Aula4_Sil2007

Raciocínio Aproximado
• Relações Clássicas
• Relações Difusas
• Implicação: se A então B
– Lógica Clássica
– Lógica Difusa : regras difusas e operações de
composição
• Princípio de Extensão e Raciocínio Aproximado:
se A’ então B’
Ross – cap 7: Classical Logic and Fuzzy Logic
Profa. Silvia Modesto Nassar
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Raciocínio aproximado: regra difusa e
operação de composição
• Regra difusa: A e B são conjuntos difusos.
– Regra 1: SE x é A ENTÃO y é B
– Regra 1: A  B = R=(AxB)U(AxY) Produto Cartesiano
• Considerando uma nova entrada (antecedente) A’
teremos a saída (conseqüente) B’:
B’= A’ R
Relação R
Operação de Composição
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Sistema Difuso: raciocínio aproximado
Regras
Entradas
“crisp”
Desfuzzificação
Fuzzificação
Saídas
“crisp”
Inferência
Fuzzy
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Relações Clássicas
• Produto Cartesiano:
– Uma seqüência ordenada de n elementos
(a1, a2, a3, ... , an)
é chamada de n-tupla ordenada.
– Sejam os conjuntos A1, A2, A3, ... , Ar então o conjunto
de todas as r-tuplas, onde a1A1, a2A2 e arAr , é
chamado de PRODUTO CARTESIANO
A1xA2xA3x ... xAr
– Quando Ar são iguais a A então o produto cartesiano
A1xA2xA3x ... xAr é denotado por Ar
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Produto Cartesiano: exemplos
• Para os conjuntos A={0, 1} e B={a, b, c} temos os
seguintes produtos cartesianos:
– AxB= {(0, a), (0, b), (0, c), (1, a), (1, b), (1, c)}
– BxA= {(a, 0), (b, 0), (c, 0), (a, 1), (b, 1), (c, 1)}
– AxA=A2= {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}
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Produto Cartesiano: relações n-árias
• Um subconjunto do Produto Cartesiano A1xA2x ... xAn é
chamada de um RELAÇÃO n-ária sobre A1,A2, ... ,An.
• O PRODUTO CARTESIANO de dois universos X e Y é
definido como:
X x Y = {(x,y) | xX e yY} xX e yY
• A força desta RELAÇÃO entre os pares ordenados de
elementos é definida pela função característica ‫ א‬a seguir:
‫א‬XxY (x,y) =1 se (x,y)  XxY
(completamente relacionado)
0 se (x,y)  XxY (não relacionado)
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Produto Cartesiano: representação
• Um subconjunto do Produto Cartesiano A1xA2x ...xAn é
chamada de um RELAÇÃO n-ária sobre A1,A2, ... ,An.
– Diagrama Sagittal
– Matriz de Relação
a
b
c
1 1
1
1
R= 2 1
1
1
1
1
1
R
X
1
2
3
Y
a
b
c
3
- Cardinalidade da relação R : nx*ny
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Relações Clássicas: operações
Sejam duas relações R e S no universo cartesiano X x Y:
• União: RS
–  RS(x,y) = max [ R(x,y) ,  S(x,y) ]
• Intersecção: RS
–  RS(x,y) = min [ R(x,y) ,  S(x,y) ]
• Complemento: R
–  R(x,y) = 1 -  R(x,y)
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Relações Clássicas: operações
Sejam duas relações R e S no universo cartesiano X x Y:
• Contido: RS
–  R(x,y)   S(x,y)
• Identidade:
– O e XE
onde a relação O é a relação nula (matriz nula) e
a relação E é a relação universal ou completa (matriz identidade)
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Relações Clássicas: composição
R
X
S
Y
Z
x1
y1
x2
y2
z1
x3
y3
z2
A relação T é uma relação de COMPOSIÇÃO na forma T= RS
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Relações Clássicas: composição T= RS
y1
x1
R=
1
y2
0
z1
y3
1
y1
0
1
0
0
0
1
x2
0
0
0
S = y2
x3
0
0
0
y3
z1
z2
x1
0
1
T = x2
0
0
x3
0
0
z2
COMPOSIÇÃO: max-min
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Relações Clássicas: exemplos de composição
Sejam as relações R, S e T= RS:
• Composição max-min:
–  T(x,z) = max [min(( R(x,y) ,  S(y,z) )]
yY
• Composição max-produto ou max-dot :
–  T(x,z) = max [( R(x,y) *  S(y,z) )]
yY
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Inferência Dedutiva: exemplo
Sejam os universos de discurso X e Y definidos por
X={1,2,3,4} e Y={1,2,3,4,5,6}.
