LOM3081 - Parte 3.

Universidade de São Paulo
Escola de Engenharia de Lorena
Departamento de Engenharia de Materiais
Introdução à Mecânica dos Sólidos (LOM3081)
Prof. Dr. João Paulo Pascon
3.Análise de Tensão e Deformação
• 3.1. Estado Plano de Tensão
• 3.2. Variação da Tensão com o Plano de Corte
• 3.3. Tensões Principais
• 3.4. Máxima Tensão de Cisalhamento
• 3.5. O Círculo de Mohr para Tensão Plana
• 3.6. Tensão Triaxial
• 3.7. Módulo de Elasticidade Transversal
• 3.8. Coeficiente de Poisson
• 3.9. Transformação do Estado Plano de Deformação
3.1. Estado plano de tensão (EPT)
• Carregamento plano (xy)
• Definição EPT
• Estado 3D de tensão (*)
• Convenção de sinal
• Tensões cisalhantes
3.2. Variação da Tensão com o Plano de Corte
• Exemplo uniaxial: calcular as tensões médias no plano inclinado substituindo o ângulo de
45º por um ângulo θ qualquer.
3.2. Variação da Tensão com o Plano de Corte
• Expressões gerais para as componentes de tensão
• Identidades trigonométricas
Exemplo 3.1. Estado Plano de Tensão
• Para o EPT abaixo, determinar:
• (a) as componentes planas de tensão
• (b) as componentes de tensão num plano rotacionado em 40º a
partir da horizontal no sentido anti-horário
• (c) o estado de tensão completo rotacionando o sistema em 70º
no sentido horário
 x'   
x   y
2

x  y
2
cos2   xysen2
 x   y 
x'y'     
 sen2   xycos2
2 

Exemplo 3.1. Estado Plano de Tensão
θ (graus)
σθ
τθ
-70
-28,69
-11,36
20
68,69
11,36
110
-28,69
-11,36
200
68,69
11,36
Exemplo 3.2. Estado Plano de Tensão
• As fibras de madeira formam um ângulo de 20º com a horizontal. Determinar as
componentes de tensão no plano dessas fibras.
Exemplo 3.3. Estado Plano de Tensão
• O estado de tensão nas proximidades de uma ligação entre duas chapas é mostrado na
figura abaixo.
• (a) Determinar a tensão normal na solda de ligação;
• (b) Determinar a tensão cisalhante nos rebites de ligação; dreb = 12,7 mm; espaçamento entre
os rebites = 3 cm; rebites sob corte simples; espessura das chapas = 20 mm.
3.3. Tensões principais
• Valores extremos
• Direções principais
• Tensões principais
• Planos principais
• Tensão cisalhante nas direções principais
• Invariância das tensões
 
50  10 50  10

cos2  40sen2
2
2
Exemplo 3.4. Tensões principais
• Para o EPT abaixo:
• (a) determinar as tensões principais
• (b) determinar as direções principais
• (c) representar o estado nessas direções
Exemplo 3.5. Tensões principais
• Para o EPT abaixo, determinar o intervalo de valores possíveis para “p” de forma que:
• (a) a tensão normal não supere, em módulo, o valor de 50 MPa;
• (b) a tensão normal não supere o limite de tração de 20 MPa, e o limite de compressão de 100
MPa.
Exemplo 3.6. Tensões principais
• Sabendo que houve ruptura por tração no plano indicado, determinar o valor de τxy, e a
resistência à tração do material.
3.4. Máxima tensão de cisalhamento
• Variação da tensão cisalhante com o plano de corte
• Valores extremos
• Ângulos correspondentes (relação com os planos principais)
• Tensão normal nos planos com cisalhamento máximo
• Valor máximo em função das tensões principais
Exemplo 3.7. Máximo cisalhamento
• Para o EPT do Exemplo 3.1, determinar:
• (a) a máxima tensão de cisalhamento no plano
• (b) direções correspondentes
• (c) o estado completo nessas direções
 x'   
x   y


x  
y   / 2
x cos2y   sen2
xy
tan 22s   2
x'y'    
x  y
max
min
θ (graus)

2
xy
sen2   xycos2
 x   y 
 
 xy 2

σθ
2  τθ
2
-18,43
20,00
50,00
71,57
20,00
-50,00
Exemplo 3.8. Máximo cisalhamento
• Para o EPT abaixo, determinar o intervalo de valores possíveis para “p” de forma que:
• (a) o cisalhamento não supere, em módulo, o valor de 40 MPa;
• (b) o material não plastifique de acordo com o critério de von Mises (σesc = 250 MPa)
VM  12  22  12  e
Exemplo 3.9. Direções extremas
• Qual o valor da tensão σX que deve ser aplicada ao estado plano da
figura abaixo para que:
• (a) a direção do plano inclinado seja uma das direções principais?
• (b) a direção do plano inclinado seja uma das direções
correspondentes ao máximo cisalhamento no plano?
3.5. Círculo de Mohr no caso plano
• Método de solução gráfica
• Forma alternativa para as fórmulas de transformação de tensão
• Equação de um círculo
• Componentes de tensão
 x'   
x   y
2

