Capa e sumário - Imecc

Francisco Magalhães Gomes
IMECC – UNICAMP
Matemática
básica
Volume 1
Operações, equações, funções e sequências
2017
Sumário
Prefácio
vii
Capítulo 1 Números reais
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1
Conjuntos de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soma, subtração e multiplicação de números reais . . . . . .
A precedência das operações e o uso de parênteses . . . . . .
Propriedades da soma e multiplicação . . . . . . . . . . . . .
Números negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Divisão e frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A divisão como um produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soma e subtração de frações com denominadores iguais . . .
Multiplicação de frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Divisão de frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Frações equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soma e subtração de frações com denominadores diferentes
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simplificação de frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Divisores, múltiplos e números primos . . . . . . . . . . . . .
Máximo divisor comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simplificação de frações usando o mdc . . . . . . . . . . . . .
Simplificação de frações durante o cálculo do produto . . . .
Mínimo múltiplo comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O uso do mmc na soma e subtração de frações . . . . . . . .
A reta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Razões e taxas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Razão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Taxa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Crescimento e decrescimento percentual . . . . . . . . . . . .
Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Expoentes negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simplificação de expressões com potências . . . . . . . . . . .
Notação científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Operações com números em notação científica . . . . . . . .
Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quadrados perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Raiz enésima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propriedades das raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Raízes como potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Racionalização de denominadores . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
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6
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14
14
15
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20
22
23
25
28
28
31
33
34
38
41
44
47
47
50
54
57
63
66
67
70
73
77
78
79
80
83
85
ii
Sumário
1.10 Unidades de medida . . . . . . . . . . . . .
Mudança de unidades . . . . . . . . . . . .
Unidades derivadas . . . . . . . . . . . . . .
Medidas imperiais . . . . . . . . . . . . . .
Unidades de armazenamento de dados . .
Operações com horas, minutos e segundos
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Capítulo 2 Equações e inequações
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Solução de equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formas abreviadas de aplicação das propriedades das equações
Proporções e a regra de três . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grandezas diretamente proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . .
Grandezas inversamente proporcionais . . . . . . . . . . . . . . .
Regra de três para grandezas diretamente proporcionais . . . .
Regra de três para grandezas inversamente proporcionais . . . .
Problemas complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Regra de três composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resolução de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resolução de problemas com o uso de equações lineares . . . . .
Sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O método da substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
União e interseção de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
União e interseção de intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inequações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resolução de problemas com o uso de inequações lineares . . .
Polinômios e expressões algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soma e subtração de expressões algébricas . . . . . . . . . . . . .
Produto de expressões algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Produtos notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reconhecendo produtos notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equações quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equações com polinômios na forma fatorada . . . . . . . . . . .
Equações com c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equações com b = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equações com todos os coeficientes não nulos . . . . . . . . . . .
Inequações quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conversão de um polinômio quadrático à forma fatorada . . . .
Solução de inequações do segundo grau . . . . . . . . . . . . . .
Equações racionais e irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Domínio de uma expressão algébrica . . . . . . . . . . . . . . . .
Operações com expressões fracionárias . . . . . . . . . . . . . . .
Equações racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equações irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inequações racionais e irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inequações racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inequações irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distância na reta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equações com valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inequações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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124
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134
134
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191
191
193
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195
202
202
204
212
212
214
218
221
225
225
231
237
241
242
246
Seção Sumário
Capítulo 3 Funções
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
Coordenadas no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Regiões do plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equações no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Solução gráfica de equações e inequações em uma variável
Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Retas no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inclinação de uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equação da reta a partir da inclinação e do intercepto-y .
Equação da reta a partir da inclinação e de um ponto . . .
Equação da reta que passa por dois pontos conhecidos . .
Retas horizontais e retas verticais . . . . . . . . . . . . . . .
Traçado do gráfico de equações lineares . . . . . . . . . . .
Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definição de função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Domínio e imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gráficos de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Obtenção de informações a partir do gráfico . . . . . . . . .
