50 minutos.
Os alunos deverão fazer a leitura do problema proposto, interpretar e representar
graficamente a situação.
Noções básicas com tecnologias móveis.
Básico de conjuntos.
Porcentagem.
Introdução a combinatória.
Leitura e construção de gráficos.
Atividade 1
Situação Problema
Adaptado - (Questão do caderno de atividades pedagógicas de aprendizagem auto-regulada –
02 - 3ª Série | 2° Bimestre – atividade 1.2 - CEEDUC/RJ)
Yasmin, Isadora e Ísis são três irmãs e resolveram usar duas moedas comuns, não
viciadas, para decidir quem irá lavar a louça do almoço, lançando duas moedas
simultaneamente, uma única vez. Se aparecerem duas coroas, Yasmin lavará a louça, se
aparecerem duas caras, Isadora lavará a louça; e se aparecerem uma cara e uma coroa,
Ísis lavará a louça.
a) Quais as possibilidades possíveis de faces das duas moedas?
Objetivos:
Observar a importância dos eventos elementares do espaço amostral e equiprobabilidade.
b) Organize uma tabela da probabilidade clássica envolvendo os casos de Yasmin,Isadora e
Ísis.
Objetivos:
Classificar o evento de interesse (cara) como referência de forma organizada e ter
uma visão geral do evento em questão.
c) Construa um histograma em papel milimetrado utilizando lápis, borracha e uma régua de
trinta centímetros com os dados encontrados na tabela.
Objetivos:
Utilização de gráfico e visualização da estabilidade da probabilidade clássica.
74
d) Terá que lavar a louça quem tiver maior probabilidade nos eventos,(cara,cara),
(coroa,coroa), (cara,coroa) e (coroa, cara) ?
Objetivos:
1. Analise de resultados após a resolução do problema levando os alunos a
responderem e concluírem o enunciado após uma discussão da tabela e do
histograma.
2. Mostrar que na probabilidade o maior grau de certeza ou incerteza pode não
ocorrer, pois a mesma enfatiza o acaso.
Atividade 2
Situação Problema
Isis questiona o resultado do jogo e resolve apelar com as irmãs dizendo que em uma única
jogada seria injusto o resultado, e propõe resolver a questão repetindo o experimento 50, 100
e 250 vezes utilizando o aplicativo Dice. O fato de aumentarem o número de jogadas, a
probabilidade de Ísis lavar a louça será maior, menor ou não se altera?
Atividade 3
Situação problema:
Ísis fica sem saída no que se refere a probabilidade relativa do jogo das duas moedas e solicita
as irmãs um jogo de dois dados honestos e distinguíveis, propondo a divisão da louça em três
partes, panelas, frigideiras, tabuleiros e travessas ,condição (A); Pratarias e talheres, condição
(B);copos, taças e arrumar a mesa, condição (C). Todas entram em comum acordo, porem,
Isadora rapidamente propõe uma regra do jogo para as irmãs, todas as vezes que a soma das
faces dos dados forem sete Ísis fará um ponto; todas as vezes que a soma das faces forem
cinco Isadora fará um ponto; todas as vezes que a soma das faces forem doze Yasmin fará um
ponto. Quem tiver a maior probabilidade relativa argumentando através de tabelas de
distribuição de frequências e histogramas obedece a condição (C), a menor obedece a
75
condição(A) ,intermediário a condição (B) em caso de empate ambas lavarão a louça. A
vencedora será definida em 300 jogadas com maior probabilidade.
Atividade 4
Situação problema:
(ENEM 2006 – adaptado)
Ainda em relação a louça. Iasmin diz o seguinte - se temos um jogo deve haver um vencedor
único? Tive uma ideia! Jogar os dados para que uma das três não lave a louça, no caso a
vencedora. Ela diz que o time de ambas o timbucio futebol clube venceu um campeonato
amador. Os jogadores decidiram que o prêmio seria guardado na casa de um deles. Todos
quiseram guardar a taça em sua casa. Então, sugeriu-se o seguinte:
- São 11 jogadores e suas camisas estão numeradas de 2 à 12. Os dois dados tem as faces
numeradas de 1 a 6. Se jogar os dois, a soma dos números das faces pode variar de 2 (1+1) a
12 ( 6+6 ). Vamos jogar os dados 250 vezes, e quem tiver a camisa com o número de pontos
maior vai ficar com a taça (não lavará a louça).
- Isis rapidamente escolhe o número doze. Iasmin logo diz - não sei não... Isis sempre na
esperteza dês do inicio nos convencendo e não aceitando as probabilidades... acho que ela esta
levando alguma vantagem... mas, tudo bem por mim pode ficar com o doze..
- Iasmin diz – vou ficar com o número sete, pois sete é o número da perfeição segundo a
Bíblia sagrada.
- Isadora diz – vou ficar com número nove, pois nove é uma raiz exata.
5.2 Execução das Atividades
Em complementação à utilização pelos participantes da Tecnologia Educacional, foram
elaboradas atividades pedagógicas complementares a serem aplicadas, durante a fase de
aplicação do Software Simulaprob e o aplicativo Dice, que podem contribuir para a
consecução da percepção e compreensão dos educandos sobre as relações e propriedades
referentes a probabilidade clássica e frequência relativa.
Essas tarefas podem ser utilizadas como estratégia de ensino, com o objetivo de
incentivar os aprendizes a explorar o Software e o aplicativo móvel em sua
plenitude,desenvolvendo, ainda mais, as habilidades dos estudantes.
76
Pretende-se, inicialmente, que os participantes percebam a probabilidade relativa
tendendo a probabilidade clássica em função de um número considerável de simulações
experimentais, leitura de histogramas, construção de tabelas e que aos poucos, possam
observar as suas relações e propriedades.
