Manuel Máximo Bastos Malheiro de Oliveira

Anais do 14O Encontro de Iniciação Científica e Pós-Graduação do ITA XIV ENCITA / 2008
Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP, Brasil, Outubro, 20 a 23, 2008.
Eletrodinâmica Relativistia
Rodolfo Ramos de Carvalho
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Bolsista PIBIC-CNPq
[email protected]
São José dos Campos, SP
Manuel Máximo Malheiro
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
[email protected]
São José dos Campos, SP
Resumo. Neste trabalho vamos estudar a relação entre relatividade e o eletromagnetismo. Apresentaremos os princípios básicos da
relatividade dando ênfase ao caráter unificado do espaço-tempo que não são mais independentes e se relacionam pelas transformações de
Lorentz. Isto nos permite definir um espaço quadri-dimensional o espaço de Minkowski - com sua respectiva métrica e obter invariantes
que são fruto de produtos de quadri-vetores. Apresentaremos as leis de transformação dos campos elétricos e magnéticos de um
referencial inercial para o outro. Definindo os quadrivetores do potencial e da corrente obtemos a formulação tensorial para as equações
de Maxwell, permitindo assim que estas equações possam ser aplicadas em qualquer sistema inercial.
Palavras chave: tensor de campo, equações de Maxwell, quadrivetores, transformação de Lorentz
1. Introdução
No estudo da mecânica clássica é comum usar um sitema de coordenadas
espaço no
3
R
S(o, x , y ,z ) onde x, y, z são as coordenadas do
. Na relatividade restrita, estudamos as transformações de Lorentz, que consistem em relacionar as
coordenadas (t, x, y, z) de um referencial S
com velocidade v ao longo do eixo x de S .
com as coordenadas
(t ', x ', y ', z ')
de um referencial
S'
que se desloca
As transformações de Lorentz são [1,2]:
Utilizando a notação
x2
y
e
x3
x 0 ct
e
x'
( x vt )
y' y
z' z
v
t'
t 2x
c
v
0
, x refere-se
c
(1.1)
ao tempo
t
e
a velocidade
z , podemos reescrever as transformações de Lorentz como:
x '0
( x0
x '1
( x1
x '2 x 2
x '3 x3
x1 )
x0 )
(1.2)
v.
Adotando ainda
x1
x,
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,
As equações (1.2) em forma matricial
x '0
x '1
x '2
x '3
0
0
0
0
1
0
0
0
x0
x1
x2
x3
0
0
0
1
(1.3)
Estas equações podem ser substituídas pela simples notação
3
x'
x
(1.4)
0
onde
é a matriz transformação de Lorentz. [1,3]
Quadrivetor
Definiremos o quadrivetor como um vetor tetradimensional e real cujas componentes são
S'
que, sob uma transformação
(ct, x, y, z) . Deste modo, o quadrivetor num referencial
dado em S como,
de Lorentz, comportam se como as coordenadas espaço-temporais
pode ser obtido pela transformação de Lorentz em função de
3
'
(1.5)
0
No caso do movimento ao longo do eixo x
'0
'1
(
(
'2
'3
2
1
)
0
)
1
(1.6)
3
R3
O produto escalar entre os vetores A e B no
0
(A
B Ax Bx
Ay B y
Az Bz ), é independe do sistema adotado, ou
seja, o produto escalar é invariante. Para o quadrivetor, esta invariância é dada por
a0b0 a1 b1 a2b2 a3b3
a '0 b'0 a '1 b'1 a '2 b'2 a '3 b'3
que é imutável sob a transformação de Lorentz.
Para definir o produto vetorial do quadrivetor, definiremos primeiro o vetor covariante
(1.7)
, o qual difere do contravariante
somente pelo sinal da componente Zero.
(
0, 1, 2, 3)
Assim, o produto escalar do quadrivetor é definido por
3
(
b
0
,
1
,
2
,
3
) (1.8)
(1.9)
0
ou simplesmente
b
.
