ângulo - ProfAreal
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O que aprendi neste capítulo… 2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS 2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS POSIÇÃO RELATIVA DE RETAS, SEMIRRETAS E SEGMENTOS DE RETA Concorrentes Retas • Perpendiculares • Oblíquas Paralelas As posições relativas das semirretas e dos segmentos de reta são as mesmas das retas que os contêm. Duas semirretas com a mesma reta suporte têm o mesmo sentido se uma contém a outra. Duas semirretas com retas suporte distintas têm o mesmo sentido se forem paralelas e se estiverem contidas num mesmo semiplano determinado pelas respetivas origens. Duas semirretas paralelas dizem-se diretamente paralelas se têm o mesmo sentido e inversamente paralelas se não têm o mesmo sentido. 2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS POSIÇÃO RELATIVA DE RETAS, SEMIRRETAS E SEGMENTOS DE RETA Exemplo Considera a figura seguinte. Resolução 1. Por exemplo, FH e EI. 2. Por exemplo, [FB] e [AD]. 3. Por exemplo, 𝐷𝐶. 4. Por exemplo, 𝐶𝐼. Utilizando as letras da figura, indica: 1. duas retas paralelas; 2. dois segmentos de reta perpendiculares; 3. uma semirreta diretamente paralela à 𝐴𝐵; 4. uma semirreta inversamente paralela à 𝐷𝐸. 2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS ÂNGULOS Um ângulo é a região do plano delimitada por duas semirretas com a mesma origem. O O A cada uma das semirretas dá-se o nome de lado do ângulo. À origem das semirretas chama-se vértice do ângulo. No ângulo BAC: 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶 são os lados; A é o vértice. B B A Ângulo convexo A Ângulo côncavo Dois ângulos com a mesma amplitude são geometricamente iguais. 2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS ÂNGULOS O ângulo não giro 𝒂 é a soma de dois ângulos 𝑏 e 𝑐 se 𝑎 for igual à união de dois ângulos adjacentes 𝑏’ e 𝑐’, respetivamente iguais a 𝑏 e 𝑐. O ângulo giro é a soma de outros dois se estes forem iguais, respetivamente, a dois ângulos não coincidentes, com os mesmos lados. 2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS ÂNGULOS Dois ângulos situados no mesmo plano dizem-se adjacentes quando partilham o mesmo lado e nenhum dos ângulos está contido no outro. O ângulo 𝐴𝑂𝐵 é adjacente ao ângulo 𝐵𝑂𝐶. A bissetriz de um ângulo é a semirreta nele contida, de origem no vértice e que forma, com cada um dos lados, ângulos iguais. 𝑂𝐶 é a bissetriz de ∢𝐴𝑂𝐵. Assim, ∢𝐴𝑂𝐶 é geometricamente igual a ∢𝐶𝑂𝐵. 2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS ÂNGULOS Exemplo Considera a figura seguinte. 1. Diz, justificando, se os ângulos BAC e BAD são adjacentes. 2. Sabendo que 𝐴𝐶 é a bissetriz do ângulo BAD, o que podes dizer relativamente aos ângulos BAC e CAD? Resolução 1. Os ângulos BAC e BAD não são adjacentes, pois, apesar de partilharem o lado 𝐴𝐵, o ângulo BAC está contido no lado BAD. 2. Como 𝐴𝐶 é a bissetriz do ângulo BAD, os ângulos BAC e CAD são geometricamente iguais. 2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS MEDIÇÃO DE UM ÂNGULO Medida de amplitude de um ângulo A amplitude do ângulo ܤܱܣ representa−se por ܤ𝑂ܣ. A unidade de medida de amplitude de um ângulo é o grau (°). Cada grau é dividido em 60 minutos (‘) e cada minuto é dividido em 60 segundos (‘’). A amplitude de um ângulo pode estar escrita na forma complexa (ex. 3° 11’ 24’’) ou incomplexa (ex. 11 484’’ = 3,19°). Classificação de ângulos 𝛼 𝛼 𝛼 Agudo Reto Obtuso 0° < 𝛼 < 90° 𝛼 = 90° 90° < 𝛼 < 180° 𝛼 𝛼 Nulo Raso Giro 𝛼 = 0° 𝛼 = 180° 𝛼 = 360° 𝛼 2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS MEDIÇÃO DE UM ÂNGULO Medição e construção de um ângulo Para medires ou construíres um ângulo deves utilizar um transferidor. Exemplo Classifica os ângulos seguintes. 