A Natureza da Estatística

Estatística
Profª Eni Bertolini
Medidas de Posições/Medidas de Tendência Central
O resumo de dados por meio de tabelas, gráficos e distribuição de
freqüência nos fornece informações sobre o comportamento de uma variável.
O calculo de medidas nos possibilita representar um ou alguns valores
que sejam representativos da serie toda.
Para ressaltar as tendências características de cada distribuição,
isoladamente, ou em confronto com outras, faz-se necessário introduzir
conceitos que se expressem através de números, que nos permitam traduzir
essas tendências. Esses conceitos são denominados elementos típicos da
distribuição e são as:
a)
medidas de posição,
b)
medidas de variabilidade ou dispersão
c)
medidas de assimetria e
d)
medidas de curtose.
As medidas de posição, estatísticas que representam uma série de dados,
nos orientam quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal
das abscissas (eixo x) e nos possibilitam comparações de séries de dados entre
si pelo confronto desses números. São as chamadas medidas de tendência
central, pois representam os fenômenos pelos seus valores médios, em torno
dos quais tendem a se agruparem em torno dos valores centrais.
Dentre as medidas de tendência central, destacamos:
a)
a média aritmética;
b)
a mediana;
c)
a moda.
As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam os
quartis, os percentis, os decis e a própria mediana.
__
1. Média Aritmética ( X )
A média aritmética é a soma dos valores da variável x dividida pelo
número delas. Sejam x1, x2 , ..., x n um conjunto de números reais, onde temos
“n” valores da variável x, a média deste conjunto é dada por:
__
X = xi
n
em que n é o número de elementos do conjunto.
1
Estatística
Profª Eni Bertolini
1.1. Dados não-agrupados
Para dados não-agrupados, determinamos a media aritmética simples.
Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante
uma semana foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos para produção
média da semana:
__
X = 10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12 = 98 = 14
7
7
__
logo, X = 14 litros.
Às vezes, a média pode ser um número diferente de todos os da série
dados que ela representa. É o que acontece quando temos os valores 2, 2, 4, 8
e 9, para os quais a média é 5. Esse será o número representativo dessa série
de valores, embora não esteja representado nos dados originais. Neste caso,
dizemos que a média não tem existência concreta.
1.2.
Desvio em relação à média
É a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média
aritmética, ou seja, o desvio é a distância entre qualquer valor do conjunto de
dados em relação à média aritmética do conjunto de dados. Existem várias
medidas de dispersão que envolvem os desvios, são eles: o desvio-padrão, a
variância e o coeficiente de variação.
__
di = xi -X
onde, d i = desvio.
No exemplo anterior, temos:
d1 = 10 – 14 = -4
d2 = 14 – 14 = 0
d3 = 13 – 14 = -1
d4 = 15 – 14 = 1
d5 = 16 – 14 = 2
d6 = 18 – 14 = 4
d7 = 12 – 14 = -2
2
Estatística
1.3.
Profª Eni Bertolini
Propriedade da média
A soma algébrica dos desvios tomados em relação à média é nula:

di =0
No exemplo anterior, temos:

1.4.
d i = (-4) + 0 + (-1) + 1 + 2 + 4 + (-2) = 0
Dados agrupados
Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando como
variável o número de filhos do sexo masculino:
_______________________________________________________________
nº de filhos
fi
0
2
1
6
2
10
3
12
4
4
 = 34
Neste caso, como as freqüências são números indicadores da
intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de
ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada
pela formula:
__
X =  x i . fi
 fi
Um dispositivo prático para esse cálculo é a composição da seguinte tabela:
_______________________________________________________________
nº de filhos
fi
xi . f i
0
2
0
1
6
6
2
10
20
3
12
36
4
4
16
3
Estatística
temos então:  xi .
Profª Eni Bertolini
 = 34
 = 78
f i = 78 e  f i = 34 logo,
__
X =  x i . f i = 78 = 2,3
fi
34
__
isto é, X = 2,3 meninos.
Nota: Sendo x uma variável discreta, como interpretar o resultado obtido, 2
meninos e 3 décimos de menino?
O valor 2,3 sugere, neste caso, que o maior número de famílias
observadas tem 2 meninos e 2 meninas, sendo porém, a tendência geral de
uma leve superioridade numérica em relação ao número de meninos.
1.4.1. Com intervalos de classe
Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um
determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e
determinamos a média aritmética ponderada, onde x i é o ponto médio da
classe.
Exemplo: Determinar a média da distribuição:
_______________________________________________________________
renda das famílias
nºde famílias Ponto médio
(milhares de reais)
fi
das classes
xi . f i
xi
2├4
5
3
15
4├6
10
5
50
6├8
14
7
98
8 ├ 10
8
9
72
10 ├ 12
3
11
33
 = 40
 = 268
__
X =  x i . fi =
n
268 = 6,7
40
4
Estatística
Profª Eni Bertolini
Como a renda familiar foi dada em milhares pode-se dizer que a renda
média desse grupo de 40 famílias é de R$ 6.700,00.
1.5.
Emprego da média
A média é utilizada quando:
a) desejamos obter a medida de posição que possuía maior estabilidade;
b) houver necessidade de um tratamento algébrico ulterior.
Exercícios:
1) Sendo:
Custo
(R$)
fi
450 ├ 550 ├ 650 ├ 750 ├ 850 ├ 950 ├ 1050 ├ 1150
8
10
11
16
13
5
1
Complete a tabela e calcule a média aritmética da distribuição de freqüência:
_______________________________________________________________
i
xi
fi
x i. fi
1
500
8
4000
2
......
10
........
3
......
11
........
4
......
16
........
5
......
13
........
6
......
5
........
7
1100
1
........
 = ......
 = ......
2) Determine a média aritmética das seguintes séries:
a)
3, 4, 1, 3, 6, 5, 6
b)
7, 8, 8, 10 ,12
c)
3,2; 4; 0,75; 5; 2,13; 4,75
d)
70, 75, 76, 80, 82, 83, 90
5
Estatística
Profª Eni Bertolini
3) A média mínima para aprovação em determinada disciplina é 5,0. Se um
estudante obtém as notas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos
mensais da disciplina em questão, pergunta-se se ele foi ou não aprovado.
4) Calcule para cada uma das distribuições abaixo sua respectiva média.
a)
b)
c)
xi
3
4
7
8
12
fi
2
5
8
4
3
xi
fac
2
3
4
5
6
3
9
19
25
28
xi
fi
7
8
9
10
11
1/16
5/18
1/3
2/9
5/48
5) Dadas as estaturas de 140 alunos, conseguiu-se a distribuição abaixo.
Calcular a média.
Estaturas
(cm)
145 ├ 150 150 ├ 155 155├ 160 160├ 165
nº dos
alunos
3
10
27
38
165 ├ 170 170 ├ 175 175 ├ 180
27
21
14
6
Estatística
Profª Eni Bertolini
2. Moda (Mo)
A moda é o valor mais freqüente da distribuição.
2.1.
Dados não-agrupados
Quando lidamos com valores não agrupados, a moda é facilmente
reconhecida: basta, de acordo com a definição, procurar o valor que mais se
repete.
A série de dados: 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13,15 tem moda igual a 10.
Podemos entretanto, encontrar séries nas quais não exista valor modal.
É o caso da série: 3, 5, 8, 10, 12, 13, que não apresenta moda, chamada de
amodal.
Em outros casos, ao contrário, pode haver dois ou mais valores de
concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais na
série: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8 e 9 temos duas modas Mo = 4 e Mo = 7,
chamada de bimodal.
2.2. Dados agrupados
2.2.1. Sem intervalos de classe
Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a
moda: basta fixar o valor da variável de maior freqüência Assim:
xi
243
245 248
251
307
fi
7
17
20
8
23
Mo = 248
2.2.2. Com intervalos de classe
Para dados agrupados em classes, há diversas fórmulas para o cálculo da moda.
A classe que apresenta a maior freqüência é denominada classe modal.
Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante
que está compreendido entre os limites da classe modal.
O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o
ponto médio da classe modal. Damos a esse valor a denominação de moda
bruta.
Temos, então: Mo = l* + L* onde:
2
l* é o limite inferior da classe modal;
L* é o limite superior da classe modal.
7
Estatística
Profª Eni Bertolini
Assim, para a distribuição:
i
Estaturas
(cm)
Fi
1
150 ├ 154
4
2
154 ├ 158
9
3
158 ├ 162
11 
4
162 ├ 166
8
5
166 ├ 170
5
6
170 ├ 174
3
 = 40
Temos que a classe modal é i = 3, l* = 158 e L* = 162 então:
Mo = l* + L* = 158 + 162 = 320 = 160
2
2
2
Logo, Mo = 160 cm
2.2.2.1. Fórmula de Czuber
1º Passo: Identifica-se a classe modal.
2º Passo: Aplica-se a fórmula:
Mo = l* + 1___ . h
1 + 2
em que:
l* = limite inferior da classe modal.
1 = diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente anterior.
2 = diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente posterior.
h = amplitude da classe.
Exemplo 1: Determinar a moda para a distribuição:
Classes
0├1
fi
3
1├ 2
2├ 3
10
17
3├ 4
8
4├ 5
5