O intervalo invariante
Suponha que um evento A ocorra em
( x 0A , x1A , x 2A , x3A )
x
xA
é o deslocamento do quadrivetor. O produto escalar do
denomina-se intervalo entre dois eventos.
0 2
1 2
I ( x) ( x)
( x )
( x )
e o evento B em
xB
x
( x B0 , x 1B , x B2 , x3B ) . A diferença,
(1.10)
com ele mesmo é uma quantidade de especial importância,
( x 2 )2 ( x 3 )2
c 2t 2 d 2
(1.11)
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,
onde t é a diferença de tempo entre os dois eventos e d é a separação espacial deles. Quando se transforma para um sisterma
em movimento, o tempo entre A e B é alterado, bem como a separação espacial deles, mas o intervalo permane-se constante.
Esta distância entre dois eventos define a métrica do espaço tempo quadri-dimensional, o espaço de Minkowski,
Mostramos como estruturar a transformação de Lorentz na forma matricial e na forma da equação (1.4), apesar
de termos deduzido estas fórmulas para o caso particular de Lorentz, as transformações no espaço-tempo seguem a estrutura
da equação (1.4).
2. Transformação dos campos E e B
Dado os campos E e B num sistema de referência
S (o, t, x, y, z) , como encontramos estes campos num referencial
S '(o ', t ', x ', y ', z ') ? Para responder está pergunta, mostraremos como os campos eletromagnéticos se transformam. [1,4]
Como exemplo introdutório, considere o campo elétrico uniforme
estando este em repouso em relação ao referencial
E0 gerado por um capacitor de placas paralelas,
S0 e carregado com densidade superficial
0.
Nessa situação, o campo elétrico é dado por:
E0
0
j
(2.1)
0
Analisando-se o mesmo capacitor num referencial
S movendo-se com velocidade v0 para a direita, neste referencial o
capacitor move-se para a esquerda com velocidade v0 , o campo elétrico será,
E0
j
(2.2)
0
Ou seja, mantém a mesma estrutura sendo a única diferença o valor de densidade de carga . Para imaginar intuitivamente
que o campo continua perpendicular as placas, observe a figura abaixo mostrando o formato das linhas de campo nas placas
em movimento.
Quando somarmos os vetores para se obter o resultando, a componente paralela as placas irá se cancelar.
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,
Para o cálculo do novo valor de
, precisaremos da carga e das novas dimensões da placa no referencial em
movimento. Já sabemos que a carga é invariante, o valor de w é constante, pois é perpendicular ao movimento, sendo assim a
única medida que irá variar é o comprimento da placa.
l
l0
(2.3)
0
(2.4)
0 0
Portanto, o campo no referencial
S será dado por
E
0 E0
(2.5) ,
em que o símbolo
significa que esta relação é valida apenas para a componente do campo perpendicular ao movimento
do referencial S .
Para encontrar a regra para a componente paralela, considere a figura abaixo:
Neste caso, é à distância d que sofre a contração de Lorentz. Uma vez que o campo não depende desta distância, o campo
será o mesmo. Assim;
E
E0
(2.6) .
Contudo, as equações (3.5) e (3.6) obtidas são para um caso particular no qual as cargas elétricas estavam em repouso
em relação ao referencial S0 , logo não existindo campo magnético. Para encontrar equações mais gerais, devemos partir de
um sistema onde no qual se tenha tanto campo elétrico quanto magnético. Sendo assim, utilizaremos o sistema S . Assim,
além do campo elétrico
Ey
(2.7)
0
temos também campo magnético devido as correntes de superfícies,
K
v0 i (2.8) .
Pela regra da mão direita, o sentido do campo magnético é o dos valores negativos de z, e o seu módulo é dado pela lei
de Ampère.
Bz
0
v0 (2.9) .
