medidas de posição

MEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIANA
Também chamada de valor mediano, corresponde ao
valor que ocupa a posição central numa sequencia de
números e é representada por md.
Para obter a mediana primeiro colocamos a sequencia
em ordem crescente ou decrescente, depois verificamos
se a amostra é par ou ímpar.
1º caso: Se o número de elementos (n) for ímpar, á
mediana corresponderá ao termo central da série, ou
seja, ao termo t:
𝑛+1
t=
2
Ex: Para calcular a mediana da sequencia 2, 4, 1, 5 e 6,
fazemos o ordenamento:
1, 2, 4, 5 e 6
Como o número de elementos é ímpar, localizamos a
mediana com a fórmula:
t=
𝑛+1
2
=
5+1
2
=3
Portanto, a mediana md é o 3º elemento ou 3º termo:
md= 4
Geralmente o valor da mediana é bem próximo da
média.
𝑥=
1+2+4+5+6
5
= 3,6
2º caso: Se o número de elementos for par, a mediana será a
média aritmética dos valores centrais t1 e t2 .
t1 =
𝑛
2
e
t2 =
𝑛+2
2
A mediana neste caso, corresponde á média aritmética dos dois
valores centrais:
md=
𝑡1+ 𝑡2
2
Para encontrar a mediana da sequencia 82; 79; 70; 20; 33; 46,
fazemos:
Ordenação → 20; 33; 46; 70; 79; 82.
6
2
6+2
2
t1 = = 3, ou seja, o 3º elemento, 46
t2 =
= 4, ou seja, o 4º elemento, 70.
md=
46+70
2
= 58
MODA
A moda, também denominada valor modal, é o valor
que apresenta maior frequência no conjunto de
números, ou seja, que se repete mais vezes.
Uma sequencia de números pode não ter valor modal
ou apresentar vários tipos de repetições, recebendo
então várias denominações:
• unimodal, quando um único valor se repete;
• bimodal, quando dois valores se repete;
• multimodal, quando três ou mais valores se repetem
com a mesma frequência.
Exemplos:
a) 5; 6; 1; 7; 2 → não tem moda
b) 9; 2; 9; 1; 3 → mo = 9 unimodal
c) 7,1; 8,4; 7,1; 7,1; 9,5; 8,4; 9,4; 8,4 → mo = 7,1 e 8,4
d) Bimodal
1.
a)
b)
c)
d)
EXERCÍCIOS
Ache a moda (se houver) de cada amostra:
2; 3; 6; 4; e 3
2; 3; 2; 4; e 3 (faça o gráfico)
7; 5; 200; 1; 2; 200; 1; 200; e 4
150; 200; 320; 200; 400; 310; 320; e 310.
2. Ache a mediana e a média das seguintes amostras:
a) 4; -2; -7; 3; 6; 1; e 5
b) 1526; 1326; 1642; 1271; 10; e 1427
c) 5; 5; 5; 5; e 5
d) 100; 150; 100; 160; 12; 180; 170; 200.
3. Um fabricante de bonés está interessado em coletar
informações sobre o salário médio dos operários em 3 de
suas filiais. A partir de uma amostra dos salários de 6
funcionários de cada filial, ele deseja saber:
a) Qual a média salarial de cada filial;
b) Qual paga maiores salários;
Faça os cálculos e descubra que medida central ele poderia
utilizar em substituição á média salarial, a fim de obter
resultados mais favoráveis para apresentar aos
funcionários.
Indivíduos
1
2
3
4
5
6
Filial 1
9600
10000
12000
8500
7000
11000
Filial 2
8000
7000
8500
6500
5000
5500
Filial 3
8000
7000
5000
55000
7500
5500
MEDIDAS DESCRITIVAS PARA DADOS
AGRUPADOS
1. Média aritmética
Como já conhecemos a média aritmética, é fácil
descobrir a média aritmética da tabela de frequência.
𝑥=
𝑛
𝑖=1 𝑓𝑖 (𝑝.𝑚.)
