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Universidade de Brasília
Departamento de Engenharia Mecânica
Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural
Distribuições de Probabilidade – Distribuições de Extremos
Professor
Confiabilidade Estrutural
Jorge Luiz A. Ferreira
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Distribuições de Probabilidade – Distribuições de Extremos
Distribuição de Extremos
Introdução - Comportamento de Alguns Fenômenos Físicos
Antes de introduzir o Conceito de Distribuição de Extremos vamos avaliar
Comportamento de alguns fenômenos Físicos
Máximo anual de inundações do Danúbio em
Viena, ao longo de 73 anos (Área de Estudo
100.000 km2 ((Blöschl e Montanari, 2010)
Máximo anual de inundações do Danúbio em Viena, Série Completa de
180 anos (Área de Estudo 100.000 km2 ((Blöschl e Montanari, 2010)
Qual a Chance do
determinada altura?
nível
do
rio
ultrapassar
uma
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Distribuições de Probabilidade – Distribuições de Extremos
Distribuição de Extremos
Introdução - Comportamento de Alguns Fenômenos Físicos
Antes de introduzir o Conceito de Distribuição de Extremos vamos avaliar
Comportamento de alguns fenômenos Físicos
Evolução do Fundo de Investimento PIBB (Papéis do Índice
Brasil Bovespa) comercializados na BOVESPA durante o
período 05/2009 à 05/2010 (Lote de 1000 Ações).
Corrigindo o Comportamento “Tendencioso” da
Evolução dos Preços das Ações e considerando
algumas variáveis que ajudam na tomada de
decisões apresentaremos os seguintes gráficos:
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Distribuição de Extremos
Introdução - Comportamento de Alguns Fenômenos Físicos
Cotação no Fechamento do Pregão (R$ por ação)
Cotação na Abertura do Pregão (R$ por ação)
Aj
100
100
80
80
60
Fj
60
40
40
20
20
0
0
j
j
0.04
0.05
0.04
0.03
0.03
Fechamentod 10.02
Aberturad 1
0.02
0.01
0.01
0
0
20
40
60
Precod
80
100
0
0
20
40
60
Precod
80
100
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Distribuição de Extremos
Introdução - Comportamento de Alguns Fenômenos Físicos
Valor Máximo da Ação durante Pregão (R$ por ação)
Valor Mínimo da Ação durante o Pregão (R$ mean
por (ação)
m)  44.195
120
120
80
80
mj
Mj
40
40
0
0
j
j
0.08
0.08
0.06
0.06
M inimod 10.04
M aximod 10.04
0.02
0.02
0
0
20
40
Precod
60
0
40
60
80
Precod
100
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Introdução - Comportamento de Alguns Fenômenos Físicos
Valor do Retorno Diário – Max – Mín.
80
60
Rj
40
0.06
20
0
j
0.04
• Quanto de Ganho ou Prejuízo podemos ter ao
negociar este papel ?
• Qual a melhor hora de Vender ?
Ranged 1
0.02
• Qual a melhor hora de Comprar ?
0
0
20
40
Precod
60
80
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Distribuições de Probabilidade – Distribuições de Extremos
Distribuição de Probabilidade
Distribuição de Extremos
Introdução
Em muitas situações práticas, a
Exemplos
• Altura Máxima de ondas;
• Velocidade Máxima de Ventos;
previsão da ocorrência de eventos • Profundidade de pits de corrosão;
extremos é de vital importância para • Comportamento
das
Falhas
o
planejamento
sujeitas
a
de
• Comportamento das Falhas resultantes
efeitos. do processo de fadiga e de Fratura;
Invariavelmente a ocorrência de tais • Amplitude máxima provocada por
