Slide 1 - Unifap

IV - Descrição e Apresentação dos
Dados
Prof. Herondino
Dados
 A palavra "dados" é um termo relativo, tratamento de dados
comumente ocorre por etapas, e os "dados processados" a
partir de uma etapa podem ser considerados os "dados
brutos" do próximo. (Wikipédia)
 Dados Brutos
 Em informática dados brutos (raw data) designam os
dados/valores recolhidos e estocados tal qual foram
adquiridos, sem terem sofrido o menor tratamento
(Wikipédia)
Dados Brutos
 Suponhamos o seguintes dados Brutos como sendo a idade
de alunos de uma turma de informática
14
12
13
11
12
13
16
14
14
15
17
14
11
13
14
15
13
12
14
13
14
13
15
16
12
12
Frequência
 A frequência de uma observação é o número de repetições
dessa observação no conjunto de observações, ou ainda, é o
número de vezes que conjuntos de dados aparecem em uma
“população”.
Distribuição de Frequência Simples ( f i )
Dados ou
variável
(Idade)
xi
fi
11
2
12
5
13
6
14
7
15
3
16
2
17
1
Frequência
(nº de Alunos)
Frequências Relativas
 A frequência relativa é o valor da frequência absoluta dividido
pelo número total de observações.
Variável
(idade)
xi
frequência absoluta
(Nº de alunos)
frequência relativa
fr
fi
11
2
2/26 = 0,0769
12
5
5/26 = 0,1923
13
6
6/26 = 0,2308
14
7
7/26 = 0,2692
15
3
3/26 = 0,1154
16
2
2/26 = 0,0769
17
1
1/26 = 0,0385
TOTAL
N   fi
= 26
1,0000
Frequência Acumulada
Variável
freqüência
absoluta
xi
freqüência relativa
fr
fi
frequência
absoluta
acumulada
fa
frequência
relativa acumulada
f ra
11
2
2/26 = 0,0769
2
2/26 = 0,0769
12
5
5/26 = 0,1923
7
7/26 = 0,2692
13
6
6/26 = 0,2308
13
13/26 = 0,5000
14
7
7/26 = 0,2692
20
20/26 = 0,7692
15
3
3/26 = 0,1154
23
23/26 = 0,8846
16
2
2/26 = 0,0769
25
25/26 = 0,9615
17
1
1/26 = 0,0385
26
26/26 = 1,0000
TOTAL
f
i
= 26
f
r
=1,0000
Regras de arredondamento na
Numeração Decimal
 Norma ABNT NBR 5891
 1) Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último
algarismo a ser conservado for inferior a 5, o último
algarismo a ser conservado permanecerá sem modificação
 Exemplo:
1,333 3 arredondado à primeira decimal tornar-se-á 1,3
Regras de arredondamento na
Numeração Decimal
 2) Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último
algarismo a ser conservado for superior a 5, ou, sendo 5,
for seguido de no mínimo um algarismo diferente
de zero, o último algarismo a ser conservado deverá ser
aumentado de uma unidade
 Exemplo
 1,666 6 arredondado à primeira decimal tornar-se-á: 1,7.
4,850 5 arredondados à primeira decimal tornar-se-ão : 4,9.
Regras de arredondamento na
Numeração Decimal
 3) Quando o algarismo imediatamente seguinte ao
último algarismo a ser conservado for 5 seguido de
zeros, dever-se-á arredondar o algarismo a ser conservado
para o algarismo par mais próximo. Consequentemente, o
último a ser retirado, se for ímpar, aumentará uma unidade.
 Exemplo:
4,550 0 arredondados à primeira decimal tornar-se-ão: 4,6.
Regras de arredondamento na
Numeração Decimal
4) Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último
a ser conservado for 5 seguido de zeros, se for par o
algarismo a ser conservado, ele permanecerá sem
modificação.
 Exemplo:
4,850 0 arredondados à primeira decimal tornar-se-ão: 4,8.
Atividade - III
Verificar a altura em centímetro de cada aluno da turma e
construir uma sequência de Dados Brutos;
2. A partir dos Dados Brutos obtidos, construir a distribuição