A proposta desse estudo é a de apresentar uma abordagem dinâmica para o ensino dos
conceitos sobre probabilidade e frequência relativa: espaço amostral, eventos aleatórios,
simulações experimentais, leitura de histogramas,construção de tabelas de distribuição de
frequência. A seguir, estão apresentadas algumas atividades complementares sugeridas, com o
detalhamento de sua aplicação. São exemplos de questões a serem desenvolvidas com o
auxílio do Software e do aplicativo móvel que objetivam aumentar a fixação e melhorar o
entendimento dos conceitos citados anteriormente.
A aula foi ministrada no 3º Ano do Ensino Médio do Colégio Estadual Rio Dourado,
com o objetivo de analisar se o Software escolhido contribuiria para aprendizagem mais
eficaz, com sentido e significado aos alunos. Primeiramente Dividiu-se em 4 momentos a
execução do trabalho: 1) Aplicação do questionário sobre os conhecimentos prévios dos
alunos; 2) Apresentação do Aplicativo Dice e Orientações para download;3) atividade a
priori com o aplicativo Dice; 4) atividade a posteriori com a Intervenção do Software
Simulaprob.A seguir, consta a descrição de cada momento e suas reflexões. O número de
alunos participantes das atividades é de 30 (trinta) alunos.
As informações sobre os conhecimentos prévios foram obtidas através de um
questionário com nove questões e teve como objetivo descobrir o que o aluno já sabia
referente ao conteúdo de probabilidade relativa. Baseado nessas informações, pode-se
introduzir novos conceitos matemáticos de probabilidade relativa tendendo a probabilidade
clássica. Segundo Moreira (2011a, p. 160),
Novas ideias e informações podem ser aprendidas e retidas na medida em
que conceitos relevantes e inclusivos estejam adequadamente claros e
disponíveis na estrutura cognitiva do indivíduo e funcione, dessa forma,
como ponto de ancoragem às novas ideias e conceitos.
Doze alunos entre dezesseis e vinte e um anos de idade desconheciam totalmente as
palavras aleatório e acaso, entretanto, dezoito alunos também na mesma faixa de idade
explicaram a palavra aleatório comentando sobre as músicas tocadas em seus celulares
alegando que não existe uma sequência contínua, quanto ao acaso escreveram sobre
acontecimentos inesperados no dia a dia,vide figuras 8 e 9.
77
Figura 8: Imagens do primeiro encontro realizado no Colégio Estadual Rio Dourado
Fonte: próprio autor
Figura 9: Questão seis do Questionário de Conhecimentos Prévios
Fonte: próprio autor
As questões de sete a nove foram elaboradas com o objetivo de investigar como os
alunos externalizavam a estabilidade de experimentos aleatórios e o conceito de
equiprobabilidade, então, pode-se observar, diante da análise feita, que apenas oito alunos
mostraram a ideia de estabilidade em função de um grande número de experimentações, que é
o caso das questões sete e oito, e os outros vinte e dois alunos mantiveram a proporção
evidenciando um determinismo, e não uma aleatoriedade dos eventos mostrados, quanto a
equiprobabilidade. Vinte e seis entenderam as melhores chances para os maiores números das
faces dos dados, conforme figura 10.
78
Figura 10: Questões de sete a Nove do Questionário de Conhecimentos prévios
Fonte: próprio autor
Após esse trabalho, a turma foi dividida em duas partes de quinze alunos cada e foi
convidada a desenvolver as atividades propostas. Nesse segundo momento, os alunos que
ficaram com as atividades a priori entram na fase de download e orientações de uso do
aplicativo. Tudo foi feito através de um data show utilizando-se a rede wi-fi da escola, sendo
que os alunos não puderam utilizar a senha wi-fi, então, prontifiquei-me a colocar a senha em
quinze celulares e tablets para que os mesmos pudessem realizar o download do aplicativo,
quando o wi-fi foi liberado percebemos uma lentidão enorme, então os alunos que tinham
internet em seus celulares e tablets, além de baixarem o jogo, fizeram um compartilhamento
79
de internet com os colegas com o intuito de agilizar o processo, pois a curiosidade em estudar
matemática jogando era empolgante e finalizei sugerindo que jogassem entre eles para
familiarizarem-se com aplicativo.
Segundo a teoria de Ausubel, que tem como foco a aprendizagem significativa, é o
processo que envolve interação da nova informação com uma estrutura de conhecimento
específica, a qual ele define como subsunçor, existente na estrutura cognitiva do indivíduo.
Embasado nesta teoria da aprendizagem de Ausubel, os questionários deste terceiro encontro
mostrou-me como deveria introduzir o conceito de probabilidade relativa tendendo para
probabilidade clássica. “A aprendizagem significativa acontece quando uma nova informação
ancora-se em conceitos relevantes, já existentes na estrutura cognitiva de cada pessoa”.
(MOREIRA, 2011a, p.161).
Partimos para a necessidade de relacionar um assunto que já ouviram falar, ou até
mesmo vivenciaram na prática, então elaborou-se uma aula introdutória comentando sobre os
cassinos focando o conceito de probabilidade de acontecimentos aleatórios, abordados a partir
de atividades ou situações-problema, modelos determinísticos e não-determinísticos, espaço
amostral e equiprobabilidade evidenciando os jogos de dados e moedas de forma relativa em
função de um grande número de jogadas.
Nesse momento da aula, os exemplos citados foram artefatos de um cassino. Cartas de
baralho, dados, roleta e fichas de apostas, procurando mostrar a essência dos jogos de azar na
tomada de decisões sob condições de risco. Frisando que, a maioria deles são jogos de apostas
cujos prêmios estão determinados pela probabilidade estatística. Quanto menor é a
probabilidade de se obter a combinação correta, maior é o prêmio.
A principal função dos organizadores prévios é servir de ponte entre o que o aprendiz já
sabe e o que ele deve saber a fim de que o assunto possa ser aprendido de forma significativa.
Assim, os conceitos de equiprobabilidade e de estabilidade em função do número de
experimentações ou jogadas, ideia de aleatoriedade ficariam mais elaborados, inclusivos e
capazes de servir como subsunçores para novas informações relativas a estes conceitos.