eventos estão ligados a situações sismos;
catastróficas.
seus
atividades materiais frágeis;
em
• Vazão de águas pluviais;
• solicitações sobre Pontes devido ao
tráfego
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Distribuição de Probabilidade
Distribuição de Extremos
Introdução
A Teoria dos Valores Extremos, TVE,
tem sido usada em diversas áreas do
conhecimento científico, como Economia,
Finanças, Meteorologia, Astronomia e
Biologia,
desde
o
século
XVII.
Entretanto, somente no início do século
XX, com os trabalhos de Bortkiewicz
(1922) e Fisher e Tippett (1928) iniciouse a formalização da TVE. A consolidação
teórica, entretanto, só foi concluída em
1958 por Emil Gumbel (1891-1966).
Ladislau Bortkiewicz
1868 - †1931
Sir Ronald Aylmer Fisher
1890 - †1962
"um gênio que criou
praticamente sozinho as
fundações para a moderna
ciência estatística"
Emil Julius Gumbel
1891 - †1966
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Distribuição de Probabilidade
Distribuição de Extremos
Distribuições Exatas de Valores Extremos
xi = ???
Processo Aleatório X
20
Os valores máximo e mínimo de uma
18
amostra de tamanho N de uma
14
variável aleatória X, cuja Função de
10
Distribuição Acumulada é conhecida
e
dada
variáveis
por
FX(x),
aleatórias
distribuições
de
também
e
são
possuem
probabilidades
próprias, as quais estão relacionadas
à distribuição da variável original
16
x
12
8
6
4
2
0
0
5
10
15
20
25
n
{x1, x2, x3, ...xn} → FX(x)
Realizações da VA X
“Prever o valor de xi antes de sua
realização é impossível
30
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Distribuição de Probabilidade
Distribuição de Extremos
Y5
Distribuições Exatas de Valores Extremos
A partir dessas considerações, a
20
teoria de valores extremos visa
16
as
distribuições
probabilidades do máximo
Yn  Max  X i 1 i  n
E do mínimo
Z n  Min  X i 1 i  n
de X.
de
Y14
Y30
18
14
12
x
determinar
Y7
10
8
6
4
Z6
2
0
0
5
Z10
10
Z18
15
Z30
20
25
Menores Valores Observados para X
n
Maiores Valores Observados para X
30
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Distribuições Exatas de Valores Extremos
16
14
A partir dessas considerações, a
determinar
as
distribuições
probabilidades do máximo
de
10
x
teoria de valores extremos visa
12
8
6
4
2
0
Yn  Max  X i 1 i  n
E do mínimo
Z n  Min  X i 1 i  n
de X.
0
5
10
15
20
25
Menores Valores Observados para X
n
Maiores Valores Observados para X
“Prever o valor de xi antes de sua
realização é impossível
30
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Distribuição de Extremos
Distribuições Exatas de Valores Extremos
Assim, a distribuição de Y pode ser
deduzida do fato que, se
Yn  Max  X i 1 i  n
for menor ou igual a y, então todas
as variáveis aleatórias Xi também
devem ser menores ou iguais a y.
Considerando que todas as variáveis
Xi são independentes entre si e
distribuídas conforme a função FX(x)
da variável original X, a distribuição
de probabilidades acumuladas de Y
pode ser deduzida do seguinte modo:
FY  y   P Y  y 
 P X 1  y    X 2  y      X n  y 
 FX  y 
n
A
função
densidade
probabilidades de Y é, portanto,
fY  y 
d
N 1
FY  y   n  F X  y   f X  y 
dy
de
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Distribuição de Probabilidade
Distribuição de Extremos