de frequência absoluta simples, a frequência relativa,
frequência acumulada e frequência relativa acumulada. Para
o arredondamento utilize a regra da ABNT 5891.
1.
Apresentação dos dados
 Quando se dispõe de um grande número de observações,
torna-se extremamente difícil a leitura de valores colocados
em tabela.
Histograma
 Um histograma é uma representação gráfica de uma única
variável que representa a frequência de ocorrências (valores
dos dados) dentro de categorias de dados.
 O histograma tanto pode ser representado para as
frequências absolutas como para as frequências relativas.
Nota
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Total
nº de Alunos
1
1
2
4
6
8
12
10
3
2
1
50
14
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Polígono de Frequência
O Polígono de frequências é obtido ligando-se os pontos
médios dos topos dos retângulos de um histograma.
14
12
12
10
10
8
8
6
6
4
4
3
2
2
1
2
1
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Sobrepondo
14
14
12
12
12
10
10
10
88
8
66
6
44
4
3
22
2
1
00
00
2
1
11
1
22
33
44
55
66
77
88
99
10
10
Histograma de frequência acumulada
(ou ogiva)
 histograma de frequência acumulada (ou ogiva) é a
representação gráfica do comportamento da frequência
acumulada.
Distribuição por Frequência
Acumulada
Frequência Acumulada
60
50
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Gráfico de Setores
É designado por um círculo, onde cada classe é representada
por um setor circular, cujo ângulo é proporcional ao tamanho
da amostra.
0%
Gráfico de Setores
2%
4%
18%
5%
7%
9%
16%
11%
15%
0
1
2
3
13%
4
5
6
7
8
9
10
Distribuição de Frequência agrupadas
em Classe
 Para a determinação de classes não existe uma regra pré
estabelecida, sendo necessário um pouco de tentativa e erro
para a solução mais adequada.
 1. Definir o número de classes
 Se n representa o número de observações (na amostra ou na
população, conforme for o caso) o número aproximado de
classes pode ser calculado por Número de Classes = n
arredondando os resultados.
Exemplo
Altura em cm da Turma CA 2013
Nº de Classes = 30  5,47
Fazendo arredondamento
para 6
Fonte: Marques, 2013
Distribuição de Frequência agrupadas
em Classe
 2. Calcular a amplitude das classes
 Essa será obtida conhecendo-se o número de classes e
amplitude total dos dados.
 A amplitude total dos dados é o resultado da subtração valor
máximo - valor mínimo da série de dados
Amplitude Total = Valor Max - Valor Min
Amplitude de classe =
Amplitude Total
número de classes
Exemplo
Rol
Fonte: Vaz,2013
Amplitude Total = 188 - 152  36
Amplitude de classe =
36
6
6
Distribuição de Frequência agrupadas
em Classe
 3. Distribui a
frequência dos dados
agrupados por classe
 O limite superior de cada
classe é aberto (e
consequentemente, o
limite inferior de cada
classe é fechado), ou seja,
cada intervalo de classe
não inclui o valor de seu
limite superior, com
exceção da última classe.
(Nº de
Ordem)
(Altura em cm)
( Nº de alunos)
xi
i
fi
01
152
158
02
158
164
03
164
170
04
170
176
05
176
182
06
182
188
Total
Limite Inferior
Limite Superior
Distribuição de Frequência agrupadas
em Classe
(Nº de
Ordem)
(Altura em cm)
( Nº de alunos)
fi
xi
i
01
152
158
9
02
158
164
8
03
164
170
5
04
170
176
4
05
176
182
3
06
182
188
1
Total
f
i
 30
Fonte: Tillmann, 2013
Medidas de posição ou tendência central
1. Média Aritmética
n
x1  x2  ...  xn
X

