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10.5 – Momento angular
   

L  r  p  r  mv

v

L
O

r
l

(momento angular de uma partícula)

m
Unidades S.I.: kg.m2/s
Direção e sentido: regra da mão direita

Módulo: L  L  mrv sen  mvl
Relação entre momento angular e torque:



  
  dr
dv 
dL d 
 r  mv     mv    r  m 
dt 
dt dt
 dt
 




  
 v  mv   r  ma   r  F  
0

 dL
 
dt
(análogo a
 dp
F
dt
)
Momento angular de corpo rígido girando em torno de um eixo:
Dividimos o CR em fatias:

Li  Li  mi ri vi sen 90
Fatia do
CR girando
em torno
do eixo z
 mi ri ri   mi ri 2
Somando por todas as
partículas da fatia:

2
L    mi ri   I
 i

Momento angular
da i-ésima
partícula
(análogo a
p  mv
)
Somando por todas as fatias:
Outra fatia
do CR
girando em
torno de z
Partícula
movendo-se
para fora do
plano
Se o eixo de rotação for um eixo
de simetria, o momento angular
terá a mesma direção do eixo


Assim: L  I
Partícula
movendo-se
para dentro
do plano
De maneira semelhante,
partindo da equação para
uma partícula:

 dL
 
dt
E somandopor todas as partículas do CR, obtemos:

dL
 
dt
(aqui contribuem apenas os torques externos)
10.6 – Conservação do momento angular

 dL Se a resultante dos torques externos for nula:
 
 dt

dL
 0  L  constante
dt
Exemplo: patinadora no gelo
Lz  I ii , z  I f  f , z
Ao fechar os braços, a
patinadora reduz o momento
de inércia (I f  I i ), de modo
que a velocidade angular
aumenta ( f  i ).
http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=htVsVA2m1_w
Vídeo: “Physics Demonstrations in Mechanics II-9”
Demonstração: cadeira giratória
Exemplo: Y&F 10.11
Um gato em queda livre conserva o momento angular?
http://www.youtube.com/watch?v=Ua4Gh_4XdwQ
Análise do movimento:
http://www.youtube.com/watch?v=yGusK69XVlk
Exemplo: Y&F 10.14
Vídeo: “Physics Demonstrations in Mechanics II-11”
Problema: Y&F 10.98 (centro de percussão)
10.7 – Giroscópios e precessão
Demonstração: roda de bicicleta
Caso 1: roda parada
Caso 2: roda girando
Momento
angular inicial
da roda
Vista de cima
Vista de cima
Precessão do
momento angular
Outros exemplos: precessão do eixo de rotação da Terra, precessão
do pião (demonstração)
Vídeo: “Physics Demonstrations in Mechanics VI-5”
Cálculo da velocidade angular de precessão:
Em um intervalo dt, o
momento angular e o eixo de
rotação da roda precessionam
por um ângulo dφ
Velocidade angular de precessão
(no caso do eixo de rotação
ortogonal ao eixo de precessão):

d

dt
 
dL L
dt

mgr
 
L
I
Exemplo: torque na precessão do eixo de rotação da Terra
2 rad
-12
  1 rev/26.000 anos 

7
,
66

10
rad/s
11
8,2 10 s
2
2

rad
kg.m
2



33
L  I   MR 2 
  7,07 10
s
5
 24h 


Lsen(26,5  )
   Lsen(26,5  )  2,42 1022 N.m
Completando a analogia cinemática linear e rotação de CR:
Cinemática de uma partícula
Rotação de um CR
Posição
x
Ângulo
Velocidade
vx
Velocidade angular
Aceleração
ax
Aceleração angular
Massa
Energia cinética
Força
2a. Lei
Momento de inércia
m
Energia cinética
1 2
mvx
2
Fx
F
x ,ext
Torque
 max
2a. Lei

z
z
I
1 2
I z
2
z

z ,ext
 I z
Trabalho
dW  Fx dx
Trabalho
dW   z d
Potência
P  Fx v x


p  mv
 dp
F
dt
Potência
P   z z


L  I

 dL
 
Momento linear
2a. Lei
Momento angular
2a. Lei
Próximas aulas:
6a. Feira 18/11: Aula de Exercícios (sala A-327)
4a. Feira 23/11: Aula de Exercícios (sala A-327)
6a. Feira 25/11: Aula de Revisão e Testes dos Caps. 9 e 10 (sala A-327)
2a. Feira 28/11: P2