Exemplo: Comportamento da
Distribuições Exatas de Valores Extremos –
Distribuição dos Máximos e dos Mínimos de x~N(10, 3);
0.3
0.3
z ( x2)
y ( x2)
y ( x8)
0.2
z ( x8)
0.2
y ( x16)
z ( x16)
y ( x32)
z ( x32)
dnorm( x  )
dnorm( x  )
0.1
0.1
0
 10
0
10
20
30
x
d
N 1
fY  y 
FY  y   n  F X  y   f X  y 
dy
40
0
 10
f Z z  
0
10
20
x
30
d
N 1
FZ  z   n  1  F X  z   f X  z 
dz
40
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Distribuição de Probabilidade
Distribuição de Extremos
Distribuições Exatas de Valores Extremos – Exercício
Suponha que, em uma dada região, o tempo entre episódios de chuva seja
uma variável exponencialmente distribuída, com média de 4 dias, e que seja
válida a hipótese de independência entre os tempos consecutivos que
separam tais episódios. Com o fim de planejar os turnos de rega entre os
meses de Abril e Junho, sob condições críticas, os irrigantes da região
necessitam conhecer o máximo tempo entre episódios de chuva. Se, nesses
meses, espera-se ter 16 episódios de chuva, calcule a probabilidade de que
o tempo máximo entre eles seja maior do que 10 dias. (adap. de Haan, 1977)
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
A utilidade prática do estudo estatístico
de extremos é grandemente aumentada
pela
teoria
assintótica
de
valores
extremais, cujo foco principal é a
determinação das formas limites de
FY(y) e FZ(z) , ou de suas respectivas
densidades,
quando
N
,
sem
o
completo conhecimento da forma exata
da
distribuição
original.
FX(x),
da
variável
0.8
y ( x10)
 3
5
y  x10 
6
y  x10 
7
y  x10 
10
y  x10 
y x10
dnorm( x  )
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
x
30
40
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Distribuição de Extremos
Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
Vamos supor que {X1, X2, ... , Xn} Admitindo novamente que:
represente
um
conjunto
de
n
variáveis aleatórias independentes,
com
distribuição
FX(x).
Yn  Max  X i 1 i  n
Z n  Min  X i 1 i  n
Particularizando, por exemplo, para o E
considerando
as
máximo ou mínimo anual, n pode ser transformações lineares:
interpretado como o número de
observações de X, em instantes de
Yn 
Y  bn
an
e Zn 
seguintes
Z  bn
an
tempo eqüidistantes entre si, ao onde, an e bn são constantes de
escala e posição respectivamente.
longo de um período fixo de 1 ano.
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Com base nestas idéias, Fisher e
Tippett
(1928)
teorizaram,
sem
demonstrar, que os limites:
Lim FYn  y  e Lim FZ n  y 
n 
Convergem
para
n 
três
formas
funcionais básicas, que dependem
fortemente do comportamento da
cauda da distribuição da variável
original. Gumbel (1958) classificou
essas três formas assintóticas em
Distribuição Assintótica Tipo I
A forma dupla exponencial - quando X é
ilimitado e sua densidade decai de modo
exponencial na direção do extremo
a) Para Máximos
e
Y    e
,    
b) Para Mínimos
Z    1  e
 e
,    
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Distribuição de Extremos
Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
Distribuição Assintótica Tipo II
Distribuição Assintótica Tipo I
A forma exponencial simples - quando X é
1
ilimitado e sua densidade decai de modo
0.8
polinomial na direção do extremo
Y( )
0.6
a) Para Máximos

