Apresentação do PowerPoint - Governo do Estado de Pernambuco

MATEMÁTICA
Ensino Médio, 1º Ano
Relações métricas num triângulo
qualquer
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos
triângulos retângulo e qualquer.
RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO
Considerando o triângulo retângulo abaixo, vamos destacar os seus elementos:




BC  a  hipotenusa
AB  c  cateto
AC  b  cateto
AH  h  altura
BH  m =Projeção cateto
HC
c sobre a hipotenusa
 n =Projeção cateto
b sobre a hipot.
Com esses dados vamos considerar os triângulos:
que por possuírem dois ângulos congruentes são semelhantes:
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos
triângulos retângulo e qualquer.




I –Comparemos os triângulos
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos
triângulos retângulo e qualquer.
a)
a b
  b.c  a.h • O produto das medidas dos catetos é igual ao produto da
c h
medida da hipotenusa pela medida da altura relativa a mesma.
a c
b) 
 c 2  a.m • o quadrado de um cateto é igual ao produto da
c m
medida da hipotenusa pela projeção do mesmo
sobre ela.
c)
b c
  c.h  b.m • o produto da medida de um cateto pela altura é igual
h m
ao produto da medida do outro cateto pela projeção do
primeiro.
II- Comparemos o
a)
h m
  h2  m.n
n h
• O quadrado da altura é igual ao produto
das medidas dos lados das projeções.
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos
triângulos retângulo e qualquer.
FIQUE LIGADO!!!
Poderíamos, de forma não matemática, fazer “cortes transversais”, nos triângulos para
obter essas relações, ou seja:
I)
c 2  a.m
III)
h 2  m.n
n
II)
b 2  a.n
IV)
b.c  a.h
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos
triângulos retângulo e qualquer.
V)
VII)
VI)
b.h  c.n
c.h  b.m
a b c
2
2
2
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triângulos retângulo e qualquer.
APLICAÇÕES:
II) Conhecida a hipotenusa a, vamos
1) No triângulo retângulo ABC abaixo,
usar as dicas para achar m e n:
determine a , m , n e h.
6  10.m  m 
2
Como:
36
 m  3, 6
10
m  n  a  3, 6  n  10
 n  6, 4
III) Por último, para achar a altura h,
Resolução:
Podemos recorrer a várias relações,
I)
por exemplo:
Para calcular o valor da hipotenusa
a,vamos usar Pitágoras:
h 2  m.n  h2  3,6.6, 4  h2  23,04
a 2  b 2  c 2  a 2  62  82 
h  23, 04  h  4,8
a  10
2) ( FAFI – BH) Considere um triângulo
ABC retângulo em A e, nele, tome AH
a 2  36  64  a  100 a  100
2
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triângulos retângulo e qualquer.
como sendo a altura relativa à hipotenusa Logo:
desse triângulo. Se BH  144 cm e AC  65
c 2  169.144  c  156 cm
cm, então o comprimento do segmento AB
3) (UFPA) O perímetro do pentágono
em cm, valerá quanto?
PENTA da figura abaixo valerá quanto?
Resolução:
Resolução:
c 2  a.144  652  a  a  144   652  a 2  144a
a 2  144a  20376  0
144  20376  16900
144  194 169
a
a

2
2
25  não serve 
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
a 2  b 2  c 2  a 2  42  42  a  4 2
b 2  42  a 2  b2  16  32  b  4 3
c 2  b 2  42  c 2  48  16  c  8
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triângulos retângulo e qualquer.
4) (PUC – MG ) As medidas dos catetos
de um triângulo retângulo são 1 cm e 2
cm. A medida da altura do triângulo
relativa à hipotenusa, em cm, é igual a
quanto?
Resolução:
Como pela relação trigonométrica IV,
temos os catetos e a hipotenusa, podemos achar a altura por:
b.c  a.h  2.1  5.h  h 
2
5 2 5
.