As situações problema nesse terceiro encontro foram apresentadas aos alunos de forma
que pudessem estar ajudando na interpretação destas atividades via data show. Foi feito um
comentário de que todas as atividades foram adaptada do caderno de atividades pedagógicas
de aprendizagem auto-regulada – 02 - 3ª Série | 2° Bimestre – atividade 1.2 - CEEDUC/RJ,
que narra a historia de três irmãs em um dilema para saber através de um jogo de cara ou cora
e dados quem irá lavar a louça do almoço.
80
Na atividade um o objetivo foi enfatizar a probabilidade clássica para relacionarmos a
frequência relativa nas atividades dois, três e quatro focando o acaso, espaço amostral,
equiprobabilidade de cada evento, experimentação com objetos virtuais próximos da
realidade, construção de tabelas e confecção de histogramas.
Foram distribuídos para os grupos papel milimetrado para construção de histogramas,
lápis, borracha, régua de trinta centímetros e folhas de ofício para construção de tabelas. Os
grupos foram organizados da seguinte maneira:
1. Divididos em grupos de três alunos.
2. Cada aluno do grupo representou um personagem do problema Yasmin, Isadora e
Ísis.
3. Os alunos foram orientados a jogar as moedas virtualmente uma única vez para
atividade um após a solução do problema clássico de probabilidade para verificação
da solução com o intuito de que a maior probabilidade pode não acontecer quando
experimentamos, resolução teórica.
4. Os alunos foram orientados a procurar uma maneira de jogar sem alterar as
condições experimentais.
Procurando não desenvolver uma aprendizagem mecânica onde as informações são
reproduzidas a curto prazo, procurei trazê-los a uma situação hipotética de que estavam
jogando em um grande cassino e muito dinheiro estava sendo apostado, pois precisavam ter
uma visão das possibilidades para jogarem com consciência, concentração e foco. Logo em
seguida, o grupo(A) de três alunos, que estavam com dificuldade de organizar o espaço
amostral, e posteriormente uma tabela com as chances para cada um em função dos
personagens que assumiram, Yasmim, Isadora e Ísis, o grupo só conseguiu montar a tabela de
possibilidades quando sugerido pelo professor que fizessem uma combinação com duas
blusas, uma azul, uma vermelha e uma calça marrom. Como o grupo era de meninas,
acreditou-se que roupa seria uma forma de fazer um paralelo do seu dia a dia para realidade
dos jogos em questão. Logo em seguida, os resultados foram de duas possibilidades, então
organizaram as possibilidades das moedas como se estivessem se arrumando para uma festa
com concentração e foco, pois afinal alguém teria que lavar a louça do almoço, então depois
de um tempo a tabela foi organizada em dois momentos conforme figura 11.
81
Figura 11: Tabela de Possibilidades para Yasmim, Isadora e Ísis
Fonte: próprio autor
Os alunos ficaram livres para organizarem suas chances e o interessante foi a forma
como o grupo(B) organizou suas possibilidades em forma de disco, indagados pelo professor,
porque organizar uma tabela dessa maneira. Dois integrantes responderam que estavam
fazendo curso de logística e haviam estudado possibilidades em organizas objetos,
evidenciando uma conexão do dia a dia com o conteúdo escolar significativo, conforme
figura 12.
Figura 12: Tabela de Possibilidades em Forma de Disco
Fonte: próprio autor
82
Logo em seguida, foram orientados para a construção dos histogramas com objetivo de
trabalhar a leitura e utilização de gráficos e visualização da estabilidade da probabilidade
clássica e frequência relativa. Nessa parte, as maiores dificuldades foram na distribuição dos
valores no plano cartesiano e definir onde ficariam os percentuais. A única intervenção feita
pelo professor nessa parte foi dizer que eram livres para escolher o eixo em que ficariam seus
resultados. As figuras 13 e 14 mostram alguns histogramas evidenciando o que foi observado.
Figura 13: Grupo (C) com Dificuldade na Construção do
Histograma das Possibilidades do Jogo das Moedas
Fonte: Próprio Autor
83
Figura 14: Histograma Clássico de Duas Moedas após a Explicação Sobre Plano Cartesiano
Fonte: Próprio Autor
Ao final da atividade foi sugerido que cada grupo fizesse uma única jogada virtualmente
com o jogo Dice, anotar a resposta e fazer uma discussão sobre a situação com o objetivo de
socializar as visões encontradas quanto a solução do problema focando sempre que o menor
grau de incerteza pode acontecer nos casos de experimentos aleatórios. Uma atividade como
essa em uma aula expositiva tradicionalmente falando, pode passar desapercebido a grande
“justiça” probabilística de 25% de possibilidades para cada uma das duas irmãs (Yasmim e
Ysadora) não lavarem a louça do almoço contra 50% de chances para Ísis lavar a louça do
almoço. Em todo o processo das atividades digeriu-se os alunos para que estivessem
comparando os resultados experimentais com a probabilidade clássica e o objetivo era leválos a perceber que as possibilidades são diferentes tanto para as moedas como para os dados.
As atividades dois três e quatro foram elaboradas com a intenção de provocar uma
diferenciação progressiva no cognitivo dos alunos, um dos aspectos da aprendizagem
significativa de Ausubel que tem como ideia principal focar os conceitos, proposições mais
gerais e inclusivas dos conteúdos apresentados no início do ensino, no nosso caso foi feita
uma apresentação geral dos jogos usando como exemplo os cassinos. Procurando
progressivamente, diferenciar, ao longo do processo, em termos de detalhes e especificidades
sobre uma tendência a estabilização da freqüência relativa de um evento apoiado pelo jogo
84
virtual de dados (Dice) (instalado em dispositivos móveis com sistema Android) repetindo-se
o experimento um pequeno número de vezes, fazendo uma inferência sobre sua probabilidade
clássica. Do ponto de vista cognitivo, é o que ocorre com determinado subsunçor à medida
que serve de ancoradouro para novos conhecimentos em um processo interativo e dialético.
