Relatividade e Eletromagnetismo

Relatividade e Eletromagnetismo
Relatividade Restrita

Mecânica relativística

Eletrodinámica relativística

Referências:
D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice­Hall, 1999

C. Schiller, Motion Mountain – The Adventure of Physics, 
http://www.motionmountain.net/
Usenet Physics FAQ, http://math.ucr.edu/home/baez/physics/

Luz
É o que vemos;

É com referência a luz que definimos o que é reto;

Foi usado antigamente para medir o tempo;

Atualmente usamos para medir o tempo com precisão (frequência de transição em Ce­

133);
Atualmente é usado para medir distâncias e comprimentos com precisão.

A luz tem um papel importante na maioria das observações que fazemos, das mais mundanas às mais exatas.
A luz se move?
Será que a luz é um fenómeno de movimento? SIM!
Os gregos reconhecerem luz com uma entididade que se move através das sombras: o andamento da luz da sua fonte é bloqueiado por um objeto opaco, formando uma região de sombra. O pensador grego Empedocles (c. 490 a c. 430 A.C.) concluiu que a luz deve levar um certo tempo para se mover da sua fonte até uma superfície qualquer – isto é, que a luz deve ter uma velocidade finita. Porém, a velocidade é muita alta.
Primeiras medidas da velocidade de luz 1668 ­ 1676
Jupitor e Io (2a med.)
Terra (2a med.)
Sol
Terra (1a med.)
Jupitor e Io (1a med.)
Idéia do astrónomo italiano Giovanni Cassini;

Tentativa feita pelo astrónomo dinemarquês Ole Rømer, ex­assistente de Cassini;

Rømer não conseguiu um resultado porque não teve um valor confiável para a distância 
até Jupitor e porque suas medições do tempo foram imprecisas;
Estas deficiências foram sanadas por Christian Huygens e por Edmund Halley poucos 
anos depois;
Desde aquela época é sabido que a luz leva um pouco mais do que 8 minutos para chegar 
do Sol até a Terra.
Segunda medida da velocidade de luz 1726
c
c
Terra
v
Bradley:
c = v / tan Perspectivo da chuva
v = 2R / T
= 30 km/s
Sol
v
Perspectivo da luz
c
c = 3.0 x 10 8 m/s
Terra
c
v
v
Perspectivo do andador
Sol
Perspectivo da gente
Método do 'andador na chuva' do astrónomo inglês James Bradley. O ângulo de desvio é chamado a aberração da luz. Seu valor é aproximadamente 20.5'', ou 10­ 4 rad.
Medição precisa da velocidade de luz
1849
Espelho semi­prateado
Espelho
Fonte de luz
Medição feito pelo físico francês Hippolyte Fizeau;

Ele mandou um pulso de luz para o espelho e mediu o tempo que levou para ir e voltar;

Ele conseguiu um valor para a velocidade de luz apenas 5% maior do que o valor moderno. 
As equações de Maxwell
Lei solenoidal
Lei de Faraday
Lei de Gauss
Lei de Ampère­Maxwell
James Clerk Maxwell, um físico­matemático escocês, unificou a eletricidade, o magnetismo e a 
óptica na sua forma atual;
Ele demonstrou que os campos elétricos e magnéticos propagam com a velocidade de luz e 
apresentou a luz como um efeito eletromagnetico;
Em 1864, demonstrou que as forças elétricas e magnéticas tem a mesma natureza – uma força 
elétrica em uma referencial pode tornar­se uma força magnética em outra, e vice­versa.
Soluções oscilatórias
Maxwell determinou que suas equações possuem soluções oscilatórios que propagam com a velocidade de luz e naturalmente associou estas ondas eletromagnéticas com a luz. Em 1881, Hertz criou e detectou ondas eletromagnéticos de comprimento de onda muito maior – as ondas de rádio.
O grande problema com as ondas eletromagnéticas foi que não se conhecia a matéria que oscilava para fazer estas ondas. Todo tipo de onde conhecido na época envolvia a oscilação de algum substrato material:
ondas numa corda;

ondas sonoras no ar ou em sólidos

ondas em água.