5
5 5
cm.
5) (CESGRANRIO – RJ) Num triângulo
retângulo, a altura relativa à hipotenusa
mede 12, e o menor dos segmentos que
ela determina sobre a hipotenusa, 9. O
menor lado do triângulo medirá quanto?
Resolução:
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
a 2  22  12  a  5 cm.
Como conhecemos a altura e
projeções dos catetos sobre
hipotenusa, podemos recorrer
relações IV e I, ou seja:
as
a
as
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triângulos retângulo e qualquer.
de um farol C . No mesmo instante, o
comandante, de outro navio se encontra
num ponto B, distante 15 milhas do farol
C, de tal modo que o ângulo de visão de
um observador que se encontra no farol
C e vê os dois navios é de 30º. Qual a
distância entre os dois navios nesse
instante?
h2  m.n  144  9.n  n  16
Para facilitar nosso entendimento, va-
c 2  15.9  c  15
mos montar uma figura para expressar
o modelo matemático.
RELAÇÕES
MÉTRICAS
TRIÂNGULO QUALQUER
NUM
Vamos analisar a seguinte situação:
x
6
Um navio, navegando em linha reta,
passa pelo ponto A, distante 6 milhas
30
15
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triângulos retângulo e qualquer.
Pelo desenho, é possível verificar que
devemos determinar a medida de um
lado de um triângulo que não é triângulo
retângulo, quando são conhecidas as
medidas dos outros dois lados e do
ângulo oposto ao lado que queremos
encontrar. Como o triângulo não é
retângulo, não podemos aplicar as
relações dadas anteriormente. Vamos,
então conhecer outras relações aplicadas
em triângulos acutângulos ou obtusângulos, utilizando uma importante ferramenta que é a Lei dos senos e a Lei dos
cossenos.
LEI DOS SENOS
Num triângulo qualquer, as medidas dos
lados são proporcionais aos senos dos
ângulos opostos, ou seja:
b

c


a
a
b
c


sen sen sen
Ex.: No triângulo da figura abaixo,
Calcule a medida b.
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triângulos retângulo e qualquer.
LEI DOS COSSENOS
b
45º
2
30
Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos
quadrados dos outros dois lados,
subtraído do dobro produto desses
doislados pelo cosseno do ângulo
formado entre eles.
Resolução:
Utilizando a Lei dos senos, temos:
b
2


b
2

 1
2
sen30º sen 45º
2
2
2
b 2 2
b

 
2
2
2
2 2 2

 2
2
2
b


c

a
 a 2  b 2  c 2  2.b.c.cos 
 b2  a 2  c 2  2.a.c.cos 
 c 2  a 2  b 2  2.a.b.cos 
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos
triângulos retângulo e qualquer.
Estamos em condições, agora, de
resolver a situação-problema colocada
no início deste assunto.
6
x
A lei dos senos ou dos cossenos pode ser
usada para calcular as medidas dos lados
ou dos ângulos de quaisquer triângulos
independetemente
dos
dados
fornecidos, porém, para efeito didático,
podemos:
Aplicar a lei dos senos se no triângulo
dado, tivermos mais ângulos conhecidos
do que lados;
30
15
Pela lei dos cossenos, temos:
x 2  62  152  2.6.15.cos 30º
3
2
x 2  36  225  2 .90.
Observação:
3

2
x 2  261  90 3  x  261  90 3
Aplicar a lei dos cossenos em caso
contrário, ou seja, quando são
conhecidos mais lados do que ângulos.
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triângulos retângulo e qualquer.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS E RESOLVIDOS
Ainda no BCD retângulo:
1) (FAFI – BH) Considerando a figura
abaixo, o quadrado do comprimento do
segmento AB valerá quanto?
y 2  x 2  52  y 2 
25.3
10 3
 25  y 
9
3
No ABD , aplicando a lei dos cossenos,
temos:
AB 2  42  y 2  2.4. y.cos 45º
AB 2  16 
AB 2 
100 2.4.10 3 2