Os grupos foram organizados da mesma forma da atividade 1, os materiais utilizados
foram os mesmos também, somente os procedimentos foram um pouco diferente, mesmo
porque o enfoque das atividades mudaram, seriam totalmente experimentais.
No
desenrolar
das
atividades,
as
perguntas
mais
frequentes
eram
sobre
equiprobabilidade e a dificuldade de montar o espaço amostral dos dois dados e logo em
seguida uma tabela de possibilidades para os dados, então, sugeriu-se que lembrassem do
exemplo do cassino explicando novamente que poderiam combinar, por exemplo, o número
um do primeiro dado com todos os outros números do segundo dado, e assim sucessivamente,
até chegarem ao número seis do primeiro dado, quanto a equiprobabilidade esclareceu-se que
todos os eventos tem a mesma probabilidade de ocorrer, deixando evidente que com a soma
das faces dos dois dados teríamos um conjunto de casos possíveis e teríamos que analisar a
equiprobabilidade dos mesmos. Então indagou o professor, em todos os casos as
possibilidades seriam as mesmas para soma das faces dos dados? As dificuldades
continuaram, bem mais suaves, assim foram resolvendo de forma progressiva, daí um aluno
pede a palavra e diz que as possibilidades não eram as mesmas, então o docente perguntou,
por que? Ele responde, porque nas moedas as chances eram de 1/4 em todos os casos e na
soma das faces dos dois dados não tem essa igualdade são quase todos diferentes. Indagou o
docente, Por que quase todos diferentes? Ele respondeu que as somas dois e três, onze e doze
são iguais. Perguntou novamente o professor, então existem casos de equiprobabilidade? E ele
respondeu que sim, que são os menos prováveis e o restante das possibilidades são bem
diferentes.
Este compartilhamento de ideias foi altamente significativo para o restante da turma no
quesito equiprobabilidade e causou um debate muito bom para a aula e, no final de tudo, foi
entendido que o espaço amostral da soma das faces dos dados não eram equiprováveis, pois o
grupo C fez uma apresentação argumentada mostrando o espaço amostral e as possibilidades,
conforme figura 15.
85
Figura 15: Organização do Espaço Amostra da
Soma das Faces dos Dados e suas Possibilidades
Fonte: próprio autor
Após jogarem, os alunos construíram uma tabela organizando o número de
experimentações ou jogadas, total de pontos, frequência relativa e o apostador. Na discussão
dos resultados da tabela, solicitou-se que fizessem um paralelo da probabilidade clássica com
a frequência relativa, e a discussão logo de início foi que, nessas condições, não teríamos mais
as mesmas possibilidades e que estaríamos entregues à “sorte”. Então, perguntou o professor,
por que sorte? Existe alguma forma de sabermos quem tem maior probabilidade de lavar a
louça do almoço? Responderam que em cem jogadas alguns grupos tiveram mais cara e cara
outros tiveram mais coroa e coroa, e outros responderam que a quantidade de cara e cora
foram mais evidentes, diante de todo esse dilema perguntou-se, quem estava correto e qual
seria a solução correta caso exista? Um grupo propondo-se a argumentar disseram que Ísis
estava correta porque simplesmente calculando a probabilidade clássica ela estaria em
desvantagem, Questionei novamente perguntando, e se aumentássemos o número de jogadas?
Aí a coisa ficou mais complicada porque as soluções foram aumentar proporcionalmente os
resultados e não haviam indícios de estabilidade quanto ao número de experimentações.
Como o tempo para fazerem o experimento pelo menos umas quinhentas vezes ou mil vezes
estava escasso, mostrei através do simulador de jogos Simulaprob uma distribuição de
frequência simulando os experimentos em cinco, cem e mil repetições conforme figuras 16,
17 e 18.
86
Figura 16: Distribuição de Frequência (1)
Fonte : próprio autor
Figura 17: Distribuição de Frequência (2)
Fonte : próprio autor
Figura 18: Distribuição de Frequência (3)
Fonte : próprio autor
87
Essas intervenções foram necessárias, pois o aplicativo Dice não é um jogo elaborado
para o ensino da matemática, especificamente probabilidade. Desta forma mostrou-se não
mais as proporções dos resultados anteriores, com eles diziam, mas uma tendência a
estabilização das somas das faces dos dados e a maior possibilidade da soma sete como na
probabilidade clássica, à medida que vamos aumentando o número de jogadas, essas
conclusões foram tiradas por eles em discussão entre os grupos somente exibindo as
distribuições de frequências por data show.
Vemos nas anotações e nos cálculos feitos pelos alunos uma situação, e suas
interpretações, que não condizem com suas falas mostrando que o ensino mecânico, resolução
de uma lista de exercícios sem qualquer significado para os alunos onde não provoque um
interesse em aprender através de suas indagações, não causam mudanças na sua estrutura
cognitiva.
Os histogramas
evidenciam a diferença entre a probabilidade clássica
e relativa
mostrando a soma sete com menor possibilidade que as somas oito e nove, essas comparações
foram essenciais para o esclarecimento de que a estabilidade seria uma proximidade dos
resultados com a probabilidade clássica em função do número experimentações (jogadas),
conforme figura 19 e 20.
Figura 19: Histograma Clássico das Somas das Faces
de dois Dados após Explicação sobre Plano Cartesiano
Fonte: próprio autor
88
Figura 20: Histograma da Soma das Faces dos Dados para 250 Experimentações ou Jogadas
Fonte: próprio autor
Neste quarto encontro a dificuldade foi a internet muito lenta, mas o problema foi
resolvido rapidamente, pois o professor criou uma pasta com o executável contendo Java e o
Software Simulapro em um laptop, e colocou-se esta pasta em alguns pendrives dos próprios
alunos. Por que o Java? A possibilidade de haver alunos sem o Java nos seus laptops não era
remota e realmente não foi, pois sem o mesmo o Software Simulaprob não funcionaria.