Sejam os conjuntos clássicos A={2,3} e B={3,4}.
Obtenha a matriz de relação para a regra “Se A então B”,
utilizando
R= (AxB)  (A x Y)
 R(x,y) = max [( A(x)   B(y) ), ((1-  A(x)) 1) ]
(cap. 7, pag 195 - ROSS)
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Relações Difusas: princípio da extensão
• Mapeiam os elementos de um universo X para outro
universo Y
•
Produto Cartesiano X x Y
• A força da relação para os pares (x,y) é definida em [0;1]
por uma Função de Pertinência.
• A cardinalidade de uma relação difusa R é infinita
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Relação Difusa R: princípio da extensão
• Sejam dois conjuntos difusos A em X e B em Y então o
produto cartesiano AxB=R  XxY
• A relação difusa R tem a seguinte função de pertinência
 R(x,y) =  AxB(x,y) =min [ A(x) ,  B(y) ]
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Raciocínio aproximado: regra difusa e
operação de composição
• Regra difusa: A e B são conjuntos difusos
– Regra 1: SE x é A ENTÃO y é B
– Regra 1: A  B = R=(AxB)U(AxY) Produto Cartesiano
• Considerando uma nova entrada (antecedente) A’
teremos a saída (conseqüente) B’:
B’= A’ R
Relação R
Operação de Composição
Profa. Silvia Modesto Nassar
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Relações Difusas: operações padrão
• União: RS
–  RS(x,y) = max [ R(x,y) ,  S(x,y) ]
• Intersecção: RS
–  RS(x,y) = min [ R(x,y) ,  S(x,y) ]
• Complemento: R
–  R(x,y) = 1 -  R(x,y)
• Contido: RS
–  R(x,y)  S(x,y)
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Relações Difusas: propriedades
• ATENDEM:
– Comutatividade, associatividade, distributividade,
involução e idempotência.
• NÃO ATENDEM:
– Leis do meio excluído:
• R  R  E (relação completa, identidade)
• R R  O (relação nula, nula)
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Lógica Difusa:
• Raciocínio aproximado:
– proposições imprecisas
– extensão da lógica de predicados
– valores de verdade [0, 1]
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Lógica Clássica: inferência dedutiva (Modus Ponens)
Regra R: Se A então B
– onde A é definido no universo X e B é definido no universo Y
– A regra é considerada uma RELAÇÃO entre os conjuntos A e B
– R= (AxB)  (A x Y)
– supondo um novo antecedente A’ então temos um novo
conseqüente B’
– regra: Se A’ então B’
– onde B’ = A’ R = A’  ((AxB)  (A x Y))
–  R(x,y) = max [( A(x)   B(y) ), ((1-  A(x))  1) ]
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Lógica Difusa: Raciocínio aproximado
• Regra difusa: A e B são conjuntos difusos.
– Regra 1: SE x é A ENTÃO y é B
– Regra 1: A  B = R=(AxB)U(AxY) Produto Cartesiano
• Considerando uma nova entrada (antecedente) A’
teremos a saída (conseqüente) B’:
B’= A’ R
Relação R
Operação de Composição
Profa. Silvia Modesto Nassar
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Formas de Implicação Difusa
Para a relação difusa R com base na regra SE A
então B, isto é R = A  B, temos:
Mamdani:
 R(x,y) = min [  A(x) ,  B(y) ]
Lukasiewicz:  R(x,y) = min [1, ( 1-  A(x)+  B(y) ]
Soma Limitada:  R(x,y) = min [ 1, ( A(x) +  B(y)) ]
Goguen:
 R(x,y) = min [1, (  B(y)/  A(x) ]
Ross – cap 7: pag 209
Profa. Silvia Modesto Nassar
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Formas de Composição Difusa
Composição B’ = A’  R temos para todo xX:
max-min:
 B’(y) = max{min [  A’(x) ,  R(x,y) ] }
max-produto:  B’(y) = max {  A’(x)*  R(x,y)}
min-max:  B’(y) = min{max [  A’(x) ,  R(x,y) ] }
max-max:
min-min:
 B’(y) = max{max [  A’(x) ,  R(x,y) ] }
 B’(y) = min{min [  A’(x) ,  R(x,y) ] }
Ross – cap 7: pag 210
Profa. Silvia Modesto Nassar
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