Valor da função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Domínio e conjunto imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeros da função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intervalos de crescimento e decrescimento . . . . . . . . . .
Máximos e mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funções usuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Função linear e função afim . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Função potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Função raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funções recíprocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funções definidas por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Função valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transformação de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Deslocamento vertical e horizontal . . . . . . . . . . . . . .
Reflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esticamento e encolhimento . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Combinação e composição de funções . . . . . . . . . . . . .
Composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erros a evitar na manipulação de funções . . . . . . . . . .
255
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Capítulo 4 Funções polinomiais
4.1
4.2
4.3
iii
Funções quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gráfico das funções quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forma canônica da função quadrática . . . . . . . . . . . . .
Ponto de máximo ou de mínimo de uma função quadrática .
Inequações quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Divisão de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algoritmo de Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teorema do resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeros reais de funções polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . .
Fatorações sucessivas usando a divisão de polinômios . . . .
Número de zeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Determinação aproximada de zeros de funções polinomiais .
Inequações polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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283
284
285
286
287
288
295
297
300
302
306
306
307
309
310
311
313
321
321
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324
326
329
336
336
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380
386
389
391
393
396
399
402
iv
Sumário
4.4
4.5
4.6
4.7
Gráficos de funções polinomiais . . . . . . . . .
Continuidade e suavidade . . . . . . . . . . . . .
Comportamento extremo . . . . . . . . . . . . .
Máximos e mínimos locais . . . . . . . . . . . .
Números complexos . . . . . . . . . . . . . . . .
Raiz quadrada de números negativos . . . . . .
Número complexo . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soma e subtração de números complexos . . . .
Multiplicação e divisão de números complexos
Zeros complexos de funções polinomiais . . . .
Teorema fundamental da álgebra . . . . . . . .
Multiplicidade de zeros e pares conjugados . .
Ajuste de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Coeficiente de determinação . . . . . . . . . . .
Ajuste de curva polinomial . . . . . . . . . . . .
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Capítulo 5 Funções exponenciais e logarítmicas
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gráfico da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funções injetoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definição de função inversa . . . . . . . . . . . . . . . .
Inversa da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . .
Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gráfico da função exponencial . . . . . . . . . . . . . .
Transformações da função exponencial . . . . . . . . .
Aplicação da função exponencial . . . . . . . . . . . .
Função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Operações com logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . .
Logaritmos usuais e mudança de base . . . . . . . . .
Gráfico da função logarítmica . . . . . . . . . . . . . .
Transformações e composições da função logarítmica
Equações exponenciais e logarítmicas . . . . . . . . . .
Expansão e contração de expressões logarítmicas . . .
Equações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equações logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erros a evitar na manipulação de logaritmos . . . . .
Inequações exponenciais e logarítmicas . . . . . . . . .
Inequações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inequações logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problemas com funções exponenciais e logarítmicas .
Gráficos em escala logarítmica . . . . . . . . . . . . . .
Novos ajustes de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ajuste com uma função exponencial . . . . . . . . . .
Ajuste com uma função potência . . . . . . . . . . . .
Linearização do ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6.2
6.3
6.4
Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sequências definidas recursivamente . . . . . . .
Determinação do termo geral . . . . . . . . . . . .
Somatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propriedades do somatório . . . . . . . . . . . . .
Progressões aritméticas . . . . . . . . . . . . . . .
Soma dos termos de uma progressão aritmética .
Progressões geométricas . . . . . . . . . . . . . . .
409
410
411
414
420
421
422
423
426
432
432
434
438
441
442
449
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Capítulo 6 Sequências e progressões
6.1
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456
458
463
465
468
470
475
478
481
483
485
490
490
493
496
501
504
505
508
512
518
524
525
526
527
535
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540
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545
551
556
563
Seção Sumário
6.5
Soma dos termos de uma progressão geométrica .
Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séries geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aplicações financeiras . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valor futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valor presente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valor futuro de um investimento constante mensal
Valor presente de prestações . . . . . . . . . . . . .