n
x
i 1
n
i
Exemplo:
 A nota final (NF) do curso será dada pela fórmula:
NF 
 Em que:
AP  AF
2
 AP – Avaliação Parcial
 AF – Avaliação Final
AT1  AT 2  ...  ATn
AP 
n
 Sendo AP (Avaliação Parcial) a média aritmética das
atividades propostas (AT1, AT2,...,ATn)
 A cada AT será atribuído valores de 1 a 5.
Exemplo:
X
152  152  154  154  155  156  ...  188
 163,833...  164
30
n
X
x
i 1
n
i
 164
Medidas de posição ou tendência central
Propriedades da média aritmética
1. A média é um valor típico, ou seja, ela é o centro de gravidade da distribuição, um
ponto de equilíbrio. Seu valor pode ser substituído pelo valor de cada item na série de
dados sem mudar o total. Simbolicamente temos:
n
X 
 xi

x
i 1
i
n
n
2. A soma dos desvios das observações em relação a média é igual a zero.
(x  X )  0
i
3.
A soma dos desvios elevados ao quadrado das observações em relação a média é
menor que qualquer soma de quadrados de desvios em relação a qualquer outro
número. Em outras palavras,
2
é um mínimo.
(
x

X
)
 i
Exemplo
xi
X
xi  X
(x  X )  0
i
n
X 
 xi
n

x
i 1
n
i
( xi  X ) 2
(x  X )
i
2
Medidas de posição ou tendência central
 2. Média Ponderada
n
x1. p1  x2 . p2  ...  xn . pn
XP 
p1  p2  ...  pn
Onde
pi é o peso da observação i
x  p

p
i 1
i
i
i
Exemplo
 A universidade definiu que as avaliações parciais teriam
peso de 30% e a prova final teria peso de 40% no cálculo
dos rendimentos dos alunos. Veja o quadro abaixo e calcule
a média do aluno.
Ap
Ap 1
Ap 2
Final
peso
nota
8,0 0,30
9,0 0,30
9,6 0,40
8  0,3  9  0,3  9,6  0,4
XP 
0,3  0,3  0,4
Média aritmética Ponderada em dados
agrupados
(Nº de
Ordem)
(Altura em cm)
( Nº de alunos)
fi
xi
i
01
152
158
02
158
03
164
04
170
176
4
05
176
182
3
06
182
188
1
( Ponto
médio)
xm
xm  f i
9
n
164
x  f
X
f
8
i 1
170
5
m
i
Total
f
i
 30
n
x
i 1
m
. fi
i
Média aritmética Ponderada em dados
agrupados
L L
x 
inf
m
(Nº de
Ordem)
(Altura em cm)
( Nº de alunos)
fi
xi
i
sup
2
( Ponto
médio)
xm  f i
xm
01
152
158
9
155
1395
02
158
164
8
161
1288
03
164
n
170
5
167
835
04
170
176
4
173
692
05
176
182
3
179
537
06
182
Total
188
1
f
i
185
185
 30
4932
n
x
i 1
m
. fi
x  f
X
f
i 1
m
i
i
X
4.932
 164
30
Mediana (Md)
 A mediana é o valor do item central da série quando estes são
arranjados em ordem de magnitude
Exemplo:
a) 2, 4, 5, 7, 8
b) 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15
c) 3, 5 ,8 ,10, 15 ,21
Md=5
Md=9
Md=9
Para o calculo da mediana, têm-se:
n 1
Se a série for ímpar sua posição será dada porposição 
2
Par a sua posição é dada por
 n   n 
 2    2  1
  

posição  
2
ou se for
Mediana (Md)
 Cálculo da mediana
 Se série ímpar
posição 
n 1
2
 Ex: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 }

posição 
9 1
 5ª
2
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
7ª
8ª
9ª
0
0
1
1
2
2
3
4
5
Md=2
Mediana (Md)
 Cálculo da mediana
 n   n 
 2    2  1
  