Como o objetivo das atividades estão focados na aprendizagem significativa procurouse desenvolver as atividades com o Software Simulaprob considerando o mesmo como
potencialmente significativos para aprendizagem dos alunos, tendo o cuidado de observar
todo significado lógico do Software Simulaprob, por exemplo, estrutura, organização,
exemplos, linguagem adequada, enfim, ser de fácil manuseio
para dar significado aos
conhecimentos veiculados por essa ferramenta.
Na aula introdutória comentou-se sobre os cassinos focando o conceito de probabilidade
de acontecimento aleatório, abordados a partir de atividades ou situações-problema, modelos
determinísticos e não-determinísticos, espaço amostral e equiprobabilidade evidenciando os
jogos de dados e moedas de forma relativa em função de um grande número de jogadas.
Após a explicação do Software Simulaprob, mostrando todos os passos deste simulador
no início das atividades, alguns alunos tiveram dificuldades em interpretar a situação
89
problema e encher o simulador nos campos adequados referente ao que o problema pedia,
principalmente quanto aos eventos de interesse, a orientação dada foi que poderiam escolher
no caso das moedas aguila (cara) ou sol (coroa) como referência para análise da distribuição
de frequência, conforme figura 21.
Figura 21: Evento de Interesse das Moedas
Fonte : próprio autor
Nesta atividade introdutória, as maiores dificuldades foram as leituras das distribuições
de frequências, onde percebeu-se um grande aproveitamento quanto a equiprobabilidade,
entendimento do espaço amostral, conceito de acaso e a forma clara como enxergaram a perda
de Ísis.
Quanto aos dados, houve dificuldade na determinação lógica da simbologia matemática
no Software Simulaprob,para que pudéssemos analisar a distribuição de frequência e
posteriormente os histogramas, então solicitou-se que entrassem em eventos de interesse e
analisassem qual simbologia era a mais satisfatória para a resolução das atividades e a
discussão que mais ficou em evidência foi o sinal de igualdade para o interesse de cada irmã.
O professor sugere que olhem o espaço amostral e, a partir daí, tirassem uma conclusão sobre
o evento de interessee se poderíamos avaliar de uma forma geral esta simulação. Um dos
grupos argumenta dizendo, então seria melhor se colássemos como evento de interesse todas
as somas maiores ou iguais a dois e justifica dizendo que o fato da menor soma ser dois vai
abranger a todos os resultados posteriores. Componentes de outros grupos ficaram em dúvida
e solicitou-se um compartilhamentode suas ideias novamente, a partir daí, deu-se
prosseguimento as atividades.
90
O Software Simulaprob, por ser auto explicativo e os alunos estarem bem interados
digitalmente as duvida das de interpretação dos histogramas, foram dúvidas apresentadas
semelhantemente às da primeira etapa.
Fizemos o fechamento das atividades com a ferramenta abrindo uma discussão entre os
grupos referente à estabilização das experimentações. Logo em seguida, foram feitas algumas
perguntas, e se fizéssemos os experimentos infinitamente? Uma aluna respondeu que não
temos como ficar jogando até o infinito, pois passaríamos a vida inteira jogando, na prática
dos jogos somente pela probabilidade clássica poderíamos tomar as decisões? A aluna
responde que não, no caso dos dados o cara deveria ter a “esperteza” de perceber as maiores
probabilidades, qual ou quais? E ela respondeu a soma sete, só isso fica claro para que ele
ganhe as partidas? Percebeu-se o conceito da probabilidade clássica servindo de análise em
qualquer situação, logo em seguida foram feitas distribuições de frequências em cinco, cem e
mil jogadas. Apresentou-se as telas de demonstração no data show conforme as figuras 22, 23
e 24.
Figura 22: Distribuição de Frequência (1)
Fonte: próprio autor
Figura 23: Distribuição de Frequência (2)
Fonte : próprio autor
91
Figura 24: Distribuição de Frequência (3)
Fonte: próprio autor
Logo em seguida, os alunos fizeram outras simulações e histogramas referentes às
condições anteriores e sobreposição da probabilidade clássica com a probabilidade relativa,
uma das opções do Software Simulaprob, mostrando a proximidade da frequência relativa, ou
probabilidade relativa, com a probabilidade clássica em grandes experimentações.
5.3 Analise dos Resultados
Após os momentos citados, foi feito, a partir da análise dos resultados obtidos das
avaliações, uma reflexão sobre a utilização do softwareSimulaprob e sua contribuição para o
ensino e a aprendizagem da probabilidade. Organizaram-se os resultados das análises a priori
e a posteriori no Quadro 9.
Tabela 10: Análise a Priori e a Posteriori
Aluno
Atividade a priori com o Aplicativo
Dice
(Rendimento em uma escala 0 – 10)
Aluno
Atividadea posteriori com a intervenção do
Software Simulaprob
(Rendimento em uma escala 0 – 10)
001
5,0
016
8,0
002
3,5
017
9,0
003
4,0
018
7,0
004
8,0
019
5,5
005
6,0
020
7,5
006
5,0
021
6,0
007
5,0
022
8,5
008
3,5
023
8,5
009
5,0
024
8,0
92
010
7,5
025
7,0
011
6,5
026
7,0
012
2,0
027
6,5
013
5,0
028
6,5
014
7,0
029
9,0
015
8,5
030
7,0
Fonte: dados da pesquisa.
1) Teste de Normalidade. Nível de significância de 5% (=0,05)
H0: distribuição é normal
H1: distribuição não é normal
Foi utilizado o teste de normalidade de Shapiro-Wilk, uma vez que cada amostra possui
menos de 50 elementos. Considerando a amostra utilizando o Dice, o Teste de Shapiro-Wilk
retornou um p-value> 0,100 (Figura 25). Como é maior que o nível de significância
estabelecido de 0,05, aceita-se a hipótese nula de que os dados são normais.
Figura 25: Rendimento em Sala do Aplicativo Dice
Fonte: dados da pesquisa
Considerando a amostra utilizando o Simulaprob, o Teste de Shapiro-Wilk retornou um pvalue> 0,100 (Figura 26).Como é maior que o nível de significância estabelecido, aceita-se a
hipótese nula e os dados são normais.