43
8
Estatística
Profª Eni Bertolini
Classe modal: i = 3
l* = 2
1 = 17 – 10 = 7
2 = 17 – 8 = 9
h = Li – li = 3 – 2 = 1
Mo = l* + 1___
1 + 2
.
h=2+
7__
9+7
.
1 = 2 + 0,44 . 1 = 2,44
Exemplo 2: Calcular a moda para a distribuição onde a amplitude das classes
não são iguais:
OBS: Nestes casos é preciso calcular as “densidades” das classes: f i / h para
se identificar qual a classe modal (aquela com maior intensidade).
_______________________________________________________________
Salários (US$)
fi
fi / h
80 ├ 180
70
70 / 100 = 0,7
180 ├ 250
140
140 / 70 = 2,0
250 ├ 300
140
140 / 50 = 2,8  classe modal
300 ├ 500
60
60 / 200 = 0,3
Classe modal: 3ª classe i = 3
l* = 250
1 = 2,8 – 2,0 = 0,8
2 = 2,8 – 0,3 = 2,5
h = Li – li = 300 – 250 = 50
Mo = l* + 1___
1 + 2
.
h = 250 +
0,8__ . 50 = 262,12
0,8 + 2,5
Portanto, o salário mais freqüente é US$ 262,12.
2.4. Emprego da moda
A moda é utilizada quando:
a) quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de
posição;
9
Estatística
Profª Eni Bertolini
b) quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da
distribuição.
3. Mediana (Md)
Colocados em ordem crescente, mediana é o valor que divide a amostra,
ou população, em duas partes iguais. Assim:
0
I
50 %
I
Md
100%
I
3.1. Dados não-agrupados
Dada uma série de valores, como, por exemplo: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6,
16, 9, de acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o
da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16,
18.
Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo
número de elementos à direita e à esquerda. Em nosso exemplo, esse valor é o
10, já que, nessa série, há quatro elementos acima dele e quatro abaixo.
Temos, então:
Md = 10
Se, porém, a série dada tiver um número par de termos, a mediana será,
por definição, qualquer dos números compreendidos entre os dois valores
centrais da série. Convencionou-se utilizar o ponto médio.
Assim, a série de valores: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21 tem para mediana a
média aritmética entre 10 e 12.
Logo:
Md = 10 + 12 = 22 = 11
2
2
Onde:
Md = 11
3.2. Dados Agrupados
3.2.1. Variável Discreta
Se n for impar, a mediana será o elemento central de ordem (n + 1) / 2.
Caso n seja par, a mediana será a media entre os elementos centrais de ordem
n/2 e n /2 +1.
10
Estatística
Profª Eni Bertolini
Exemplo 1: Dada a distribuição:
_______________________________________________________________
xi
Fi
Fac
1
1
1
2
3
4
3
5
9
 contém o 6º elemento
4
2
11