Consequentemente, foi suposto a existência de uma substância cuja oscilação resultava em ondas eletromagnéticas – o éter. E procurava­se sinais que esta substância se comportava como os outros substratos de ondas. Em particular, procurava­se anisotropias na velocidade de luz, que assinalaria diferenças no movimento com respeito ao éter. A experiência de Michelson­Morley
Éter
Terra
O propósito das experiências de Michelson (1881) e de Michelson e Morley (1887) foi de Sol
Terra
medir a variação da velocidade de luz devido a movimento relativo ao éter.
Espelho
As experiências procuraram medir a interferência entre duas partes de um feixe de luz coerente que tinham propagadas ao longo de caminhos de comprimentos Fonte de luz coerente
iguais mas em direções diferentes com Espelho
respeito ao éter. O resultado foi nulo.
Detetor
Coincidência?
A lei de força de Lorentz refer a 'a' velocidade da carga. Assim, a lei faz aparecer que existe um sistema de referência única na qual as leis de eletromagnetismo são válidas. Porém, considere a seguinte coincidência:
v
fio
ímã
fio
v
ímã
Aqui, pela lei de Lorentz,
Aqui,v=0. Mas pela Lei de Faraday,
uma força eletromotriz é gerada no fio que pode ser escrita em temos do fluxo magnético como
uma força eletromotriz é gerada no fio que pode ser escrita em temos do fluxo magnético como Einstein citou esta coincidência no primeiro parágrafo do seu trabalho de 1905 sobre a relatividade restrita.
Relatividade restrita
Assim, existiam duas evidências que a velocidade de luz deve ser invariante – as experiências de Michelson e Morley e as próprias leis de Maxwell. Porém, estas evidências não estão consistentes com a mecânica não­relativística. Os maiores físicos da época se esforçaram em tentativas de reconciliar as duas teorias até 1905, quando Albert Einstein publicou seu trabalho famoso.
Einstein propus dois postulados no seu trabalho:
O princípio de relatividade – As leis de física são 
aplicáveis em qualquer sistema de referência inercial;
A invariança da velocidade de luz – A velocidade de luz é 
a mesma para qualquer observador inercial, independente do movimento da fonte.
Uma das consequências fundamentais destes postulados é que conceito de simultaneidade perdeu seu sentido. A relatividade de simultaneidade
v
v
Consider um vagão de trem que se move a velocidade constante numa trilha reta. Quando uma lâmpada pendurado no centro da vagão é ligada, a luz espalha em todas as direções a velocidade c. Um observador no trem conclui que a luz alcance a frente e o fundo do vagão 
simultaneamente.
Um observador parado no chão conclui que a luz alcance o fundo da vagão antes que alcance 
a frente, porque o trem se move enquanto a luz propaga, diminuindo a distância até o fundo do vagão e aumentando a distância até a frente.
Dois eventos que são simultâneos em um sistema inercial não são necessariamente simultâneos em um outro sistema.
Dilatação do tempo
h
h
v t
v
v
Considere agora um raio de luz que atinge o chão do vagão diretamente abaixo da lâmpada. Quanto tempo este leva para alcançar o chão?
Para o observador no trem, a reposta é facil:
Para o observador no chão, o raio demora mais, porque o trem está em movimento:
Assim, temos
e
Relógios em deslocamento andam mais lentos.
Verificação experimental da dilatação do tempo
detetor alto
muons
Muons são partículas elementares que são formadas continuamente na atmosfera alta por raios côsmicos. Um muon em repouso tem uma meia­vida de 2,2 s . Isto é equivalente a uma distância de 660 m na velocidade de luz. Depois deste tempo, metade dos muons iniciais tem detetor baixo