93
Figura 26: Rendimento em Sala do Software Simulaprob
Fonte: dados da pesquisa
2) Teste de Homocedasticidade (igualdade de variâncias). Nível de significância de 5%
(=0,05)
H0: Dados são homocedásticos
H1: Dados são heterocedásticos
O Teste de Levene retornou um p-value = 0,185 (Figura 28). Como é maior que o nível
de significância estabelecido (0,05), aceita-se a hipótese nula e os dados são homocedásticos.
Figura 27: Teste e IC para duas Variâncias:
Rendimento Sala; Rendimento Laboratório
Fonte: dados da pesquisa
Como os dados são normais e homocedásticos, pode-se utilizar um teste paramétrico
para a comparação das médias e, neste caso, será utilizado o Teste-T de Student.
94
3) Teste de Comparação das Médias. Nível de significância de 5% (=0,05)
H0: As médias são iguais, utilizando as técnicas Dice e Simulaprob
H1: As médias são diferentes, utilizando as técnicas Dice e Simulaprob
Como p-value = 0,002, conforme resultado a seguir, é menor que o nível de
significância estabelecido (0,05) deve-se aceitar a hipótese alternativa de que existe diferença
significativa entre as médias utilizando os softwares Dice e Simulaprob.
Two-sample T for Dice vsSimulaprob
N
Dice
Simulaprob
Mean
15
15
StDev SE
5,43
1,82
7,40
1,07
Mean
0,47
0,28
Difference = μ (Dice) - μ (Simulaprob)
Estimate for difference: -1,967
95% CI for difference: (-3,098; -0,835)
T-Test of difference = 0 (vs ≠): T-Value = -3,60 P-Value = 0,002 DF = 22
Como a média obtida pelo Simulaprob de 7,40 é maior que a média obtida pelo
Software Dice de 5,43, e de acordo com o Teste-T a um nível de significância de 5%, pode-se
afirmar que
o desempenho dos alunos utilizando o
significativamente superior.
Software
Simulaprob
foi
95
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho trata da construção de conceitos de Matemática, em particular sobre
ensino da probabilidade relativa tendendo à probabilidade clássica, em função do número
crescente de experimentações e suas inter-relações com apoio do aplicativo para celulares e
tablets e um Software simulador de jogos. Devido à grande proximidade dos mesmos com a
realidade dos alunos e a sua importância no currículo da Matemática para o desenvolvimento
no processo formativo do discente procurou-se desenvolver noções de experimentos
aleatórios, espaço amostral e frequência de um evento simples.Para isso, procurou-se colocar
os alunos em situações as quais, através da experimentação, pudessem
observar a
estabilização da frequência relativa quando repete-se a experiência um grande número de
vezes.
A fundamentação teórica baseu-se na Teoria da Aprendizagem Significativa com o
objetivo de desenvolver um ensino não arbritrário, que faz do aluno um receptor passivo,
procurou-se então, fazer uso do significado que já iternalizou com o intuito de construir
conhecimento.
Tendo em vista as tecnologias móveis como ferramentas que possam auxiliar em
propostas de trabalho que dinamizam e diversificam o ensino de Matemática como um todo e
o estudo da probabilidade em particular, transforma em
alternativas que possam ser
acrescentadas significativamente às atividades escolares para alunos e professores nas aulas
de matemática.
Desenvolveu-se o tabalho com o uso do aplicativo Dice, não específico para o ensino
da matemática, e o Software Simulaprob totalmente elaborado para o ensio da matemática
probabilística para que pudesse apoiar nos processos de ensino e da aprendizagem de forma a
minimizar as “dificuldades” apresentadas pelos alunos em relação à compreensão dos
conceitos de probabilidade relativa tendendo à probabilidade clássica.
As limitação encontradas foram as dificuldades de apoio técnico para o professor,
Internet, instalações elétricas inadequadas para ligar e carregar os aparelhos tecnológicos
como um todo. Quanto aos aplicativos educativos para celulares, smartphonee tablets, a
escassez significativa para se trabalhar com probabilidade é grande, salvaguardando jogos
comuns e calculadoras de probabilidade e combinatória que, dependendo do objetivo, os
mesmos podem ser utilizados em sala de aula, como por exemplo, o aplicativo de jogos de
dados e moedas Dice utilizado neste trabalho. Entretanto, os softwares são encontrados com
mais evidência em sites educativos e necessitam de aparatos tecnológicos como computadores
96
fixos ou laptops e internet de boa qualidade, o que dificulta o uso dos mesmos no Colégio
Estadual Rio Dourado. Os softwares diponiveis para download como Simulaprob
especificamente voltado para o ensino da probabilidade com enfoque relativo,são mais
difíceis de encontrar para download. Além disso, espera-se que essa seja apenas uma versão
do Software Simulaprob, que pode ser reavaliada a todo o momento por pesquisadores ou
professores. Umproduto desse trabalho é a utilização do Simulaprob, que consiste na junção
do softwaree a sequência didática em que se elencou as atividades aplicadas para os alunos,
bem como as análises de cada uma delas, quando, oportunamente foram publicadas na forma
de livreto, o Produto Educacional proveniente dessa dissertação e, como o objetivo é o fácil
acesso ao trabalho, não será comercializado.
Entretanto, acredita-se que a continuidade de estudos sobre o ensino de probabilidade
relativa com o uso das tecnologias móveis, o incentivo das tecnologias como um todo nas
escolas públicas do Rio de Janeiro, especificamente a probabilidade relativa, possivelmente
contribuirá ainda mais no sentido de minimizar dificuldades de interpretações de
probabilidade e estatística no cotidiano dos nossos alunos.
Espera-se que esta relação entre o mundo virtual e o mundo real que se estabelece pelo
uso do Software Simulaprob , seja capaz de proporcionar melhorias significativas no processo
de ensino e aprendizagem, dando condições ao estudante para participar na construção de seu
próprio conhecimento,
favorecendo-lhe
uma melhor aquisição de
conhecimentos,
competências e habilidades sobre os conceitos de probabilidade e o professor de tornar sua
aula mais dinâmica e atraente.
