ângulo - ProfAreal

O que aprendi neste capítulo…
2 – PARALELISMO E
PERPENDICULARIDADE.
ÂNGULOS
2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS
POSIÇÃO RELATIVA DE RETAS, SEMIRRETAS E SEGMENTOS DE RETA
Concorrentes
Retas
• Perpendiculares
• Oblíquas
Paralelas
As posições relativas das semirretas
e dos segmentos de reta são as
mesmas das retas que os contêm.
Duas semirretas com a mesma reta
suporte têm o mesmo sentido se uma
contém a outra.
Duas semirretas com retas suporte
distintas têm o mesmo sentido se
forem paralelas e se estiverem
contidas num mesmo semiplano
determinado pelas respetivas origens.
Duas semirretas paralelas dizem-se
diretamente paralelas se têm o
mesmo sentido e inversamente
paralelas se não têm o mesmo sentido.
2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS
POSIÇÃO RELATIVA DE RETAS, SEMIRRETAS E SEGMENTOS DE RETA
Exemplo
Considera a figura seguinte.
Resolução
1. Por exemplo, FH e EI.
2. Por exemplo, [FB] e [AD].
3. Por exemplo, 𝐷𝐶.
4. Por exemplo, 𝐶𝐼.
Utilizando as letras da figura, indica:
1. duas retas paralelas;
2. dois segmentos de reta perpendiculares;
3. uma semirreta diretamente paralela à 𝐴𝐵;
4. uma semirreta inversamente paralela à 𝐷𝐸.
2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS
ÂNGULOS
Um ângulo é a região do plano
delimitada por duas semirretas com
a mesma origem.
O
O
A cada uma das semirretas dá-se o
nome de lado do ângulo. À origem das
semirretas chama-se vértice do ângulo.
No ângulo BAC:
 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶 são os lados;
 A é o vértice.
B
B
A
Ângulo
convexo
A
Ângulo
côncavo
Dois ângulos com a mesma amplitude
são geometricamente iguais.
2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS
ÂNGULOS
O ângulo não giro 𝒂 é a soma de dois
ângulos 𝑏 e 𝑐 se 𝑎 for igual à união de
dois ângulos adjacentes 𝑏’ e 𝑐’,
respetivamente iguais a 𝑏 e 𝑐.
O ângulo giro é a soma de outros dois
se estes forem iguais, respetivamente,
a dois ângulos não coincidentes, com
os mesmos lados.
2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS
ÂNGULOS
Dois ângulos situados no mesmo
plano dizem-se adjacentes quando
partilham o mesmo lado e nenhum
dos ângulos está contido no outro.
O ângulo 𝐴𝑂𝐵 é
adjacente ao ângulo
𝐵𝑂𝐶.
A bissetriz de um ângulo é a
semirreta nele contida, de origem
no vértice e que forma, com cada
um dos lados, ângulos iguais.
𝑂𝐶 é a bissetriz de
∢𝐴𝑂𝐵.
Assim, ∢𝐴𝑂𝐶 é
geometricamente
igual a ∢𝐶𝑂𝐵.
2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS
ÂNGULOS
Exemplo
Considera a figura seguinte.
1. Diz, justificando, se os ângulos BAC
e BAD são adjacentes.
2. Sabendo que 𝐴𝐶 é a bissetriz do
ângulo BAD, o que podes dizer
relativamente aos ângulos BAC e
CAD?
Resolução
1. Os ângulos BAC e BAD não são
adjacentes, pois, apesar de
partilharem o lado 𝐴𝐵, o ângulo
BAC está contido no lado BAD.
2. Como 𝐴𝐶 é a bissetriz do ângulo
BAD, os ângulos BAC e CAD são
geometricamente iguais.
2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS
MEDIÇÃO DE UM ÂNGULO
Medida de amplitude de um ângulo
A amplitude do ângulo ‫ܤܱܣ‬
representa−se por ‫ܤ𝑂ܣ‬.
A unidade de medida de amplitude
de um ângulo é o grau (°).
Cada grau é dividido em 60 minutos
(‘) e cada minuto é dividido em 60
segundos (‘’).
A amplitude de um ângulo pode
estar escrita na forma complexa
(ex. 3° 11’ 24’’) ou incomplexa
(ex. 11 484’’ = 3,19°).
Classificação de ângulos
𝛼
𝛼
𝛼
Agudo
Reto
Obtuso
0° < 𝛼 < 90°
𝛼 = 90°
90° < 𝛼 < 180°
𝛼
𝛼
Nulo
Raso
Giro
𝛼 = 0°
𝛼 = 180°
𝛼 = 360°
𝛼
2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS
MEDIÇÃO DE UM ÂNGULO
Medição e construção de um ângulo
Para medires ou construíres um
ângulo deves utilizar um transferidor.