decaídos. B. Rossi e D. B. Hall (Phys. Rev. 59, 223 (1941)) mediram o fluxo de muons com velocidades entre 0,9950c e 0,9954c a um altura de 1,9 km e ao nível do mar. Usando a meia­vida de muons em repouso, apenas 13% dos muons observados no detetor alta alcançaria o detetor baixo. Porém, 82% dos muons chegaram em baixo, devido ao diferença de tempo de aproximadamente 0,62 s , no sistema de referência dos muons, em acordo com o efeito de dilatação do tempo. Simetria da dilatação do tempo
Visto do chão:
Visto do trem:
Relógio no trem
Relógio no chão A
Relógio no trem B
Relógio no chão B
Relógio no trem A
Relógio no chão
O observador no chão usa dois relógios sincronizados, em pontos A e B, e marca o tempo quando 
o relógio do trem passa ponto A e depois ponto B;
O observador no trem usa dois relógios sincronizados, em pontos A e B, e marca o tempo quando 
o relógio do chão passa ponto A e depois ponto B;
Ambos vão concluir que o relógio do outro anda mais lentamente. Também vão concluir que o outro fez uma comparação errônea por não ter usado relógios sincronizados.
O paradoxo dos gêmeos
Fim
Vamos supor que um de um par de gêmeos faz um viagem espacial a velocidade próximo a velocidade próximo a velocidade de luz e volta anos depois para encontrar seu par. Devido a dilatação do tempo, o gêmeo que viajou Virada voltaria mais jovem do que o gêmeo que ficou. tempo
Gêmeo 1
Gêmeo 2
E a simetria da dilatação do tempo? Do ponto de visto do gẽmeo que viajou, o gêmeo que ficou aproveitou da espaço
dilatação de tempo para permanecer mais jovem. Início
Neste caso não há simetria, porque o gêmeo que viajou necessariamente teve que acelerar para se separar do outro. O gêmeo que viajou teve que ter, no caso mais simples, dois sistemas inerciais diferentes para se afastar e depois voltar. Uma consequência disto é o grande intervalo nos tempos que ele considera simultâneos, mostrados pelas linhas azuis. Para mais detalhes veja, o Usenet Physics FAQ.
Contração de comprimento
v t
1
v t
2
v
v
Considere uma lâmpada no fundo do vagão que emite um raio que reflete de um espelho na frente da vagão e volta. Quanto tempo leva para a luz ir e voltar?
Para um observador no Para um observador no chão, o raio demora mais para ir mas trem, a reposta e fácil:
menos para voltar, por causa do movimento do trem:
or
Contração de comprimento (cont.)
Para um observador no trem:
Para um observador no chão:
Devido a dilatação do tempo, temos Temos então
O comprimento do vagão é mais curto quando medido pelo observador no chão do que quando medido pelo observador no vagão.
Objetos em movimentos são contraídos em comprimento. Este efeito é chamado contração de Lorentz.
A escada e o celeiro
Um fazendeiro tem uma escada que é comprida demais para armazenar no celeiro. Aproveitando da contração de Lorentz, ele Vistos de cima
pede sua filha veloz de correr com a escada para dentro do celeiro para ele poder fechar a porta e guardar a escada. Ela, por outro lado, diz que não vai dar certo, porque quando ela corre com a escada é o celeiro e não a escada que encolhe. Quem está certo? Ambos! É uma questão de prespectiva. O comprimento da escada (ou do celeiro) é a distância entre suas extremidades a um mesmo instante de tempo. Para decidir se a v
escada cabe no celeiro ou não, temos que examinar:
o tempo em que a extremidade A da escada alcance a parede do 
celeiro e
o tempo em que a extremidade B entra na porta do celeiro.