n = 11
n = 11 (ímpar)
n + 1 = 11 + 1 = 12 = 6º
2
2
2
Será, portanto, o sexto elemento. Para identifica-lo, abre-se a coluna de
freqüência acumulada. Por meio dessas freqüências acumuladas encontra-se o
valor (xi) correspondente à mediana.
Neste exemplo, Md = 3 (classe que contém o 6º elemento).
Exemplo 2: Seja:
_______________________________________________________________
xi
Fi
Fac
82
5
5
85
10
15
87
15
30  21º e 22º
89
8
38
90
4
42

n = 42
n = 42 (par), logo Md será a média entre os elementos de ordem n e n +1, ou
2 2
seja, 42 = 21º e 42 + 1 = 22º.
2
2
Como no exemplo anterior, identificam-se os elementos de ordem 21º e
22º pela Fac.
Assim: 21º corresponde a 87
11
Estatística
Profª Eni Bertolini
22º corresponde a 87, logo Md = 87 + 87 = 87
2
3.2.2. Variável Contínua
Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em
que está compreendida a mediana. Para tanto, temos inicialmente que
determinar a classe na qual se acha a mediana – classe mediana . Assim:
1º passo: calcula-se a ordem n . Como a variável é contínua, não se preocupe
2
se n é par ou ímpar.
2º passo: Pela Fac identifica-se a classe que contém a mediana (classe Md)
3º passo: utiliza-se a fórmula: Md= lmd + (n/2 - f ant) .h em que:
Fmd
l md = limite inferior da classe Md
n = tamanho da amostra ou nº de elementos
fant = soma das freqüências anteriores à classe Md
h = amplitude da classe Md
Fmd = freqüência da classe Md
Exemplo: Dada a distribuição amostral, calcular a mediana.
_______________________________________________________________
classes
Fi
Fac
35 ├ 45
5
5
45 ├ 55
12
17
55 ├ 65
18
35
 classe Md.(29º)
65 ├ 75
14
49
75 ├ 85
6
55
85 ├ 95
3
58

n = 58
1º passo: n = 58 = 29º
2 2
2º passo: classe Md = 3ª
3º passo: Md= lmd + (n/2 - fant ) .h = 55+ (29 –17 ) .10 = 55 + 120
Fmd
18
18
Md = 55 + 6,67 = 61,67
12
Estatística
Profª Eni Bertolini
3.3. Emprego da Mediana
Empregamos a mediana quando:
a ) desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais;
b )há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média;
c ) a variável em estudo é o salário.
4. As Separatrizes
A mediana caracteriza uma série de valores devido à sua posição central.
Ela apresenta uma característica importante: a mediana separa a série em dois
grupos que apresentam o mesmo número de valores.
Além das medidas de posição que estudamos, há outras que, consideradas
individualmente, não são medidas de tendência central, mas estão ligados à
mediana. Essas medidas – os quartis, os percentis e os decis, são, juntamente
com a mediana, conhecidos pelo nome genérico de separatrizes.
4.1. Os Quartis
Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais. Assim:
I
25%
I
50%
I
75%
I
Q1
Q2
Q3
I
Q1 = 1º quartil – valor situado de tal modo na série que uma quarta parte
(25%) dos dados é menor que ele e as três quartas partes restantes (75%) são
maiores.
Q2 = 2º quartil – coincide com a mediana, (Q2 = Md), deixa 50% dos
elementos.
Q3 = 3º quartil – valor situado de tal modo que as três quartas partes (75%)
dos termos são menores que ele e uma quarta parte (25%) é maior.
Eis as fórmulas para os cálculos de Q1 e Q3 para o caso de variáveis
contínuas:
a) Determinação de Q1:
1º passo: Calcular-se n
4
2º passo: Indica-se a classe Q1 pela Fac
3º passo: Aplica-se a fórmula:
13
Estatística
Profª Eni Bertolini
Q1 = lQ1 + (n/4 - f ) .h
FQ1
b) determinação de Q3:
1º passo: Calcula-se 3 n / 4
2º passo: Identifica-se a classe Q3 pelo Fac
3º passo: aplica-se a fórmula:
Q3 = lQ3 + (3n/4 - f ) .h
FQ 3
Exemplo: Dada a distribuição, determine os quartis (Q1 e Q3) e mediana.
_______________________________________________________________
classes
Fi
Fac
7 ├ 17
6
6
17 ├ 27
15
21
 classe Q1
27 ├ 37
20
41
 classe Md
37 ├ 47
10
51
 classe Q3
47 ├ 57
5
56