Índice Remissivo
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v
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583
586
593
Prefácio
Os cursos de engenharia e de ciências exatas das universidades brasileiras incluem,
em seus primeiros semestres, disciplinas de cálculo, equações diferenciais, geometria
analítica e álgebra linear. Além disso, os currículos de muitos cursos superiores de
ciências humanas e biológicas possuem alguma disciplina básica de matemática, com
tópicos selecionados de cálculo e álgebra.
Ao contrário do que acontece em outras áreas do conhecimento, para obter um
bom desempenho nas disciplinas iniciais de matemática dos cursos universitários, os
estudantes precisam ter uma base sólida em tópicos que vão das operações aritméticas
básicas às funções, e da geometria à trigonometria. Esse livro é fruto de cinco anos
do esforço para criar um texto adequado a essa preparação.
Além dos jovens que ingressam em cursos universitários, o público-alvo do livro
inclui pessoas que queiram empregar a matemática para analisar os dados, tabelas e
gráficos com os quais somos bombardeados todos os dias, ou que desejem criar seus
próprios modelos matemáticos. A intenção foi criar um texto com um caráter prático,
combinando aplicações com um grande número de exemplos de fixação das técnicas
de manipulação de expressões, equações e funções matemáticas.
O livro é composto por seis capítulos, que tratam de operações, equações, funções
e sequências. Cada capítulo é dividido em seções numeradas, as quais incluem um
bom número de exercícios, quase todos com resposta. Os capítulos estão encadeados,
de modo que o conteúdo do primeiro é essencial para a compreensão de todos os
demais. Portanto, recomenda-se que o leitor só deixe de ler uma seção se tiver certeza
de que domina seu conteúdo.
Em geral, os assuntos são abordados à medida que são necessários. Assim, por
exemplo, as funções inversas são introduzidas no capítulo sobre funções exponenciais
e logarítmicas, em lugar de fazerem parte do capítulo sobre funções em geral. Além
disso, embora as demonstrações formais tenham sido evitadas para que o livro fosse
acessível a um público mais amplo, os principais resultados matemáticos apresentados
são acompanhados de breves explicações e exemplos, com o propósito de permitir que
o leitor compreenda como foram obtidos.
Para auxiliar a leitura, foram incluídos comentários, explicações, referências, curiosidades e figuras à margem do texto. Observações e explicações breves são apresentadas em azul. Comentários e dicas mais relevantes aparecem em caixas verdes. Já
as advertências são mostradas em caixas vermelhas. Os quadros com fundo amarelo
que aparecem ao longo do texto dão destaque a definições, propriedades e roteiros
de resolução de problemas, que servem de referência e podem sem consultados com
frequência pelo leitor.
Esse livro não cobre todos os tópicos de um curso de matemática básica. Um segundo volume abordará geometria plana e espacial, trigonometria, matrizes, sistemas
lineares e geometria analítica, temas igualmente importantes na preparação para as
disciplinas de matemática dos cursos superiores.
Como mensagem final ao leitor, lembro que o nosso progresso pessoal e profissional se baseia no conhecimento, um ingrediente fundamental para que nos tornemos
verdadeiramente independentes. Isso é particularmente relevante quando se trata de
matemática, pois é nela que se fundamenta grande parte da ciência e das decisões que
viii
Prefácio
nos afetam cotidianamente. Entretanto, “conhecer” não é sinônimo de “decorar”. Em
lugar de decorar como resolver um problema específico, deve-se tentar compreender
completamente seu enunciado e a lógica envolvida em sua resolução. E não basta
acompanhar a resolução impressa no livro. Para dominar um tópico é preciso pôr em
prática o que se lê, pois é só com a experiência que se aprende como lidar com as
sutilezas dos problemas e que se adquire intuição matemática. E se um caminho não
der frutos, deve-se tentar outros, uma vez que não há satisfação maior do que aquela
decorrente da percepção de que se é capaz de superar as dificuldades, ainda que estas
pareçam pequenas.
Boa leitura!
Francisco A. M. Gomes