Z ( )
Y    e , 0    
0.4
b) Para Mínimos
0.2
0
 10
5
0

5
10
Z    1  e ,      0

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Distribuição de Probabilidade
Distribuição de Extremos
Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
Distribuição Assintótica Tipo III
Distribuição Assintótica Tipo II
1
A forma exponencial com limite superior
0.8
Y(  0.1)
Y(  0.5)0.6
para máximos ou inferior para mínimos -
Y(  1)
Y(  2)
0.4
quando X é limitado na direção do extremo
0.2
1
0
0
50
100
150

a) Para Máximos
200
0.8
Y    e
Z (  0.1)
Z (  0.5)0.6
Z (  1)
Z (  2)
b) Para Mínimos
0.4
0.2
0
 200
 100
0

100
  
,  0

  
Z    1  e
,  0
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Distribuição de Extremos
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Distribuição Assintótica Tipo III
1
1
0.8
0.8
Y(  0.1)
Z (  0.1)
Y(  0.5)0.6
Z (  0.5)0.6
Y(  1)
Z (  1)
Y(  2)
0.4
Z (  2)
0.2
0.2
0
 20
0.4
 15
 10

5
0
0
0
5
10
15
20
Obs:  é uma constante positiva

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Conforme comentado anteriormente, o comportamento da
cauda da distribuição da variável original, na direção do
extremo, determina para qual das três formas assintóticas a
distribuição dos máximos ou dos mínimos irá convergir.
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No caso de máximos, a convergência será para a distribuição
(a) do Tipo I, se FX(x) for, por exemplo, exponencial, ou Gama, ou Normal,
ou Log-Normal, ou a própria distribuição de máximos do Tipo I;
(b) do Tipo II, se FX(x) for, por exemplo, a distribuição Gama dos
logaritmos da variável (Log-Gama), ou a distribuição t-Student ou a
própria distribuição de máximos do Tipo II; e
(c) (c) do Tipo III, se FX(x) for, por exemplo, uniforme, ou Beta, ou a
própria distribuição de máximos do Tipo III.
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No caso de mínimos, a convergência será para a distribuição do
(a) Tipo I, se FX(x) for, por exemplo, Normal, ou a própria distribuição de
mínimos do Tipo I;
(b) Tipo II, se FX(x) for, por exemplo, a distribuição t-Student ou a
própria distribuição de mínimos do Tipo II; e
(c) Tipo III, se FX(x) for, por exemplo, uniforme, ou exponencial, ou Beta,
ou Log-Normal, ou Gama, ou a própria distribuição de mínimos do Tipo
III.
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos – Tipo I
A distribuição de valores extremos onde  representa o parâmetro de
do Tipo I recebeu as seguintes escala e  o parâmetro de posição (
outras denominações: distribuição é a moda de Y). A função densidade
de Gumbel, Fisher-Tippet tipo I e da distribuição de Gumbel é:
dupla
valores
exponencial.
máximos,
No
a
caso
de
função
de
probabilidades acumuladas é dada
por:
FY  y   e
 y  


e  
,
   y            0
fY  y  
1

e
 y  
 y  




    e  
A média, a mediana, a variância e o
coeficiente de assimetria de Y são,
respectivamente:
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Distribuição de Probabilidade
Distribuição de Extremos
Distribuições Assintóticas de Valores Extremos – Tipo I
 
Média Aritmética: E Y      0.5772  
Mediana:
Variância:
mY      LnLn2
VarY    Y2 
Coeficiente de Assimetria:
 2  2
6
AsY  1.1396
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Distribuição de Probabilidade
Distribuição de Extremos
Distribuições Assintóticas de Valores Extremos – Tipo I
No caso de valores mínimos, a
distribuição de Gumbel refere-se
à forma assintótica limite para um
conjunto de n V.A. {X1,X2,...,Xn},
independentes
e
igualmente
distribuídas conforme um modelo
FX(x)
de
cauda
inferior
exponencial. Sendo sua função de
probabilidades acumuladas dada
por
FZ z   1  e
 z  


e  
,
   z            0
onde  e  tem representação
semelhantes
à
descrita
anteriormente. A função densidade
de probabilidade é:
f Z z  
1

e
 z  
 z  




    e  
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Distribuição de Extremos
Distribuições Assintóticas de Valores Extremos – Tipo I
A média, a mediana, a variância e o coeficiente de assimetria de Z são,
respectivamente:
 
Média Aritmética: E Z      0.5772  
Mediana:
Variância:
mZ      LnLn2
VarZ    Y2 
 2  2
6
Coeficiente de Assimetria: AsZ  1.1396
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos - Gumbel
fY  y,  ,   
1

e
fY  y  
 y  
 y  




    e  
Gumbel Padrão
0.4
0.8
y (  1 0) 0.3
y (  1 0) 0.6
y (  1 2)
y (  0.5 8)
y (  1 4)
y (  1 8)

e
  y   e  y 
y (  1 8)
0.2
y (  1.5 8)
y (  1 16)
0.1
0
1
0.4
y (  2 8)
0.2
0
10

20
0
0
10

20
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Distribuição de Extremos
Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
Distribuição Assintótica Tipo I – Gumbel - Aplicação
•
A distribuição de Gumbel (máximos) é a distribuição extremal mais usada na
análise de freqüência de variáveis hidrológicas, com inúmeras aplicações na
determinação de relações intensidade-duração-frequência de precipitações
intensas e estudos de vazões de enchentes,
•
A distribuição de Gumbel (mínimos) é uma distribuição extremal bastante usada
na análise de freqüência de eventos hidrológicos mínimos anuais.
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Distribuição Assintótica Tipo I – Gumbel (Exercicio)
As “vazões médias diárias máximas anuais”, denotadas pela variável
aleatória, X, em um certo local possui, E[X] = 500 m3/s e E[X2] = 297025
(m3/s)2. Admita que o comportamento desta V.A. siga o modelo de Gumbel e
determine:
(a) determine os parâmetros da distribuição;
(b) dado que a vazão média diária máxima anual já alcançou 600 m3/s, qual a
probabilidade de X ser superior a 800 m3/s.
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Distribuições de Probabilidade – Distribuições de Extremos
Distribuição de Probabilidade
Maurice René Fréchet
1878 - †1973
Distribuição de Extremos
Distribuições Assintóticas de Valores Extremos – Tipo II