56
1º passo: n = 56 n = 14º
4
2º passo: Pela Fac, indentifica-se a classe Q1, classe Md e Classe Q3.
3º passo: Uso das fórmulas:
Para Q1 = lQ1 + (n/4 - f ) .h = 17 + (56/4 – 6) . 10 = 17 + 140 = 22,33
FQ1
15
15
Para Md= lmd + (n/2 - f ) .h = 27 + (56/2 – 21) . 10 = 30,5
Fmd
20
Para Q3 = lQ3 + (3n/4 - f ) .h = 37 + (3 .56/4 – 41) . 10 = 38
FQ 3
10
Diante desses resultados, pode-se afirmar que, nesta distribuição, tem –se:
14
Estatística
Profª Eni Bertolini
25%
I
7
25%
25%
25%
I
I
I
I
22,33
30,5
38
57
isto é, 22,33 deixa 25% dos elementos
30,5 deixa 50% dos elementos
38 deixa 75% dos elementos
4.2. Os Decis
São os nove valores que dividem a série em 10 partes iguais:
0% 10%
I
20%
30% 40%
50% 60%
70%
80%
90%
I
I
I
I
I
I
I
I
I
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
D8
D9
100%
I
A fórmula é semelhante:
1º passo: Calcula-se i.n , em que i = 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.
10
2º passo: Indentifica-se a classe Di pela Fac
3º passo: Aplica-se a fórmula:
Di = lDi + (i.n/10 - f ) .h
Fdi
4.3. Os Percentis
São os noventa e nove valores que separam uma série em 100 partes
iguais.
O cálculo de um percentil é dado por:
1º passo: Calcula-se i.n , em que i = 1,2,3,4,5, ... , 98 e 99.
100
2º passo: Indentifica-se a classe Pi pela Fac
3º passo: Aplica-se a fórmula:
Pi = lPi + (i.n/100 - f ) .h
Fpi
Exemplo: Determinar o 4º Decil e o 72º Percentil da seguinte distribuição:
15
Estatística
Profª Eni Bertolini
_______________________________________________________________
classes
Fi
Fac
4├ 9
9 ├ 14
14 ├ 19
19 ├ 24
8
12
17
3

40
8
20
37
40
 classe D4
 classe P72
Cálculo do D4:
1º passo: i.n = 4 . 40 = 16º
10
10
2º passo: Indentifica-se a classe D4 e P72 pela Fac
3º passo:
D4= lD4 + (i.n/10 - f ) .h = 9 + (4 . 40 / 10 – 8) . 5 = 12,33
Fdi
12
P72 = lP72+ (i.n/100 - f ) .h = 14 + (72 . 40 / 100 – 20) . 5 = 16,59
Fp72
17
Portanto, nesta distribuição, o valor 12,33 divide a amostra em duas partes:
uma com 40% dos elementos e a outra com 60 % (ver na reta). O valor 16,89
indica que 72% da distribuição estão abaixo dele e 28% acima.
16