𝑛 𝑓
𝑖=1 𝑖
A fórmula é muito parecida com a da média aritmética
anterior, só trocamos o 𝑥𝑖 pelo ponto médio da classe.
2. Mediana
Primeiro é necessário saber em qual classe se deve
encontrar a mediana, ai temos de fazer:
𝑛+1
2
ou
𝑛
𝑖=1 𝑓𝑖 +1
2
Em seguida, procura-se o valor obtido na coluna da
frequencia acumulada. Olhando de cima para baixo,
será possível descobrir a que classe pertence a
mediana. A partir daí, trabalha-se apenas com essa
classe.
md = li
𝑛 𝑓 +1
𝑖=1 𝑖
−𝑓𝑎 𝑎𝑛𝑡.
2
𝑓𝑖
.h
Onde:
md → mediana
li → limite inferior da classe em que se deve encontrar a
mediana.
𝑛
𝑖=1 𝑓𝑖 → n → número total de elementos da amostra.
K → número de classes.
𝑓𝑎 𝑎𝑛𝑡. → frequencia acumulada anterior á classe em
que deve estar a mediana.
h → amplitude do intervalo.
2. MODA
Podemos usar três fórmulas diferentes para calcular a
moda na tabela de frequência. Fórmula de Czuber,
fórmula de King, fórmula de Pearson.
Nos três casos primeiro é necessário descobrir a maior
frequência absoluta e, a partir dai encontrar a classe
em que se encontra a moda, que constituirá a classe
modal. Caso haja duas ou mais classes com a mesma
frequência deve-se modificar ou alterar o tamanho dos
intervalos (h) para mais ou para menos.
Fórmula de Czuber
mo = li + h .
𝑓𝑚 −𝑓𝑎𝑛𝑡
2.𝑓𝑚 −(𝑓𝑎𝑛𝑡 +𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡 )
Onde:
mo→ moda (ou valor modal)
𝑓𝑚 → maior frequência
𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡 → frequência absoluta posterior á classe modal
Fórmula de King
mo = li + h.
𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡
(𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡 +𝑓𝑎𝑛𝑡 )
Fórmula de Pearson
mo = 3 . Md -2 . 𝑥
Ex1. Achar a média, a mediana e a moda da tabela de
frequência a seguir.
Classe
18-----21
21-----24
24-----27
27----30
30----33
33----36
36----39
Total
fi
1
4
19
37
28
8
3
100
p.m.
19,5
22,5
25,5
28,5
31,5
34,5
37,5
fi . P.m.
1. 19,5
4. 22,5
19 . 25,5
37 . 28,5
28 . 31,5
8 . 34,5
3 . 37,5
2919
fa
1
5
24
61
89
97
100
Média
𝑥=
𝑛
𝑖=1 𝑓𝑖 .(𝑝.𝑚.)
𝑛 𝑓
𝑖=1 𝑖
=
2919
100
= 29,19
Mediana
Para calcular a mediana, primeiro descobrimos em qual
classe ela se encontra:
𝑛+1
2
100+1
=
= 50,5
2
50,5 −24 .3
md= 27 +
37
= 29,15
Moda
Fórmula de Czuber
mo= 27 + 3 .
(37−19)
[2 .37 − 19+28 ]
= 29
Fórmula de King
mo= 27 + 3.
28
(28+19)
=28,79
Fórmula de Pearson
mo= 3 . 29,15 – 2. 29,19
mo = 29,07
Ex2. Ache a média, a mediana e a moda referente á
tabela de frequência abaixo.
Classes
40-----47
48-----55
56-----63
64-----71
72-----79
80-----87
88-----95
96-----103
Total
fi
3
3
8
31
41
11
7
1
105
p.m.
43,5
51,5
59,5
67,5
75,5
83,5
91,5
99,5
fi . P.m.
3 . 43,5
3 . 51,5
8 . 59,5
31 . 67,5
41 . 75,5
11 . 83,5
7 . 91,5
1 . 99,5
7607,5
fa
3
6
14
45
86
97
104
105