A distribuição de valores extremos
FY  y   e
do Tipo II recebeu as seguintes
denominações:
distribuição
de
Frechet
Log-Gumbel.
A
e
distribuição foi usada pela primeira
vez na análise de freqüência de
vazões de enchentes por Fréchet
(1927) No caso de valores máximos,
a
função
de
probabilidades
acumuladas é dada por:
y 
 0 
 y 
,
y  0, y0    0
Onde
y0
e
representam,

respectivamente, os parâmetros de
escala
e
de
forma.
A
densidade de probabilidade é:
fY  y  

 1
  y0 
  
y0  y 
e
y 
 0 
 y 
função
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Distribuição de Probabilidade
Distribuição de Extremos
Distribuições Assintóticas de Valores Extremos – Tipo II
O valor esperado, a variância e o coeficiente de variação de Y são,
respectivamente:
 1 
 1

Média Aritmética: E Y     y0  1  ,   1 Mediana: mY  
 Ln2 
 
Variância:
Coeficiente de variação:
1

  2
1 
2
VarY     y0  1     1  ,  2
  
  
2
Y
CVY 
    1,  2
    CV 
1
 1  

 1 2
2
Y
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Distribuições de Probabilidade – Distribuições de Extremos
Distribuição de Probabilidade
Distribuição de Extremos
Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
Distribuição Assintótica Tipo II – Frechet - Aplicação
•
Análise da distribuição extremal de eventos hidrológicos máximos,
•
Velocidades máximas de ventos, temperaturas máximas e mínimas
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos - Frechet
f Y  y , y0 ,   

 1
  y0 
  
y0  y 
e

 1
y 
 0 
 y 
1
fY  y,      
 y
Frechet Padrão
1
0.8
0.8
y (  1 2)
y (  2 .5) 0.6
y (  2 2)
0.6
y (  3 2)
y (  2 1.3)
y (  4 2)
0.4
y (  5 2)
y (  2 3)
e
1
 
 y
y (  2 1.5)
0.4
y (  2 4)
0.2
0.2
0
2
4
6

8
10
0
2
4
6

8
10
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Distribuições de Probabilidade – Distribuições de Extremos
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
Distribuição Assintótica Tipo II – Frechet (Exercício)
Resolva o problema anterior assumindo que a distribuição de probabilidade
do fenômeno segue a distribuição de Frechet com coeficiente de assimetria
da variável aleatória seja  = 1,40
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Distribuição de Probabilidade
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos – Tipo III
A distribuição de extremos mínimos do
Tipo III recebeu a denominação de
distribuição de Weibull por ter sido usada
pela primeira vez pelo engenheiro sueco
Waloddi Weibull (1887-1979) que em
1939
apresentou
o
modelo
de
planejamento estatístico sobre fadiga de
material. A função de probabilidades
acumuladas da distribuição de Weibull é:
Ernst Hjalmar Waloddi Weibull
1887 - †1979
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos – Tipo III
FZ z   1  e
 z  z0

   z0

 

 z  z0 

f Z z  
 
  z0    z0 

,
z  z0 ,   z0 ,   0
 1
e
 z  z0

   z0




Onde z0,  , e  representam,
Vida Mínima ou Confiabilidade Intrínseca, z0, é o
respectivamente, os parâmetros de
tempo de operação o qual o equipamento passa a
Vida
apresentar falhas, ou seja, intervalo de tempo que
Mínima
Intrínseca”,
ou
escala
“Confiabilidade
ou
“Vida
Característica” e de forma. A função
densidade de probabilidade é:
o equipamento não apresenta falhas)
Vida Característica ou Parâmetro de Escala, , é o
intervalo de tempo entre “z0" e “z" no qual
ocorrem 63,2% das falhas, restando portanto,
36,8% de itens sem falhar.
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos – Tipo III
A média, a mediana, a variância e o coeficiente de variação de Z são,
respectivamente:
Coeficiente de Variação:
Média Aritmética:
 1
Ez     z0    z0   1  
 
