Potência de Ponto - NS Aulas Particulares

Potência de Ponto
1. (Ufsc 2013) Em um centro de eventos na cidade de Madri, encontra-se um mural de Joan
Miró (1893-1983) confeccionado pelo ceramista Artigas. O mural está colocado no alto da
parede frontal externa do prédio e tem 60m de comprimento por 10m de altura. A borda inferior
do mural está 8m acima do nível do olho de uma pessoa. A que distância da parede deve ficar
essa pessoa para ter a melhor visão do mural, no sentido de que o ângulo vertical que
subtende o mural, a partir de seu olho, seja o maior possível? O matemático Regiomontanus
(1436-1476) propôs um problema semelhante em 1471 e o problema foi resolvido da seguinte
maneira:
Imagine uma circunferência passando pelo olho O do observador e por dois pontos P e Q,
verticalmente dispostos nas bordas superior e inferior do mural. O ângulo α será máximo
quando esta circunferência for tangente à linha do nível do olho, que é perpendicular à parede
onde se encontra o mural, como mostra a figura. Com estas informações, calcule a que
distância OC da parede deve ficar o observador para ter a melhor visão do mural de Joan.
2. (Fuvest 2011) As circunferências C1 e C2 estão centradas em O1 e O2, têm raios r1 = 3 e r2 =
12, respectivamente, e tangenciam-se externamente. Uma reta t é tangente a C 1 no ponto P1,
tangente a C2 no ponto P2 e intercepta a reta O1O2 no ponto Q. Sendo assim, determine
a) o comprimento P1P2;
b) a área do quadrilátero O1O2 P2P1;
c) a área do triângulo QO2P2.
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3. (G1 - cftmg 2007) Na figura, AB = 4, BC = 2, AC é diâmetro e os ângulos ABD e CBD são
iguais. A medida da corda BD é
(
) 2 3+1
(
)
(
(
(9 5 )
5
) 3 2
) 2+ 5
4. (Ita 2006) Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos EA e ED
interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda AF da
circunferência intercepta o segmento ED no ponto G.
Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, então GF vale
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
5. (Unifesp 2006) Na figura, o segmento AC é perpendicular à reta r. Sabe-se que o ângulo
AÔB, com O sendo um ponto da reta r, será máximo quando O for o ponto onde r tangencia
uma circunferência que passa por A e B.
Se AB representa uma estátua de 3,6 m sobre um pedestal BC de 6,4 m, a distância OC, para
que o ângulo AÔB de visão da estátua seja máximo, é
a) 10 m.
b) 8,2 m.
c) 8 m.
d) 7,8 m.
e) 4,6 m.
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6. (Unb 1997) A partir de um ponto C, exterior a uma circunferência traçam-se duas retas
tangentes, como mostra a figura adiante. Os segmentos tangentes CR e CS, que são
necessariamente congruentes, medem, cada um, 23,5 cm. Em um dos arcos de extremos R e
S, escolhe-se, ao acaso, um ponto P, traçando-se o segmento AB, tangente a circunferência
em P.
Calcule, em centímetros, o perímetro do triângulo ABC, desprezando a parte fracionária de seu
resultado, caso exista.
7. (Cesgranrio 1997) Na figura a seguir, AB = 8 cm, BC = 10 cm, AD = 4 cm e o ponto O é o
centro da circunferência. O perímetro do triângulo AOC mede, em cm:
a) 36
b) 45
c) 48
d) 50
e) 54
8. (Mackenzie 1996) Na figura a seguir, M, N e P são pontos de tangência e a medida de OM é
16. Então o perímetro do triângulo assinalado é:
a) 32.
b) 34.
c) 36.
d) 38.
e) 40.
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9. (Mackenzie 1996) Na figura a seguir, M e N são pontos médios dos lados do quadrado
ABCD e T é o ponto de tangência. Se CT mede k, então a área do quadrado vale:
a) 2 k2
b)
3k 2
4
c) k2
k2
4
4k 2
e)
5
d)
10. (Mackenzie 1996) No triângulo da figura a seguir, a circunferência inscrita tem raio 1 e T é
o ponto de tangência.
Então o menor lado do triângulo mede:
a) 3.
20
.
7
7
c) .
2
9
d) .
2
30
e)
.
7
b)
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
12.
Utilizando uma relação métrica na circunferência, aquela relação entre secante e tangente,
temos:
CO2 = 8.18
CO = 12
Resposta da questão 2:
a) x2 + 92 = 152  x = 12
 9.12
b) A  12.3 
 90
2
y
3
c)

 3x  12  y  4
y  12 12
Logo, A =
12.(12  4)
 96
2
Resposta da questão 3:
[C]
Resposta da questão 4:
[D]
Resposta da questão 5:
[C]
Resposta da questão 6:
47 cm
Resposta da questão 7:
[E]
Resposta da questão 8:
[A]
Resposta da questão 9:
[C]
Resposta da questão 10:
[B]
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