97
REFERÊNCIAS
BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 3. ed. Belo
Horizonte : Autêntica, 2005.
BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação
Matemática. 3ª ed. 2ª reimp. - Belo Horizonte: Autêntica, 2007.
Brandão, L. O., Isotani, S., Moura, J. G. Imergindo a Geometria Dinâmica em Sistemas de
Educação a Distância: iGeom e SAW. Revista Brasileira de Informática na Educação,
14(1), 41- 49, 2006.
BRIGNOL, S.M.S. Novas Tecnologias de Informação e Comunicação nas Relações de
Aprendizagem da Estatística no Ensino Médio. Faculdades Jorge Amado. Salvador, 2004.
65f. Disponível em: <http://www.redeabe.org.br/Monografia.pdf>. Acesso em: 15 de
dezembro de 2013.
BROM, C., PREUSS, M. e KLEMENT, D. Are educational computer micro-games
engaging and effective for knowledge acquisition at high-schools? A quasi-experimental
study. Computers&Education, 57(3), p.1971-1988. 2011.
BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica Parâmetros
curriculares nacionais : ensino médio./Ministério da Educacação. Secretaria de Educação
Média e Tecnológica. Brasília: Ministério da Educação. 1999. 364p.
COUTINHO, C. P. Del.icio.us: uma ferramentada Web 2.0 ao serviço da investigação em
educação. In Educação, Formação & Tecnologias; Vol.1(1), pp. 104-115, 2008. Disponível
em http://eft.educom.pt. Acesso em 20 agosto 2014.
COUTINHO, C. de Q. e S. Introdução ao Conceito de Probabilidade por uma Visão
Frequentista. 1994. 151p. Dissertação (Mestrado em Matemática) – Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo, São Paulo, 1994.
D´AMBROSIO, Ubiratan. Educação matemática: da teoria à prática. 9. ed. Campinas,
SP: Papirus, 2002.
DIAS,
R.
A.
Tecnologias
Móveis.
Disponível
http://artigos.netsaber.com.br/resumo_artigo_17302/artigo_sobre_tecnologias_moveis
Acessado em 26/08/2014.
em
DUARTE, R. Aprendizagem e interatividade em ambientes digitais. Porto Alegre: Anais
ENDIPE, 2008.
98
ERNEST, Paul. Investigações, resolução de problemas e Pedagogia. In: P. ABRANTES, L. C.
Leal; PONTE, J. P. da (Org.). Investigar para aprender Matemática. Lisboa: Projecto MPT
e APM, 1996, p. 25-48.
GONÇALVES, I., Análise dos diferentes tipos de softwares usados na educação. 2003.
Disponível em: http://geocities.ws/ivanete 20032002/aval-softword_iva.html. Acesso em:
20/08/2014.
LOPES, C. A. E. A Probabilidade e a Estatística no Ensino Fundamental: Uma Análise
Curricular. 1998, 139 f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Faculdade de Educação, Unicamp, Campinas, 1998. Disponível em: <http://cutter.unicamp.br>. Acesso em: 14 Outubro.
2014.
LOPES, C. Cristina e Silva J. R. P. de Lucena. Ensino de probabilidade: concepções a
respeito da utilização do Software winstats como facilitador da aprendizagem. Artigo: VI
congresso internacional do ensino da matemática – Ulbras, Canoas, Rio Grande do Sul,
2013. Disponível em: http://math.exeter.edu/rparris/winstats.html. Acesso em: 30/10/2014.
INSUNZA, S.; GASTÉLUM, D. y ÁLVAREZ, A. Desarrollo de Software para el
aprendizaje y razonamiento probabilístico: el caso de SIMULAPROB. UNIÓN: Revista
Iberoamericana de educación matemática, 18, 135-149, 2009. Disponible en:
http://www.scribd.com/doc/24002441/Union-018.
MEDEIROS, M. de O; SCHIMIGUEL, J.; Uma abordagem para avaliação de jogos
educativos: ênfase no ensino fundamental. RENOTE – Revista de novas tecnologias na
educação, v 10, n3, 2012.
MOURA, M. O. O jogo e a construção do conhecimento matemático. São Paulo: FDE,
1992. (Série Ideias, 10).
MOREIRA, M. A. Aprendizagem Significativa Crítica. 2010. Disponível em:
<http://www.if.ufrgs.br/~moreira/apsigcritport.pdf>. Acesso em: 19 Setembro. 2014.
MOREIRA, M. A. Mapas Conceituais e Aprendizagem Significativa. 2012. Disponível
em:http://moreira.if.ufrgs.br . Acesso em: 19 Setembro. 2014.
MOREIRA, M. A.; MASINI, E. F. S. Aprendizagem Significativa: A Teoria de David
Ausubel. São Paulo: Centauro, 2001.
99
PEREIRA, M. Z. C.; MOITA, F. M. G. S. C. Educação, Tecnologia e Comunicação: Os jogos
eletrônicos e as implicações curriculares. IN: SILVA, E. M. (Orgs.)[et al]. Jogos Eletrônicos:
construindo novas trilhas. Campina Grande: EDUEP, 2007.
RODRIGUES, J. M. S. Acaso e Incerteza na Concepção de Professores que Ensinam
Matemática. In: Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-Graduação em Educação
Matemática,
12,
2008,
Rio
Claro
(São
Paulo).
Disponívelem:<http://www2.rc.unesp.br/eventos/matematica/ebrapem2008>. Acesso em:
15julho. 2014.
RODRÍGUEZ PALMERO, M.L. Aprendizaje significativo e interacción personal. In
MOREIRA,M.A.; CABALLERO SAHELICES, C.; RODRÍGUEZ PALMERO, M.L. (Eds.)
Aprendizaje significativo: interacción personal, progresividad y lenguaje. Burgos: Servício
de Publicaciones de la Universidad de Burgos. 2004.
SILVA, I. de M. Probabilidade: A visão Laplaciana e a visão Frequentista na Introdução
do Conceito, 2002, 147p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Centro das
Ciências Exatas e Tecnologias, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo,
2002.