Num terceiro sistema S , movendo-se para a direita com velocidade
v em relação à S (figura abaixo),
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,
os campos seriam:
Bz
v
0
Ey
(2.10) ,
0
S0 , pela regra das velocidades temos que,
em que v é a velocidade de S em relação à
v
v
1
Para encontrar
v0
v v0 / c
2
1
,
1
, utilizamos a relação
(2.12) .
0
Vamos agora expressar
E e B (Eq. 2.10), em função de E e B (Eq. 2.7 e 2.9). Encontramos,
Ey
Bz
0
/
desenvolvendo o quociente
0
1
1
v/ c
2
0
0
v
(2.13) ,
0
0 , temos que:
1
onde
v/ c
(2.11) .
2
vv0 / c2
1
v/ c
1
2
vv0 / c2
(2.14) ,
.
Sendo assim,
Ey
vv0 / c2
1
vv0 / c2
0
0
vv0 / c2 .
Ey
0
Uma vez que E y
e
Bz
0
0
0
v0 , podemos escrever
0
Ey
visto que 0 0
Ey
v
c
Bz ,
2
0 0
2
1/ c ,
Ey
Para o campo magnético temos que:
Ey
vBz
(2.15) .
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,
Bz
0
v
vv0 / c2
1
v
0
0
Bz
Bz
Assim, as equações para encontrar E y e
Para encontrar as componentes
Bz
Bz
v
c2
1
v0
v v0 / c2
0 0 vE y
Ey
(2.16)
B z são:
Ey
Ey
Bz
Bz
vBz
(2.17)
v
c
E
2 y
E z e B y , alinhamos o capacitor de forma que o eixo z seja perpendicular as faces.
A dedução da equação é dada da mesma força. Assim, encontramos:
Ez
Ez
By
By
vB y
(2.18)
v
c
E
2 z
Como já foi visto anteriormente,
Ex
Ex
(2.19)
E quanto à componente Bx?
Para analisar a componente em x (ao longo do movimento) do vetor campo magnético, utilizaremos outra configuração.
Considere um longo solenóide alinhado com o eixo x, em repouso em relação a S .
O campo magnético é dado por
Bx
0
N
I
L
(2.20) ,
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,
em que N é o número de espiras, L é o comprimento do solenóide e I é a corrente. No sistema S , ocorre contração do
comprimento L, assim;
L
L
(2.21) .
Contudo, ocorre também dilatação do tempo. Uma vez que a carga é invariante, temos que:
I
I
(2.22) .
Portanto,
Bx
0
Bx
N
L/
Bx
I/
(2.23)
Assim, chegamos ao fim deste tópico no qual se puderam mostrar as equações que nos dizem como os campos E e B
se transformam de um referencial para outro. Em resumo,
Ex
Ex
Ey
Ey
Bx
Bx
By
By
vBz
v
c
2
Ez
Ez
Ez
Bz
Bz
vB y
v
c2
Ey
.
3. Eletrodinâmica na Formulação Tensorial
Para mostrar as equações de Maxwell na forma tensorial [1,4], iniciaremos mostrando algumas definições e notações.
Os campos elétrico e magnético dependentes do tempo são dados por
.
(3.1)
Usando a notação de quadrivetor, podemos definir um quadri-potencial como
(3.2)
e usaremos ainda as seguintes definições do espaço-tempo,
x
(ct , x, y, z )
x
1
,
c t
x
,
y
,
z
(3.2)
Teremos então
(3.3)
Portanto, os campos eletromagnéticos podem ser deixados numa única notação, a notação de um tensor assimétrico,
(3.4)
O tensor de campo
O tensor eletromagnético
F
terá as seguintes componentes,
(3.5)
Ainda com o objetivo de escrever as equações de Maxwell, precisamos das fontes da equação. Já é sabido da eletrodinâmica
que a densidade de carga e de corrente são dados respectivamente por
(3.6)
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,
Escrevendo a densidade de corrente como um quadri-vetor, temos:
J
(c , J x , J y , J z )
(3.7)
Dada equação da continuidade
(3.8)
relacionando o divergente do vetor J e a derivada temporal de
J , decorre a igualdade
com o quadrivetor
(3.9)
Assim,
Ji
xi
3
i 1
J0
x0
Ji
0
xi
J
0
3
i 0
Deste modo, a equação da continuidade em notação de 4-vetor é sintetizada em numa quadri-divergência que se anula
J
0
(3.10) .