x'y'    
• Construção do círculo de Mohr
• Ângulo θ no círculo
• Valores extremos (direções)
x  y
2
x  y
2
cos2   xysen2
sen2   xycos2
  m  acos2  bsen2
  asen2  bcos2
Exemplo 3.10. Círculo de Mohr
• Traçar o círculo de Mohr para os estados planos abaixo.
1  70 2  30
p1  26, 6º
p2  116, 6º
p1  10,9º
p2  79,1º
max  80,8
max  50
s1  18, 4º
1  95,8 2  65,8
s2  71,6º
s1  34,1º
s2  124,1º
Exemplo 3.11. Círculo de Mohr
• Resolver o Exemplo 3.1 com o Círculo de Mohr.
• “Para o EPT abaixo, determinar:
• (a) as componentes planas de tensão
• (b) as componentes de tensão num plano rotacionado em 40º a
partir da horizontal no sentido anti-horário
• (c) o estado de tensão completo rotacionando o sistema em 70º no
sentido horário.”
Exemplo 3.11. Círculo de Mohr
  50º     130º   24,6MPa
  50º     130º   22,6MPa
Exemplo 3.11. Círculo de Mohr
θ (graus)
σθ
τθ
-70
-28,69
-11,36
20
68,69
11,36
110
-28,69
-11,36
200
68,69
11,36
Exemplo 3.12. Círculo de Mohr
• Traçar o círculo de Mohr para os seguintes estados planos:
• (a) uniaxial
• (b) cisalhamento puro
• (c) pressão hidrostática
3.6. Tensão triaxial
• Estado geral (3D) de tensão
• Estado triaxial de tensão
• Círculo de Mohr
• Tensão de cisalhamento máxima absoluta
Exemplo 3.13. Cisalhamento máximo absoluto
• Determinar a tensão cisalhante máxima absoluta para os estados planos abaixo.
Exemplo 3.14. Cisalhamento máximo absoluto
• Determinar a tensão cisalhante máxima absoluta para o estado de tensão abaixo, sabendo
que σZ = -20 MPa.
3.7. Módulo Elástico Transversal
• Elemento submetido a cisalhamento puro
• Gráfico tensão versus deformação
• Lei de Hooke para cisalhamento (τ < τLP)
Exemplo 3.15. Módulo Elástico Transversal
• O bloco retangular possui módulo G = 90000 lb/in², e está conectado a duas placas rígidas
horizontais. Se a placa superior sofre um deslocamento de 0,04 in., determinar: (a)
distorção média no plano xy; (b) força P aplicada na placa superior.
Exemplo 3.16. Deslocamento por cisalhamento
• Calcular o deslocamento vertical total do ponto E considerando a deformação por corte simples nos
pinos A, B, C e D.
• Dados (Ex. 2.8): NAB = 0,6875 kip; NCD = 0,3125 kip; ΔLAB = 0,0181 in.; ΔLCD = 0,0150 in.
• Dados dos pinos: L = 0,5 in.; d = 3/8 in.; G = 11000 ksi (aço).
3.8. Coeficiente de Poisson
• Barra sob carga axial
• Relação entre as deformações
• Siméon Denis Poisson (1781–1840)
• Unidade
• Deformação em termos da tensão
Exemplo 3.17. Coeficiente de Poisson
• A barra cilíndrica sofre as variações de comprimento e diâmetro mostradas na figura
devidas à carga de 12 kN. Determinar o módulo elástico de Young e o coeficiente de
Poisson do material.
Exemplo 3.18. Coeficiente de Poisson
• Determinar a máxima carga que pode ser aplicada em A se a
variação do diâmetro não pode exceder 0.001 in.
• Trecho AB: aço (E = 29 106 psi; ν = 0,30).
• Trecho BC: alumínio (E = 10,6 106 psi; ν = 0,32).
3.9. Estado plano de deformação
• Estado de deformação geral (3D)
• Estado plano de deformação (EPD)
• Exemplos de aplicação do EPD
3.9. Estado plano de deformação
• Transformação no EPD
3.9. Estado plano de deformação
• Deformações principais
• Distorção máxima
• Círculo de Mohr
1,2 
x  y
2
  x   y    xy 
 
 

2
2

 

2
 xy 2
2
 x   y    xy 
tan 2p 
R    x  y  

 2   2 
x   y
2
2
C xy 
  x   y    xy 

 2 
 

2
2
2

max

 

2
tan 2s  
x  y
 xy
Exemplo 3.19. Estado plano de deformação
• Para o EPD abaixo, determinar:
• (a) componentes planas de deformação;
• (b) direções e deformações principais;
• (c) máxima distorção no plano e direções
correspondentes;
• (d) deformações na diagonal da placa.