posição  
2
 Se a sequência for par

 Ex: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 }
 10   10 
 2    2  1 5ª 6ª
  

posição  

2
2

1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
7ª
8ª
9ª
10ª
0
0
1
1
2
3
3
4
5
6
23
Md 
 2,5
2
Mediana (Md) para valores agrupados
 A partir da distribuição de frequência acumulada ou ogiva,
inicialmente determina-se a classe que contem a mediana.
(Nº de
Ordem)
(Altura em cm)
xi
i
fi
fa
f ra %
30
01
152
158
9
9
02
158
164
8
17
03
164
170
5
22
 Liminf  50% _ de _ fa
57 
Limsup  50% _ de _ fa

73
04
170
176
4
26
87
05
176
182
3
29
97
06
182
188
1
30
100
Total
f
i
 30
Mediana (Md) para valores agrupados
 mmm
fa
17
n  1 30  1

 15,5
2
2
9
Md  158 15,5  9

164  158 17  9
6,5
Md 
 6  158
8
Md  162,8
158
Md
164
xi
Mediana (Md) para valores agrupados
 (n  1) / 2  f a 
Md  L inf Md  
c
f Md


Linf Md = limite de classe inferior da classe da mediana;
f a = frequência acumulada da classe imediatamente anterior à
classe da mediana;
f Md = frequência absoluta simples da classe da mediana,
c
= amplitude (tamanho) da classe da mediana.
Exemplo:
Md
Md
L inf Md  158
fa  9
f Md  8
c6
Md
Md
 (n  1) / 2  f a 
 L inf Md  
c
f Md


 (30  1) / 2  9 
 158  
6

8


15,5  9 
 158  
6

 8 
 6,5 
 158     6
 8 
Md  158  4,87
Md  162,87
Moda (Mo)
 É o valor que ocorre com maior frequência em uma série de
valores.
Exemplos:
a){ 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a moda é igual a 10.
b){ 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta moda. A série é amodal.
c){ 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta duas modas:
4 e 7. A série é bimodal.
Moda (Mo) – Dados agrupados
o Sem intervalo de classe: é o valor da variável de maior
frequência.
o Exemplo:
Nota
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Total
nº de Alunos
1
1
2
4
6
8
12
10
3
2
1
50
Moda (Mo) – Dados agrupados
o Com intervalos de
classe: A classe que
apresenta a maior
frequência é denominada
classe modal. Nesta, é o
valor dominante que está
compreendido entre
os limites da classe
modal. O cálculo da
moda consiste em tomar o
ponto médio da classe
modal (Moda Bruta).
Mo 
( Linf  Lsup )
2
(Nº de
Ordem)
(Altura em cm)
fi
xi
i
01
152
158
9
02
158
164
8
03
164
170
5
04
170
176
4
05
176
182
3
06
182
188
1
Total
152  158
 Mo 
 155
2
Moda (Mo) – Classes agrupada
 Método pela fórmula de CZUBER:
xi
fi
 d1 
  h
Mo  Linf  
 d1  d 2 
54
58
9
58
62
11
62
66
8
d1  f Mo  f ant
d 2  f Mo  f post
66
70
5
Linf : limite inferior da classe modal
f ant
f post
f Mo
h
: frequência anterior a classe modal
: frequência posterior a classe moda
: frequência da classe modal
: amplitude da classe modal


11  9
  4
Mo  58  
 (11  9)  (11  8) 
 2 
Mo  58  
4
 23
2
Mo  58     4
5
Mo  58  1,6  59,6
Interpretação Geométrica
fi
Mo
xi
Atividade IV
Referência
 BERTHOUEX, Paul Mac; BROWN, Linfield C.. Statistics
for Environmental Engineers. 2ª Boca Raton London
New York Washington, D.c: Lewis Publishers, 2002.
 MORETTIN, Pedro Alberto; BUSSAB, Wilton de Oliveira.
Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 2006.
 TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. Rio de Janeiro:
LTC, 1999.