As equações de Maxwell
Dado o tensor de campo
as equações homogêneas
.B 0
B
t
E
0
(3.11) ,
podem ser escritas em função das componentes do tensor de campo da seguinte forma:
.B 0
E
B
0
t
1
F 32
0
F ij
2
i
F 13
F j0
3
j
F 21 0
F 0i
(3.12) .
0
Unindo as duas equações numa só, encontramos (identidade de Jacobi)
(3.13)
Esta equação é satisfeita automaticamente quando
(3.14)
Outra forma muito interessante de se escrever as equações homogêneas de Maxwell é usar a notação,
(3.15)
em que o vetor antisimétrico é dado por:
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,
1
1
0
k
k
permutação par de 1234
k
permutação par de 1234
em outros casos
Definindo outro tensor como,
(3.16) ,
F
este tensor, que é chamado de tensor dual de
, satisfaz
(3.17).
Vamos agora discutir as equações não homogêneas. Notamos que a equação de Gauss pode ser escrita em função das
componentes do tensor
F
da seguinte forma:
.E
c
0
F 00
1 10
2
F
F 20
3
F 30
c 0 J 0 (3.17)
0
A equação de Ampère-Maxwell
xB
0
F 0i
1
F 1i
2
0
0
F 2i
E
t
3i
3F
0
J
0
Ji
(3.18)
Unificando as equações (4.17) e (4.18), temos a lei de Maxwell para as equações não homogêneas em notação tensorial:
F
0
J
(3.19)
Assim, as equações de Maxwell numa notação relativística usando tensores se resumem a:
~
0 e
0J
Em qualquer referencial a primeira equação é satisfeita automaticamente (identidade deJacobi) e a segunda no gauge de
Lorentz,
F
F
é escrita como
que tem a mesma forma em qualquer referencial inercial.
Conclusão
Mostramos neste estudo que o eletromagnetismo já é consistente com a relatividade restrita. Assim como na relatividade
o espaço-tempo é uma única realidade física (espaço quadri-dimensional de Minkowski) também os campos elétrico e
magnético não são mais independentes. Definindo os quadrivetores do potencial e da corrente obtivemos uma forma tensorial
para as equações de Maxwell, permitindo que estas possam ser aplicadas em qualquer sistema inercial. O que é visto como
um processo elétrico em um referencial pode se tornar um processo magnético em outro, pois os campos elétrico e magnético
mudam de um referencial para o outro, mas o movimento das partículas será o mesmo nos dois.
Referências:
[1] D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, PrenticeHall,1999
[2] Notas de aula do professor Manuel Máximo Bastos Malheiro de Oliveira
[3] Apostila de Eletrodinâmica Quântica de João Barcelos Neto
[4] Notas de aula do professor Brett Carlson, III EVFITA,2008
Anais do XIV ENCITA 2008, ITA, Outubro, 20-23, 2008
,
Agradecimentos e considerações finais
Não poderia deixar de agradecer ao departamento de física que vem me apoiando neste trabalho, principalmente ao meu
professor orientador Manuel Máximo Bastos Malheiros que vem me ajudando pacientemente no desenvolvimento do
mesmo. Agradeço ao ITA pela opotunidade de desenvolver minhas potencialidades através da iniciação cientíica. Agradeço
ao coordenador do PIBIC no ITA e ao CNPq que vem cada vez mais incentivando a pesquisa no nosso país.
Por fim, gostaria de agradecer a todos os professores do departamento de Matemática e de Física com os quais aprendi
muitos conceitos que tornaram o entendimento possível desse trabalho de iniciação científica.
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