Simultaneidade destes tempos depende do sistema inercial.
v
Contração de Lorentz
A contração de Lorentz encurta um objeto em movimento apenas na direção do movimento.
Dimensões perpendiculares ao movimento não são contraídas.
v
v
Considere uma linha vermelho pintado a uma altura de 1 m no muro ao lado da trilha por uma pessoa no chão e uma linha azul pintado na mesma altura por alguem no trem. Se a dimensão fosse contraído, o observador no chão veria a linha azul pintado pelo observador no trem abaixo da linha vermelho, enquanto o observador do trem veria a linha vermelho abaixo da linha azul. A única maneira dos dois estar certos é se a linhas se sobrepoem. Isto é, não há contração de Lorentz nesta direção.
As transformações de Lorentz
Um processo físico consiste em um ou mais eventos, onde um evento é um acontecimento a um posição específica (x,y,z) a um tempo específico (t). Aqui construimos a transformação das coordenadas (x,y,z,t) de um evento em um sistema inercial S para as coordenadas (x',y',z',t') do mesmo evento em outro sistema inertial S'.
Orientamos os eixos tal que o sistema S' se desloca do sistema S ao longo do eixo x com velocidade v e que os eixos O e O' coincidem y y'
v
d
O
z
z'
a t=0.
O'
x
E
No instante t do evento E, O' está a uma distância vt de O. Assim, A'
x x'
onde d é a distância de O' a A' a tempo t. Agora, observamos que d é a distância de O' a A' medida em S, enquanto x' é a distância de O' a A' medida em S'. Assim, x' é contraído a d em S, Substituindo, temos
As transformações de Lorentz
Para obter a transformação em tempo t, consideramos o y y'
v
transformação contrária em x. Assim, no instante t' do evento E, O' está a uma distância vt' de O e O
z
z'
x' E
O'
d'
A
x
onde d' é a distância de O a A a tempo t'. Aqui, d' é a distância de O x'
a A medida em S', enquanto x é a distância de O a A medida em S. Assim, x é contraído a d' em S', . Substituindo, temos .
Junto com a equação , podemos resolver para t ou para t' e completar as equações da transformação de Lorentz. De S para S':
De S' para S:
As coordenadas perpendiculares ao movimento não mudam.
Sincronização e dilatação de tempo x=0
x'=0
Considere um sequência de No sistema S', seu tempo t' varia de relógios no eixo x do sistema S acordo com a sua posição:
v
sincronizados em t=0.
Os relógios em x>0 são atrasados e os em x<o adiantados.
Considere agora um relógio fixo a um ponto x' no sistema em movimento S'. Quando observado durante um intervalo ∆t do sistema S, o tempo decorrido no relógio em movimento será
Assim, recuperamos a expressão para dilatação do tempo Contração de Lorentz S'
S
x'e
x'd
xe
xd
v
Considere um objeto em movimento ao direito com velocidade v. Seu comprimento de repouso, isto é, seu comprimento em S', é dado por
onde d e e significam direito e esquerda. Um observador no sistema S mede as posições extremas do objeto a um instante do seu tempo t,
Usando recuperamos a expressão para a contração de Lorentz, . , .
A transformação de velocidades
Suponha que a velocidade de uma partícula no sistema S é No sistema S', a partícula se desloca
no tempo Sua velocidade em S' é Devido à transformação do tempo, componentes da velocidade perpendiculares a direção da transformação também são transformadas Quando u = c, u' = c.
Espaço de Minkowski
A transformação de Lorentz toma uma forma mais simples se escrevermos todos as coordenadas nas mesmas unidades. Definimos e renomeamos os coordenadas espaciais
As equações da transformação de Lorentz se tornam
Espaço de Minkowski
Podemos escrever as equações da transformação em forma matricial como
e resumí­las na forma compacta como
Escrita desta maneira, a transformação é muito aparecida com a forma geral de uma rotação em 3­D
De fato, uma transformação de Lorentz pode ser considerada como uma rotação generalizada – entre o espaço e o tempo. A geometria do espaço­tempo
Da mesma maneira que podemos definir um 3­vetor como qualquer conjunto de 3 componentes que transforma sob rotações como (x, y, z), podemos definir um 4­vetor como qualquer conjunto de 4 componentes que transforma como (x0, x1, x2, x3) sob transformações de Lorentz,
ou no caso de uma transformação de Lorentz ao longo do eixo x
Em analogia ao produto escalar de 3­vetores que é invariante sob rotações podemos definir um produto escalar de 4­vetores que é invariante sob transformações de Lorentz (incluindo rotações)
A geometria do espaço­tempo
Por causa do sinal de menos no produto escalar, é conveniente introduzir um vetor covariante a que é relacionado com o vetor contravariant a por
O produto escalar pode ser escrito em termos dos dois como ou, simplesmente,
Dado dois eventos A e B, com
e
podemos definir o 4­vetor de deslocamento entre os dois
e o intervalo invariante entre os dois
Diagrama de espaço­tempo
O intervalo invariante entre os eventos A e B
x0 = ct
Futuro
com
contém informação física sobre os eventos.
Nomeamos os tipos de intervalo de acordo com Presente
'spacelike'