.
3
3
2
148  40 6
3
2) Num triângulo retângulo ABC temos
ˆ .
AC =3 m , BC  4m e   BAC
Resolução:
No BCD :
x
3 x
5 3
tg 30º  
 x 
5
3
5
3
a) Se AB  3 m , calcule cos  ;
ˆ , oposto ao lado AC  60º ,
b) Se   ABC
Calcule sen.
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos
triângulos retângulo e qualquer.
3
sena
sen60º sen
 2 

4
3
4
3
sena 
Resolução:
a) Aplicando a lei dos cossenos, temos:
a  b  c  2bc.cos a
2
2
2
16  9  9  2.3.3.cos a
16  18  18.cos a
cos a 
2
1
 cos a 
18
9
b) Aplicando a lei dos senos, temos:
2 3
3 1
. .4  sena 
3
2 3
Como sena  1 , nestas condições não
existirá o triângulo.
3) (Ufjf 2012) Uma praça circular de raio
R foi construída a partir da planta a
seguir:
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos
triângulos retângulo e qualquer.
Os segmentos AB, BC, CA simbolizam
ciclovias construídas no interior da praça,
sendo queAB  80 m. De acordo com a
planta e as informações dadas, é
CORRETO afirmar que a medida de R é
igual a:
a)
160 3
m
3
b) 80
c)
d)
e)
3
m
3
16 3
m
3
8 3
m
3
3
m
3
Resolução:
Pela Lei dos Senos, segue que:
AB
80
80 3 80 3
 2R  2R 
R


m.
sen60
3
3
3 3
2
4) (Unicamp 2012) Um topógrafo deseja
calcular a distância entre pontos situados
à margem de um riacho, como mostra a
figura a seguir. O topógrafo determinou
as distâncias mostradas na figura, bem
como os ângulos especificados na tabela
abaixo, obtidos com a ajuda de um
teodolito.
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos
triângulos retângulo e qualquer.
Visada
^
A CB
^
B CD
^
ABC
Ângulos
π
π
π
6
3
6
No triângulo ABC assinalado, temos:
152  x 2  x 2  2  x  x  cos120
 1
225  2x 2  2x 2   
 2
225  3x 2
x 2  75
x  5 3m
a) Calcule a distância entre A e B.
b) Calcule a distância entre B e D.
Resolução:
a)
b)
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triângulos retângulo e qualquer.
No triângulo BDC, temos:
Qual a área de um terreno triangular,
y 2  152  102  2  15  10  cos 60
conforme figura abaixo, cujas dimensões
y 2  225  100  150
são de 5m e 8m e o ângulo entre eles
y  175
mede 30º?
y  5 7m
Resolução:
Vejamos o modelo matemático desse
ÁREA DE UM TRIÂNGULO QUALQUER
Através de conhecimentos de séries anteriores, vimos que a área de um triângulo podia ser calculada por S 
b.h b  base;

2 h  altura.
Porém, existem situações em que não temos informações sobre as medidas da base e da altura, como o exemplo abaixo:
terreno:
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triângulos retângulo e qualquer.
Para resolver este problema, usaremos a
temos:
seguinte relação:
A área de qualquer triângulo é igual ao
4
S
5.8.sen30º