Exemplo
Classifica os ângulos seguintes.
𝑎 = 35°; 𝑏 = 5757′ ; 𝑐 = 85° 270′ 1800′′
Resolução
5757′ 60
357 95°
57′
𝑏 = 5757′ = 95° 57′
1800′′ 60
00 30′
0′′
270′ + 30′ = 300′
300′ 60
0 5°
85° + 5° = 90°
𝑐 = 85° 270′ 1800′′ = 90°
O ângulo a é agudo, b é obtuso e c é reto.
2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS
ÂNGULOS COMPLEMENTARES E ÂNGULOS SUPLEMENTARES.
ÂNGULOS VERTICALMENTE OPOSTOS
Ângulos complementares
Dois ângulos dizem-se complementares
quando a sua soma é igual a um ângulo
reto, ou seja, quando a soma das suas
amplitudes é 90°.
𝑎 + 𝑏 = 90°
𝑎
Ângulos suplementares
Dois ângulos dizem-se suplementares
quando a sua soma é igual a um ângulo
raso, ou seja, quando a soma das suas
amplitudes é 180°.
𝑐 + 𝑑 = 180°
𝑐
𝑑
𝑏
2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS
ÂNGULOS COMPLEMENTARES E ÂNGULOS SUPLEMENTARES.
ÂNGULOS VERTICALMENTE OPOSTOS
Ângulos verticalmente opostos
Dois ângulos verticalmente
opostos são iguais.
Exemplo
Considera a figura.
𝑐
𝑏
𝑑
𝑎=𝑐
𝑏=𝑑
𝑎
Determina, justificando, os valores
desconhecidos.
Resolução
𝑥 = 90° − 54° = 36° , porque são ângulos complementares.
𝑦 = 30° , porque são ângulos verticalmente opostos.
𝑧 = 180° − 30° = 150° , porque são ângulos suplementares.
2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS
ÂNGULOS CORRESPONDENTES.
ÂNGULOS ALTERNOS INTERNOS E ÂNGULOS ALTERNOS EXTERNOS
Ângulos correspondentes
Dois ângulos correspondentes são
iguais quando (e apenas quando) são
determinados por retas paralelas.
Ângulos alternos internos
Dois ângulos alternos internos são
iguais quando (e apenas quando) são
determinados por retas paralelas.
Se 𝑡//𝑟
a
b
Se 𝑡//𝑟
então 𝑎 = 𝑐
então 𝑎 = 𝑏
e𝑏=𝑑
2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS
ÂNGULOS CORRESPONDENTES.
ÂNGULOS ALTERNOS INTERNOS E ÂNGULOS ALTERNOS EXTERNOS
Ângulos alternos externos
Dois ângulos alternos externos são
iguais quando (e apenas quando) são
determinados por retas paralelas.
Se 𝑡 //𝑟
então 𝑎 = 𝑐
e𝑏=𝑑
Exemplo
Considera a figura.
Sem efetuar cálculos, determina,
justificando, os valores desconhecidos.
Resolução
𝑥 = 133° , porque são ângulos correspondentes
determinados por retas paralelas.
𝑦 = 47° , porque são ângulos alternos internos
determinados por retas paralelas.
𝑧 = 133° , porque são ângulos alternos
externos determinados por restas paralelas.
2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS
ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS E
ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
Ângulos de lados paralelos
Ângulos convexos de lados paralelos
dois a dois:
• são iguais - se forem ambos agudos
ou ambos obtusos, isto é, se forem
da mesma espécie;
• são suplementares - se um for
agudo e outro obtuso, isto é, se
forem de espécies diferentes.
r // s e t // u
2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS
ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS E
ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
Ângulos de lados perpendiculares
Ângulos convexos de lados
perpendiculares dois a dois:
• são iguais - se forem ambos agudos
ou ambos obtusos, isto é, se forem
da mesma espécie;
• são suplementares - se um for agudo
e outro obtuso, isto é, se forem de
espécies diferentes.
r⊥s e t⊥u
𝑎=𝑏
r⊥s e t⊥u
𝑎 + 𝑏 = 180°
2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS
ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS E
ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
Exemplo
Para cada alínea, determina,
justificando, os valores
desconhecidos.
Resolução
1. 𝑥 = 180° − 32° = 148° , porque como são
ângulos de lados paralelos de espécies
diferentes, são suplementares.
1. .
2. 𝑦 = 19° , porque como são ângulos de lados
perpendiculares da mesma espécie, são
iguais.
2. .
O que aprendi neste capítulo…
2 – PARALELISMO E
PERPENDICULARIDADE.
ÂNGULOS