'lightlike'
Passado
'timelike'

Quando o intervalo é 'timelike', podemos distinguir entre o futuro e o passado x
linha de mundo
seu sinal:

Presente
Mecânica Relativística
Quando um partícula se movimenta no espaço tempo com velocidade u , seu relógio interno anda mais lentamente do que um relógio em repouso. O tempo interno é chamado tempo próprio Em termos do tempo próprio, podemos definir a velocidade própria que em termos da velocidade ordinária A velocidade própria pode ser estendida a um 4­vetor,
com componente 0:
A velocidade própria transforma com um 4­vetor
é tem norma invariante
é
Energia e momento Em mecânica clâssica, o momento é definido como o produto da massa e da velocidade. Para ter uma quantidade que transforma como um 4­vetor, fica claro que devemos usar a velocidade própria em vez da velocidade ordinária
O componente temporal do 4­vetor de momento é
Associamos este com a energia relativística
A energia relativística é não­nula, mesmo quando a massa está em repouso,
O resto da energia, que atribuimos ao movimento, é a energia cinética,
Conservação de energia e momento Em qualquer sistema fechado, o 4­vetor de energia e momento total é conservado .
Nota que distinguimos entre uma quantidade invariante, que é igual em qualquer sistema inercial, e uma quantidade conservada, que é igual antes e depois de qualquer processo físico.
O 4­vetor de energia momento é conservado mas não é invariante. O produto escalar do momento com si mesmo
ou,
fornece a massa m como uma quantidade invariante,. Em um sistema fechado, tanto o 4­vetor de energia e momento total quanto a sua massa são conservados.
Partículas sem massa
Para uma partícula com massa nula, temos para o produto do seu momento consigo mesmo,
ou
Das definições da velocidade própria e do momento, verificamos que podemos recuperar o valor da velocidade ordinária de um objeto como
Para uma partícula de massa nula, temos Uma partícula de massa nula, como o fóton, podem ser acelerada ou deceleradas – sua energia e momento podem mudar – mas sua velocidade sempre será a velocidade de luz. Pode dizer que tais partículas são movimento puro.
Duas partículas
Laboratório
p, m
Centro de massa
pc, m
m
pc, m
Devido à invariança da massa, as massas nos dois sistemas são iguais e
e
Em colisões de partículas, apenas a energia no sistema do centro de massa está disponível para contribuir à reação. O resto está presa no movimento conservado. É por isto que aceleradores modernos usam colisões de dois feixes e não alvos fixos. Um deuteron é um núcleo formado de um neutron e um proton de massas (quase) iguais. No sistema do centro de mass, sua massa invariante quadrada é onde B é a sua energia de ligação.
Uma colisão elástica
Centro de massa
Laboratório
pc, m
p1, m


p2, m
pc, m


A conservação de energia e momento depois da colisão fica clara no sistema do centro de massa. A forma explicita da transformação de Lorentz é necessária para voltar para o sistema do laboratório.
Com um pouco de esforço, é possível mostrar (no caso de duas massas iguais) que
onde  é o fator de Lorentz da transformação. Para colisões não­relativísticas, temos
Mas em geral,
Dinâmica relativística
A segunda lei de Newton é válida em mecânica relativística (e consistente com a conservaçõ de momento em um sistema fechado), quando o momento relativístico é usado,
O trabalho continua a ser definido em termos da integral de linha da força,
Assim podemos mostrar que a teorema de trabalho e energia (o trabalho feito numa partícula é igual ao aumento na sua energia cinética) continua a valer. Temos
e
Dinâmica relativística
Assim, temos
Podemos tomar para as equações de movimento do 4­vetor de momento A terceira lei de Newton – a de ação e reação – não continua válida em mecânica relativística, em geral. Quando os dois objetos em questão são separados, a aplicação do lei traz a questão do tempo da ação e reação. Como vimos, simultaneidade é um conceito relativo para objetos separados. A terceira lei vale apenas quando as duas forças são aplicadas no memso ponto ou no caso trivial de uma força constante.
Uma força constante
Consideramos uma massa m sujeito a uma força constante F e supomos que ela está em repouso a x=0 em t=0. Temos Desde que p=0 em t=0, temos
ou
Integrando novamente, temos
x
Clássico
(parabólico)
Relativístico
(hiperbólico)
ct
Este movimento ocorre, por exemplo, quando uma partícula carregada está num campo elétrico uniforme.
Transformação da equação de movimento
As equações de movimento na forma são faceis de entender, mas não transformam bem sob transformações de Lorentz. Por exemplo, sob uma transformação na direção x,
com o componente da força na direção x mais complicado ainda.
Uma maneira de evitar esta complicação é de usar a força 'própria', que é igual à deriva do momento com o tempo próprio,
com componentes
A qual das duas forças corresponde uma força clássica ­ ordinária ou de Minkowski?
Eletrodinâmica relativística
Diferente da mecânica, eletrodinâmica já é consistente com a relatividade restrita. As equações de Maxwell e a força de Lorentz podem ser aplicado em qualquer sistema inercial. O que é visto com um processo elétrico em um referencial pode se tornar um processo magnético em outro, mas o movimento de partículas será o mesmo nos dois. Com a mecânica corrreta, é possível desenvolver uma formulação completa e consistente de eletrodinâmica. Porém, esta reformulação nào modifica as leis de eletrodinâmica, apenas expressa as na linguagem de relatividade restrita. Eletrostática + relatividade ­> magnetismo
S:
v
­