2
5.8 .
2
1
2

20
 10m2
2
semiproduto das medidas de dois lados
pelo seno do ângulo formado por eles.
REVISÃO GERAL
Então, considerando o triângulo dado
1) (Ufrn- 2012) Numa escola, o acesso
entre dois pisos desnivelados é feito por
uma escada que tem quatro degraus,
cada um medindo 24 cm de
comprimento por 12 cm de altura. Para
atender à política de acessibilidade do
Governo Federal, foi construída uma
rampa, ao lado da escada, com mesma
inclinação, conforme mostra a foto a
seguir.
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos
triângulos retângulo e qualquer.
b) era menor que 30°;
c) foi exatamente 45°;
d) era maior que 45°.
Resolução:
Seja α o ângulo que a rampa faz com o
solo.
12
O ângulo α é tal que tg   24  0,50.
Com o objetivo de verificar se a
inclinação está de acordo com as normas
recomendadas, um fiscal da Prefeitura
fez a medição do ângulo que a rampa faz
com o solo.
O valor encontrado pelo fiscal
a) estava entre 30° e 45°;
Desse modo, como a função tangente é
crescente tg30  3  0,58  0,50, e segue que
3
α  30.
2) (Unesp 2012) No dia 11 de março de
2011, o Japão foi sacudido por terremoto
com intensidade de 8,9 na Escala Richter,
com o epicentro no Oceano Pacífico, a
360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A
cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos
triângulos retângulo e qualquer.
seguido de tsunami. A cidade de Sendai,
a 320 km a nordeste de Tóquio, foi
atingida pela primeira onda do tsunami
após 13 minutos.
(O Estado de S.Paulo, 13.03.2011.
Adaptado.)
Baseando-se nos dados fornecidos e
sabendo que cos   0,934, onde α é o
ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai, e que
, a velocidade média,
em km/h, com que a 1ª onda do tsunami
atingiu até a cidade de Sendai foi de:
28  32  93,4  215 100
a) 10.
b) 50.
c) 100.
d) 250.
e) 600.
Resolução:
Considere a figura.
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos
triângulos retângulo e qualquer.
2
2
2
ES  ET  ST  2  ET  ST  cos  
2
ES  3602  3202  2  360  320  0,934 
2
ES  129600  102400  2  22  3 2  25  93,4 
2
ES  232000  28  32  93,4 
2
ES  232000  215100 
ES 
16900  ES  130km.
Portanto, como 13min  13 h, temos que a
60
velocidade média pedida é dada por
Sabendo que ET  360km, ST  320km,
cos   0,934 e que 28  32  93,4  215100,
pela Lei dos Cossenos, vem:
130
 600km h.
13
60
3) (Ufpr 2012) Num projeto hidráulico,
um cano com diâmetro externo de 6 cm
será encaixado no vão triangular de uma
superfície, como ilustra a figura abaixo.
Que porção x da altura do cano
permanecerá acima da superfície?
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos
triângulos retângulo e qualquer.
a) 21 cm
b) 1 cm
c)
3
cm
2

d) 2 cm
e) 2 cm
Resolução:
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triângulos retângulo e qualquer.
sen30o 
3
1
3
 
 AO  6cm
AO
2 AO
Logo, 6  3  x  8  x  1cm
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos
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4) (Ufrn 2012) Numa projeção de filme, o projetor foi colocado a 12 m de distância da
tela. Isto fez com que aparecesse a imagem de um homem com 3 m de altura. Numa
sala menor, a projeção resultou na imagem de um homem com apenas 2 m de altura.
Nessa nova sala, a distância do projetor em relação à tela era de
a) 18 m.
b) 8 m.
c) 36 m.
d) 9 m.
Resolução:
Se é a distância procurada, então:
d
2
  d  8 m.
12 3
Matemática, 1ª Série, Relações métricas nos
triângulos retângulo e qualquer.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Matemática:ciência e aplicações, 1: ensino médio/Gelson Iezzi...(et al).- 6.ed.-São
Paulo: Saraiva, 2010.
Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, 1:ensino médio/Jackson Ribeiro- São
Paulo:Scipione,2010.
Souza, Joamir Roberto de. Novo olhar: matemática:1/Joamir Roberto de Souza.2.ed.-São Paulo:FTD, 2013.
História da matemática / Carl B. Boyer, revista por Uta C. Merzbach; tradução Elza F.
Gomide – 2ª ed. -- São Paulo: Blücher, 1996.
Matemática: conceito e aplicações/ Luiz Roberto Dante.-São Paulo:Ática,2010.
Matemática fundamental: uma nova abordagem:ensino médio:volume único/ José
Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr.-São Paulo: FTD, 2002.