𝑎 = 35°; 𝑏 = 5757′ ; 𝑐 = 85° 270′ 1800′′ Resolução 5757′ 60 357 95° 57′ 𝑏 = 5757′ = 95° 57′ 1800′′ 60 00 30′ 0′′ 270′ + 30′ = 300′ 300′ 60 0 5° 85° + 5° = 90° 𝑐 = 85° 270′ 1800′′ = 90° O ângulo a é agudo, b é obtuso e c é reto. 2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS ÂNGULOS COMPLEMENTARES E ÂNGULOS SUPLEMENTARES. ÂNGULOS VERTICALMENTE OPOSTOS Ângulos complementares Dois ângulos dizem-se complementares quando a sua soma é igual a um ângulo reto, ou seja, quando a soma das suas amplitudes é 90°. 𝑎 + 𝑏 = 90° 𝑎 Ângulos suplementares Dois ângulos dizem-se suplementares quando a sua soma é igual a um ângulo raso, ou seja, quando a soma das suas amplitudes é 180°. 𝑐 + 𝑑 = 180° 𝑐 𝑑 𝑏 2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS ÂNGULOS COMPLEMENTARES E ÂNGULOS SUPLEMENTARES. ÂNGULOS VERTICALMENTE OPOSTOS Ângulos verticalmente opostos Dois ângulos verticalmente opostos são iguais. Exemplo Considera a figura. 𝑐 𝑏 𝑑 𝑎=𝑐 𝑏=𝑑 𝑎 Determina, justificando, os valores desconhecidos. Resolução 𝑥 = 90° − 54° = 36° , porque são ângulos complementares. 𝑦 = 30° , porque são ângulos verticalmente opostos. 𝑧 = 180° − 30° = 150° , porque são ângulos suplementares. 2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS ÂNGULOS CORRESPONDENTES. ÂNGULOS ALTERNOS INTERNOS E ÂNGULOS ALTERNOS EXTERNOS Ângulos correspondentes Dois ângulos correspondentes são iguais quando (e apenas quando) são determinados por retas paralelas. Ângulos alternos internos Dois ângulos alternos internos são iguais quando (e apenas quando) são determinados por retas paralelas. Se 𝑡//𝑟 a b Se 𝑡//𝑟 então 𝑎 = 𝑐 então 𝑎 = 𝑏 e𝑏=𝑑 2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS ÂNGULOS CORRESPONDENTES. ÂNGULOS ALTERNOS INTERNOS E ÂNGULOS ALTERNOS EXTERNOS Ângulos alternos externos Dois ângulos alternos externos são iguais quando (e apenas quando) são determinados por retas paralelas. Se 𝑡 //𝑟 então 𝑎 = 𝑐 e𝑏=𝑑 Exemplo Considera a figura. Sem efetuar cálculos, determina, justificando, os valores desconhecidos. Resolução 𝑥 = 133° , porque são ângulos correspondentes determinados por retas paralelas. 𝑦 = 47° , porque são ângulos alternos internos determinados por retas paralelas. 𝑧 = 133° , porque são ângulos alternos externos determinados por restas paralelas. 2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS E ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES Ângulos de lados paralelos Ângulos convexos de lados paralelos dois a dois: • são iguais - se forem ambos agudos ou ambos obtusos, isto é, se forem da mesma espécie; • são suplementares - se um for agudo e outro obtuso, isto é, se forem de espécies diferentes. r // s e t // u 2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS E ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES Ângulos de lados perpendiculares Ângulos convexos de lados perpendiculares dois a dois: • são iguais - se forem ambos agudos ou ambos obtusos, isto é, se forem da mesma espécie; • são suplementares - se um for agudo e outro obtuso, isto é, se forem de espécies diferentes. r⊥s e t⊥u 𝑎=𝑏 r⊥s e t⊥u 𝑎 + 𝑏 = 180° 2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS E ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES Exemplo Para cada alínea, determina, justificando, os valores desconhecidos. Resolução 1. 𝑥 = 180° − 32° = 148° , porque como são ângulos de lados paralelos de espécies diferentes, são suplementares. 1. . 2. 𝑦 = 19° , porque como são ângulos de lados perpendiculares da mesma espécie, são iguais. 2. . O que aprendi neste capítulo… 2 – PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE. ÂNGULOS