­
+ +
s

q
­
S':
­
+
+
v­
v
s
u
 ­ ­ ­
­ ­ ­

+
+
v+
q
Considere um condutor com uma cadeia de cargas positivas se movendo à direita com velocidade v e uma cadeia de cargas negativas se movendo à esquerda com a mesma velocidade v. Supomos que as duas cadeias de cargas podem ser consideradas densidades de carga de linha, e ­ , respectivamente. Introduzimos uma carga q a um distância s do condutor que se move à direita com velocidade u<v. As cargas em linha fornecem uma corrente mas não há qualquer força elétrica na carga q porque as cargas em linha se cancelam.
Eletrostática + relatividade ­> magnetismo
S:
v
­

­
+ +
s

q
­
S':
­
+
+
v­
v
s
u
 ­ ­ ­
­ ­ ­

+
+
v+
q
Agora considere a mesma situação no sistema S', no qual a carga q está em repouso. As velocidades das cargas em linha são Desde que v­ > v+, a contração de Lorentz é maior para as cargas negativas do que para as cargas positivas. Existe então uma carga negativa residual no condutor. Para calculá­la, usamos
com
Eletrostática + relatividade ­> magnetismo
S:
v
­

­
+ +
s

­
­
+
q
S':
+
v­
v
s
u
 ­ ­ ­
­ ­ ­

+
q
Com um pouco de álgebra, obtemos e a densidade carga residual
A carga residual cria um campo elétrico e uma força na carga q no sistema S',
que, em S, tem a forma,
onde usamos
+
v+
Transformação dos campos eletromagnéticos
Nos supomos que carga é invariante. Como a massa, a carga de um objeto é um número independente da sua velocidade. Os campos elétrico e magnético, porém, se transformam, como vimos no exemplo anterior. Supomos que a transformação não depende de como os campos form produzidos, Se isto não fosse o caso, não faria sentido falar em campos. Assim podemos escolher as configurações mais simples dos campos para analisar as transformações. Transformação do campo elétrico
y0
S0:
S:


z0
w
y

v0
x0

v0
l0
z
w
x
l
Um capacitor em repouso em S0 que carrega densidades de carga superficial ±0 tem um campo elétrico entre as placas dado por
Pela lei de Gauss, o campo elétrico no sistema S, onde as placas estão em movimento, é dado por
A carga total em cada placa é invariante e a largura w não muda. O comprimento, l0, porém, sofre uma contração de Lorentz, tal que
Assim,
Transformação do campo elétrico
y0
S0:
S:
 
 
v0
x0
y
x
z
z0
Quando as placas são perpendiculares ao velocidade, apenas a distância entre eles sente a contração de Lorentz. Mas o campo elétrico não depende desta distância. Assim, Em resumo, podemos dizer que o campo elétrico de uma distribuição de cargas inicialmente me repouso transforma como
e
Transformação dos campos eletromagnéticos
y0
S:
S':
v0


z
w
y'
v' (v relativa S)
'
x
'
l
z'
w
x'
l'
Para obter a regras gerais de transformação, precisamos começar com um sistema que tem ambos os campos – o elétrico e o magnético. O sistema S serve. Tem um campo elétrico e um campo magnético devido as correntes de superfície, Pela lei de Ampère, o campo magnétic está na direção z com
No sistema S', a velocidade v com respeito a S, os campos são
onde
O que precisamos fazer agora é expressar os campos em S' em termos dos campos em S.
Transformação dos campos eletromagnéticos
O primiero passo em relacionar os campos é de escrevé­los como
Com um pouco de álgebra, obtemos com
Então, temos
e
Usando a identidade
Transformação dos campos eletromagnéticos
S:
y
Para determinar a transformação em Ez e By, alinhamos as v0