VALENTE, J. A. O computador na sociedade do conhecimento. Campinas:
Unicamp/NIED, 1999.
VALENTE, J. A. O Computador na Sociedade do Conhecimento. Brasília: Estação
Palavra – USP, 2005.
VAN DE WALLE, J. A. Matemática no Ensino Fundamental: formação de professores e
aplicação em sala de aula. Tradução: Paulo Henrique Colonese. 6.ed. Porto Alegre: Artmed,
2009.
ZABALA, A. A prática educativa. Porto Alegre: ARTMED, 1998.
100
APÊNDICE A
QUESTIONÁRIO – Dissertação de Mestrado
Tema: Aplicação do software “Simulaprob” e aplicativo “Dice”
Mestrando: Rogério Delfino de Souza
INFORMAÇÕES SOBRE OS CONHECIMENTOS PRÉVIOS DOS ALUNOS
Este questionário faz parte da pesquisa “Jogos com Resolução de Problemas para o Estudo de Probabilidade
no Ensino Médio”, que está sendo desenvolvida pelo Prof. Rogério Delfino de Souza, da USS/Vassouras, e
deverá ser respondido pelos alunos da terceira série do Ensino Médio. Não é necessário se identificar.
Obrigado pela colaboração.
1. Qual a sua idade?_____________ anos
2. Você disponibiliza e utiliza algum dispositivo móvel como, celular, smartphone, tablet ou laptop?
SIM Qual(is) ? ______________________________________
NÃO
3. Para a resposta sim, quanto tempo aproximadamente utiliza por dia?
_________________________________________________________________________________________
4. Para que você utiliza?
__________________________________________________________________________
5. Você conhece algum software educacional de probabilidade ?
SIM
Qual(is)? ______________________________________
NÃO
6. Como você Explicaria as palavras, aleatório e acaso? Exemplifique.
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
7. Em 100 lançamentos de “cara ou coroa” obtêm-se 60 coroas e 40 caras. Aumentando-se o número de
lançamentos para 1000 lançamentos existirão mudanças nos números anteriores?
SIM Justifique sua escolha.
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
NÃO Justifique sua escolha.____________________________________________________________
101
_________________________________________________________________________________________
8. Ainda em relação ao item anterior se fizermos 1000000 de lançamentos em qual eventualidade você
apostaria?
a) Existirão mais coroas que caras.
b) Existirão mais caras que coroas.
c) Caras e coroas tendem a se igualar.
Explique sua escolha ______________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
9. Lançam-se ao mesmo tempo dois dados idênticos. A frase seguinte é verdadeira ou falsa? “A probabilidade
de aparecerem o numero “1” nas duas faces dos dados são as mesma para os números “5” e “6”.”
Verdadeira
Falsa
Explique sua escolha _______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
OBRIGADO POR SUA PARTICIPAÇÃO!
102
APÊNDICE B
QUESTIONÁRIO – Dissertação de Mestrado
Tema: Aplicação do software “Simulaprob” e aplicativo “Dice”
Mestrando: Rogério Delfino de Souza
QUESTIONÁRIO DE VERIFICAÇÃO DO APRENDIZADO
Este questionário faz parte da pesquisa “Jogos com Resolução de Problemas para o Estudo de Probabilidade no
Ensino Médio”, que está sendo desenvolvida pelo Prof. Rogério Delfino de Souza, da USS/Vassouras, e deverá ser
respondido pelos alunos da terceira sárie do Ensino Médio. Não é necessário se identificar. Obrigado pela
colaboração.
1) 1. A definição de probabilidade de Laplace (probabilidade clássica) é válida somente quando o Espaço Amostral
possui um número finito de elementos e os Eventos Elementares são equiprováveis?
2)
( ) pouco provável; ( ) muito provável; ( ) impossível de ocorrer;
( ) Não sei.
2. Marque verdadeiro ou falso nos exemplos de experimentos aleatórios as seguintes situações:
• Tempo de espera na fila de um banco ( )
• Horário em que irá começar a chover ( )
• O resultado da face voltada para cima no lançamento de uma moeda (
• Número de ganhadores na Mega Sena ( )
• Resultado de um jogo de roleta ou dados ( )
)
3. Podemos dizer que ao observar a tendência a estabilidade de um histograma em função do número de
experimentos (jogadas) ele aproxima-se da probabilidade clássica?
(
) pouco provável de ocorrer;
(
) Não sei.
(
) muito provável de ocorrer;
( ) impossível de ocorrer;
4. No lançamento de uma moeda honesta a probabilidade de sair cara é igual a 1/2?
(
) pouco provável de ocorrer; (
5.
) muito provável de ocorrer; (
) impossível de ocorrer; (
) Não sei.
Como pensas que devem ser os resultados ao supor o lançamento de duas moedas 10 vezes seguidas?
Anotar os possíveis resultados sem lançar nenhuma moeda. Escreva Ca para cara e Co para coroa .
103
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6. Se lançarmos duas moeda honesta 50 vezes, então a obtenção de 25 (cara, coroa) ou (coroa,cara ) é um evento:
( ) pouco provável de ocorrer; ( ) muito provável de ocorrer; ( ) impossível de ocorrer; ( ) Não sei.
7) No lançamento de um dado honesto teremos mais chances em obter a face 1 do que a face 6?
( ) pouco provável de ocorrer; (
) muito provável de ocorrer; ( ) impossível de ocorrer; ( ) Não sei.
8. Os histogramas indicam frequências de eventos da soma das faces de dois dados honestos em 5, 100 e 1000
experimentações (jogadas). Qual dos histogramas A, B ou C esta mais próximo da probabilidade clássica.
A
(
B
)
(
C
)
(
)
9. O experimento aleatório tem sua formação num conjunto circunstancial com respostas observáveis e incertas.
Em 400 repetições quando clicamos no ícone simular experimento 10 vezes a distribuição de frequência abaixo
permanecerá a mesma?
104