CV z  
Desvio padrão:
  2
1 
2
 z    z0   1     1  
  
  
Mediana:
mZ  z0    z0   Ln2
1
2
1

B   A 
A 
2
 1
A   1  
 

2
B   1  
 
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Distribuições de Probabilidade – Distribuições de Extremos
Distribuição de Probabilidade
Distribuição de Extremos
f Z z  
 z
 
  
 1
e
z






Distribuições Assintóticas de Valores Extremos – Tipo III
A média, a mediana, a variância e o coeficiente de variação de Z quando a
vida mínima é zero são, respectivamente:
Média Aritmética:
 1
Ez       1  
 
Variância:
2
1 
2
2  
2
VarY    Y    1     1  
  
  
Coeficiente de Assimetria:
Mediana: mZ    Ln2
1

  3 3
2
3  3
AsZ  1     3       
 
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Distribuições de Probabilidade – Distribuições de Extremos
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Distribuição Assintótica Tipo III – Weibull - Aplicação
• Análise da resistência à fadiga, resistência a tração de materiais frágeis
• Análise do tempo de
vida de mancais, rolamentos, componentes
eletrônicos, cerâmicas, capacitores e dielétricos Modelagem de eventos
hidrológicos mínimos
• Velocidades máximas de ventos, temperaturas máximas e mínimas
• Magnitude de terremotos
• Dinâmica de biomassa
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Distribuição de Probabilidade
Distribuição de Extremos
Distribuições Assintóticas de Valores Extremos - Weibull
0.03
 z  z0 

f Z  z , z0 ,  ,   
 
  z0    z0 

 1
e
z (  10 80 1.5)
0.02
z (  20 80 1.5)
 z  z0

   z0



0.04

z (  10 80 0.9)0.03
z (  10 80 1.5)
z (  10 80 2)
z (  40 80 1.5)
1
z (  10 80 3)
z (  50 80 1.5)
0.01
0.02
z (  10 80 5)
0.01
0.8
y (  1 2)
y (  2 2)
0.6
y (  3 2)
0.03
0
50
100
0
150

y (  4 2)
0.4
y (  5 2)
z (  40 80 1.5)
0
2
4
6
8
10
z (  50 80 1.5)
0.01

0
100

z (  10 80 1.5)
0.02
z (  20 80 1.5)
0.2
50
50
100

150
150
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Distribuição Assintótica Tipo III – Weibull (Exercício)
A distribuição de Weibull é empregada extensivamente, para expressar a
confiabilidade de mancais de rolamento de contato. Se representarmos a vida dos
mancais, L, de forma adimensinalizada como x = L/Ll0, onde L10 é a vida nominal
admitida pelo fabricante como a vida em que 10% dos mancais falharam (90% de
confiabilidade). Construa as propriedades distribucionais da vida de um mancal de
esfera de ranhura profunda de 02-30 mm, se os seus parâmetros da distribuição de
Weibull forem x10 = 0,0200,  = 4,459 e  = 1,483. Encontre a média, a mediana, L90
e o desvio-padrão.
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Distribuição Assintótica Tipo III – Weibull (Exercício)
Alguns estados brasileiros adotam como vazão de referência, para a outorga de
direito de uso da água, a vazão média mínima anual de 7 dias de duração e de tempo
de retorno 10 anos, geralmente representada por Q7,10; para um dado ano de
registros fluviométricos, o valor Q7 anual corresponde à menor média de sete
vazões consecutivas ocorridas naquele período. Suponha que as Q7 anuais sejam
denotadas pela variável aleatória Z e que, em um dado local, E[Z] = 28,475 m3/s e
[Z] = 7,5956 m3/s. Calcule a vazão Q7,10 pelo modelo de Weibull.