placas do capacitor no plano xy. Então

x
e, da mesma maneira que antes, obtemos
z
y

v0

Usando a terceira configuração, com as placas do capacitor no plano yz, vimos que componente do campo elétrico paralelo à velocidade da transformação não é modificado. x
z
Esta configuração não produz um campo magnético.
Transformação dos campos eletromagnéticos
y
x
Para obter a regra de transformação do componente do campo magnético paralelo à velocidade da transformação, considere um solenoide longo alinhado no eixo x e em repouos no sistema S. z
O campo magnétic dentro do solenoide pode ser escrito em termos da corrente I e o número de espiras por unidade de comprimento n como
No sistema S', o comprimento contrai. Assim, O tempo dilata também. Desde que é o relógio de S que está no sistem do solenoide em repouso, é este que anda mais lentamente. Assim, a corrente (carga por unidade de tempo) transforma como Vemos que os dois fatores cancelam e concluímos que o campo magnético paralalo à velocidade da transformação também nào é modificado. Temos
Transformação dos campos eletromagnéticos
Podemos resumir as regras de transformação como
ou como Uma carga puntiforme
Considere uma carga puntiforme q em repouso no origem em S. Seus campos eletromagnéticos são
Queremos obter os campos em um sistema de referência S' que se move na direção x>0 com velocidade v. Usamos para escrever os novos campos nas velhas coordenadas,
Escrevemos as velhas coordenadas em termos das novas
e obtemos
Potenciais eletromagnéticos
Os campos eletromagnéticos normalmente podem ser escritos em termos de potenciais como
Os potenciais podem ser escritos como um 4­vetor
Para reescrever as expressões para os campos em termos de 4­vetores, usamos
Temos então
Estas expressões deixam claro que os campos eletromagnéticos podem ser unificados em um tensor antisimétrico
O tensor eletromagnético
Os componentes do tensor eletromagnético são
Tanto o 4­vetor dos potenciais eletromagnéticos quanto o 4­vetor de derivadas transformam como tal sob transformações de Lorentz,
O tensor eletromagnético, então, se transforma como
Esta equação fornece as mesmas expressões que obtivemos antes para a transformação dos componentes dos campos eletromagnéticos.
A força de Lorentz
Queremos reformular a força de Lorentz e as equações de Maxwell em terrmos do tensor eletromagnético,
Começamos com a força de Lorentz. Comparando componentes, verificamos que
De outros argumentos, (acoplamento mínimo), identificamos a força de Minkowski como
e a força ordinário como
As fontes das equações de Maxwell
Antes de reformular as equações de Maxwell em termos do tensor eletromagnético, vamos unificar as fontes dos campos em um 4­vetor. Considere um nuvem de carga e analise em um volume infinitesimal V contendo uma carga Q e se movendo a velocidade u. Temos para suas densidades de carga e corrente
Expressamos estas densidades em termos da densidade de carga própria, isto é, a densidade de carga no sistema de repouso,
Devido a contração de Lorentz, e, assim,
Reconhecendo os componentes da velocidade própria, podemos escrever
As fontes das equações de Maxwell
Conservação de carga implica que as densidades de carga e corrente satisfazem uma equação de continuidade,
Temos tal que, usando
temos, para a equação de continuidade,
As equações de Maxwell
Analisamos primeiro as equações homogêneas em termos do tensor eletromagnético,
Verificamos que a equação solenodial pode ser escrita como
enquanto os três componentes da equação de Faraday podem ser escritas como
Podemos unir estas em uma equação,
Nota que esta equação é automaticamente satisfeita quando
As equações de Maxwell
Uma outra maneira de escrever a equação homogênea de Maxwell e
onde o tensor completamente antisimétrico é
Uma alternativa é de definir outro tensor – o tensor dual que satisfaz a equação As equações de Maxwell
Analisando agora as equações de Maxwell com fontes, em termos do tensor eletromagnético, verificamos que a lei de Gauss pode ser escrita como
enquanto os três componentes da equação de Ampère­Maxwell tomam a forma
Obviamente podemos unificar estas na equação
As equações de Maxwell
Assim, em notação relativística, as equações de Maxwell tem a forma simples
e
Quando escrevemos o tensor eletromagnético em termos dos potenciais,
a equação homogênea é satisfeita automaticamente e a equação não homogênea se torna Para simplificar esta equação, lembramos que o tensor eletromagnético é invariante sob uma transformação de calibre dos potenciais
Se nos escolhemos a condição de calibre de Lorentz,
a equação de Maxwell reduz a